Təbii göstərici və onun xüsusiyyətləri ilə. Dərəcələrin xüsusiyyətləri, düsturlar, sübutlar, nümunələr

I. iş n hər biri bərabər olan amillər Açağırdı n- ədədin gücü A və təyin edilir An.

Nümunələr. Məhsulu dərəcə kimi yazın.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Həll.

1) mmmm=m 4, çünki, dərəcənin tərifinə görə, hər biri bərabər olan dörd amilin məhsulu m, olacaq m-nin dördüncü gücü.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II. Bir neçə bərabər amillərin hasilinin tapıldığı hərəkətə eksponentasiya deyilir. Bir gücə qaldırılan ədədə gücün əsası deyilir. Bazanın hansı gücə qaldırıldığını göstərən ədədə eksponent deyilir. Belə ki, An- dərəcə, A- dərəcənin əsası; n- eksponent. Misal üçün:

2 3 — dərəcədir. Nömrə 2 dərəcənin əsasıdır, göstərici bərabərdir 3 . Dərəcə dəyəri 2 3 bərabərdir 8, çünki 2 3 =2·2·2=8.

Nümunələr. Aşağıdakı ifadələri göstəricisiz yazın.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3 ; 7) a 3 -b 3 ; 8) 2a 4 +3b 2 .

Həll.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. və 0 =1 Sıfır gücünə hər hansı bir ədəd (sıfırdan başqa) birə bərabərdir. Məsələn, 25 0 =1.
IV. a 1 =aBirinci dərəcəli hər hansı bir ədəd özünə bərabərdir.

V. a m∙ a n= a m + n Gücləri ilə çarpan zaman eyni əsaslarlaəsas və göstəricilər eyni qalır qatlanmış

Nümunələr. Sadələşdirin:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Həll.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. a m: a n= a m - nEyni baza ilə səlahiyyətləri bölərkən əsas eyni qalır və bölücünün eksponenti dividend göstəricisindən çıxarılır.

Nümunələr. Sadələşdirin:

12) a 8:a 3; 13) m 11:m 4 ; 14) 5 6:5 4 .

12)a 8:a 3=a 8-3 =a 5 ; 13)m 11:m 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (a m) n= a mn Gücü bir gücə qaldırarkən, əsas eyni qalır və eksponentlər vurulur.

Nümunələr. Sadələşdirin:

15) (a 3) 4 ; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3·4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.

Qeyd, bu, faktorların yenidən təşkilindən məhsul dəyişmədiyi üçün, Bu:

15) (a 3) 4 = (a 4) 3 ; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

VI II. (a∙b) n =a n ∙b n Bir məhsulu bir gücə qaldırarkən, amillərin hər biri o gücə qaldırılır.

Nümunələr. Sadələşdirin:

17) (2a 2) 5 ; 18) 0,2 6 ·5 6 ; 19) 0,25 2 40 2.

Həll.

17) (2a 2) 5=2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 5 6=(0,2·5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 40 2=(0,25·40) 2 =10 2 =100.

IX. Kəsiri dərəcəyə qaldırarkən kəsrin həm payı, həm də məxrəci həmin dərəcəyə qaldırılır.

Nümunələr. Sadələşdirin:

Həll.

Səhifə 1/1 1

Mövzuya dair dərs: "Eyni və fərqli göstəricilərlə gücün vurulması və bölünməsi qaydaları. Nümunələr"

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, öz şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın. Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.

7-ci sinif üçün Integral onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
Dərslik üçün dərslik Yu.N. Makarycheva dərsliyi A.G. Mordkoviç

Dərsin məqsədi: ədədlərin səlahiyyətləri ilə əməliyyatları yerinə yetirməyi öyrənin.

Əvvəlcə "rəqəmin gücü" anlayışını xatırlayaq. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ formasının ifadəsi $a^n$ kimi göstərilə bilər.

Bunun əksi də doğrudur: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Bu bərabərlik “dərəcənin məhsul kimi qeyd edilməsi” adlanır. Bu, gücləri necə çoxaltmaq və bölmək lazım olduğunu müəyyən etməyə kömək edəcək.
Unutmayın:
a– dərəcənin əsası.
n- eksponent.
Əgər n=1 sayı deməkdir A bir dəfə aldı və müvafiq olaraq: $a^n= 1$.
Əgər n= 0, sonra $a^0= 1$.

Bunun niyə baş verdiyini güclərin vurulması və bölünməsi qaydaları ilə tanış olduqda öyrənə bilərik.

Çoxalma qaydaları

a) Eyni bazaya malik güclər vurularsa.
$a^n * a^m$ almaq üçün dərəcələri hasil olaraq yazırıq: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
Şəkil rəqəmi göstərir A almışlar n+m dəfə, sonra $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Misal.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Bu əmlak rəqəmi daha yüksək gücə qaldırarkən işi asanlaşdırmaq üçün istifadə etmək rahatdır.
Misal.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Əsasları müxtəlif, lakin göstəricisi eyni olan dərəcələr vurularsa.
$a^n * b^n$ almaq üçün dərəcələri hasil olaraq yazırıq: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Faktorları dəyişdirib nəticədə yaranan cütləri saysaq, alarıq: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Beləliklə, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Misal.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Bölmə qaydaları

a) Dərəcənin əsası eynidir, göstəricilər müxtəlifdir.
Daha kiçik eksponentli gücü bölmək yolu ilə daha böyük eksponentli gücü bölməyi düşünün.

Deməli, bizə lazımdır $\frac(a^n)(a^m)$, Harada n>m.

Dərəcələri kəsr kimi yazaq:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Rahatlıq üçün bölməni sadə kəsr kimi yazırıq.

İndi kəsri azaldaq.

Belə çıxır: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
O deməkdir ki, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Bu xüsusiyyət nömrəni sıfıra yüksəltməklə vəziyyəti izah etməyə kömək edəcəkdir. Fərz edək ki n=m, onda $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Nümunələr.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Dərəcənin əsasları müxtəlif, göstəriciləri eynidir.
Tutaq ki, $\frac(a^n)( b^n)$ lazımdır. Ədədlərin səlahiyyətlərini kəsr kimi yazaq:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Rahatlıq üçün təsəvvür edək.

Kəsrin xassəsindən istifadə edərək böyük kəsri kiçiklərin hasilinə bölürük, alırıq.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Müvafiq olaraq: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Misal.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

əsas məqsəd

Tələbələri dərəcələrin xüsusiyyətləri ilə təbii göstəricilərlə tanış etmək və dərəcələrlə əməliyyatları yerinə yetirməyi öyrətmək.

Mövzu “Dərs və onun xüsusiyyətləri”üç sual daxildir:

Təbii göstərici ilə dərəcənin təyini.
Səlahiyyətlərin çoxaldılması və bölünməsi.
Məhsulun və dərəcənin eksponentasiyası.

Nəzarət sualları

Təbii göstəricisi 1-dən böyük olan dərəcənin tərifini tərtib edin. Misal göstərin.
1-ci göstərici ilə dərəcənin tərifini tərtib edin. Misal göstərin.
Gücləri ehtiva edən ifadənin qiymətini hesablayarkən əməliyyatların ardıcıllığı necədir?
Dərəcənin əsas xassəsini formalaşdırın. Bir misal göstərin.
Güclərin eyni əsaslarla vurulması qaydasını tərtib edin. Bir misal göstərin.
Eyni əsaslarla səlahiyyətlərin bölünməsi qaydasını tərtib edin. Bir misal göstərin.
Məhsulu gücə yüksəltmək qaydasını tərtib edin. Bir misal göstərin. (ab) n = a n b n eyniliyini sübut edin.
Gücü bir gücə yüksəltmək qaydasını formalaşdırın. Bir misal göstərin. (a m) n = a m n eyniliyini sübut edin.

Dərəcənin tərifi.

Nömrənin gücü a təbii göstərici ilə n, 1-dən böyük, hər biri bərabər olan n faktorun hasilidir A. Nömrənin gücü A eksponent 1 ilə ədədin özüdür A.

Baza ilə dərəcə A və göstərici n belə yazılır: və n. Oxuyur " A dərəcəyə qədər n”; “ ədədin n-ci dərəcəsi A ”.

Dərəcənin tərifinə görə:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Gücün dəyərinin tapılması deyilir gücə yüksəltməklə .

1. Eksponentasiya nümunələri:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. İfadələrin mənalarını tapın:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Seçim 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Rəqəmi kvadrat şəklində təqdim edin:

3. Rəqəmləri kub şəklində təqdim edin:

4. İfadələrin mənalarını tapın:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Güclərin çoxaldılması.

İstənilən a ədədi və ixtiyari m və n ədədləri üçün aşağıdakılar yerinə yetirilir:

a m a n = a m + n .

Sübut:

Qayda : Gücləri eyni əsaslarla çoxaldarkən, əsaslar eyni qalır və güclərin eksponentləri əlavə olunur.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Seçim 1

1. Dərəcə kimi təqdim edin:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Dərəcə kimi təqdim edin və cədvəldən dəyəri tapın:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Dərəcələrin bölünməsi.

İstənilən a0 ədədi və ixtiyari natural m və n ədədləri üçün m>n aşağıdakıları yerinə yetirir:

a m: a n = a m - n

Sübut:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

əmsalın tərifinə görə:

a m: a n = a m - n .

Qayda: Eyni baza ilə səlahiyyətləri bölərkən əsas eyni qalır və bölücünün eksponenti dividend göstəricisindən çıxarılır.

Tərif: Sıfır göstəricisi olan, sıfıra bərabər olmayan a ədədinin gücü birə bərabərdir:

çünki a n: a0-da a n = 1.

a) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7:a = a 7:a 1 = a 7 - 1 = a 6

d) 5-dən:0-dan = 5-dən:1-dən = 5-dən

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

V)

G)

d)

Seçim 1

1. Hissəni güc kimi təqdim edin:

2. İfadələrin mənalarını tapın:

Bir məhsulun gücünə yüksəltmək.

İstənilən a və b və ixtiyari natural n ədədi üçün:

(ab) n = a n b n

Sübut:

Dərəcənin tərifinə görə

(ab)n=

a və b faktorlarını ayrıca qruplaşdıraraq əldə edirik:

Məhsulun gücünün sübut edilmiş xüsusiyyəti üç və ya daha çox amilin məhsulunun gücünə qədər uzanır.

Misal üçün:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n.

Qayda: Məhsulu bir gücə qaldırarkən, hər bir amil o gücə qaldırılır və nəticə vurulur.

1. Gücü artırın:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 =2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 = (-5) 3 y 3 = -125 y 3

e) (-0,2 x y) 2 = (-0,2) 2 x 2 y 2 = 0,04 x 2 y 2

e) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. İfadənin qiymətini tapın:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

d)

Seçim 1

1. Gücü artırın:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. İfadənin qiymətini tapın:

b) (5 7 20) 2

Güclü bir gücə yüksəltmək.

İstənilən a ədədi və ixtiyari natural m və n ədədləri üçün:

(a m) n = a m n

Sübut:

Dərəcənin tərifinə görə

(a m) n =

Qayda: Gücü bir gücə qaldırarkən, əsas eyni qalır və eksponentlər vurulur.

1. Gücü artırın:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. İfadələri sadələşdirin:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14

d) (y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

A)

b)

Seçim 1

1. Gücü artırın:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. İfadələri sadələşdirin:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y 9) 2

3. İfadələrin mənasını tapın:

Ərizə

Dərəcənin tərifi.

Seçim 2

1-ci məhsulu güc olaraq yazın:

a) 0,4 0,4 0,4

c) a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bс) (bс) (bс)

2. Rəqəmi kvadrat şəklində təqdim edin:

3. Rəqəmləri kub şəklində təqdim edin:

4. İfadələrin mənalarını tapın:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Seçim 3

1. Məhsulu güc olaraq yazın:

a) 0,5 0,5 0,5

c) ilə ilə ilə ilə ilə ilə ilə

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Ədədi kvadrat şəklində təqdim edin: 100; 0,49; .

3. Rəqəmləri kub şəklində təqdim edin:

4. İfadələrin mənalarını tapın:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Seçim 4

1. Məhsulu güc olaraq yazın:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-a) (-a) (-a)

e) (e.ə.) (e.ə.) (e.ə.) (e.ə.)

2. Rəqəmi kvadrat şəklində təqdim edin:

3. Rəqəmləri kub şəklində təqdim edin:

4. İfadələrin mənalarını tapın:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Güclərin çoxaldılması.

Seçim 2

1. Dərəcə kimi təqdim edin:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Dərəcə kimi təqdim edin və cədvəldən dəyəri tapın:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Seçim 3

1. Dərəcə kimi təqdim edin:

a) a 3 a 5 f) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 q) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Dərəcə kimi təqdim edin və cədvəldən dəyəri tapın:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Seçim 4

1. Dərəcə kimi təqdim edin:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 q) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Dərəcə kimi təqdim edin və cədvəldən dəyəri tapın:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Dərəcələrin bölünməsi.

Seçim 2

1. Hissəni güc kimi təqdim edin:

2. İfadələrin mənalarını tapın.

Video dərslik 2: Təbii göstərici və onun xüsusiyyətləri ilə dərəcə

Mühazirə:

Təbii göstərici ilə dərəcə

Altında dərəcə bəzi nömrə "A" müəyyən göstərici ilə "n"ədədin hasilini başa düşmək "A"öz başına "n" bir dəfə.

Təbii eksponentli dərəcə haqqında danışarkən, bu rəqəm deməkdir "n" tam ədəd olmalıdır və mənfi olmamalıdır.

A- hansı rəqəmin özünə vurulmalı olduğunu göstərən dərəcənin əsası;

n- eksponent - bazanın özünə neçə dəfə vurulması lazım olduğunu bildirir.

Misal üçün:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Bu zaman dərəcənin əsası “8” rəqəmi, dərəcənin göstəricisi “4” rəqəmi, dərəcənin qiyməti isə “4096” rəqəmi başa düşülür.

Dərəcə hesablanarkən ən böyük və ən çox yayılmış səhv göstəricini bazaya vurmaqdır - BU DÜZGÜN DEYİL!

Təbii göstəricisi olan dərəcə haqqında danışarkən, biz yalnız göstəricini nəzərdə tuturuq (n) natural ədəd olmalıdır.

Rəqəm sətrindəki istənilən ədədi əsas götürə bilərsiniz.

Misal üçün,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Baza və göstərici üzərində yerinə yetirilən riyazi əməliyyata eksponentasiya deyilir.

Toplama\çıxma birinci mərhələnin riyazi əməliyyatı, vurma/bölmə ikinci mərhələnin hərəkəti, gücü yüksəltmək üçüncü mərhələnin riyazi hərəkətidir, yəni ən yüksəklərdən biridir.

Riyazi əməliyyatların bu iyerarxiyası hesablamada ardıcıllığı müəyyən edir. Əgər bu hərəkət əvvəlki ikisi arasında olan tapşırıqlarda baş verirsə, o zaman əvvəlcə edilir.

Misal üçün:

15 + 6 *2 2 = 39

Bu nümunədə əvvəlcə 2-ni gücə yüksəltməlisiniz, yəni

sonra nəticəni 6-ya vurun, yəni

Təbii eksponentli güc yalnız xüsusi hesablamalar üçün deyil, həm də böyük rəqəmlərin yazılmasının rahatlığı üçün istifadə olunur. Bu zaman anlayışdan da istifadə olunur "standart nömrə forması". Bu qeyd 1-dən 9-a qədər müəyyən bir rəqəmi hansısa eksponentlə 10-a bərabər gücə vurmağı nəzərdə tutur.

Misal üçün, Yerin radiusunu standart formada qeyd etmək üçün aşağıdakı qeydlərdən istifadə edin:

6400000 m = 6.4 * 10 6 m,

və Yerin kütləsi, məsələn, aşağıdakı kimi yazılır:

Dərəcənin xüsusiyyətləri

Nümunələri dərəcələrlə həll etməyin rahatlığı üçün onların əsas xüsusiyyətlərini bilməlisiniz:

1. Eyni bazaya malik iki gücü çoxaltmaq lazımdırsa, bu halda əsas dəyişmədən qalmalı və eksponentlər əlavə edilməlidir.

a n * a m = a n+m

Misal üçün:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Bazaları eyni olan iki qüdrəti bölmək lazımdırsa, bu halda baza dəyişməz qalmalı və eksponentlər çıxılmalıdır. Nəzərə alın ki, təbii eksponentli güclərlə əməliyyatlar üçün dividend göstəricisi bölənin eksponentindən böyük olmalıdır. Əks halda, bu hərəkətin nisbəti mənfi eksponentli bir ədəd olacaqdır.

a n / a m = a n-m

Misal üçün,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Bir gücü digərinə qaldırmaq lazımdırsa, nəticənin əsası eyni sayda qalır və eksponentlər vurulur.

(a n) m = a n*m

Misal üçün,

4. Əgər ixtiyari ədədlərin hasilini müəyyən bir gücə yüksəltmək lazımdırsa, onda müəyyən bir paylama qanunundan istifadə edə bilərsiniz, onun əsasında müxtəlif əsasların məhsulunu eyni gücə alırıq.

(a * b) m = a m * b m

Misal üçün,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Bənzər bir xüsusiyyət səlahiyyətləri bölmək üçün istifadə edilə bilər, başqa sözlə, bir gücə adi ikiqat qaldırmaq üçün.

(a / b) m = a m / b m

6. Birə bərabər eksponentə qaldırılan istənilən ədəd orijinal ədədə bərabərdir.

a 1 = a

Misal üçün,

7. İstənilən ədədi eksponenti sıfır olan gücə qaldırarkən, bu hesablamanın nəticəsi həmişə bir olacaqdır.

və 0 = 1

Misal üçün,

Əvvəllər rəqəmin gücünün nə olduğu haqqında danışdıq. Problemlərin həllində faydalı olan müəyyən xüsusiyyətlərə malikdir: bunlar hamısıdır mümkün göstəricilər dərəcələri bu məqalədə araşdıracağıq. Onların necə sübut oluna biləcəyini və praktikada düzgün tətbiq oluna biləcəyini nümunələrlə də aydın şəkildə göstərəcəyik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Təbii eksponentli dərəcə haqqında əvvəllər tərtib edilmiş anlayışı xatırlayaq: bu, hər biri a-a bərabər olan n-ci amillərin məhsuludur. Həqiqi ədədləri necə düzgün vurmağı da yadda saxlamalıyıq. Bütün bunlar təbii eksponentli dərəcə üçün aşağıdakı xüsusiyyətləri formalaşdırmağa kömək edəcək:

Tərif 1

1. Dərəcənin əsas xüsusiyyəti: a m · a n = a m + n

Ümumiləşdirilə bilər: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Eyni əsaslara malik dərəcələr üçün bölmənin xassəsi: a m: a n = a m − n

3. Məhsul dərəcəsi xüsusiyyəti: (a · b) n = a n · b n

Bərabərlik genişləndirilə bilər: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Təbii dərəcəyə nisbətin xassəsi: (a: b) n = a n: b n

5. Gücü gücə qaldırın: (a m) n = a m n ,

Ümumiləşdirilə bilər: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Dərəcəni sıfırla müqayisə edin:

a > 0 olarsa, hər hansı n natural ədədi üçün a n sıfırdan böyük olacaq;
0-a bərabər olan n də sıfıra bərabər olacaq;
a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Bərabərlik a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. a m > a n bərabərsizliyi bir şərtlə doğru olacaq ki, m və n natural ədədlər, m n-dən böyük və a sıfırdan böyük və birdən kiçik olsun.

Nəticədə bir neçə bərabərlik əldə etdik; yuxarıda göstərilən bütün şərtlər yerinə yetirilərsə, onlar eyni olacaqdır. Bərabərliklərin hər biri üçün, məsələn, əsas əmlak üçün, hüququ dəyişdirə bilərsiniz və sol tərəf: a m · a n = a m + n - a m + n = a m · a n ilə eynidir. Bu formada tez-tez ifadələri sadələşdirmək üçün istifadə olunur.

1. Dərəcənin əsas xassəsindən başlayaq: a m · a n = a m + n bərabərliyi istənilən natural m və n və real a üçün doğru olacaqdır. Bu ifadəni necə sübut etmək olar?

Təbii eksponentlərlə səlahiyyətlərin əsas tərifi bərabərliyi amillərin məhsuluna çevirməyə imkan verəcəkdir. Belə bir rekord əldə edəcəyik:

Bunu qısaltmaq olar (vurmanın əsas xüsusiyyətlərini xatırlayın). Nəticədə təbii göstəricisi m + n olan a ədədinin gücünü aldıq. Beləliklə, dərəcənin əsas xüsusiyyəti mənasını verən m + n sübut edilmişdir.

Bunu təsdiq edən konkret misala baxaq.

Misal 1

Beləliklə, baza 2 olan iki gücümüz var. Onların təbii göstəriciləri müvafiq olaraq 2 və 3-dür. Bərabərliyimiz var: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Bu bərabərliyin etibarlılığını yoxlamaq üçün dəyərləri hesablayaq.

Lazımi riyazi əməliyyatları yerinə yetirək: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 və 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Nəticədə əldə etdik: 2 2 · 2 3 = 2 5. Mülkiyyət sübut edilmişdir.

Vurmanın xassələrinə görə xassəni üç və şəklində tərtib etməklə ümumiləşdirə bilərik daha çox göstəriciləri natural ədədlər və əsasları eyni olan qüvvələr. n 1, n 2 və s. natural ədədlərin sayını k hərfi ilə işarə etsək, düzgün bərabərliyi alarıq:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Misal 2

2. Bundan sonra, bölgü xassəsi adlanan və eyni əsaslara malik güclərə xas olan aşağıdakı xassəni sübut etməliyik: bu a m bərabərliyidir: a n = a m − n, istənilən natural m və n (və m) üçün etibarlıdır. n)) və sıfırdan fərqli istənilən real a-dan böyükdür.

Başlamaq üçün, formulada qeyd olunan şərtlərin mənasının dəqiq nə olduğunu aydınlaşdıraq. Sıfıra bərabər götürsək, onda sıfıra bölmə ilə nəticələnirik, bunu edə bilmirik (hər şeydən sonra 0 n = 0). Təbii göstəricilərin hüdudlarında qala bilməyimiz üçün m ədədinin n-dən böyük olması şərti lazımdır: m-dən n-i çıxarsaq, alırıq. natural ədəd. Şərt yerinə yetirilməzsə, biz mənfi ədəd və ya sıfırla nəticələnəcəyik və yenə də təbii göstəricilərlə dərəcələrin öyrənilməsindən kənara çıxacağıq.

İndi sübuta keçə bilərik. Əvvəllər öyrəndiklərimizə əsasən, fraksiyaların əsas xassələrini xatırlayaq və bərabərliyi aşağıdakı kimi formalaşdıraq:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

Ondan belə nəticə çıxara bilərik: a m − n · a n = a m

Bölmə və vurma arasındakı əlaqəni xatırlayaq. Buradan belə nəticə çıxır ki, a m − n a m və a n güclərinin nisbətidir. Bu, dərəcənin ikinci xüsusiyyətinin sübutudur.

Misal 3

Aydınlıq üçün, eksponentlərdə xüsusi ədədləri əvəz edək və dərəcənin əsasını π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3 kimi işarə edək.

3. Sonra məhsulun gücünün xassəsini təhlil edəcəyik: (a · b) n = a n · b n istənilən real a və b və təbii n üçün.

Təbii eksponentli gücün əsas tərifinə əsasən bərabərliyi aşağıdakı kimi yenidən formalaşdırmaq olar:

Vurmanın xüsusiyyətlərini xatırladaraq yazırıq: . Bu, n · b n ilə eyni deməkdir.

Misal 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Əgər bizdə üç və ya daha çox amil varsa, bu xassə də bu işə aiddir. Amillərin sayı üçün k notunu təqdim edək və yazaq:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Misal 5

Xüsusi ədədlərlə aşağıdakı düzgün bərabərliyi əldə edirik: (2 · (- 2, 3) · a) 7 = 2 7 · (- 2, 3) · 7 · a

4. Bundan sonra biz hissənin xassəsini sübut etməyə çalışacağıq: (a: b) n = a n: b n istənilən real a və b üçün, əgər b 0-a bərabər deyilsə və n natural ədəddirsə.

Bunu sübut etmək üçün dərəcələrin əvvəlki xüsusiyyətindən istifadə edə bilərsiniz. Əgər (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n və (a: b) n · b n = a n olarsa, onda (a: b) n bölünmə hissəsidir a n ilə b n.

Misal 6

Nümunə hesablayaq: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Misal 7

Dərhal bir nümunə ilə başlayaq: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

İndi gəlin bərabərliyin düzgün olduğunu bizə sübut edəcək bərabərliklər zəncirini tərtib edək:

Əgər nümunədə dərəcələrin dərəcələri varsa, bu xüsusiyyət onlar üçün də doğrudur. Hər hansı p, q, r, s natural ədədlərimiz varsa, bu doğru olacaq:

a p q y s = a p q y s

Misal 8

Gəlin bəzi xüsusiyyətlər əlavə edək: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10

6. Sübut etməli olduğumuz təbii göstəricili güclərin başqa bir xüsusiyyəti də müqayisə xüsusiyyətidir.

Əvvəlcə dərəcəni sıfırla müqayisə edək. Nə üçün a 0-dan böyükdürsə, n > 0 olur?

Bir müsbət ədədi digərinə vursaq, müsbət ədəd də alırıq. Bu faktı bilə-bilə deyə bilərik ki, bu, faktorların sayından asılı deyil - istənilən sayda müsbət ədədlərin vurulmasının nəticəsi müsbət ədəddir. Ədədlərin vurulmasının nəticəsi deyilsə, dərəcə nədir? O zaman müsbət bazası və təbii göstəricisi olan hər hansı a n qüvvəsi üçün bu doğru olacaqdır.

Misal 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 və 34 9 13 51 > 0

Həm də aydındır ki, bazası sıfıra bərabər olan gücün özü də sıfırdır. Hansı gücü sıfıra qaldırsaq da, sıfır olaraq qalacaq.

Misal 10

0 3 = 0 və 0 762 = 0

Əgər dərəcənin əsası mənfi ədəddirsə, o zaman sübut bir az daha mürəkkəbdir, çünki cüt/tək eksponent anlayışı vacib olur. Əvvəlcə göstəricinin cüt olması halını götürək və onu 2 · m ilə işarə edək, burada m natural ədəddir.

Düzgün çoxaltmağı xatırlayaq mənfi ədədlər: a · a hasilatı modulların hasilinə bərabərdir və buna görə də müsbət ədəd olacaqdır. Sonra və a 2 m dərəcəsi də müsbətdir.

Misal 11

Məsələn, (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 və - 2 9 6 > 0

Mənfi əsaslı eksponent tək ədəddirsə necə? Onu 2 · m − 1 ilə işarə edək.

Sonra

Bütün a · a hasilləri, vurmanın xassələrinə görə müsbətdir, onların hasili də müsbətdir. Ancaq onu qalan yeganə a ədədinə vursaq, son nəticə mənfi olacaq.

Sonra əldə edirik: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Bunu necə sübut etmək olar?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Misal 12

Məsələn, aşağıdakı bərabərsizliklər doğrudur: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Sadəcə, sonuncu xassəni sübut etməliyik: əsasları eyni və müsbət, göstəriciləri natural ədədlər olan iki gücümüz varsa, göstəricisi kiçik olan daha böyükdür; və təbii göstəriciləri və eyni əsasları birdən böyük olan iki gücün göstəricisi daha böyük olanı daha böyükdür.

Gəlin bu ifadələri sübut edək.

Əvvəlcə əmin olmalıyıq ki, a m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Mötərizədə a n çıxaraq, bundan sonra fərqimiz a n · (a m − n − 1) şəklini alacaq. Onun nəticəsi mənfi olacaq (çünki müsbət ədədin mənfi ədədə vurulmasının nəticəsi mənfidir). Axı, ilkin şərtlərə görə, m − n > 0, onda a m − n − 1 mənfi, birinci amil isə hər hansı bir amil kimi müsbətdir. təbii dərəcə müsbət əsasla.

Məlum oldu ki, a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Yuxarıdakı ifadənin ikinci hissəsini sübut etmək qalır: a m > a m > n və a > 1 üçün doğrudur. Fərqi göstərək və mötərizənin içindən a n qoyaq: (a m − n − 1) birdən böyük üçün n-in gücü verəcəkdir müsbət nəticə; və fərqin özü də ilkin şərtlərə görə müsbət olacaq və a > 1 üçün a m − n dərəcəsi birdən böyükdür. Belə çıxır ki, a m − a n > 0 və a m > a n , bunu sübut etməyimiz lazım idi.

Misal 13

Xüsusi rəqəmlərlə nümunə: 3 7 > 3 2

Tam ədədli dərəcələrin əsas xassələri

Müsbət tam eksponentləri olan dərəcələr üçün xassələr oxşar olacaq, çünki müsbət tam ədədlər natural ədədlərdir, yəni yuxarıda sübut edilmiş bütün bərabərliklər onlar üçün də doğrudur. Onlar eksponentlərin mənfi və ya sıfıra bərabər olduğu hallar üçün də uyğundur (dərəcənin əsasının özü sıfırdan fərqli olması şərti ilə).

Beləliklə, dərəcələrin xassələri istənilən a və b əsasları (bu ədədlər həqiqi və 0-a bərabər olmamaq şərti ilə) və istənilən m və n göstəriciləri (tam ədədlər olmaq şərtilə) üçün eynidir. Onları düsturlar şəklində qısaca yazaq:

Tərif 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a nb − n müsbət n tam ədədinə tabedir, müsbət a və b, a< b

səhər 7< a n , при условии целых m и n , m >n və 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Əgər dərəcənin əsası sıfırdırsa, onda a m və a n qeydləri yalnız təbii və müsbət m və n halında məna kəsb edir. Nəticə etibarı ilə, bütün digər şərtlər yerinə yetirildiyi təqdirdə yuxarıdakı formulaların sıfır bazaya malik gücə malik hallar üçün də uyğun olduğunu görürük.

Bu vəziyyətdə bu xüsusiyyətlərin sübutları sadədir. Təbii və tam eksponentli dərəcənin nə olduğunu, habelə həqiqi ədədlərlə əməliyyatların xüsusiyyətlərini xatırlamalıyıq.

Gücdən-güc xüsusiyyətinə nəzər salaq və bunun həm müsbət, həm də qeyri-müsbət tam ədədlər üçün doğru olduğunu sübut edək. (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) və (a − p) − q bərabərliklərini sübut etməklə başlayaq. = a (− p) · (− q)

Şərtlər: p = 0 və ya natural ədəd; q - oxşar.

Əgər p və q dəyərləri 0-dan böyükdürsə, (a p) q = a p · q alırıq. Biz əvvəllər oxşar bərabərliyi sübut etmişik. Əgər p = 0 olarsa, onda:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Buna görə də (a 0) q = a 0 q

q = 0 üçün hər şey tam olaraq eynidir:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Nəticə: (a p) 0 = a p · 0 .

Hər iki göstərici sıfırdırsa, (a 0) 0 = 1 0 = 1 və a 0 · 0 = a 0 = 1, yəni (a 0) 0 = a 0 · 0.

Yuxarıda sübut olunmuş dərəcədə nisbətlərin xassəsini xatırlayaq və yazaq:

1 a p q = 1 q a p q

Əgər 1 p = 1 1 … 1 = 1 və a p q = a p q olarsa, onda 1 q a p q = 1 a p q

Bu qeydi vurmanın əsas qaydalarına əsasən a (− p) · q-a çevirə bilərik.

Həmçinin: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

Və (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Dərəcənin qalan xassələri mövcud bərabərsizlikləri çevirməklə oxşar şəkildə sübut edilə bilər. Bu barədə ətraflı danışmayacağıq, yalnız çətin məqamları qeyd edəcəyik.

Sondan əvvəlki xüsusiyyətin sübutu: yadda saxlayın ki, a − n > b − n istənilən tam ədədlər üçün doğrudur. mənfi dəyərlər na və hər hansı müsbət a və b, bu şərtlə ki, a b-dən kiçik olsun.

Sonra bərabərsizlik aşağıdakı kimi çevrilə bilər:

1 a n > 1 b n

Sağ və sol tərəfləri fərq kimi yazaq və lazımi çevrilmələri həyata keçirək:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Xatırladaq ki, a şərti b-dən kiçikdir, onda təbii göstərici ilə dərəcənin tərifinə görə: - a n. 0 .

a n · b n müsbət ədədə çevrilir, çünki onun amilləri müsbətdir. Nəticədə b n - a n a n · b n kəsrinə sahibik ki, bu da son nəticədə müsbət nəticə verir. Deməli, 1 a n > 1 b n haradan a − n > b − n , bunu sübut etməyimiz lazım idi.

Tam göstəricili dərəcələrin son xassəsi, təbii göstəriciləri olan dərəcələrin xassəsinə bənzər şəkildə sübut edilir.

Rasional göstəriciləri olan qüdrətlərin əsas xassələri

Əvvəlki məqalələrdə rasional (kəsir) göstəricili dərəcənin nə olduğuna baxmışdıq. Onların xassələri tam eksponentli dərəcələrin xüsusiyyətləri ilə eynidir. Gəlin yazaq:

Tərif 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 üçün a > 0 və əgər m 1 n 1 > 0 və m 2 n 2 > 0, onda a ≥ 0 üçün (məhsul xassəsi) eyni əsaslarla dərəcələr).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, əgər a > 0 olarsa (hissə xassəsi).

3. a > 0 və b > 0 üçün a · b m n = a m n · b m n və əgər m 1 n 1 > 0 və m 2 n 2 > 0 olarsa, o zaman a ≥ 0 və (və ya) b ≥ 0 üçün (məhsulun xüsusiyyəti fraksiya dərəcəsi).

4. a: b m n = a m n: a > 0 və b > 0 üçün b m n və m n > 0 olarsa, a ≥ 0 və b > 0 üçün (kəsirin kəsr dərəcəsinə xassəsi).

5. a > 0 üçün a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 və əgər m 1 n 1 > 0 və m 2 n 2 > 0 olarsa, onda a ≥ 0 üçün (dərəcə xassəsi) dərəcələrlə).

6.a səh0 ; əgər səh< 0 - a p >b p (bərabər rasional göstəricilərlə güclərin müqayisəsi xassəsi).

7.a səh< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q 0-da< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Bu müddəaları sübut etmək üçün biz kəsr göstəricisi olan dərəcənin nə olduğunu, n-ci dərəcənin arifmetik kökünün hansı xüsusiyyətlərini və tam göstəricili dərəcənin xüsusiyyətlərini xatırlamalıyıq. Hər bir əmlaka nəzər salaq.

Kəsir eksponentli dərəcənin nə olduğuna görə alırıq:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 və a m 2 n 2 = a m 2 n 2, buna görə də, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Kökün xüsusiyyətləri bizə bərabərliklər əldə etməyə imkan verəcəkdir:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Buradan alırıq: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Gəlin çevirək:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Göstərici aşağıdakı kimi yazıla bilər:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Bu sübutdur. İkinci xüsusiyyət də eyni şəkildə sübuta yetirilir. Gəlin bərabərlik zəncirini yazaq:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Qalan bərabərliklərin sübutları:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Növbəti xassə: sübut edək ki, a və b-nin 0-dan böyük hər hansı dəyəri üçün, əgər a b-dən kiçikdirsə, a p təmin ediləcəkb səh

Rasional p ədədini m n kimi təqdim edək. Bu halda m tam, n natural ədəddir. Sonra şərtlər s< 0 и p >0 m-ə qədər uzanacaq< 0 и m >0 . m > 0 və a üçün< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Köklərin və çıxışın xassəsindən istifadə edirik: a m n< b m n

a və b-nin müsbət qiymətlərini nəzərə alaraq bərabərsizliyi m n kimi yenidən yazırıq.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Eyni şəkildə m< 0 имеем a a m >b m , a m n > b m n alırıq ki, bu da a m n > b m n və a p > b p deməkdir.

Bizə son əmlakın sübutunu təqdim etmək qalır. Sübut edək ki, p və q rasional ədədləri üçün 0-da p > q olur< a < 1 a p < a q , а при a >0 doğru olacaq a p > a q .

P və q rasional ədədləri ortaq məxrəcə endirilə və m 1 n və m 2 n kəsrlərini almaq olar.

Burada m 1 və m 2 tam ədədlər, n isə natural ədəddir. Əgər p > q, onda m 1 > m 2 (kəsrlərin müqayisəsi qaydası nəzərə alınmaqla). Sonra 0-da< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – a 1 m > a 2 m bərabərsizliyi.

Onlar aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Sonra transformasiya edə bilərsiniz və nəticədə:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Xülasə etmək üçün: p > q və 0 üçün< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

İrrasional göstəriciləri olan qüdrətlərin əsas xassələri

Rasional eksponentləri olan dərəcənin yuxarıda təsvir edilən bütün xassələrini bu dərəcədə genişləndirmək olar. Bu, əvvəlki məqalələrdən birində verdiyimiz tərifdən irəli gəlir. Bu xassələri qısaca tərtib edək (şərtlər: a > 0, b > 0, p və q göstəriciləri irrasional ədədlərdir):

Tərif 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a səhb səh

7.a səh< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, sonra a p > a q.

Beləliklə, a > 0 şərti ilə p və q göstəriciləri həqiqi ədədlər olan bütün dərəcələr eyni xassələrə malikdir.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın