პირველი დონე

კვადრატული განტოლებები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

ტერმინში "კვადრატული განტოლება" საკვანძო სიტყვაა "კვადრატული". ეს ნიშნავს, რომ განტოლება აუცილებლად უნდა შეიცავდეს ცვლადს (იგივე x) კვადრატში და არ უნდა იყოს ქსები მესამე (ან უფრო დიდი) სიმძლავრის მიმართ.

მრავალი განტოლების ამოხსნა მოდის კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე.

მოდით ვისწავლოთ იმის დადგენა, რომ ეს არის კვადრატული განტოლება და არა სხვა განტოლება.

მაგალითი 1.

მოვიშოროთ მნიშვნელი და გავამრავლოთ განტოლების თითოეული წევრი

გადავიტანოთ ყველაფერი მარცხენა მხარეს და დავალაგოთ ტერმინები X-ის ხარისხების კლებადობით

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ ეს განტოლება არის კვადრატული!

მაგალითი 2.

გაამრავლეთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები:

ეს განტოლება, თუმცა თავდაპირველად მასში იყო, არ არის კვადრატული!

მაგალითი 3.

გავამრავლოთ ყველაფერი:

საშინელი? მეოთხე და მეორე ხარისხი... თუმცა, თუ ჩანაცვლებას გავაკეთებთ, დავინახავთ, რომ გვაქვს მარტივი კვადრატული განტოლება:

მაგალითი 4.

როგორც ჩანს, არსებობს, მაგრამ მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ. მოდით გადავიტანოთ ყველაფერი მარცხენა მხარეს:

ნახეთ, ის შემცირდა - და ახლა ეს არის მარტივი წრფივი განტოლება!

ახლა შეეცადეთ დაადგინოთ ქვემოთ ჩამოთვლილი განტოლებიდან რომელია კვადრატული და რომელი არა:

მაგალითები:

პასუხები:

1. მოედანი;
2. მოედანი;
3. არა კვადრატი;
4. არა კვადრატი;
5. არა კვადრატი;
6. მოედანი;
7. არა კვადრატი;
8. კვადრატი.

მათემატიკოსები პირობითად ყოფენ ყველა კვადრატულ განტოლებას შემდეგ ტიპებად:

• სრული კვადრატული განტოლებები- განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტები და, ისევე როგორც თავისუფალი წევრი c, არ არის ნულის ტოლი (როგორც მაგალითში). გარდა ამისა, სრულ კვადრატულ განტოლებებს შორის არის მოცემული- ეს არის განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტი (განტოლება პირველი მაგალითიდან არა მხოლოდ სრულია, არამედ შემცირებულია!)

• არასრული კვადრატული განტოლებები- განტოლებები, რომლებშიც კოეფიციენტი და ან თავისუფალი წევრი c უდრის ნულს:

  ისინი არასრულია, რადგან რაღაც ელემენტი აკლია. მაგრამ განტოლება ყოველთვის უნდა შეიცავდეს x კვადრატს!!! წინააღმდეგ შემთხვევაში, ეს აღარ იქნება კვადრატული განტოლება, არამედ სხვა განტოლება.

რატომ მოიფიქრეს ასეთი დაყოფა? როგორც ჩანს, არის X კვადრატში და კარგი. ეს დაყოფა განისაზღვრება გადაწყვეტის მეთოდებით. მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანი უფრო დეტალურად.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

პირველ რიგში, მოდით, ყურადღება გავამახვილოთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე - ისინი ბევრად უფრო მარტივია!

არსებობს არასრული კვადრატული განტოლებების ტიპები:

1. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი ტოლია.
2. , ამ განტოლებაში თავისუფალი წევრი უდრის.
3. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ტოლია.

1. ი. რადგან ვიცით როგორ ავიღოთ კვადრატული ფესვი, მოდით გამოვხატოთ ამ განტოლებიდან

გამოთქმა შეიძლება იყოს უარყოფითი ან დადებითი. კვადრატული რიცხვი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რადგან ორი უარყოფითი ან ორი დადებითი რიცხვის გამრავლებისას შედეგი ყოველთვის იქნება დადებითი რიცხვი, ასე რომ: თუ, მაშინ განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.

და თუ, მაშინ მივიღებთ ორ ფესვს. არ არის საჭირო ამ ფორმულების დამახსოვრება. მთავარია იცოდე და ყოველთვის გახსოვდეთ, რომ ნაკლები არ შეიძლება.

შევეცადოთ რამდენიმე მაგალითის ამოხსნას.

მაგალითი 5:

ამოხსენით განტოლება

ახლა რჩება მხოლოდ ფესვის ამოღება მარცხენა და მარჯვენა მხრიდან. ბოლოს და ბოლოს, გახსოვთ, როგორ ამოიღოთ ფესვები?

პასუხი:

არასოდეს დაივიწყოთ ფესვები უარყოფითი ნიშნით!!!

მაგალითი 6:

ამოხსენით განტოლება

პასუხი:

მაგალითი 7:

ამოხსენით განტოლება

ოჰ! რიცხვის კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება

არა ფესვები!

ასეთი განტოლებისთვის, რომლებსაც ფესვები არ აქვთ, მათემატიკოსებმა გამოიგონეს სპეციალური ხატი - (ცარიელი ნაკრები). და პასუხი შეიძლება დაიწეროს ასე:

პასუხი:

ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. აქ არანაირი შეზღუდვა არ არის, რადგან ჩვენ არ გამოვყავით ფესვი.
მაგალითი 8:

ამოხსენით განტოლება

ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

ამრიგად,

ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

პასუხი:

არასრული კვადრატული განტოლებების უმარტივესი ტიპი (თუმცა ისინი ყველა მარტივია, არა?). ცხადია, ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი:

აქ მაგალითებს გამოვრიცხავთ.

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

შეგახსენებთ, რომ სრული კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლების განტოლება, სადაც

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ცოტა უფრო რთულია (უბრალოდ ცოტა) ვიდრე ეს.

გახსოვდეს, ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია დისკრიმინანტის გამოყენებით! თუნდაც არასრული.

სხვა მეთოდები დაგეხმარებათ ამის გაკეთებაში უფრო სწრაფად, მაგრამ თუ პრობლემები გაქვთ კვადრატულ განტოლებებთან დაკავშირებით, ჯერ დაეუფლეთ ამონახსს დისკრიმინანტის გამოყენებით.

1. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა დისკრიმინანტის გამოყენებით.

ამ მეთოდის გამოყენებით კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ძალიან მარტივია, მთავარია გახსოვდეთ მოქმედებების თანმიმდევრობა და რამდენიმე ფორმულა.

თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი, განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიაქციოთ საფეხურს. დისკრიმინანტი () გვეუბნება განტოლების ფესვების რაოდენობას.

• თუ, მაშინ ნაბიჯის ფორმულა შემცირდება. ამრიგად, განტოლებას მხოლოდ ფესვი ექნება.
• თუ, მაშინ ჩვენ ვერ გამოვყოფთ დისკრიმინანტის ფესვს საფეხურზე. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

დავუბრუნდეთ ჩვენს განტოლებებს და გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 9:

ამოხსენით განტოლება

Ნაბიჯი 1ჩვენ გამოვტოვებთ.

ნაბიჯი 2.

ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:

ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

ნაბიჯი 3.

პასუხი:

მაგალითი 10:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება წარმოდგენილია სტანდარტული ფორმით, ასე რომ Ნაბიჯი 1ჩვენ გამოვტოვებთ.

ნაბიჯი 2.

ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:

ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:

მაგალითი 11:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება წარმოდგენილია სტანდარტული ფორმით, ასე რომ Ნაბიჯი 1ჩვენ გამოვტოვებთ.

ნაბიჯი 2.

ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვერ შევძლებთ დისკრიმინანტის ფესვის ამოღებას. განტოლების ფესვები არ არსებობს.

ახლა ჩვენ ვიცით, როგორ სწორად ჩამოვწეროთ ასეთი პასუხები.

პასუხი:ფესვების გარეშე

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

თუ გახსოვთ, არის განტოლების ტიპი, რომელსაც ეწოდება შემცირებული (როცა კოეფიციენტი a უდრის):

ასეთი განტოლებების ამოხსნა ძალიან ადვილია ვიეტას თეორემის გამოყენებით:

ფესვების ჯამი მოცემულიკვადრატული განტოლება ტოლია, ხოლო ფესვების ნამრავლი ტოლია.

მაგალითი 12:

ამოხსენით განტოლება

ეს განტოლება შეიძლება ამოიხსნას ვიეტას თეორემის გამოყენებით, რადგან .

განტოლების ფესვების ჯამი ტოლია, ე.ი. ვიღებთ პირველ განტოლებას:

და პროდუქტი უდრის:

მოდით შევადგინოთ და მოვაგვაროთ სისტემა:

• და. თანხა უდრის;
• და. თანხა უდრის;
• და. თანხა თანაბარია.

და არის სისტემის გამოსავალი:

პასუხი: ; .

მაგალითი 13:

ამოხსენით განტოლება

პასუხი:

მაგალითი 14:

ამოხსენით განტოლება

განტოლება მოცემულია, რაც ნიშნავს:

პასუხი:

კვადრატული განტოლებები. საშუალო დონე

რა არის კვადრატული განტოლება?

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება, სადაც - უცნობი, - ზოგიერთი რიცხვი და.

რიცხვს უწოდებენ უმაღლეს ან პირველი კოეფიციენტიკვადრატული განტოლება, - მეორე კოეფიციენტი, ა - თავისუფალი წევრი.

რატომ? რადგან თუ განტოლება მაშინვე ხდება წრფივი, იმიტომ გაქრება.

ამ შემთხვევაში და შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. ამ სავარძელში განტოლებას არასრული ეწოდება. თუ ყველა ტერმინი ადგილზეა, ანუ განტოლება დასრულებულია.

სხვადასხვა ტიპის კვადრატული განტოლების ამონახსნები

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები:

პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს - ისინი უფრო მარტივია.

ჩვენ შეგვიძლია განვასხვავოთ შემდეგი ტიპის განტოლებები:

I., ამ განტოლებაში კოეფიციენტი და თავისუფალი წევრი ტოლია.

II. , ამ განტოლებაში კოეფიციენტი ტოლია.

III. , ამ განტოლებაში თავისუფალი წევრი უდრის.

ახლა მოდით გადავხედოთ თითოეული ამ ქვეტიპის გადაწყვეტას.

ცხადია, ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი:

კვადრატული რიცხვი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რადგან როდესაც გაამრავლებთ ორ უარყოფით ან ორ დადებით რიცხვს, შედეგი ყოველთვის იქნება დადებითი რიცხვი. Ამიტომაც:

თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები;

თუ ორი ფესვი გვაქვს

არ არის საჭირო ამ ფორმულების დამახსოვრება. მთავარია გახსოვდეთ, რომ ეს არ შეიძლება იყოს ნაკლები.

მაგალითები:

გადაწყვეტილებები:

პასუხი:

არასოდეს დაივიწყოთ ფესვები უარყოფითი ნიშნით!

რიცხვის კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება

ფესვების გარეშე.

მოკლედ რომ ჩამოვწეროთ, რომ პრობლემას არ აქვს გადაწყვეტილებები, ვიყენებთ ცარიელი ნაკრების ხატულას.

პასუხი:

ამრიგად, ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: და.

პასუხი:

ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ამონახსნი, როდესაც:

ამრიგად, ამ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: და.

მაგალითი:

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

მოდით გავამრავლოთ განტოლების მარცხენა მხარე და ვიპოვოთ ფესვები:

პასუხი:

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები:

1. დისკრიმინანტი

ამ გზით კვადრატული განტოლებების ამოხსნა მარტივია, მთავარია დაიმახსოვროთ მოქმედებების თანმიმდევრობა და რამდენიმე ფორმულა. დაიმახსოვრე, ნებისმიერი კვადრატული განტოლება შეიძლება ამოიხსნას დისკრიმინანტის გამოყენებით! თუნდაც არასრული.

შეამჩნიეთ ფესვი დისკრიმინანტიდან ფესვების ფორმულაში? მაგრამ დისკრიმინანტი შეიძლება იყოს უარყოფითი. Რა უნდა ვქნა? განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მივაქციოთ მე-2 საფეხურს. დისკრიმინანტი გვეუბნება განტოლების ფესვების რაოდენობას.

• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვები:
• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს იგივე ფესვები და, ფაქტობრივად, ერთი ფესვი:

  ასეთ ფესვებს ორმაგი ფესვები ეწოდება.

• თუ, მაშინ დისკრიმინანტის ფესვი არ არის ამოღებული. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

რატომ არის შესაძლებელი ფესვების განსხვავებული რაოდენობა? მოდით მივმართოთ კვადრატული განტოლების გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა:

სპეციალურ შემთხვევაში, რომელიც არის კვადრატული განტოლება, . ეს ნიშნავს, რომ კვადრატული განტოლების ფესვები არის აბსცისის ღერძთან (ღერძთან) გადაკვეთის წერტილები. პარაბოლა შეიძლება საერთოდ არ კვეთდეს ღერძს, ან შეიძლება გადაკვეთოს იგი ერთ (როდესაც პარაბოლის წვერო ღერძზე დევს) ან ორ წერტილზე.

გარდა ამისა, კოეფიციენტი პასუხისმგებელია პარაბოლის ტოტების მიმართულებაზე. თუ, მაშინ პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ, ხოლო თუ, მაშინ ქვემოთ.

მაგალითები:

გადაწყვეტილებები:

პასუხი:

პასუხი:.

პასუხი:

ეს ნიშნავს, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

პასუხი:.

2. ვიეტას თეორემა

ვიეტას თეორემის გამოყენება ძალიან მარტივია: თქვენ უბრალოდ უნდა აირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი ტოლია განტოლების თავისუფალ წევრს, ხოლო ჯამი უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ მეორე კოეფიციენტს.

მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ ვიეტას თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ შემცირებული კვადრატული განტოლებები ().

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

მაგალითი #1:

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

ეს განტოლება შეიძლება ამოიხსნას ვიეტას თეორემის გამოყენებით, რადგან . სხვა კოეფიციენტები: ; .

განტოლების ფესვების ჯამი არის:

და პროდუქტი უდრის:

ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი ტოლია და შევამოწმოთ მათი ჯამი ტოლია თუ არა:

• და. თანხა უდრის;
• და. თანხა უდრის;
• და. თანხა თანაბარია.

და არის სისტემის გამოსავალი:

ამრიგად, და არის ჩვენი განტოლების ფესვები.

პასუხი: ; .

მაგალითი #2:

გამოსავალი:

მოდით ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომლებიც მოცემულია ნამრავლში და შემდეგ შევამოწმოთ მათი ჯამი ტოლია თუ არა:

და: იძლევიან სულ.

და: იძლევიან სულ. მისაღებად საკმარისია უბრალოდ შეცვალოთ სავარაუდო ფესვების ნიშნები: და ბოლოს და ბოლოს, პროდუქტი.

პასუხი:

მაგალითი #3:

გამოსავალი:

განტოლების თავისუფალი წევრი უარყოფითია და, შესაბამისად, ფესვების ნამრავლი არის უარყოფითი რიცხვი. ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი ფესვი უარყოფითია, მეორე კი დადებითი. ამიტომ ფესვების ჯამი უდრის მათი მოდულების განსხვავებები.

მოდით ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომლებიც მოცემულია ნამრავლში და რომელთა განსხვავება უდრის:

და: მათი განსხვავება თანაბარია - არ ჯდება;

და: - შეუსაბამო;

და: - შეუსაბამო;

და: - შესაფერისი. რჩება მხოლოდ გვახსოვდეს, რომ ერთ-ერთი ფესვი უარყოფითია. ვინაიდან მათი ჯამი ტოლი უნდა იყოს, უფრო მცირე მოდულის მქონე ფესვი უარყოფითი უნდა იყოს: . ჩვენ ვამოწმებთ:

პასუხი:

მაგალითი #4:

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

განტოლება მოცემულია, რაც ნიშნავს:

თავისუფალი ვადა უარყოფითია და, შესაბამისად, ფესვების პროდუქტი უარყოფითია. და ეს შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც განტოლების ერთი ფესვი უარყოფითია, მეორე კი დადებითი.

მოდით ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი ტოლია და შემდეგ განვსაზღვროთ რომელ ფესვებს უნდა ჰქონდეს უარყოფითი ნიშანი:

ცხადია, მხოლოდ ფესვები და შესაფერისია პირველი პირობისთვის:

პასუხი:

მაგალითი #5:

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

განტოლება მოცემულია, რაც ნიშნავს:

ფესვების ჯამი უარყოფითია, რაც ნიშნავს, რომ ერთი ფესვი მაინც უარყოფითია. მაგრამ რადგან მათი პროდუქტი დადებითია, ეს ნიშნავს, რომ ორივე ფესვს აქვს მინუს ნიშანი.

მოდით ავირჩიოთ რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი უდრის:

ცხადია, ფესვები არის რიცხვები და.

პასუხი:

დამეთანხმებით, ძალიან მოსახერხებელია ფესვების ზეპირად გამომუშავება, ნაცვლად ამ საზიზღარი დისკრიმინანტის დათვლის. შეეცადეთ გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა რაც შეიძლება ხშირად.

მაგრამ ვიეტას თეორემა საჭიროა იმისათვის, რომ ხელი შეუწყოს და დააჩქაროს ფესვების პოვნა. იმისათვის, რომ ისარგებლოთ მისი გამოყენებით, თქვენ უნდა მიიყვანოთ მოქმედებები ავტომატურად. და ამისთვის ამოხსენით კიდევ ხუთი მაგალითი. მაგრამ არ მოატყუოთ: თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ დისკრიმინანტი! მხოლოდ ვიეტას თეორემა:

ამოცანების გადაწყვეტილებები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

ამოცანა 1. ((x)^(2))-8x+12=0

ვიეტას თეორემის მიხედვით:

ჩვეულებისამებრ, შერჩევას ვიწყებთ ნაჭრით:

არ არის შესაფერისი, რადგან თანხა;

: თანხა არის ზუსტად ის, რაც გჭირდებათ.

პასუხი: ; .

დავალება 2.

და ისევ ჩვენი საყვარელი ვიეტას თეორემა: ჯამი ტოლი უნდა იყოს, ნამრავლი კი ტოლი.

მაგრამ რადგან ეს არ უნდა იყოს, მაგრამ, ჩვენ ვცვლით ფესვების ნიშნებს: და (სულ).

პასუხი: ; .

დავალება 3.

ჰმ... სად არის?

თქვენ უნდა გადაიტანოთ ყველა ტერმინი ერთ ნაწილად:

ფესვების ჯამი ნამრავლის ტოლია.

კარგი, გაჩერდი! განტოლება არ არის მოცემული. მაგრამ ვიეტას თეორემა გამოსაყენებელია მხოლოდ მოცემულ განტოლებებში. ასე რომ, პირველ რიგში, თქვენ უნდა მიუთითოთ განტოლება. თუ ვერ ხელმძღვანელობთ, უარი თქვით ამ იდეაზე და მოაგვარეთ იგი სხვა გზით (მაგალითად, დისკრიმინანტის საშუალებით). შეგახსენებთ, რომ კვადრატული განტოლების მიცემა ნიშნავს წამყვანი კოეფიციენტის ტოლფასს:

დიდი. მაშინ ფესვების ჯამი ტოლია და ნამრავლი.

აქ მსხლის ჭურვივით არჩევა ადვილია: ბოლოს და ბოლოს, ეს არის მარტივი რიცხვი (ბოდიში ტავტოლოგიისთვის).

პასუხი: ; .

დავალება 4.

თავისუფალი წევრი უარყოფითია. რა არის ამაში განსაკუთრებული? და ფაქტია, რომ ფესვებს განსხვავებული ნიშნები ექნებათ. ახლა კი, შერჩევისას, ჩვენ ვამოწმებთ არა ფესვების ჯამს, არამედ განსხვავებას მათ მოდულებში: ეს განსხვავება ტოლია, მაგრამ პროდუქტი.

ასე რომ, ფესვები ტოლია და, მაგრამ ერთი მათგანი არის მინუს. ვიეტას თეორემა გვეუბნება, რომ ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს საპირისპირო ნიშნით, ანუ. ეს ნიშნავს, რომ პატარა ფესვს ექნება მინუსი: და, ვინაიდან.

პასუხი: ; .

დავალება 5.

რა უნდა გააკეთო პირველ რიგში? მართალია, მიეცი განტოლება:

ისევ: ჩვენ ვირჩევთ რიცხვის ფაქტორებს და მათი განსხვავება ტოლი უნდა იყოს:

ფესვები ტოლია და, მაგრამ ერთი მათგანი არის მინუს. რომელი? მათი ჯამი ტოლი უნდა იყოს, რაც ნიშნავს, რომ მინუსს უფრო დიდი ფესვი ექნება.

პასუხი: ; .

ნება მომეცით შევაჯამოთ:

1. ვიეტას თეორემა გამოიყენება მხოლოდ მოცემულ კვადრატულ განტოლებებში.
2. ვიეტას თეორემის გამოყენებით, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ფესვები შერჩევით, ზეპირად.
3. თუ განტოლება არ არის მოცემული ან არ არის ნაპოვნი თავისუფალი ტერმინის ფაქტორების შესაფერისი წყვილი, მაშინ არ არსებობს მთელი ფესვები და თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ იგი სხვა გზით (მაგალითად, დისკრიმინანტის საშუალებით).

3. სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი

თუ უცნობის შემცველი ყველა ტერმინი წარმოდგენილია ტერმინების სახით შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიდან - ჯამის ან სხვაობის კვადრატი - მაშინ ცვლადების ჩანაცვლების შემდეგ, განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ტიპის არასრული კვადრატული განტოლების სახით.

Მაგალითად:

მაგალითი 1:

ამოხსენით განტოლება: .

გამოსავალი:

პასუხი:

მაგალითი 2:

ამოხსენით განტოლება: .

გამოსავალი:

პასუხი:

ზოგადად, ტრანსფორმაცია ასე გამოიყურება:

ეს გულისხმობს: .

არაფერს არ გახსენებს? ეს არის დისკრიმინაციული რამ! სწორედ ასე მივიღეთ დისკრიმინაციული ფორმულა.

კვადრატული განტოლებები. მოკლედ მთავარის შესახებ

Კვადრატული განტოლება- ეს არის ფორმის განტოლება, სადაც - უცნობი, - კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები, - თავისუფალი წევრი.

სრული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტები არ არის ნულის ტოლი.

შემცირებული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი, ანუ: .

არასრული კვადრატული განტოლება- განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი და ან თავისუფალი წევრი c უდრის ნულს:

• თუ კოეფიციენტი, განტოლება ასე გამოიყურება:
• თუ არსებობს თავისუფალი წევრი, განტოლებას აქვს ფორმა:
• თუ და, განტოლება ასე გამოიყურება: .

1. არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი

1.1. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც:

1) გამოვხატოთ უცნობი:

2) შეამოწმეთ გამოხატვის ნიშანი:

• თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები,
• თუ, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

1.2. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც:

1) ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

2) ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ამრიგად, განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

1.3. ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება, სადაც:

ამ განტოლებას ყოველთვის აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი: .

2. ფორმის სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი, სადაც

2.1. გამოსავალი დისკრიმინანტის გამოყენებით

1) მივიყვანოთ განტოლება სტანდარტულ ფორმაში:

2) გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი ფორმულით: , რომელიც მიუთითებს განტოლების ფესვების რაოდენობას:

3) იპოვეთ განტოლების ფესვები:

• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვები, რომლებიც გვხვდება ფორმულით:
• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფესვი, რომელიც გვხვდება ფორმულით:
• თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

2.2. ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით

შემცირებული კვადრატული განტოლების (ფორმის განტოლება, სადაც) ფესვების ჯამი ტოლია, ხოლო ფესვების ნამრავლი ტოლია, ე.ი. , ა.

2.3. ამოხსნა სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდით

ცნობილია, რომ ეს არის ტოლობის კონკრეტული ვერსია ax 2 + bx + c = o, სადაც a, b და c არის რეალური კოეფიციენტები უცნობი x-ისთვის და სადაც a ≠ o, და b და c იქნება ნულები - ერთდროულად ან ცალკე. მაგალითად, c = o, b ≠ o ან პირიქით. ჩვენ თითქმის გვახსოვდა კვადრატული განტოლების განმარტება.

მეორე ხარისხის ტრინომია არის ნული. მის პირველ კოეფიციენტს a ≠ o, b და c შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა. x ცვლადის მნიშვნელობა იქნება მაშინ, როდესაც ჩანაცვლება აქცევს მას სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში. მოდით ფოკუსირება ნამდვილ ფესვებზე გავამახვილოთ, თუმცა განტოლებები შეიძლება იყოს ამონახსნებიც.ჩვეულებრივია, განტოლებას ვუწოდოთ სრული, რომელშიც არცერთი კოეფიციენტი არ არის o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
მოვაგვაროთ მაგალითი. 2x 2 -9x-5 = ოჰ, ჩვენ ვიპოვით
D = 81+40 = 121,
D დადებითია, რაც ნიშნავს რომ არის ფესვები, x 1 = (9+√121):4 = 5, ხოლო მეორე x 2 = (9-√121):4 = -o.5. შემოწმება დაგეხმარებათ დარწმუნდეთ, რომ ისინი სწორია.

აქ მოცემულია კვადრატული განტოლების ეტაპობრივი ამოხსნა

დისკრიმინანტის გამოყენებით, შეგიძლიათ ამოხსნათ ნებისმიერი განტოლება, რომლის მარცხენა მხარეს არის ცნობილი კვადრატული ტრინომი ≠ o-სთვის. ჩვენს მაგალითში. 2x 2 -9x-5 = 0 (ცული 2 +in+s = o)

განვიხილოთ რა არის მეორე ხარისხის არასრული განტოლებები

1. ცული 2 +in = o. თავისუფალი წევრი, კოეფიციენტი c x 0-ზე, აქ ნულის ტოლია, ≠ o-ში.
   როგორ ამოხსნათ ამ ტიპის არასრული კვადრატული განტოლება? ავიღოთ x ფრჩხილებიდან. გავიხსენოთ, როდესაც ორი ფაქტორის ნამრავლი ნულის ტოლია.
   x(ax+b) = o, ეს შეიძლება იყოს, როდესაც x = o ან როდესაც ax+b = o.
   მე-2-ის ამოხსნის შემდეგ გვაქვს x = -в/а.
   შედეგად, გვაქვს ფესვები x 1 = 0, გამოთვლების მიხედვით x 2 = -b/a.
2. ახლა x-ის კოეფიციენტი უდრის o-ს და c არ არის ტოლი (≠) o.
   x 2 +c = o. გადავიტანოთ c ტოლობის მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ x 2 = -с. ამ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს მხოლოდ მაშინ, როდესაც -c დადებითი რიცხვია (c ‹ o),
   x 1 მაშინ უდრის √(-c), შესაბამისად, x 2 არის -√(-c). წინააღმდეგ შემთხვევაში, განტოლებას საერთოდ არ აქვს ფესვები.
3. ბოლო ვარიანტი: b = c = o, ანუ ax 2 = o. ბუნებრივია, ასეთ მარტივ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, x = o.

განსაკუთრებული შემთხვევები

ჩვენ განვიხილეთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ არასრული კვადრატული განტოლება და ახლა ავიღოთ ნებისმიერი ტიპი.

• სრულ კვადრატულ განტოლებაში x-ის მეორე კოეფიციენტი არის ლუწი რიცხვი.
  მოდით k = o.5b. ჩვენ გვაქვს ფორმულები დისკრიმინანტისა და ფესვების გამოსათვლელად.
  D/4 = k 2 - ac, ფესვები გამოითვლება x 1,2 = (-k±√(D/4))/a D › o-სთვის.
  x = -k/a at D = o.
  D ‹ o-ს ფესვები არ არსებობს.
• მოცემულია კვადრატული განტოლებები, როდესაც x კვადრატის კოეფიციენტი უდრის 1-ს, ჩვეულებრივ იწერება x 2 + рх + q = o. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა მათზე ვრცელდება, მაგრამ გამოთვლები გარკვეულწილად მარტივია.
  მაგალითი, x 2 -4x-9 = 0. გამოთვალეთ D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• გარდა ამისა, მისი გამოყენება მარტივია მოცემულებზე, ნათქვამია, რომ განტოლების ფესვების ჯამი უდრის -p, მეორე კოეფიციენტი მინუსით (იგულისხმება საპირისპირო ნიშანი) და იგივე ფესვების ნამრავლი იქნება. იყოს q-ის ტოლი, თავისუფალი წევრი. ნახეთ, რამდენად ადვილი იქნებოდა ამ განტოლების ფესვების სიტყვიერად დადგენა. შეუმცირებელი კოეფიციენტებისთვის (ყველა კოეფიციენტისთვის, რომელიც არ არის ნულის ტოლი), ეს თეორემა გამოიყენება შემდეგნაირად: ჯამი x 1 + x 2 უდრის -b/a-ს, ნამრავლი x 1 · x 2 უდრის c/a-ს.

თავისუფალი წევრის c და პირველი კოეფიციენტის ჯამი უდრის b კოეფიციენტს. ამ სიტუაციაში განტოლებას აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი (ადვილად დასამტკიცებელი), პირველი აუცილებლად -1-ის ტოლია, ხოლო მეორე -c/a თუ არსებობს. თქვენ შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ როგორ ამოხსნათ არასრული კვადრატული განტოლება. ტორტივით მარტივი. კოეფიციენტები შეიძლება იყოს გარკვეულ ურთიერთობაში ერთმანეთთან

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• ყველა კოეფიციენტის ჯამი o-ის ტოლია.
  ასეთი განტოლების ფესვებია 1 და c/a. მაგალითი, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

არსებობს მრავალი სხვა გზა სხვადასხვა მეორე ხარისხის განტოლებების ამოსახსნელად. აი, მაგალითად, მოცემული მრავალწევრიდან სრული კვადრატის ამოღების მეთოდი. არსებობს რამდენიმე გრაფიკული მეთოდი. როცა ასეთ მაგალითებს ხშირად ხვდები, თესლივით „დაწკაპუნებას“ ისწავლი, რადგან ყველა მეთოდი თავში ავტომატურად მოდის.

იაკუპოვა M.I. 1

სმირნოვა იუ.ვ. 1

1 მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება No11 საშუალო სკოლა

ნამუშევრის ტექსტი განთავსებულია გამოსახულების და ფორმულების გარეშე.
ნამუშევრის სრული ვერსია ხელმისაწვდომია "სამუშაო ფაილების" ჩანართში PDF ფორმატში

კვადრატული განტოლებების ისტორია

ბაბილონი

არა მხოლოდ პირველი ხარისხის, არამედ მეორე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის აუცილებლობა უძველეს დროში გამოწვეული იყო მიწის ნაკვეთების არეების მოძიებასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრის აუცილებლობით, თავად ასტრონომიისა და მათემატიკის განვითარებით. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელი იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 2000 წელს. ე. ბაბილონელები. ბაბილონის ტექსტებში მოცემული ამ განტოლებების ამოხსნის წესები არსებითად იგივეა, რაც თანამედროვეებს, მაგრამ ამ ტექსტებს აკლია უარყოფითი რიცხვის კონცეფცია და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი მეთოდები.

Უძველესი საბერძნეთი

ძველ საბერძნეთში კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე მუშაობდნენ მეცნიერები, როგორიცაა დიოფანტი, ევკლიდე და ჰერონი. დიოფანტე დიოფანტე ალექსანდრიელი არის ძველი ბერძენი მათემატიკოსი, რომელიც სავარაუდოდ ცხოვრობდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე III საუკუნეში. დიოფანტის მთავარი ნაშრომია „არითმეტიკა“ 13 წიგნში. ევკლიდე. ევკლიდე არის ძველი ბერძენი მათემატიკოსი, მათემატიკის პირველი თეორიული ტრაქტატის ავტორი, რომელიც ჩვენამდე მოაღწია ჰერონმა. ჰერონი - ბერძენი მათემატიკოსი და ინჟინერი პირველად საბერძნეთში ჩვენს წელთაღრიცხვამდე I საუკუნეში. იძლევა წმინდა ალგებრულ ხერხს კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად

ინდოეთი

კვადრატულ განტოლებათა პრობლემები უკვე გვხვდება ასტრონომიულ ტრაქტატში "არიაბჰატიამი", რომელიც შედგენილია 499 წელს ინდოელი მათემატიკოსისა და ასტრონომის არიაბჰატას მიერ. კიდევ ერთმა ინდოელმა მეცნიერმა, ბრაჰმაგუპტამ (VII ს.) გამოკვეთა კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი წესი, რომელიც შემცირებულია ერთ კანონიკურ ფორმაზე: ax2 + bx = c, a> 0. (1) განტოლებაში (1) კოეფიციენტები შეიძლება იყოს უარყოფითი. ბრაჰმაგუპტას წესი არსებითად იგივეა, რაც ჩვენი. ინდოეთში გავრცელებული იყო საჯარო კონკურსები რთული პრობლემების გადაჭრაში. ერთ-ერთ ძველ ინდურ წიგნში ასეთი შეჯიბრებების შესახებ ნათქვამია: „როგორც მზე აჭარბებს ვარსკვლავებს თავისი ბრწყინვალებით, ასევე სწავლული ადამიანი აჭარბებს თავის დიდებას საზოგადოებრივ შეკრებებზე ალგებრული ამოცანების შეთავაზებითა და გადაწყვეტით“. პრობლემები ხშირად პოეტური სახით იყო წარმოდგენილი.

ეს არის მე-12 საუკუნის ცნობილი ინდოელი მათემატიკოსის ერთ-ერთი პრობლემა. ბჰასკარები.

„გაბრწყინებული მაიმუნების ფარა

ვაზის გასწვრივ თორმეტმა კი, გულზე რომ მიჭამა, გაერთო

დაიწყეს ხტომა, ჩამოკიდება

ნაწილი მერვე კვადრატში

რამდენი მაიმუნი იყო?

გაწმენდაში ვხალისობდი

მითხარი, ამ პაკეტში?

ბჰასკარას ამოხსნა მიუთითებს იმაზე, რომ ავტორმა იცოდა, რომ კვადრატული განტოლებების ფესვები ორმნიშვნელოვანია. ბჰასკარი ამოცანის შესაბამის განტოლებას წერს x2 - 64x = - 768 და იმისათვის, რომ ამ განტოლების მარცხენა მხარე დაასრულოს კვადრატში, ორივე მხარეს უმატებს 322-ს, შემდეგ იღებს: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32 = ±16, x1 = 16, x2 = 48.

კვადრატული განტოლებები მე-17 საუკუნის ევროპაში

ევროპაში ალ-ხორეზმის მოდელირებული კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები პირველად ჩამოყალიბდა აბაკუსის წიგნში, რომელიც დაიწერა 1202 წელს იტალიელმა მათემატიკოსმა ლეონარდო ფიბონაჩის მიერ. ეს მოცულობითი ნაშრომი, რომელიც ასახავს მათემატიკის გავლენას, როგორც ისლამის ქვეყნებიდან, ისე ძველი საბერძნეთიდან, გამოირჩევა სისრულითა და წარმოდგენის სიცხადით. ავტორმა დამოუკიდებლად შეიმუშავა ამოცანების ამოხსნის რამდენიმე ახალი ალგებრული მაგალითი და პირველი იყო ევროპაში, ვინც მიუახლოვდა უარყოფითი რიცხვების შემოღებას. მისმა წიგნმა ხელი შეუწყო ალგებრული ცოდნის გავრცელებას არა მხოლოდ იტალიაში, არამედ გერმანიაში, საფრანგეთსა და ევროპის სხვა ქვეყნებში. აბაკუსის წიგნიდან მრავალი პრობლემა გამოიყენებოდა XVI-XVII საუკუნეების თითქმის ყველა ევროპულ სახელმძღვანელოში. და ნაწილობრივ XVIII. კვადრატული განტოლების ზოგადი ფორმით ამოხსნის ფორმულის წარმოშობა ხელმისაწვდომია Viète-დან, მაგრამ ვიეტმა აღიარა მხოლოდ დადებითი ფესვები. მე-16 საუკუნეში პირველთა შორის იყვნენ იტალიელი მათემატიკოსები ტარტალია, კარდანო, ბომბელი. გარდა დადებითისა, მხედველობაში მიიღება უარყოფითი ფესვებიც. მხოლოდ მე-17 საუკუნეში. ჟირარის, დეკარტის, ნიუტონის და სხვა მეცნიერების ნაშრომების წყალობით, კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდი თანამედროვე სახეს იღებს.

კვადრატული განტოლების განმარტება

ax 2 + bx + c = 0 ფორმის განტოლებას, სადაც a, b, c რიცხვებია, ეწოდება კვადრატული.

კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები

რიცხვები a, b, c არის კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები. a არის პირველი კოეფიციენტი (x²-მდე), a ≠ 0; b არის მეორე კოეფიციენტი (x-მდე); c არის თავისუფალი წევრი (x-ის გარეშე).

ამ განტოლებიდან რომელი არ არის კვადრატული??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

კვადრატული განტოლებების სახეები

სახელი	განტოლების ზოგადი ფორმა	თვისება (რა არის კოეფიციენტები)	განტოლებების მაგალითები
	ცული 2 + bx + c = 0	a, b, c - რიცხვები, გარდა 0-ისა	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
არასრული
			x 2 - 1/5x = 0
მოცემული	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

შემცირებული არის კვადრატული განტოლება, რომელშიც წამყვანი კოეფიციენტი უდრის ერთს. ასეთი განტოლება შეიძლება მივიღოთ მთელი გამოსახულების წამყვან კოეფიციენტზე გაყოფით a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

კვადრატულ განტოლებას სრული ეწოდება, თუ მისი ყველა კოეფიციენტი არ არის ნულოვანი.

კვადრატულ განტოლებას ეწოდება არასრული, რომელშიც კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც, გარდა წამყვანისა (მეორე კოეფიციენტი ან თავისუფალი წევრი), ნულის ტოლია.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

მეთოდი I ფესვების გამოთვლის ზოგადი ფორმულა

იპოვონ კვადრატული განტოლების ფესვები ნაჯახი 2 + b + c = 0ზოგადად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი ალგორითმი:

გამოთვალეთ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტის მნიშვნელობა: ეს არის მისი გამოხატულება D=ბ 2 - 4 ც

ფორმულის წარმოშობა:

Შენიშვნა:აშკარაა, რომ 2 სიმრავლის ფესვის ფორმულა არის ზოგადი ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც მიღებულია მასში ტოლობის D=0 ჩანაცვლებით და დასკვნა D0-ზე რეალური ფესვების არარსებობის შესახებ, და (ჩვენების სტილი (sqrt ( -1))=ი) = ი.

წარმოდგენილი მეთოდი უნივერსალურია, მაგრამ ის შორს არის ერთადერთისგან. ერთი განტოლების ამოხსნას შეიძლება მივუდგეთ სხვადასხვა გზით, უპირატესობები, როგორც წესი, დამოკიდებულია ამომხსნელზე. გარდა ამისა, ხშირად ამ მიზნით ზოგიერთი მეთოდი ბევრად უფრო ელეგანტური, მარტივი და ნაკლებად შრომატევადი აღმოჩნდება, ვიდრე სტანდარტული.

II მეთოდი. კვადრატული განტოლების ფესვები ლუწი კოეფიციენტითბ III მეთოდი. არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

IV მეთოდი. კოეფიციენტების ნაწილობრივი შეფარდების გამოყენება

არის კვადრატული განტოლებების განსაკუთრებული შემთხვევები, რომლებშიც კოეფიციენტები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული, რაც მათ ამოხსნას ბევრად აადვილებს.

კვადრატული განტოლების ფესვები, რომელშიც წამყვანი კოეფიციენტისა და თავისუფალი წევრის ჯამი მეორე კოეფიციენტის ტოლია

თუ კვადრატულ განტოლებაში ნაჯახი 2 + bx + c = 0პირველი კოეფიციენტისა და თავისუფალი წევრის ჯამი მეორე კოეფიციენტის ტოლია: a+b=c, მაშინ მისი ფესვები არის -1 და რიცხვი, რომელიც საპირისპიროა თავისუფალი წევრის შეფარდება წამყვან კოეფიციენტთან ( -გ/ა).

აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე უნდა შეამოწმოთ ამ თეორემის მასზე გამოყენების შესაძლებლობა: შეადარეთ წამყვანი კოეფიციენტის ჯამი და თავისუფალი წევრი მეორე კოეფიციენტთან.

კვადრატული განტოლების ფესვები, რომლის ყველა კოეფიციენტის ჯამი არის ნული

თუ კვადრატულ განტოლებაში მისი ყველა კოეფიციენტის ჯამი არის ნული, მაშინ ასეთი განტოლების ფესვები არის 1 და თავისუფალი წევრის შეფარდება წამყვან კოეფიციენტთან ( გ/ა).

მაშასადამე, სტანდარტული მეთოდების გამოყენებით განტოლების ამოხსნამდე, თქვენ უნდა შეამოწმოთ ამ თეორემის გამოყენებადობა მასზე: შეაგროვეთ ამ განტოლების ყველა კოეფიციენტი და ნახეთ, არ არის თუ არა ეს ჯამი ნულის ტოლი.

V მეთოდი. კვადრატული ტრინომის ფაქტორირება ხაზოვან ფაქტორებად

თუ ტრინომიალი ფორმისაა (ჩვენების სტილი ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0)შეიძლება როგორღაც წარმოდგენილი იყოს წრფივი ფაქტორების ნამრავლად (ჩვენების სტილი (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), შემდეგ შეგვიძლია ვიპოვოთ განტოლების ფესვები ნაჯახი 2 + bx + c = 0- ისინი იქნება -m/k და n/l, მართლაც, ბოლოს და ბოლოს (ჩვენების სტილი (kx+m)(lx+n)=0გრძელი მარჯვენა ისარი kx+m=0 ჭიქა lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n და მითითებული წრფივი განტოლებების ამოხსნის შემდეგ მივიღებთ ზემოხსენებულს. გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატული ტრინომიალი ყოველთვის არ იშლება წრფივ ფაქტორებად რეალური კოეფიციენტებით: ეს შესაძლებელია, თუ შესაბამის განტოლებას რეალური ფესვები აქვს.

განვიხილოთ რამდენიმე განსაკუთრებული შემთხვევა

კვადრატული ჯამის (განსხვავების) ფორმულის გამოყენებით

თუ კვადრატულ ტრინომს აქვს ფორმა (ჩვენების სტილი (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2, მაშინ მასზე ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით შეგვიძლია ის წრფივ ფაქტორებად გადავანაწილოთ და მაშასადამე, იპოვნეთ ფესვები:

(ცული) 2 + 2abx + b 2 = (ცული + ბ) 2

ჯამის სრული კვადრატის იზოლირება (განსხვავება)

ზემოაღნიშნული ფორმულა ასევე გამოიყენება მეთოდის გამოყენებით, სახელწოდებით "ჯამის (განსხვავების) სრული კვადრატის არჩევა". ზემოაღნიშნულ კვადრატულ განტოლებასთან დაკავშირებით ადრე შემოღებულ აღნიშვნით, ეს ნიშნავს შემდეგს:

Შენიშვნა:თუ შეამჩნევთ, ეს ფორმულა ემთხვევა შემოთავაზებულს განყოფილებაში „შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები“, რომელიც, თავის მხრივ, შეიძლება მივიღოთ ზოგადი ფორმულიდან (1) ტოლობის a=1 ჩანაცვლებით. ეს ფაქტი არ არის მხოლოდ დამთხვევა: აღწერილი მეთოდის გამოყენებით, თუმცა გარკვეული დამატებითი მსჯელობით, შეიძლება გამოვიდეს ზოგადი ფორმულა და ასევე დაამტკიცოს დისკრიმინანტის თვისებები.

VI მეთოდი. ვიეტას პირდაპირი და შებრუნებული თეორემის გამოყენება

ვიეტას პირდაპირი თეორემა (იხ. ქვემოთ ამავე სახელწოდების განყოფილებაში) და მისი შებრუნებული თეორემა საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ ზემოთ მოყვანილი კვადრატული განტოლებები ზეპირად, საკმაოდ რთული გამოთვლების გამოყენების გარეშე (1) ფორმულის გამოყენებით.

საპირისპირო თეორემის მიხედვით, ყველა წყვილი რიცხვი (რიცხვი) (ჩვენების სტილი x_(1), x_(2)) x 1, x 2, რომელიც არის ქვემოთ მოცემული განტოლებათა სისტემის ამონახსნი, არის განტოლების ფესვები.

ზოგად შემთხვევაში, ანუ შეუმცირებელი კვადრატული განტოლებისთვის ცული 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

პირდაპირი თეორემა დაგეხმარებათ იპოვოთ რიცხვები, რომლებიც ზეპირად აკმაყოფილებენ ამ განტოლებებს. მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ ფესვების ნიშნები თავად ფესვების ცოდნის გარეშე. ამისათვის თქვენ უნდა დაიცვას წესი:

1) თუ თავისუფალი წევრი უარყოფითია, მაშინ ფესვებს აქვთ განსხვავებული ნიშნები, ხოლო ფესვების აბსოლუტური მნიშვნელობით ყველაზე დიდს აქვს განტოლების მეორე კოეფიციენტის ნიშნის საწინააღმდეგო ნიშანი;

2) თუ თავისუფალი ვადა დადებითია, მაშინ ორივე ფესვს აქვს ერთი და იგივე ნიშანი და ეს არის მეორე კოეფიციენტის ნიშნის საპირისპირო ნიშანი.

VII მეთოდი. გადაცემის მეთოდი

ეგრეთ წოდებული "გადაცემის" მეთოდი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ შეუმცირებელი და შეუქცევადი განტოლებების ამონახსნები შემცირებული განტოლებების სახით მთელი რიცხვის კოეფიციენტებით, მათი გაყოფით წამყვან კოეფიციენტზე, შემცირებული განტოლებების ამოხსნაზე მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. ეს არის შემდეგი:

შემდეგ, განტოლება იხსნება ზეპირად ზემოთ აღწერილი წესით, შემდეგ ისინი უბრუნდებიან საწყის ცვლადს და პოულობენ განტოლებების ფესვებს (ჩვენების სტილი y_(1)=ax_(1)) წ 1 = ცული 1 და წ 2 = ცული 2 .(ჩვენების სტილი y_(2)=ax_(2))

გეომეტრიული მნიშვნელობა

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. კვადრატული განტოლების ამონახსნები (ფესვები) არის პარაბოლის აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის წერტილების აბსციები. თუ კვადრატული ფუნქციით აღწერილი პარაბოლა არ კვეთს x ღერძს, განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები. თუ პარაბოლა კვეთს x ღერძს ერთ წერტილში (პარაბოლის წვეროზე), განტოლებას აქვს ერთი რეალური ფესვი (განტოლებას ასევე აქვს ორი თანხვედრილი ფესვი). თუ პარაბოლა კვეთს x ღერძს ორ წერტილში, განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი (იხ. სურათი მარჯვნივ.)

თუ კოეფიციენტი (ჩვენების სტილი a) ადადებითი, პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ და პირიქით. თუ კოეფიციენტი (ჩვენების სტილი ბ) bpositive (თუ დადებითი (ჩვენების სტილი a) ათუ უარყოფითია, პირიქით), მაშინ პარაბოლის წვერო დევს მარცხენა ნახევარსიბრტყეში და პირიქით.

კვადრატული განტოლებების გამოყენება ცხოვრებაში

ფართოდ გამოიყენება კვადრატული განტოლება. იგი გამოიყენება ბევრ გამოთვლებში, სტრუქტურაში, სპორტში და ასევე ჩვენს გარშემო.

განვიხილოთ და მოვიყვანოთ კვადრატული განტოლების გამოყენების რამდენიმე მაგალითი.

სპორტი. სიმაღლეზე ნახტომები: მხტუნავის აფრენისას პარაბოლასთან დაკავშირებული გამოთვლები გამოიყენება აფრენის ზოლსა და მაღალ ფრენაზე მაქსიმალურად მკაფიო ზემოქმედების მისაღწევად.

ასევე, მსგავსი გათვლებია საჭირო სროლისას. ობიექტის ფრენის დიაპაზონი დამოკიდებულია კვადრატულ განტოლებაზე.

ასტრონომია. პლანეტების ტრაექტორია შეიძლება მოიძებნოს კვადრატული განტოლების გამოყენებით.

თვითმფრინავის ფრენა. თვითმფრინავის აფრენა ფრენის მთავარი კომპონენტია. აქ ჩვენ ვიღებთ გაანგარიშებას დაბალი წინააღმდეგობისა და აფრენის აჩქარებისთვის.

კვადრატული განტოლებები ასევე გამოიყენება სხვადასხვა ეკონომიკურ დისციპლინებში, აუდიო, ვიდეო, ვექტორული და რასტრული გრაფიკის დამუშავების პროგრამებში.

დასკვნა

გაწეული სამუშაოს შედეგად აღმოჩნდა, რომ კვადრატული განტოლებები მეცნიერებს ძველ დროში იზიდავდა, ისინი უკვე შეხვედრიან რაღაც ამოცანის ამოხსნისას და ცდილობდნენ მათ გადაჭრას. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა გზებს გადავხედე, მივედი დასკვნამდე, რომ ყველა მათგანი მარტივი არ არის. ჩემი აზრით, კვადრატული განტოლებების ამოხსნის საუკეთესო გზაა მათი ამოხსნა ფორმულების გამოყენებით. ფორმულები ადვილად დასამახსოვრებელია, ეს მეთოდი უნივერსალურია. დადასტურდა ჰიპოთეზა, რომ განტოლებები ფართოდ გამოიყენება ცხოვრებაში და მათემატიკაში. თემის შესწავლის შემდეგ გავიგე ბევრი საინტერესო ფაქტი კვადრატული განტოლებების, მათი გამოყენების, გამოყენების, ტიპების, ამონახსნების შესახებ. და სიამოვნებით გავაგრძელებ მათ შესწავლას. ვიმედოვნებ, რომ ეს დამეხმარება გამოცდების წარმატებით ჩაბარებაში.

გამოყენებული ლიტერატურის სია

საიტის მასალები:

ვიკიპედია

ღია გაკვეთილი.rf

დაწყებითი მათემატიკის სახელმძღვანელო Vygodsky M. Ya.

Უბრალოდ. ფორმულებისა და მკაფიო, მარტივი წესების მიხედვით. პირველ ეტაპზე

აუცილებელია მოცემული განტოლება სტანდარტულ ფორმამდე მივიყვანოთ, ე.ი. ფორმამდე:

თუ განტოლება უკვე მოგეცემათ ამ ფორმით, თქვენ არ გჭირდებათ პირველი ეტაპის გაკეთება. მთავარია ამის სწორად გაკეთება

განსაზღვრეთ ყველა კოეფიციენტი, ა, ბდა გ.

კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნის ფორმულა.

ძირის ნიშნის ქვეშ გამოხატულს ე.წ დისკრიმინანტი . როგორც ხედავთ, X-ის საპოვნელად ჩვენ

ჩვენ ვიყენებთ მხოლოდ a, b და c. იმათ. კოეფიციენტებიდან კვადრატული განტოლება. უბრალოდ ფრთხილად ჩადეთ

ღირებულებები a, b და cჩვენ ვიანგარიშებთ ამ ფორმულაში. ჩვენ ვცვლით მათინიშნები!

Მაგალითად, განტოლებაში:

ა =1; ბ = 3; გ = -4.

ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობებს და ვწერთ:

მაგალითი თითქმის მოგვარებულია:

ეს არის პასუხი.

ყველაზე გავრცელებული შეცდომები ნიშნების მნიშვნელობებთან დაბნეულობაა ა, ბდა თან. უფრო სწორად, ჩანაცვლებით

უარყოფითი მნიშვნელობები ფესვების გამოთვლის ფორმულაში. ფორმულის დეტალური ჩანაწერი სამაშველოში მოდის

კონკრეტული ნომრებით. თუ პრობლემები გაქვთ გამოთვლებთან დაკავშირებით, გააკეთეთ ეს!

დავუშვათ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი მაგალითი:

Აქ ა = -6; ბ = -5; გ = -1

ჩვენ აღვწერთ ყველაფერს დეტალურად, ფრთხილად, არაფრის გამოტოვების გარეშე ყველა ნიშნით და ფრჩხილებით:

კვადრატული განტოლებები ხშირად ოდნავ განსხვავებულად გამოიყურება. მაგალითად, ასე:

ახლა გაითვალისწინეთ პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც მკვეთრად ამცირებს შეცდომების რაოდენობას.

პირველი დანიშვნა. მანამდე არ დაიზაროთ კვადრატული განტოლების ამოხსნამიიყვანეთ იგი სტანდარტულ ფორმაში.

Რას ნიშნავს ეს?

ვთქვათ, რომ ყველა გარდაქმნის შემდეგ მიიღებთ შემდეგ განტოლებას:

ნუ იჩქარებთ ძირეული ფორმულის დაწერას! თქვენ თითქმის აუცილებლად მიიღებთ შანსებს აირია a, b და c.

ააგეთ მაგალითი სწორად. ჯერ X კვადრატი, შემდეგ კვადრატის გარეშე, შემდეგ თავისუფალი ვადა. Ამგვარად:

მოიშორეთ მინუსი. Როგორ? მთელი განტოლება უნდა გავამრავლოთ -1-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

მაგრამ ახლა შეგიძლიათ უსაფრთხოდ ჩაწეროთ ფესვების ფორმულა, გამოთვალოთ დისკრიმინანტი და დაასრულოთ მაგალითის ამოხსნა.

თავად გადაწყვიტეთ. ახლა თქვენ უნდა გქონდეთ ფესვები 2 და -1.

მიღება მეორე.შეამოწმეთ ფესვები! მიერ ვიეტას თეორემა.

მოცემული კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად, ე.ი. თუ კოეფიციენტი

x 2 +bx+c=0,

მერეx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−ბ

სრული კვადრატული განტოლებისთვის, რომელშიც a≠1:

x 2 +ბx+გ=0,

გავყოთ მთელი განტოლება A:

→ →

სად x 1და x 2 - განტოლების ფესვები.

მიღება მესამე. თუ თქვენს განტოლებას აქვს წილადი კოეფიციენტები, მოიშორეთ წილადები! გაამრავლე

განტოლება საერთო მნიშვნელით.

დასკვნა. პრაქტიკული რჩევები:

1. ამოხსნის წინ კვადრატულ განტოლებას სტანდარტულ ფორმამდე მივყავართ და ვაშენებთ უფლება.

2. თუ X კვადრატის წინ არის უარყოფითი კოეფიციენტი, გამოვრიცხავთ მას ყველაფრის გამრავლებით.

განტოლებები -1-ით.

3. თუ კოეფიციენტები წილადია, წილადებს ვხსნით მთელი განტოლების შესაბამისზე გამრავლებით.

ფაქტორი.

4. თუ x კვადრატი სუფთაა, მისი კოეფიციენტი უდრის ერთს, ამონახსნის შემოწმება მარტივად შეიძლება

“, ანუ პირველი ხარისხის განტოლებები. ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ რასაც კვადრატული განტოლება ჰქვიადა როგორ მოვაგვაროთ.

რა არის კვადრატული განტოლება?

Მნიშვნელოვანი!

განტოლების ხარისხი განისაზღვრება უცნობის უმაღლესი ხარისხით.

თუ მაქსიმალური სიმძლავრე, რომელშიც უცნობია "2", მაშინ თქვენ გაქვთ კვადრატული განტოლება.

კვადრატული განტოლებების მაგალითები

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Მნიშვნელოვანი! კვადრატული განტოლების ზოგადი ფორმა ასე გამოიყურება:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" და "c" მოცემულია ნომრები.

• "a" არის პირველი ან უმაღლესი კოეფიციენტი;
• „ბ“ არის მეორე კოეფიციენტი;
• "c" არის თავისუფალი ტერმინი.

"a", "b" და "c"-ს საპოვნელად თქვენ უნდა შეადაროთ თქვენი განტოლება კვადრატული განტოლების ზოგად ფორმას "ax 2 + bx + c = 0".

ვივარჯიშოთ კვადრატულ განტოლებებში „ა“, „ბ“ და „გ“ კოეფიციენტების განსაზღვრაში.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

განტოლება	შანსები
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები

წრფივი განტოლებისგან განსხვავებით, კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად გამოიყენება სპეციალური მეთოდი. ფესვების პოვნის ფორმულა.

გახსოვდეს!

კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა:

• მიიტანეთ კვადრატული განტოლება ზოგად ფორმამდე "ax 2 + bx + c = 0". ანუ, მხოლოდ "0" უნდა დარჩეს მარჯვენა მხარეს;
• გამოიყენეთ ფორმულა ფესვებისთვის:

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ გამოვიყენოთ ფორმულა კვადრატული განტოლების ფესვების მოსაძებნად. ამოხსნათ კვადრატული განტოლება.

X 2 − 3x − 4 = 0

განტოლება „x 2 − 3x − 4 = 0“ უკვე დაყვანილია ზოგადი ფორმით „ax 2 + bx + c = 0“ და არ საჭიროებს დამატებით გამარტივებებს. მის გადასაჭრელად, ჩვენ უბრალოდ უნდა მიმართოთ კვადრატული განტოლების ფესვების მოძიების ფორმულა.

მოდით განვსაზღვროთ კოეფიციენტები "a", "b" და "c" ამ განტოლებისთვის.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

მისი გამოყენება შესაძლებელია ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად.

ფორმულაში "x 1; 2 = " რადიკალური გამოხატულება ხშირად იცვლება
"b 2 − 4ac" ასო "D"-სთვის და ეწოდება დისკრიმინანტი. დისკრიმინანტის ცნება უფრო დეტალურად არის განხილული გაკვეთილზე „რა არის დისკრიმინანტი“.

მოდით შევხედოთ კვადრატული განტოლების სხვა მაგალითს.

x 2 + 9 + x = 7x

ამ ფორმით საკმაოდ რთულია „ა“, „ბ“ და „გ“ კოეფიციენტების დადგენა. ჯერ განტოლება შევამციროთ ზოგად ფორმამდე „ax 2 + bx + c = 0“.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა ფესვებისთვის.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
პასუხი: x = 3

არის დრო, როდესაც კვადრატულ განტოლებებს ფესვები არ აქვთ. ეს სიტუაცია ხდება მაშინ, როდესაც ფორმულა შეიცავს უარყოფით რიცხვს ფესვის ქვეშ.