લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM): વ્યાખ્યા, ઉદાહરણો અને ગુણધર્મો. બે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક કેવી રીતે શોધવો

પરંતુ ઘણી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અન્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ દ્વારા પણ વિભાજ્ય હોય છે.

દાખ્લા તરીકે:

સંખ્યા 12 એ 1, 2, 3, 4, 6, 12 વડે વિભાજ્ય છે;

સંખ્યા 36 એ 1 વડે, 2 વડે, 3 વડે, 4 વડે 6, 12 વડે 18, 36 વડે વિભાજ્ય છે.

સંખ્યાઓ કે જેના દ્વારા સંખ્યાને પૂર્ણ વડે ભાગી શકાય છે (12 માટે આ 1, 2, 3, 4, 6 અને 12 છે) કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓના વિભાજકો. કુદરતી સંખ્યાનો વિભાજક a- એક કુદરતી સંખ્યા છે જે વિભાજિત થાય છે આપેલ નંબર aટ્રેસ વિના. બે કરતા વધુ વિભાજકો ધરાવતી કુદરતી સંખ્યા કહેવાય છે સંયુક્ત .

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે 12 અને 36 નંબરોમાં સામાન્ય પરિબળો છે. આ સંખ્યાઓ છે: 1, 2, 3, 4, 6, 12. આ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો વિભાજક 12 છે. આ બે સંખ્યાઓનો સામાન્ય વિભાજક aઅને b- આ તે સંખ્યા છે જેના દ્વારા આપેલ બંને સંખ્યાઓને શેષ વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે aઅને b.

સામાન્ય ગુણાંકઅનેક સંખ્યાઓ એ એક સંખ્યા છે જે આ દરેક સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે. દાખ્લા તરીકે, 9, 18 અને 45 નંબરો 180 નો સામાન્ય ગુણાંક ધરાવે છે. પરંતુ 90 અને 360 તેમના સામાન્ય ગુણાંક પણ છે. બધા સામાન્ય ગુણાંકમાં હંમેશા સૌથી નાનો હોય છે, આ કિસ્સામાં તે 90 છે. આ સંખ્યા કહેવાય છે સૌથી નાનુંસામાન્ય બહુવિધ (સીએમએમ).

LCM એ હંમેશા કુદરતી સંખ્યા છે જે સૌથી મોટી સંખ્યા કરતાં મોટી હોવી જોઈએ જેના માટે તે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM). ગુણધર્મો.

પરિવર્તનશીલતા:

સહયોગ:

ખાસ કરીને, જો અને કોપ્રાઈમ નંબરો છે, તો પછી:

બે પૂર્ણાંકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક mઅને nઅન્ય તમામ સામાન્ય ગુણાંકનો વિભાજક છે mઅને n. તદુપરાંત, સામાન્ય ગુણાંકનો સમૂહ m, n LCM ના ગુણાંકના સમૂહ સાથે એકરુપ થાય છે( m, n).

માટે એસિમ્પ્ટોટીક્સ કેટલાક સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક કાર્યોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે.

તેથી, ચેબીશેવ કાર્ય. અને:

આ લેન્ડૌ કાર્યની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મોમાંથી અનુસરે છે g(n).

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણના નિયમમાંથી શું અનુસરે છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવી.

NOC( a, b) ની ગણતરી ઘણી રીતે કરી શકાય છે:

1. જો સૌથી સામાન્ય વિભાજક જાણીતું હોય, તો તમે LCM સાથે તેના જોડાણનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

2. અવિભાજ્ય પરિબળોમાં બંને સંખ્યાઓના પ્રમાણભૂત વિઘટનને જાણવા દો:

જ્યાં પૃષ્ઠ 1, ...,p કે- વિવિધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, અને d 1,...,d kઅને e 1,...,e k— બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો (જો અનુરૂપ પ્રાઇમ વિસ્તરણમાં ન હોય તો તેઓ શૂન્ય હોઈ શકે છે).

પછી NOC ( a,b) ની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, LCM વિઘટનમાં સંખ્યાઓના ઓછામાં ઓછા એક વિઘટનમાં સમાવિષ્ટ તમામ મુખ્ય પરિબળોનો સમાવેશ થાય છે. a, b, અને આ ગુણકના બે ઘાતાંકમાંથી સૌથી મોટો લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ:

ઘણી સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરીને બે સંખ્યાઓના LCMની સંખ્યાબંધ અનુક્રમિક ગણતરીઓમાં ઘટાડી શકાય છે:

નિયમ.સંખ્યાઓની શ્રેણીનું LCM શોધવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

- સંખ્યાઓને મુખ્ય પરિબળોમાં વિઘટિત કરો;

- સૌથી મોટું વિસ્તરણ (ઇચ્છિત ઉત્પાદનના પરિબળોનું ઉત્પાદન) ઇચ્છિત ઉત્પાદનના પરિબળોમાં સ્થાનાંતરિત કરો મોટી સંખ્યામાંઆપેલ રાશિઓમાંથી), અને પછી અન્ય સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાંથી પરિબળો ઉમેરો જે પ્રથમ નંબરમાં દેખાતા નથી અથવા તેમાં ઓછા વખત દેખાય છે;

— અવિભાજ્ય પરિબળોનું પરિણામી ઉત્પાદન આપેલ સંખ્યાઓનો LCM હશે.

કોઈપણ બે અથવા વધુ કુદરતી સંખ્યાઓતેમની પોતાની એનઓસી છે. જો સંખ્યાઓ એકબીજાના ગુણાકાર ન હોય અથવા વિસ્તરણમાં સમાન અવયવ ધરાવતા ન હોય, તો તેમનો LCM આ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન છે.

સંખ્યા 28 (2, 2, 7) ના અવિભાજ્ય અવયવો 3 (સંખ્યા 21) ના અવયવ સાથે પૂરક છે, પરિણામી ઉત્પાદન (84) એ સૌથી નાની સંખ્યા હશે જે 21 અને 28 વડે વિભાજ્ય છે.

સૌથી મોટી સંખ્યા 30 ના અવિભાજ્ય અવયવો સંખ્યા 25 ના પરિબળ 5 દ્વારા પૂરક છે, પરિણામી ઉત્પાદન 150 સૌથી મોટી સંખ્યા 30 કરતા વધારે છે અને બાકીની બધી સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે. આ સૌથી નાનું શક્ય ઉત્પાદન છે (150, 250, 300...) જે આપેલ તમામ સંખ્યાઓનો ગુણાંક છે.

2,3,11,37 નંબરો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, તેથી તેમનો LCM આપેલ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન છે.

નિયમ. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી કરવા માટે, તમારે આ બધી સંખ્યાઓને એકસાથે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

બીજો વિકલ્પ:

તમને જરૂરી સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવા માટે:

1) દરેક સંખ્યાને તેના મુખ્ય પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરો, ઉદાહરણ તરીકે:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) તમામ મુખ્ય પરિબળોની શક્તિઓ લખો:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) આ દરેક સંખ્યાના તમામ મુખ્ય વિભાજકો (ગુણાકાર) લખો;

4) તેમાંથી દરેકની સૌથી મોટી ડિગ્રી પસંદ કરો, જે આ સંખ્યાઓના તમામ વિસ્તરણમાં જોવા મળે છે;

5) આ શક્તિઓનો ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ. સંખ્યાઓનું LCM શોધો: 168, 180 અને 3024.

ઉકેલ. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

અમે તમામ મુખ્ય વિભાજકોની સૌથી મોટી શક્તિઓ લખીએ છીએ અને તેમને ગુણાકાર કરીએ છીએ:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

નીચે પ્રસ્તુત સામગ્રી એ LCM શીર્ષકવાળા લેખમાંથી સિદ્ધાંતનું તાર્કિક ચાલુ છે - ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ, વ્યાખ્યા, ઉદાહરણો, LCM અને GCD વચ્ચેનું જોડાણ. અહીં આપણે તેના વિશે વાત કરીશું લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવું, અને ખાસ ધ્યાનચાલો ઉદાહરણો ઉકેલવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ. પ્રથમ, અમે બતાવીશું કે આ સંખ્યાઓની GCD નો ઉપયોગ કરીને કેવી રીતે બે સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી કરવામાં આવે છે. આગળ, આપણે સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં ફેક્ટર કરીને લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા પર ધ્યાન આપીશું. આ પછી, અમે ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓના LCM શોધવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું, અને નકારાત્મક સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી પર પણ ધ્યાન આપીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

GCD દ્વારા ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ (LCM) ની ગણતરી

LCM અને GCD વચ્ચેના સંબંધ પર આધારિત લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાની એક રીત છે. હાલનું કનેક્શન LCM અને GCD વચ્ચે તમને જાણીતા ગ્રેટેસ્ટ દ્વારા બે સકારાત્મક પૂર્ણાંકોના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે સામાન્ય વિભાજક. અનુરૂપ સૂત્ર છે LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . ચાલો આપેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને LCM શોધવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

બે સંખ્યાઓ 126 અને 70 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો.

ઉકેલ.

આ ઉદાહરણમાં a=126 , b=70 . ચાલો સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ LCM અને GCD વચ્ચેના જોડાણનો ઉપયોગ કરીએ LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). એટલે કે, પહેલા આપણે 70 અને 126 નંબરોના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકને શોધવાનું છે, ત્યારબાદ આપણે લેખિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.

ચાલો યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને GCD(126, 70) શોધીએ: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, તેથી, GCD(126, 70)=14.

હવે આપણે જરૂરી ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક શોધીએ છીએ: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

જવાબ:

LCM(126, 70)=630 .

ઉદાહરણ.

LCM(68, 34) બરાબર શું છે?

ઉકેલ.

કારણ કે 68 એ 34 વડે વિભાજ્ય છે, પછી GCD(68, 34)=34. હવે આપણે ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરીએ છીએ: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

જવાબ:

LCM(68, 34)=68 .

નોંધ કરો કે અગાઉનું ઉદાહરણ હકારાત્મક પૂર્ણાંકો a અને b માટે LCM શોધવા માટે નીચેના નિયમને બંધબેસે છે: જો સંખ્યા a એ b વડે વિભાજ્ય હોય, તો આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક a છે.

સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળમાં ફેક્ટર કરીને LCM શોધવી

ન્યૂનતમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાની બીજી રીત અવિભાજ્ય પરિબળોમાં સંખ્યાઓના અવયવીકરણ પર આધારિત છે. જો તમે આપેલ સંખ્યાઓના તમામ અવિભાજ્ય અવયવોમાંથી ઉત્પાદન કંપોઝ કરો છો, અને પછી આપેલ સંખ્યાઓના વિઘટનમાં હાજર તમામ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોને આ ઉત્પાદનમાંથી બાકાત કરો છો, તો પરિણામી ઉત્પાદન આપેલ સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક સમાન હશે. .

LCM શોધવા માટેનો ઉલ્લેખિત નિયમ સમાનતામાંથી અનુસરે છે LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). ખરેખર, સંખ્યાઓ a અને b નું ઉત્પાદન એ સંખ્યાઓ a અને b ના વિસ્તરણમાં સામેલ તમામ પરિબળોના ગુણાંક સમાન છે. બદલામાં, gcd(a, b) ઉત્પાદન સમાનબધા અવિભાજ્ય પરિબળો કે જે સંખ્યાઓ a અને b ના વિસ્તરણમાં એકસાથે હાજર હોય છે (જેમ કે સંખ્યાઓના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને GCD શોધવાના વિભાગમાં વર્ણવેલ છે).

ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો જાણીએ કે 75=3·5·5 અને 210=2·3·5·7. ચાલો આ વિસ્તરણના તમામ પરિબળોમાંથી ઉત્પાદનની રચના કરીએ: 2·3·3·5·5·5·7 . હવે આ ઉત્પાદનમાંથી આપણે નંબર 75 ના વિસ્તરણ અને નંબર 210 ના વિસ્તરણ બંનેમાં હાજર તમામ પરિબળોને બાકાત રાખીએ છીએ (આ પરિબળ 3 અને 5 છે), તો ઉત્પાદન 2·3·5·5·7 સ્વરૂપ લેશે. . આ ઉત્પાદનનું મૂલ્ય 75 અને 210 ના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક જેટલું છે, એટલે કે, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

ઉદાહરણ.

441 અને 700 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવિત કરો અને આ સંખ્યાઓનો સૌથી ઓછો સામાન્ય ગુણાંક શોધો.

ઉકેલ.

ચાલો 441 અને 700 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ કરીએ:

આપણને 441=3·3·7·7 અને 700=2·2·5·5·7 મળે છે.

હવે ચાલો આ સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં સામેલ તમામ પરિબળોમાંથી ઉત્પાદન બનાવીએ: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. ચાલો આ ઉત્પાદનમાંથી તમામ પરિબળોને બાકાત કરીએ જે એકસાથે બંને વિસ્તરણમાં હાજર હોય છે (આવું માત્ર એક પરિબળ છે - આ નંબર 7 છે): 2·2·3·3·5·5·7·7. આમ, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

જવાબ:

NOC(441, 700) = 44 100 .

અવિભાજ્ય પરિબળોમાં સંખ્યાઓના અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરીને LCM શોધવાનો નિયમ થોડો અલગ રીતે ઘડી શકાય છે. જો સંખ્યા b ના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળોને સંખ્યા a ના વિસ્તરણના પરિબળમાં ઉમેરવામાં આવે, તો પરિણામી ઉત્પાદનનું મૂલ્ય a અને b સંખ્યાના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક જેટલું હશે..

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સમાન સંખ્યાઓ 75 અને 210 લઈએ, તેમના અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિઘટન નીચે મુજબ છે: 75=3·5·5 અને 210=2·3·5·7. સંખ્યા 75 ના વિસ્તરણથી પરિબળ 3, 5 અને 5 માં આપણે સંખ્યા 210 ના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળ 2 અને 7 ઉમેરીએ છીએ, આપણે ઉત્પાદન 2·3·5·5·7 મેળવીએ છીએ, જેનું મૂલ્ય છે LCM(75, 210) ની બરાબર.

ઉદાહરણ.

84 અને 648 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો.

ઉકેલ.

આપણે સૌપ્રથમ 84 અને 648 નંબરોના વિઘટનને મુખ્ય પરિબળોમાં મેળવીએ છીએ. તેઓ 84=2·2·3·7 અને 648=2·2·2·3·3·3·3 જેવા દેખાય છે. સંખ્યા 84 ના વિસ્તરણથી પરિબળ 2, 2, 3 અને 7 માં આપણે 648 નંબરના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળ 2, 3, 3 અને 3 ઉમેરીએ છીએ, આપણે ઉત્પાદન 2 2 2 3 3 3 3 7 મેળવીએ છીએ, જે 4 536 બરાબર છે. આમ, 84 અને 648 નો ઇચ્છિત લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 4,536 છે.

જવાબ:

LCM(84, 648)=4,536 .

ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો LCM શોધવો

ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક ક્રમિક રીતે બે સંખ્યાઓના LCMને શોધીને શોધી શકાય છે. ચાલો અનુરૂપ પ્રમેયને યાદ કરીએ, જે ત્રણ કે તેથી વધુ સંખ્યાઓના LCM શોધવાનો માર્ગ આપે છે.

પ્રમેય.

સકારાત્મક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ a 1 , a 2 , …, a k આપવા દો, આ સંખ્યાઓમાંથી લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ m k અનુક્રમે m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) ની ગણતરી કરીને જોવા મળે છે. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

ચાલો ચાર સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રમેયના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ.

ચાર સંખ્યાઓ 140, 9, 54 અને 250 નો LCM શોધો.

ઉકેલ.

આ ઉદાહરણમાં, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

પ્રથમ આપણે શોધીએ છીએ m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). આ કરવા માટે, યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, અમે GCD(140, 9) નક્કી કરીએ છીએ, અમારી પાસે 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, તેથી, GCD(140, 9)=1 , જ્યાંથી GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. એટલે કે, m 2 = 1 260.

હવે આપણે શોધીએ છીએ m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). ચાલો તેની ગણતરી GCD(1 260, 54) દ્વારા કરીએ, જે આપણે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને પણ નક્કી કરીએ છીએ: 1 260=54·23+18, 54=18·3. પછી gcd(1,260, 54)=18, જેમાંથી gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. એટલે કે, m 3 = 3 780.

જે બાકી છે તે શોધવાનું છે m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). આ કરવા માટે, અમે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને GCD(3,780, 250) શોધીએ છીએ: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. તેથી, GCM(3,780, 250)=10, જ્યાંથી GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. એટલે કે, m 4 = 94,500.

તેથી મૂળ ચાર સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 94,500 છે.

જવાબ:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

ઘણા કિસ્સાઓમાં, આપેલ સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરીને ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાનું અનુકૂળ છે. આ કિસ્સામાં, તમારે નીચેના નિયમોનું પાલન કરવું જોઈએ. સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક ગુણાંક સમાન છે, જે નીચે પ્રમાણે બનેલો છે: બીજી સંખ્યાના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળો પ્રથમ સંખ્યાના વિસ્તરણથી તમામ પરિબળોમાં ઉમેરવામાં આવે છે, વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળો ત્રીજો નંબર પરિણામી પરિબળોમાં ઉમેરવામાં આવે છે, અને તેથી વધુ.

ચાલો પ્રાઇમ ફેક્ટરાઇઝેશનનો ઉપયોગ કરીને લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ શોધવાનું ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ.

પાંચ સંખ્યાઓ 84, 6, 48, 7, 143 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો.

ઉકેલ.

પ્રથમ, આપણે આ સંખ્યાઓના વિઘટનને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં મેળવીએ છીએ: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે, તે એકરૂપ થાય છે. મુખ્ય પરિબળોમાં તેના વિઘટન સાથે) અને 143=11·13.

આ સંખ્યાઓનો LCM શોધવા માટે, પ્રથમ નંબર 84 (તે 2, 2, 3 અને 7 છે) ના અવયવોમાં, તમારે બીજા નંબર 6 ના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળો ઉમેરવાની જરૂર છે. નંબર 6 ના વિઘટનમાં ખૂટતા પરિબળો શામેલ નથી, કારણ કે પ્રથમ નંબર 84 ના વિઘટનમાં 2 અને 3 બંને પહેલેથી હાજર છે. આગળ, પરિબળ 2, 2, 3 અને 7 માં આપણે ત્રીજા નંબર 48 ના વિસ્તરણમાંથી ગુમ થયેલ પરિબળ 2 અને 2 ઉમેરીએ છીએ, આપણને પરિબળ 2, 2, 2, 2, 3 અને 7 નો સમૂહ મળે છે. આગલા પગલામાં આ સેટમાં મલ્ટિપ્લાયર્સ ઉમેરવાની જરૂર રહેશે નહીં, કારણ કે તેમાં 7 પહેલેથી જ સમાયેલ છે. છેલ્લે, પરિબળ 2, 2, 2, 2, 3 અને 7 માં આપણે 143 નંબરના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળો 11 અને 13 ઉમેરીએ છીએ. આપણને ઉત્પાદન 2·2·2·2·3·7·11·13 મળે છે, જે 48,048 બરાબર છે.

ગુણાંક એ એવી સંખ્યા છે જે આપેલ સંખ્યા દ્વારા શેષ વિના વિભાજ્ય હોય છે. સંખ્યાઓના જૂથનો લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) એ સૌથી નાની સંખ્યા છે જે જૂથની દરેક સંખ્યા દ્વારા શેષ છોડ્યા વિના ભાગી શકાય છે. લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા માટે, તમારે આપેલ સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવાની જરૂર છે. બે અથવા વધુ સંખ્યાઓના જૂથોને લાગુ પડતી અન્ય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને પણ LCM ની ગણતરી કરી શકાય છે.

પગલાં

ગુણાકારની શ્રેણી

આ નંબરો જુઓ.અહીં વર્ણવેલ પદ્ધતિ બે નંબરો આપવામાં આવે ત્યારે શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ થાય છે, જેમાંથી દરેક 10 કરતા ઓછી હોય. જો આપવામાં આવે તો મોટી સંખ્યાઓ, બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.

• ઉદાહરણ તરીકે, 5 અને 8 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો. આ નાની સંખ્યાઓ છે, જેથી તમે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો.

1. ગુણાંક એ એવી સંખ્યા છે જે આપેલ સંખ્યા દ્વારા શેષ વિના વિભાજ્ય હોય છે. ગુણાકાર કોષ્ટકમાં મળી શકે છે.

   • ઉદાહરણ તરીકે, જે સંખ્યાઓ 5 ના ગુણાંક છે તે છે: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. સંખ્યાઓની શ્રેણી લખો જે પ્રથમ સંખ્યાના ગુણાંક છે.સંખ્યાઓના બે સેટની સરખામણી કરવા માટે પ્રથમ સંખ્યાના ગુણાંક હેઠળ આ કરો.

   • ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ કે જે 8 ના ગુણાંક છે: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 અને 64.

3. ગુણાકારના બંને સેટમાં હાજર સૌથી નાની સંખ્યા શોધો.શોધવા માટે તમારે ગુણાકારની લાંબી શ્રેણી લખવી પડી શકે છે કુલ સંખ્યા. ગુણાકારના બંને સેટમાં હાજર સૌથી નાની સંખ્યા એ લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક છે.

   • ઉદાહરણ તરીકે, સૌથી નાની સંખ્યા જે 5 અને 8 ના ગુણાંકની શ્રેણીમાં દેખાય છે તે સંખ્યા 40 છે. તેથી, 40 એ 5 અને 8 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક છે.

   પ્રાઇમ ફેક્ટરાઇઝેશન

   1. આ નંબરો જુઓ.અહીં વર્ણવેલ પદ્ધતિનો શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ જ્યારે બે નંબરો આપવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક 10 કરતા મોટી હોય છે. જો નાની સંખ્યાઓ આપવામાં આવી હોય, તો બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.

      • ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 20 અને 84 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો. દરેક સંખ્યા 10 થી મોટી છે, તેથી તમે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

   2. પ્રથમ સંખ્યાને અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવ કરો.એટલે કે, તમારે એવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે કે, જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે, ત્યારે આપેલ સંખ્યામાં પરિણમશે. એકવાર તમે મુખ્ય પરિબળો શોધી લો, પછી તેમને સમાનતા તરીકે લખો.

      • દાખ્લા તરીકે, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)અને 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). આમ, સંખ્યા 20 ના મુખ્ય અવયવો 2, 2 અને 5 નંબરો છે. તેમને અભિવ્યક્તિ તરીકે લખો: .

   3. બીજી સંખ્યાને અવિભાજ્ય અવયવમાં અવયવ કરો.આને તે જ રીતે કરો જે રીતે તમે પ્રથમ સંખ્યાને ફેક્ટર કરી છે, એટલે કે, એવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધો કે, જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે, ત્યારે આપેલ સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય.

      • દાખ્લા તરીકે, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)અને 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). આમ, સંખ્યા 84 ના મુખ્ય અવયવો 2, 7, 3 અને 2 નંબરો છે. તેમને અભિવ્યક્તિ તરીકે લખો: .

   4. બંને સંખ્યાના સામાન્ય પરિબળો લખો.ગુણાકારની ક્રિયા તરીકે આવા પરિબળો લખો. જેમ જેમ તમે દરેક અવયવને લખો છો તેમ, તેને બંને અભિવ્યક્તિઓ (અભિવ્યક્તિઓ કે જે અવિભાજ્ય પરિબળોમાં સંખ્યાઓના અવયવીકરણનું વર્ણન કરે છે) માં ક્રોસ કરો.

      • ઉદાહરણ તરીકે, બંને સંખ્યાઓમાં 2 નો સામાન્ય અવયવ છે, તેથી લખો 2 × (\Displaystyle 2\times )અને બંને સમીકરણોમાં 2 ને પાર કરો.
      • બંને સંખ્યાઓમાં જે સામ્ય છે તે 2 નો બીજો પરિબળ છે, તેથી લખો 2 × 2 (\Displaystyle 2\times 2)અને બંને અભિવ્યક્તિઓમાં બીજા 2 ને પાર કરો.

   5. ગુણાકારની ક્રિયામાં બાકીના પરિબળો ઉમેરો.આ એવા પરિબળો છે જે બંને અભિવ્યક્તિઓમાં વટાવ્યા નથી, એટલે કે, પરિબળો જે બંને સંખ્યાઓ માટે સામાન્ય નથી.

      • ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિમાં 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)બંને બે (2)ને વટાવી દેવામાં આવ્યા છે કારણ કે તે સામાન્ય પરિબળો છે. પરિબળ 5 ઓળંગી ગયો નથી, તેથી ગુણાકારની ક્રિયા આ રીતે લખો: 2 × 2 × 5 (\Displaystyle 2\times 2\times 5)
      • અભિવ્યક્તિમાં 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)બંને બે (2) પણ વટાવ્યા છે. પરિબળ 7 અને 3 ને વટાવ્યા નથી, તેથી ગુણાકારની ક્રિયા આ રીતે લખો: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરો.આ કરવા માટે, લેખિત ગુણાકારની ક્રિયામાં સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો.

      • દાખ્લા તરીકે, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). તેથી 20 અને 84 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 420 છે.

   સામાન્ય પરિબળો શોધો

   1. ટિક-ટેક-ટોની રમતની જેમ ગ્રીડ દોરો.આવી ગ્રીડમાં બે સમાંતર રેખાઓ હોય છે જે અન્ય બે સમાંતર રેખાઓ સાથે છેદે છે (જમણા ખૂણા પર). આ તમને ત્રણ પંક્તિઓ અને ત્રણ કૉલમ્સ આપશે (ગ્રીડ ઘણી બધી # આઇકન જેવી દેખાય છે). પ્રથમ લાઇન અને બીજી કોલમમાં પ્રથમ નંબર લખો. પ્રથમ પંક્તિ અને ત્રીજી કોલમમાં બીજો નંબર લખો.

      • ઉદાહરણ તરીકે, નંબરો 18 અને 30 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો. પ્રથમ પંક્તિ અને બીજી કૉલમમાં 18 નંબર લખો અને પ્રથમ પંક્તિ અને ત્રીજી કૉલમમાં 30 નંબર લખો.

   2. બંને સંખ્યાઓ માટે સામાન્ય વિભાજક શોધો.તેને પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમમાં લખો. મુખ્ય પરિબળો શોધવાનું વધુ સારું છે, પરંતુ આ આવશ્યકતા નથી.

      • ઉદાહરણ તરીકે, 18 અને 30 એ બે પણ સંખ્યાઓ છે, તેથી તેમનો સામાન્ય અવયવ 2 છે. તેથી પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમમાં 2 લખો.

   3. દરેક સંખ્યાને પ્રથમ વિભાજક દ્વારા વિભાજીત કરો.દરેક ભાગને યોગ્ય સંખ્યા હેઠળ લખો. ભાગ્ય એ બે સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાનું પરિણામ છે.

      • દાખ્લા તરીકે, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), તેથી 18 હેઠળ 9 લખો.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), તેથી 15 ની નીચે 30 લખો.

   4. બંને અવશેષો માટે સામાન્ય વિભાજક શોધો.જો આવા કોઈ વિભાજક ન હોય, તો પછીના બે પગલાં છોડી દો. નહિંતર, બીજી હરોળમાં અને પ્રથમ કૉલમમાં વિભાજક લખો.

      • ઉદાહરણ તરીકે, 9 અને 15 3 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી બીજી હરોળમાં અને પ્રથમ કૉલમમાં 3 લખો.

   5. દરેક ભાગને તેના બીજા વિભાજક દ્વારા વિભાજીત કરો.દરેક વિભાગના પરિણામને અનુરૂપ ભાગ હેઠળ લખો.

      • દાખ્લા તરીકે, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), તેથી 9 હેઠળ 3 લખો.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), તેથી 15 હેઠળ 5 લખો.

   6. જો જરૂરી હોય તો, ગ્રીડમાં વધારાના કોષો ઉમેરો.જ્યાં સુધી અવતરણોમાં સામાન્ય વિભાજક ન હોય ત્યાં સુધી વર્ણવેલ પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરો.

   7. ગ્રીડની પ્રથમ કૉલમ અને છેલ્લી પંક્તિમાંની સંખ્યાઓને વર્તુળ કરો.પછી પસંદ કરેલી સંખ્યાઓને ગુણાકારની ક્રિયા તરીકે લખો.

      • ઉદાહરણ તરીકે, નંબરો 2 અને 3 પ્રથમ સ્તંભમાં છે, અને નંબરો 3 અને 5 છેલ્લી હરોળમાં છે, તેથી ગુણાકારની ક્રિયા આ રીતે લખો: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. સંખ્યાઓના ગુણાકારનું પરિણામ શોધો.આ આપેલ બે સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરશે.

      • દાખ્લા તરીકે, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). તેથી 18 અને 30 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 90 છે.

   યુક્લિડનું અલ્ગોરિધમ

   1. વિભાગ કામગીરી સાથે સંકળાયેલ પરિભાષા યાદ રાખો.ડિવિડન્ડ એ સંખ્યા છે જે વિભાજિત કરવામાં આવી રહી છે. વિભાજક એ સંખ્યા છે જેને વડે ભાગવામાં આવે છે. ભાગ્ય એ બે સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાનું પરિણામ છે. જ્યારે બે સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવામાં આવે ત્યારે બાકી રહેલ સંખ્યા છે.

      • ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિમાં 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost 3:
        15 એ ડિવિડન્ડ છે
        6 એ વિભાજક છે
        2 ભાગલાકાર છે
        3 બાકી છે.

ચાલો બે અથવા વધુ સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકનો અભ્યાસ શરૂ કરીએ. આ વિભાગમાં આપણે શબ્દને વ્યાખ્યાયિત કરીશું, પ્રમેયને ધ્યાનમાં લઈશું જે લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ અને સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે, અને સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણો આપીશું.

સામાન્ય ગુણાંક - વ્યાખ્યા, ઉદાહરણો

આ વિષયમાં, આપણને શૂન્ય સિવાયના પૂર્ણાંકોના સામાન્ય ગુણાંકમાં જ રસ હશે.

વ્યાખ્યા 1

પૂર્ણાંકોનો સામાન્ય ગુણાંકએક પૂર્ણાંક છે જે આપેલ તમામ સંખ્યાઓનો ગુણાંક છે. હકીકતમાં, તે કોઈપણ પૂર્ણાંક છે જેને આપેલ સંખ્યાઓમાંથી કોઈપણ દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે.

સામાન્ય ગુણાંકની વ્યાખ્યા બે, ત્રણ અથવા વધુ પૂર્ણાંકોનો સંદર્ભ આપે છે.

ઉદાહરણ 1

ઉપર આપેલ વ્યાખ્યા મુજબ, સંખ્યા 12 ના સામાન્ય ગુણાંક 3 અને 2 છે. ઉપરાંત, નંબર 12 એ સંખ્યા 2, 3 અને 4 નો સામાન્ય ગુણાંક હશે. સંખ્યાઓ 12 અને -12 એ સંખ્યાઓ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 નો સામાન્ય ગુણાંક છે.

તે જ સમયે, સંખ્યાઓ 2 અને 3 નો સામાન્ય ગુણાંક 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 અને અન્યની સંપૂર્ણ શ્રેણી હશે.

જો આપણે એવી સંખ્યાઓ લઈએ કે જે જોડીની પ્રથમ સંખ્યા દ્વારા વિભાજ્ય હોય અને બીજી સંખ્યા દ્વારા વિભાજ્ય ન હોય, તો આવી સંખ્યાઓ સામાન્ય ગુણાંક નહીં હોય. તેથી, સંખ્યાઓ 2 અને 3 માટે, સંખ્યાઓ 16, − 27, 5009, 27001 સામાન્ય ગુણાંક હશે નહીં.

0 એ શૂન્ય સિવાયના કોઈપણ પૂર્ણાંકોના સમૂહનો સામાન્ય ગુણાંક છે.

જો આપણે આદર સાથે વિભાજ્યતાની મિલકતને યાદ કરીએ વિરોધી સંખ્યાઓ, પછી તે તારણ આપે છે કે અમુક પૂર્ણાંક k આ સંખ્યાઓનો સામાન્ય ગુણાંક હશે, જેમ કે સંખ્યા - k. આનો અર્થ એ છે કે સામાન્ય વિભાજકો હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક હોઈ શકે છે.

શું તમામ સંખ્યાઓ માટે LCM શોધવાનું શક્ય છે?

સામાન્ય ગુણાંક કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે શોધી શકાય છે.

ઉદાહરણ 2

ધારો કે આપણને આપવામાં આવે છે kપૂર્ણાંક a 1 , a 2 , … , a k. સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે આપણને જે સંખ્યા મળે છે a 1 · a 2 · … · a kવિભાજ્યતાની મિલકત અનુસાર, તેને મૂળ ઉત્પાદનમાં સમાવિષ્ટ દરેક પરિબળોમાં વિભાજિત કરવામાં આવશે. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન a 1 , a 2 , … , a kઆ સંખ્યાઓનો સૌથી ઓછો સામાન્ય ગુણાંક છે.

આ પૂર્ણાંકોમાં કેટલા સામાન્ય ગુણાંક હોઈ શકે?

પૂર્ણાંકોનું જૂથ હોઈ શકે છે મોટી સંખ્યામાસામાન્ય ગુણાંક. હકીકતમાં, તેમની સંખ્યા અનંત છે.

ઉદાહરણ 3

ધારો કે આપણી પાસે અમુક સંખ્યા k છે. પછી સંખ્યાઓ k · z, જ્યાં z એ પૂર્ણાંક છે, તે સંખ્યાઓ k અને z નો સામાન્ય ગુણાંક હશે. આપેલ છે કે સંખ્યાઓની સંખ્યા અનંત છે, સામાન્ય ગુણાંકની સંખ્યા અનંત છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) - વ્યાખ્યા, સંકેત અને ઉદાહરણો

ચાલો ખ્યાલ યાદ કરીએ સૌથી નાની સંખ્યાસંખ્યાઓના આપેલ સમૂહમાંથી જે આપણે “પૂરાંકની તુલના” વિભાગમાં જોયા છે. આ ખ્યાલને ધ્યાનમાં લેતા, અમે લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકની વ્યાખ્યા ઘડીએ છીએ, જે તમામ સામાન્ય ગુણાંકમાં સૌથી વધુ વ્યવહારુ મહત્વ ધરાવે છે.

વ્યાખ્યા 2

આપેલ પૂર્ણાંકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકઆ સંખ્યાઓનો સૌથી નાનો હકારાત્મક સામાન્ય ગુણાંક છે.

આપેલ સંખ્યાઓની કોઈપણ સંખ્યા માટે ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ અસ્તિત્વમાં છે. સંદર્ભ સાહિત્યમાં ખ્યાલ માટે સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતું સંક્ષેપ એનઓસી છે. સંખ્યાઓના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક માટે ટૂંકું સંકેત a 1 , a 2 , … , a kફોર્મ LOC હશે (a 1 , a 2 , … , a k).

ઉદાહરણ 4

6 અને 7 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 42 છે. તે. LCM(6, 7) = 42. ચાર સંખ્યાઓ 2, 12, 15 અને 3 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 60 છે. ટૂંકું સંકેત LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60 જેવું દેખાશે.

આપેલ સંખ્યાઓના તમામ જૂથો માટે લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક સ્પષ્ટ નથી. ઘણી વખત તેની ગણતરી કરવી પડે છે.

NOC અને GCD વચ્ચેનો સંબંધ

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ અને સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક સંબંધિત છે. વિભાવનાઓ વચ્ચેનો સંબંધ પ્રમેય દ્વારા સ્થાપિત થાય છે.

પ્રમેય 1

બે સકારાત્મક પૂર્ણાંકો a અને b નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક એ a અને b ના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક દ્વારા વિભાજિત a અને b ના ગુણાંક સમાન છે, એટલે કે, LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) ).

પુરાવા 1

ધારો કે આપણી પાસે અમુક સંખ્યા M છે, જે a અને b સંખ્યાઓનો ગુણાંક છે. જો સંખ્યા M એ a વડે વિભાજ્ય હોય, તો ત્યાં અમુક પૂર્ણાંક z પણ હોય છે , જેના હેઠળ સમાનતા સાચી છે M = a k. વિભાજ્યતાની વ્યાખ્યા મુજબ, જો M વડે વિભાજ્ય હોય b, તો પછી a · kએ ના વડે ભાગ પાડો b.

જો આપણે gcd (a, b) માટે નવું સંકેત દાખલ કરીએ ડી, તો પછી આપણે સમાનતાઓનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ a = a 1 ડીઅને b = b 1 · d. આ કિસ્સામાં, બંને સમાનતા પરસ્પર હશે અવિભાજ્ય સંખ્યા.

અમે તે ઉપર પહેલેથી જ સ્થાપિત કર્યું છે a · kએ ના વડે ભાગ પાડો b. હવે આ સ્થિતિ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.
a 1 d kએ ના વડે ભાગ પાડો b 1 ડી, જે સ્થિતિની સમકક્ષ છે a 1 kએ ના વડે ભાગ પાડો b 1વિભાજ્યતાના ગુણધર્મો અનુસાર.

કોપ્રાઈમ નંબરોની મિલકત અનુસાર, જો a 1અને b 1- કોપ્રાઈમ નંબરો, a 1દ્વારા વિભાજ્ય નથી b 1તે હકીકત હોવા છતાં a 1 kએ ના વડે ભાગ પાડો b 1, તે b 1શેર કરવું જોઈએ k.

આ કિસ્સામાં, તે ધારવું યોગ્ય રહેશે કે ત્યાં સંખ્યા છે t, જેના માટે k = b 1 t, અને ત્યારથી b 1 = b: d, તે k = b : d t.

હવે તેના બદલે kચાલો સમાનતામાં બદલીએ M = a kસ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ b: d t. આ અમને સમાનતા પ્રાપ્ત કરવા માટે પરવાનગી આપે છે M = a b: d t. મુ t = 1આપણે a અને b નો ઓછામાં ઓછો હકારાત્મક સામાન્ય ગુણાંક મેળવી શકીએ છીએ , સમાન a b: d, જો કે સંખ્યાઓ a અને b હકારાત્મક.

તેથી અમે સાબિત કર્યું કે LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

LCM અને GCD વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરવાથી તમે બે અથવા વધુ આપેલ સંખ્યાઓના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક દ્વારા લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધી શકો છો.

વ્યાખ્યા 3

પ્રમેયના બે મહત્વપૂર્ણ પરિણામો છે:

• બે સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકના ગુણાંક તે બે સંખ્યાઓના સામાન્ય ગુણાંક સમાન છે;
• પરસ્પર અવિભાજ્ય ધન સંખ્યા a અને b નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક તેમના ગુણાંક સમાન છે.

આ બે હકીકતોને સમર્થન આપવું મુશ્કેલ નથી. સંખ્યાઓ a અને b ના M ના કોઈપણ સામાન્ય ગુણાંકને અમુક પૂર્ણાંક મૂલ્ય t માટે સમાનતા M = LCM (a, b) · t દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. a અને b પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય હોવાથી, તો gcd (a, b) = 1, તેથી, gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક

ઘણી સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા માટે, ક્રમિક રીતે બે સંખ્યાઓનો LCM શોધવો જરૂરી છે.

પ્રમેય 2

ચાલો તે ડોળ કરીએ a 1 , a 2 , … , a kકેટલાક હકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે. LCM ની ગણતરી કરવા માટે m kઆ સંખ્યાઓ, આપણે અનુક્રમે ગણતરી કરવાની જરૂર છે m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = એનઓસી(m 2 , a 3) , … , m k = એનઓસી(m k - 1 , a k) .

પુરાવા 2

આ વિષયમાં ચર્ચા કરવામાં આવેલ પ્રથમ પ્રમેયમાંથી પ્રથમ કોરોલરી અમને બીજા પ્રમેયની માન્યતા સાબિત કરવામાં મદદ કરશે. તર્ક નીચેના અલ્ગોરિધમનો પર આધારિત છે:

• સંખ્યાઓનો સામાન્ય ગુણાંક a 1અને a 2તેમના LCM ના ગુણાંક સાથે મેળ ખાય છે, વાસ્તવમાં, તેઓ સંખ્યાના ગુણાંક સાથે મેળ ખાય છે મીટર 2;
• સંખ્યાઓનો સામાન્ય ગુણાંક a 1, a 2અને a 3 મીટર 2અને a 3 મીટર 3;
• સંખ્યાઓનો સામાન્ય ગુણાંક a 1 , a 2 , … , a kસંખ્યાઓના સામાન્ય ગુણાંક સાથે મેળ ખાય છે m k - 1અને a kતેથી, સંખ્યાના ગુણાંક સાથે મેળ ખાય છે m k;
• એ હકીકતને કારણે કે સંખ્યાનો સૌથી નાનો હકારાત્મક ગુણાંક m kનંબર પોતે છે m k, પછી સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક a 1 , a 2 , … , a kછે m k.

આ રીતે આપણે પ્રમેય સાબિત કર્યો.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

બે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક સીધો તે સંખ્યાઓના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક સાથે સંબંધિત છે. આ GCD અને NOC વચ્ચે જોડાણનીચેના પ્રમેય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

પ્રમેય.

બે ધન પૂર્ણાંક a અને b નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક એ a અને b ના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક દ્વારા વિભાજિત a અને b ના ગુણાંક સમાન છે, એટલે કે, LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

પુરાવો.

દો M એ સંખ્યાઓ a અને b નો અમુક ગુણાંક છે. એટલે કે, M એ a વડે વિભાજ્ય છે, અને વિભાજ્યતાની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, અમુક પૂર્ણાંક k છે જેમ કે સમાનતા M=a·k સાચી છે. પરંતુ M પણ b વડે ભાગી શકાય છે, તો a·k એ b વડે ભાગી શકાય છે.

ચાલો gcd(a, b) ને d તરીકે દર્શાવીએ. પછી આપણે સમાનતા a=a 1 ·d અને b=b 1 ·d લખી શકીએ અને a 1 =a:d અને b 1 =b:d પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હશે. પરિણામે, અગાઉના ફકરામાં મેળવેલી શરત કે a · k ને b વડે વિભાજ્ય છે તે નીચે પ્રમાણે સુધારી શકાય છે: a 1 · d · k ને b 1 · d વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને આ, વિભાજ્ય ગુણધર્મોને લીધે, શરતની સમકક્ષ છે. કે 1 · k b 1 વડે વિભાજ્ય છે.

તમારે ધ્યાનમાં લેવાયેલા પ્રમેયમાંથી બે મહત્વપૂર્ણ કોરોલરીઓ પણ લખવાની જરૂર છે.

બે સંખ્યાઓના સામાન્ય ગુણાંક તેમના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકના ગુણાંક સમાન છે.

આ ખરેખર કેસ છે, કારણ કે સંખ્યાઓ a અને b ના M નો કોઈપણ સામાન્ય ગુણાંક અમુક પૂર્ણાંક મૂલ્ય t માટે સમાનતા M=LMK(a, b)·t દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

પરસ્પર અવિભાજ્ય ધન સંખ્યા a અને b નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક તેમના ગુણાંક સમાન છે.

આ હકીકત માટેનું તર્ક એકદમ સ્પષ્ટ છે. a અને b પ્રમાણમાં પ્રાઇમ હોવાથી, gcd(a, b)=1, તેથી, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક

ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાથી ક્રમિક રીતે બે સંખ્યાના LCM શોધવા માટે ઘટાડી શકાય છે. આ કેવી રીતે થાય છે તે નીચેના પ્રમેયમાં દર્શાવેલ છે. a 1 , a 2 , …, a k સંખ્યાઓ m k-1 અને a k ના સામાન્ય ગુણાંક સાથે એકરુપ થાય છે, તેથી, m k સંખ્યાના સામાન્ય ગુણાંક સાથે એકરુપ થાય છે. અને m k સંખ્યાનો સૌથી નાનો ધન ગુણાંક એ m k જ સંખ્યા છે, તો પછી સંખ્યાઓનો સૌથી નાનો સામાન્ય ગુણાંક a 1, a 2, ..., a k એ m k છે.

ગ્રંથસૂચિ.

• Vilenkin N.Ya. અને અન્ય. ગણિત. 6ઠ્ઠું ધોરણ: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠયપુસ્તક.
• વિનોગ્રાડોવ આઇ.એમ. સંખ્યા સિદ્ધાંતની મૂળભૂત બાબતો.
• મિખેલોવિચ એસ.એચ. સંખ્યા સિદ્ધાંત.
• કુલિકોવ એલ.યા. અને અન્ય. બીજગણિત અને સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ: ટ્યુટોરીયલભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતના વિદ્યાર્થીઓ માટે. શિક્ષણશાસ્ત્રની સંસ્થાઓની વિશેષતા.