Список на логаритми со решенија - лесни дропки. Логаритам. Својства на логаритмот (собирање и одземање)

Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се баш обични броеви, тука постојат правила, кои се нарекуваат главните својства.

Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.

Собирање и одземање логаритми

Размислете за два логаритма со исти основи: лог а xи дневник а y. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:

дневник а x+ дневник а y= дневник а (x · y);
дневник а x− дневник а y= дневник а (x : y).

Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Забелешка: клучен моментЕве - идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!

Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израз дури и кога неговите поединечни делови не се разгледуваат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:

Дневник 6 4 + дневник 6 9.

Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
дневник 6 4 + дневник 6 9 = дневник 6 (4 9) = дневник 6 36 = 2.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 2 48 − log 2 3.

Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 3 135 − log 3 5.

Повторно, основите се исти, така што имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но, по трансформациите тие излегуваат доста нормални бројки. Многумина се изградени на овој факт тест трудови. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на унифицираниот државен испит.

Извлекување на експонентот од логаритамот

Сега да ја комплицираме задачата малку. Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:

Тоа е лесно да се забележи последното правилоследи првите две. Но, во секој случај, подобро е да се запамети - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.

Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритамот: а > 0, а ≠ 1, x> 0. И уште нешто: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно, т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам. Ова е она што најчесто се бара.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 7 49 6 .

Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
дневник 7 49 6 = 6 дневник 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Најдете го значењето на изразот:
[Наслов за сликата]

Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:

[Наслов за сликата]

Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот. Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.

Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log 2 7. Бидејќи log 2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е направено. Резултатот беше одговорот: 2.

Транзиција кон нова основа

Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако причините се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?

На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:

Нека се даде логаритам дневник а x. Потоа за кој било број втакви што в> 0 и в≠ 1, еднаквоста е вистина:
[Наслов за сликата]
Конкретно, ако ставиме в = x, добиваме:
[Наслов за сликата]

Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменат, но во овој случај целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот се појавува во именителот.

Овие формули ретко се наоѓаат во конвенционалните нумерички изрази. Можно е да се оцени колку се погодни само со одлучување логаритамски равенкии нееднаквости.

Сепак, има проблеми кои не можат да се решат воопшто освен со преселба во нова основа. Ајде да погледнеме неколку од овие:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 5 16 log 2 25.

Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: лог 5 16 = дневник 5 2 4 = 4лог 5 2; дневник 2 25 = дневник 2 5 2 = 2 дневник 2 5;

Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:

[Наслов за сликата]

Бидејќи производот не се менува при преуредување фактори, мирно помноживме четири и два, а потоа се занимававме со логаритми.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме ова и да се ослободиме од индикаторите:

[Наслов за сликата]

Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:

[Наслов за сликата]

Основен логаритамски идентитет

Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа. Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:

Во првиот случај, бројот nстанува показател за степенот што стои во аргументот. Број nможе да биде апсолутно сè, бидејќи тоа е само логаритамска вредност.

Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се вика: основно логаритамски идентитет.

Всушност, што ќе се случи ако бројот бподигнете до таква моќ што бројот бна оваа моќ го дава бројот а? Така е: го добивате истиот број а. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.

Како формули за преместување во нова основа, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.

Задача. Најдете го значењето на изразот:
[Наслов за сликата]

Забележете дека log 25 64 = log 5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Разгледување на правилата за множење на силите со истата основа, добиваме:

[Наслов за сликата]

Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)

Логаритамска единица и логаритамска нула

Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - напротив, тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.

дневник а а= 1 е логаритамска единица. Запомнете еднаш засекогаш: логаритам до која било основа аод оваа основа е еднаква на една.
дневник а 1 = 0 е логаритамска нула. База аможе да биде било што, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи а 0 = 1 е директна последица на дефиницијата.

Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.

главните својства.

логакс + логај = лога(x y);
логакс − логај = лога (x: y).

идентични основи

Дневник6 4 + лог6 9.

Сега да ја комплицираме задачата малку.

Примери за решавање логаритми

Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:

Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се набљудува ODZ на логаритамот: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Транзиција кон нова основа

Нека е даден логаритамскиот логакс. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Исто така види:

Основни својства на логаритмот

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Основни својства на логаритмите

Знаејќи го ова правило, ќе ја знаете и точната вредност на експонентот и датумот на раѓање на Лав Толстој.

Примери за логаритми

Логаритмски изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Користејќи ги својствата 3.5 пресметуваме

4. Каде .

Пример 2. Најдете x ако

Пример 3. Нека е дадена вредноста на логаритмите

Пресметај log(x) ако

Основни својства на логаритмите

Собирање и одземање логаритми

Размислете за два логаритма со исти основи: логакс и логај. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:

логакс + логај = лога(x y);
логакс − логај = лога (x: y).

Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Ве молиме запомнете: клучната точка овде е идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!

Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log2 48 − log2 3.

Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log3 135 − log3 5.

Повторно, основите се исти, така што имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но по трансформациите се добиваат сосема нормални бројки. Многу тестови се засноваат на овој факт. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на унифицираниот државен испит.

Извлекување на експонентот од логаритамот

Лесно е да се види дека последното правило ги следи првите две. Но, во секој случај, подобро е да се запамети - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.

Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритмот: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И уште една работа: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно , т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам. Ова е она што најчесто се бара.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log7 496.

Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот.

Формули за логаритам. Логаритми примери решенија.

Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.

Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log2 7. Бидејќи log2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е направено. Резултатот беше одговорот: 2.

Транзиција кон нова основа

На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:

Нека е даден логаритамскиот логакс. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:

Конкретно, ако поставиме c = x, добиваме:

Овие формули ретко се наоѓаат во обичните нумерички изрази. Можно е да се процени колку се погодни само кога се решаваат логаритамски равенки и неравенки.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log5 16 log2 25.

Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log9 100 lg 3.

Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:

Основен логаритамски идентитет

Во првиот случај, бројот n станува експонент во аргументот. Бројот n може да биде апсолутно се, бидејќи е само логаритамска вредност.

Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се вика: .

Всушност, што ќе се случи ако бројот b се подигне до таква моќ што бројот b на оваа моќност го дава бројот a? Така е: резултатот е ист број a. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека log25 64 = log5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:

Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)

Логаритамска единица и логаритамска нула

логаа = 1 е. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a од самата основа е еднаков на еден.
лога 1 = 0 е. Основата a може да биде што било, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи a0 = 1 е директна последица на дефиницијата.

Исто така види:

Логаритмот од b до основата a го означува изразот. Да се пресмета логаритамот значи да се најде моќта x () при која е задоволена еднаквоста

Основни својства на логаритмот

Неопходно е да се знаат горенаведените својства, бидејќи скоро сите проблеми и примери поврзани со логаритми се решаваат врз основа на нив. Остатокот од егзотичните својства може да се изведат преку математички манипулации со овие формули

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При пресметување на формулата за збир и разлика на логаритми (3.4) се среќавате доста често. Останатите се малку сложени, но во голем број задачи тие се неопходни за поедноставување на сложените изрази и пресметување на нивните вредности.

Вообичаени случаи на логаритми

Некои од вообичаените логаритми се оние кај кои основата е дури десет, експоненцијална или два.
Логаритмот до основата десет обично се нарекува децимален логаритам и едноставно се означува со lg(x).

Од снимката се гледа дека во снимката не се пишуваат основите. На пример

Природен логаритам е логаритам чија основа е експонент (означен со ln(x)).

Експонентот е 2,718281828…. За да го запомните експонентот, можете да го проучите правилото: експонентот е еднаков на 2,7 и двапати од годината на раѓање на Лав Николаевич Толстој. Знаејќи го ова правило, ќе ја знаете и точната вредност на експонентот и датумот на раѓање на Лав Толстој.

И уште еден важен логаритам за основата два е означен со

Изводот на логаритамот на функцијата е еднаков на еден поделен со променливата

Интегралниот или антидеривативниот логаритам се определува со врската

Дадениот материјал е доволен за да решите широка класа на проблеми поврзани со логаритми и логаритми. За да ви помогнам да го разберете материјалот, ќе дадам само неколку вообичаени примери од училишната програма и универзитетите.

Примери за логаритми

Логаритмски изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Користејќи ги својствата 3.5 пресметуваме

2.
По својството на разлика на логаритми имаме

3.
Користејќи ги својствата 3.5 наоѓаме

4. Каде .

Навидум сложен израз е поедноставен за да се формира со користење на голем број правила

Наоѓање логаритамски вредности

Пример 2. Најдете x ако

Решение. За пресметка, ги применуваме на последниот член 5 и 13 својства

Го ставивме на рекорд и тагуваме

Бидејќи основите се еднакви, ги изедначуваме изразите

Логаритми. Прво ниво.

Нека е дадена вредноста на логаритмите

Пресметај log(x) ако

Решение: Да земеме логаритам на променливата за да го запишеме логаритамот преку збирот на нејзините членови

Ова е само почеток на нашето запознавање со логаритмите и нивните својства. Вежбајте пресметки, збогатете ги вашите практични вештини - наскоро ќе ви треба знаењето што ќе го стекнете за да ги решите логаритамските равенки. Откако ги проучувавме основните методи за решавање на вакви равенки, вашето знаење ќе го прошириме на уште една подеднакво важна тема - логаритамски неравенки...

Основни својства на логаритмите

Собирање и одземање логаритми

Размислете за два логаритма со исти основи: логакс и логај. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:

логакс + логај = лога(x y);
логакс − логај = лога (x: y).

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log6 4 + log6 9.

Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log2 48 − log2 3.

Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log3 135 − log3 5.

Повторно, основите се исти, така што имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Извлекување на експонентот од логаритамот

Како да се решат логаритми

Ова е она што најчесто се бара.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log7 496.

Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log2 7. Бидејќи log2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е направено. Резултатот беше одговорот: 2.

Транзиција кон нова основа

На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:

Нека е даден логаритамскиот логакс. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:

Конкретно, ако поставиме c = x, добиваме:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log5 16 log2 25.

Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log9 100 lg 3.

Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:

Основен логаритамски идентитет

Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се вика: .

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)

Логаритамска единица и логаритамска нула

логаа = 1 е. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a од самата основа е еднаков на еден.
лога 1 = 0 е. Основата a може да биде што било, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи a0 = 1 е директна последица на дефиницијата.

Следи од неговата дефиниција. И така логаритамот на бројот ббазирано на Асе дефинира како експонент до кој мора да се подигне број аза да го добиете бројот б(логаритам постои само за позитивни броеви).

Од оваа формулација произлегува дека пресметката x=log a b, е еквивалентно на решавање на равенката a x =b.На пример, дневник 2 8 = 3бидејќи 8 = 2 3 . Формулирањето на логаритмот овозможува да се оправда дека ако b=a c, потоа логаритам на бројот ббазирано на аеднакви Со. Исто така, јасно е дека темата за логаритми е тесно поврзана со темата за силите на бројот.

Со логаритми, како и со сите броеви, можете да направите операции собирање, одземањеи да се трансформираат на секој можен начин. Но, поради фактот што логаритмите не се сосема обични броеви, овде важат нивните посебни правила, кои се нарекуваат главните својства.

Собирање и одземање логаритми.

Да земеме два логаритами со исти основи: логирајте xИ најавите y. Тогаш е можно да се извршат операции за собирање и одземање:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

дневник а(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = логирајте x 1 + логирајте x 2 + логирајте x 3 + ... + log a x k.

Од Теорема за логаритамски количникМоже да се добие уште едно својство на логаритмот. Општо познато е дека дневникот а 1= 0, значи

дневник а 1 /б= дневник а 1 - дневник а б= -лог а б.

Ова значи дека постои еднаквост:

log a 1 / b = - log a b.

Логаритми од два реципрочни бројаод истата причина ќе се разликуваат едни од други исклучиво по знак. Значи:

Дневник 3 9= - дневник 3 1 / 9 ; дневник 5 1 / 125 = - дневник 5 125.

Логаритам на бројот b (b > 0) до основата a (a > 0, a ≠ 1)– експонент на кој бројот a мора да се подигне за да се добие b.

Основниот 10 логаритам на b може да се запише како дневник (б), а логаритамот до основата e (природен логаритам) е ln(b).

Често се користи при решавање проблеми со логаритми:

Својства на логаритмите

Постојат четири главни својства на логаритми.

Нека a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.

Својство 1. Логаритам на производот

Логаритам на производот еднаков на збиротлогаритми:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Својство 2. Логаритам на количникот

Логаритам на количникотеднаква на разликата на логаритми:

log a (x / y) = log a x – log a y

Својство 3. Логаритам на моќност

Логаритам на степен еднаков на производотмоќи по логаритам:

Ако основата на логаритмот е во степен, тогаш се применува друга формула:

Својство 4. Логаритам на коренот

Ова својство може да се добие од својството на логаритмот на моќта, бидејќи n-тиот корен на моќта е еднаков на моќноста од 1/n:

Формула за претворање од логаритам во една база во логаритам во друга основа

Оваа формула често се користи и при решавање на различни задачи на логаритми:

Посебен случај:

Споредување на логаритми (неравенки)

Да имаме 2 функции f(x) и g(x) под логаритми со исти основи и меѓу нив има знак за неравенство:

За да ги споредите, прво треба да ја погледнете основата на логаритмите:

Ако a > 0, тогаш f(x) > g(x) > 0
Ако 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Како да се решаваат проблеми со логаритми: примери

Проблеми со логаритмивклучени во Единствениот државен испит по математика за одделение 11 во задача 5 и задача 7, можете да најдете задачи со решенија на нашата веб-страница во соодветните делови. Исто така, задачите со логаритми се наоѓаат во банката за задачи по математика. Можете да ги најдете сите примери со пребарување на страницата.

Што е логаритам

Логаритмите отсекогаш биле разгледувани сложена темаВ училишен курсматематика. Постојат многу различни дефиниции за логаритам, но поради некоја причина повеќето учебници ги користат најсложените и најнеуспешните од нив.

Ќе го дефинираме логаритамот едноставно и јасно. За да го направите ова, ајде да создадеме табела:

Значи, имаме моќ од два.

Логаритми - својства, формули, како да се реши

Ако го земете бројот од крајната линија, лесно можете да ја пронајдете моќта на која ќе треба да подигнете два за да ја добиете оваа бројка. На пример, за да добиете 16, треба да подигнете два до четвртата сила. И за да добиете 64, треба да подигнете два на шестата сила. Ова може да се види од табелата.

И сега - всушност, дефиницијата за логаритам:

основата a на аргументот x е моќта до која бројот a мора да се подигне за да се добие бројот x.

Ознака: log a x = b, каде што a е основата, x е аргументот, b е она на што всушност е еднаков логаритамот.

На пример, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (основниот 2 логаритам од 8 е три бидејќи 2 3 = 8). Со истиот успех, лог 2 64 = 6, бидејќи 2 6 = 64.

Операцијата за наоѓање на логаритам на број на дадена основа се нарекува. Значи, да додадеме нова линија на нашата табела:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
дневник 2 2 = 1	дневник 2 4 = 2	дневник 2 8 = 3	дневник 2 16 = 4	дневник 2 32 = 5	дневник 2 64 = 6

За жал, не сите логаритми се пресметуваат толку лесно. На пример, обидете се да го најдете дневникот 2 5. Бројот 5 го нема во табелата, но логиката налага дека логаритамот ќе лежи некаде на интервалот. Бидејќи 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Таквите броеви се нарекуваат ирационални: броевите по децималната точка можат да се напишат бесконечно и никогаш не се повторуваат. Ако се покаже дека логаритамот е ирационален, подобро е да се остави така: дневник 2 5, лог 3 8, лог 5 100.

Важно е да се разбере дека логаритам е израз со две променливи (основата и аргументот). На почетокот, многу луѓе збунуваат каде е основата и каде е аргументот. За да избегнете досадни недоразбирања, само погледнете ја сликата:

Пред нас не е ништо повеќе од дефиниција на логаритам. Запомнете: логаритам е моќ, во која мора да се вгради основата за да се добие аргумент. Тоа е основата што е подигната на јачина - таа е означена со црвено на сликата. Излегува дека основата е секогаш на дното! Им го кажувам ова прекрасно правило на моите ученици уште на првата лекција - и не се појавува забуна.

Како да се бројат логаритми

Ја сфативме дефиницијата - останува само да научиме како да броиме логаритми, т.е. ослободете се од знакот „дневник“. За почеток, забележуваме дека од дефиницијата произлегуваат два важни факти:

Аргументот и основата секогаш мора да бидат поголеми од нула. Ова произлегува од дефиницијата на степен со рационален експонент, на кој е намалена дефиницијата за логаритам.
Основата мора да биде различна од една, бидејќи една до кој било степен сè уште останува една. Поради ова, прашањето „до каква моќ треба да се подигне за да се добијат две“ е бесмислено. Таква диплома нема!

Таквите ограничувања се нарекуваат опсег на прифатливи вредности(ОДЗ). Излегува дека ODZ на логаритмот изгледа вака: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Забележете дека нема ограничувања за бројот b (вредноста на логаритамот). На пример, логаритамот може да биде негативен: log 2 0,5 = −1, бидејќи 0,5 = 2 −1.

Меѓутоа, сега ги разгледуваме само нумеричките изрази, каде што не е потребно да се знае VA на логаритмот. Сите ограничувања веќе се земени предвид од авторите на задачите. Но, кога ќе влезат во игра логаритамските равенки и неравенки, барањата за DL ќе станат задолжителни. На крајот на краиштата, основата и аргументот може да содржат многу силни конструкции кои не мора да одговараат на горенаведените ограничувања.

Сега да ја разгледаме општата шема за пресметување на логаритми. Се состои од три чекори:

Основата a и аргументот x изразете ги како моќност со минимална можна основа поголема од една. На патот, подобро е да се ослободите од децимали;
Решете ја равенката за променливата b: x = a b ;
Резултирачкиот број b ќе биде одговорот.

Тоа е се! Ако логаритмот се покаже дека е ирационален, тоа ќе биде видливо веќе во првиот чекор. Условот основата да биде поголема од една е многу важна: ова ја намалува веројатноста за грешка и во голема мера ги поедноставува пресметките. Исто со децимали: ако веднаш ги претворите во обични, ќе има многу помалку грешки.

Ајде да видиме како функционира оваа шема користејќи конкретни примери:

Задача. Пресметај го логаритамот: log 5 25

Да ја замислиме основата и аргументот како моќ од пет: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Го добивме одговорот: 2.

Задача. Пресметајте го логаритамот:

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 4 64

Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Го добивме одговорот: 3.

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 16 1

Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Го добивме одговорот: 0.

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 7 14

Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од седум: 7 = 7 1 ; 14 не може да се претстави како сила од седум, бидејќи 7 1< 14 < 7 2 ;
Од претходниот став следува дека логаритмот не се брои;
Одговорот е без промена: дневник 7 14.

Мала забелешка за последниот пример. Како можеш да бидеш сигурен дека некој број не е точна моќност на друг број? Многу е едноставно - само вклучете го во основни фактори. Ако проширувањето има најмалку два различни фактори, бројот не е точна моќност.

Задача. Откријте дали бројките се точни сили: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точен степен, бидејќи има само еден множител;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не е точна моќност, бидејќи има два фактора: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точен степен;
35 = 7 · 5 - повторно не е точна моќност;
14 = 7 · 2 - повторно не е точен степен;

Да забележиме и дека ние самите примарни броевисе секогаш точни степени за себе.

Децимален логаритам

Некои логаритми се толку чести што имаат посебно име и симбол.

од аргументот x е логаритам на основата 10, т.е. Моќта до која треба да се подигне бројот 10 за да се добие бројот x. Ознака: lg x.

На пример, дневник 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - итн.

Отсега натаму, кога ќе се појави фраза како „Најди lg 0.01“ во учебник, знајте дека ова не е печатна грешка. Ова е децимален логаритам. Меѓутоа, ако не сте запознаени со оваа нотација, секогаш можете да ја преработите:
лог x = дневник 10 x

Сè што е точно за обичните логаритми важи и за децималните логаритми.

Природен логаритам

Постои уште еден логаритам кој има своја ознака. На некој начин, тоа е уште поважно од децималното. Зборуваме за природниот логаритам.

од аргументот x е логаритам за основата e, т.е. моќта до која мора да се подигне бројот e за да се добие бројот x. Ознака: ln x.

Многу луѓе ќе прашаат: кој е бројот e? Ова е ирационален број, неговата точна вредност не може да се најде и запише. Ќе ги дадам само првите бројки:
e = 2,718281828459…

Нема да навлегуваме во детали за тоа што е овој број и зошто е потребен. Само запомнете дека e е основата на природниот логаритам:
ln x = log e x

Така ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - итн. Од друга страна, ln 2 е ирационален број. Општо земено, природниот логаритам на кој било рационален број е ирационален. Освен, се разбира, за еден: ln 1 = 0.

За природни логаритмиважат сите правила кои се точни за обичните логаритми.

Исто така види:

Логаритам. Својства на логаритмот (моќ на логаритам).

Како да се претстави број како логаритам?

Ја користиме дефиницијата за логаритам.

Логаритам е експонент на кој основата мора да се подигне за да се добие бројот под знакот логаритам.

Така, за да се претстави одреден број c како логаритам на основата a, треба да ставите моќ со иста основа како основата на логаритамот под знакот на логаритамот и да го напишете овој број c како експонент:

Апсолутно секој број може да се претстави како логаритам - позитивен, негативен, цел број, фракционо, рационално, ирационално:

За да не се мешаат a и c во стресни услови на тест или испит, можете да го користите следново правило за меморирање:

она што е долу оди надолу, она што е горе оди нагоре.

На пример, треба да го претставите бројот 2 како логаритам на основата 3.

Имаме два броја - 2 и 3. Овие броеви се основата и експонентот, кои ќе ги запишеме под знакот на логаритамот. Останува да се одреди кој од овие броеви треба да се запише, до основата на моќноста, а кој - нагоре, до експонентот.

Основата 3 во ознаката на логаритам е на дното, што значи дека кога ќе претставиме два како логаритам на основата 3, ќе запишеме и 3 до основата.

2 е повисоко од три. И како означување на степенот два пишуваме над трите, односно како експонент:

Логаритми. Прво ниво.

Логаритми

Логаритампозитивен број ббазирано на а, Каде a > 0, a ≠ 1, се нарекува експонент на кој бројот мора да се подигне а, За да се добие б.

Дефиниција на логаритамможе накратко да се напише вака:

Оваа еднаквост важи за b > 0, a > 0, a ≠ 1.Обично се нарекува логаритамски идентитет.
Дејството на наоѓање на логаритам на број се нарекува по логаритам.

Својства на логаритмите:

Логаритам на производот:

Логаритам на количникот:

Замена на логаритамската основа:

Логаритам на степен:

Логаритам на коренот:

Логаритам со база на моќност:

Децимални и природни логаритми.

Децимален логаритамброевите го повикуваат логаритамот на овој број на основата 10 и пишуваат lg б
Природен логаритамброевите се нарекуваат логаритам на тој број до основата д, Каде д- ирационален број приближно еднаков на 2,7. Во исто време тие пишуваат ln б.

Други белешки за алгебра и геометрија

Основни својства на логаритмите

Собирање и одземање логаритми

Размислете за два логаритма со исти основи: log a x и log a y. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Дневник 6 4 + дневник 6 9.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 2 48 − log 2 3.

Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 3 135 − log 3 5.

Повторно, основите се исти, така што имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Извлекување на експонентот од логаритамот

Како да се решат логаритми

Ова е она што најчесто се бара.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 7 49 6 .

Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
дневник 7 49 6 = 6 дневник 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:

Транзиција кон нова основа

На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:

Нека е даден логаритамскиот лог a x. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:

Конкретно, ако поставиме c = x, добиваме:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 5 16 log 2 25.

Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 9 100 lg 3.

Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:

Основен логаритамски идентитет

Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа.

Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:

Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се вика: .

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека log 25 64 = log 5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:

Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)

Логаритамска единица и логаритамска нула

log a a = 1 е. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a од самата основа е еднаков на еден.
log a 1 = 0 е. Основата a може да биде што било, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи 0 = 1 е директна последица на дефиницијата.

Сите сме запознаени со равенките основните часови. Таму научивме да ги решаваме и наједноставните примери, а мора да признаеме дека својата примена ја наоѓаат и во вишата математика. Сè е едноставно со равенките, вклучувајќи ги и квадратните равенки. Ако имате проблеми со оваа тема, топло ви препорачуваме да ја разгледате.

Веројатно веќе сте поминале низ логаритми. Сепак, сметаме дека е важно да кажеме што е тоа за оние кои сè уште не знаат. Логаритам се изедначува со моќноста на која основата мора да се подигне за да се добие бројот десно од знакот за логаритам. Да дадеме пример врз основа на кој се ќе ви стане јасно.

Ако подигнете 3 на четвртата моќност, добивате 81. Сега заменете ги броевите по аналогија и конечно ќе разберете како се решаваат логаритмите. Сега останува само да се комбинираат двата дискутирани концепти. Првично, ситуацијата изгледа крајно комплицирана, но по внимателно испитување тежината паѓа на своето место. Сигурни сме дека по оваа кратка статија нема да имате проблеми во овој дел од Единствениот државен испит.

Денес постојат многу начини за решавање на такви структури. Ќе ви кажеме за наједноставните, најефективните и најприменливите во случајот со задачите за унифициран државен испит. Решавањето на логаритамските равенки мора да започне од самиот почеток. едноставен пример. Наједноставните логаритамски равенки се состојат од функција и една променлива во неа.

Важно е да се забележи дека x е внатре во аргументот. A и b мора да бидат броеви. Во овој случај, можете едноставно да ја изразите функцијата во однос на број до моќност. Изгледа вака.

Се разбира, решавањето на логаритамска равенка со овој метод ќе ве доведе до точниот одговор. Проблемот за огромното мнозинство студенти во овој случај е што тие не разбираат што доаѓа од каде. Како резултат на тоа, мора да ги поднесувате грешките и да не ги добивате посакуваните поени. Најнавредлива грешка ќе биде ако ги измешате буквите. За да ја решите равенката на овој начин, треба да ја запаметите оваа стандардна училишна формула бидејќи е тешко да се разбере.

За да ви биде полесно, можете да прибегнете кон друг метод - канонската форма. Идејата е исклучително едноставна. Вратете го вашето внимание на проблемот. Запомнете дека буквата a е број, а не функција или променлива. А не е еднакво на еден и поголем од нула. Нема ограничувања за б. Сега, од сите формули, да се потсетиме на една. Б може да се изрази на следниов начин.

Од ова произлегува дека сите оригинални равенки со логаритми може да се претстават во форма:

Сега можеме да ги исфрлиме логаритмите. Резултатот е едноставен дизајн, кој веќе го видовме порано.

Погодноста на оваа формула е тоа што може да се користи најмногу различни случаи, и не само за наједноставните дизајни.

Не грижете се за ООФ!

Многу искусни математичари ќе забележат дека не сме обрнале внимание на доменот на дефиниција. Правилото се сведува на фактот дека F(x) е нужно поголемо од 0. Не, не ја пропуштивме оваа точка. Сега зборуваме за уште една сериозна предност на канонската форма.

Тука нема да има дополнителни корени. Ако променливата ќе се појави само на едно место, тогаш опсегот не е неопходен. Тоа се прави автоматски. За да ја потврдите оваа пресуда, обидете се да решите неколку едноставни примери.

Како да се решаваат логаритамски равенки со различни основи

Тоа се веќе сложени логаритамски равенки и пристапот за нивно решавање мора да биде посебен. Овде ретко е можно да се ограничиме на озлогласената канонска форма. Да ја започнеме нашата детална приказна. Ја имаме следната конструкција.

Обрнете внимание на дропката. Содржи логаритам. Ако го видите ова во задача, вреди да се потсетите на еден интересен трик.

Што значи тоа? Секој логаритам може да се претстави како количник на два логаритами со погодна основа. И оваа формула има посебен случај, што е применливо со овој пример (што значи ако c=b).

Токму оваа дропка ја гледаме во нашиот пример. Така.

Во суштина, ја свртевме дропот и добивме попогоден израз. Запомнете го овој алгоритам!

Сега е неопходно логаритамската равенка да не содржи различни основи. Да ја претставиме основата како дропка.

Во математиката постои правило врз основа на кое можете да изведете диплома од база. Следниве резултати од изградбата.

Се чини дека што не спречува сега да го претвориме нашиот израз во канонска форма и едноставно да го решиме? Не толку едноставно. Не треба да има дропки пред логаритамот. Ајде да ја поправиме оваа ситуација! Фракциите се дозволени да се користат како степени.

Соодветно.

Ако основите се исти, можеме да ги отстраниме логаритмите и да ги изедначиме самите изрази. На овој начин ситуацијата ќе стане многу поедноставна отколку што беше. Она што ќе остане е елементарна равенка која секој од нас знаел да ја реши уште во 8 или дури 7 одделение. Пресметките можете да ги направите сами.

Го добивме единствениот вистински корен на оваа логаритамска равенка. Примерите за решавање на логаритамска равенка се прилично едноставни, нели? Сега ќе можете сами да се справите и со најтешките проблеми. сложени задачиза подготовка и полагање на Единствениот државен испит.

Каков е резултатот?

Во случај на какви било логаритамски равенки, тргнуваме од една многу важно правило. Неопходно е да се постапи на таков начин што изразувањето ќе се доведе до максимум едноставен поглед. Во овој случај, ќе имате поголеми шанси не само правилно да ја решите задачата, туку и да ја извршите на наједноставен и најлогичен можен начин. Токму вака секогаш работат математичарите.

Силно не препорачуваме да барате тешки патеки, особено во овој случај. Запомнете неколку едноставни правила, што ќе ви овозможи да трансформирате кој било израз. На пример, намалете два или три логаритми на иста основа или изведете моќ од основата и победи на ова.

Исто така, вреди да се запамети дека решавањето на логаритамски равенки бара постојана пракса. Постепено ќе се префрлате на повеќе и повеќе комплексни структури, и тоа ќе ве доведе до самоуверено решавање на сите варијанти на проблеми на Единствениот државен испит. Подгответе се добро однапред за вашите испити и со среќа!