Cəbrdə və əslində bütün riyaziyyatda əsas xüsusiyyətlərdən biri dərəcədir. Əlbəttə ki, 21-ci əsrdə bütün hesablamalar onlayn kalkulyatorda aparıla bilər, lakin beynin inkişafı üçün bunu özünüz necə edəcəyinizi öyrənmək daha yaxşıdır.

Bu yazıda ən çox baxacağıq vacib suallar bu təriflə bağlı. Məhz, bunun ümumiyyətlə nə olduğunu və əsas funksiyalarının nə olduğunu, riyaziyyatda hansı xüsusiyyətlərin mövcud olduğunu anlayacağıq.

Hesablamanın necə göründüyünə dair nümunələrə baxaq, əsas düsturlar nədir. Biz kəmiyyətlərin əsas növlərini və onların digər funksiyalardan nə ilə fərqləndiyini təhlil edəcəyik.

Bu kəmiyyətdən istifadə edərək necə həll edəcəyimizi anlayaq müxtəlif vəzifələr. Nümunələrlə göstərəcəyik ki, necə sıfır dərəcəyə qaldırılsın, irrasional, mənfi və s.

Onlayn eksponentasiya kalkulyatoru

Bir ədədin dərəcəsi nədir

“Rəqəmi gücə çatdırmaq” ifadəsi nəyi nəzərdə tutur?

a ədədinin n dərəcəsi ardıcıl olaraq a n dəfə böyüklük amillərinin məhsuludur.

Riyazi olaraq belə görünür:

a n = a * a * a * …a n .

Misal üçün:

• Üçüncü addımda 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 addımda. iki = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 addımda. dörd = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 addımda 10 5 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 4 addımda 10 4 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Aşağıda 1-dən 10-a qədər kvadratlar və kublar cədvəli verilmişdir.

1-dən 10-a qədər dərəcələr cədvəli

Aşağıda tikintinin nəticələri var natural ədədlər müsbət səlahiyyətlərə - "1-dən 100-ə qədər".

Ch-lo	2-ci sinif	3-cü sinif
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Dərəcə xüsusiyyətləri

Belə bir riyazi funksiyanın xarakterik xüsusiyyəti nədir? Əsas xüsusiyyətlərə baxaq.

Alimlər aşağıdakıları müəyyən etdilər Bütün dərəcələr üçün xarakterik olan əlamətlər:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Nümunələrlə yoxlayaq:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Digər tərəfdən 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Eynilə: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Əks halda 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Fərqli olarsa necə? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Gördüyünüz kimi, qaydalar işləyir.

Amma necə olmaq toplama və çıxma ilə? Hər şey sadədir. Əvvəlcə eksponentasiya, sonra isə toplama və çıxma aparılır.

Nümunələrə baxaq:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ancaq bu halda, əvvəlcə əlavəni hesablamalısınız, çünki mötərizədə hərəkətlər var: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Necə istehsal etmək olar daha mürəkkəb hallarda hesablamalar? Sifariş eynidir:

• mötərizələr varsa, onlardan başlamaq lazımdır;
• sonra eksponentasiya;
• sonra vurma, bölmə əməliyyatlarını yerinə yetirmək;
• toplamadan, çıxmadan sonra.

Bütün dərəcələr üçün xarakterik olmayan xüsusi xüsusiyyətlər var:

1. a sayından m dərəcəsinə qədər n-ci dərəcənin kökü belə yazılacaq: a m / n .
2. Kəsiri qüvvəyə qaldırarkən: həm pay, həm də onun məxrəci bu prosedura tabedir.
3. Bir iş qurarkən müxtəlif nömrələr bir gücə, ifadə bu ədədlərin verilmiş gücə hasilinə uyğun olacaq. Yəni: (a * b) n = a n * b n .
4. Ədədi mənfi gücə qaldırarkən, eyni addımda 1-i bir ədədə bölmək lazımdır, lakin "+" işarəsi ilə.
5. Əgər kəsrin məxrəci mənfi qüvvədədirsə, onda bu ifadə müsbət dərəcədəki payla məxrəcin hasilinə bərabər olacaqdır.
6. 0 = 1-in gücünə və pilləyə istənilən ədəd. 1 = özünə.

Bu qaydalar fərdi hallarda vacibdir, biz onları aşağıda daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Mənfi eksponentli dərəcə

Mənfi dərəcə ilə, yəni göstərici mənfi olduqda nə etməli?

4 və 5-ci xassələrə əsaslanır(yuxarıdakı nöqtəyə baxın) çıxır:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Və əksinə:

1 / A (- n) \u003d A n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Bəs bu kəsrdirsə?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Təbii göstərici ilə dərəcə

Göstəriciləri tam ədədlərə bərabər olan dərəcə kimi başa düşülür.

Xatırlamaq lazım olanlar:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1... və s.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... və s.

Həmçinin, əgər (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… onda nəticə “+” işarəsi ilə olacaq. Əgər a mənfi rəqəm tək bir gücə yüksəldi, əksinə.

Ümumi xüsusiyyətlər və hamısı spesifik əlamətlər yuxarıda təsvir edilənlər də onlar üçün xarakterikdir.

Fraksiya dərəcəsi

Bu görünüş bir sxem kimi yazıla bilər: A m / n. O, belə oxunur: A ədədinin n-ci dərəcəsinin kökü m-in qüvvəsinə.

Fraksiya göstəricisi ilə hər şeyi edə bilərsiniz: azaltmaq, hissələrə parçalamaq, başqa dərəcəyə qaldırmaq və s.

İrrasional göstərici ilə dərəcə

α irrasional ədəd və A ˃ 0 olsun.

Belə bir göstərici ilə dərəcənin mahiyyətini anlamaq üçün, Müxtəlif mümkün hallara baxaq:

• A \u003d 1. Nəticə 1-ə bərabər olacaq. Aksiom olduğundan - 1 bütün güclərdə birə bərabərdir;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 rasional ədədlərdir;

• 0˂А˂1.

Bu halda, əksinə: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 ikinci abzasdakı kimi eyni şərtlərdə.

Məsələn, eksponent π ədədidir. Bu rasionaldır.

r 1 - bu halda 3-ə bərabərdir;

r 2 - 4-ə bərabər olacaq.

Sonra A = 1 üçün 1 π = 1.

A = 2, sonra 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, sonra (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Belə dərəcələr yuxarıda təsvir edilən bütün riyazi əməliyyatlar və spesifik xüsusiyyətlərlə xarakterizə olunur.

Nəticə

Xülasə edək - bu dəyərlər nə üçündür, bu cür funksiyaların üstünlükləri nələrdir? Əlbəttə ki, ilk növbədə, nümunələri həll edərkən riyaziyyatçıların və proqramçıların həyatını sadələşdirirlər, çünki hesablamaları minimuma endirməyə, alqoritmləri azaltmağa, məlumatları sistemləşdirməyə və daha çox şeyə imkan verir.

Bu bilik başqa harada faydalı ola bilər? İstənilən işçi ixtisasında: tibb, farmakologiya, stomatologiya, tikinti, texnologiya, mühəndislik, dizayn və s.

İfadələr, ifadələrin çevrilməsi

Güc ifadələri (güclü ifadələr) və onların çevrilməsi

Bu yazıda güclərlə ifadələrin çevrilməsi haqqında danışacağıq. Birincisi, biz hər cür ifadələr, o cümlədən ifadələr üzərində həyata keçirilən çevrilmələrə diqqət yetirəcəyik güc ifadələri, məsələn, mötərizənin açılması, bənzər şərtlərin azaldılması kimi. Və sonra biz dərəcələri olan ifadələrə xas olan çevrilmələri təhlil edəcəyik: əsas və eksponent ilə işləmək, dərəcələrin xüsusiyyətlərindən istifadə etmək və s.

Səhifə naviqasiyası.

Güc ifadələri nədir?

"Güc ifadələri" termini praktiki olaraq məktəb riyaziyyat dərsliklərində tapılmır, lakin tez-tez, məsələn, Vahid Dövlət İmtahanına və OGE-yə hazırlaşmaq üçün nəzərdə tutulmuş problemlər toplularında görünür. Güc ifadələri ilə hər hansı bir hərəkətin yerinə yetirilməsi tələb olunan tapşırıqları təhlil etdikdən sonra aydın olur ki, güc ifadələri onların girişlərində dərəcələri ehtiva edən ifadələr kimi başa düşülür. Buna görə özünüz üçün aşağıdakı tərifi götürə bilərsiniz:

Tərif.

Güc ifadələri səlahiyyətləri ehtiva edən ifadələrdir.

gətirək güc ifadələrinə nümunələr. Üstəlik, fikirlərin necə inkişaf dərəcəsinə görə onları təqdim edəcəyik təbii göstərici həqiqi eksponentə qədər.

Bildiyiniz kimi, əvvəlcə natural göstəricili ədədin dərəcəsi ilə tanış olursunuz, bu mərhələdə 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) tipli ilk ən sadə dərəcə ifadələri ilə tanış olursunuz. ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 və s.

Bir az sonra tam eksponentli ədədin gücü öyrənilir ki, bu da aşağıdakı kimi mənfi tam səviyyəli güc ifadələrinin yaranmasına səbəb olur: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

Yuxarı siniflərdə yenidən dərəcələrə qayıdırlar. Orada rasional eksponentli dərəcə təqdim olunur ki, bu da müvafiq güc ifadələrinin yaranmasına səbəb olur: , , və s. Nəhayət, irrasional göstəriciləri olan dərəcələr və onları ehtiva edən ifadələr nəzərdən keçirilir: , .

Məsələ sadalanan güc ifadələri ilə məhdudlaşmır: daha sonra dəyişən eksponentə nüfuz edir və məsələn, 2 x 2 +1 və ya belə ifadələr var. . Və tanış olduqdan sonra güc və loqarifmli ifadələr görünməyə başlayır, məsələn, x 2 lgx −5 x lgx.

Beləliklə, güc ifadələrinin nə olduğu sualını anladıq. Sonra onları necə çevirməyi öyrənəcəyik.

Güc ifadələrinin çevrilmələrinin əsas növləri

Güc ifadələri ilə siz ifadələrin əsas şəxsiyyət çevrilmələrindən hər hansı birini həyata keçirə bilərsiniz. Məsələn, mötərizələri aça, dəyişdirə bilərsiniz ədədi ifadələr onların dəyərləri, oxşar şərtlər gətirmək və s. Təbii ki, bu halda hərəkətləri yerinə yetirmək üçün qəbul edilmiş prosedura riayət etmək lazımdır. Nümunələr verək.

Misal.

Güc ifadəsinin qiymətini hesablayın 2 3 ·(4 2 −12) .

Həll.

Hərəkətlərin sırasına uyğun olaraq ilk növbədə mötərizədə olan hərəkətləri yerinə yetiririk. Orada, birincisi, 4 2-nin gücünü 16 dəyəri ilə əvəz edirik (lazım olduqda bax), ikincisi, fərqi hesablayırıq 16−12=4 . Bizdə var 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Alınan ifadədə 2 3-ün gücünü onun 8 qiyməti ilə əvəz edirik, bundan sonra 8·4=32 hasilini hesablayırıq. Bu arzu olunan dəyərdir.

Belə ki, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Cavab:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Misal.

Güc ifadələrini sadələşdirin 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Həll.

Aydındır ki, bu ifadədə oxşar 3 · a 4 · b − 7 və 2 · a 4 · b − 7 terminləri var və biz onları azalda bilərik: .

Cavab:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Misal.

Məhsul kimi səlahiyyətləri olan ifadəni ifadə edin.

Həll.

Tapşırığın öhdəsindən gəlmək üçün 9 rəqəminin 3 2 gücü kimi təqdim edilməsinə və sonra qısaldılmış vurma düsturunun kvadratların fərqindən istifadə etməyə imkan verir:

Cavab:

Güc ifadələrinə xas olan bir sıra eyni transformasiyalar da var. Sonra onları təhlil edəcəyik.

Baza və eksponentlə işləmək

Əsasında və / və ya göstəricisində yalnız rəqəmlər və ya dəyişənlər deyil, bəzi ifadələr olan dərəcələr var. Nümunə olaraq (2+0,3 7) 5−3,7 və (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) yazaq.

Belə ifadələrlə işləyərkən həm dərəcə bazasındakı ifadəni, həm də göstəricidəki ifadəni onun dəyişənlərinin DPV-də eyni bərabər ifadə ilə əvəz etmək olar. Başqa sözlə desək, bizə məlum olan qaydalara görə biz dərəcənin əsasını ayrıca, göstəricini isə ayrıca çevirə bilərik. Aydındır ki, bu çevrilmə nəticəsində orijinala eyni şəkildə bərabər olan ifadə alınır.

Bu cür çevrilmələr bizə güclərlə ifadələri sadələşdirməyə və ya ehtiyac duyduğumuz digər məqsədlərə nail olmağa imkan verir. Məsələn, yuxarıda qeyd olunan (2+0,3 7) 5−3,7 güc ifadəsində baza və eksponentdəki ədədlərlə əməliyyatlar yerinə yetirmək olar ki, bu da 4,1 1,3 gücünə keçməyə imkan verəcəkdir. Mötərizələri açıb oxşar terminləri dərəcənin əsasına (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) gətirdikdən sonra daha çox güc ifadəsi alırıq. sadə forma a 2 (x+1) .

Güc xüsusiyyətlərindən istifadə

İfadələri güclərlə çevirmək üçün əsas vasitələrdən biri əks etdirən bərabərliklərdir. Əsas olanları xatırlayaq. İstənilən müsbət a və b ədədləri və ixtiyari həqiqi r və s ədədləri üçün aşağıdakı güc xassələri yerinə yetirilir:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Nəzərə alın ki, təbii, tam və müsbət göstəricilər üçün a və b rəqəmlərinə məhdudiyyətlər o qədər də sərt olmaya bilər. Məsələn, m və n natural ədədləri üçün a m ·a n =a m+n bərabərliyi təkcə müsbət a üçün deyil, həm də mənfi olanlar üçün, a=0 üçün də doğrudur.

Məktəbdə güc ifadələrinin çevrilməsində əsas diqqət dəqiq olaraq müvafiq xüsusiyyəti seçmək və onu düzgün tətbiq etmək bacarığına yönəldilmişdir. Bu halda dərəcələrin əsasları adətən müsbət olur ki, bu da dərəcələrin xüsusiyyətlərindən məhdudiyyətsiz istifadə etməyə imkan verir. Eyni şey, dərəcə əsaslarında dəyişənləri ehtiva edən ifadələrin çevrilməsinə də aiddir - dəyişənlərin məqbul dəyərlərinin diapazonu adətən elədir ki, əsaslar onun üzərində yalnız müsbət qiymətlər alır, bu da xassələrdən sərbəst istifadə etməyə imkan verir. dərəcələrin. Ümumiyyətlə, bu vəziyyətdə dərəcələrin hər hansı bir xüsusiyyətini tətbiq etməyin mümkün olub olmadığını daim özünüzdən soruşmalısınız, çünki xassələrin qeyri-dəqiq istifadəsi ODZ-nin daralmasına və digər çətinliklərə səbəb ola bilər. Dərəcələrin xüsusiyyətlərindən istifadə edərək ifadələrin çevrilməsi məqaləsində bu məqamlar ətraflı və misallarla müzakirə olunur. Burada bir neçə sadə nümunə ilə kifayətlənirik.

Misal.

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 ifadəsini a əsası ilə qüvvə ilə ifadə edin.

Həll.

Birincisi, ikinci faktoru (a 2) −3-ü gücü bir gücə yüksəltmək xüsusiyyətinə çeviririk: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Bu halda, ilkin güc ifadəsi a 2.5 ·a −6:a −5.5 formasını alacaq. Aydındır ki, eyni əsasla güclərin vurma və bölgü xassələrindən istifadə etmək qalır, bizdə
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Cavab:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Güc xassələri güc ifadələrini həm soldan sağa, həm də sağdan sola çevirərkən istifadə olunur.

Misal.

Güc ifadəsinin qiymətini tapın.

Həll.

Sağdan sola tətbiq olunan bərabərlik (a·b) r =a r ·b r , ilkin ifadədən formanın hasilinə və daha da irəli getməyə imkan verir. Və səlahiyyətləri ilə çarpan zaman eyni əsaslar göstəricilər əlavə olunur: .

Orijinal ifadənin çevrilməsini başqa bir şəkildə həyata keçirmək mümkün idi:

Cavab:

.

Misal.

1.5 −a 0.5 −6 güc ifadəsini nəzərə alaraq, yeni t=a 0.5 dəyişənini daxil edin.

Həll.

a 1,5 dərəcəsi 0,5 3 və daha sonra dərəcənin xüsusiyyəti əsasında (a r) s =a r s sağdan sola tətbiq olunaraq, onu (a 0,5) 3 formasına çevirin. Bu minvalla, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. İndi yeni t=a 0.5 dəyişənini təqdim etmək asandır, biz t 3 −t−6 alırıq.

Cavab:

t 3 −t−6 .

Gücləri olan fraksiyaların çevrilməsi

Güc ifadələrində səlahiyyətləri olan kəsrlər ola bilər və ya belə kəsrləri təmsil edə bilər. İstənilən növ kəsrlərə xas olan əsas kəsr çevrilmələrindən hər hansı biri belə kəsrlərə tam tətbiq olunur. Yəni, tərkibində dərəcələri olan kəsrlərin kiçilməsi, yeni məxrəcə endirilməsi, onların paylayıcısı ilə ayrı, məxrəclə ayrı-ayrılıqda işləməsi və s. Yuxarıdakı sözləri təsvir etmək üçün bir neçə nümunənin həllini nəzərdən keçirin.

Misal.

Güc ifadəsini sadələşdirin .

Həll.

Bu güc ifadəsi kəsirdir. Gəlin onun payı və məxrəci ilə işləyək. Hesabda mötərizələri açır və güclərin xüsusiyyətlərindən istifadə edərək bundan sonra əldə edilən ifadəni sadələşdiririk və məxrəcdə oxşar şərtləri təqdim edirik:

Həm də kəsrin qarşısına mənfi qoyaraq məxrəcin işarəsini dəyişirik: .

Cavab:

.

Səlahiyyətləri olan kəsrlərin yeni məxrəcə endirilməsi rasional kəsrlərin yeni məxrəcə endirilməsi ilə eyni şəkildə həyata keçirilir. Eyni zamanda əlavə amil də tapılır və kəsrin payı və məxrəci ona vurulur. Bu hərəkəti yerinə yetirərkən, yeni bir məxrəcə endirilmənin DPV-nin daralmasına səbəb ola biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Bunun baş verməsinin qarşısını almaq üçün orijinal ifadə üçün ODZ dəyişənlərindən dəyişənlərin heç bir dəyəri üçün əlavə amilin itməməsi lazımdır.

Misal.

Kəsrləri yeni məxrəcə gətirin: a) məxrəcə a, b) məxrəcə.

Həll.

a) Bu halda hansı əlavə amilin əldə olunmasına kömək etdiyini başa düşmək olduqca asandır istənilən nəticə. Bu çarpan a 0,3-dür, çünki a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Qeyd edək ki, a dəyişəninin məqbul dəyərlər diapazonunda (bu, bütün müsbət həqiqi ədədlər toplusudur) a dərəcəsi 0,3 itmir, buna görə də verilmiş kəsrin payını və məxrəcini çoxaltmaq hüququmuz var. bu əlavə faktorla:

b) Məxrəcə daha yaxından baxsaq, bunu tapırıq

və bu ifadəni vurmaq kubların cəmini verəcək və , yəni . Və bu, ilkin fraksiyanı gətirməli olduğumuz yeni məxrəcdir.

Beləliklə, biz əlavə bir amil tapdıq. İfadə x və y dəyişənlərinin məqbul dəyərləri diapazonunda itmir, buna görə də kəsrin payını və məxrəcini onunla çarpa bilərik:

Cavab:

a) , b) .

Tərkibində dərəcələri olan fraksiyaların azaldılmasında da yeni heç nə yoxdur: pay və məxrəc müəyyən sayda faktor kimi təmsil olunur, pay və məxrəcin eyni amilləri isə azalır.

Misal.

Kəsiri azaldın: a) , b).

Həll.

a) Birincisi, pay və məxrəci 15-ə bərabər olan 30 və 45 rəqəmləri ilə azaltmaq olar. Həmçinin, açıq-aydın, x 0,5 +1 və azalda bilərsiniz . Bizdə olanlar:

b) Bu zaman say və məxrəcdə eyni amillər dərhal görünmür. Onları əldə etmək üçün ilkin çevrilmələr etməlisiniz. Bu halda, onlar məxrəci kvadratlar düsturunun fərqinə uyğun olaraq amillərə parçalamaqdan ibarətdir:

Cavab:

a)

b) .

Kəsrləri yeni məxrəcə endirmək və kəsrləri azaltmaq, əsasən, kəsrlər üzərində əməliyyatları yerinə yetirmək üçün istifadə olunur. Hərəkətlər məlum qaydalara uyğun həyata keçirilir. Kəsrləri toplayanda (çıxarkən) onlar ümumi məxrəcə endirilir, bundan sonra saylar əlavə olunur (çıxılır) və məxrəc eyni qalır. Nəticə kəsrdir ki, onun payı sayların hasili, məxrəci isə məxrəclərin hasilidir. Kəsrə bölmə onun qarşılığı ilə vurmaqdır.

Misal.

Addımları izləyin .

Həll.

Əvvəlcə mötərizədə olan kəsrləri çıxarırıq. Bunun üçün biz onları ortaq məxrəcə gətiririk, yəni , sonra ədədləri çıxarın:

İndi kəsrləri çoxaldırıq:

Aydındır ki, x 1/2 gücündə azalma mümkündür, bundan sonra bizdə var .

Siz həmçinin kvadratların fərqi düsturundan istifadə edərək məxrəcdəki güc ifadəsini sadələşdirə bilərsiniz: .

Cavab:

Misal.

Güc ifadəsini sadələşdirin .

Həll.

Aydındır ki, bu kəsr (x 2.7 +1) 2 ilə azaldıla bilər, bu kəsr verir. . Aydındır ki, x-in səlahiyyətləri ilə başqa bir şey etmək lazımdır. Bunun üçün yaranan kəsri məhsula çeviririk. Bu, bizə eyni əsaslarla səlahiyyətlərin bölünməsi xüsusiyyətindən istifadə etmək imkanı verir: . Və prosesin sonunda son məhsuldan fraksiyaya keçirik.

Cavab:

.

Və əlavə edirik ki, göstəricinin işarəsini dəyişdirməklə mənfi göstəriciləri olan amilləri paydan məxrəcə və ya məxrəcdən paya köçürmək mümkündür və bir çox hallarda arzuolunandır. Bu cür çevrilmələr çox vaxt sadələşdirir əlavə tədbirlər. Məsələn, güc ifadəsi ilə əvəz edilə bilər.

Kökləri və gücləri olan ifadələrin çevrilməsi

Tez-tez bəzi çevrilmələrin tələb olunduğu ifadələrdə, fraksiyalı eksponentlərlə dərəcələrlə yanaşı, köklər də olur. Belə bir ifadəni çevirmək üçün düzgün növ, əksər hallarda yalnız köklərə və ya yalnız güclərə getmək kifayətdir. Amma dərəcələrlə işləmək daha rahat olduğundan onlar adətən köklərdən dərəcələrə keçirlər. Bununla belə, orijinal ifadə üçün dəyişənlərin ODZ modula daxil olmaq və ya ODZ-ni bir neçə intervala bölmək ehtiyacı olmadan kökləri dərəcələrlə əvəz etməyə imkan verdikdə belə bir keçidin həyata keçirilməsi məqsədəuyğundur (biz bunu məqalədə ətraflı müzakirə etdik. məqalədə, kökdən qüvvələrə keçid və əksinə Rasional göstərici ilə dərəcə ilə tanış olduqdan sonra irrasional göstəricili dərəcə təqdim edilir ki, bu da ixtiyari real göstəricili dərəcə haqqında danışmağa imkan verir.Bu mərhələdə məktəb oxumağa başlayır eksponensial funksiya, bu, analitik olaraq dərəcə ilə verilir, bunun əsasında bir ədəd, göstəricidə isə dəyişəndir. Beləliklə, biz dərəcə bazasında ədədlər, eksponentdə isə dəyişənli ifadələr olan güc ifadələri ilə qarşılaşırıq və təbii olaraq belə ifadələrin çevrilməsini həyata keçirmək zərurəti yaranır.

Demək lazımdır ki, göstərilən tipli ifadələrin çevrilməsi adətən həll zamanı həyata keçirilməlidir eksponensial tənliklər və eksponensial bərabərsizliklər , və bu çevrilmələr olduqca sadədir. Əksər hallarda onlar dərəcənin xüsusiyyətlərinə əsaslanır və əsasən gələcəkdə yeni dəyişən təqdim etməyə yönəlib. Tənlik bizə onları nümayiş etdirməyə imkan verəcək 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Birincisi, eksponentlərində hansısa dəyişənin (və ya dəyişənli ifadənin) və ədədin cəmi tapılan eksponentlər hasillərlə əvəz olunur. Bu, sol tərəfdəki ifadənin ilk və son şərtlərinə aiddir:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Sonra, bərabərliyin hər iki tərəfi orijinal tənlik üçün ODZ x dəyişənində yalnız müsbət dəyərlər alan 7 2 x ifadəsi ilə bölünür (bu, bu cür tənliklərin həlli üçün standart bir texnikadır, biz danışmırıq. indi, buna görə də səlahiyyətləri olan ifadələrin sonrakı çevrilməsinə diqqət yetirin ):

İndi səlahiyyətləri olan fraksiyalar ləğv edilir, bu da verir .

Nəhayət, eyni eksponentlərə malik qüvvələrin nisbəti nisbətlərin səlahiyyətləri ilə əvəz olunur və bu tənliyə səbəb olur. , ekvivalentdir . Edilən çevrilmələr bizə ilkin eksponensial tənliyin həllini kvadrat tənliyin həllinə endirən yeni dəyişən təqdim etməyə imkan verir.

I. V. Boikov, L. D. Romanovaİmtahana hazırlaşmaq üçün tapşırıqlar toplusu. 1-ci hissə. Penza 2003.

Dərsin növü: biliklərin ümumiləşdirilməsi və sistemləşdirilməsi dərsi

Məqsədlər:

• maarifləndirici- dərəcənin tərifini, dərəcələri vurma və bölmə qaydalarını, dərəcəni dərəcəyə qaldırmaq, dərəcələri ehtiva edən nümunələri həll etmək bacarığını birləşdirmək,
• inkişaf edir- tələbələrin məntiqi təfəkkürünün inkişafı, öyrənilən materiala maraq;
• maarifləndirici- öyrənməyə məsuliyyətli münasibət, ünsiyyət mədəniyyəti, kollektivizm hissi tərbiyə etmək.

Avadanlıq: Kompüter, multimedia proyektoru, interaktiv lövhə, şifahi hesablama üçün “Dərcələr” təqdimatı, tapşırıq kartları, paylama materialları.

Dərs planı:

1. Təşkilat vaxtı.
2. Qaydaların təkrarlanması
3. Şifahi hesablama.
4. Tarixə istinad.
5. Qara lövhə işi.
6. Fizkultminutka.
7. İnteraktiv lövhədə işləyin.
8. Müstəqil iş.
9. Ev tapşırığı.
10. Dərsi yekunlaşdırmaq.

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam

Dərsin mövzusunun və məqsədlərinin təqdimatı.

Əvvəlki dərslərdə kəşf etdiniz gözəl dünya dərəcələri, dərəcələri çoxaltmağı və bölməyi öyrəndi, onları bir gücə qaldırdı. Bu gün biz nümunələr həll etməklə əldə edilmiş bilikləri möhkəmləndirməliyik.

II. Qaydaların təkrarlanması(şifahi)

1. Təbii göstərici ilə dərəcənin tərifini verin? (rəqəmin gücü ilə a Təbii göstəricisi 1-dən böyük olan məhsul adlanır nçarpanları, hər biri bərabərdir a.)
2. İki gücü necə çoxaltmaq olar? (Eyni baza ilə gücləri çoxaltmaq üçün bazanı eyni qoyub eksponentləri əlavə etməlisiniz.)
3. Dərəcəni dərəcəyə necə bölmək olar? (Eyni baza ilə gücləri bölmək üçün əsası eyni qoymalı və eksponentləri çıxarmalısınız.)
4. Bir məhsulu gücə necə qaldırmaq olar? (Bir məhsulu bir gücə yüksəltmək üçün hər bir faktoru o gücə yüksəltməlisiniz)
5. Bir dərəcəni dərəcəyə necə qaldırmaq olar? (Gücünü gücə yüksəltmək üçün bazanı eyni qoymalı və eksponentləri çoxaltmalısınız)

III. Şifahi hesablama(multimedia vasitəsilə)

IV. Tarixə istinad

Bütün problemlər təxminən eramızdan əvvəl 1650-ci ildə yazılmış Ahmes papirusundandır. e. tikinti təcrübəsi, torpaq sahələrinin sərhədlərinin müəyyən edilməsi və s. ilə bağlı tapşırıqlar mövzu üzrə qruplaşdırılıb. Əsasən bunlar üçbucağın, dördbucağın və dairənin sahələrini tapmaq, tam ədədlər və kəsrlərlə müxtəlif hərəkətlər, mütənasib bölmə, əmsalları tapmaq üçün tapşırıqlardır. müxtəlif dərəcələr, bir naməlum olan birinci və ikinci dərəcəli tənliklərin həlli.

Heç bir izahat və ya sübut yoxdur. İstənilən nəticə ya birbaşa verilir, ya da onun hesablanması üçün qısa alqoritm verilir. Qədim Şərq ölkələri elminə xas olan bu təqdimetmə üsulu onu deməyə əsas verir ki, orada riyaziyyat heç bir ümumi nəzəriyyə yaratmayan ümumiləşdirmələr və fərziyyələr vasitəsilə inkişaf etmişdir. Bununla belə, papirusda misirli riyaziyyatçıların kökləri çıxarıb gücə çatdıra bildikləri, tənlikləri həll edə bildikləri və hətta cəbrin əsaslarına sahib olduqlarına dair bir sıra dəlillər var.

V. Yazı lövhəsi ilə işləmək

İfadənin qiymətini rasional şəkildə tapın:

İfadənin dəyərini hesablayın:

VI. Bədən tərbiyəsi dəqiqəsi

1. gözlər üçün
2. boyun üçün
3. əllər üçün
4. gövdə üçün
5. ayaqları üçün

VII. Problemin həlli(interaktiv lövhə ekranı ilə)

Tənliyin kökü müsbət ədəddir?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10.381) 5 = (-0.012) 3 - 2x (x)< 0)

VIII. Müstəqil iş

IX. Ev tapşırığı

X. Dərsi yekunlaşdırmaq

Nəticələrin təhlili, qiymətlərin elan edilməsi.

Dərəcələr haqqında əldə etdiyimiz bilikləri orta məktəbdə tənliklərin, məsələlərin həllində tətbiq edəcəyik və bunlara imtahanda da tez-tez rast gəlinir.

I. iş n hər biri bərabər olan amillər açağırdı n- ədədin gücü a və işarələnmişdir an.

Nümunələr. Məhsulu dərəcə kimi yazın.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Həll.

1) mmmm=m 4, çünki dərəcənin tərifinə görə, hər biri bərabər olan dörd amilin məhsulu m, olacaq m-nin dördüncü gücü.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .

II. Bir neçə bərabər amillərin hasilinin tapılması əməliyyatına eksponentasiya deyilir. Bir gücə qaldırılan ədədə gücün əsası deyilir. Bazanın hansı gücə qaldırıldığını göstərən ədədə eksponent deyilir. Belə ki, an- dərəcə, a- dərəcə bazası n- eksponent. Misal üçün:

2 3 — dərəcədir. Nömrə 2 - dərəcənin əsası, göstərici bərabərdir 3 . Dərəcə dəyəri 2 3 bərabərdir 8, çünki 2 3 =2 2 2=8.

Nümunələr. Aşağıdakı ifadələri göstəricisiz yazın.

5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Həll.

5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. və 0 =1 Sıfır gücünə hər hansı bir ədəd (sıfırdan başqa) birə bərabərdir. Məsələn, 25 0 =1.
IV. a 1 = aBirinci dərəcəli hər hansı bir ədəd özünə bərabərdir.

v. a m∙ a n= a m + n Gücləri eyni baza ilə vurduqda, əsas eyni qalır və eksponentlər əlavə edin.

Nümunələr. Sadələşdirin:

9) a 3 a 7; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c c 4 .

Həll.

9) a 3 a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .

VI. a m: a n= a m - nEyni baza ilə səlahiyyətləri bölərkən əsas eyni qalır və bölücünün eksponenti dividend göstəricisindən çıxarılır.

Nümunələr. Sadələşdirin:

12) a 8: a 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12) a 8: a 3=a 8-3 =a 5 ; 13) m11: m4=m 11-4 =m 7 ; on dörd ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.

VII. (a m) n= amn Gücü bir gücə qaldırarkən, əsas eyni qalır və eksponentlər vurulur.

Nümunələr. Sadələşdirin:

15) (a 3) 4 ; 16) (s 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3 4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10 .

Qeyd məhsul amillərin dəyişməsindən dəyişmədiyi üçün, sonra:

15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 =(c 2) 5 .

VI II. (a ∙ b) n =a n ∙ b n Bir məhsulu bir gücə qaldırarkən, amillərin hər biri o gücə qaldırılır.

Nümunələr. Sadələşdirin:

17) (2a 2) 5 ; 18) 0,26 56; 19) 0,25 2 40 2 .

Həll.

17) (2a 2) 5\u003d 2 5 a 2 5 \u003d 32a 10; 18) 0,2 6 5 6=(0,2 5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 40 2\u003d (0,25 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.

IX. Kəsiri dərəcəyə qaldırarkən kəsrin həm payı, həm də məxrəci həmin dərəcəyə qaldırılır.

Nümunələr. Sadələşdirin:

Həll.

Səhifə 1/1 1

Mövzu üzrə dərs: "Eyni və fərqli göstəriciləri olan dərəcələrin vurulması və bölünməsi qaydaları. Nümunələr"

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, rəy, rəy, təkliflərinizi bildirməyi unutmayın. Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılır.

7-ci sinif üçün "Integral" onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
Dərslik üçün dərslik Yu.N. Makarycheva dərsliyi A.G. Mordkoviç

Dərsin məqsədi: ədədin səlahiyyətləri ilə əməliyyatları yerinə yetirməyi öyrənmək.

Başlamaq üçün “ədədin gücü” anlayışını xatırlayaq. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ kimi ifadə $a^n$ kimi göstərilə bilər.

Bunun əksi də doğrudur: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Bu bərabərlik "dərəcənin məhsul kimi qeyd edilməsi" adlanır. Bu, gücləri necə çoxaltmaq və bölmək lazım olduğunu müəyyən etməyə kömək edəcək.
Unutmayın:
a- dərəcənin əsası.
n- eksponent.
Əgər a n=1, bu rəqəm deməkdir a bir dəfə alındı ​​və müvafiq olaraq: $a^n= 1$.
Əgər a n=0, sonra $a^0= 1$.

Bunun niyə baş verdiyini, güclərin vurulması və bölünməsi qaydaları ilə tanış olduqda öyrənə bilərik.

vurma qaydaları

a) Eyni bazaya malik güclər vurularsa.
$a^n * a^m$ üçün səlahiyyətləri hasil olaraq yazırıq: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m )$.
Şəkil rəqəmi göstərir a almışlar n+m dəfə, sonra $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Misal.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Bu əmlak rəqəmi böyük bir gücə qaldırarkən işi asanlaşdırmaq üçün istifadə etmək rahatdır.
Misal.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Güclər fərqli baza ilə vurularsa, lakin eyni göstərici ilə.
$a^n * b^n$ üçün səlahiyyətləri hasil olaraq yazırıq: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Faktorları dəyişdirib nəticədə yaranan cütləri saysaq, alarıq: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Beləliklə, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Misal.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

bölmə qaydaları

a) Dərəcənin əsası eyni, göstəriciləri fərqlidir.
Daha kiçik göstərici ilə dərəcəni bölmək yolu ilə daha böyük göstərici ilə dərəcəni bölməyi düşünün.

Deməli, lazımdır $\frac(a^n)(a^m)$, harada n>m.

Dərəcələri kəsr kimi yazırıq:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Rahatlıq üçün bölməni sadə kəsr kimi yazırıq.

İndi kəsri azaldaq.

Belə çıxır: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
O deməkdir ki, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Bu xüsusiyyət nömrəni sıfırın gücünə yüksəltməklə vəziyyəti izah etməyə kömək edəcəkdir. Fərz edək ki n=m, onda $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Nümunələr.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Dərəcənin əsasları müxtəlif, göstəriciləri eynidir.
Tutaq ki, sizə $\frac(a^n)( b^n)$ lazımdır. Ədədlərin səlahiyyətlərini kəsr kimi yazırıq:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Rahatlıq üçün təsəvvür edək.

Kəsrin xassəsindən istifadə edərək, böyük bir kəsi kiçiklərin hasilinə bölürük, alırıq.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Müvafiq olaraq: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Misal.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.