સમાન આધાર સૂત્ર સાથે લઘુગણકનો ગુણાકાર. લોગરીધમ સાથે સંચાલન માટે લોગરીધમ નિયમો

નંબર e પર આધારિત: ln x = log e x.

પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો ગણિતમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તેનું વ્યુત્પન્ન સૌથી સરળ સ્વરૂપ ધરાવે છે: (ln x)′ = 1/ x.

આધારિત વ્યાખ્યાઓ, કુદરતી લઘુગણકનો આધાર સંખ્યા છે ઇ:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

કાર્ય y = નો આલેખ ln x.

કુદરતી લઘુગણકનો આલેખ (કાર્યો y = ln x) સીધી રેખા y = x ની તુલનામાં અરીસાના પ્રતિબિંબ દ્વારા ઘાતાંકીય ગ્રાફમાંથી મેળવવામાં આવે છે.

કુદરતી લઘુગણક ચલ x ના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તે તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં એકવિધ રીતે વધે છે.

x → પર 0 કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા માઈનસ અનંત (-∞) છે.

x → + ∞ તરીકે, કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા વત્તા અનંત (+ ∞) છે. મોટા x માટે, લઘુગણક એકદમ ધીમેથી વધે છે. કોઈપણ પાવર કાર્ય x a ધન ઘાતાંક સાથે a લઘુગણક કરતાં વધુ ઝડપથી વધે છે.

કુદરતી લઘુગણકના ગુણધર્મો

વ્યાખ્યાનું ડોમેન, મૂલ્યોનો સમૂહ, ચરમસીમા, વધારો, ઘટાડો

પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય છે, તેથી તેની કોઈ સીમા નથી. કુદરતી લઘુગણકના મુખ્ય ગુણધર્મો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

ln x મૂલ્યો

ln 1 = 0

કુદરતી લઘુગણક માટે મૂળભૂત સૂત્રો

વ્યસ્ત કાર્યની વ્યાખ્યામાંથી નીચેના સૂત્રો:

લઘુગણકની મુખ્ય મિલકત અને તેના પરિણામો

બેઝ રિપ્લેસમેન્ટ ફોર્મ્યુલા

કોઈપણ લઘુગણકને મૂળ અવેજી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુદરતી લઘુગણકના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:

આ સૂત્રોના પુરાવા વિભાગ "લોગરીધમ" માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

વ્યસ્ત કાર્ય

પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો વ્યસ્ત એ ઘાતાંક છે.

તો પછી

તો પછી.

વ્યુત્પન્ન ln x

કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન:
.
મોડ્યુલસ x ના કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન:
.
nમા ક્રમનું વ્યુત્પન્ન:
.
વ્યુત્પન્ન સૂત્રો >>>

અભિન્ન

ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી ભાગો દ્વારા એકીકરણ દ્વારા કરવામાં આવે છે:
.
તેથી,

જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓ

જટિલ ચલ z ના કાર્યને ધ્યાનમાં લો:
.
ચાલો જટિલ ચલ વ્યક્ત કરીએ zમોડ્યુલ દ્વારા આરઅને દલીલ φ :
.
લોગરીધમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમારી પાસે છે:
.
અથવા
.
દલીલ φ અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી. જો તમે મૂકો
, જ્યાં n એ પૂર્ણાંક છે,
તે વિવિધ n માટે સમાન સંખ્યા હશે.

એ કારણે કુદરતી લઘુગણક, જટિલ ચલના કાર્ય તરીકે, એકલ-મૂલ્યવાળું કાર્ય નથી.

પાવર શ્રેણી વિસ્તરણ

જ્યારે વિસ્તરણ થાય છે:

સંદર્ભ:
આઈ.એન. બ્રોન્સ્ટીન, કે.એ. સેમેન્દ્યાયેવ, ઇજનેરો અને કોલેજના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતની હેન્ડબુક, "લેન", 2009.

1. લોગરીધમ ચિહ્ન હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યાઓ છે કે એક છે તે તપાસો.આ પદ્ધતિ ફોર્મના અભિવ્યક્તિઓ માટે લાગુ પડે છે લોગ b ⁡ (x) લોગ b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). જો કે, તે કેટલાક વિશિષ્ટ કેસો માટે યોગ્ય નથી:

   • નકારાત્મક સંખ્યાનો લઘુગણક કોઈપણ આધારમાં અવ્યાખ્યાયિત હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે, લોગ ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3))અથવા લોગ 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). આ કિસ્સામાં "કોઈ ઉકેલ નથી" લખો.
   • કોઈપણ આધાર માટે શૂન્યનો લઘુગણક પણ અવ્યાખ્યાયિત છે. જો તમે પકડાઈ જાઓ ln ⁡ (0) (\Displaystyle \ln(0)), "કોઈ ઉકેલ નથી" લખો.
   • કોઈપણ આધાર માટે એકનો લઘુગણક ( લોગ ⁡ (1) (\પ્રદર્શન શૈલી \log(1))) હંમેશા શૂન્ય છે, કારણ કે x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1)બધા મૂલ્યો માટે x. આ લઘુગણકને બદલે 1 લખો અને નીચેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરશો નહીં.
   • જો લોગરીધમમાં વિવિધ પાયા હોય, ઉદાહરણ તરીકે l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a))), અને પૂર્ણાંકમાં ઘટાડવામાં આવતા નથી, અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય જાતે શોધી શકાતું નથી.

2. અભિવ્યક્તિને એક લઘુગણકમાં કન્વર્ટ કરો.જો અભિવ્યક્તિ ઉપરોક્તમાંથી એક નથી ખાસ પ્રસંગો, તેને એક લઘુગણક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ માટે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: log b ⁡ (x) લોગ b ⁡ (a) = લોગ a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • ઉદાહરણ 1: અભિવ્યક્તિને ધ્યાનમાં લો લોગ ⁡ 16 લોગ ⁡ 2 (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઈલ (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     પ્રથમ, ચાલો ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિને એક લઘુગણક તરીકે રજૂ કરીએ: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • લોગરીધમના "બેઝને બદલવા" માટેનું આ સૂત્ર લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મોમાંથી ઉતરી આવ્યું છે.

3. જો શક્ય હોય તો, અભિવ્યક્તિના મૂલ્યનું જાતે જ મૂલ્યાંકન કરો.શોધવા માટે લોગ a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), અભિવ્યક્તિની કલ્પના કરો " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)", એટલે કે, તમારી જાતને પૂછો આગામી પ્રશ્ન: "આપણે કઈ શક્તિ વધારવા જોઈએ a, મેળવવા માટે x?. આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે કેલ્ક્યુલેટરની જરૂર પડી શકે છે, પરંતુ જો તમે નસીબદાર છો, તો તમે તેને જાતે શોધી શકશો.

   • ઉદાહરણ 1 (ચાલુ): આ રીતે ફરીથી લખો 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). તમારે શોધવાની જરૂર છે કે "?" ચિહ્નની જગ્યાએ કયો નંબર ઉભો હોવો જોઈએ. આ અજમાયશ અને ભૂલ દ્વારા કરી શકાય છે:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     તેથી આપણે જે સંખ્યા શોધી રહ્યા છીએ તે 4 છે: લોગ 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. તમારા જવાબને લઘુગણક સ્વરૂપમાં છોડો જો તમે તેને સરળ બનાવી શકતા નથી.ઘણા લઘુગણકની ગણતરી હાથથી કરવી ખૂબ જ મુશ્કેલ છે. આ કિસ્સામાં, સચોટ જવાબ મેળવવા માટે, તમારે કેલ્ક્યુલેટરની જરૂર પડશે. જો કે, જો તમે વર્ગમાં કોઈ સમસ્યા હલ કરી રહ્યા હોવ, તો શિક્ષક મોટે ભાગે લઘુગણક સ્વરૂપમાં જવાબથી સંતુષ્ટ થશે. નીચે ચર્ચા કરેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ વધુ જટિલ ઉદાહરણને ઉકેલવા માટે થાય છે:

   • ઉદાહરણ 2: શું સમાન છે લોગ 3 ⁡ (58) લોગ 3 ⁡ (7) (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઈલ (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • ચાલો આ અભિવ્યક્તિને એક લઘુગણકમાં રૂપાંતરિત કરીએ: લોગ 3 ⁡ (58) લોગ 3 ⁡ (7) = લોગ 7 ⁡ (58) (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઈલ (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))=\ લોગ_(7)(58)). નોંધ કરો કે બંને લઘુગણક માટે સામાન્ય આધાર 3 અદૃશ્ય થઈ જાય છે; આ કોઈપણ કારણોસર સાચું છે.
   • ચાલો ફોર્મમાં અભિવ્યક્તિને ફરીથી લખીએ 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58)અને ચાલો મૂલ્ય શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     કારણ કે 58 આ બે સંખ્યાઓ વચ્ચે છે, તે સંપૂર્ણ સંખ્યા તરીકે દર્શાવવામાં આવતી નથી.
   • અમે લોગરીધમિક સ્વરૂપમાં જવાબ છોડીએ છીએ: લોગ 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).

આ લેખનું કેન્દ્ર છે લઘુગણક. અહીં આપણે લઘુગણકની વ્યાખ્યા આપીશું, સ્વીકૃત સંકેતો બતાવીશું, લઘુગણકનાં ઉદાહરણો આપીશું અને પ્રાકૃતિક અને દશાંશ લઘુગણક વિશે વાત કરીશું. તે પછી, ચાલો મુખ્ય જોઈએ લઘુગણક ઓળખ.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

લઘુગણકની વ્યાખ્યા

માં સમસ્યા હલ કરતી વખતે લઘુગણકનો ખ્યાલ ઉદ્ભવે છે ચોક્કસ અર્થમાંવ્યસ્ત, જ્યારે તમારે જાણીતા ઘાતાંક મૂલ્ય અને જાણીતા આધારનો ઉપયોગ કરીને ઘાતાંક શોધવાની જરૂર હોય.

પરંતુ પર્યાપ્ત પ્રસ્તાવનાઓ, "લોગરીધમ શું છે" પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો સમય છે? ચાલો અનુરૂપ વ્યાખ્યા આપીએ.

વ્યાખ્યા.

b થી આધાર a નો લઘુગણક, જ્યાં a>0, a≠1 અને b>0 એ ઘાતાંક છે જેના પરિણામ સ્વરૂપે b મેળવવા માટે તમારે a સંખ્યા વધારવાની જરૂર છે.

આ તબક્કે, અમે નોંધીએ છીએ કે બોલાતા શબ્દ "લોગરિધમ" એ તરત જ બે અનુવર્તી પ્રશ્નો ઉભા કરવા જોઈએ: "કઈ સંખ્યા" અને "કયા આધારે." બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ત્યાં કોઈ લઘુગણક નથી, પરંતુ અમુક આધાર માટે સંખ્યાનો માત્ર લઘુગણક છે.

ચાલો તરત જ દાખલ કરીએ લઘુગણક સંકેત: બેઝ a થી સંખ્યા b નો લઘુગણક સામાન્ય રીતે લોગ a b તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. સંખ્યા b થી આધાર e અને લઘુગણક 10 ની અનુક્રમે પોતાની વિશિષ્ટ હોદ્દો lnb અને logb હોય છે, એટલે કે, તેઓ log e b નહિ, પણ lnb લખે છે, અને લોગ 10 b નહિ, પણ lgb લખે છે.

હવે આપણે આપી શકીએ છીએ: .
અને રેકોર્ડ્સ અર્થ નથી, કારણ કે તેમાંના પ્રથમમાં લઘુગણકની નિશાની હેઠળ છે નકારાત્મક સંખ્યા, બીજામાં આધારમાં નકારાત્મક સંખ્યા છે, અને ત્રીજામાં લઘુગણક ચિહ્ન હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યા છે અને આધારમાં એક એકમ છે.

હવે વાત કરીએ લઘુગણક વાંચવાના નિયમો. લોગ a b ને "b થી આધાર a" ના લઘુગણક તરીકે વાંચવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, લોગ 2 3 એ ત્રણ થી બેઝ 2 નો લઘુગણક છે, અને બે પોઈન્ટ બે તૃતીયાંશ થી બેઝ 2 નો લોગરીધમ છે વર્ગમૂળપાંચમાંથી. બેઝ e માટે લઘુગણક કહેવાય છે કુદરતી લઘુગણક, અને નોટેશન lnb "b નો કુદરતી લઘુગણક" વાંચે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ln7 એ સાતનો કુદરતી લઘુગણક છે, અને આપણે તેને pi ના કુદરતી લઘુગણક તરીકે વાંચીશું. આધાર 10 લઘુગણકનું પણ એક વિશેષ નામ છે - દશાંશ લઘુગણક, અને lgb ને "b ના દશાંશ લઘુગણક" તરીકે વાંચવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, lg1 એ એકનો દશાંશ લઘુગણક છે, અને lg2.75 એ બે બિંદુ સાત પાંચસોમા ભાગનો દશાંશ લઘુગણક છે.

તે a>0, a≠1 અને b>0 શરતો પર અલગથી રહેવા યોગ્ય છે, જે હેઠળ લઘુગણકની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે. ચાલો સમજાવીએ કે આ પ્રતિબંધો ક્યાંથી આવે છે. નામની સમાનતા, જે ઉપર આપેલ લઘુગણકની વ્યાખ્યામાંથી સીધી રીતે અનુસરે છે, તે આપણને આ કરવામાં મદદ કરશે.

ચાલો a≠1 થી શરૂઆત કરીએ. એક થી કોઈપણ ઘાત એક સમાન હોવાથી, સમાનતા ત્યારે જ સાચી હોઈ શકે છે જ્યારે b=1, પરંતુ લોગ 1 1 કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે. આ અસ્પષ્ટતાને ટાળવા માટે, a≠1 ધારવામાં આવે છે.

ચાલો શરત a>0 ની યોગ્યતાને યોગ્ય ઠેરવીએ. a=0 સાથે, લઘુગણકની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, આપણી પાસે સમાનતા હશે, જે માત્ર b=0 સાથે જ શક્ય છે. પરંતુ પછી લોગ 0 0 એ કોઈપણ બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે, કારણ કે શૂન્યથી કોઈપણ બિન-શૂન્ય શક્તિ શૂન્ય છે. શરત a≠0 અમને આ અસ્પષ્ટતાને ટાળવા દે છે. અને જ્યારે એ<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

અંતે, શરત b>0 અસમાનતા a>0 થી અનુસરે છે, ત્યારથી , અને હકારાત્મક આધાર a સાથેની શક્તિનું મૂલ્ય હંમેશા હકારાત્મક હોય છે.

આ મુદ્દાને સમાપ્ત કરવા માટે, ચાલો કહીએ કે લઘુગણકની જણાવેલ વ્યાખ્યા તમને લઘુગણકનું મૂલ્ય તરત જ સૂચવવા દે છે જ્યારે લઘુગણક ચિન્હ હેઠળની સંખ્યા આધારની ચોક્કસ શક્તિ છે. ખરેખર, લઘુગણકની વ્યાખ્યા આપણને એ કહેવાની મંજૂરી આપે છે કે જો b=a p હોય, તો સંખ્યા b નું લોગરીધમ બેઝ a p બરાબર છે. એટલે કે, સમાનતા લોગ a a p =p સાચું છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે જાણીએ છીએ કે 2 3 =8, પછી લોગ 2 8=3. અમે લેખમાં આ વિશે વધુ વાત કરીશું.

લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓ, ઉદાહરણો ઉકેલવા. આ લેખમાં આપણે લોગરીધમ ઉકેલવા સંબંધિત સમસ્યાઓ જોઈશું. કાર્યો અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધવાનો પ્રશ્ન પૂછે છે. એ નોંધવું જોઈએ કે લોગરીધમનો ખ્યાલ ઘણા કાર્યોમાં વપરાય છે અને તેનો અર્થ સમજવો અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની વાત કરીએ તો, સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, લાગુ સમસ્યાઓમાં અને કાર્યોના અભ્યાસ સાથે સંબંધિત કાર્યોમાં પણ લઘુગણકનો ઉપયોગ થાય છે.

ચાલો લોગરીધમનો અર્થ સમજવા માટે ઉદાહરણો આપીએ:

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ:

લોગરીધમના ગુણધર્મો જે હંમેશા યાદ રાખવા જોઈએ:

*ઉત્પાદનનો લઘુગણક સરવાળો સમાનપરિબળોના લઘુગણક.

* * *

*ભાગ્યાંક (અપૂર્ણાંક) નો લઘુગણક પરિબળના લઘુગણક વચ્ચેના તફાવત જેટલો છે.

* * *

* ડિગ્રીનો લઘુગણક ઉત્પાદન સમાનતેના આધારના લઘુગણક દ્વારા ઘાતાંક.

* * *

*નવા પાયામાં સંક્રમણ

* * *

વધુ ગુણધર્મો:

* * *

લઘુગણકની ગણતરી ઘાતાંકના ગુણધર્મોના ઉપયોગ સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે.

ચાલો તેમાંથી કેટલાકની સૂચિ બનાવીએ:

આ ગુણધર્મનો સાર એ છે કે જ્યારે અંશને છેદમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે અને ઊલટું, ઘાતાંકનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. દાખ્લા તરીકે:

આ મિલકતમાંથી એક પરિણામ:

* * *

જ્યારે પાવરને પાવરમાં વધારતા હોય, ત્યારે આધાર સમાન રહે છે, પરંતુ ઘાતાંકનો ગુણાકાર થાય છે.

* * *

તમે જોયું તેમ, લઘુગણકનો ખ્યાલ પોતે જ સરળ છે. મુખ્ય વસ્તુ તે છે જે જરૂરી છે સારી પ્રેક્ટિસ, જે ચોક્કસ કૌશલ્ય આપે છે. અલબત્ત, સૂત્રોનું જ્ઞાન જરૂરી છે. જો પ્રાથમિક લઘુગણકને રૂપાંતરિત કરવાની કુશળતા વિકસિત કરવામાં આવી નથી, તો પછી સરળ કાર્યોને હલ કરતી વખતે તમે સરળતાથી ભૂલ કરી શકો છો.

પ્રેક્ટિસ કરો, પહેલા ગણિતના કોર્સમાંથી સૌથી સરળ ઉદાહરણો ઉકેલો, પછી વધુ જટિલ મુદ્દાઓ પર આગળ વધો. ભવિષ્યમાં, હું ચોક્કસપણે બતાવીશ કે કેવી રીતે "નીચ" લઘુગણક ઉકેલવામાં આવે છે; આ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં દેખાશે નહીં, પરંતુ તે રસપ્રદ છે, તેમને ચૂકશો નહીં!

બસ એટલું જ! તમને શુભકામનાઓ!

આપની, એલેક્ઝાન્ડર ક્રુતિત્સ્કીખ

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.

લઘુગણક, કોઈપણ સંખ્યાઓની જેમ, દરેક રીતે ઉમેરી, બાદબાકી અને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. પરંતુ લઘુગણક બરાબર સામાન્ય સંખ્યાઓ ન હોવાથી, અહીં નિયમો છે, જેને કહેવામાં આવે છે મુખ્ય ગુણધર્મો.

તમારે ચોક્કસપણે આ નિયમો જાણવાની જરૂર છે - તેમના વિના, એક પણ ગંભીર લઘુગણક સમસ્યા હલ થઈ શકતી નથી. વધુમાં, તેમાંના ઘણા ઓછા છે - તમે એક દિવસમાં બધું શીખી શકો છો. તો ચાલો શરુ કરીએ.

લઘુગણક ઉમેરવું અને બાદબાકી કરવી

સમાન પાયા સાથેના બે લઘુગણકને ધ્યાનમાં લો: લોગ a xઅને લોગ a y. પછી તેઓ ઉમેરી અને બાદ કરી શકાય છે, અને:

1. લોગ a x+ લોગ a y= લોગ a (x · y);
2. લોગ a x- લોગ a y= લોગ a (x : y).

તેથી, લઘુગણકનો સરવાળો ઉત્પાદનના લઘુગણક જેટલો છે, અને તફાવત ગુણાંકના લઘુગણક જેટલો છે. નૉૅધ: મુખ્ય ક્ષણઅહીં - સમાન આધારો. જો કારણો અલગ હોય, તો આ નિયમો કામ કરતા નથી!

આ સૂત્રો તમને લઘુગણક અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવામાં મદદ કરશે, ભલે તેના વ્યક્તિગત ભાગોને ધ્યાનમાં લેવામાં ન આવે (પાઠ જુઓ "લોગરિધમ શું છે"). ઉદાહરણો પર એક નજર નાખો અને જુઓ:

લોગ 6 4 + લોગ 6 9.

લોગરીધમ્સ સમાન પાયા ધરાવતા હોવાથી, અમે સરવાળા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
લોગ 6 4 + લોગ 6 9 = લોગ 6 (4 9) = લોગ 6 36 = 2.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 2 48 − log 2 3.

પાયા સમાન છે, અમે તફાવત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
લોગ 2 48 − લોગ 2 3 = લોગ 2 (48: 3) = લોગ 2 16 = 4.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 3 135 − log 3 5.

ફરીથી પાયા સમાન છે, તેથી અમારી પાસે છે:
લોગ 3 135 − લોગ 3 5 = લોગ 3 (135: 5) = લોગ 3 27 = 3.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, મૂળ અભિવ્યક્તિઓ "ખરાબ" લઘુગણકથી બનેલી છે, જેની અલગથી ગણતરી કરવામાં આવતી નથી. પરંતુ પરિવર્તન પછી તેઓ તદ્દન બહાર આવે છે સામાન્ય સંખ્યાઓ. ઘણા આ હકીકત પર બાંધવામાં આવે છે ટેસ્ટ પેપરો. હા, યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન પર તમામ ગંભીરતામાં (કેટલીકવાર વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ ફેરફાર કર્યા વિના) ટેસ્ટ-જેવા અભિવ્યક્તિઓ આપવામાં આવે છે.

લઘુગણકમાંથી ઘાતાંક બહાર કાઢવું

હવે ચાલો કાર્યને થોડું જટિલ બનાવીએ. જો લઘુગણકનો આધાર અથવા દલીલ શક્તિ હોય તો શું? પછી આ ડિગ્રીના ઘાતાંકને નીચેના નિયમો અનુસાર લઘુગણકના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

તે નોંધવું સરળ છે છેલ્લો નિયમપ્રથમ બેને અનુસરે છે. પરંતુ કોઈપણ રીતે તેને યાદ રાખવું વધુ સારું છે - કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે ગણતરીઓની માત્રામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરશે.

અલબત્ત, જો લઘુગણકનું ODZ અવલોકન કરવામાં આવે તો આ બધા નિયમોનો અર્થ થાય છે: a > 0, a ≠ 1, x> 0. અને એક વધુ વસ્તુ: બધા ફોર્મ્યુલાને માત્ર ડાબેથી જમણે જ નહીં, પણ ઊલટું પણ લાગુ કરવાનું શીખો, એટલે કે. લોગરીધમમાં જ લોગરીધમ સાઇન કરતા પહેલા તમે નંબરો દાખલ કરી શકો છો. આ તે છે જે મોટાભાગે જરૂરી છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 7 49 6 .

ચાલો પ્રથમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દલીલમાં ડિગ્રીથી છુટકારો મેળવીએ:
લોગ 7 49 6 = 6 લોગ 7 49 = 6 2 = 12

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

નોંધ કરો કે છેદમાં લઘુગણક હોય છે, જેનો આધાર અને દલીલ ચોક્કસ શક્તિઓ છે: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. અમારી પાસે:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

મને લાગે છે કે છેલ્લા ઉદાહરણમાં થોડી સ્પષ્ટતા જરૂરી છે. લઘુગણક ક્યાં ગયા? છેલ્લી ક્ષણ સુધી આપણે માત્ર છેદ સાથે જ કામ કરીએ છીએ. અમે સત્તાના રૂપમાં ત્યાં ઊભેલા લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ રજૂ કરી અને ઘાતાંક કાઢ્યા - અમને "ત્રણ માળનું" અપૂર્ણાંક મળ્યો.

હવે મુખ્ય અપૂર્ણાંક જોઈએ. અંશ અને છેદ સમાન સંખ્યા ધરાવે છે: લોગ 2 7. લોગ 2 7 ≠ 0 હોવાથી, આપણે અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકીએ છીએ - 2/4 છેદમાં રહેશે. અંકગણિતના નિયમો અનુસાર, ચારને અંશમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, જે કરવામાં આવ્યું હતું. પરિણામ જવાબ હતો: 2.

નવા પાયામાં સંક્રમણ

લઘુગણક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમો વિશે બોલતા, મેં ખાસ ભારપૂર્વક જણાવ્યું હતું કે તેઓ ફક્ત સમાન પાયા સાથે કામ કરે છે. જો કારણો અલગ હોય તો શું? જો તેઓ સમાન સંખ્યાની ચોક્કસ શક્તિઓ ન હોય તો શું?

નવા પાયામાં સંક્રમણ માટેના સૂત્રો બચાવમાં આવે છે. ચાલો તેમને પ્રમેયના રૂપમાં ઘડીએ:

તેને આપવા દો લઘુગણક લોગ a x. પછી કોઈપણ નંબર માટે cઆવા કે c> 0 અને c≠ 1, સમાનતા સાચી છે:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

ખાસ કરીને, જો આપણે મૂકીએ c = x, અમને મળે છે:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

બીજા સૂત્રમાંથી તે અનુસરે છે કે લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ અદલાબદલી કરી શકાય છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં સમગ્ર અભિવ્યક્તિ "વળી" છે, એટલે કે. લઘુગણક છેદમાં દેખાય છે.

આ સૂત્રો પરંપરાગતમાં ભાગ્યે જ જોવા મળે છે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓ. નક્કી કરીને જ તેઓ કેટલા અનુકૂળ છે તેનું મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે લઘુગણક સમીકરણોઅને અસમાનતા.

જો કે, એવી સમસ્યાઓ છે કે જે નવા પાયા પર જવા સિવાય બિલકુલ હલ કરી શકાતી નથી. ચાલો આમાંના કેટલાકને જોઈએ:

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 5 16 log 2 25.

નોંધ કરો કે બંને લઘુગણકની દલીલોમાં ચોક્કસ શક્તિઓ હોય છે. ચાલો સૂચકાંકો કાઢીએ: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; લોગ 2 25 = લોગ 2 5 2 = 2લોગ 2 5;

હવે ચાલો બીજા લઘુગણકને "વિપરીત" કરીએ:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

કારણ કે પરિબળોને ફરીથી ગોઠવતી વખતે ઉત્પાદન બદલાતું નથી, અમે શાંતિથી ચાર અને બેનો ગુણાકાર કર્યો, અને પછી લઘુગણક સાથે વ્યવહાર કર્યો.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 9 100 lg 3.

પ્રથમ લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ ચોક્કસ શક્તિઓ છે. ચાલો આ લખીએ અને સૂચકાંકોથી છૂટકારો મેળવીએ:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

હવે ચાલો નવા આધાર પર જઈને દશાંશ લઘુગણકથી છૂટકારો મેળવીએ:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ

ઘણીવાર સોલ્યુશન પ્રક્રિયામાં આપેલ આધાર માટે લઘુગણક તરીકે સંખ્યા રજૂ કરવી જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, નીચેના સૂત્રો અમને મદદ કરશે:

પ્રથમ કિસ્સામાં, નંબર nદલીલમાં ઊભેલી ડિગ્રીનું સૂચક બને છે. નંબર nસંપૂર્ણપણે કંઈપણ હોઈ શકે છે, કારણ કે તે માત્ર એક લઘુગણક મૂલ્ય છે.

બીજું સૂત્ર વાસ્તવમાં એક પરિભાષિત વ્યાખ્યા છે. તેને તે કહેવામાં આવે છે: મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ.

વાસ્તવમાં, જો નંબર શું થશે bએવી શક્તિ સુધી વધારો કે સંખ્યા bઆ પાવર નંબર આપે છે a? તે સાચું છે: તમને આ જ નંબર મળે છે a. આ ફકરો ફરીથી ધ્યાનથી વાંચો - ઘણા લોકો તેના પર અટકી જાય છે.

નવા આધાર પર જવા માટેના સૂત્રોની જેમ, મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ ક્યારેક એકમાત્ર સંભવિત ઉકેલ છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

નોંધ લો કે લોગ 25 64 = લોગ 5 8 - લોગરીધમના આધાર અને દલીલમાંથી ખાલી ચોરસ લીધો છે. સમાન આધાર સાથે શક્તિનો ગુણાકાર કરવાના નિયમોને ધ્યાનમાં લેતા, અમને મળે છે:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

જો કોઈને ખબર ન હોય તો, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાનું આ એક વાસ્તવિક કાર્ય હતું :)

લઘુગણક એકમ અને લઘુગણક શૂન્ય

નિષ્કર્ષમાં, હું બે ઓળખ આપીશ જેને ભાગ્યે જ ગુણધર્મો કહી શકાય - તેના બદલે, તે લઘુગણકની વ્યાખ્યાના પરિણામો છે. તેઓ સતત સમસ્યાઓમાં દેખાય છે અને આશ્ચર્યજનક રીતે, "અદ્યતન" વિદ્યાર્થીઓ માટે પણ સમસ્યાઓ ઊભી કરે છે.

1. લોગ a a= 1 લઘુગણક એકમ છે. એકવાર અને બધા માટે યાદ રાખો: કોઈપણ આધાર માટે લઘુગણક aઆ ખૂબ જ આધાર થી એક સમાન છે.
2. લોગ a 1 = 0 લઘુગણક શૂન્ય છે. પાયો aકંઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ જો દલીલમાં એક હોય, તો લઘુગણક શૂન્ય બરાબર છે! કારણ કે a 0 = 1 એ વ્યાખ્યાનું સીધું પરિણામ છે.

તે તમામ ગુણધર્મો છે. તેમને વ્યવહારમાં મૂકવાની પ્રેક્ટિસ કરવાની ખાતરી કરો! પાઠની શરૂઆતમાં ચીટ શીટ ડાઉનલોડ કરો, તેને છાપો અને સમસ્યાઓ હલ કરો.