"Artan və azalan funksiya"

Dərsin Məqsədləri:

1. Monotonluq intervallarını tapmağı öyrənin.

2. Vəziyyətin təhlilini və adekvat fəaliyyət üsullarının inkişafını təmin edən zehni qabiliyyətlərin inkişafı (analiz, sintez, müqayisə).

3. Mövzuya marağın formalaşması.

Dərslər zamanı

Bu gün biz törəmənin tətbiqini öyrənməyə davam edirik və onun funksiyaların öyrənilməsinə tətbiqi məsələsini nəzərdən keçiririk. Ön iş

İndi isə “Beyin fırtınası” funksiyasının xassələrinə bəzi təriflər verək

1. Funksiya nə adlanır?

2. x dəyişəninin adı nədir?

3. Y dəyişəninin adı nədir?

4. Bir funksiyanın əhatə dairəsi nədir?

5. Funksiya dəyəri dəsti nədir?

6. Cüt funksiya nədir?

7. Hansı funksiya tək adlanır?

8. Cüt funksiyanın qrafiki haqqında nə demək olar?

9. Tək funksiyanın qrafiki haqqında nə demək olar?

10. Artan funksiya nədir?

11. Azalan funksiya nədir?

12. Dövri funksiya nədir?

Riyaziyyat riyazi modelləri öyrənir. Ən vaciblərindən biri riyazi modellər funksiyadır. Mövcüd olmaq fərqli yollar funksiya təsvirləri. Hansı biri daha açıqdır?

- Qrafik.

- Qrafiki necə qurmaq olar?

- Xallara görə.

Qrafikin necə göründüyünü əvvəlcədən bilsəniz, bu üsul uyğundur. Məsələn, qrafik nədir kvadrat funksiya, xətti funksiya, tərs mütənasiblik, funksiyaları y = sinx? (Müvafiq düsturlar nümayiş etdirilir, tələbələr qrafik olan əyriləri adlandırırlar.)

Bəs bir funksiyanın və ya daha mürəkkəbinin qrafikini çəkmək istəsəniz nə olacaq? Siz bir neçə nöqtə tapa bilərsiniz, lakin funksiya bu nöqtələr arasında necə davranır?

Lövhəyə iki nöqtə qoyun, tələbələrdən “aralarındakı” qrafikin necə görünə biləcəyini göstərmələrini xahiş edin:

Bir funksiyanın necə davrandığını öyrənmək üçün onun törəməsi kömək edir.

Dəftərləri açın, nömrəni yazın, sinif işi.

Dərsin məqsədi: funksiyanın qrafikinin törəmə qrafiki ilə necə əlaqəli olduğunu öyrənin və iki növ məsələlərin həllini öyrənin:

1. Törəmə qrafikinə uyğun olaraq funksiyanın özünün artım və azalma intervallarını, həmçinin funksiyanın ekstremum nöqtələrini tapın;

2. Törəmənin intervallar üzrə işarələrinin sxeminə uyğun olaraq funksiyanın özünün artım və azalma intervallarını, həmçinin funksiyanın ekstremum nöqtələrini tapın.

Bu cür tapşırıqlar dərsliklərimizdə yoxdur, lakin onlara vahid dövlət imtahanının testlərində (A və B hissələri) rast gəlinir.

Bu gün dərsdə prosesin öyrənilməsinin ikinci mərhələsinin işinin kiçik bir elementini nəzərdən keçirəcəyik, funksiyanın xüsusiyyətlərindən birinin öyrənilməsi - monotonluq intervallarının müəyyən edilməsi.

Bu problemi həll etmək üçün əvvəllər müzakirə olunan bəzi məsələləri xatırlamaq lazımdır.

Beləliklə, bugünkü dərsimizin mövzusunu yazaq: Artan və azalan funksiyaların əlamətləri.

Artan və azalan funksiyanın əlamətləri:

Bu funksiyanın törəməsi (a; c), yəni f "(x)\u003e 0 intervalında x-in bütün qiymətləri üçün müsbət olarsa, funksiya bu intervalda artır.
Bu funksiyanın törəməsi (a; b) intervalında x-in bütün qiymətləri üçün mənfi olarsa, yəni f "(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

Monotonluq intervallarının tapılma qaydası:

Funksiyanın əhatə dairəsini tapın.

1. Funksiyanın birinci törəməsini tapın.

2. şurada qərar verir

Kritik nöqtələri tapın, tapılan kritik nöqtələrin funksiyanın oblastını böldüyü intervallarda birinci törəmənin işarəsini araşdırın. Funksiyaların monotonluq intervallarını tapın:

a) tərif sahəsi,

b) birinci törəməni tapın:,

c) kritik nöqtələri tapın: ; , və

3. Alınan intervallarda törəmənin işarəsini araşdırırıq, həlli cədvəl şəklində təqdim olunur.

ekstremal nöqtələrə işarə edir

Artan və azalan funksiyanın tədqiqinə dair bir neçə nümunəyə baxaq.

Maksimumun mövcud olması üçün kifayət qədər şərt kritik nöqtədən keçərkən törəmənin işarəsini “+” nöqtəsindən “-”-yə, minimum isə “-” nöqtəsindən “+”-a dəyişməkdir. Əgər törəmə kritik nöqtədən keçərkən işarəni dəyişmirsə, bu nöqtədə ekstremum yoxdur.

1. D(f) tapın.

2. f "(x) tapın.

3. Stasionar nöqtələri tapın, yəni. f"(x) = 0 və ya f"(x)-in olmadığı nöqtələr.
(Saxın sıfırlarında törəmə 0-dır, məxrəcin sıfırlarında törəmə yoxdur)

4. D(f) və bu nöqtələri koordinat xəttində tapın.

5. Fəsillərin hər birində törəmənin işarələrini təyin edin

6. İşarələri tətbiq edin.

7. Cavabı yazın.

Yeni materialın konsolidasiyası.

Şagirdlər cüt-cüt işləyir və həllərini dəftərlərinə yazır.

a) y \u003d x³ - 6 x² + 9 x - 9;

b) y \u003d 3 x² - 5x + 4.

Yazı lövhəsində iki nəfər işləyir.

a) y \u003d 2 x³ - 3 x² - 36 x + 40

b) y \u003d x4-2 x³

3.Dərsin xülasəsi

Ev tapşırığı: test (differensial)

Funksiyanın xarakterini müəyyən etmək və onun davranışı haqqında danışmaq üçün artım və azalma intervallarını tapmaq lazımdır. Bu proses funksiyaların kəşfiyyatı və planlaşdırılması adlanır. Ekstremum nöqtəsi funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini taparkən istifadə olunur, çünki onlar funksiyanı intervaldan artırır və ya azaldır.

Bu məqalə tərifləri ortaya qoyur, biz interval üzrə kifayət qədər artım və azalma əlaməti və ekstremumun mövcudluğu şərtini tərtib edirik. Bu, misalların və problemlərin həllinə aiddir. Funksiyaların diferensiallaşdırılması bölməsi təkrarlanmalıdır, çünki həll edərkən törəmənin tapılmasından istifadə etmək lazım gələcək.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Tərif 1

İstənilən x 1 ∈ X və x 2 ∈ X , x 2 > x 1 üçün f (x 2) > f (x 1) bərabərsizliyi mümkün olduqda y = f (x) funksiyası x intervalında artacaq. Başqa sözlə, arqumentin daha böyük dəyəri funksiyanın daha böyük dəyərinə uyğun gəlir.

Tərif 2

İstənilən x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 üçün f (x 2) > f (x 1) bərabərliyi nəzərə alındıqda y = f (x) funksiyası x intervalında azalan hesab olunur. mümkün. Başqa sözlə, daha böyük bir funksiya dəyəri daha kiçik bir arqument dəyərinə uyğun gəlir. Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.

Şərh: Artan və enən intervalın sonunda funksiya müəyyən və davamlı olduqda, yəni (a; b) burada x = a, x = b olduqda, nöqtələr artan və enən intervala daxil edilir. Bu tərifə zidd deyil, yəni x intervalında baş verir.

Y = sin x tipli elementar funksiyaların əsas xassələri arqumentlərin real qiymətləri üçün müəyyənlik və davamlılıqdır. Buradan əldə edirik ki, sinusun artımı intervalda baş verir - π 2; π 2, onda seqmentdəki artım formaya malikdir - π 2; π 2.

Tərif 3

x 0 nöqtəsi adlanır maksimum nöqtə y = f (x) funksiyası üçün x-in bütün qiymətləri üçün f (x 0) ≥ f (x) bərabərsizliyi doğru olduqda. Maksimum funksiya nöqtədəki funksiyanın qiymətidir və y m a x ilə işarələnir.

Bütün x qiymətləri üçün f (x 0) ≤ f (x) bərabərsizliyi doğru olduqda, x 0 nöqtəsi y \u003d f (x) funksiyası üçün minimum nöqtə adlanır. Xüsusiyyət Minimum nöqtədə funksiyanın qiymətidir və y m i n formasının qeydinə malikdir.

x 0 nöqtəsinin məhəllələri nəzərə alınır ekstremal nöqtələr, və ekstremum nöqtələrinə uyğun gələn funksiyanın qiyməti. Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.

Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiyməti olan funksiyanın ekstremumu. Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.

Birinci rəqəmdə deyilir ki, [ a seqmentindən funksiyanın ən böyük qiymətini tapmaq lazımdır; b]. Maksimum nöqtələrdən istifadə edərək tapılır və funksiyanın maksimum dəyərinə bərabərdir və ikinci rəqəm daha çox x = b nöqtəsində maksimum nöqtəni tapmağa bənzəyir.

Funksiyaların artırılması və azaldılması üçün kifayət qədər şərait

Funksiyanın maksimal və minimumlarını tapmaq üçün funksiya bu şərtləri ödədiyi halda ekstremumun işarələrini tətbiq etmək lazımdır. Birinci xüsusiyyət ən çox istifadə olunur.

Ekstremum üçün ilk kifayət qədər şərt

Tərif 4

x 0 nöqtəsinin ε qonşuluğunda diferensiallanan və verilmiş x 0 nöqtəsində davamlılığa malik olan y = f (x) funksiyası verilsin. Beləliklə, biz bunu əldə edirik

• f "(x) > 0 olduqda x ∈ (x 0 - ε; x 0) və f" (x) ilə< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• f"(x) olduqda< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) üçün 0, onda x 0 minimum nöqtədir.

Başqa sözlə, biz onların işarə qoyma şərtlərini əldə edirik:

• funksiya x 0 nöqtəsində kəsilməz olduqda, onda onun işarəsi dəyişən törəmə olur, yəni +-dan --ə qədər, bu o deməkdir ki, nöqtə maksimum adlanır;
• funksiya x 0 nöqtəsində kəsilməz olduqda, onda işarəsi --dən +-ə dəyişən törəmə olur, bu o deməkdir ki, nöqtə minimum adlanır.

Funksiyanın maksimum və minimum nöqtələrini düzgün müəyyən etmək üçün onları tapmaq üçün alqoritmə əməl etməlisiniz:

• tərif sahəsini tapmaq;
• funksiyanın bu sahədə törəməsini tapın;
• funksiyanın mövcud olmadığı sıfırları və nöqtələri müəyyənləşdirin;
• törəmənin işarəsinin intervallar üzrə təyin edilməsi;
• funksiyanın işarəsini dəyişdiyi nöqtələri seçin.

Alqoritmi funksiyanın ekstremumunu tapmaq üçün bir neçə nümunənin həlli nümunəsində nəzərdən keçirin.

Misal 1

Yüksək və aşağı nöqtələri tapın verilmiş funksiya y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Həll

Bu funksiyanın oblastı x = 2 istisna olmaqla bütün real ədədlərdir. Əvvəlcə funksiyanın törəməsini tapırıq və alırıq:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x) - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

Buradan görürük ki, funksiyanın sıfırları x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, yəni hər mötərizə sıfıra bərabər olmalıdır. Nömrə xəttində işarələyin və əldə edin:

İndi hər intervaldan törəmənin əlamətlərini təyin edirik. Aralığa daxil olan nöqtəni seçmək, onu ifadədə əvəz etmək lazımdır. Məsələn, x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6 nöqtələri.

Bunu anlayırıq

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, buna görə də - ∞;- 1 intervalı müsbət törəməyə malikdir.

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

İkinci intervalın sıfırdan az olduğu ortaya çıxdığından, seqmentdəki törəmə mənfi olacaq. Üçüncüsü mənfi ilə, dördüncüsü artı ilə. Davamlılığı müəyyən etmək üçün törəmənin işarəsinə diqqət yetirmək lazımdır, əgər dəyişirsə, bu, ekstremum nöqtəsidir.

Alırıq ki, x = - 1 nöqtəsində funksiya davamlı olacaq, yəni törəmə işarəni +-dan --ə dəyişəcək. Birinci işarəyə görə, bizdə x = - 1 maksimum nöqtədir, yəni alırıq

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

X = 5 nöqtəsi funksiyanın davamlı olduğunu göstərir və törəmə işarəni --dən +-a dəyişəcək. Deməli, x=-1 minimum nöqtədir və onun tapılması formaya malikdir

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Qrafik şəkil

Cavab: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .

Diqqət yetirməyə dəyər ki, ekstremumun ilk kifayət işarəsinin istifadəsi funksiyanın x 0 nöqtəsindən diferensiallanmasını tələb etmir və bu, hesablamanı asanlaşdırır.

Misal 2

y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 funksiyasının maksimum və minimum nöqtələrini tapın.

Həll.

Funksiya sahəsi bütün həqiqi ədədlərdir. Bu formanın tənliklər sistemi kimi yazıla bilər:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Sonra törəməni tapmaq lazımdır:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

X = 0 nöqtəsinin törəməsi yoxdur, çünki birtərəfli sərhədlərin dəyərləri fərqlidir. Bunu alırıq:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Buradan belə nəticə çıxır ki, funksiya x = 0 nöqtəsində fasiləsizdir, onda hesablayırıq

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Törəmə sıfır olduqda arqumentin dəyərini tapmaq üçün hesablamalar aparmaq lazımdır:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Hər bir intervalın işarəsini müəyyən etmək üçün alınan bütün nöqtələr xətt üzərində qeyd edilməlidir. Buna görə də, hər bir interval üçün ixtiyari nöqtələrdə törəmə hesablamaq lazımdır. Məsələn, x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 dəyərləri olan xalları götürə bilərik. Bunu anlayırıq

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Düz xətt üzərində olan şəkil formaya malikdir

Beləliklə, bir nöqtəyə gəlirik ki, ekstremumun ilk əlamətinə müraciət etmək lazımdır. Bunu hesablayırıq və alırıq

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , onda buradan maksimum nöqtələr x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3 qiymətlərinə malikdir

Minimumların hesablanmasına keçək:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Funksiyanın maksimumunu hesablayaq. Bunu anlayırıq

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Qrafik şəkil

Cavab:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 2 m 3 = = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Əgər f "(x 0) = 0 funksiyası verilmişdirsə, onun f "" (x 0) > 0 ilə f "" (x 0) olarsa, x 0-nın minimum nöqtə olduğunu alırıq.< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Misal 3

y = 8 x x + 1 funksiyasının maksimal və minimumlarını tapın.

Həll

Əvvəlcə tərif sahəsini tapırıq. Bunu anlayırıq

D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Funksiyanı fərqləndirmək lazımdır, bundan sonra alırıq

y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

x = 1 olduqda, törəmə sıfıra bərabər olur, yəni nöqtə mümkün ekstremumdur. Aydınlaşdırmaq üçün ikinci törəməni tapmaq və x \u003d 1-də dəyəri hesablamaq lazımdır. Biz əldə edirik:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1) ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

Beləliklə, ekstremum üçün 2 kifayət şərtdən istifadə edərək, x = 1-in maksimum nöqtə olduğunu alırıq. Əks halda, giriş y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 olur.

Qrafik şəkil

Cavab: y m a x = y (1) = 4 ..

Tərif 5

y = f (x) funksiyasının verilmiş x 0 nöqtəsinin ε qonşuluğunda n-ci sıraya qədər törəməsi, x 0 nöqtəsində isə n + 1-ci sıraya qədər törəməsi var. Sonra f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Buradan belə nəticə çıxır ki, n cüt ədəd olduqda, x 0 əyilmə nöqtəsi, n tək ədəd olduqda, x 0 ekstremum nöqtəsi və f (n + 1) (x 0) > 0, onda x hesab olunur. 0 minimum nöqtədir, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Misal 4

y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 funksiyasının maksimum və minimum nöqtələrini tapın.

Həll

Orijinal funksiya bütöv bir rasional funksiyadır, deməli, tərif sahəsi bütün real ədədlərdir. Funksiyanı fərqləndirmək lazımdır. Bunu anlayırıq

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x +) 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Bu törəmə x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 olduqda sıfıra gedəcək. Yəni nöqtələr mümkün ekstremum nöqtələri ola bilər. Üçüncü kifayət qədər ekstremal şərti tətbiq etmək lazımdır. İkinci törəmənin tapılması funksiyanın maksimum və minimumunun mövcudluğunu dəqiq müəyyən etməyə imkan verir. İkinci törəmə onun mümkün ekstremum nöqtələrində hesablanır. Bunu anlayırıq

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Bu o deməkdir ki, x 2 \u003d 5 7 maksimum nöqtədir. 3 kifayət qədər meyar tətbiq edərək, əldə edirik ki, n = 1 və f (n + 1) üçün 5 7< 0 .

x 1 = - 1, x 3 = 3 nöqtələrinin xarakterini müəyyən etmək lazımdır. Bunu etmək üçün üçüncü törəməni tapmalı, bu nöqtələrdəki dəyərləri hesablamalısınız. Bunu anlayırıq

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Deməli, x 1 = - 1 funksiyanın əyilmə nöqtəsidir, çünki n = 2 və f (n + 1) (- 1) ≠ 0 üçün. x 3 = 3 nöqtəsini araşdırmaq lazımdır. Bunun üçün 4-cü törəməni tapırıq və bu nöqtədə hesablamalar aparırıq:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Yuxarıdakılardan belə nəticəyə gəlirik ki, x 3 \u003d 3 funksiyanın minimum nöqtəsidir.

Qrafik şəkil

Cavab: x 2 \u003d 5 7 maksimum nöqtə, x 3 \u003d 3 - verilmiş funksiyanın minimum nöqtəsidir.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Kifayət qədər işarələr əsasında funksiyanın artım və azalma intervalları tapılır.

İşarələrin sözlərini təqdim edirik:

• funksiyanın törəməsi olarsa y = f(x) hər kəs üçün müsbətdir x intervaldan X, sonra funksiya ilə artır X;
• funksiyanın törəməsi olarsa y = f(x) hər hansı bir üçün mənfi x intervaldan X, sonra funksiya azalır X.

Beləliklə, funksiyanın artım və azalma intervallarını təyin etmək üçün aşağıdakılar lazımdır:

• funksiyanın əhatə dairəsini tapın;

• funksiyanın törəməsini tapın;

• yaranan intervallara funksiyanın müəyyən edilmiş və davamlı olduğu sərhəd nöqtələrini əlavə edin.

Alqoritmi aydınlaşdırmaq üçün bir nümunə nəzərdən keçirin.

Misal.

Funksiyanın artım və azalma intervallarını tapın.

Həll.

İlk addım funksiya tərifinin əhatə dairəsini tapmaqdır. Bizim nümunəmizdə məxrəcdəki ifadə itməməlidir, buna görə də, .

Gəlin törəmə funksiyaya keçək:

Kifayət qədər kriteriya ilə funksiyanın artım və azalma intervallarını müəyyən etmək üçün bərabərsizlikləri həll edirik. və tərif sahəsində. İnterval metodunun ümumiləşdirilməsindən istifadə edək. Numeratorun yeganə həqiqi köküdür x=2, və məxrəc də yox olur x=0. Bu nöqtələr təyinetmə sahəsini funksiyanın törəməsinin işarəsini saxladığı intervallara bölür. Bu nöqtələri say xəttində qeyd edək. Artılar və mənfi cəhətlər ilə biz şərti olaraq törəmənin müsbət və ya mənfi olduğu intervalları qeyd edirik. Aşağıdakı oxlar müvafiq intervalda funksiyanın artımını və ya azalmasını sxematik şəkildə göstərir.

Bu minvalla, və .

nöqtədə x=2 funksiya müəyyən və davamlıdır, ona görə də onu həm artan intervala, həm də azalan intervala əlavə etmək lazımdır. nöqtədə x=0 funksiya müəyyən edilməmişdir, ona görə də bu nöqtə tələb olunan intervallara daxil edilmir.

Alınan nəticələri onunla müqayisə etmək üçün funksiyanın qrafikini təqdim edirik.

Cavab: funksiyası ilə artır , interval üzrə azalır (0; 2] .

- Bir dəyişənli funksiyanın ekstremum nöqtələri. Ekstremum üçün kifayət qədər şərait

İntervalda müəyyən edilmiş və davamlı olan f(x) funksiyası monoton olmasın. Aralığın belə hissələri var [ , ] , daxili nöqtədə funksiya tərəfindən maksimum və minimum dəyərlərə çatır, yəni. arasında i.

Bildirilir ki, f(x) funksiyası bir nöqtədə maksimuma (və ya minimuma) malikdir, əgər bu nöqtə funksiyanın verildiyi intervalda olan belə bir qonşuluq (x 0 - ,x 0 +) ilə əhatə oluna bilərsə, bərabərsizlik onun bütün nöqtələri üçün ödənilir.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x0))

Başqa sözlə, x 0 nöqtəsi f (x) funksiyasına maksimum (minimum) verir, əgər f (x 0) dəyəri bəzilərində (da) funksiyanın qəbul etdiyi dəyərlərdən ən böyüyü (ən kiçiyi) olarsa. ən azı kiçik) bu nöqtənin qonşuluğu. Qeyd edək ki, maksimum (minimum) tərifinin özü funksiyanın x 0 nöqtəsinin hər iki tərəfində verildiyini nəzərdə tutur.

(x=x 0 üçün) ciddi bərabərsizliyin olduğu bir qonşuluq varsa

f(x) f(x0)

onda deyirlər ki, funksiyanın x 0 nöqtəsində öz maksimumu (minimumu) var, əks halda onun düzgün olmayanı var.

Əgər funksiyanın x 0 və x 1 nöqtələrində maksimalları varsa, onda ikinci Veyerştras teoremini intervala tətbiq etməklə, funksiyanın bu intervalda ən kiçik qiymətinə x 0 və x 1 arasında hansısa x 2 nöqtəsində çatdığını görürük və minimum orada. Eynilə, iki aşağı səviyyə arasında mütləq yüksəklik olmalıdır. Ən sadə (və praktikada, ən vacib) halda, funksiya ümumiyyətlə yalnız sonlu sayda maksimum və minimuma malik olduqda, onlar sadəcə olaraq bir-birini əvəz edir.

Qeyd edək ki, maksimum və ya minimum təyin etmək üçün onları birləşdirən bir termin də var - ekstremum.

Maksimum (max f(x)) və minimum (min f(x)) anlayışları funksiyanın lokal xassələridir və müəyyən x 0 nöqtəsində yer alır. Maksimum (sup f(x)) və minimum (inf f(x)) dəyərlər anlayışları sonlu seqmentə aiddir və seqmentdəki funksiyanın qlobal xassələridir.

Şəkil 1-də göstərilir ki, x 1 və x 3 nöqtələrində yerli maksimumlar, x 2 və x 4 nöqtələrində isə yerli minimumlar olur. Lakin funksiya x=a nöqtəsində ən aşağı qiymətə, x=b nöqtəsində isə ən yüksək qiymətə çatır.

Funksiyanı ekstremumla təmin edən arqumentin bütün qiymətlərini tapmaq problemini qoyaq. Onu həll edərkən törəmə əsas rol oynayacaq.

Əvvəlcə fərz edək ki, f(x) funksiyası üçün (a,b) intervalında sonlu törəmə var. Əgər x 0 nöqtəsində funksiyanın ekstremumu varsa, yuxarıda müzakirə olunan (x 0 -, x 0 +) intervalına, Fermat teoreminə müraciət edərək belə nəticəyə gəlirik ki, f (x) \u003d 0 bu zəruridir. ekstremum üçün vəziyyət. Ekstremumu yalnız törəmənin sıfıra bərabər olduğu nöqtələrdə axtarmaq lazımdır.

Bununla belə, düşünmək olmaz ki, törəmənin sıfıra bərabər olduğu hər bir nöqtə funksiyaya bir ekstremum verir: indicə göstərilən zəruri şərt kifayət deyil.

Monoton

Yüksək mühüm əmlak funksiyası onun monotonluğudur. Müxtəlif xüsusi funksiyaların bu xassəsini bilməklə, müxtəlif fiziki, iqtisadi, sosial və bir çox digər proseslərin davranışını müəyyən etmək olar.

Funksiyaların monotonluğunun aşağıdakı növləri fərqləndirilir:

1) funksiyası artır, əgər hansısa intervalda, əgər hər hansı iki nöqtə üçün və bu interval elə ki, . Bunlar. arqumentin daha böyük dəyəri funksiyanın daha böyük dəyərinə uyğundur;

2) funksiyası azalır, əgər hansısa intervalda, əgər hər hansı iki nöqtə üçün və bu interval elə ki, . Bunlar. arqumentin daha böyük dəyəri funksiyanın daha kiçik dəyərinə uyğundur;

3) funksiyası azalmayan, əgər hansısa intervalda, əgər hər hansı iki nöqtə üçün və bu interval elə ki;

4) funksiyası artmaz, əgər hansısa intervalda, əgər hər hansı iki nöqtə üçün və bu interval elə ki, .

2. İlk iki hal üçün "ciddi monotonluq" termini də istifadə olunur.

3. Son iki hal spesifikdir və adətən bir neçə funksiyanın tərkibi kimi müəyyən edilir.

4. Ayrı-ayrılıqda qeyd edirik ki, funksiyanın qrafikində artım və azalma tam olaraq soldan sağa nəzərə alınmalıdır və başqa heç nə yoxdur.

2. Cüt/tək.

Funksiya tək adlanır, arqumentin işarəsi dəyişdikdə dəyərini əksinə dəyişir. Bunun üçün formula belə görünür . Bu o deməkdir ki, bütün x-lərin yerinə funksiyaya mənfi x dəyərləri qoyulduqdan sonra funksiya öz işarəsini dəyişəcək. Belə funksiyanın qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir.

Qəribə funksiyalara misal olaraq və s.

Məsələn, qrafik mənşəyə görə həqiqətən simmetrikdir:

Funksiya cüt adlanır arqumentin işarəsinin dəyişdirilməsi onun qiymətini dəyişmirsə. Bunun üçün formula belə görünür. Bu o deməkdir ki, mənfi x dəyərlərini bütün x-lərin yerinə funksiyaya əvəz etdikdən sonra funksiya nəticədə dəyişməyəcək. Belə funksiyanın qrafiki oxa görə simmetrikdir.

Cüt funksiyalara misal olaraq və s.

Məsələn, qrafikin oxla bağlı simmetriyasını göstərək:

Əgər funksiya göstərilən növlərdən heç birinə aid deyilsə, o zaman nə cüt, nə də tək deyil, ya da deyilir funksiyası ümumi görünüş . Belə funksiyaların simmetriyası yoxdur.

Belə bir funksiya, məsələn, qrafiklə yaxınlarda nəzərdən keçirilən xətti funksiyadır:

3. Funksiyaların xüsusi xassəsidir dövrilik.

Fakt budur ki, standart məktəb kurikulumunda nəzərdə tutulan dövri funksiyalar yalnız triqonometrik funksiyalardır. Müvafiq mövzunu öyrənərkən onlar haqqında artıq ətraflı danışdıq.

Periodik funksiya arqumentə müəyyən sabit sıfırdan fərqli ədəd əlavə edildikdə qiymətini dəyişməyən funksiyadır.

Bu minimum nömrə deyilir funksiya dövrü və hərflə qeyd olunur.

Bunun üçün formula belə görünür: .

Bu xassə sinus qrafiki nümunəsində baxaq:

Yada salaq ki, funksiyaların dövrü və is , dövrü isə və -dir.

Artıq bildiyimiz kimi, mürəkkəb arqumentli triqonometrik funksiyalar üçün qeyri-standart dövr ola bilər. Bunlar formanın funksiyalarıdır:

Onların eyni dövrü var. Və funksiyalar haqqında:

Onların eyni dövrü var.

Gördüyünüz kimi, yeni dövrü hesablamaq üçün standart müddət sadəcə arqumentdəki faktora bölünür. Bu, funksiyanın digər modifikasiyalarından asılı deyil.

Məhdudiyyət.

Funksiya y=f(x) hər hansı bir xϵX üçün f(x) bərabərsizliyi olsun ki, a ədədi varsa, X⊂D(f) çoxluğunda aşağıdan məhdudlaşdırılmış adlanır.< a.

Funksiya y=f(x) X⊂D(f) çoxluğunda yuxarıdan məhdudlaşdırılmış adlanır ki, hər hansı xϵX üçün f(x) bərabərsizliyi olsun ki, a ədədi varsa< a.

Əgər X intervalı göstərilməyibsə, onda hesab edilir ki, funksiya bütün tərif sahəsi üzrə məhduddur. Həm yuxarıda, həm də aşağıda məhdud olan funksiya məhdud adlanır.

Funksiya məhdudiyyətini qrafikdən oxumaq asandır. Bəzi y=a düz xətti çəkmək olar və funksiya bu düz xəttdən yüksəkdirsə, o zaman aşağıdan məhdudlaşır.

Aşağıdadırsa, müvafiq olaraq yuxarıda. Aşağıda aşağı məhdud funksiyanın qrafiki verilmişdir. Məhdud funksiyanın qrafiki, uşaqlar, onu özünüz çəkməyə çalışın.

Mövzu: Funksiyaların xassələri: artım və azalma intervalları; ən böyük və ən kiçik dəyərlər; ekstremum nöqtələri (yerli maksimum və minimum), funksiya qabarıqlığı.

artım və azalma dövrləri.

Funksiyanın artması və azalması üçün kifayət qədər şərtlər (işarələr) əsasında funksiyanın artım və azalma intervalları tapılır.

Budur, intervalda artan və azalan funksiyaların əlamətlərinin formulaları:

funksiyanın törəməsi olarsa y=f(x) hər kəs üçün müsbətdir x intervaldan X, sonra funksiya ilə artır X;

funksiyanın törəməsi olarsa y=f(x) hər hansı bir üçün mənfi x intervaldan X, sonra funksiya azalır X.

Beləliklə, funksiyanın artım və azalma intervallarını təyin etmək üçün aşağıdakılar lazımdır:

funksiyanın əhatə dairəsini tapın;

funksiyanın törəməsini tapın;

qeyri-bərabərlikləri və tərif sahəsində həll etmək;

Funksiyanın artması, azalması və ekstremalları

Funksiyanın artım, azalma və ekstremal intervallarının tapılması həm müstəqil işdir, həm də digər tapşırıqların mühüm hissəsidir, xüsusən, tam funksional tədqiqat. Funksiyanın artması, azalması və ekstremalları haqqında ilkin məlumatlar verilmişdir törəmə haqqında nəzəri fəsil, ilkin öyrənmə üçün çox tövsiyə edirəm (və ya təkrar)- həm də ona görə ki, aşağıdakı material çox əsaslanır törəmənin mahiyyəti bu məqalənin ahəngdar davamıdır. Baxmayaraq ki, vaxt tükənirsə, bugünkü dərsin nümunələrinin sırf formal işlənməsi də mümkündür.

Və bu gün havada nadir yekdillik ruhu var və mən birbaşa hiss edə bilərəm ki, orada olanların hamısı arzu ilə yanır. törəmədən istifadə edərək funksiyanı tədqiq etməyi öyrənin. Buna görə də, ağlabatan yaxşı əbədi terminologiya dərhal monitorlarınızın ekranlarında görünür.

Nə üçün? Ən praktik səbəblərdən biri: müəyyən bir işdə sizdən ümumiyyətlə nə tələb olunduğunu aydınlaşdırmaq üçün!

Funksiya monotonluğu. Ekstremal nöqtələr və ekstremal funksiyalar

Bəzi funksiyaları nəzərdən keçirək. Sadə şəkildə, biz bunu güman edirik davamlı bütün nömrə xəttində:

Hər halda, mümkün illüziyalardan dərhal qurtulacağıq, xüsusən də bu yaxınlarda tanış olan oxucular üçün. funksiyanın işarə sabitliyinin intervalları. İndi biz MARAQLI DEYİL, funksiyanın qrafikinin oxa nisbətən necə yerləşdiyi (yuxarıda, aşağıda, oxu keçdiyi yerdə). İnandırıcılıq üçün baltaları zehni olaraq silin və bir qrafik buraxın. Çünki maraq ondadır.

Funksiya artır bir intervalda, əgər bu intervalın əlaqəsi ilə əlaqəli hər hansı iki nöqtəsi üçün bərabərsizlik doğrudur. Yəni, daha çox dəyər arqument funksiyanın daha böyük dəyərinə uyğun gəlir və onun qrafiki “aşağıdan yuxarıya” gedir. Demo funksiyası intervalda artır.

Eynilə, funksiya azalır bir intervalda, əgər verilmiş intervalın hər hansı iki nöqtəsi üçün, belə ki, bərabərsizlik doğrudur. Yəni, arqumentin daha böyük dəyəri funksiyanın daha kiçik dəyərinə uyğun gəlir və onun qrafiki “yuxarıdan aşağıya” gedir. Funksiyamız fasilələrlə azalır .

Funksiya bir intervalda artır və ya azalırsa, o zaman çağırılır ciddi monoton bu intervalda. Monotonluq nədir? Hərfi mənada qəbul edin - monotonluq.

Müəyyən etmək də mümkündür azalmayan funksiyası (birinci tərifdə rahat vəziyyət) və artmayan funksiyası (2-ci tərifdə yumşaldılmış şərt). Bir intervalda azalmayan və ya artmayan funksiyaya verilmiş intervalda monoton funksiya deyilir. (sərt monotonluq - xüsusi hal"sadəcə" monotonluq).

Nəzəriyyə eyni zamanda bir funksiyanın artması / azalmasının təyin edilməsi üçün digər yanaşmaları da nəzərdən keçirir, o cümlədən yarım intervallar, seqmentlər, lakin başınıza yağ-yağ-yağ tökməmək üçün biz açıq fasilələrlə kateqoriyalı təriflərlə işləməyə razıyıq - bu daha aydındır və bir çox praktiki problemlərin həlli üçün kifayət qədər kifayətdir.

Bu minvalla, məqalələrimdə "funksiyanın monotonluğu" ifadəsi demək olar ki, həmişə gizlənəcək intervallar ciddi monotonluq(funksiyanın ciddi şəkildə artırılması və ya ciddi şəkildə azalması).

Point məhəlləsi. Şagirdlərin bacardıqları yerə səpələdiyi və künclərdə dəhşət içində gizləndiyi sözlər. ...Baxmayaraq ki, yazıdan sonra Cauchy məhdudiyyətləri yəqin ki, artıq gizlənmirlər, ancaq bir az titrəyir =) Narahat olmayın, indi riyazi analiz teoremlərinin sübutu olmayacaq - tərifləri daha ciddi formalaşdırmaq üçün mənə qonşuluq lazım idi ekstremal nöqtələr. Biz xatırlayırıq:

Qonşuluq nöqtəsi verilmiş nöqtəni ehtiva edən intervalı adlandırın, rahatlıq üçün intervalın çox vaxt simmetrik olduğu qəbul edilir. Məsələn, bir nöqtə və onun standart qonşuluğu:

Əsasən təriflər:

Nöqtə deyilir ciddi maksimum nöqtə, əgər mövcuddur onun qonşuluğu, hamı üçün nöqtənin özü istisna olmaqla, bərabərsizliyi yerinə yetirilən dəyərlər. Xüsusi nümunəmizdə bu bir məqamdır.

Nöqtə deyilir ciddi minimum nöqtə, əgər mövcuddur onun qonşuluğu, hamı üçün nöqtənin özü istisna olmaqla, bərabərsizliyi yerinə yetirilən dəyərlər. Rəsmdə - "a" nöqtəsi.

Qeyd : qonşuluğun simmetrik olması tələbi qətiyyən zəruri deyil. Bundan əlavə, vacibdir mövcudluğun özü müəyyən şərtlərə cavab verən qonşuluq (kiçik, hətta mikroskopik olsa da).

Nöqtələr deyilir ciddi ekstremum nöqtələri və ya sadəcə ekstremal nöqtələr funksiyaları. Yəni maksimum xal və minimum bal üçün ümumiləşdirilmiş termindir.

"Həddindən artıq" sözünü necə başa düşmək olar? Bəli, birbaşa monotonluq kimi. Roller sahil gəmisinin ekstremal nöqtələri.

Monotonluq vəziyyətində olduğu kimi, nəzəriyyədə də qeyri-ciddi postulatlar var və daha çox yayılmışdır. (təbii ki, baxılan ciddi işlər bunun altındadır!):

Nöqtə deyilir maksimum nöqtə, əgər mövcuddur onun ətrafı, belə ki hamı üçün
Nöqtə deyilir minimum nöqtə, əgər mövcuddur onun ətrafı, belə ki hamı üçün Bu məhəllənin dəyərləri bərabərsizliyi qoruyur.

Qeyd edək ki, son iki tərifə əsasən, sabit funksiyanın istənilən nöqtəsi (və ya hansısa funksiyanın “düz sahəsi”) həm maksimum nöqtə, həm də minimum nöqtə hesab olunur! Funksiya, yeri gəlmişkən, həm artan, həm də azalmayan, yəni monotondur. Bununla belə, biz bu arqumentləri nəzəriyyəçilərin ixtiyarına buraxırıq, çünki praktikada biz demək olar ki, həmişə ənənəvi "təpələri" və "boşluqları" (rəsmə bax) unikal "təpə kralı" və ya "bataqlıq şahzadəsi" ilə düşünürük. Çeşid olaraq, baş verir nöqtə, yuxarı və ya aşağı istiqamətlənmiş, məsələn, nöqtədə funksiyanın minimumu .

Oh, və royalti haqqında danışarkən:
- mənası deyilir maksimum funksiyalar;
- mənası deyilir minimum funksiyaları.

Ümumi ad - ifrat funksiyaları.

Zəhmət olmasa sözlərinizə diqqətli olun!

ekstremal nöqtələr"x" qiymətləridir.
İfrat- "oyun" dəyərləri.

! Qeyd : bəzən sadalanan terminlər birbaşa funksiyanın QRAFİSİ üzərində yerləşən "x-y" nöqtələrinə istinad edir.

Funksiya neçə ekstremal ola bilər?

Heç biri, 1, 2, 3, ... və s. sonsuzluğa. Məsələn, sinusun sonsuz sayda minimum və maksimumları var.

ƏHƏMİYYƏTLİ!"Maksimum funksiya" termini eyni deyil termini maksimum dəyər funksiyaları". Dəyərin yalnız yerli məhəllədə maksimum olduğunu görmək asandır və yuxarı solda "daha kəskin yoldaşlar" var. Eynilə, "minimum funksiya" "minimum funksiya dəyəri" ilə eyni deyil və rəsmdə dəyərin yalnız müəyyən bir sahədə minimum olduğunu görə bilərik. Bu baxımdan ekstremal nöqtələr də deyilir yerli ekstremal nöqtələr, və ekstremal yerli ifrat. Onlar gəzib-dolaşırlar və qlobal qardaşlar. Beləliklə, istənilən parabolanın təpəsində var qlobal minimum və ya qlobal maksimum. Bundan əlavə, mən ifrat növləri arasında fərq qoymayacağam və izahat daha çox ümumi təhsil məqsədləri üçün səsləndirilir - "yerli" / "qlobal" əlavə sifətləri təəccübləndirmək olmaz.

Nəzəriyyəyə qısa gedişimizi nəzarət kadrı ilə ümumiləşdirək: “funksiyanın monotonluq intervallarını və ekstremum nöqtələrini tapmaq” tapşırığı nəyi nəzərdə tutur?

Formula tapmağa çağırır:

- funksiyanın artım / azalma intervalları (azalmayan, artmayan daha az görünür);

– maksimum xal və/və ya minimum xal (əgər varsa). Yaxşı, uğursuzluqdan minimum / maksimumları tapmaq daha yaxşıdır ;-)

Bütün bunları necə müəyyənləşdirmək olar? Törəmə funksiyasının köməyi ilə!

Artım, azalma intervallarını necə tapmaq olar,
funksiyanın ekstremum nöqtələri və ekstremumları?

Bir çox qaydalar, əslində, artıq məlumdur və başa düşülür törəmənin mənası haqqında dərs.

Tangens törəməsi funksiyanın getdikcə artması ilə bağlı xoş xəbər verir domenlər.

Kotangens və onun törəməsi ilə vəziyyət tam əksinədir.

Arcsine intervalda böyüyür - törəmə burada müsbətdir: .
üçün, funksiya müəyyən edilir, lakin diferensiallaşdırılmır. Bununla belə, in kritik nöqtə sağ tərəfdən törəmə və sağ əl tangensi, digər tərəfdən isə onların sol tərəfi var.

Məncə, qövs kosinusu və onun törəməsi üçün oxşar mülahizə yürütmək sizin üçün çətin olmayacaq.

Bütün bu hallar, bir çoxu var cədvəl törəmələri, sizə xatırladıram, birbaşa izləyin törəmənin tərifləri.

Törəmə ilə funksiyanı niyə araşdırın?

Bu funksiyanın qrafikinin necə göründüyü barədə daha yaxşı fikir əldə etmək üçün: "aşağıdan yuxarı" getdiyi yerdə, "yuxarıdan aşağı" getdiyi yerdə, yüksəklərin aşağı nöqtələrinə çatdığı yerdə (əgər varsa). Bütün funksiyalar o qədər də sadə deyil - əksər hallarda, ümumiyyətlə, müəyyən bir funksiyanın qrafiki haqqında ən kiçik bir təsəvvürümüz yoxdur.

Daha mənalı nümunələrə keçmək və düşünmək vaxtıdır funksiyanın monotonluq və ekstremal intervallarının tapılması alqoritmi:

Misal 1

Funksiyanın artan/azalma intervallarını və ekstremallarını tapın

Həll:

1) İlk addım tapmaqdır funksiyanın əhatə dairəsi, və həmçinin kəsilmə nöqtələrini qeyd edin (əgər onlar varsa). Bu halda funksiya bütün real xətt üzrə davamlıdır və bu hərəkət bir qədər formal xarakter daşıyır. Ancaq bəzi hallarda burada ciddi ehtiraslar alovlanır, ona görə də paraqrafa etinasız yanaşaq.

2) Alqoritmin ikinci nöqtəsi bağlıdır

Ekstremum üçün zəruri şərt:

Əgər nöqtədə ekstremum varsa, ya qiymət mövcud deyil.

Sona görə çaşqın? "modul x" funksiyasının ekstremumu .

şərt lazımdır, lakin kifayət deyil, və əks həmişə doğru deyil. Beləliklə, hələ bərabərlikdən nəticə çıxmır ki, funksiya nöqtədə maksimum və ya minimuma çatır. Klassik bir nümunə artıq yuxarıda işıqlandırılmışdır - bu kub parabola və onun kritik nöqtəsidir.

Ancaq nə olursa olsun, ekstremum üçün zəruri şərt şübhəli nöqtələri tapmaq ehtiyacını diktə edir. Bunun üçün törəməni tapın və tənliyi həll edin:

Birinci məqalənin əvvəlində funksiya qrafikləri haqqında Bir misaldan istifadə edərək tez bir parabolun necə qurulacağını söylədim : "... birinci törəməni götürüb sıfıra bərabərləşdiririk: ... Deməli, tənliyimizin həlli: - məhz bu nöqtədə parabolanın yuxarı hissəsi yerləşir...". İndi düşünürəm ki, hər kəs parabolanın yuxarı hissəsinin niyə məhz bu nöqtədə olduğunu başa düşür =) Ümumiyyətlə, burada oxşar bir nümunə ilə başlamalıyıq, lakin çox sadədir (çaydan üçün belə). Bundan əlavə, dərsin sonunda bir analoq var törəmə funksiyası. Beləliklə, səviyyəni qaldıraq:

Misal 2

Funksiyanın monotonluq intervallarını və ekstremallarını tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Dərsin sonunda problemin tam həlli və təxmini tamamlama nümunəsi.

Fraksiya rasional funksiyaları ilə görüşün çoxdan gözlənilən anı gəldi:

Misal 3

Birinci törəmədən istifadə edərək funksiyanı araşdırın

Bir və eyni tapşırığın nə qədər variantlı şəkildə yenidən formalaşdırıla biləcəyinə diqqət yetirin.

Həll:

1) Funksiya nöqtələrdə sonsuz fasilələrə məruz qalır.

2) Kritik nöqtələri aşkar edirik. Birinci törəməni tapıb onu sıfıra bərabərləşdirək:

Gəlin tənliyi həll edək. Kəsirin payı sıfır olduqda sıfırdır:

Beləliklə, üç kritik nöqtəni əldə edirik:

3) Say xəttində BÜTÜN aşkar edilmiş nöqtələri kənara qoyun və interval üsulu Törəmə əlamətlərini müəyyən edin:

Xatırladıram ki, intervalın hansısa nöqtəsini götürməli, içindəki törəmənin dəyərini hesablamalısınız və onun işarəsini müəyyənləşdirin. Hətta saymaq yox, şifahi olaraq “qiymətləndirmək” daha sərfəlidir. Məsələn, intervala aid olan nöqtəni götürün və əvəzetməni yerinə yetirin: .

İki "plus" və bir "minus" "mənfi" verir, buna görə də törəmə bütün intervalda mənfi olur.

Fəaliyyət, başa düşdüyünüz kimi, altı intervalın hər biri üçün həyata keçirilməlidir. Yeri gəlmişkən, nəzərə alın ki, pay amili və məxrəci istənilən intervalın istənilən nöqtəsi üçün ciddi şəkildə müsbətdir və bu, tapşırığı çox asanlaşdırır.

Beləliklə, törəmə bizə dedi ki, FUNKSİYA ÖZÜ ilə artır və ilə azalır. Birlik simvolu ilə eyni tipli intervalları bağlamaq rahatdır.

Bu nöqtədə funksiya maksimuma çatır:
Funksiya minimuma çatdıqda:

İkinci dəyəri niyə yenidən hesablaya bilməyəcəyinizi düşünün ;-)

Nöqtədən keçərkən törəmə işarəni dəyişmir, ona görə də funksiyanın orada NO EXTREME yoxdur - həm azalıb, həm də azalmaqda qalır.

! təkrar edək mühüm məqam : nöqtələr kritik hesab edilmir - onların funksiyası var müəyyən edilməmişdir. Müvafiq olaraq, burada ekstremumlar prinsipcə ola bilməz(törəmə işarəni dəyişsə belə).

Cavab verin: funksiya artır və funksiyanın maksimumuna çatdıqda azalır: , və nöqtədə - minimum: .

Müəyyən edilmiş monotonluq intervalları və ekstremallar haqqında biliklər asimptotlar haqqında çox gözəl fikir verir görünüş funksiya qrafiki. Orta adam şifahi olaraq müəyyən edə bilər ki, bir funksiya qrafikində iki şaquli asimptot və əyri asimptot var. Budur qəhrəmanımız:

Tədqiqatın nəticələrini bu funksiyanın qrafiki ilə əlaqələndirməyə yenidən cəhd edin.
Kritik nöqtədə ekstremum yoxdur, amma var əyri əyilmə(bu, bir qayda olaraq, oxşar hallarda olur).

Misal 4

Funksiyanın ekstremallarını tapın

Misal 5

Funksiyanın monotonluq intervallarını, maksimal və minimumlarını tapın

... yalnız bir növ X-in-a-cube Bayramı bu gün çıxır ....
Soooo, qalereyada kim bunun üçün içməyi təklif etdi? =)

Hər bir tapşırığın öz mahiyyətli nüansları və texniki incəlikləri var, bunlar dərsin sonunda şərh olunur.