Mencari gandaan sepunya bagi dua nombor. Cara untuk mencari gandaan sepunya terkecil, nok is, dan semua penjelasan
Nombor kedua: b=
Pemisah digit Tiada pemisah ruang "´
Keputusan:
Pembahagi Sepunya Terhebat gcd( a,b)=6
Gandaan sepunya terkecil LCM( a,b)=468
Nombor asli terbesar yang nombor a dan b boleh dibahagikan tanpa baki dipanggil pembahagi sepunya terbesar(gcd) nombor ini. Ditandakan gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) atau hcf(a,b).
Gandaan sepunya terkecil(LCM) bagi dua integer a dan b ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan a dan b tanpa baki. Ditandakan LCM(a,b), atau lcm(a,b).
Integer a dan b dipanggil coprime jika mereka tidak mempunyai pembahagi sepunya selain daripada +1 dan −1.
Pembahagi Sepunya Terhebat
Biarkan dua nombor positif diberi a 1 dan a 2 1). Ia diperlukan untuk mencari pembahagi sepunya bagi nombor-nombor ini, i.e. cari nombor sedemikian λ , yang membahagikan nombor a 1 dan a 2 pada masa yang sama. Mari kita terangkan algoritma.
1) Dalam artikel ini, perkataan nombor akan bermaksud integer.
biarlah a 1 ≥ a 2 dan biarkan
di mana m 1 , a 3 ialah beberapa integer, a 3 <a 2 (baki daripada bahagian a 1 pada a 2 sepatutnya kurang a 2).
Mari kita berpura-pura itu λ membahagikan a 1 dan a 2, kemudian λ membahagikan m 1 a 2 dan λ membahagikan a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Penegasan 2 artikel "Kebolehbahagiaan nombor. Tanda kebolehbahagiaan"). Ia berikutan bahawa setiap pembahagi biasa a 1 dan a 2 ialah pembahagi biasa a 2 dan a 3 . Begitu juga sebaliknya jika λ pembahagi biasa a 2 dan a 3, kemudian m 1 a 2 dan a 1 =m 1 a 2 +a 3 juga dibahagikan kepada λ . Oleh itu pembahagi biasa a 2 dan a 3 juga merupakan pembahagi biasa a 1 dan a 2. Kerana a 3 <a 2 ≤a 1 , maka kita boleh mengatakan bahawa penyelesaian kepada masalah mencari pembahagi sepunya nombor a 1 dan a 2 dikurangkan kepada masalah yang lebih mudah untuk mencari pembahagi nombor sepunya a 2 dan a 3 .
Sekiranya a 3 ≠0, maka kita boleh bahagi a 2 pada a 3 . Kemudian
,
di mana m 1 dan a 4 ialah beberapa integer, ( a 4 baki bahagian a 2 pada a 3 (a 4 <a 3)). Dengan alasan yang sama, kita sampai pada kesimpulan bahawa pembahagi sepunya nombor a 3 dan a 4 adalah sama dengan pembahagi biasa nombor a 2 dan a 3 , dan juga dengan pembahagi biasa a 1 dan a 2. Kerana a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... nombor yang sentiasa berkurangan, dan kerana terdapat bilangan integer terhingga antara a 2 dan 0, kemudian pada beberapa langkah n, baki bahagian a n pada a n+1 akan sama dengan sifar ( a n+2=0).
.
Setiap pembahagi biasa λ nombor a 1 dan a 2 juga merupakan pembahagi nombor a 2 dan a 3 , a 3 dan a 4 , .... a n dan a n+1 . Sebaliknya juga benar, pembahagi biasa nombor a n dan a n+1 juga pembahagi nombor a n−1 dan a n , .... , a 2 dan a 3 , a 1 dan a 2. Tetapi pembahagi biasa a n dan a n+1 ialah nombor a n+1 , kerana a n dan a n+1 boleh dibahagikan dengan a n+1 (ingat itu a n+2=0). Akibatnya a n+1 juga merupakan pembahagi nombor a 1 dan a 2 .
Perhatikan bahawa nombor a n+1 ialah pembahagi nombor terbesar a n dan a n+1 , sejak pembahagi terbesar a n+1 ialah dirinya sendiri a n+1 . Sekiranya a n + 1 boleh diwakili sebagai hasil darab integer, maka nombor ini juga pembahagi biasa nombor a 1 dan a 2. Nombor a n+1 dipanggil pembahagi sepunya terbesar nombor a 1 dan a 2 .
Nombor a 1 dan a 2 boleh menjadi nombor positif dan negatif. Jika salah satu nombor adalah sama dengan sifar, maka pembahagi sepunya terbesar bagi nombor ini akan sama dengan nilai mutlak nombor lain. Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor sifar tidak ditentukan.
Algoritma di atas dipanggil Algoritma Euclid untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua integer.
Contoh mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor
Cari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor 630 dan 434.
- Langkah 1. Bahagikan nombor 630 dengan 434. Bakinya ialah 196.
- Langkah 2. Bahagikan nombor 434 dengan 196. Bakinya ialah 42.
- Langkah 3. Bahagikan nombor 196 dengan 42. Bakinya ialah 28.
- Langkah 4. Bahagikan nombor 42 dengan 28. Bakinya ialah 14.
- Langkah 5. Bahagikan nombor 28 dengan 14. Bakinya ialah 0.
Pada langkah 5, baki pembahagian ialah 0. Oleh itu, pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 630 dan 434 ialah 14. Perhatikan bahawa nombor 2 dan 7 juga merupakan pembahagi bagi nombor 630 dan 434.
Nombor koprima
Definisi 1. Biarkan pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 sama dengan satu. Kemudian nombor ini dipanggil nombor koprima yang tidak mempunyai pembahagi biasa.
Teorem 1. Sekiranya a 1 dan a 2 nombor relatif perdana, dan λ beberapa nombor, kemudian mana-mana pembahagi sepunya nombor λa 1 dan a 2 juga merupakan pembahagi nombor biasa λ dan a 2 .
Bukti. Pertimbangkan algoritma Euclid untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 (lihat di atas).
.
Ia mengikuti daripada syarat teorem bahawa pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 , dan oleh itu a n dan a n+1 ialah 1. I.e. a n+1=1.
Mari kita darabkan semua kesamaan ini dengan λ , kemudian
.
Biar pembahagi biasa a 1 λ dan a 2 ialah δ . Kemudian δ masuk sebagai faktor dalam a 1 λ , m 1 a 2 λ dan dalam a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Lihat "Kebolehbahagiaan nombor", Pernyataan 2). Selanjutnya δ masuk sebagai faktor dalam a 2 λ dan m 2 a 3 λ , dan dengan itu masuk sebagai faktor dalam a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .
Dengan membuat penaakulan dengan cara ini, kami yakin bahawa δ masuk sebagai faktor dalam a n−1 λ dan m n−1 a n λ , dan oleh itu dalam a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Kerana a n+1 =1, maka δ masuk sebagai faktor dalam λ . Oleh itu nombor δ ialah pembahagi nombor biasa λ dan a 2 .
Pertimbangkan kes khas Teorem 1.
Akibat 1. biarlah a dan c nombor perdana adalah secara relatif b. Kemudian produk mereka ac ialah nombor perdana berkenaan dengan b.
sungguh. Daripada Teorem 1 ac dan b mempunyai pembahagi sepunya yang sama seperti c dan b. Tetapi nombor c dan b coprime, i.e. mempunyai pembahagi sepunya tunggal 1. Kemudian ac dan b juga mempunyai pembahagi sepunya tunggal 1. Oleh itu ac dan b saling sederhana.
Akibat 2. biarlah a dan b nombor koprima dan biarkan b membahagikan ak. Kemudian b membahagikan dan k.
sungguh. Daripada syarat penegasan ak dan b mempunyai pembahagi biasa b. Berdasarkan Teorem 1, b mestilah pembahagi biasa b dan k. Akibatnya b membahagikan k.
Corollary 1 boleh digeneralisasikan.
Akibat 3. 1. Biarkan nombor a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m adalah relatif perdana kepada nombor b. Kemudian a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , hasil darab nombor ini adalah perdana berkenaan dengan nombor itu b.
2. Biarkan kita mempunyai dua baris nombor
supaya setiap nombor dalam baris pertama adalah perdana bagi setiap nombor dalam baris kedua. Kemudian produk
Ia dikehendaki mencari nombor sedemikian yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini.
Jika nombor itu boleh dibahagi dengan a 1 , maka ia kelihatan seperti sa 1, di mana s beberapa nombor. Sekiranya q ialah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2, kemudian
di mana s 1 ialah beberapa integer. Kemudian
ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor a 1 dan a 2 .
a 1 dan a 2 coprime, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu a 1 dan a 2:
Cari gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.
Ia berikutan daripada di atas bahawa mana-mana gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 mestilah gandaan nombor ε dan a 3 dan sebaliknya. Biarkan gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu ε dan a 3 ialah ε satu. Selanjutnya, gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mestilah gandaan nombor ε 1 dan a empat. Biarkan gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu ε 1 dan a 4 ialah ε 2. Oleh itu, kami mendapati bahawa semua gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m bertepatan dengan gandaan beberapa nombor tertentu ε n , yang dipanggil gandaan sepunya terkecil bagi nombor yang diberikan.
Dalam kes tertentu apabila nombor a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coprime, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu a 1 , a 2 seperti yang ditunjukkan di atas mempunyai bentuk (3). Selanjutnya, sejak a 3 perdana berkenaan dengan nombor a 1 , a 2, kemudian a 3 ialah nombor relatif perdana a satu · a 2 (Korol 1). Jadi gandaan sepunya terkecil bagi nombor tersebut a 1 ,a 2 ,a 3 ialah nombor a satu · a 2 · a 3 . Berhujah dengan cara yang sama, kita sampai pada dakwaan berikut.
Kenyataan 1. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor koprima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m adalah sama dengan produk mereka a satu · a 2 · a 3 ··· a m .
Kenyataan 2. Sebarang nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor koprima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m juga boleh dibahagikan dengan hasil keluarannya a satu · a 2 · a 3 ··· a m .
Definisi. Nombor asli terbesar yang nombor a dan b boleh dibahagikan tanpa baki dipanggil pembahagi sepunya terbesar (gcd) nombor-nombor ini.
Mari kita cari pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 24 dan 35.
Pembahagi 24 ialah nombor 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, dan pembahagi 35 ialah nombor 1, 5, 7, 35.
Kami melihat bahawa nombor 24 dan 35 hanya mempunyai satu pembahagi biasa - nombor 1. Nombor sedemikian dipanggil coprime.
Definisi. Nombor asli dipanggil coprime jika pembahagi sepunya terbesar mereka (gcd) ialah 1.
Pembahagi Sepunya Terhebat (GCD) boleh didapati tanpa menulis semua pembahagi nombor yang diberikan.
Memfaktorkan nombor 48 dan 36, kita dapat:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Daripada faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor pertama ini, kami memadamkan faktor yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor kedua (iaitu, dua deuces).
Faktor 2 * 2 * 3 kekal. Hasil darabnya ialah 12. Nombor ini ialah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 48 dan 36. Pembahagi sepunya terbesar bagi tiga nombor atau lebih juga ditemui.
Untuk mencari pembahagi sepunya terbesar
2) daripada faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor ini, potong yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor lain;
3) cari hasil darab faktor yang tinggal.
Jika semua nombor yang diberi boleh dibahagi dengan salah satu daripadanya, maka nombor ini ialah pembahagi sepunya terbesar nombor yang diberi.
Sebagai contoh, pembahagi sepunya terbesar bagi 15, 45, 75, dan 180 ialah 15, kerana ia membahagikan semua nombor lain: 45, 75, dan 180.
Gandaan sepunya terkecil (LCM)
Definisi. Gandaan sepunya terkecil (LCM) nombor asli a dan b ialah nombor asli terkecil yang merupakan gandaan bagi kedua-dua a dan b. Gandaan sepunya terkecil (LCM) bagi nombor 75 dan 60 boleh didapati tanpa menulis gandaan nombor ini berturut-turut. Untuk melakukan ini, kami menguraikan 75 dan 60 menjadi faktor mudah: 75 \u003d 3 * 5 * 5, dan 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Mari kita tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor pertama ini, dan tambahkan kepada mereka faktor yang hilang 2 dan 2 daripada pengembangan nombor kedua (iaitu, kita menggabungkan faktor-faktor).
Kami mendapat lima faktor 2 * 2 * 3 * 5 * 5, hasil darabnya ialah 300. Nombor ini ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor 75 dan 60.
Cari juga gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor.
Kepada cari gandaan sepunya terkecil beberapa nombor asli, anda perlukan:
1) menguraikannya kepada faktor utama;
2) tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor;
3) menambah kepada mereka faktor yang hilang daripada pengembangan nombor yang tinggal;
4) cari hasil darab faktor yang terhasil.
Ambil perhatian bahawa jika salah satu daripada nombor ini boleh dibahagikan dengan semua nombor lain, maka nombor ini ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.
Sebagai contoh, gandaan sepunya terkecil bagi 12, 15, 20, dan 60 ialah 60, kerana ia boleh dibahagi dengan semua nombor yang diberikan.
Pythagoras (abad VI SM) dan pelajarnya mengkaji isu kebolehbahagi nombor. Nombor yang sama dengan jumlah semua pembahaginya (tanpa nombor itu sendiri), mereka memanggil nombor sempurna. Sebagai contoh, nombor 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) adalah sempurna. Nombor sempurna seterusnya ialah 496, 8128, 33,550,336. Orang Pythagorean hanya mengetahui tiga nombor sempurna yang pertama. Yang keempat - 8128 - dikenali pada abad ke-1. n. e. Yang kelima - 33 550 336 - ditemui pada abad ke-15. Menjelang tahun 1983, 27 nombor sempurna sudah diketahui. Tetapi sehingga kini, saintis tidak tahu sama ada terdapat nombor sempurna ganjil, sama ada terdapat nombor sempurna terbesar.
Minat ahli matematik purba dalam nombor perdana adalah disebabkan oleh fakta bahawa sebarang nombor adalah sama ada perdana atau boleh diwakili sebagai hasil darab nombor perdana, iaitu nombor perdana adalah seperti batu bata dari mana seluruh nombor asli dibina.
Anda mungkin perasan bahawa nombor perdana dalam siri nombor asli berlaku tidak sekata - di beberapa bahagian siri terdapat lebih banyak daripada mereka, di bahagian lain - kurang. Tetapi semakin jauh kita bergerak di sepanjang siri nombor, semakin jarang nombor perdana. Timbul persoalan: adakah nombor perdana terakhir (terbesar) wujud? Ahli matematik Yunani kuno Euclid (abad ke-3 SM), dalam bukunya "Permulaan", yang selama dua ribu tahun menjadi buku teks utama matematik, membuktikan bahawa terdapat banyak nombor perdana yang tidak terhingga, iaitu, di belakang setiap nombor perdana terdapat nombor genap. nombor perdana yang lebih besar.
Untuk mencari nombor perdana, seorang lagi ahli matematik Yunani pada masa yang sama, Eratosthenes, telah menghasilkan kaedah sedemikian. Dia menulis semua nombor dari 1 hingga beberapa nombor, dan kemudian memotong unit, yang bukan nombor perdana mahupun nombor komposit, kemudian memotong satu semua nombor selepas 2 (nombor yang merupakan gandaan 2, iaitu 4, 6, 8, dsb.). Nombor pertama yang tinggal selepas 2 ialah 3. Kemudian, selepas dua, semua nombor selepas 3 dicoret (nombor yang merupakan gandaan 3, iaitu 6, 9, 12, dsb.). akhirnya, hanya nombor perdana sahaja yang tidak dipalang.
Gandaan sepunya
Ringkasnya, sebarang integer yang boleh dibahagi dengan setiap nombor yang diberi ialah gandaan sepunya diberi integer.
Anda boleh mencari gandaan sepunya bagi dua atau lebih integer.
Contoh 1
Kira gandaan sepunya dua nombor: $2$ dan $5$.
Penyelesaian.
Mengikut definisi, gandaan sepunya $2$ dan $5$ ialah $10$, kerana ia adalah gandaan $2$ dan $5$:
Gandaan sepunya bagi nombor $2$ dan $5$ juga akan menjadi nombor $–10, 20, –20, 30, –30$, dsb., kerana semuanya boleh dibahagikan dengan $2$ dan $5$.
Catatan 1
Sifar ialah gandaan sepunya bagi sebarang bilangan integer bukan sifar.
Mengikut sifat kebolehbahagi, jika nombor tertentu ialah gandaan sepunya beberapa nombor, maka nombor berlawanan dalam tanda juga akan menjadi gandaan sepunya bagi nombor yang diberikan. Ini dapat dilihat daripada contoh yang dipertimbangkan.
Untuk integer tertentu, anda sentiasa boleh mencari gandaan sepunya mereka.
Contoh 2
Kira gandaan sepunya $111$ dan $55$.
Penyelesaian.
Darab nombor yang diberikan: $111\div 55=6105$. Adalah mudah untuk menyemak bahawa nombor $6105$ boleh dibahagikan dengan nombor $111$ dan nombor $55$:
$6105\div 111=55$;
$6105\div 55=111$.
Oleh itu, $6105$ ialah gandaan sepunya bagi $111$ dan $55$.
Jawab: gandaan sepunya $111$ dan $55$ ialah $6105$.
Tetapi, seperti yang telah kita lihat dari contoh sebelumnya, gandaan sepunya ini bukanlah satu. Gandaan sepunya lain ialah $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050$ dan seterusnya. Oleh itu, kami telah sampai pada kesimpulan berikut:
Catatan 2
Mana-mana set integer mempunyai bilangan gandaan sepunya yang tidak terhingga.
Dalam amalan, mereka terhad kepada mencari gandaan sepunya bagi nombor integer (semula jadi) positif sahaja, kerana set gandaan nombor tertentu dan bertepatan dengan lawannya.
Mencari Gandaan Sepunya Terkecil
Selalunya, daripada semua gandaan nombor tertentu, gandaan sepunya terkecil (LCM) digunakan.
Definisi 2
Gandaan sepunya terkecil positif bagi integer yang diberikan ialah gandaan sepunya terkecil nombor-nombor ini.
Contoh 3
Kirakan LCM bagi nombor $4$ dan $7$.
Penyelesaian.
Kerana nombor ini tidak mempunyai pembahagi sepunya, maka $LCM(4,7)=28$.
Jawab: $LCM(4,7)=28$.
Mencari NOC melalui NOD
Kerana terdapat hubungan antara LCM dan GCD, dengan bantuannya adalah mungkin untuk mengira LCM bagi dua integer positif:
Catatan 3
Contoh 4
Hitung LCM bagi nombor $232$ dan $84$.
Penyelesaian.
Mari kita gunakan formula untuk mencari LCM melalui GCD:
$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(gcd (a,b))$
Mari cari gcd bagi nombor $232$ dan $84$ menggunakan algoritma Euclidean:
$232=84\cdot 2+64$,
$84=64\cdot 1+20$,
$64=20\cdot 3+4$,
Itu. $gcd (232, 84)=4$.
Mari cari $LCM (232, 84)$:
$LCC(232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$
Jawab: $NOK(232.84)=4872$.
Contoh 5
Kira $LCM (23, 46)$.
Penyelesaian.
Kerana $46$ boleh dibahagi sama rata dengan $23$, kemudian $gcd(23, 46)=23$. Mari cari NOC:
$LCC(23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$
Jawab: $NOK(23.46)=46$.
Oleh itu, seseorang boleh merumuskan peraturan:
Catatan 4
Bahan yang dibentangkan di bawah adalah kesinambungan logik teori daripada artikel di bawah tajuk LCM - gandaan sepunya terkecil, definisi, contoh, hubungan antara LCM dan GCD. Di sini kita akan bercakap tentang mencari gandaan sepunya terkecil (LCM), dan memberi perhatian khusus untuk menyelesaikan contoh. Mari kita tunjukkan dahulu cara LCM dua nombor dikira dari segi GCD nombor ini. Seterusnya, pertimbangkan untuk mencari gandaan sepunya terkecil dengan memfaktorkan nombor ke dalam faktor perdana. Selepas itu, kami akan memberi tumpuan kepada mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor, dan juga memberi perhatian kepada pengiraan LCM nombor negatif.
Navigasi halaman.
Pengiraan gandaan sepunya terkecil (LCM) melalui gcd
Satu cara untuk mencari gandaan sepunya terkecil adalah berdasarkan hubungan antara LCM dan GCD. Hubungan sedia ada antara LCM dan GCD membolehkan anda mengira gandaan sepunya terkecil dua integer positif melalui pembahagi sepunya terbesar yang diketahui. Formula yang sepadan mempunyai bentuk LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Pertimbangkan contoh mencari LCM mengikut formula di atas.
Contoh.
Cari gandaan sepunya terkecil dari dua nombor 126 dan 70 .
Penyelesaian.
Dalam contoh ini a=126 , b=70 . Mari kita gunakan hubungan antara LCM dan GCD yang dinyatakan oleh formula LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Iaitu, pertama kita perlu mencari pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 70 dan 126, selepas itu kita boleh mengira LCM nombor ini mengikut formula bertulis.
Cari gcd(126, 70) menggunakan algoritma Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , maka gcd(126, 70)=14 .
Sekarang kita dapati gandaan sepunya terkecil yang diperlukan: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
Jawapan:
LCM(126, 70)=630 .
Contoh.
Apakah LCM(68, 34) ?
Penyelesaian.
Kerana 68 boleh dibahagi sama rata dengan 34 , kemudian gcd(68, 34)=34 . Sekarang kita mengira gandaan sepunya terkecil: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
Jawapan:
LCM(68, 34)=68 .
Ambil perhatian bahawa contoh sebelumnya menepati peraturan berikut untuk mencari LCM untuk integer positif a dan b : jika nombor a boleh dibahagi dengan b , maka gandaan sepunya terkecil nombor ini ialah a .
Mencari LCM dengan Memfaktorkan Nombor menjadi Faktor Perdana
Satu lagi cara untuk mencari gandaan sepunya terkecil adalah berdasarkan pemfaktoran nombor menjadi faktor perdana. Jika kita membuat hasil darab semua faktor perdana nombor ini, selepas itu kita mengecualikan daripada produk ini semua faktor perdana sepunya yang terdapat dalam pengembangan nombor ini, maka hasil darab yang terhasil akan sama dengan gandaan sepunya terkecil nombor ini.
Peraturan yang diumumkan untuk mencari LCM mengikut kesamarataan LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Sesungguhnya, hasil darab nombor a dan b adalah sama dengan hasil darab semua faktor yang terlibat dalam pengembangan nombor a dan b. Sebaliknya, gcd(a, b) adalah sama dengan hasil darab semua faktor perdana yang hadir secara serentak dalam pengembangan nombor a dan b (yang diterangkan dalam bahagian mencari gcd menggunakan penguraian nombor menjadi faktor perdana. ).
Mari kita ambil contoh. Biarkan kita tahu bahawa 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Susun hasil darab semua faktor pengembangan ini: 2 3 3 5 5 5 7 . Sekarang kita mengecualikan daripada produk ini semua faktor yang terdapat dalam pengembangan nombor 75 dan dalam pengembangan nombor 210 (faktor tersebut ialah 3 dan 5), maka produk akan mengambil bentuk 2 3 5 5 7 . Nilai produk ini adalah sama dengan gandaan sepunya terkecil bagi nombor 75 dan 210, iaitu, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Contoh.
Selepas memfaktorkan nombor 441 dan 700 menjadi faktor perdana, cari gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.
Penyelesaian.
Mari kita uraikan nombor 441 dan 700 kepada faktor perdana:
Kami mendapat 441=3 3 7 7 dan 700=2 2 5 5 7 .
Sekarang mari kita hasilkan semua faktor yang terlibat dalam pengembangan nombor ini: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Marilah kita mengecualikan daripada produk ini semua faktor yang hadir secara serentak dalam kedua-dua pengembangan (hanya terdapat satu faktor sedemikian - ini ialah nombor 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Dengan cara ini, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Jawapan:
LCM(441, 700)= 44 100 .
Peraturan untuk mencari LCM menggunakan penguraian nombor menjadi faktor perdana boleh dirumuskan sedikit berbeza. Jika kita menambah faktor yang hilang daripada pengembangan nombor b kepada faktor daripada penguraian nombor a, maka nilai hasil darab yang terhasil akan sama dengan gandaan sepunya terkecil bagi nombor a dan b.
Sebagai contoh, mari kita ambil semua nombor yang sama 75 dan 210, pengembangannya menjadi faktor perdana adalah seperti berikut: 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Kepada faktor 3, 5 dan 5 daripada pengembangan nombor 75, kami menambah faktor yang hilang 2 dan 7 daripada pengembangan nombor 210, kami mendapat hasil darab 2 3 5 5 7 , yang nilainya ialah LCM(75). , 210).
Contoh.
Cari gandaan sepunya terkecil bagi 84 dan 648.
Penyelesaian.
Kami mula-mula mendapatkan penguraian nombor 84 dan 648 menjadi faktor perdana. Mereka kelihatan seperti 84=2 2 3 7 dan 648=2 2 2 3 3 3 3 . Kepada faktor 2 , 2 , 3 dan 7 daripada pengembangan nombor 84 kita tambahkan faktor yang hilang 2 , 3 , 3 dan 3 daripada pengembangan nombor 648 , kita dapatkan hasil darab 2 2 2 3 3 3 3 7 , yang sama dengan 4 536 . Oleh itu, gandaan sepunya terkecil yang dikehendaki bagi nombor 84 dan 648 ialah 4,536.
Jawapan:
LCM(84, 648)=4 536 .
Mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor
Gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor boleh didapati dengan mencari KPK dua nombor berturut-turut. Ingat teorem yang sepadan, yang memberikan cara untuk mencari KPK bagi tiga atau lebih nombor.
Teorem.
Biarkan integer positif a 1 , a 2 , …, a k diberi, gandaan sepunya terkecil m k nombor ini ditemui dalam pengiraan jujukan m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Pertimbangkan aplikasi teorem ini pada contoh mencari gandaan sepunya terkecil bagi empat nombor.
Contoh.
Cari KPK bagi empat nombor 140 , 9 , 54 dan 250 .
Penyelesaian.
Dalam contoh ini a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
Mula-mula kita jumpa m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Untuk melakukan ini, menggunakan algoritma Euclidean, kita tentukan gcd(140, 9) , kita mempunyai 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , oleh itu, gcd( 140, 9)=1 , dari mana LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Iaitu, m 2 =1 260 .
Sekarang kita dapati m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Mari kita mengiranya melalui gcd(1 260, 54) , yang juga ditentukan oleh algoritma Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Kemudian gcd(1 260, 54)=18 , dari mana LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Iaitu, m 3 \u003d 3 780.
Kiri untuk mencari m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Untuk melakukan ini, kita mencari GCD(3 780, 250) menggunakan algoritma Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Oleh itu, gcd(3 780, 250)=10 , dari mana gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Iaitu, m 4 \u003d 94 500.
Jadi gandaan sepunya terkecil daripada empat nombor asal ialah 94,500.
Jawapan:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
Dalam kebanyakan kes, gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor didapati dengan mudah menggunakan pemfaktoran perdana bagi nombor yang diberikan. Dalam kes ini, peraturan berikut harus dipatuhi. Gandaan sepunya terkecil bagi beberapa nombor adalah sama dengan hasil darab, yang terdiri seperti berikut: faktor yang hilang daripada pengembangan nombor kedua ditambah kepada semua faktor daripada pengembangan nombor pertama, faktor yang hilang daripada pengembangan nombor nombor ketiga ditambah kepada faktor yang diperoleh, dan seterusnya.
Pertimbangkan contoh mencari gandaan sepunya terkecil menggunakan penguraian nombor menjadi faktor perdana.
Contoh.
Cari gandaan sepunya terkecil dari lima nombor 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Penyelesaian.
Mula-mula, kita memperoleh pengembangan nombor ini menjadi faktor perdana: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 faktor perdana) dan 143=11 13 .
Untuk mencari LCM nombor ini, kepada faktor nombor pertama 84 (ia adalah 2 , 2 , 3 dan 7 ) anda perlu menambah faktor yang hilang daripada pengembangan nombor kedua 6 . Pengembangan nombor 6 tidak mengandungi faktor yang hilang, kerana kedua-dua 2 dan 3 sudah ada dalam pengembangan nombor pertama 84 . Selanjutnya kepada faktor 2 , 2 , 3 dan 7 kita menambah faktor 2 dan 2 yang hilang daripada pengembangan nombor ketiga 48 , kita mendapat satu set faktor 2 , 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 . Tidak perlu menambah faktor pada set ini dalam langkah seterusnya, kerana 7 sudah terkandung di dalamnya. Akhir sekali, kepada faktor 2 , 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 kita tambahkan faktor 11 dan 13 yang hilang daripada pengembangan nombor 143 . Kami mendapat produk 2 2 2 2 3 7 11 13 , yang bersamaan dengan 48 048 .
Pembahagi Sepunya Terhebat
Definisi 2
Jika nombor asli a boleh dibahagi dengan nombor asli $b$, maka $b$ dipanggil pembahagi $a$, dan nombor $a$ dipanggil gandaan $b$.
Biarkan $a$ dan $b$ ialah nombor asli. Nombor $c$ dipanggil pembahagi biasa untuk kedua-dua $a$ dan $b$.
Set pembahagi sepunya bagi nombor $a$ dan $b$ adalah terhingga, kerana tiada pembahagi ini boleh lebih besar daripada $a$. Ini bermakna di antara pembahagi ini terdapat pembahagi terbesar, yang dipanggil pembahagi sepunya terbesar bagi nombor $a$ dan $b$, dan tatatanda digunakan untuk menandakannya:
$gcd \ (a;b) \ atau \ D \ (a;b)$
Untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor:
- Cari hasil darab nombor yang terdapat dalam langkah 2. Nombor yang terhasil akan menjadi pembahagi sepunya terbesar yang dikehendaki.
Contoh 1
Cari gcd bagi nombor $121$ dan $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Pilih nombor yang termasuk dalam pengembangan nombor ini
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Cari hasil darab nombor yang terdapat dalam langkah 2. Nombor yang terhasil akan menjadi pembahagi sepunya terbesar yang dikehendaki.
$gcd=2\cdot 11=22$
Contoh 2
Cari GCD bagi monomial $63$ dan $81$.
Kami akan mencari mengikut algoritma yang dibentangkan. Untuk ini:
Mari kita uraikan nombor kepada faktor perdana
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Kami memilih nombor yang termasuk dalam pengembangan nombor ini
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Mari cari hasil darab nombor yang terdapat dalam langkah 2. Nombor yang terhasil akan menjadi pembahagi sepunya terbesar yang dikehendaki.
$gcd=3\cdot 3=9$
Anda boleh mencari GCD bagi dua nombor dengan cara lain, menggunakan set pembahagi nombor.
Contoh 3
Cari gcd bagi nombor $48$ dan $60$.
Penyelesaian:
Cari set pembahagi $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\kanan\)$
Sekarang mari cari set pembahagi $60$:$\ \kiri\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\kanan\)$
Mari cari persilangan set ini: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - set ini akan menentukan set pembahagi sepunya bagi nombor $48$ dan $60 $. Elemen terbesar dalam set ini ialah nombor $12$. Jadi pembahagi sepunya terbesar $48$ dan $60$ ialah $12$.
Definisi NOC
Definisi 3
gandaan sepunya bagi nombor asli$a$ dan $b$ ialah nombor asli yang merupakan gandaan bagi kedua-dua $a$ dan $b$.
Gandaan sepunya nombor ialah nombor yang boleh dibahagi dengan asal tanpa baki. Contohnya, untuk nombor $25$ dan $50$, gandaan sepunya ialah nombor $50,100,150,200$, dsb.
Gandaan sepunya terkecil akan dipanggil gandaan sepunya terkecil dan dilambangkan dengan LCM$(a;b)$ atau K$(a;b).$
Untuk mencari LCM dua nombor, anda memerlukan:
- Uraikan nombor kepada faktor perdana
- Tuliskan faktor-faktor yang merupakan sebahagian daripada nombor pertama dan tambahkan kepada mereka faktor-faktor yang merupakan sebahagian daripada kedua dan jangan pergi ke yang pertama
Contoh 4
Cari LCM bagi nombor $99$ dan $77$.
Kami akan mencari mengikut algoritma yang dibentangkan. Untuk ini
Uraikan nombor kepada faktor perdana
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam yang pertama
tambahkan kepada mereka faktor yang merupakan sebahagian daripada yang kedua dan tidak pergi ke yang pertama
Cari hasil darab nombor yang terdapat dalam langkah 2. Nombor yang terhasil ialah gandaan sepunya terkecil yang dikehendaki
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Menyusun senarai pembahagi nombor selalunya sangat memakan masa. Terdapat cara untuk mencari GCD yang dipanggil algoritma Euclid.
Pernyataan yang berdasarkan algoritma Euclid:
Jika $a$ dan $b$ ialah nombor asli, dan $a\vdots b$, maka $D(a;b)=b$
Jika $a$ dan $b$ ialah nombor asli seperti $b
Menggunakan $D(a;b)= D(a-b;b)$, kita boleh mengurangkan nombor yang dipertimbangkan secara berturut-turut sehingga kita mencapai sepasang nombor supaya satu daripadanya boleh dibahagikan dengan yang lain. Maka yang lebih kecil daripada nombor ini akan menjadi pembahagi sepunya terbesar yang dikehendaki untuk nombor $a$ dan $b$.
Sifat GCD dan LCM
- Sebarang gandaan sepunya bagi $a$ dan $b$ boleh dibahagi dengan K$(a;b)$
- Jika $a\vdots b$ , maka K$(a;b)=a$
Jika K$(a;b)=k$ dan $m$-nombor asli, maka K$(am;bm)=km$
Jika $d$ ialah pembahagi sepunya untuk $a$ dan $b$, maka K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Jika $a\vdots c$ dan $b\vdots c$ , maka $\frac(ab)(c)$ ialah gandaan sepunya bagi $a$ dan $b$
Untuk sebarang nombor asli $a$ dan $b$ kesamaan
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Mana-mana pembahagi biasa $a$ dan $b$ ialah pembahagi $D(a;b)$