Całki dla manekinów: sposób rozwiązywania, zasady obliczania, objaśnienie. Funkcję F(x) nazywamy pierwotną dla funkcji f(x), jeśli F`(x)=f(x) lub dF(x)=f(x)dx
Jakiś przedział X. Jeśli dla dowolny xX F "(x) \u003d f (x), a następnie funkcjonować F nazywaprymitywnydlaFunkcje f na przedziale X. funkcja pierwotnadlaFunkcje możesz spróbować znaleźć...
Funkcja pierwotna dla funkcji
Dokument... . Funkcjonować F(x) nazywaprymitywnydlaFunkcje f(x) na przedziale (a;b) jeśli dla dla wszystkich x(a;b) zachodzi równość F(x) = f(x). Na przykład, dlaFunkcje x2 prymitywny będzie funkcjonować x3...
Przewodnik po podstawach rachunku całkowego
Instruktaż... ; 5. Znajdź całkę. ; B) ; C); D) ; 6. Funkcjonowaćnazywaprymitywny do Funkcje na planie, jeśli: dla każdy; w pewnym momencie; dla każdy; w pewnym... odstępie czasu. Definicja 1. FunkcjonowaćnazywaprymitywnydlaFunkcje na planie...
Całka pierwotna nieoznaczona
DokumentIntegracja. funkcja pierwotna. ciągły funkcjonować F(x) nazywaprymitywnydlaFunkcje f (x) na przedziale X jeśli dla każdy F' (x) = f (x). PRZYKŁAD Funkcjonować F(x) = x 3 jest prymitywnydlaFunkcje f(x)=3x...
EDUKACJI SPECJALNEJ ZSRR Zatwierdzony przez Administrację ds. Edukacji i Metodyki Szkolnictwa Wyższego
Wytycznepytania dla autotest Zdefiniuj prymitywnyFunkcje. Wskaż geometryczne znaczenie populacji funkcje pierwotneFunkcje. Co nazywa nieokreślony...
Widzieliśmy, że pochodna ma wiele zastosowań: pochodna to prędkość ruchu (lub, bardziej ogólnie, prędkość dowolnego procesu); pochodna jest nachyleniem stycznej do wykresu funkcji; korzystając z pochodnej, możesz zbadać funkcję pod kątem monotoniczności i ekstremów; Pochodna pomaga rozwiązywać problemy optymalizacyjne.
Ale w prawdziwe życie należy również rozwiązać problemy odwrotne: na przykład wraz z problemem znalezienia prędkości na podstawie znanego prawa ruchu istnieje również problem przywrócenia prawa ruchu ze znanej prędkości. Rozważmy jeden z tych problemów.
Przykład 1 Punkt materialny porusza się po linii prostej, prędkość jego ruchu w czasie t jest określona wzorem u = tg. Znajdź prawo ruchu.
Rozwiązanie. Niech s = s(t) będzie pożądaną zasadą ruchu. Wiadomo, że s"(t) = u"(t). Aby więc rozwiązać problem, musimy dokonać wyboru funkcjonować s = s(t), którego pochodna jest równa tg. Łatwo się tego domyślić
Od razu zauważamy, że przykład został rozwiązany poprawnie, ale niekompletnie. Otrzymaliśmy to W rzeczywistości problem ma nieskończenie wiele rozwiązań: dowolną funkcję formy 
dowolna stała, może służyć jako prawo ruchu, ponieważ
Aby zadanie było bardziej szczegółowe, musieliśmy naprawić sytuację początkową: wskazać współrzędną poruszającego się punktu w pewnym momencie, na przykład w t=0. Jeśli, powiedzmy, s (0) \u003d s 0, to z równości otrzymujemy s (0) \u003d 0 + C, tj. S 0 \u003d C. Teraz prawo ruchu jest jednoznacznie zdefiniowane:
W matematyce wzajemnie odwrotne operacje mają różne nazwy, wymyślane są specjalne oznaczenia: na przykład podnoszenie do kwadratu (x 2) i wyodrębnianie pierwiastek kwadratowy sinus (sinx) i sinus łukowy(arcsin x) itp. Proces znajdowania pochodnej względem danej funkcji nazywa się różniczkowaniem, a działanie odwrotne, tj. proces znajdowania funkcji przez daną pochodną - przez całkowanie.
Sam termin „pochodna” można uzasadnić „w światowy sposób”: funkcja y - f (x) „produkuje na świecie” nową funkcję y „= f” (x) Funkcja y \u003d f (x) zachowuje się jakby jako „rodzic” , ale matematycy oczywiście nie nazywają go „rodzicem” czy „producentem”, mówią, że jest to, w odniesieniu do funkcji y „=f” (x), obraz pierwotny lub, w skrócie, funkcja pierwotna.
Definicja 1. Funkcja y \u003d F (x) nazywana jest funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d f (x) w danym przedziale X, jeśli dla wszystkich x z X równość F "(x) \u003d f (x) jest prawdziwa .
W praktyce przedział X zwykle nie jest określony, ale domniemany (jako naturalna dziedzina funkcji).
Oto kilka przykładów:
1) Funkcja y \u003d x 2 jest funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d 2x, ponieważ dla wszystkich x równość (x 2) "\u003d 2x jest prawdziwa.
2) funkcja y - x 3 jest funkcją pierwotną dla funkcji y-3x 2, ponieważ dla wszystkich x równość (x 3)" \u003d 3x 2 jest prawdziwa.
3) Funkcja y-sinx jest funkcją pierwotną dla funkcji y=cosx, ponieważ dla wszystkich x obowiązuje równość (sinx) "=cosx.
4) Funkcja jest funkcją pierwotną dla funkcji na przedziale, ponieważ dla wszystkich x > 0 równość jest prawdziwa
Ogólnie rzecz biorąc, znając formuły do znajdowania pochodnych, nie jest trudno sporządzić tabelę formuł do znajdowania funkcji pierwotnych.
Mamy nadzieję, że rozumiesz, jak tworzona jest ta tabela: pochodna funkcji zapisanej w drugiej kolumnie jest równa funkcji zapisanej w odpowiednim wierszu pierwszej kolumny (sprawdź to, nie leń się, to bardzo przydatne). Na przykład dla funkcji y \u003d x 5 funkcja pierwotna, jak ustaliłeś, jest funkcją (patrz czwarty wiersz tabeli).
Uwagi: 1. Poniżej udowodnimy twierdzenie, że jeśli y = F(x) jest funkcją pierwotną dla funkcji y = f(x), to funkcja y = f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych i wszystkie mają postać y = F (x ) + C. Dlatego bardziej poprawne byłoby dodanie terminu C wszędzie w drugiej kolumnie tabeli, gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą.
2. Dla zwięzłości, czasami zamiast wyrażenia „funkcja y = F(x) jest funkcją pierwotną dla funkcji y = f(x)”, mówią, że F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x) ".
2. Zasady znajdowania funkcji pierwotnych
Przy wyszukiwaniu funkcji pierwotnych, a także przy wyszukiwaniu pochodnych, stosuje się nie tylko formuły (zestawiono je w tabeli na s. 196), ale także pewne reguły. Są one bezpośrednio związane z odpowiednimi zasadami obliczania pochodnych.
Wiemy, że pochodna sumy jest równa sumie pochodnych. Ta reguła generuje odpowiednią regułę znajdowania funkcji pierwotnych.
Zasada nr 1 Funkcja pierwotna sumy jest równa sumie funkcji pierwotnych.
Zwracamy uwagę na pewną „lekkość” tego sformułowania. W rzeczywistości należałoby sformułować twierdzenie: jeśli funkcje y = f(x) i y=g(x) mają funkcje pierwotne na przedziale X, odpowiednio y-F(x) i y-G(x), to suma spośród funkcji y = f(x) + g(x) ma funkcję pierwotną na przedziale X, a tą funkcją pierwotną jest funkcja y = F(x) + G(x). Ale zwykle, formułując reguły (a nie twierdzenia), wychodzi się tylko słowa kluczowe- więc wygodniej jest zastosować regułę w praktyce
Przykład 2 Znajdź funkcję pierwotną dla funkcji y = 2x + cos x.
Rozwiązanie. Funkcja pierwotna dla 2x to x "; funkcja pierwotna dla cosx to grzech x. Stąd funkcja pierwotna dla funkcji y \u003d 2x + cos x będzie funkcją y \u003d x 2 + sin x (i ogólnie dowolna funkcja forma Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Wiemy, że ze znaku pochodnej można wyciągnąć stały czynnik. Ta reguła generuje odpowiednią regułę znajdowania funkcji pierwotnych.
Zasada 2 Stały czynnik można wyjąć ze znaku funkcji pierwotnej.
Przykład 3
Rozwiązanie. a) Funkcją pierwotną dla sin x jest -cos x; stąd dla funkcji y \u003d 5 sin x funkcją pierwotną będzie funkcja y \u003d -5 cos x.
b) Funkcją pierwotną dla cos x jest sin x; stąd dla funkcji pierwotnej będzie istniała funkcja
c) Funkcja pierwotna dla x 3 jest funkcją pierwotną dla x jest funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d 1 jest funkcją y \u003d x. Korzystając z pierwszej i drugiej zasady znajdowania funkcji pierwotnych, otrzymujemy, że funkcja pierwotna dla funkcji y \u003d 12x 3 + 8x-1 jest funkcją
Komentarz. Jak wiadomo, pochodna iloczynu nie jest równa iloczynowi pochodnych (reguła różniczkowania iloczynu jest bardziej skomplikowana), a pochodna ilorazu nie jest równa ilorazowi pochodnych. Dlatego nie ma reguł znajdowania funkcji pierwotnej iloczynu lub funkcji pierwotnej ilorazu dwóch funkcji. Bądź ostrożny!
Otrzymujemy jeszcze jedną regułę znajdowania funkcji pierwotnych. Wiemy, że pochodna funkcji y \u003d f (kx + m) jest obliczana według wzoru
Ta reguła generuje odpowiednią regułę znajdowania funkcji pierwotnych.
Zasada 3 Jeśli y \u003d F (x) jest funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d f (x), to funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d f (kx + m) jest funkcja
Rzeczywiście,
Oznacza to, że jest funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d f (kx + m).
Znaczenie trzeciej zasady jest następujące. Jeśli wiesz, że funkcja pierwotna dla funkcji y \u003d f (x) jest funkcją y \u003d F (x) i musisz znaleźć funkcję pierwotną funkcji y \u003d f (kx + m), a następnie postępuj jak następująco: weź tę samą funkcję F, ale zamiast argumentu x wstaw wyrażenie xx+m; ponadto nie zapomnij napisać „współczynnika korekcyjnego” przed znakiem funkcji
Przykład 4 Znajdź funkcje pierwotne dla podanych funkcji:
Rozwiązanie, a) Funkcją pierwotną dla sin x jest -cos x; oznacza to, że dla funkcji y \u003d sin2x funkcja pierwotna będzie funkcją
b) Funkcją pierwotną dla cos x jest sin x; stąd dla funkcji pierwotnej będzie istniała funkcja
c) Funkcja pierwotna dla x 7 jest zatem dla funkcji y \u003d (4-5x) 7 funkcją pierwotną będzie funkcja
3. Całka nieoznaczona
Zauważyliśmy już powyżej, że problem znalezienia funkcji pierwotnej dla danej funkcji y = f(x) ma więcej niż jedno rozwiązanie. Omówmy ten problem bardziej szczegółowo.
Dowód. 1. Niech y \u003d F (x) będzie funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d f (x) w przedziale X. Oznacza to, że dla wszystkich x z X równość x "(x) \u003d f (x) wynosi prawda Znajdź pochodną dowolnej funkcji postaci y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d fa "(x) + C \u003d fa (x) + 0 \u003d fa (x).
Zatem (F(x)+C) = f(x). Oznacza to, że y \u003d F (x) + C jest funkcją pierwotną dla funkcji y \u003d f (x).
W ten sposób udowodniliśmy, że jeśli funkcja y \u003d f (x) ma funkcję pierwotną y \u003d F (x), to funkcja (f \u003d f (x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych, na przykład dowolną funkcję forma y \u003d F (x) + C jest funkcją pierwotną.
2. Udowodnijmy teraz, że cały zbiór funkcji pierwotnych wyczerpuje się przez wskazany typ funkcji.
Niech y=F 1 (x) i y=F(x) będą dwiema funkcjami pierwotnymi dla funkcji Y = f(x) na przedziale X. Oznacza to, że dla wszystkich x z przedziału X zachodzą następujące zależności: F^( x) = fa (X); F. "(x) \u003d fa (x).
Rozważ funkcję y \u003d F 1 (x) -.F (x) i znajdź jej pochodną: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Wiadomo, że jeśli pochodna funkcji na przedziale X jest identycznie równa zeru, to funkcja jest stała na przedziale X (patrz Twierdzenie 3 w § 35). Stąd F 1 (x) -F (x) \u003d C, tj. Fx) \u003d fa (x) + C.
Twierdzenie zostało udowodnione.
Przykład 5 Ustawione jest prawo zmiany prędkości od czasu v = -5sin2t. Znajdź zasadę ruchu s = s(t), jeśli wiadomo, że w chwili t=0 współrzędna punktu była równa liczbie 1,5 (tj. s(t) = 1,5).
Rozwiązanie. Ponieważ prędkość jest pochodną współrzędnej w funkcji czasu, najpierw musimy znaleźć funkcję pierwotną prędkości, tj. funkcja pierwotna dla funkcji v = -5sin2t. Jedną z takich funkcji pierwotnych jest funkcja , a zbiór wszystkich funkcji pierwotnych ma postać:
Aby znaleźć określoną wartość stałej C, używamy warunków początkowych, zgodnie z którymi s(0) = 1,5. Podstawiając we wzorze (1) wartości t=0, S=1,5, otrzymujemy:
Podstawiając znalezioną wartość C do wzoru (1), otrzymujemy interesujące nas prawo ruchu:
Definicja 2. Jeśli funkcja y = f(x) ma funkcję pierwotną y = F(x) na przedziale X, to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych, tj. zbiór funkcji postaci y \u003d F (x) + C, nazywany jest całką nieoznaczoną funkcji y \u003d f (x) i oznaczany:
(czytają: „całka nieoznaczona ef z x de x”).
W następnej sekcji dowiemy się, jakie jest ukryte znaczenie tego zapisu.
Na podstawie tablicy funkcji pierwotnych dostępnej w tym akapicie sporządzimy tablicę podstawowych całek nieoznaczonych:
Na podstawie powyższych trzech zasad znajdowania funkcji pierwotnych możemy sformułować odpowiednie reguły całkowania.
Zasada nr 1 Całka sumy funkcji jest równa sumie całki tych funkcji:
Zasada 2 Stały czynnik można wyjąć ze znaku całki:
Zasada 3 Jeśli
Przykład 6 Znajdź całki nieoznaczone:
Rozwiązanie, a) Korzystając z pierwszej i drugiej reguły całkowania, otrzymujemy:
Teraz używamy 3. i 4. formuły integracyjnej:
W rezultacie otrzymujemy:
b) Korzystając z trzeciej reguły całkowania i wzoru 8, otrzymujemy:
c) Do bezpośredniego wyznaczenia danej całki nie mamy ani odpowiedniego wzoru, ani odpowiedniej reguły. W takich przypadkach, czasami pre-wykonane identyczne przekształcenia wyrażenie zawarte pod znakiem całki.
Użyjmy wzoru trygonometrycznego na zmniejszenie stopnia:
Następnie kolejno znajdujemy:
AG Algebra Mordkovicha, klasa 10
Planowanie kalendarzowo-tematyczne w matematyce, wideo z matematyki online, Matematyka w szkole
Całka nieoznaczona
Głównym zadaniem rachunku różniczkowego było obliczenie pochodnej lub różniczki danej funkcji. Rachunek całkowy, którym się teraz zajmujemy, rozwiązuje problem odwrotny, a mianowicie znalezienie samej funkcji na podstawie jej pochodnej lub różniczki. To znaczy mieć dF(x)= f(x)d (7.1) lub F′(x)= f(x),
gdzie f(x)- znana funkcja, musisz znaleźć funkcję F(x).
Definicja:Funkcja F(x) jest wywoływana prymitywny funkcja f (x) na odcinku, jeśli we wszystkich punktach tego odcinka równość jest prawdziwa: F′(x) = f(x) lub dF(x)= f(x)d.
Na przykład, jedna z funkcji pierwotnych funkcji f(x)=3x2 będzie F. (x) \u003d x 3, dlatego ( x 3)′=3x 2. Ale funkcja pierwotna dla funkcji f(x)=3x2 będą również funkcje i , ponieważ 
.
Więc, dana funkcja f(x)=3x2 ma nieskończoną liczbę prymitywów, z których każdy różni się tylko stałym wyrazem. Pokażmy, że wynik ten zachodzi również w przypadku ogólnym.
Twierdzenie Dwie różne funkcje pierwotne tej samej funkcji, określone w pewnym przedziale, różnią się od siebie w tym przedziale o stały składnik.
Dowód
Niech funkcja f(x) zdefiniowany na interwale (a¸b) oraz F 1 (x) oraz F2 (x) - prymitywy, tj. F 1 ′(x)= f(x) i F 2 ′(x)= f(x).
Następnie F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ fa 1 (x) - fa 2 (x) \u003d do
Stąd, fa 2 (x) \u003d fa 1 (x) + do
gdzie Z jest stałą (tutaj korzystamy z wniosku z twierdzenia Lagrange'a).
Twierdzenie jest zatem udowodnione.
ilustracja geometryczna. Jeśli w = F 1 (x) oraz w = F2 (x) są funkcjami pierwotnymi tej samej funkcji f(x), następnie styczna do ich wykresów w punktach o wspólnej odciętej X równolegle do siebie (ryc. 7.1).
W tym przypadku odległość między tymi krzywymi wzdłuż osi jednostka organizacyjna pozostaje stała fa 2 (x) - fa 1 (x) \u003d do , czyli te krzywe w trochę zrozumienia są „równoległe” względem siebie.
Konsekwencja .
Dodawanie do niektórych prymitywnych F(x) dla tej funkcji f(x) zdefiniowany na interwale X, wszystkie możliwe stałe Z, otrzymujemy wszystkie możliwe funkcje pierwotne dla funkcji f(x).Więc wyrażenie F(x)+C , gdzie i F(x) jest pewną funkcją pierwotną funkcji f(x) zawiera wszystkie możliwe funkcje pierwotne dla f(x).
Przykład 1 Sprawdź, czy funkcje są funkcje pierwotne dla funkcji
Rozwiązanie:
Odpowiadać: funkcje pierwotne dla funkcji będą funkcje oraz
Definicja: Jeśli funkcja F(x) jest jakąś funkcją pierwotną dla funkcji f(x), to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych F(x) + C nazywa się całka nieoznaczona z f(x) i oznaczmy:
∫f(x)dx.
Zgodnie z definicją:
f(x) - całka,
f(x)dx - całka
Z tego wynika, że całka nieoznaczona jest funkcją postaci ogólnej, której różniczka jest równa całce i której pochodna względem zmiennej X jest równa całce we wszystkich punktach.
Z geometrycznego punktu widzenia całka nieoznaczona to rodzina krzywych, z których każda jest uzyskiwana przez przesunięcie jednej z krzywych równoległych do siebie w górę lub w dół, to znaczy wzdłuż osi jednostka organizacyjna(Rys. 7.2).
Nazywa się operację obliczania całki nieoznaczonej pewnej funkcji integracja ta funkcja.
Zauważ, że jeśli pochodna funkcji elementarnej jest zawsze funkcją elementarną, to funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi być reprezentowana przez skończoną liczbę funkcji elementarnych.
Rozważ teraz własności całki nieoznaczonej.
Definicja 2 implikuje:
1. Pochodna całki nieoznaczonej jest równa całce, czyli jeśli F′(x) = f(x) , następnie
2. Różniczka całki nieoznaczonej jest równa całce
. (7.4)
Z definicji różniczki i własności (7.3)
3. Całka nieoznaczona różniczki pewnej funkcji jest równa tej funkcji aż do stałego składnika, tj. 
(7.5)
Istnieją trzy podstawowe zasady znajdowania funkcji pierwotnych. Są one bardzo podobne do odpowiednich reguł różniczkowania.
Zasada nr 1
Jeśli F jest funkcją pierwotną dla jakiejś funkcji f, a G jest funkcją pierwotną dla jakiejś funkcji g, to F + G będzie funkcją pierwotną dla f + g.
Z definicji funkcji pierwotnej F' = f. G' = g. A ponieważ te warunki są spełnione, to zgodnie z regułą obliczania pochodnej dla sumy funkcji będziemy mieli:
(F + G)' = F' + G' = fa + g.
Zasada 2
Jeśli F jest funkcją pierwotną dla jakiejś funkcji, f i k jest pewną stałą. Wtedy k*F jest funkcją pierwotną dla funkcji k*f. Zasada ta wynika z zasady obliczania pochodnej złożona funkcja.
Mamy: (k*F)' = k*F' = k*f.
Zasada 3
Jeśli F(x) jest jakąś funkcją pierwotną f(x), a k i b są pewnymi stałymi, a k jest niezerowe, to (1/k)*F*(k*x+b) będzie funkcją pierwotną fa (k*x+b).
Zasada ta wynika z zasady obliczania pochodnej funkcji zespolonej:
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Przyjrzyjmy się kilku przykładom zastosowania tych zasad:
Przykład 1. Odnaleźć forma ogólna funkcje pierwotne dla funkcji f(x) = x^3 +1/x^2. Dla funkcji x^3 jedną z funkcji pierwotnych będzie funkcja (x^4)/4, a dla funkcji 1/x^2 jedną z funkcji pierwotnych będzie funkcja -1/x. Korzystając z pierwszej reguły mamy:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
Przykład 2. Znajdźmy ogólną postać funkcji pierwotnej dla funkcji f(x) = 5*cos(x). Dla funkcji cos(x) jedną z funkcji pierwotnych będzie funkcja sin(x). Jeśli teraz zastosujemy drugą regułę, otrzymamy:
F(x) = 5*grzech(x).
Przykład 3 Znajdź jedną z funkcji pierwotnych dla funkcji y = sin(3*x-2). Dla funkcji sin(x) jedną z funkcji pierwotnych będzie funkcja -cos(x). Jeśli użyjemy teraz trzeciej reguły, otrzymamy wyrażenie na funkcję pierwotną:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
Przykład 4. Znajdź funkcję pierwotną dla funkcji f(x) = 1/(7-3*x)^5
Funkcją pierwotną dla funkcji 1/x^5 będzie funkcja (-1/(4*x^4)). Teraz, korzystając z trzeciej reguły, otrzymujemy.
Prymitywny. piękne słowo.) Na początek trochę rosyjskiego. Tak wymawia się to słowo, nie "pierwotny" jak może się wydawać. Funkcja pierwotna jest podstawową koncepcją całego rachunku całkowego. Wszelkie całki - nieoznaczone, określone (zapoznasz się z nimi już w tym semestrze), a także podwójne, potrójne, krzywoliniowe, powierzchniowe (a to są główni bohaterowie drugiego roku) - są zbudowane na tym kluczowa koncepcja. Opanowanie ma sens. Iść.)
Zanim zapoznamy się z pojęciem funkcji pierwotnej, przyjrzyjmy się najbardziej W ogólnych warunkach zapamiętaj najczęstsze pochodna. Nie zagłębiając się w nudną teorię granic, przyrostów argumentu i innych rzeczy, możemy powiedzieć, że znalezienie pochodnej (lub różnicowanie) to po prostu operacja matematyczna na funkcjonować. I to wszystko. Wykonywana jest dowolna funkcja (np. f(x) = x2) oraz na pewne zasady przekształca się w Nowa cecha. I to jest ten Nowa cecha i zadzwoniłem pochodna.
W naszym przypadku przed różniczkowaniem była funkcja f(x) = x2, a po zróżniczkowaniu stało się już inna funkcja f'(x) = 2x.
Pochodna– bo nasza nowa funkcja f'(x) = 2x stało się z funkcji f(x) = x2. W wyniku operacji różniczkowania. Co więcej, pochodzi z niego, a nie z jakiejś innej funkcji ( x 3, na przykład).
Z grubsza mówiąc, f(x) = x2- to jest mama, f'(x) = 2x- jej ukochana córka.) To zrozumiałe. Pójść dalej.
Matematycy to niespokojni ludzie. Na każdą akcję starają się znaleźć reakcję. :) Jest dodawanie - jest też odejmowanie. Jest mnożenie i jest dzielenie. Podnoszenie do potęgi to wyciąganie korzenia. Sinus to arcus sinus. Jest dokładnie to samo różnicowanie To znaczy, że istnieje... integracja.)
Teraz postawmy to ciekawe zadanie. Mamy na przykład taką prostą funkcję f(x) = 1. I musimy odpowiedzieć na to pytanie:
Pochodna funkcji CO daje nam funkcjęf(x) = 1?
Innymi słowy, widząc córkę, używając analizy DNA, dowiedzieć się, kim jest jej matka. :) Więc z czego oryginał funkcja (nazwijmy ją F(x)) nasza pochodna funkcja f(x) = 1? Lub w forma matematyczna, Po co funkcja F(x) równość jest spełniona:
F'(x) = f(x) = 1?
Elementarny przykład. Próbowałem.) Po prostu wybieramy funkcję F (x), aby równość działała. :) Cóż, jak to odebrałeś? Oh, pewnie! F(x) = x. Dlatego:
F'(x) = x' = 1 = f(x).
Oczywiście znalazła się mamusia F(x) = x trzeba to jakoś nazwać, tak.) Poznaj mnie!
Funkcja pierwotna dla funkcjif(x) jest taką funkcjąF(x), którego pochodna jest równaf(x), tj. dla której równośćF’(x) = f(x).
To wszystko. Nigdy więcej naukowych sztuczek. W definicji ścisłej dodaje się dodatkową frazę „między x”. Ale na razie nie będziemy zagłębiać się w te subtelności, ponieważ naszym głównym zadaniem jest nauczenie się, jak znaleźć te bardzo prymitywne elementy.
W naszym przypadku okazuje się, że funkcja F(x) = x jest prymitywny dla funkcji f(x) = 1.
Czemu? dlatego F'(x) = f(x) = 1. Pochodna x to jedność. Bez zastrzeżeń.)
Termin „pierwotny” po filistersku oznacza „przodka”, „rodzica”, „przodka”. Od razu pamiętamy najdroższego i kochany.) A samo poszukiwanie funkcji pierwotnej jest przywróceniem pierwotnej funkcji przez jego znaną pochodną. Innymi słowy, ta akcja odwrotność różniczkowania. I to wszystko! Sam ten fascynujący proces jest również nazywany dość naukowo - integracja. Ale o całki- później. Cierpliwości, przyjaciele!
Pamiętać:
Całkowanie jest operacją matematyczną na funkcji (podobnie jak różniczkowanie).
Integracja jest odwrotnością różniczkowania.
Funkcja pierwotna jest wynikiem całkowania.
Teraz skomplikujmy zadanie. Znajdźmy teraz funkcję pierwotną dla tej funkcji fa(x) = x. To znaczy znajdźmy taka funkcja F(x) , do jego pochodna byłoby równe x:
F'(x) = x
Kto przyjaźni się z instrumentami pochodnymi, być może przyjdzie mu do głowy coś takiego:
(x 2)' = 2x.
Cóż, szacunek i szacunek dla tych, którzy pamiętają tablicę pochodnych!) Zgadza się. Ale jest jeden problem. Nasza oryginalna funkcja fa(x) = x, a (x2)' = 2 x. Dwa X. A po zróżniczkowaniu powinniśmy dostać po prostu x. Nie w porządku. Ale…
Jesteśmy ludźmi nauki. Dostaliśmy świadectwa.) A ze szkoły wiemy, że obie części każdej równości można pomnożyć i podzielić przez tę samą liczbę (oczywiście poza zerem)! Więc ułożone. Skorzystajmy z tej okazji.)
W końcu chcemy, aby czysty X pozostał po prawej stronie, prawda? A dwójka przeszkadza ... Więc bierzemy stosunek pochodnej (x 2) '= 2x i dzielimy obie jego części dla tej dwójki:
Więc to wyjaśnia kilka spraw. Pójść dalej. Wiemy, że każda stała może być usuń to ze znaku pochodnej. Lubię to:
Wszystkie formuły w matematyce działają zarówno od lewej do prawej, jak i odwrotnie - od prawej do lewej. Oznacza to, że z takim samym sukcesem każda stała może być wstaw pod znakiem pochodnej:
W naszym przypadku dwójkę ukrywamy w mianowniku (lub, co jest tym samym, współczynniku 1/2) pod znakiem pochodnej:
I teraz ostrożnie Spójrzmy na nasz rekord. Co widzimy? Widzimy równość mówiącą, że pochodna coś(to jest coś- w nawiasach) równa się x.
Wynikowa równość oznacza po prostu, że pożądana funkcja pierwotna dla funkcji fa(x) = x pełni funkcję F(x) = x2/2 . Ten, który jest w nawiasach pod kreską. Bezpośrednio zgodnie ze znaczeniem funkcji pierwotnej.) Cóż, sprawdźmy wynik. Znajdźmy pochodną:
Doskonały! Mam oryginalną funkcję fa(x) = x. Z tego, co tańczyli, do tego wracali. Oznacza to, że nasza funkcja pierwotna została znaleziona poprawnie.)
Co jeśli f(x) = x2? Ile wynosi jego prymityw? Nie ma problemu! Ty i ja wiemy (ponownie, z reguł różniczkowania), że:
3x2 = (x3)'
ORAZ, to znaczy,
Rozumiem? Teraz, niepostrzeżenie dla siebie, nauczyliśmy się liczyć funkcje pierwotne dla dowolnych funkcja potęgowa f(x)=x n. W umyśle.) Bierzemy początkowy wskaźnik n, zwiększamy ją o jeden iw ramach rekompensaty dzielimy przez nią całą strukturę n+1:
Nawiasem mówiąc, otrzymana formuła jest poprawna nie tylko dla wskaźnik naturalny stopień n, ale także dla każdego innego - ujemnego, ułamkowego. Ułatwia to znajdowanie funkcji pierwotnych z simple ułamki oraz korzenie.
Na przykład:
Naturalnie, n ≠ -1 , w przeciwnym razie mianownik formuły wynosi zero, a formuła traci sens.) O tym szczególny przypadek n=-1 nieco później.)
Co to jest całka nieoznaczona? Tablica całek.
Powiedzmy, jaka jest pochodna funkcji F(x) = x? No raz, raz – słyszę niezadowolone odpowiedzi… Zgadza się. Jednostka. Ale… Dla funkcji G(x) = x+1 pochodna również będzie równy jeden.:
Również pochodna będzie równa jeden dla funkcji x+1234 i dla funkcji x-10 i dla każdej innej funkcji formularza x+C , gdzie Z jest dowolną stałą. Bo pochodna dowolnej stałej jest równa zeru, a z dodawania/odejmowania zera nikt nie jest zimny ani gorący.)
Okazuje się niejednoznaczność. Okazuje się, że dla funkcji f(x) = 1 służy jako prototyp nie tylko funkcja F(x) = x , ale także funkcję fa 1 (x) = x+1234 i funkcja fa 2 (x) = x-10 i tak dalej!
TAk. Zgadza się.) Dla wszystkich ( ciągła w przedziale) funkcji, istnieje nie tylko jedna funkcja pierwotna, ale nieskończenie wiele - cała rodzina! Nie jedna mama czy tata, ale cały rodowód, tak.)
Ale! Wszystkich naszych prymitywnych krewnych łączy jedno ważna właściwość. Dlatego są spokrewnieni.) Właściwość jest na tyle ważna, że analizując metody całkowania, nie raz będziemy o niej pamiętać. I zapamiętamy na długo.)
Oto ona, ta nieruchomość:
Dowolne dwa prymitywy F 1 (x) orazF 2 (x) z tej samej funkcjif(x) różnią się o stałą:
F 1 (x) - F 2 (x) = C.
Kogo obchodzi dowód - przestudiuj literaturę lub notatki z wykładów.) Dobra, niech tak będzie, udowodnię to. Na szczęście dowód tutaj jest elementarny, w jednym kroku. Bierzemy równość
F 1 (x) - F 2 (x) = C
oraz Rozróżnijmy obie części. Oznacza to, że po prostu głupio umieszczamy pociągnięcia:
To wszystko. Jak to mówią, CTD. :)
Co mówi ta właściwość? I to dwa różne prymitywy z tej samej funkcji f(x) nie może różnić się o jakieś wyrażenie z x . Tylko ściśle na stałej! Innymi słowy, jeśli mamy jakiś wykres jeden z pionierów(niech to będzie F(x)), potem wykresy wszyscy inni naszych funkcji pierwotnych jest konstruowanych przez równoległe przesunięcie wykresu F(x) wzdłuż osi y.
Zobaczmy jak to wygląda na przykładowej funkcji fa(x) = x. Wszystkie jego prymitywy, jak już wiemy, mają postać ogólną F(x) = x 2 /2+C . Na zdjęciu wygląda nieskończona ilość paraboli otrzymany z „głównej” paraboli y = x 2 /2 poprzez przesunięcie w górę lub w dół wzdłuż osi OY w zależności od wartości stałej Z.
Pamiętaj, szkoła wykreśla funkcję y=f(x)+a zmiana harmonogramu y=f(x) przez jednostki „a” wzdłuż osi y?) Tutaj jest tak samo.)
I uwaga: nasze parabole nie przekraczaj nigdzie! To naturalne. W końcu dwa różne funkcje y 1 (x) i y 2 (x) nieuchronnie będą sobie odpowiadać dwa różne znaczenia stałe – Od 1 oraz od 2.
Dlatego równanie y 1 (x) = y 2 (x) nigdy nie ma rozwiązań:
do 1 = do 2
x ∊ ∅ , dlatego do 1 ≠ C2
A teraz płynnie zbliżamy się do drugiego podstawowego pojęcia rachunku całkowego. Jak właśnie ustaliliśmy, każda funkcja f(x) ma nieskończony zbiór funkcji pierwotnych F(x) + C, które różnią się od siebie o stałą. Ten najbardziej nieskończony zestaw ma również swoją specjalną nazwę.) Cóż, proszę o miłość i łaskę!
Co to jest całka nieoznaczona?
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych dla funkcji f(x) jest nazywany całka nieoznaczona z funkcjif(x).
To jest cała definicja.)
"Niepewny" - ponieważ zbiór wszystkich funkcji pierwotnych dla tej samej funkcji bez końca. Za dużo opcji.)
"Całka" - zapoznamy się ze szczegółowym dekodowaniem tego brutalnego słowa w następnej obszernej sekcji całki oznaczone . W międzyczasie, w przybliżeniu, rozważymy coś integralnego ogólny, jeden, całość. I integracja Stowarzyszenie, uogólnienie, w tym przypadku przejście od szczegółowego (pochodna) do ogólnego (funkcja pierwotna). Coś w tym stylu.
Całka nieoznaczona jest oznaczona następująco:
Czyta się to samo, co jest napisane: efekt całkowy x de x. Lub całka z ef od x de x. Cóż, masz pomysł.)
Zajmijmy się teraz zapisem.
∫ - integralna ikona. Znaczenie jest takie samo jak kreska dla pochodnej.)
d - Ikonamechanizm różnicowy. Nie boimy się! Dlaczego jest tam potrzebny - trochę niżej.
f(x) - całka(przez „s”).
f(x)dx - całka. Lub, z grubsza mówiąc, „wypychanie” całki.
Zgodnie ze znaczeniem całki nieoznaczonej,
Tutaj F(x)- ten sam funkcja pierwotna dla funkcji f(x) które my jakoś Znaleźli się. Nie chodzi o to, jak dokładnie znaleźli. Na przykład ustaliliśmy to F(x) = x2/2 dla fa(x)=x.
"Z" - dowolna stała. Lub, bardziej naukowo, stała całkowa. Lub stała integracji. Wszystko jest jednym.)
Wróćmy teraz do naszych pierwszych przykładów funkcji pierwotnych. W kategoriach całki nieoznaczonej możemy teraz bezpiecznie napisać:
Co to jest stała całkowa i dlaczego jest potrzebna?
Pytanie jest bardzo interesujące. I bardzo (BARDZO!) ważne. Stała całkowa z całego nieskończonego zbioru funkcji pierwotnych wyróżnia tę linię, który przechodzi dany punkt.
O co chodzi. Z pierwotnego nieskończonego zbioru funkcji pierwotnych (tj. całka nieoznaczona) należy wybrać krzywą, która będzie przechodzić przez dany punkt. Z odrobiną określone współrzędne. Takie zadanie spotyka się zawsze i wszędzie podczas początkowej znajomości całek. Zarówno w szkole, jak i na uczelni.
Typowy problem:
Spośród wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f=x wybierz tę, która przechodzi przez punkt (2;2).
Zaczynamy myśleć głową... Zbiór wszystkich prymitywów - to znaczy, że najpierw trzeba zintegrować naszą pierwotną funkcję. To znaczy x(x). Zrobiliśmy to trochę wyżej i otrzymaliśmy następującą odpowiedź:
I teraz rozumiemy, co dokładnie mamy. Otrzymaliśmy nie tylko jedną funkcję, ale cała rodzina funkcji. Które? Vida y=x 2 /2+C . W zależności od wartości stałej C. I teraz musimy „złapać” tę wartość stałej.) No to złapmy?)
Nasza wędka - rodzina krzywych (paraboli) y=x2/2+C.
Stałe - to są ryby. Bardzo. Ale każdy ma swój własny haczyk i przynętę.)
A co to jest przynęta? Prawidłowo! Naszym celem jest (-2;2).
Podstawiamy więc współrzędne naszego punktu do ogólnej postaci funkcji pierwotnych! Otrzymujemy:
y(2) = 2
Stąd łatwo go znaleźć C=0.
Co znaczy siyo? Oznacza to, że z całego nieskończonego zestawu parabol formyy=x 2 /2+Ctylko parabola o stałej C=0 nam pasuje! Mianowicie:y=x2/2. I tylko ona. Tylko ta parabola przejdzie przez potrzebny nam punkt (-2; 2). I wprzechodzą wszystkie inne parabole z naszej rodziny ten punkt już nie będzie. Przez inne punkty płaszczyzny - tak, ale przez punkt (2; 2) - już nie. Rozumiem?
Dla jasności oto dwa obrazki - cała rodzina parabol (tj. całka nieoznaczona) i niektóre betonowa parabola odpowiadającej konkretna wartość stałej i przejeżdżając konkretny punkt:
Zobacz, jak ważne jest uwzględnienie stałej Z podczas integracji! Więc nie zaniedbuj tej litery „C” i nie zapomnij przypisać ostatecznej odpowiedzi.
A teraz dowiedzmy się, dlaczego symbol wisi wszędzie wewnątrz całek dx . Studenci często o tym zapominają… A to, nawiasem mówiąc, też jest błędem! I dość szorstka. Chodzi o to, że integracja jest odwrotnością różniczkowania. A co dokładnie jest wynik zróżnicowania? Pochodna? Prawda, ale nie do końca. Mechanizm różnicowy!
W naszym przypadku dla funkcji f(x) różniczka jej funkcji pierwotnej F(x), będzie:
Kto nie rozumie tego łańcucha - pilnie powtórz definicję i znaczenie różnicy i jak dokładnie się objawia! W przeciwnym razie zwolnisz bezlitośnie w całkach....
Pozwólcie, że przypomnę wam, w najbardziej prymitywnej, filisterskiej formie, że różniczka dowolnej funkcji f(x) jest po prostu iloczynem f'(x)dx. I to wszystko! Weź pochodną i pomnóż ją do różniczki argumentu(tj. dx). Oznacza to, że każda różnica jest w rzeczywistości zredukowana do obliczenia zwykłego pochodna.
Dlatego, ściśle mówiąc, całka jest „wzięta”, a nie z Funkcje f(x), jak się powszechnie uważa, i mechanizm różnicowy f(x)dx! Ale w uproszczonej wersji zwyczajowo tak się mówi „całka jest pobierana z funkcji”. Lub: „Integracja funkcji f(x)". To jest to samo. I powiemy to samo. Ale o ikonie dx Nie zapominajmy jednak! :)
A teraz powiem ci, jak nie zapomnieć o tym podczas nagrywania. Wyobraź sobie najpierw, że obliczasz zwykłą pochodną względem x. Jak zwykle to piszesz?
Na przykład: f’(x), y’(x), y’x. Lub bardziej solidnie, poprzez stosunek różnic: dy/dx. Wszystkie te zapisy pokazują nam, że pochodna jest brana dokładnie przez x. A nie przez „y”, „te” lub inną zmienną.)
To samo dotyczy całek. Nagranie ∫ f(x)dx nas też jak gdyby pokazuje, że integracja przebiega dokładnie przez zmienną x. Oczywiście wszystko to jest bardzo uproszczone i prymitywne, ale mam nadzieję, że jest jasne. I szanse zapominać przypisać wszechobecność dx gwałtownie spadać).
Czym więc jest ta sama całka nieoznaczona - rozgryzłem to. Świetnie.) Teraz byłoby miło nauczyć się tych bardzo nieoznaczonych całek Oblicz. Lub po prostu „weź”. :) I tu na uczniów czekają dwie wiadomości - dobra i niezbyt dobra. Na razie zacznijmy od tego, co dobre.)
Wiadomości są dobre. Dla całek, jak również dla pochodnych, istnieje tabela. I wszystkie całki, które spotkamy po drodze, nawet te najstraszniejsze i wymyślne, my według pewnych zasad jakoś sprowadzimy się do tych bardzo tabelarycznych.)
Więc oto ona integralny stół!
Oto taka piękna tablica całek z najpopularniejszych funkcji. Polecam zwrócić szczególną uwagę na grupę formuł 1-2 (stała i funkcja zasilania). To są najczęstsze wzory w całkach!
Trzecia grupa wzorów (trygonometria), jak można się domyślić, uzyskuje się przez proste odwrócenie odpowiednich wzorów na pochodne.
Na przykład:
Z czwartą grupą formuł (funkcja wykładnicza) - wszystko jest podobne.
A oto cztery ostatnie grupy formuły (5-8) dla nas Nowy. Skąd się wzięły i z jakiego powodu te egzotyczne funkcje nagle weszły do tablicy całek podstawowych? Dlaczego te grupy funkcji tak bardzo wyróżniają się na tle pozostałych funkcji?
Tak stało się historycznie w procesie rozwoju metody integracji . Kiedy nauczymy się przyjmować najbardziej zróżnicowane całki, zrozumiesz, że całki funkcji wymienionych w tabeli są bardzo, bardzo powszechne. Tak często, że matematycy sklasyfikowali je jako tabelaryczne.) Wyraża się za ich pośrednictwem bardzo wiele innych całek, pochodzących z bardziej złożonych konstrukcji.
Ze względu na zainteresowanie możesz wziąć jedną z tych okropnych formuł i rozróżnić. :) Na przykład najbardziej brutalna formuła 7.
Wszystko w porządku. Matematycy nie kłamali. :)
Pożądana jest znajomość tablicy całek, a także tablicy pochodnych na pamięć. W każdym razie pierwsze cztery grupy formuł. Nie jest to takie trudne, jak się wydaje na pierwszy rzut oka. Zapamiętaj ostatnie cztery grupy (z ułamkami i pierwiastkami) PA nie jest tego warte. W każdym razie na początku będziesz zdezorientowany, gdzie zapisać logarytm, gdzie jest arcus tangens, gdzie jest arcus sinus, gdzie jest 1/a, gdzie jest 1/2a... Jest tylko jedno wyjście - rozwiązać więcej przykłady. Wtedy stół sam się sobie stopniowo przypomni, a wątpliwości przestaną skubać.)
Szczególnie dociekliwe osoby, patrząc uważnie na tabelę, mogą zapytać: gdzie są całki innych elementarnych funkcji „szkolnych” - stycznej, logarytmu, „łuków” w tabeli? Powiedzmy, dlaczego w tabeli jest całka z sinusa, ale NIE ma, powiedzmy, całki ze stycznej tg x? Lub nie ma całki z logarytmu ln x? Z łuku sinusoidalnego arcsin x? Dlaczego są gorsze? Ale jest pełen funkcji „lewych” - z pierwiastkami, ułamkami, kwadratami ...
Odpowiadać. Nic gorszego.) Tylko powyższe całki (ze stycznej, logarytmu, arcus sinusa itp.) nie są tabelaryczne . A spotyka się je w praktyce znacznie rzadziej niż te przedstawione w tabeli. Więc wiedz na pamięć, któremu są równe, nie jest wcale konieczne. Wystarczy wiedzieć jak się mają obliczony.)
Co, ktoś wciąż nie do zniesienia? Niech tak będzie, specjalnie dla Ciebie!
No i jak zamierzasz się uczyć? :) Nie chcesz? I nie.) Ale nie martw się, na pewno znajdziemy wszystkie takie całki. na odpowiednich lekcjach. :)
Cóż, teraz przechodzimy do własności całki nieoznaczonej. Tak, nie ma nic do zrobienia! Wprowadzona zostaje nowa koncepcja i od razu uwzględniane są niektóre jej właściwości.
Własności całki nieoznaczonej.
A teraz niezbyt dobra wiadomość.
W przeciwieństwie do zróżnicowania, ogólne zasady całkowania standardów, sprawiedliwy na wszystkie okazje, nie istnieje w matematyce. To jest fantastyczne!
Na przykład, wszyscy bardzo dobrze wiecie (mam nadzieję!), że każdy praca każdy dwie funkcje f(x) g(x) różni się tak:
(f(x) g(x))’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x).
Każdy iloraz jest różniczkowany w następujący sposób:
A każda złożona funkcja, bez względu na to, jak bardzo może być pokręcona, jest różnicowana w następujący sposób:
I bez względu na to, jakie funkcje są ukryte pod literami f i g, ogólne zasady nadal będą działać, a pochodna zostanie znaleziona w taki czy inny sposób.
Ale w przypadku całek taka liczba już nie będzie działać: dla iloczynu, ilorazu (ułamka), a także funkcji zespolonej formuły ogólne integracja nie istnieje! Nie ma standardowych zasad! Raczej są. Na próżno obraziłem matematykę.) Ale po pierwsze, jest ich znacznie mniej niż Główne zasady dla różnicowania. Po drugie, większość metod integracji, o których będziemy mówić w następnych lekcjach, jest bardzo, bardzo specyficzna. I są ważne tylko dla pewnej, bardzo ograniczonej klasy funkcji. Powiedzmy, że dla ułamkowe funkcje wymierne. Albo kilka innych.
A niektóre całki, chociaż istnieją w naturze, generalnie nie są wyrażane w żaden sposób przez elementarne funkcje „szkolne”! Tak, tak, a takich całek jest mnóstwo! :)
Dlatego integracja jest znacznie bardziej czasochłonnym i żmudnym zadaniem niż różnicowanie. Ale to ma swój własny smak. To ćwiczenie jest kreatywne i bardzo ekscytujące.) A jeśli dobrze opanujesz tablicę całek i opanujesz przynajmniej dwie podstawowe techniki, które omówimy później (i), to całkowanie naprawdę ci się spodoba. :)
A teraz zapoznajmy się właściwie z właściwościami całki nieoznaczonej. Są niczym. Tutaj są.
Pierwsze dwie właściwości są całkowicie analogiczne do tych samych właściwości pochodnych i są nazywane właściwości liniowości całki nieoznaczonej . Tutaj wszystko jest proste i logiczne: całka sumy / różnicy jest równa sumie / różnicy całek, a stały czynnik można wyjąć ze znaku całki.
Ale następujące trzy właściwości są dla nas zasadniczo nowe. Przeanalizujmy je bardziej szczegółowo. Brzmią po rosyjsku w następujący sposób.
Trzecia właściwość
Pochodna całki jest równa całce
Wszystko jest proste, jak w bajce. Jeśli scałkujesz funkcję, a następnie znajdziesz z powrotem pochodną wyniku, to… otrzymasz oryginalną całkę. :) Właściwość ta zawsze może (i powinna) być wykorzystana do sprawdzenia końcowego wyniku całkowania. Obliczyliśmy całkę - zróżnicuj odpowiedź! Mamy całkę - OK. Nie otrzymali go, co oznacza, że gdzieś schrzanili. Poszukaj błędu.)
Oczywiście w odpowiedzi można uzyskać tak brutalne i kłopotliwe funkcje, że niechętnie je różnicujemy, tak. Ale lepiej, jeśli to możliwe, spróbować sprawdzić siebie. Przynajmniej w tych przykładach, w których jest to łatwe.)
Czwarta właściwość
Różniczka całki jest równa całce .
Nie ma tu nic specjalnego. Istota jest ta sama, tylko dx pojawia się na końcu. Zgodnie z poprzednią właściwością i zasadami rozszerzania różnicy.
Piąta właściwość
Całka z różniczki pewnej funkcji jest równa sumie tej funkcji i dowolnej stałej .
Również bardzo prosta właściwość. Będziemy go również regularnie używać w procesie rozwiązywania całek. Szczególnie - w I.
Oto te korzystne cechy. Nie będę tu zanudzać ich ścisłymi dowodami. Proponuję tym, którzy chcą to zrobić sami. Bezpośrednio zgodnie ze znaczeniem pochodnej i różnicy. Udowodnię tylko ostatnią, piątą własność, bo jest ona mniej oczywista.
Mamy więc oświadczenie:
Wyciągamy „wypychacz” naszej całki i otwieramy ją zgodnie z definicją różniczki:
Na wszelki wypadek przypominam, że zgodnie z naszym zapisem pochodnej i funkcji pierwotnej, F’(x) = f(x) .
Teraz wstawiamy nasz wynik z powrotem do całki:
Otrzymano dokładnie definicja całki nieoznaczonej (niech język rosyjski mi wybaczy)! :)
To wszystko.)
Dobrze. Uważam, że na tym polegała nasza początkowa znajomość tajemniczego świata całek. Dziś proponuję podsumować. Jesteśmy już wystarczająco uzbrojeni, aby wyruszyć na rekonesans. Jeśli nie karabinem maszynowym, to przynajmniej pistoletem na wodę o podstawowych właściwościach i stołem. :) W następnej lekcji czekamy już na najprostsze nieszkodliwe przykłady całek do bezpośredniego zastosowania tabeli i zapisanych właściwości.
Do zobaczenia!