લેખ વ્યાખ્યાઓનું વિગતવાર સમજૂતી આપે છે, ગ્રાફિક સંકેતો સાથે વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ. સ્પર્શરેખાના સમીકરણને ઉદાહરણો સાથે ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે, સ્પર્શરેખાથી 2જી ક્રમના વળાંકોના સમીકરણો જોવા મળશે.

Yandex.RTB R-A-339285-1 વ્યાખ્યા 1

સીધી રેખા y = k x + b ના ઝોકના કોણને કોણ α કહેવામાં આવે છે, જે x અક્ષની ધન દિશાથી સીધી રેખા y = k x + b સુધી હકારાત્મક દિશામાં માપવામાં આવે છે.

આકૃતિમાં, x દિશા લીલા તીર અને લીલા ચાપ દ્વારા અને લાલ ચાપ દ્વારા ઝોકનો કોણ દર્શાવેલ છે. વાદળી રેખા સીધી રેખાનો સંદર્ભ આપે છે.

વ્યાખ્યા 2

સીધી રેખા y = k x + b ના ઢાળને સંખ્યાત્મક ગુણાંક k કહેવાય છે.

કોણીય ગુણાંક સીધી રેખાના સ્પર્શક સમાન છે, બીજા શબ્દોમાં k = t g α.

• સીધી રેખાના ઝોકનો કોણ માત્ર 0 બરાબર છે જો તે x ની સમાંતર હોય અને ઢોળાવ શૂન્યની બરાબર હોય, કારણ કે શૂન્યની સ્પર્શક 0 ની બરાબર હોય. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણનું સ્વરૂપ y = b હશે.
• જો સીધી રેખા y = k x + b ના ઝોકનો કોણ તીવ્ર હોય, તો શરતો 0 સંતુષ્ટ થાય છે< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, અને ગ્રાફમાં વધારો થયો છે.
• જો α = π 2, તો રેખાનું સ્થાન x પર લંબ છે. સમાનતા x = c વડે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે જેની કિંમત c વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
• જો સીધી રેખા y = k x + b ના ઝોકનો કોણ સ્થૂળ હોય, તો તે π 2 શરતોને અનુરૂપ છે< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает નકારાત્મક અર્થ, અને ગ્રાફ ઘટી રહ્યો છે.

વ્યાખ્યા 3

સેકન્ટ એ એક રેખા છે જે ફંક્શન f (x) ના 2 બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સેકન્ટ એ એક સીધી રેખા છે જે ગ્રાફ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ દ્વારા દોરવામાં આવે છે આપેલ કાર્ય.

આકૃતિ બતાવે છે કે A B એ સેકન્ટ છે, અને f (x) એ કાળો વળાંક છે, α એ લાલ ચાપ છે, જે સેકન્ટના ઝોકનો કોણ દર્શાવે છે.

જ્યારે સીધી રેખાનો કોણીય ગુણાંક ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શક સમાન હોય છે, ત્યારે તે સ્પષ્ટ છે કે કાટકોણ ત્રિકોણ A B C ની સ્પર્શક બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર દ્વારા શોધી શકાય છે.

વ્યાખ્યા 4

અમને ફોર્મનો સેકન્ટ શોધવા માટે એક સૂત્ર મળે છે:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, જ્યાં બિંદુ A અને B ના એબ્સિસાસ મૂલ્યો x A, x B, અને f (x A), f (x) છે બી) આ બિંદુઓ પર મૂલ્યોના કાર્યો છે.

દેખીતી રીતે, સેકન્ટનો કોણીય ગુણાંક સમાનતા k = f (x B) - f (x A) x B - x A અથવા k = f (x A) - f (x B) x A - x B નો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. , અને સમીકરણ y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) અથવા
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

સેકન્ટ ગ્રાફને દૃષ્ટિથી 3 ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે: બિંદુ A ની ડાબી બાજુએ, A થી B સુધી, B ની જમણી તરફ. નીચેનો આંકડો બતાવે છે કે ત્યાં ત્રણ સેકન્ટ્સ છે જેને સંયોગ માનવામાં આવે છે, એટલે કે, તેઓ a નો ઉપયોગ કરીને સેટ કરેલ છે. સમાન સમીકરણ.

વ્યાખ્યા દ્વારા, તે સ્પષ્ટ છે કે આ કિસ્સામાં સીધી રેખા અને તેના સેકન્ટ એકરૂપ છે.

એક સેકન્ટ આપેલ ફંક્શનના ગ્રાફને ઘણી વખત છેદે છે. જો સેકન્ટ માટે ફોર્મ y = 0 નું સમીકરણ હોય, તો સાઇનસૉઇડ સાથે આંતરછેદના બિંદુઓની સંખ્યા અનંત છે.

વ્યાખ્યા 5

બિંદુ x 0 પર ફંક્શન f (x) ના ગ્રાફનો સ્પર્શક ; f (x 0) એ આપેલ બિંદુ x 0માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે; f (x 0), એવા સેગમેન્ટની હાજરી સાથે કે જેમાં x 0 ની નજીક ઘણા x મૂલ્યો હોય.

ઉદાહરણ 1

ચાલો નીચેના ઉદાહરણ પર નજીકથી નજર કરીએ. પછી તે સ્પષ્ટ છે કે કાર્ય y = x + 1 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખા કોઓર્ડિનેટ્સ (1; 2) સાથે બિંદુ પર y = 2 x માટે સ્પર્શક માનવામાં આવે છે. સ્પષ્ટતા માટે, (1; 2) ની નજીકના મૂલ્યો સાથે આલેખને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. ફંક્શન y = 2 x કાળા રંગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે, વાદળી રેખા સ્પર્શરેખા છે, અને લાલ ટપકું આંતરછેદ બિંદુ છે.

દેખીતી રીતે, y = 2 x રેખા y = x + 1 સાથે મર્જ થાય છે.

સ્પર્શક નક્કી કરવા માટે, આપણે સ્પર્શક A B ની વર્તણૂકને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ કારણ કે બિંદુ B બિંદુ Aની નજીક આવે છે. સ્પષ્ટતા માટે, અમે એક ચિત્ર રજૂ કરીએ છીએ.

વાદળી રેખા દ્વારા સૂચવાયેલ સીકન્ટ A B, સ્પર્શકની સ્થિતિ તરફ જ વલણ ધરાવે છે, અને સેકન્ટ α ના ઝોકનો કોણ સ્પર્શકના ઝોકના કોણ તરફ વળવા લાગશે α x.

વ્યાખ્યા 6

બિંદુ A પર ફંક્શન y = f (x) ના ગ્રાફની સ્પર્શક એ સીકન્ટ A B ની સીમિત સ્થિતિ માનવામાં આવે છે કારણ કે B એ A તરફ વલણ ધરાવે છે, એટલે કે B → A.

હવે ચાલો એક બિંદુ પર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નના ભૌમિતિક અર્થને ધ્યાનમાં લઈએ.

ચાલો ફંક્શન f (x) માટે સેકન્ટ A B ને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ, જ્યાં A અને B કોઓર્ડિનેટ્સ x 0, f (x 0) અને x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), અને ∆ x છે દલીલના વધારા તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. હવે ફંક્શન ફોર્મ લેશે ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો ડ્રોઇંગનું ઉદાહરણ આપીએ.

પરિણામી કાટકોણ ત્રિકોણ A B C ને ધ્યાનમાં લો. આપણે હલ કરવા માટે સ્પર્શકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, એટલે કે, આપણે સંબંધ ∆ y ∆ x = t g α મેળવીએ છીએ. સ્પર્શકની વ્યાખ્યા પરથી તે lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x અનુસરે છે. એક બિંદુ પર વ્યુત્પન્નતાના નિયમ અનુસાર, આપણી પાસે છે કે બિંદુ x 0 પર વ્યુત્પન્ન f(x) ને ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે, જ્યાં ∆ x → 0 , પછી આપણે તેને f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x તરીકે દર્શાવીએ છીએ.

તે અનુસરે છે કે f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, જ્યાં k x એ સ્પર્શકના ઢોળાવ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

એટલે કે, આપણે શોધીએ છીએ કે f ' (x) બિંદુ x 0 પર અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને x 0, f 0 (x 0) ની સમાન સ્પર્શકતાના બિંદુ પર ફંક્શનના આપેલ ગ્રાફની સ્પર્શકની જેમ, જ્યાં ની કિંમત બિંદુ પર સ્પર્શકનો ઢોળાવ બિંદુ x 0 પરના વ્યુત્પન્ન સમાન છે. પછી આપણને તે k x = f " (x 0) મળે છે.

એક બિંદુ પર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ એ છે કે તે સમાન બિંદુ પરના ગ્રાફને સ્પર્શકના અસ્તિત્વનો ખ્યાલ આપે છે.

પ્લેન પર કોઈપણ સીધી રેખાના સમીકરણને લખવા માટે, તે જે બિંદુમાંથી પસાર થાય છે તેની સાથે કોણીય ગુણાંક હોવો જરૂરી છે. તેના સંકેતને આંતરછેદ પર x 0 માનવામાં આવે છે.

x 0, f 0 (x 0) બિંદુ પર ફંક્શન y = f (x) ના ગ્રાફનું સ્પર્શક સમીકરણ y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) સ્વરૂપ લે છે.

આનો અર્થ એ છે કે વ્યુત્પન્ન f "(x 0) નું અંતિમ મૂલ્ય સ્પર્શકની સ્થિતિને નિર્ધારિત કરી શકે છે, એટલે કે ઊભી રીતે, પ્રદાન કરેલ lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ અને lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ અથવા બિલકુલ ગેરહાજરી lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

સ્પર્શકનું સ્થાન તેના કોણીય ગુણાંક k x = f "(x 0) ના મૂલ્ય પર આધારિત છે. જ્યારે o x અક્ષની સમાંતર હોય, ત્યારે આપણે k k = 0 મેળવીએ છીએ, જ્યારે o y - k x = ∞ ની સમાંતર હોય છે, અને તેનું સ્વરૂપ સ્પર્શક સમીકરણ x = x 0 k x > 0 સાથે વધે છે, k x તરીકે ઘટે છે< 0 .

ઉદાહરણ 2

કોઓર્ડિનેટ્સ (1; 3) સાથે બિંદુ પર ફંક્શન y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક માટે સમીકરણ સંકલિત કરો અને ઝોકનો કોણ નક્કી કરો.

ઉકેલ

શરત દ્વારા, અમારી પાસે છે કે કાર્ય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. અમે શોધીએ છીએ કે શરત દ્વારા ઉલ્લેખિત કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનો બિંદુ, (1; 3) સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ છે, પછી x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

મૂલ્ય - 1 સાથે બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન શોધવું જરૂરી છે. અમે તે મેળવીએ છીએ

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

સ્પર્શક બિંદુ પર f' (x) નું મૂલ્ય સ્પર્શકનો ઢોળાવ છે, જે ઢાળની સ્પર્શક સમાન છે.

પછી k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

તે અનુસરે છે કે α x = a r c t g 3 3 = π 6

જવાબ:સ્પર્શક સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

સ્પષ્ટતા માટે, અમે ગ્રાફિક ચિત્રમાં એક ઉદાહરણ આપીએ છીએ.

મૂળ કાર્યના ગ્રાફ માટે કાળો રંગ વપરાય છે, વાદળી રંગ- સ્પર્શકની છબી, લાલ બિંદુ - સ્પર્શક બિંદુ. જમણી બાજુની આકૃતિ વિસ્તૃત દૃશ્ય દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ 3

આપેલ ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શકનું અસ્તિત્વ નક્કી કરો
y = 3 · x - 1 5 + 1 કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ પર (1 ; 1) . એક સમીકરણ લખો અને ઝોકનો કોણ નક્કી કરો.

ઉકેલ

શરત દ્વારા, અમારી પાસે છે કે આપેલ કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેનને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ માનવામાં આવે છે.

ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધવા તરફ આગળ વધીએ

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

જો x 0 = 1, તો f' (x) અવ્યાખ્યાયિત છે, પરંતુ મર્યાદા લિમ x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 તરીકે લખવામાં આવે છે · 1 + 0 = + ∞ અને લિમ x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞, જેનો અર્થ થાય છે બિંદુ પર અસ્તિત્વ ઊભી સ્પર્શક (1; 1).

જવાબ:સમીકરણ x = 1 સ્વરૂપ લેશે, જ્યાં ઝોકનો કોણ π 2 બરાબર હશે.

સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો તેને ગ્રાફિકલી ચિત્રિત કરીએ.

ઉદાહરણ 4

ફંક્શન y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 ના ગ્રાફ પરના બિંદુઓ શોધો, જ્યાં

1. ત્યાં કોઈ સ્પર્શક નથી;
2. સ્પર્શક x ની સમાંતર છે;
3. સ્પર્શરેખા y = 8 5 x + 4 રેખાની સમાંતર છે.

ઉકેલ

વ્યાખ્યાના અવકાશ પર ધ્યાન આપવું જરૂરી છે. શરત દ્વારા, અમારી પાસે છે કે ફંક્શન તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. અમે મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરીએ છીએ અને અંતરાલો x ∈ - ∞ સાથે સિસ્ટમ ઉકેલીએ છીએ; 2 અને [ - 2 ; + ∞). અમે તે મેળવીએ છીએ

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

કાર્યને અલગ પાડવું જરૂરી છે. અમારી પાસે તે છે

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

જ્યારે x = − 2, ત્યારે વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી કારણ કે તે બિંદુએ એકતરફી મર્યાદાઓ સમાન નથી:

લિમ x → - 2 - 0 y " (x) = લિમ x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 લિમ x → - 2 + 0 y " (x) = લિમ x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

આપણે x = - 2 બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ છીએ, જ્યાં આપણને તે મળે છે

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, એટલે કે બિંદુ પરનો સ્પર્શક (- - 2; - 2) અસ્તિત્વમાં રહેશે નહીં.
2. જ્યારે ઢાળ શૂન્ય હોય ત્યારે સ્પર્શક x ની સમાંતર હોય છે. પછી k x = t g α x = f "(x 0). એટલે કે, જ્યારે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન તેને શૂન્યમાં ફેરવે ત્યારે આવા x ની કિંમતો શોધવી જરૂરી છે. એટલે કે, f' ની કિંમતો (x) સ્પર્શેન્દ્રિયના બિંદુઓ હશે, જ્યાં સ્પર્શક x ની સમાંતર છે.

જ્યારે x ∈ - ∞ ; - 2, પછી - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, અને x ∈ (- 2; + ∞) માટે આપણને 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 મળે છે.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્યોની ગણતરી કરો

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

આથી - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 ફંક્શન ગ્રાફના જરૂરી બિંદુઓ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

ચાલો ઉકેલની ગ્રાફિકલ રજૂઆત જોઈએ.

કાળી રેખા એ ફંક્શનનો ગ્રાફ છે, લાલ ટપકાં એ ટેન્જન્સી પોઈન્ટ છે.

1. જ્યારે રેખાઓ સમાંતર હોય છે, ત્યારે કોણીય ગુણાંક સમાન હોય છે. પછી ફંક્શન ગ્રાફ પર પોઈન્ટ શોધવાનું જરૂરી છે જ્યાં ઢાળ મૂલ્ય 8 5 ની બરાબર હશે. આ કરવા માટે, તમારે ફોર્મ y "(x) = 8 5 ના સમીકરણને ઉકેલવાની જરૂર છે. પછી, જો x ∈ - ∞; - 2, તો આપણે મેળવીએ છીએ - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, અને જો x ∈ ( - 2 ; + ∞), તો 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

પ્રથમ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી કારણ કે ભેદભાવ શૂન્ય કરતા ઓછો છે. ચાલો તે લખીએ

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

બીજા સમીકરણમાં બે વાસ્તવિક મૂળ છે

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

ચાલો ફંક્શનની કિંમતો શોધવા તરફ આગળ વધીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

મૂલ્યો સાથે પોઈન્ટ - 1; 4 15, 5; 8 3 એ એવા બિંદુઓ છે કે જેના પર સ્પર્શક રેખા y = 8 5 x + 4ની સમાંતર હોય છે.

જવાબ:કાળી રેખા – કાર્યનો આલેખ, લાલ રેખા – y = 8 5 x + 4 નો ગ્રાફ, વાદળી રેખા – બિંદુઓ પર સ્પર્શકો - 1; 4 15, 5; 8 3.

આપેલ કાર્યો માટે અસંખ્ય સ્પર્શકો હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ 5

ફંક્શન y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 ના તમામ ઉપલબ્ધ સ્પર્શકોના સમીકરણો લખો, જે સીધી રેખા y = - 2 x + 1 2 પર લંબ સ્થિત છે.

ઉકેલ

સ્પર્શક સમીકરણનું સંકલન કરવા માટે, રેખાઓની લંબરૂપતાની સ્થિતિના આધારે સ્પર્શ બિંદુના ગુણાંક અને કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા જરૂરી છે. વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે: સીધી રેખાઓ માટે લંબરૂપ હોય તેવા કોણીય ગુણાંકનું ઉત્પાદન - 1 બરાબર છે, એટલે કે k x · k ⊥ = - 1 તરીકે લખવામાં આવે છે. શરતથી આપણી પાસે છે કે કોણીય ગુણાંક રેખા પર કાટખૂણે સ્થિત છે અને k ⊥ = - 2 બરાબર છે, પછી k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

હવે તમારે ટચ પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની જરૂર છે. આપેલ કાર્ય માટે તમારે x અને પછી તેની કિંમત શોધવાની જરૂર છે. નોંધ કરો કે બિંદુ પર વ્યુત્પન્નના ભૌમિતિક અર્થમાંથી
x 0 આપણે તે k x = y "(x 0) મેળવીએ છીએ. આ સમાનતામાંથી આપણે સંપર્કના બિંદુઓ માટે x ની કિંમતો શોધીએ છીએ.

અમે તે મેળવીએ છીએ

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 પાપ 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 પાપ 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 પાપ 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ પાપ 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

આ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણસ્પર્શક બિંદુઓના ઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવા માટે ઉપયોગ કરવામાં આવશે.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk અથવા 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk અથવા 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c પાપ 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk અથવા x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z એ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે.

સંપર્કના x બિંદુઓ મળી આવ્યા છે. હવે તમારે y ના મૂલ્યો શોધવા માટે આગળ વધવાની જરૂર છે:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - પાપ 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 અથવા y 0 = 3 - 1 - પાપ 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 અથવા y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 અથવા y 0 = - 4 5 + 1 3

આમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 સ્પર્શના બિંદુઓ છે.

જવાબ:જરૂરી સમીકરણો તરીકે લખવામાં આવશે

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c પાપ 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c પાપ 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

દ્રશ્ય રજૂઆત માટે, સંકલન રેખા પર કાર્ય અને સ્પર્શકને ધ્યાનમાં લો.

આકૃતિ બતાવે છે કે ફંક્શન અંતરાલ પર સ્થિત છે [ - 10 ; 10], જ્યાં કાળી રેખા એ ફંક્શનનો ગ્રાફ છે, ત્યાં વાદળી રેખાઓ સ્પર્શક છે, જે y = - 2 x + 1 2 ફોર્મની આપેલ રેખા પર લંબ સ્થિત છે. લાલ બિંદુઓ સ્પર્શ બિંદુઓ છે.

2જી ક્રમના વળાંકોના પ્રમાણભૂત સમીકરણો સિંગલ-વેલ્યુડ ફંક્શન નથી. તેમના માટે સ્પર્શક સમીકરણો જાણીતી યોજનાઓ અનુસાર સંકલિત કરવામાં આવે છે.

વર્તુળમાં સ્પર્શક

બિંદુ x c e n t e r પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે; y c e n t e r અને ત્રિજ્યા R, સૂત્ર x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 લાગુ કરો.

આ સમાનતાને બે કાર્યોના જોડાણ તરીકે લખી શકાય છે:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

પ્રથમ કાર્ય ટોચ પર સ્થિત છે, અને બીજું તળિયે, આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે.

બિંદુ x 0 પર વર્તુળના સમીકરણનું સંકલન કરવા માટે; y 0 , જે ઉપલા અથવા નીચલા અર્ધવર્તુળમાં સ્થિત છે, તમારે ફોર્મ y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r અથવા y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + ફોર્મના ફંક્શનના ગ્રાફનું સમીકરણ શોધવું જોઈએ. સૂચવેલા બિંદુ પર y c e n t e r.

જ્યારે બિંદુ x c e n t e r પર ; y c e n t e r + R અને x c e n t e r ; y c e n t e r - R સ્પર્શક સમીકરણો y = y c e n t e r + R અને y = y c e n t e r - R , અને બિંદુઓ x c e n t e r + R દ્વારા આપી શકાય છે ; y c e n t e r અને
x c e n t e r - R ; y c e n t e r o y ની સમાંતર હશે, પછી આપણે x = x c e n t e r + R અને x = x c e n t e r - R ફોર્મના સમીકરણો મેળવીશું.

લંબગોળ માટે સ્પર્શક

જ્યારે લંબગોળનું કેન્દ્ર x c e n t e r પર હોય છે; y c e n t e r અર્ધ-અક્ષો a અને b સાથે, પછી તે સમીકરણ x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 નો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

લંબગોળ અને વર્તુળ બે કાર્યોને જોડીને સૂચિત કરી શકાય છે, એટલે કે ઉપલા અને નીચલા અર્ધ-લંબગોળ. પછી આપણે તે મેળવીએ છીએ

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

જો સ્પર્શક અંડાકારના શિરોબિંદુ પર સ્થિત હોય, તો તે x અથવા લગભગ y ની સમાંતર હોય છે. નીચે, સ્પષ્ટતા માટે, આકૃતિને ધ્યાનમાં લો.

ઉદાહરણ 6

સ્પર્શકનું સમીકરણ લંબગોળ x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 બિંદુઓ પર x = 2 ની બરાબર x ની કિંમતો સાથે લખો.

ઉકેલ

x = 2 મૂલ્યને અનુરૂપ સ્પર્શક બિંદુઓ શોધવાનું જરૂરી છે. અમે અંડાકારના હાલના સમીકરણમાં બદલીએ છીએ અને તે શોધીએ છીએ

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

પછી 2; 5 3 2 + 5 અને 2; - 5 3 2 + 5 એ સ્પર્શ બિંદુઓ છે જે ઉપલા અને નીચલા અર્ધ લંબગોળ સાથે સંબંધિત છે.

ચાલો y ના સંદર્ભમાં અંડાકારના સમીકરણને શોધવા અને ઉકેલવા તરફ આગળ વધીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

દેખીતી રીતે, ઉપલા અર્ધ લંબગોળ ફોર્મ y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 અને નીચલા અર્ધ લંબગોળ y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 ફોર્મના ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને ઉલ્લેખિત છે.

ચાલો એક બિંદુ પર ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક માટે સમીકરણ બનાવવા માટે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમ લાગુ કરીએ. ચાલો આપણે લખીએ કે બિંદુ 2 પર પ્રથમ સ્પર્શક માટેનું સમીકરણ; 5 3 2 + 5 જેવો દેખાશે

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

આપણે શોધીએ છીએ કે બિંદુ પરના મૂલ્ય સાથે બીજા સ્પર્શકનું સમીકરણ
2; - 5 3 2 + 5 ફોર્મ લે છે

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

ગ્રાફિકલી, સ્પર્શક નીચે પ્રમાણે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે:

હાયપરબોલલ માટે સ્પર્શક

જ્યારે હાઇપરબોલાનું કેન્દ્ર x c e n t e r પર હોય છે; y c e n t e r અને શિરોબિંદુ x c e n t e r + α ; y c e n t e r અને x c e n t e r - α ; y c e n t e r , અસમાનતા x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 થાય છે, જો x c e n t e r શિરોબિંદુ સાથે હોય તો ; y c e n t e r + b અને x c e n t e r ; y c e n t e r - b , પછી અસમાનતા x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 નો ઉપયોગ કરીને ઉલ્લેખિત છે.

હાઇપરબોલા ફોર્મના બે સંયુક્ત કાર્યો તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r અથવા y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + e + y + y + y + + (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

પ્રથમ કિસ્સામાં આપણી પાસે છે કે સ્પર્શક y ની સમાંતર છે, અને બીજામાં તે x ની સમાંતર છે.

તે અનુસરે છે કે હાયપરબોલા માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધવા માટે, સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ કયા કાર્ય સાથે સંબંધિત છે તે શોધવાનું જરૂરી છે. આ નક્કી કરવા માટે, સમીકરણોમાં અવેજી કરવી અને ઓળખ માટે તપાસ કરવી જરૂરી છે.

ઉદાહરણ 7

બિંદુ 7 પર x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ની સ્પર્શક માટે સમીકરણ લખો; - 3 3 - 3 .

ઉકેલ

2 ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને હાઇપરબોલા શોધવા માટે સોલ્યુશન રેકોર્ડને રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે. અમે તે મેળવીએ છીએ

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 અને y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

કોઓર્ડિનેટ્સ 7 સાથે આપેલ બિંદુ કયા કાર્યનું છે તે ઓળખવું જરૂરી છે; - 3 3 - 3 .

દેખીતી રીતે, પ્રથમ કાર્ય તપાસવા માટે તે જરૂરી છે y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, પછી બિંદુ આલેખ સાથે સંબંધિત નથી, કારણ કે સમાનતા નથી.

બીજા ફંક્શન માટે આપણી પાસે છે કે y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ આપેલ ગ્રાફનો છે. અહીંથી તમારે ઢાળ શોધવો જોઈએ.

અમે તે મેળવીએ છીએ

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

જવાબ:સ્પર્શક સમીકરણ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

તે આના જેવું સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું છે:

પેરાબોલાને સ્પર્શક

બિંદુ x 0, y (x 0) પર પેરાબોલા y = a x 2 + b x + c માટે સ્પર્શક માટે સમીકરણ બનાવવા માટે, તમારે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે, પછી સમીકરણ y = y "(x) સ્વરૂપ લેશે 0) x - x 0 + y ( x 0). શિરોબિંદુ પર આવી સ્પર્શક x ની સમાંતર છે.

તમારે પેરાબોલા x = a y 2 + b y + c ને બે કાર્યોના જોડાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવું જોઈએ. તેથી, આપણે y માટે સમીકરણ હલ કરવાની જરૂર છે. અમે તે મેળવીએ છીએ

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

ગ્રાફિકલી આ રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું છે:

બિંદુ x 0, y (x 0) ફંક્શનથી સંબંધિત છે કે કેમ તે શોધવા માટે, પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમ અનુસાર ધીમેધીમે આગળ વધો. આવી સ્પર્શક પેરાબોલાના સાપેક્ષ o y ની સમાંતર હશે.

ઉદાહરણ 8

જ્યારે આપણી પાસે 150 °નો સ્પર્શકોણ હોય ત્યારે ગ્રાફ x - 2 y 2 - 5 y + 3 પર સ્પર્શકનું સમીકરણ લખો.

ઉકેલ

અમે પેરાબોલાને બે કાર્યો તરીકે રજૂ કરીને ઉકેલ શરૂ કરીએ છીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

ઢાળનું મૂલ્ય આ કાર્યના બિંદુ x 0 પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્ય જેટલું છે અને તે ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શક જેટલું છે.

અમને મળે છે:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

અહીંથી આપણે સંપર્કના બિંદુઓ માટે x મૂલ્ય નક્કી કરીએ છીએ.

પ્રથમ ફંક્શન આ રીતે લખવામાં આવશે

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

દેખીતી રીતે, ત્યાં કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, કારણ કે અમને નકારાત્મક મૂલ્ય મળ્યું છે. અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે આવા કાર્ય માટે 150°ના ખૂણા સાથે કોઈ સ્પર્શક નથી.

બીજું ફંક્શન આ રીતે લખવામાં આવશે

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

અમારી પાસે સંપર્કના બિંદુઓ છે 23 4 ; - 5 + 3 4 .

જવાબ:સ્પર્શક સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

ચાલો તેને આ રીતે ગ્રાફિકલી નિરૂપણ કરીએ:

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

ઉદાહરણ 1.એક ફંકશન આપ્યું f(x) = 3x 2 + 4x– 5. ચાલો ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ લખીએ f(x) એબ્સીસા સાથે ગ્રાફ પોઈન્ટ પર x 0 = 1.

ઉકેલ.કાર્યનું વ્યુત્પન્ન f(x) કોઈપણ x માટે અસ્તિત્વમાં છે આર . ચાલો તેણીને શોધીએ:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

પછી f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

જવાબ આપો. y = 10x – 8.

ઉદાહરણ 2.એક ફંકશન આપ્યું f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. ચાલો ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ લખીએ f(x), રેખાની સમાંતર y = 2x – 11.

ઉકેલ.કાર્યનું વ્યુત્પન્ન f(x) કોઈપણ x માટે અસ્તિત્વમાં છે આર . ચાલો તેણીને શોધીએ:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક હોવાથી f(x) abscissa બિંદુ પર x 0 એ રેખાની સમાંતર છે y = 2x– 11, તો તેનો ઢોળાવ 2 બરાબર છે, એટલે કે ( x 0) = 2. ચાલો આ એબ્સીસાને શરતમાંથી શોધીએ કે 3 x– 6x 0 + 2 = 2. આ સમાનતા ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે x 0 = 0 અને મુ x 0 = 2. ત્યારથી બંને કિસ્સાઓમાં f(x 0) = 5, પછી સીધા y = 2x + bકાર્યના ગ્રાફને બિંદુ (0; 5) અથવા બિંદુ (2; 5) પર સ્પર્શ કરે છે.

પ્રથમ કિસ્સામાં, સંખ્યાત્મક સમાનતા 5 = 2×0 + સાચી છે b, ક્યાં b= 5, અને બીજા કિસ્સામાં સંખ્યાત્મક સમાનતા 5 = 2×2 + સાચી છે b, ક્યાં b = 1.

તેથી બે સ્પર્શક છે y = 2x+ 5 અને y = 2xફંક્શનના ગ્રાફ માટે + 1 f(x), રેખાની સમાંતર y = 2x – 11.

જવાબ આપો. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

ઉદાહરણ 3.એક ફંકશન આપ્યું f(x) = x 2 – 6x+ 7. ચાલો ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ લખીએ f(x), બિંદુમાંથી પસાર થવું એ (2; –5).

ઉકેલ.કારણ કે f(2) -5, પછી બિંદુ એફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત નથી f(x). દો x 0 - સ્પર્શબિંદુનો એબ્સીસા.

કાર્યનું વ્યુત્પન્ન f(x) કોઈપણ x માટે અસ્તિત્વમાં છે આર . ચાલો તેણીને શોધીએ:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

પછી f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

બિંદુ થી એસ્પર્શક સાથે સંબંધ ધરાવે છે, પછી સંખ્યાત્મક સમાનતા સાચી છે

–5 = (2x 0 - 6) × 2- x+ 7,

જ્યાં x 0 = 0 અથવા x 0 = 4. આનો અર્થ છે કે બિંદુ દ્વારા એતમે ફંક્શનના ગ્રાફ પર બે સ્પર્શક દોરી શકો છો f(x).

જો x 0 = 0, પછી સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે y = –6x+ 7. જો x 0 = 4, પછી સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે y = 2x – 9.

જવાબ આપો. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

ઉદાહરણ 4.કાર્યો આપેલ છે f(x) = x 2 – 2x+ 2 અને g(x) = –x 2 – 3. ચાલો આ ફંકશનના આલેખમાં સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ લખીએ.

ઉકેલ.દો x 1 - ફંક્શનના આલેખ સાથે ઇચ્છિત રેખાના સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુનો અવકાશ f(x), એ x 2 - ફંક્શનના આલેખ સાથે સમાન રેખાના સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુનો અવકાશ g(x).

કાર્યનું વ્યુત્પન્ન f(x) કોઈપણ x માટે અસ્તિત્વમાં છે આર . ચાલો તેણીને શોધીએ:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

પછી f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

નીચેની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો:

તે ચોક્કસ કાર્ય y = f(x) દર્શાવે છે, જે બિંદુ a પર અલગ કરી શકાય તેવું છે. કોઓર્ડિનેટ્સ (a; f(a)) સાથે બિંદુ M ચિહ્નિત થયેલ છે. સેકન્ટ MR ગ્રાફના મનસ્વી બિંદુ P(a + ∆x; f(a + ∆x)) દ્વારા દોરવામાં આવે છે.

જો હવે બિંદુ P ને ગ્રાફ સાથે બિંદુ M પર ખસેડવામાં આવે છે, તો સીધી રેખા MR બિંદુ M આસપાસ ફરશે. આ કિસ્સામાં, ∆x શૂન્ય તરફ વળશે. અહીંથી આપણે ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકની વ્યાખ્યા ઘડી શકીએ છીએ.

ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્પર્શક

ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક એ સેકન્ટની મર્યાદિત સ્થિતિ છે કારણ કે દલીલનો વધારો શૂન્ય તરફ વળે છે. તે સમજવું જોઈએ કે x0 બિંદુ પર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું અસ્તિત્વ એટલે કે ગ્રાફના આ બિંદુએ સ્પર્શકતેને.

આ કિસ્સામાં, સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક આ બિંદુ f’(x0) પર આ કાર્યના વ્યુત્પન્ન સમાન હશે. આ વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ છે. બિંદુ x0 પર તફાવત કરી શકાય તેવા ફંકશનના ગ્રાફની સ્પર્શક એ બિંદુ (x0;f(x0))માંથી પસાર થતી અને કોણીય ગુણાંક f’(x0) ધરાવતી ચોક્કસ સીધી રેખા છે.

સ્પર્શક સમીકરણ

ચાલો બિંદુ A(x0; f(x0)) પર અમુક ફંક્શન f ના ગ્રાફ સાથે સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવવાનો પ્રયાસ કરીએ. ઢોળાવ k સાથે સીધી રેખાના સમીકરણમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

કારણ કે આપણો ઢોળાવ ગુણાંક વ્યુત્પન્ન સમાન છે f’(x0), પછી સમીકરણ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે: y = f’(x0)*x + b.

હવે b ની કિંમતની ગણતરી કરીએ. આ કરવા માટે, અમે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કે કાર્ય બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, અહીંથી આપણે b વ્યક્ત કરીએ છીએ અને b = f(x0) - f’(x0)*x0 મેળવીએ છીએ.

અમે પરિણામી મૂલ્યને સ્પર્શક સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

નીચેના ઉદાહરણનો વિચાર કરો: બિંદુ x = 2 પર f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. પ્રાપ્ત મૂલ્યોને સ્પર્શક સૂત્રમાં બદલો, આપણને મળે છે: y = 1 + 4*(x - 2). કૌંસ ખોલીને અને સમાન શબ્દો લાવવાથી આપણને મળે છે: y = 4*x - 7.

જવાબ: y = 4*x - 7.

સ્પર્શક સમીકરણ કંપોઝ કરવા માટેની સામાન્ય યોજનાફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફ પર:

1. x0 નક્કી કરો.

2. f(x0) ની ગણતરી કરો.

3. f’(x) ની ગણતરી કરો

સૂચનાઓ

અમે બિંદુ M પર વળાંક માટે સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક નક્કી કરીએ છીએ.
ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફનું પ્રતિનિધિત્વ કરતો વળાંક એ બિંદુ M (બિંદુ M સહિત) ની ચોક્કસ પડોશમાં સતત છે.

જો મૂલ્ય f‘(x0) અસ્તિત્વમાં નથી, તો કાં તો ત્યાં કોઈ સ્પર્શક નથી, અથવા તે ઊભી રીતે ચાલે છે. આને ધ્યાનમાં રાખીને, બિંદુ x0 પર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની હાજરી બિંદુ (x0, f(x0)) પરના ફંક્શનના ગ્રાફમાં બિન-ઊભી સ્પર્શક સ્પર્શકના અસ્તિત્વને કારણે છે. આ કિસ્સામાં, સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક f" (x0) ની બરાબર હશે. આમ, વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ સ્પષ્ટ થાય છે - સ્પર્શકના કોણીય ગુણાંકની ગણતરી.

સ્પર્શક બિંદુનું એબ્સીસા મૂલ્ય શોધો, જે અક્ષર "a" દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. જો તે આપેલ સ્પર્શક બિંદુ સાથે એકરુપ હોય, તો "a" તેનું x-સંકલન હશે. મૂલ્ય નક્કી કરો કાર્યો f(a) સમીકરણમાં બદલીને કાર્યો abscissa મૂલ્ય.

સમીકરણનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન નક્કી કરો કાર્યો f’(x) અને તેમાં બિંદુ “a” ની કિંમત બદલો.

સામાન્ય સ્પર્શક સમીકરણ લો, જે y = f(a) = f (a)(x – a) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, અને તેમાં a, f(a), f "(a) ના મળેલા મૂલ્યોને બદલો. પરિણામે, ગ્રાફનો ઉકેલ મળશે અને સ્પર્શક.

જો આપેલ સ્પર્શક બિંદુ સ્પર્શક બિંદુ સાથે સુસંગત ન હોય તો સમસ્યાને અલગ રીતે ઉકેલો. આ કિસ્સામાં, સ્પર્શક સમીકરણમાં સંખ્યાઓને બદલે "a" ને બદલવું જરૂરી છે. આ પછી, "x" અને "y" અક્ષરોને બદલે, આપેલ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂલ્ય બદલો. પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો જેમાં “a” અજ્ઞાત છે. પરિણામી મૂલ્યને સ્પર્શક સમીકરણમાં પ્લગ કરો.

જો સમસ્યાનું નિવેદન સમીકરણને સ્પષ્ટ કરે તો "a" અક્ષર સાથે સ્પર્શક માટે સમીકરણ લખો કાર્યોઅને ઇચ્છિત સ્પર્શકને સંબંધિત સમાંતર રેખાનું સમીકરણ. આ પછી આપણને વ્યુત્પન્નની જરૂર છે કાર્યો, બિંદુ "a" પરના સંકલન માટે. સ્પર્શક સમીકરણમાં યોગ્ય મૂલ્ય બદલો અને કાર્ય ઉકેલો.

આ ગાણિતિક પ્રોગ્રામ વપરાશકર્તા દ્વારા નિર્દિષ્ટ બિંદુ \(a\) પર ફંક્શન \(f(x)\) ના ગ્રાફના સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધે છે.

પ્રોગ્રામ માત્ર સ્પર્શક સમીકરણ જ પ્રદર્શિત કરતું નથી, પણ સમસ્યાને ઉકેલવાની પ્રક્રિયા પણ દર્શાવે છે.

આ ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર હાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ માટે તૈયારીમાં ઉપયોગી થઈ શકે છે પરીક્ષણોઅને પરીક્ષાઓ, જ્યારે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં જ્ઞાનની ચકાસણી કરતી વખતે, માતાપિતા માટે ગણિત અને બીજગણિતની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલને નિયંત્રિત કરવા માટે. અથવા કદાચ તમારા માટે શિક્ષકને ભાડે રાખવું અથવા નવા પાઠ્યપુસ્તકો ખરીદવા તે ખૂબ ખર્ચાળ છે? અથવા તમે તેને શક્ય તેટલી ઝડપથી પૂર્ણ કરવા માંગો છો? ગૃહ કાર્યગણિતમાં કે બીજગણિતમાં? આ કિસ્સામાં, તમે વિગતવાર ઉકેલો સાથે અમારા પ્રોગ્રામ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.

આ રીતે તમે તમારો ખર્ચ કરી શકો છો પોતાની તાલીમઅને/અથવા તેમના નાના ભાઈઓ અથવા બહેનોને તાલીમ આપે છે, જ્યારે સમસ્યાઓ હલ કરવાના ક્ષેત્રમાં શિક્ષણનું સ્તર વધે છે.

જો તમારે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર હોય, તો આ માટે અમારી પાસે કાર્ય છે ડેરિવેટિવ શોધો.

જો તમે કાર્યો દાખલ કરવાના નિયમોથી પરિચિત નથી, તો અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે તમારી જાતને તેમની સાથે પરિચિત કરો.

ફંક્શન એક્સપ્રેશન \(f(x)\) અને નંબર \(a\) દાખલ કરો

f(x)=
a=

સ્પર્શક સમીકરણ શોધો

તે જાણવા મળ્યું હતું કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી કેટલીક સ્ક્રિપ્ટો લોડ કરવામાં આવી ન હતી, અને પ્રોગ્રામ કામ કરી શકશે નહીં.
તમે AdBlock સક્ષમ કરેલ હોઈ શકે છે.
આ કિસ્સામાં, તેને અક્ષમ કરો અને પૃષ્ઠને તાજું કરો.

તમારા બ્રાઉઝરમાં JavaScript અક્ષમ છે.
ઉકેલ દેખાવા માટે, તમારે JavaScript સક્ષમ કરવાની જરૂર છે.
તમારા બ્રાઉઝરમાં JavaScript ને કેવી રીતે સક્ષમ કરવું તેની સૂચનાઓ અહીં છે.

કારણ કે સમસ્યા હલ કરવા માટે ઘણા બધા લોકો તૈયાર છે, તમારી વિનંતી કતારમાં છે.
થોડીવારમાં ઉકેલ નીચે દેખાશે.
મહેરબાની કરી રાહ જુવો સેકન્ડ...

જો તમે ઉકેલમાં ભૂલ નોંધાઈ, પછી તમે આ વિશે ફીડબેક ફોર્મમાં લખી શકો છો.
ભૂલી ના જતા કયું કાર્ય સૂચવે છેતમે શું નક્કી કરો ક્ષેત્રોમાં દાખલ કરો.

અમારી રમતો, કોયડાઓ, અનુકરણકર્તાઓ:

થોડો સિદ્ધાંત.

સીધો ઢોળાવ

યાદ કરો કે રેખીય કાર્ય \(y=kx+b\)નો ગ્રાફ એક સીધી રેખા છે. નંબર \(k=tg \alpha \) કહેવાય છે સીધી રેખાનો ઢોળાવ, અને કોણ \(\alpha \) આ રેખા અને Ox અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે

જો \(k>0\), તો પછી \(0 જો \(k ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સ્પર્શકનું સમીકરણ

જો બિંદુ M(a; f(a)) ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત હોય અને જો આ બિંદુએ એક સ્પર્શકને ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરવામાં આવે જે x-અક્ષને લંબરૂપ નથી, પછી વ્યુત્પન્નના ભૌમિતિક અર્થ પરથી તે અનુસરે છે કે સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક f "(a) ની બરાબર છે. આગળ, આપણે કોઈપણ કાર્યના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક માટે સમીકરણ કંપોઝ કરવા માટે એક અલ્ગોરિધમ વિકસાવીશું.

આ ફંક્શનના ગ્રાફ પર ફંક્શન y = f(x) અને બિંદુ M(a; f(a)) આપવા દો; ચાલો જાણીએ કે f"(a) અસ્તિત્વમાં છે. ચાલો આપેલ બિંદુ પર આપેલ ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક માટે સમીકરણ બનાવીએ. આ સમીકરણ, કોઈપણ સીધી રેખાના સમીકરણની જેમ, નથી સમાંતર ધરીઓર્ડિનેટ્સનું સ્વરૂપ y = kx + b છે, તેથી કાર્ય k અને b ના ગુણાંકના મૂલ્યો શોધવાનું છે.

કોણીય ગુણાંક k સાથે બધું સ્પષ્ટ છે: તે જાણીતું છે કે k = f"(a). b ની કિંમતની ગણતરી કરવા માટે, અમે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કે ઇચ્છિત સીધી રેખા બિંદુ M(a; f(a))માંથી પસાર થાય છે. આનો અર્થ એ થયો કે જો આપણે બિંદુ M ના કોઓર્ડિનેટ્સને સીધી રેખાના સમીકરણમાં બદલીએ, તો આપણે સાચી સમાનતા મેળવીશું: \(f(a)=ka+b\), એટલે કે \(b = f(a) - ka\).

તે સીધી રેખાના સમીકરણમાં k અને b ગુણાંકના મળેલા મૂલ્યોને બદલવાનું બાકી છે:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a) $$

અમે પ્રાપ્ત કર્યું ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સ્પર્શકનું સમીકરણ\(y = f(x) \) બિંદુ પર \(x=a \).

કાર્ય \(y=f(x)\) ના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ
1. અક્ષર \(a\) વડે સ્પર્શક બિંદુના એબ્સીસાને નિયુક્ત કરો
2. ગણતરી કરો \(f(a)\)
3. શોધો \(f"(x)\) અને ગણતરી કરો \(f"(a)\)
4. મળેલી સંખ્યાઓ \(a, f(a), f"(a) \) ને સૂત્ર \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \) માં બદલો

પુસ્તકો (પાઠ્યપુસ્તકો) યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશનના એબ્સ્ટ્રેક્ટ્સ અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન ટેસ્ટ ઓનલાઇન ગેમ્સ, કોયડાઓ ફંક્શનના ગ્રાફનું પ્લોટિંગ રશિયન ભાષાના સ્પેલિંગ ડિક્શનરી ઓફ યુથ સ્લેંગ રશિયન સ્કૂલનો કેટલોગ રશિયાની માધ્યમિક શૈક્ષણિક સંસ્થાઓનો કેટલોગ રશિયન યુનિવર્સિટીઓની સૂચિ સમસ્યાઓ GCD અને LCM શોધવી બહુપદીને સરળ બનાવવી (બહુપદીનો ગુણાકાર)