Призм. Параллелепипед

призмхоёр нүүр нь n-гонтой тэнцүү олон өнцөгт гэж нэрлэдэг (үндэслэл) , зэрэгцээ хавтгайд хэвтэж, үлдсэн n нүүр нь параллелограмм байна (хажуугийн ирмэг) . Хажуугийн хавирга призм нь суурьт хамаарахгүй хажуугийн нүүрний тал юм.

Хажуу ирмэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байрладаг призмийг гэнэ Чигээрээ призм (Зураг 1). Хэрэв хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд перпендикуляр биш бол призмийг дуудна ташуу . Зөв Призм бол суурь нь ердийн олон өнцөгт хэлбэртэй шулуун призм юм.

Өндөрпризмийг суурийн хавтгай хоорондын зай гэж нэрлэдэг. Диагональ Призм нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр оройг холбосон сегмент юм. диагональ хэсэг Нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгийг дайран өнгөрч буй хавтгай призмийн хэсгийг гэнэ. Перпендикуляр хэсэг призмийн хажуу ирмэгтэй перпендикуляр хавтгайгаар призмийн огтлолыг гэж нэрлэдэг.

Хажуугийн гадаргуугийн талбай призм нь бүх талын нүүрний талбайн нийлбэр юм. Бүтэн гадаргуугийн талбай призмийн бүх нүүрний талбайн нийлбэрийг (жишээ нь, хажуугийн нүүр ба суурийн талбайн нийлбэр) гэж нэрлэдэг.

Дурын призмийн хувьд томъёонууд нь үнэн юм:

хаана лхажуугийн хавирганы урт;

Х- өндөр;

П

Q

S тал

S дүүрэн

S голсуурийн талбай;

Впризмийн эзэлхүүн юм.

Шулуун призмийн хувьд дараах томъёонууд үнэн байна.

хаана х- суурийн периметр;

лхажуугийн хавирганы урт;

Х- өндөр.

ПараллелепипедСуурь нь параллелограмм болох призмийг гэнэ. Хажуу ирмэг нь сууринд перпендикуляр байрладаг параллелепипед гэж нэрлэгддэг шууд (Зураг 2). Хажуугийн ирмэг нь суурийн перпендикуляр биш бол параллелепипед гэж нэрлэгддэг ташуу . Суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэгддэг тэгш өнцөгт. Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэгддэг шоо.

Нийтлэг оройгүй параллелепипедийн нүүрийг нэрлэдэг эсрэг . Нэг оройноос гарах ирмэгүүдийн уртыг нэрлэдэг хэмжилт параллелепипед. Хайрцаг нь призм тул түүний үндсэн элементүүд нь призмийн хувьд тодорхойлогдсонтой адил тодорхойлогддог.

Теоремууд.

1. Параллелепипедийн диагональууд нэг цэгт огтлолцож, хоёр хэсэгт хуваагдана.

2. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ уртын квадрат нь түүний гурван хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

3. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн дөрвөн диагональ бүгд хоорондоо тэнцүү байна.

Дурын параллелепипедийн хувьд дараах томъёонууд үнэн байна.

хаана лхажуугийн хавирганы урт;

Х- өндөр;

Пперпендикуляр хэсгийн периметр;

Q- перпендикуляр огтлолын талбай;

S талхажуугийн гадаргуугийн талбай;

S дүүрэннийт гадаргуугийн талбай;

S голсуурийн талбай;

Впризмийн эзэлхүүн юм.

Баруун параллелепипедийн хувьд дараах томъёонууд үнэн байна.

хаана х- суурийн периметр;

лхажуугийн хавирганы урт;

Хбаруун параллелепипедийн өндөр.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хувьд дараах томъёонууд үнэн байна.

(3)

хаана х- суурийн периметр;

Х- өндөр;

г- диагональ;

a,b,c- параллелепипедийн хэмжилт.

Кубын зөв томъёо нь:

хаана ахавирганы урт;

гнь кубын диагональ юм.

Жишээ 1Тэгш өнцөгт куб хэлбэрийн диагональ нь 33 дм, хэмжилтүүд нь 2:6:9 харьцаатай байна Кубоидын хэмжилтийг ол.

Шийдэл.Параллелепипедийн хэмжээсийг олохын тулд бид (3) томъёог ашиглана, өөрөөр хэлбэл. куб хэлбэрийн гипотенузын квадрат нь түүний хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. -ээр тэмдэглээрэй кпропорциональ байдлын коэффициент. Дараа нь параллелепипедийн хэмжээсүүд 2-той тэнцүү байх болно к, 6кболон 9 к. Бид асуудлын өгөгдөлд томъёо (3) бичнэ.

Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх к, бид авах:

Тиймээс параллелепипедийн хэмжээсүүд нь 6 дм, 18 дм, 27 дм байна.

Хариулт: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Жишээ 2Хажуугийн ирмэг нь суурийн талтай тэнцүү, суурь нь 60º өнцгөөр налуу байвал суурь нь 8 см талтай тэгш талт гурвалжин болох налуу гурвалжин призмийн эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл . Зураг зурцгаая (Зураг 3).

Налуу призмийн эзэлхүүнийг олохын тулд та түүний суурийн талбай ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй. Энэ призмийн суурийн талбай нь 8 см талтай тэгш талт гурвалжны талбай бөгөөд үүнийг тооцоод үзье.

Призмийн өндөр нь суурийн хоорондох зай юм. Дээрээс нь ГЭХДЭЭДээд суурийн 1-ийг бид доод суурийн хавтгайд перпендикуляраар буулгана ГЭХДЭЭ 1 Д. Түүний урт нь призмийн өндөртэй тэнцүү байх болно. Д бодъё ГЭХДЭЭ 1 МЭ: учир нь энэ нь хажуугийн хавирганы налуу өнцөг юм ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭсуурь хавтгай руу ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ= 8 см Энэ гурвалжнаас бид олно ГЭХДЭЭ 1 Д:

Одоо бид (1) томъёог ашиглан эзлэхүүнийг тооцоолно.

Хариулт: 192 см3.

Жишээ 3Ердийн зургаан өнцөгт призмийн хажуугийн ирмэг нь 14 см, хамгийн том диагональ хэсгийн талбай нь 168 см 2 байна. Призмийн нийт гадаргуугийн талбайг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 4)

Хамгийн том диагональ хэсэг нь тэгш өнцөгт юм АА 1 ДД 1 , диагональаас хойш МЭердийн зургаан өнцөгт ABCDEFхамгийн том нь юм. Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолохын тулд суурийн тал ба хажуугийн хавирганы уртыг мэдэх шаардлагатай.

Диагональ хэсгийн (тэгш өнцөгт) талбайг мэдэж, бид суурийн диагональыг олдог.

Түүнээс хойш

Түүнээс хойш AB= 6 см.

Дараа нь суурийн периметр нь:

Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол:

6 см талтай ердийн зургаан өнцөгтийн талбай нь:

Призмийн нийт гадаргуугийн талбайг ол:

Хариулт:

Жишээ 4Баруун параллелепипедийн суурь нь ромб юм. Диагональ хэсгүүдийн талбай нь 300 см 2 ба 875 см 2 байна. Параллелепипедийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 5).

Ромбын хажуу талыг дараах байдлаар тэмдэглэ а, ромбын диагональууд г 1 ба г 2, хайрцагны өндөр h. Шулуун параллелепипедийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг олохын тулд суурийн периметрийг өндрөөр үржүүлэх шаардлагатай: (томъёо (2)). Суурийн периметр p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, учир нь A B C D- ромб. H = AA 1 = h. Тэр. олох хэрэгтэй аболон h.

Диагональ хэсгүүдийг анхаарч үзээрэй. АА 1 SS 1 - тэгш өнцөгт, нэг тал нь ромбын диагональ юм АС = г 1 , хоёр дахь - хажуугийн ирмэг АА 1 = h, дараа нь

Хэсгийн хувьд ч мөн адил Б.Б 1 ДД 1 бид дараахь зүйлийг авна.

Диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь түүний бүх талуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байх параллелограммын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тодорхойлолт.

Энэ бол зургаан өнцөгт бөгөөд суурь нь хоёр тэнцүү квадрат, хажуугийн нүүр нь тэнцүү тэгш өнцөгт юм.

Хажуугийн хавиргахоёр зэргэлдээх хажуугийн нүүрний нийтлэг тал юм

Призмийн өндөрпризмийн сууриудтай перпендикуляр шугамын хэрчим

Призм диагональ- нэг нүүрэнд хамаарахгүй суурийн хоёр оройг холбосон сегмент

Диагональ хавтгай- призмийн диагональ ба түүний хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгай

Диагональ хэсэг- призм ба диагональ хавтгайн огтлолцлын хил хязгаар. Энгийн дөрвөлжин призмийн диагональ хэсэг нь тэгш өнцөгт юм

Перпендикуляр огтлол (orthogonal хэсэг)- энэ бол призм ба түүний хажуугийн ирмэгт перпендикуляр татсан хавтгайн огтлолцол юм

Энгийн дөрвөлжин призмийн элементүүд

Зураг дээр харгалзах үсгээр тэмдэглэгдсэн хоёр ердийн дөрвөлжин призмийг харуулав.

• ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 суурь нь хоорондоо тэнцүү ба параллель байна
• Хажуугийн нүүрнүүд AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ба CC 1 D 1 D, тус бүр нь тэгш өнцөгт юм
• Хажуугийн гадаргуу - призмийн бүх хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэр
• Нийт гадаргуу - бүх суурь ба хажуугийн гадаргуугийн нийлбэр (хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэр)
• Хажуугийн хавирга AA 1 , BB 1 , CC 1 ба DD 1 .
• Диагональ B 1 D
• Үндсэн диагональ BD
• Диагональ хэсэг BB 1 D 1 D
• Перпендикуляр огтлол A 2 B 2 C 2 D 2 .

Энгийн дөрвөлжин призмийн шинж чанарууд

• Суурь нь хоёр тэнцүү квадрат юм
• Суурь нь хоорондоо параллель байна
• Хажуу тал нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй.
• Хажуугийн нүүр нь бие биетэйгээ тэнцүү байна
• Хажуугийн нүүр нь суурьтай перпендикуляр байна
• Хажуугийн хавирга нь хоорондоо параллель, тэнцүү байна
• Хажуугийн бүх хавиргатай перпендикуляр, суурьтай параллель перпендикуляр хэсэг
• Перпендикуляр огтлолын өнцөг - Баруун
• Энгийн дөрвөлжин призмийн диагональ хэсэг нь тэгш өнцөгт юм
• Суурьтай параллель перпендикуляр (ортогональ хэсэг).

Энгийн дөрвөлжин призмийн томъёо

Асуудлыг шийдвэрлэх заавар

Сэдвийн асуудал шийдвэрлэх үед " ердийн дөрвөлжин призм" гэсэн утгатай:

Зөв призм- суурь нь ердийн олон өнцөгт байрладаг, хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байдаг призм. Өөрөөр хэлбэл ердийн дөрвөлжин призм нь түүний сууринд байдаг дөрвөлжин. (дээрх ердийн дөрвөлжин призмийн шинж чанаруудыг үзнэ үү) Анхаарна уу. Энэ бол геометрийн даалгавар бүхий хичээлийн нэг хэсэг юм (хатуу геометрийн хэсэг - призм). Шийдвэрлэх явцад хүндрэл учруулж буй ажлууд энд байна. Хэрэв та энд байхгүй геометрийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Асуудлыг шийдвэрлэхдээ квадрат язгуур гаргаж авах үйлдлийг тэмдэглэхийн тулд тэмдгийг ашиглана√ .

Даалгавар.

Энгийн дөрвөлжин призмийн суурийн талбай 144см 2 өндөр нь 14см Призмийн диагональ ба нийт гадаргуугийн талбайг ол.

Шийдэл.
Ердийн дөрвөлжин бол дөрвөлжин юм.
Үүний дагуу суурийн тал нь тэнцүү байх болно

√144 = 12 см.
Эндээс ердийн тэгш өнцөгт призмийн суурийн диагональ нь тэнцүү байх болно
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Энгийн призмийн диагональ нь суурийн диагональ ба призмийн өндөртэй тэгш өнцөгт гурвалжныг үүсгэдэг. Үүний дагуу Пифагорын теоремын дагуу өгөгдсөн ердийн дөрвөлжин призмийн диагональ нь дараахтай тэнцүү байх болно.
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Хариулт: 22 см

Даалгавар

Ердийн дөрвөлжин призмийн диагональ нь 5 см, хажуугийн диагональ нь 4 см бол түүний гадаргуугийн нийт талбайг ол.

Шийдэл.
Энгийн дөрвөлжин призмийн суурь нь дөрвөлжин тул суурийн талыг (а гэж тэмдэглэсэн) Пифагорын теоремоор олно.

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Хажуугийн нүүрний өндөр (h гэж тэмдэглэгдсэн) дараа нь дараахтай тэнцүү байна.

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

Гадаргуугийн нийт талбай нь хажуугийн гадаргуугийн нийлбэр ба суурийн талбайгаас хоёр дахин их хэмжээтэй тэнцүү байна

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 см 2.

Хариулт: 25 + 10√7 ≈ 51.46 см 2.

Орон зайн геометрийн хувьд призмтэй холбоотой асуудлыг шийдэхдээ эдгээр гурван хэмжээст дүрсийг бүрдүүлдэг талууд эсвэл нүүрний талбайг тооцоолоход ихэвчлэн асуудал гардаг. Энэ нийтлэл нь призмийн суурийн талбай ба түүний хажуугийн гадаргууг тодорхойлох асуудалд зориулагдсан болно.

Зураг призм

Нэг төрлийн призмийн суурь ба гадаргуугийн томъёог авч үзэхээсээ өмнө бид ямар дүрсийн тухай ярьж байгааг ойлгох хэрэгтэй.

Геометрийн призм гэдэг нь хоорондоо тэнцүү хоёр зэрэгцээ олон өнцөгт, хэд хэдэн дөрвөлжин эсвэл параллелограммаас бүрдэх орон зайн дүрс юм. Сүүлчийн тоо нь нэг олон өнцөгтийн оройн тоотой үргэлж тэнцүү байна. Жишээлбэл, хэрэв зураг нь хоёр зэрэгцээ n-гоноор үүсгэгдсэн бол параллелограммын тоо n болно.

Параллелограммын холбогч n өнцөгтүүдийг призмийн талууд гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн нийт талбай нь зургийн хажуугийн гадаргуугийн талбай юм. n-гонуудыг өөрсдөө суурь гэж нэрлэдэг.

Дээрх зурагт цаасан призмийн жишээг үзүүлэв. Шар тэгш өнцөгт нь түүний дээд суурь юм. Хоёрдахь суурь дээр ижил дүрс зогсож байна. Улаан, ногоон тэгш өнцөгтүүд нь хажуугийн нүүр юм.

Призмүүд юу вэ?

Хэд хэдэн төрлийн призмүүд байдаг. Тэд бүгд бие биенээсээ ердөө хоёр үзүүлэлтээр ялгаатай:

• суурийг бүрдүүлж буй n-gon-ийн төрөл;
• n-gon болон хажуугийн нүүрний хоорондох өнцөг.

Жишээлбэл, хэрэв сууриуд нь гурвалжин бол призмийг гурвалжин призм гэж нэрлэдэг, хэрэв дөрвөлжин бол өмнөх зурагт үзүүлсэн шиг дүрсийг дөрвөлжин призм гэх мэт. Нэмж дурдахад, n-gon нь гүдгэр эсвэл хотгор байж болно, дараа нь энэ шинж чанарыг призмийн нэр дээр нэмдэг.

Хажуугийн нүүр ба суурийн хоорондох өнцөг нь шулуун эсвэл хурц эсвэл мохоо байж болно. Эхний тохиолдолд тэд тэгш өнцөгт призмийн тухай, хоёр дахь нь налуу эсвэл ташуу тухай ярьдаг.

Ердийн призмүүд нь тусгай хэлбэрийн дүрсээр ялгагдана. Тэд бусад призмүүдээс хамгийн өндөр тэгш хэмтэй байдаг. Энэ нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй, суурь нь ердийн n-gon байвал зөв байх болно. Доорх зурагт n-gon-ийн талуудын тоо 3-8 хооронд хэлбэлздэг ердийн призмүүдийн багцыг үзүүлэв.

Призмийн гадаргуу

Дурын хэлбэрийн авч үзсэн зургийн гадаргуугийн доор призмийн нүүрэнд хамаарах бүх цэгүүдийн нийлбэрийг ойлгодог. Призмийн гадаргууг түүний хөгжлийг харгалзан судлах нь тохиромжтой. Гурвалжин призмийг ийм шүүрдэх жишээг доор харуулав.

Эндээс харахад бүх гадаргуу нь хоёр гурвалжин, гурван тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Ерөнхий төрлийн призмийн хувьд түүний гадаргуу нь хоёр n өнцөгт суурь ба n дөрвөн өнцөгтөөс бүрдэнэ.

Төрөл бүрийн призмийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзье.

Призмийн суурийн талбай

Призмтэй ажиллахад хамгийн хялбар ажил бол ердийн дүрсийн суурь талбайг олох асуудал байж магадгүй юм. Энэ нь бүх өнцөг ба хажуугийн урт нь ижил байх n-gon-оор үүсгэгддэг тул түүнийг өнцөг болон талууд нь мэддэг ижил гурвалжинд хуваах боломжтой байдаг. Гурвалжны нийт талбай нь n-gon-ийн талбай байх болно.

Призмийн (суурь) гадаргуугийн хэсгийг тодорхойлох өөр нэг арга бол сайн мэддэг томьёог ашиглах явдал юм. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

Өөрөөр хэлбэл, n-gon-ийн S n талбайг түүний хажуугийн уртын талаарх мэдлэг дээр үндэслэн өвөрмөц байдлаар тодорхойлно. Томьёог тооцоолоход зарим хүндрэл гардаг нь котангентын тооцоолол байж болно, ялангуяа n>4 (n≤4-ийн хувьд котангентын утгууд нь хүснэгтэн өгөгдөл юм). Энэхүү тригонометрийн функцийг тодорхойлохын тулд тооцоолуур ашиглахыг зөвлөж байна.

Геометрийн асуудал тавихдаа болгоомжтой байх хэрэгтэй, учир нь та призмийн суурийн талбайг олох хэрэгтэй байж магадгүй юм. Дараа нь томъёогоор олж авсан утгыг хоёроор үржүүлэх хэрэгтэй.

Гурвалжин призмийн суурийн талбай

Гурвалжин призмийн жишээг ашиглан энэ зургийн суурийн талбайг хэрхэн олох талаар бодож үзээрэй.

Эхлээд энгийн тохиолдлыг авч үзье - ердийн призм. Суурийн талбайг дээрх догол мөрөнд өгөгдсөн томъёоны дагуу тооцоолсон тул та n \u003d 3-ыг орлуулах хэрэгтэй. Бид авах:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Нэг суурийн талбайг авахын тулд тэгш талт гурвалжны а талын уртын тодорхой утгыг илэрхийлэлд орлуулах хэвээр байна.

Бидэнд суурь нь дурын гурвалжин болох призм байна гэж бодъё. Түүний a ба b хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох α өнцөг нь мэдэгдэж байна. Энэ зургийг доор харуулав.

Энэ тохиолдолд гурвалжин призмийн суурийн талбайг хэрхэн олох вэ? Аливаа гурвалжны талбай нь хажуугийн бүтээгдэхүүний хагас ба энэ тал руу буулгасан өндөртэй тэнцүү гэдгийг санах нь зүйтэй. Зураг нь b тал хүртэлх h өндрийг харуулж байна. h урт нь альфа өнцгийн синусын үржвэр ба а талын урттай тохирч байна. Дараа нь бүхэл гурвалжны талбай нь:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Энэ бол дүрслэгдсэн гурвалжин призмийн суурь хэсэг юм.

Хажуугийн гадаргуу

Бид призмийн суурийн талбайг хэрхэн олохыг олж мэдсэн. Энэ зургийн хажуугийн гадаргуу нь үргэлж параллелограммуудаас бүрддэг. Шулуун призмийн хувьд параллелограммууд тэгш өнцөгт болдог тул тэдгээрийн нийт талбайг тооцоолоход хялбар байдаг.

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Энд b нь хажуугийн ирмэгийн урт, i нь n өнцөгтийн хажуугийн урттай давхцаж буй i-р тэгш өнцөгтийн хажуугийн урт юм. Энгийн n өнцөгт призмийн хувьд бид энгийн илэрхийлэлийг олж авна.

Хэрэв призм нь налуу байвал түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайг тодорхойлохын тулд перпендикуляр зүсэлт хийж, периметрийн P sr-ийг тооцоолж, хажуугийн хавирганы уртаар үржүүлнэ.

Дээрх зураг нь ташуу таван өнцөгт призмийн хувьд энэ зүсэлтийг хэрхэн хийх ёстойг харуулж байна.

Янз бүрийн призмүүд бие биенээсээ ялгаатай. Үүний зэрэгцээ тэд маш олон нийтлэг зүйлтэй байдаг. Призмийн суурийн талбайг олохын тулд энэ нь ямар хэлбэртэй болохыг олж мэдэх хэрэгтэй.

Ерөнхий онол

Призм нь талууд нь параллелограмм хэлбэртэй аливаа олон өнцөгт юм. Түүнээс гадна, ямар ч олон өнцөгт нь түүний суурь дээр байж болно - гурвалжингаас n-gon хүртэл. Түүнээс гадна призмийн суурь нь үргэлж бие биетэйгээ тэнцүү байдаг. Хажуугийн нүүрэнд хамаарахгүй зүйл - тэдгээр нь хэмжээгээрээ ихээхэн ялгаатай байж болно.

Асуудлыг шийдэхдээ зөвхөн призмийн суурийн талбай биш юм. Хажуугийн гадаргууг, өөрөөр хэлбэл суурь биш бүх нүүрийг мэдэх шаардлагатай байж магадгүй юм. Бүрэн гадаргуу нь аль хэдийн призмийг бүрдүүлдэг бүх нүүрний нэгдэл байх болно.

Заримдаа даалгаварт өндөр гарч ирдэг. Энэ нь суурьтай перпендикуляр байна. Олон өнцөгтийн диагональ нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй дурын хоёр оройг хосоор холбосон сегмент юм.

Шулуун эсвэл налуу призмийн суурийн талбай нь тэдгээрийн болон хажуугийн нүүрний хоорондох өнцөгөөс хамаардаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв тэдгээр нь дээд ба доод нүүрэнд ижил дүрстэй бол тэдгээрийн талбайнууд тэнцүү байх болно.

гурвалжин призм

Үүний суурь дээр гурван оройтой дүрс, өөрөөр хэлбэл гурвалжин байдаг. Энэ нь ялгаатай нь мэдэгдэж байна. Хэрэв дараа нь түүний талбай нь хөлний бүтээгдэхүүний хагасаар тодорхойлогддог гэдгийг санах нь хангалттай юм.

Математик тэмдэглэгээ нь дараах байдалтай байна: S = ½ av.

Суурийн талбайг ерөнхий хэлбэрээр олж мэдэхийн тулд томьёо нь ашигтай байдаг: Херон ба хажуугийн талыг нь түүн рүү татсан өндөрт аваачдаг.

Эхний томъёог дараах байдлаар бичих ёстой: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Энэ оруулга нь хагас периметрийг (p), өөрөөр хэлбэл гурван талын нийлбэрийг хоёроор хуваана.

Хоёрдугаарт: S = ½ n a * a.

Хэрэв та гурвалжин призмийн суурийн талбайг мэдэхийг хүсвэл тэгш өнцөгт гурвалжин болно. Энэ нь өөрийн гэсэн томьёотой: S = ¼ a 2 * √3.

дөрвөлжин призм

Түүний суурь нь мэдэгдэж байгаа дөрвөн өнцөгтийн аль нэг нь юм. Энэ нь тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин, параллелепипед эсвэл ромб байж болно. Аль ч тохиолдолд призмийн суурийн талбайг тооцоолохын тулд танд өөрийн томъёо хэрэгтэй болно.

Хэрэв суурь нь тэгш өнцөгт бол түүний талбайг дараах байдлаар тодорхойлно: S = av, энд a, b нь тэгш өнцөгтийн талууд юм.

Дөрвөн өнцөгт призмийн тухай ярихад ердийн призмийн суурийн талбайг квадратын томъёогоор тооцоолно. Учир нь тэр суурь дээр хэвтэж байгаа хүн юм. S \u003d a 2.

Суурь нь параллелепипед байх тохиолдолд дараахь тэгш байдал шаардлагатай болно: S \u003d a * n a. Параллелепипедийн нэг тал ба өнцгийн аль нэгийг нь өгсөн байдаг. Дараа нь өндрийг тооцоолохын тулд нэмэлт томъёог ашиглах шаардлагатай болно: na \u003d b * sin A. Түүнээс гадна, А өнцөг нь "b" талтай зэргэлдээ, өндөр нь энэ өнцгийн эсрэг na байна.

Хэрэв ромбус призмийн ёроолд байрладаг бол параллелограммын талбайг тодорхойлохын тулд ижил томьёо хэрэгтэй болно (энэ нь түүний онцгой тохиолдол юм). Гэхдээ та үүнийг бас ашиглаж болно: S = ½ d 1 d 2. Энд d 1 ба d 2 нь ромбын хоёр диагональ юм.

Тогтмол таван өнцөгт призм

Энэ тохиолдол нь олон өнцөгтийг гурвалжин болгон хуваах явдал бөгөөд тэдгээрийн талбайг олоход хялбар байдаг. Хэдийгээр тоонууд нь өөр өөр тооны оройтой байж болно.

Призмийн суурь нь ердийн таван өнцөгт тул түүнийг таван тэгш талт гурвалжинд хувааж болно. Дараа нь призмийн суурийн талбай нь нэг гурвалжны талбайтай тэнцүү байна (томъёог дээрээс харж болно), таваар үржүүлнэ.

Ердийн зургаан өнцөгт призм

Таван өнцөгт призмийг тодорхойлсон зарчмын дагуу суурь зургаан өнцөгтийг 6 тэгш талт гурвалжинд хуваах боломжтой. Ийм призмийн суурийн талбайн томъёо нь өмнөхтэй төстэй юм. Зөвхөн дотор нь зургаа дахин үржүүлэх хэрэгтэй.

Томъёо нь иймэрхүү харагдах болно: S = 3/2 ба 2 * √3.

Даалгаврууд

№ 1. Тогтмол шугам өгөгдсөн. Түүний диагональ нь 22 см, олон өнцөгтийн өндөр нь 14 см. Призмийн суурь ба бүх гадаргуугийн талбайг тооцоол.

Шийдэл.Призмийн суурь нь дөрвөлжин боловч түүний тал нь тодорхойгүй байна. Та түүний утгыг призмийн диагональ (d) ба түүний өндөртэй (n) хамааралтай квадрат (x) диагональаас олж болно. x 2 \u003d d 2 - n 2. Нөгөө талаас, энэ "x" сегмент нь хөл нь квадратын талтай тэнцүү гурвалжны гипотенуз юм. Өөрөөр хэлбэл, x 2 \u003d a 2 + a 2. Тиймээс 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2 байна.

d-ийн оронд 22-ыг орлуулж, "n"-ийг - 14-ээр соливол дөрвөлжингийн тал нь 12 см байна. Одоо үндсэн талбайг олоход хялбар боллоо: 12 * 12 \u003d 144 см 2 .

Бүх гадаргуугийн талбайг олохын тулд та суурийн талбайн утгыг хоёр дахин нэмж, талыг нь дөрөв дахин нэмэгдүүлэх хэрэгтэй. Сүүлийнх нь тэгш өнцөгтийн томьёогоор олоход хялбар байдаг: олон өнцөгтийн өндөр ба суурийн хажуу талыг үржүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл, 14 ба 12, энэ тоо нь 168 см 2-тэй тэнцүү байх болно. Призмийн нийт гадаргуугийн талбай 960 см 2 байна.

Хариулт.Призмийн суурийн талбай 144 см2. Бүх гадаргуу - 960 см 2.

No 2. Дана Суурийн хэсэгт 6 см-ийн талтай гурвалжин байрладаг.Энэ тохиолдолд хажуугийн нүүрний диагональ нь 10 см байна Талбайг тооцоолно: суурь ба хажуугийн гадаргуу.

Шийдэл.Призм нь тогтмол тул түүний суурь нь тэгш талт гурвалжин юм. Тиймээс түүний талбай нь 6 квадрат үржвэр ¼ ба квадрат язгуур 3-тай тэнцүү болж хувирна. Энгийн тооцоолол нь үр дүнд хүргэдэг: 9√3 см 2. Энэ бол призмийн нэг суурийн талбай юм.

Хажуугийн бүх нүүр нь адилхан бөгөөд 6 ба 10 см-ийн талтай тэгш өнцөгтүүд юм.Тэдний талбайг тооцоолохын тулд эдгээр тоог үржүүлэхэд хангалттай. Дараа нь тэдгээрийг гурваар үржүүл, учир нь призм нь яг маш олон хажуугийн нүүртэй байдаг. Дараа нь хажуугийн гадаргуугийн талбайг 180 см 2 шархлуулна.

Хариулт.Талбай: суурь - 9√3 см 2, призмийн хажуугийн гадаргуу - 180 см 2.

Хатуу геометрийн хичээлийн сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт гурван хэмжээст дүрсийг судлах нь ихэвчлэн энгийн геометрийн бие болох призмийн олон өнцөгтөөс эхэлдэг. Түүний суурийн үүргийг зэрэгцээ хавтгайд байрлах 2 тэнцүү олон өнцөгт гүйцэтгэдэг. Онцгой тохиолдол бол ердийн дөрвөлжин призм юм. Үүний суурь нь параллелограмм хэлбэртэй (эсвэл призм налуу биш бол тэгш өнцөгт) талууд нь перпендикуляр хэлбэртэй 2 ижил энгийн дөрвөлжин хэлбэртэй байна.

Призм ямар харагддаг вэ

Энгийн дөрвөлжин призм нь зургаан өнцөгт бөгөөд түүний суурь дээр 2 квадрат, хажуугийн нүүрийг тэгш өнцөгт хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг. Энэхүү геометрийн дүрсийн өөр нэр нь шулуун параллелепипед юм.

Дөрвөн өнцөгт призмийг дүрсэлсэн зургийг доор үзүүлэв.

Та мөн зурган дээрээс харж болно геометрийн биеийг бүрдүүлдэг хамгийн чухал элементүүд. Тэдгээрийг ихэвчлэн дараах байдлаар нэрлэдэг.

Заримдаа геометрийн асуудлуудаас та хэсэг гэсэн ойлголтыг олж болно. Тодорхойлолт нь иймэрхүү сонсогдох болно: хэсэг нь огтлох хавтгайд хамаарах эзэлхүүний биеийн бүх цэгүүд юм. Хэсэг нь перпендикуляр (зургийн ирмэгийг 90 градусын өнцгөөр гатлана). Тэгш өнцөгт призмийн хувьд диагональ хэсгийг бас авч үздэг (барьж болох хамгийн их хэсэг нь 2), 2 ирмэг ба суурийн диагональуудыг дайран өнгөрдөг.

Хэрэв огтлолыг огтлох хавтгай нь суурь болон хажуугийн гадаргуутай параллель биш байхаар зурсан бол үр дүн нь таслагдсан призм болно.

Буурсан призмийн элементүүдийг олохын тулд янз бүрийн харьцаа, томъёог ашигладаг. Тэдгээрийн заримыг нь планиметрийн явцад мэддэг (жишээлбэл, призмийн суурийн талбайг олохын тулд квадратын талбайн томъёог эргэн санахад хангалттай).

Гадаргуугийн талбай ба эзэлхүүн

Томъёог ашиглан призмийн эзэлхүүнийг тодорхойлохын тулд та түүний суурийн талбай ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй.

V = Сприм h

Ердийн тетраэдр призмийн суурь нь талтай дөрвөлжин байдаг а,Та томъёог илүү дэлгэрэнгүй хэлбэрээр бичиж болно:

V = a² цаг

Хэрэв бид шоо - ижил урт, өргөн, өндөртэй ердийн призмийн тухай ярьж байгаа бол эзлэхүүнийг дараах байдлаар тооцоолно.

Призмийн хажуугийн гадаргууг хэрхэн олохыг ойлгохын тулд түүний шүүрэлтийг төсөөлөх хэрэгтэй.

Хажуугийн гадаргуу нь 4 тэнцүү тэгш өнцөгтөөс бүрдсэн болохыг зургаас харж болно. Түүний талбайг суурийн периметр ба зургийн өндрийн үржвэрээр тооцоолно.

Хажуу тал = Pos h

Учир нь квадратын периметр нь P = 4a,томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Хажуу тал = 4a цаг

Кубын хувьд:

Хажуу тал = 4a²

Призмийн нийт гадаргуугийн талбайг тооцоолохын тулд хажуугийн талбайд 2 үндсэн талбайг нэмнэ.

Sfull = Sside + 2Sbase

Дөрвөн өнцөгт ердийн призмд хэрэглэснээр томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Sfull = 4a цаг + 2a²

Кубын гадаргуугийн хувьд:

Sfull = 6a²

Эзлэхүүн эсвэл гадаргуугийн талбайг мэдсэнээр та геометрийн биеийн бие даасан элементүүдийг тооцоолж болно.

Призмийн элементүүдийг олох

Ихэнхдээ эзэлхүүнийг өгөх эсвэл хажуугийн гадаргуугийн талбайн утгыг мэддэг тул суурийн хажуугийн урт эсвэл өндрийг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Ийм тохиолдолд томъёог гаргаж болно:

• Суурийн хажуугийн урт: a = Sside / 4h = √(V / h);
• өндөр эсвэл хажуугийн хавирганы урт: h = Sside / 4a = V / a²;
• суурь талбай: Сприм = V / цаг;
• хажуугийн нүүрний хэсэг: Хажуу тал gr = Хажуу тал / 4.

Диагональ хэсэг хэр хэмжээний талбайтай болохыг тодорхойлохын тулд диагональ урт ба зургийн өндрийг мэдэх хэрэгтэй. Дөрвөлжингийн хувьд d = a√2.Тиймээс:

Сдиаг = ah√2

Призмийн диагональыг тооцоолохын тулд дараахь томъёог ашиглана.

dprize = √(2a² + h²)

Дээрх харьцааг хэрхэн ашиглахыг ойлгохын тулд та хэд хэдэн энгийн даалгавруудыг хийж, шийдэж болно.

Шийдэл бүхий асуудлын жишээ

Математикийн улсын төгсөлтийн шалгалтын зарим даалгавруудыг энд оруулав.

Дасгал 1.

Элсийг ердийн дөрвөлжин призм шиг хэлбэртэй хайрцагт хийнэ. Түүний түвшний өндөр нь 10 см, хэрэв та үүнийг ижил хэлбэртэй, гэхдээ суурь нь 2 дахин урт саванд шилжүүлбэл элсний түвшин ямар байх вэ?

Үүнийг дараах байдлаар маргах ёстой. Эхний болон хоёр дахь саванд элсний хэмжээ өөрчлөгдөөгүй, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн эзэлхүүн ижил байна. Та суурийн уртыг дараах байдлаар тодорхойлж болно а. Энэ тохиолдолд эхний хайрцгийн хувьд бодисын эзэлхүүн нь:

V₁ = га² = 10a²

Хоёрдахь хайрцагны хувьд суурийн урт нь байна 2а, гэхдээ элсний түвшний өндөр нь тодорхойгүй байна:

V₂ = h(2a)² = 4га²

Учир нь V₁ = V₂, илэрхийллийг тэгшитгэж болно:

10a² = 4га²

Тэгшитгэлийн хоёр талыг a²-ээр бууруулсны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Үүний үр дүнд элсний шинэ түвшин болно h = 10/4 = 2.5см.

Даалгавар 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ нь ердийн призм юм. BD = AB₁ = 6√2 гэдгийг мэддэг. Биеийн нийт гадаргуугийн талбайг ол.

Аль элементүүдийг мэддэг болохыг ойлгоход хялбар болгохын тулд та дүрс зурж болно.

Бид ердийн призмийн тухай ярьж байгаа тул суурь нь 6√2 диагональтай дөрвөлжин гэж дүгнэж болно. Хажуугийн нүүрний диагональ нь ижил утгатай тул хажуугийн нүүр нь суурьтай тэнцүү дөрвөлжин хэлбэртэй байна. Урт, өргөн, өндөр гэсэн гурван хэмжээс бүгд тэнцүү байна. ABCDA₁B₁C₁D₁ нь шоо гэж бид дүгнэж болно.

Аливаа ирмэгийн уртыг мэдэгдэж буй диагональаар тодорхойлно.

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Нийт гадаргуугийн талбайг кубын томъёогоор олно.

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Даалгавар 3.

Өрөөнд засвар хийж байна. Түүний шал нь 9 м² талбайтай дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг нь мэдэгдэж байна. Өрөөний өндөр нь 2.5 м, 1 м² нь 50 рубльтэй бол өрөөний ханын цаасны хамгийн бага зардал хэд вэ?

Шал, тааз нь дөрвөлжин хэлбэртэй, өөрөөр хэлбэл ердийн дөрвөлжин хэлбэртэй, хана нь хэвтээ гадаргуутай перпендикуляр байдаг тул бид үүнийг ердийн призм гэж дүгнэж болно. Түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайг тодорхойлох шаардлагатай.

Өрөөний урт нь a = √9 = 3м.

Талбай нь ханын цаасаар хучигдсан байх болно Хажуу тал = 4 3 2.5 = 30 м².

Энэ өрөөнд зориулсан ханын цаасны хамгийн бага зардал нь байх болно 50 30 = 1500рубль.

Тиймээс тэгш өнцөгт призм дээрх асуудлыг шийдэхийн тулд дөрвөлжин ба тэгш өнцөгтийн талбай, периметрийг тооцоолох чадвартай байхаас гадна эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбайг олох томъёог мэдэхэд хангалттай.

Кубын талбайг хэрхэн олох вэ