લઘુગણક અને ઘાતાંકના ગુણધર્મો. કુદરતી લઘુગણક અને સંખ્યા e. જટિલ સંખ્યાઓ દ્વારા અભિવ્યક્તિઓ

બિલકુલ ખરાબ તો નથી ને? જ્યારે ગણિતશાસ્ત્રીઓ તમને એક લાંબી, મૂંઝવણભરી વ્યાખ્યા આપવા માટે શબ્દો શોધે છે, ત્યારે ચાલો આ સરળ અને સ્પષ્ટ શબ્દોને નજીકથી જોઈએ.

e નો અર્થ વૃદ્ધિ થાય છે

સંખ્યા e નો અર્થ છે સતત વૃદ્ધિ. આપણે અગાઉના ઉદાહરણમાં જોયું તેમ, e x આપણને વ્યાજ અને સમયને લિંક કરવાની મંજૂરી આપે છે: 100% વૃદ્ધિ પર 3 વર્ષ 300% પર 1 વર્ષ સમાન છે, "ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ" ધારીને.

તમે કોઈપણ ટકાવારી અને સમય મૂલ્યોને બદલી શકો છો (4 વર્ષ માટે 50%), પરંતુ સગવડ માટે ટકાવારી 100% તરીકે સેટ કરવી વધુ સારું છે (તે 2 વર્ષ માટે 100% થાય છે). 100% પર જઈને, અમે ફક્ત સમય ઘટક પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરી શકીએ છીએ:

e x = e ટકા * સમય = e 1.0 * સમય = e સમય

દેખીતી રીતે e x નો અર્થ છે:

સમયના x એકમો પછી મારું યોગદાન કેટલું વધશે (100% સતત વૃદ્ધિ ધારીને).
ઉદાહરણ તરીકે, 3 સમયના અંતરાલ પછી મને e 3 = 20.08 ગણી વધુ "વસ્તુઓ" પ્રાપ્ત થશે.

e x એ સ્કેલિંગ પરિબળ છે જે દર્શાવે છે કે x સમયની માત્રામાં આપણે કયા સ્તરે વધીશું.

કુદરતી લઘુગણક એટલે સમય

પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ e નું વ્યસ્ત છે, જે વિરુદ્ધ માટેનો ફેન્સી શબ્દ છે. quirks બોલતા; લેટિનમાં તેને લોગરીથમસ નેચરલી કહેવામાં આવે છે, તેથી સંક્ષેપ ln.

અને આ વ્યુત્ક્રમ અથવા વિરુદ્ધનો અર્થ શું છે?

e x અમને સમયને બદલવા અને વૃદ્ધિ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે.
ln(x) અમને વૃદ્ધિ અથવા આવક લેવા અને તેને જનરેટ કરવામાં જે સમય લાગે છે તે શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

દાખ્લા તરીકે:

e 3 બરાબર 20.08. ત્રણ સમયગાળા પછી, અમે જે શરૂઆત કરી છે તેના કરતાં અમારી પાસે 20.08 ગણા વધુ હશે.
ln(08/20) અંદાજે 3 હશે. જો તમને 20.08 ગણા વૃદ્ધિમાં રસ હોય, તો તમારે 3 સમય અવધિની જરૂર પડશે (ફરીથી, 100% સતત વૃદ્ધિ ધારીને).

હજુ વાંચો છો? પ્રાકૃતિક લઘુગણક ઇચ્છિત સ્તર સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી સમય દર્શાવે છે.

આ બિન-માનક લઘુગણક ગણતરી

શું તમે લઘુગણકમાંથી પસાર થયા છો - તે વિચિત્ર જીવો છે. તેઓ ગુણાકારને વધારામાં કેવી રીતે ફેરવી શક્યા? બાદબાકીમાં ભાગલા વિશે શું? ચાલો એક નજર કરીએ.

ln(1) બરાબર શું છે? સાહજિક રીતે, પ્રશ્ન એ છે: મારી પાસે જે છે તેના કરતાં 1x વધુ મેળવવા માટે મારે કેટલો સમય રાહ જોવી જોઈએ?

શૂન્ય. શૂન્ય. જરાય નહિ. તમારી પાસે પહેલેથી જ એક વાર છે. લેવલ 1 થી લેવલ 1 માં જવામાં વધારે સમય લાગતો નથી.

ln(1) = 0

ઠીક છે, અપૂર્ણાંક મૂલ્ય વિશે શું? ઉપલબ્ધ જથ્થાનો 1/2 બાકી રહે તે માટે અમને કેટલો સમય લાગશે? આપણે જાણીએ છીએ કે 100% સતત વૃદ્ધિ સાથે, ln(2) નો અર્થ એ થાય છે કે તે બમણો થવામાં જે સમય લે છે. જો આપણે ચાલો સમય પાછો ફેરવીએ(એટલે કે, નકારાત્મક સમયની રાહ જુઓ), પછી આપણી પાસે જે છે તેનો અડધો ભાગ આપણને મળશે.

ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

તાર્કિક, અધિકાર? જો આપણે પાછા (સમય પાછળ) 0.693 સેકન્ડ પર જઈશું, તો આપણને ઉપલબ્ધ અડધી રકમ મળશે. સામાન્ય રીતે, તમે અપૂર્ણાંકને ફેરવી શકો છો અને નકારાત્મક મૂલ્ય લઈ શકો છો: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. આનો અર્થ એ છે કે જો આપણે 1.09 વખત સમય પર પાછા જઈશું, તો આપણે વર્તમાન સંખ્યાના ત્રીજા ભાગને જ શોધીશું.

ઠીક છે, નકારાત્મક સંખ્યાના લઘુગણક વિશે શું? 1 થી -3 સુધીના બેક્ટેરિયાની વસાહતને "વધવા" માટે કેટલો સમય લાગે છે?

આ અશકય છે! તમે નકારાત્મક બેક્ટેરિયાની ગણતરી મેળવી શકતા નથી, શું તમે? તમે શૂન્યની મહત્તમ (એર... ન્યુનત્તમ) મેળવી શકો છો, પરંતુ આ નાના ક્રિટર્સમાંથી તમે નકારાત્મક સંખ્યા મેળવી શકો તેવો કોઈ રસ્તો નથી. નકારાત્મક બેક્ટેરિયાની ગણતરીનો કોઈ અર્થ નથી.

ln(નકારાત્મક સંખ્યા) = અવ્યાખ્યાયિત

"અવ્યાખ્યાયિત" નો અર્થ એ છે કે નકારાત્મક મૂલ્ય મેળવવા માટે રાહ જોવી પડે તેટલો સમય નથી.

લોગરીધમિક ગુણાકાર માત્ર આનંદી છે

ચાર ગણો વધવા માટે કેટલો સમય લાગશે? અલબત્ત, તમે ફક્ત ln(4) લઈ શકો છો. પરંતુ આ ખૂબ સરળ છે, આપણે બીજી રીતે જઈશું.

તમે ચારગણી વૃદ્ધિને બમણી (ln(2) સમયના એકમોની જરૂર છે) અને પછી ફરીથી બમણી (બીજા ln(2) સમયના એકમોની જરૂર છે) તરીકે વિચારી શકો છો:

4 ગણો વધવાનો સમય = ln(4) = બમણો થવાનો સમય અને પછી ફરી બમણો = ln(2) + ln(2)

રસપ્રદ. કોઈપણ વૃદ્ધિ દર, કહો કે 20, 10 ગણો વધારો થયા પછી બમણો થતો ગણી શકાય. અથવા 4 ગણો વધારો, અને પછી 5 ગણો. અથવા ત્રણ ગણો અને પછી 6.666 ગણો વધારો. પેટર્ન જુઓ?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A ગુણ્યા B નો લઘુગણક log(A) + log(B) છે. જ્યારે વૃદ્ધિની દ્રષ્ટિએ જોવામાં આવે ત્યારે આ સંબંધ તરત જ અર્થપૂર્ણ બને છે.

જો તમને 30x વૃદ્ધિમાં રસ હોય, તો તમે એક બેઠકમાં ln(30) રાહ જોઈ શકો છો, અથવા ત્રણ ગણા માટે ln(3) અને પછી 10x માટે બીજી ln(10) રાહ જોઈ શકો છો. અંતિમ પરિણામ એ જ છે, તેથી અલબત્ત સમય સતત રહેવો જોઈએ (અને તે થાય છે).

વિભાજન વિશે શું? ખાસ કરીને, ln(5/3) નો અર્થ છે: તે 5 ગણો વધવા માટે કેટલો સમય લેશે અને પછી તેમાંથી 1/3 મેળવશે?

સરસ, 5 ગણી વૃદ્ધિ ln(5) છે. 1/3 ગણો વધારો સમયના -ln(3) એકમો લેશે. તેથી,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

આનો અર્થ છે: તેને 5 ગણો વધવા દો, અને પછી "સમયસર પાછા જાઓ" ત્યાં સુધી કે જ્યાં તે રકમનો માત્ર ત્રીજો ભાગ જ રહે છે, તેથી તમને 5/3 વૃદ્ધિ મળશે. સામાન્ય રીતે તે બહાર વળે છે

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

હું આશા રાખું છું કે લઘુગણકનું વિચિત્ર અંકગણિત તમારા માટે અર્થપૂર્ણ થવાનું શરૂ કરી રહ્યું છે: વૃદ્ધિ દરનો ગુણાકાર વૃદ્ધિના સમયના એકમોને ઉમેરે છે, અને ભાગાકાર કરવાથી સમયના એકમો બાદબાકી થાય છે. નિયમો યાદ રાખવાની જરૂર નથી, તેમને સમજવાનો પ્રયાસ કરો.

મનસ્વી વૃદ્ધિ માટે કુદરતી લઘુગણકનો ઉપયોગ

સારું, અલબત્ત," તમે કહો છો, "જો વૃદ્ધિ 100% હોય તો આ બધું સારું છે, પરંતુ મને મળેલા 5% વિશે શું?"

કોઇ વાંધો નહી. આપણે ln() સાથે જે "સમય"ની ગણતરી કરીએ છીએ તે વાસ્તવમાં વ્યાજ દર અને સમયનું સંયોજન છે, e x સમીકરણમાંથી સમાન X. અમે માત્ર સરળતા માટે ટકાવારી 100% પર સેટ કરવાનું નક્કી કર્યું છે, પરંતુ અમે કોઈપણ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવા માટે સ્વતંત્ર છીએ.

ચાલો કહીએ કે આપણે 30x વૃદ્ધિ હાંસલ કરવા માંગીએ છીએ: ln(30) લો અને 3.4 મેળવો આનો અર્થ છે:

e x = ઊંચાઈ
e 3.4 = 30

દેખીતી રીતે, આ સમીકરણનો અર્થ થાય છે "3.4 વર્ષમાં 100% વળતર 30x વૃદ્ધિ આપે છે." આ સમીકરણને આપણે નીચે પ્રમાણે લખી શકીએ.

e x = e દર*સમય
e 100% * 3.4 વર્ષ = 30

જ્યાં સુધી શરત * સમય 3.4 રહે ત્યાં સુધી આપણે “શરત” અને “સમય” ના મૂલ્યો બદલી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે 30x વૃદ્ધિમાં રસ ધરાવીએ, તો આપણે 5%ના વ્યાજ દરે કેટલો સમય રાહ જોવી પડશે?

ln(30) = 3.4
દર * સમય = 3.4
0.05 * સમય = 3.4
સમય = 3.4 / 0.05 = 68 વર્ષ

હું આ પ્રમાણે કારણ આપું છું: "ln(30) = 3.4, તેથી 100% વૃદ્ધિ પર તે 3.4 વર્ષ લેશે. જો હું વૃદ્ધિ દર બમણો કરીશ, તો જરૂરી સમય અડધો થઈ જશે."

3.4 વર્ષ માટે 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
1.7 વર્ષમાં 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
6.8 વર્ષ માટે 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
68 વર્ષથી 5% = .05 * 68 = 3.4.

મહાન, અધિકાર? કુદરતી લઘુગણકનો ઉપયોગ કોઈપણ વ્યાજ દર અને સમય સાથે થઈ શકે છે કારણ કે તેનું ઉત્પાદન સ્થિર રહે છે. તમે ગમે તેટલું ચલ મૂલ્યો ખસેડી શકો છો.

સરસ ઉદાહરણ: સિત્તેરનો નિયમ

સિત્તેરનો નિયમ એ એક ગાણિતિક ટેકનિક છે જે તમને તમારા પૈસા બમણા થવામાં કેટલો સમય લાગશે તેનો અંદાજ લગાવવા દે છે. હવે આપણે તેને અનુમાનિત કરીશું (હા!), અને વધુમાં, આપણે તેના સારને સમજવાનો પ્રયત્ન કરીશું.

વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિના 100% વ્યાજ પર તમારા નાણાંને બમણા કરવામાં કેટલો સમય લાગશે?

અરે. અમે સતત વૃદ્ધિના કિસ્સામાં કુદરતી લઘુગણકનો ઉપયોગ કર્યો, અને હવે તમે વાર્ષિક સંયોજન વિશે વાત કરી રહ્યા છો? શું આ ફોર્મ્યુલા આવા કેસ માટે અયોગ્ય બની જશે? હા, તે થશે, પરંતુ 5%, 6% અથવા તો 15% જેવા વાસ્તવિક વ્યાજ દરો માટે, વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ અને સતત વૃદ્ધિ વચ્ચેનો તફાવત નાનો હશે. તેથી રફ અંદાજ કામ કરે છે, અમ, આશરે, તેથી અમે ડોળ કરીશું કે અમારી પાસે સંપૂર્ણ રીતે સતત ઉપાર્જન છે.

હવે પ્રશ્ન સરળ છે: તમે 100% વૃદ્ધિ સાથે કેટલી ઝડપથી બમણી કરી શકો છો? ln(2) = 0.693. 100% ના સતત વધારા સાથે અમારી રકમ બમણી કરવા માટે 0.693 એકમ સમય (અમારા કિસ્સામાં વર્ષો) લે છે.

તેથી, જો વ્યાજ દર 100% ન હોય, પરંતુ 5% અથવા 10% કહો તો શું?

સરળતાથી! શરત * સમય = 0.693 હોવાથી, અમે રકમ બમણી કરીશું:

દર * સમય = 0.693
સમય = 0.693 / શરત

તે તારણ આપે છે કે જો વૃદ્ધિ 10% છે, તો તેને બમણી થવામાં 0.693 / 0.10 = 6.93 વર્ષ લાગશે.

ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, ચાલો બંને બાજુઓને 100 વડે ગુણાકાર કરીએ, પછી આપણે "0.10" ને બદલે "10" કહી શકીએ:

ડબલ થવાનો સમય = 69.3 / શરત, જ્યાં શરત ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

હવે 5%, 69.3/5 = 13.86 વર્ષના દરે બમણું કરવાનો સમય છે. જો કે, 69.3 એ સૌથી અનુકૂળ ડિવિડન્ડ નથી. ચાલો નજીકની સંખ્યા, 72 પસંદ કરીએ, જે 2, 3, 4, 6, 8 અને અન્ય સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે અનુકૂળ છે.

ડબલ કરવાનો સમય = 72 / શરત

જે સિત્તેરનો નિયમ છે. બધું આવરી લેવામાં આવ્યું છે.

જો તમારે ત્રણ ગણો કરવા માટે સમય શોધવાની જરૂર હોય, તો તમે ln(3) ~ 109.8 નો ઉપયોગ કરી શકો છો અને મેળવી શકો છો

ટ્રિપલ કરવાનો સમય = 110 / શરત

જે અન્ય ઉપયોગી નિયમ છે. "72 નો નિયમ" વ્યાજ દરોમાં વૃદ્ધિ, વસ્તી વૃદ્ધિ, બેક્ટેરિયલ સંસ્કૃતિ અને કોઈપણ વસ્તુ જે ઝડપથી વધે છે તેને લાગુ પડે છે.

આગળ શું છે?

આશા છે કે કુદરતી લઘુગણક હવે તમારા માટે અર્થપૂર્ણ છે - તે કોઈપણ સંખ્યાને ઝડપથી વધવા માટે જે સમય લે છે તે દર્શાવે છે. મને લાગે છે કે તેને કુદરતી કહેવામાં આવે છે કારણ કે e વૃદ્ધિનું સાર્વત્રિક માપ છે, તેથી ln ને તે વધવા માટે કેટલો સમય લે છે તે નિર્ધારિત કરવાની સાર્વત્રિક રીત ગણી શકાય.

જ્યારે પણ તમે ln(x) જુઓ છો, ત્યારે "X ગણો વધવા માટે જે સમય લાગે છે તે" યાદ રાખો. આવનારા લેખમાં હું e અને lnનું સંયોજનમાં વર્ણન કરીશ જેથી હવામાં ગણિતની તાજી સુગંધ ભરાઈ જાય.

પરિશિષ્ટ: e નું કુદરતી લઘુગણક

ઝડપી ક્વિઝ: ln(e) શું છે?

ગણિતનો રોબોટ કહેશે: કારણ કે તેઓ એકબીજાના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, તે સ્પષ્ટ છે કે ln(e) = 1.
સમજનાર વ્યક્તિ: ln(e) એ "e" ગણો (લગભગ 2.718) વધવા માટે કેટલી વાર લાગે છે તે સંખ્યા છે. જો કે, સંખ્યા e એ પોતે 1 ના પરિબળ દ્વારા વૃદ્ધિનું માપ છે, તેથી ln(e) = 1.

સ્પષ્ટ વિચારો.

સપ્ટેમ્બર 9, 2013

વિષયો પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "કુદરતી લઘુગણક. કુદરતી લઘુગણકનો આધાર. કુદરતી સંખ્યાનો લઘુગણક"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

ગ્રેડ 11 માટે ઈન્ટિગ્રલ ઓનલાઈન સ્ટોરમાં ટીચિંગ એઈડ્સ અને સિમ્યુલેટર
ગ્રેડ 9-11 માટે ઇન્ટરેક્ટિવ મેન્યુઅલ "ત્રિકોણમિતિ"
ગ્રેડ 10-11 "લોગરીધમ્સ" માટે ઇન્ટરેક્ટિવ મેન્યુઅલ

કુદરતી લઘુગણક શું છે

મિત્રો, છેલ્લા પાઠમાં આપણે એક નવો, વિશેષ નંબર શીખ્યા - e. આજે આપણે આ નંબર સાથે કામ કરવાનું ચાલુ રાખીશું.
આપણે લઘુગણકનો અભ્યાસ કર્યો છે અને આપણે જાણીએ છીએ કે લઘુગણકનો આધાર 0 કરતા મોટી સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે. આજે આપણે એવા લઘુગણકને પણ જોઈશું જેનો આધાર સંખ્યા e છે. આવા લઘુગણકને સામાન્ય રીતે પ્રાકૃતિક લઘુગણક કહેવાય છે. તેનું પોતાનું સૂચન છે: $\ln(n)$ એ કુદરતી લઘુગણક છે. આ એન્ટ્રી એન્ટ્રીની સમકક્ષ છે: $\log_e(n)=\ln(n)$.
ઘાતાંકીય અને લઘુગણક વિધેયો વ્યુત્ક્રમો છે, પછી કુદરતી લઘુગણક એ ફંક્શનનો વ્યસ્ત છે: $y=e^x$.
વ્યસ્ત ફંક્શન્સ સીધી રેખા $y=x$ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે.
ચાલો સીધી રેખા $y=x$ના સંદર્ભમાં ઘાતાંકીય ફંક્શનનું પ્લોટિંગ કરીને કુદરતી લઘુગણકનું કાવતરું કરીએ.

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે બિંદુ (0;1) પર $y=e^x$ ફંક્શનના ગ્રાફ તરફ સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ 45° છે. પછી બિંદુ (1;0) પર કુદરતી લઘુગણકના ગ્રાફ તરફ સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ પણ 45° જેટલો હશે. આ બંને સ્પર્શક રેખા $y=x$ની સમાંતર હશે. ચાલો સ્પર્શકોની આકૃતિ કરીએ:

ફંક્શનના ગુણધર્મો $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. ન તો સમ કે વિષમ.
3. વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં વધારો થાય છે.
4. ઉપરથી મર્યાદિત નથી, નીચેથી મર્યાદિત નથી.
5. ત્યાં કોઈ મહાન મૂલ્ય નથી, કોઈ લઘુત્તમ મૂલ્ય નથી.
6. સતત.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. બહિર્મુખ ઉપરની તરફ.
9. દરેક જગ્યાએ તફાવત.

ઉચ્ચ ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં તે સાબિત થાય છે વ્યસ્ત કાર્યનું વ્યુત્પન્ન એ આપેલ કાર્યના વ્યુત્પન્નનું વ્યસ્ત છે.
પુરાવામાં જવાનો કોઈ અર્થ નથી, ચાલો ફક્ત સૂત્ર લખીએ: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

ઉદાહરણ.
ફંક્શનના વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની ગણતરી કરો: $y=\ln(2x-7)$ $x=4$ બિંદુ પર.
ઉકેલ.
સામાન્ય રીતે, આપણું કાર્ય $y=f(kx+m)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે; આપણે આવા કાર્યોના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
ચાલો આવશ્યક બિંદુ પર વ્યુત્પન્નની કિંમતની ગણતરી કરીએ: $y"(4)=\frac(2)(2*4-7))=2$.
જવાબ: 2.

ઉદાહરણ.
$х=е$ બિંદુ પર $y=ln(x)$ ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરો.
ઉકેલ.
અમે બિંદુ $x=a$ પર ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સ્પર્શકનું સમીકરણ સારી રીતે યાદ રાખીએ છીએ.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
અમે અનુક્રમે જરૂરી મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
બિંદુ $x=e$ પરનું સ્પર્શક સમીકરણ એ $y=\frac(x)(e)$ છે.
ચાલો કુદરતી લઘુગણક અને સ્પર્શરેખાનું કાવતરું કરીએ.

ઉદાહરણ.
મોનોટોનિસિટી અને એક્સ્ટ્રીમા માટે ફંક્શનની તપાસ કરો: $y=x^6-6*ln(x)$.
ઉકેલ.
ફંક્શન $D(y)=(0;+∞)$ ની વ્યાખ્યાનું ડોમેન.
ચાલો આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી તમામ x માટે વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે, પછી ત્યાં કોઈ નિર્ણાયક બિંદુઓ નથી. ચાલો સ્થિર બિંદુઓ શોધીએ:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
બિંદુ $х=-1$ વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત નથી. પછી આપણી પાસે એક સ્થિર બિંદુ $x=1$ છે. ચાલો વધતા અને ઘટવાના અંતરાલ શોધીએ:

પોઈન્ટ $x=1$ એ ન્યૂનતમ પોઈન્ટ છે, પછી $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
જવાબ: સેગમેન્ટ પર ફંક્શન ઘટે છે (0;1], ફંક્શન કિરણ $ પર વધે છે)