Typ lekcji: nauka nowego materiału.

Cele Lekcji:

• poszerzenie i pogłębienie wiedzy uczniów na temat problemów rozwiązywanych za pomocą postępu arytmetycznego; organizowanie poszukiwań uczniów przy wyprowadzaniu wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego;
• rozwijanie umiejętności samodzielnego zdobywania nowej wiedzy i wykorzystywania już zdobytej wiedzy do realizacji postawionego zadania;
• rozwijanie chęci i potrzeby uogólniania uzyskanych faktów, rozwijanie niezależności.

Zadania:

• podsumować i usystematyzować istniejącą wiedzę na temat „Postępu arytmetycznego”;
• wyprowadzać wzory na obliczenie sumy pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego;
• uczyć, jak zastosować otrzymane wzory przy rozwiązywaniu różne zadania;
• zwróć uwagę uczniów na procedurę znajdowania wartości wyrażenia liczbowego.

Sprzęt:

• karty z zadaniami do pracy w grupach i parach;
• dokument ewaluacyjny;
• prezentacja “Postęp arytmetyczny”.

I. Aktualizacja wiedzy podstawowej.

1. Niezależna praca W parach.

Pierwsza opcja:

Zdefiniuj postęp arytmetyczny. Zapisz wzór na powtarzanie definiujący postęp arytmetyczny. Proszę podać przykład postępu arytmetycznego i wskazać jego różnicę.

druga opcja:

Zapisz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Znajdź setny wyraz ciągu arytmetycznego ( jakiś}: 2, 5, 8 …
W tym czasie dwóch uczniów tylna strona zarządy przygotowują odpowiedzi na te same pytania.
Uczniowie oceniają pracę swojego partnera, sprawdzając go na tablicy. (Arkusze z odpowiedziami są wręczane.)

2. Moment gry.

Ćwiczenie 1.

Nauczyciel. Myślałem o jakimś postępie arytmetycznym. Zadaj mi tylko dwa pytania, aby po odpowiedziach móc szybko wymienić 7. człon tej progresji. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pytania od uczniów.

1. Jaki jest szósty termin progresji i jaka jest różnica?
2. Jaki jest ósmy termin progresji i jaka jest różnica?

Jeśli nie ma już pytań, nauczyciel może je pobudzić - „zakaz” d (różnicy), to znaczy nie wolno pytać, ile wynosi różnica. Można zadawać pytania: jaki jest szósty wyraz progresji i jaki jest ósmy wyraz progresji?

Zadanie 2.

Na tablicy zapisanych jest 20 liczb: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Nauczyciel stoi tyłem do tablicy. Uczniowie wywołują numer, a nauczyciel natychmiast wywołuje ten numer. Wyjaśnij, jak mogę to zrobić?

Nauczyciel zapamiętuje wzór na n-ty wyraz zan = 3n – 2 i zastępując określone wartości n, znajduje odpowiednie wartości jakiś.

II. Ustalenie zadania edukacyjnego.

Proponuję rozwiązać starożytny problem, którego początki sięgają II tysiąclecia p.n.e., znaleziony w egipskich papirusach.

Zadanie:„Niech wam powiedzą: podzielcie 10 miar jęczmienia pomiędzy 10 osób, a różnica między każdą osobą a jej sąsiadem wynosi 1/8 miary”.

• Jak ten problem ma się do tematu postępu arytmetycznego? (Każda kolejna osoba otrzymuje o 1/8 miarki więcej, czyli różnica wynosi d=1/8, 10 osób, czyli n=10.)
• Jak myślisz, co oznacza miara numer 10? (Suma wszystkich warunków progresji.)
• Co jeszcze musisz wiedzieć, aby łatwo i łatwo było podzielić jęczmień w zależności od uwarunkowań problemu? (Pierwszy okres progresji.)

Cel lekcji– uzyskanie zależności sumy wyrazów ciągu od ich liczby, pierwszego wyrazu i różnicy oraz sprawdzenie, czy zadanie zostało poprawnie rozwiązane w starożytności.

Zanim wydedukujemy wzór, przyjrzyjmy się, jak starożytni Egipcjanie rozwiązali ten problem.

I rozwiązali to w następujący sposób:

1) 10 miar: 10 = 1 miara – udział średni;
2) 1 miara ∙ = 2 takty – podwojone przeciętny udział.
Podwojone przeciętny udział jest sumą udziałów piątej i szóstej osoby.
3) 2 miarki – 1/8 miarki = 1 7/8 miarki – podwójna część piątej osoby.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – ułamek piąty; i tak dalej, możesz znaleźć udział każdej poprzedniej i kolejnej osoby.

Otrzymujemy sekwencję:

III. Rozwiązanie problemu.

1. Pracuj w grupach

Grupa I: Znajdź sumę 20 kolejnych liczby naturalne: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Ogólnie

II grupa: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 100 (Legenda Małego Gaussa).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Wniosek:

III grupa: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 21.

Rozwiązanie: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Wniosek:

IV grupa: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 101.

Wniosek:

Ta metoda rozwiązywania rozważanych problemów nazywana jest „metodą Gaussa”.

2. Każda grupa przedstawia na tablicy rozwiązanie problemu.

3. Uogólnienie proponowanych rozwiązań dla dowolnego ciągu arytmetycznego:

za 1, za 2, za 3,…, za n-2, za n-1, za n.
S n = za 1 + za 2 + za 3 + za 4 +…+ za n-3 + za n-2 + za n-1 + za n.

Znajdźmy tę sumę, korzystając z podobnego rozumowania:

4. Czy rozwiązaliśmy problem?(Tak.)

IV. Podstawowe zrozumienie i zastosowanie uzyskanych wzorów przy rozwiązywaniu problemów.

1. Sprawdzenie rozwiązania starożytnego problemu za pomocą wzoru.

2. Zastosowanie wzoru do rozwiązywania różnych problemów.

3. Ćwiczenia rozwijające umiejętność stosowania formuł przy rozwiązywaniu problemów.

A) Nr 613

Dany: ( jakiś) - postęp arytmetyczny;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Znajdować: S1500

Rozwiązanie: , za 1 = 1 i 1500 = 1500,

B) Biorąc pod uwagę: ( jakiś) - postęp arytmetyczny;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Znajdować: N
Rozwiązanie:

V. Samodzielna praca z wzajemną weryfikacją.

Denis rozpoczął pracę jako kurier. W pierwszym miesiącu jego pensja wynosiła 200 rubli, w każdym kolejnym zwiększała się o 30 rubli. Ile łącznie zarobił w ciągu roku?

Dany: ( jakiś) - postęp arytmetyczny;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Znajdować: S 12
Rozwiązanie:

Odpowiedź: Denis otrzymał za rok 4380 rubli.

VI. Instrukcja pracy domowej.

1. Sekcja 4.3 – poznaj wyprowadzenie wzoru.
2. №№ 585, 623 .
3. Utwórz problem, który można rozwiązać, korzystając ze wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego.

VII. Podsumowanie lekcji.

1. Arkusz wyników

2. Kontynuuj zdania

• Dziś na zajęciach dowiedziałam się...
• Wyuczone formuły...
• Wierzę w to …

3. Czy potrafisz znaleźć sumę liczb od 1 do 500? Jakiej metody użyjesz, aby rozwiązać ten problem?

Bibliografia.

1. Algebra, klasa 9. Poradnik dla instytucje edukacyjne. wyd. G.V. Dorofejewa. M.: „Oświecenie”, 2009.

Zanim zaczniemy decydować problemy z postępem arytmetycznym, spójrzmy, co to jest sekwencja liczb, ponieważ postęp arytmetyczny jest szczególny przypadek sekwencja liczb.

Sekwencja liczb to zbiór liczb, którego każdy element ma swój własny numer seryjny . Elementy tego zbioru nazywane są elementami ciągu. Numer seryjny elementu sekwencji jest oznaczony indeksem:

Pierwszy element ciągu;

Piąty element ciągu;

- „n-ty” element ciągu, tj. element „stojący w kolejce” pod numerem n.

Istnieje związek pomiędzy wartością elementu sekwencji a jego numerem sekwencyjnym. Zatem sekwencję możemy traktować jako funkcję, której argumentem jest liczba porządkowa elementu ciągu. Inaczej mówiąc, możemy tak powiedzieć sekwencja jest funkcją argumentu naturalnego:

Kolejność można ustawić na trzy sposoby:

1 . Kolejność można określić za pomocą tabeli. W tym przypadku po prostu ustawiamy wartość każdego elementu sekwencji.

Na przykład Ktoś postanowił zająć się zarządzaniem czasem osobistym i na początek policzyć, ile czasu spędza na VKontakte w ciągu tygodnia. Zapisując czas w tabelce otrzyma sekwencję składającą się z siedmiu elementów:

Pierwszy wiersz tabeli wskazuje numer dnia tygodnia, drugi - czas w minutach. Widzimy to, czyli w poniedziałek Ktoś spędził na VKontakte 125 minut, czyli w czwartek - 248 minut, a czyli w piątek tylko 15.

2 . Sekwencję można określić za pomocą wzoru na n-ty wyraz.

W tym przypadku zależność wartości elementu ciągu od jego liczby wyraża się bezpośrednio w postaci wzoru.

Na przykład, jeśli , to

Aby znaleźć wartość elementu ciągu o podanej liczbie, podstawiamy numer elementu do wzoru na n-ty wyraz.

To samo robimy, jeśli chcemy znaleźć wartość funkcji, jeśli znana jest wartość argumentu. Podstawiamy wartość argumentu do równania funkcji:

Jeśli na przykład , To

Jeszcze raz zauważę, że w ciągu, w przeciwieństwie do dowolnej funkcji numerycznej, argumentem może być tylko liczba naturalna.

3 . Sekwencję można określić za pomocą wzoru wyrażającego zależność wartości członka sekwencji o numerze n od wartości poprzednich członków. W tym przypadku nie wystarczy znać tylko numer elementu ciągu, aby znaleźć jego wartość. Musimy określić pierwszego członka lub kilka pierwszych członków sekwencji.

Rozważmy na przykład sekwencję ,

Możemy znaleźć wartości członków sekwencji kolejno, zaczynając od trzeciego:

Oznacza to, że za każdym razem, aby znaleźć wartość n-tego wyrazu ciągu, wracamy do dwóch poprzednich. Ta metoda określania sekwencji nazywa się nawracający, od słowa łacińskiego powtarzalne- Wróć.

Teraz możemy zdefiniować postęp arytmetyczny. Postęp arytmetyczny jest prostym, specjalnym przypadkiem ciągu liczbowego.

Postęp arytmetyczny jest ciągiem liczbowym, którego każdy element, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby.

Numer jest wywoływany różnica postępu arytmetycznego. Różnica ciągu arytmetycznego może być dodatnia, ujemna lub równa zeru.

Jeśli tytuł="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} wzrastający.

Na przykład 2; 5; 8; jedenaście;...

Jeśli , to każdy wyraz postępu arytmetycznego jest mniejszy od poprzedniego i postęp jest malejące.

Na przykład 2; -1; -4; -7;...

Jeśli , to wszystkie wyrazy progresji są równe tej samej liczbie i progresja jest taka stacjonarny.

Na przykład 2;2;2;2;...

Główna właściwość postępu arytmetycznego:

Spójrzmy na zdjęcie.

Widzimy to

, i w tym samym czasie

Dodając te dwie równości, otrzymujemy:

.

Podzielmy obie strony równości przez 2:

Zatem każdy element ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej dwóch sąsiednich:

Co więcej, od

, i w tym samym czasie

, To

, i dlatego

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego rozpoczynający się od tytułu="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formuła wyrazu VII.

Widzimy, że wyrazy ciągu arytmetycznego spełniają następujące zależności:

i w końcu

Mamy wzór na n-ty wyraz.

WAŻNY! Dowolny element ciągu arytmetycznego można wyrazić za pomocą i. Znając pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, możesz znaleźć dowolny jego wyraz.

Suma n wyrazów postępu arytmetycznego.

W dowolnym postępie arytmetycznym sumy wyrazów w jednakowej odległości od skrajnych są sobie równe:

Rozważmy postęp arytmetyczny z n wyrazami. Niech suma n warunków tego postępu będzie równa .

Uporządkujmy warunki progresji najpierw w kolejności rosnącej liczb, a następnie w kolejności malejącej:

Dodajmy parami:

Suma w każdym nawiasie wynosi , liczba par wynosi n.

Otrzymujemy:

Więc, sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego można obliczyć korzystając ze wzorów:

Rozważmy rozwiązywanie problemów z postępem arytmetycznym.

1 . Sekwencję podaje wzór na n-ty wyraz: . Udowodnić, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

Udowodnimy, że różnica między dwoma sąsiednimi wyrazami ciągu jest równa tej samej liczbie.

Odkryliśmy, że różnica między dwoma sąsiednimi elementami ciągu nie zależy od ich liczby i jest stała. Zatem z definicji ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

2 . Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny -31; -27;...

a) Znajdź 31 wyrazów progresji.

b) Ustal, czy liczba 41 wchodzi w tę progresję.

A) Widzimy to ;

Zapiszmy wzór na n-ty wyraz naszej progresji.

Ogólnie

W naszym przypadku , Dlatego

Ucząc się algebry w szkole średniej (klasa 9) jeden z ważne tematy to nauka o ciągach liczbowych, do których zaliczają się postępy - geometryczny i arytmetyczny. W tym artykule przyjrzymy się postępowi arytmetycznemu i przykładom z rozwiązaniami.

Co to jest postęp arytmetyczny?

Aby to zrozumieć, należy zdefiniować omawianą progresję, a także podać podstawowe wzory, które będą później wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów.

Arytmetyczny lub jest zbiorem uporządkowanych liczb wymiernych, których każdy element różni się od poprzedniego pewną stałą wartością. Wartość tę nazywa się różnicą. Oznacza to, że znając dowolny element uporządkowanej serii liczb i różnicę, możesz przywrócić cały postęp arytmetyczny.

Podajmy przykład. Następujący ciąg liczb będzie postępem arytmetycznym: 4, 8, 12, 16, ..., ponieważ różnica w tym przypadku wynosi 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale zestawu liczb 3, 5, 8, 12, 17 nie można już przypisać rozważanemu rodzajowi progresji, ponieważ różnica dla niego nie jest wartością stałą (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Ważne formuły

Przedstawmy teraz podstawowe wzory, które będą potrzebne do rozwiązywania problemów z wykorzystaniem postępu arytmetycznego. Oznaczmy symbolem a n n-ty termin sekwencje, w których n jest liczbą całkowitą. Różnicę oznaczamy łacińską literą d. Wówczas obowiązują następujące wyrażenia:

1. Do określenia wartości n-tego wyrazu odpowiedni jest wzór: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Aby wyznaczyć sumę pierwszych n wyrazów: S n = (a n + a 1)*n/2.

Aby zrozumieć przykłady postępu arytmetycznego z rozwiązaniami w klasie 9, wystarczy zapamiętać te dwa wzory, ponieważ wszelkie rozważane problemy tego typu opierają się na ich zastosowaniu. Należy także pamiętać, że różnicę progresji wyznacza wzór: d = a n - a n-1.

Przykład nr 1: znalezienie nieznanego terminu

Podajmy prosty przykład postępu arytmetycznego i wzorów, których należy użyć, aby go rozwiązać.

Niech zostanie podana sekwencja 10, 8, 6, 4, ..., musisz znaleźć w niej pięć terminów.

Z warunków zadania wynika już, że znane są pierwsze 4 wyrazy. Piąty można zdefiniować na dwa sposoby:

1. Najpierw obliczmy różnicę. Mamy: d = 8 - 10 = -2. Podobnie można wziąć dowolnych dwóch innych członków stojących obok siebie. Na przykład d = 4 - 6 = -2. Ponieważ wiadomo, że d = a n - a n-1, to d = a 5 - a 4, z czego otrzymujemy: a 5 = a 4 + d. Podstawiamy znane wartości: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druga metoda również wymaga znajomości różnicy w rozpatrywanej progresji, więc najpierw trzeba ją określić, jak pokazano powyżej (d = -2). Wiedząc, że pierwszy wyraz a 1 = 10, używamy wzoru na liczbę n ciągu. Mamy: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Podstawiając n = 5 do ostatniego wyrażenia, otrzymujemy: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Jak widać oba rozwiązania doprowadziły do ​​tego samego rezultatu. Należy zauważyć, że w tym przykładzie różnica progresji d ma wartość ujemną. Takie ciągi nazywane są malejącymi, ponieważ każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.

Przykład nr 2: różnica w progresji

Teraz trochę skomplikujmy zadanie, podamy przykład, jak znaleźć różnicę postępu arytmetycznego.

Wiadomo, że w pewnym postępie algebraicznym pierwszy wyraz jest równy 6, a siódmy wyraz jest równy 18. Należy znaleźć różnicę i przywrócić ten ciąg do siódmego wyrazu.

Użyjmy wzoru do wyznaczenia nieznanego składnika: a n = (n - 1) * d + a 1 . Podstawiamy do niego znane dane z warunku, czyli liczby a 1 i a 7, mamy: 18 = 6 + 6 * d. Z tego wyrażenia można łatwo obliczyć różnicę: d = (18 - 6) /6 = 2. W ten sposób odpowiedzieliśmy na pierwszą część problemu.

Aby przywrócić ciąg do wyrazu 7, należy skorzystać z definicji ciągu algebraicznego, czyli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d i tak dalej. W efekcie przywracamy całą sekwencję: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , za 6 = 14 + 2 = 16, za 7 = 18.

Przykład nr 3: sporządzenie progresji

Skomplikujmy to jeszcze bardziej silniejszy stan zadania. Teraz musimy odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Można podać następujący przykład: podano dwie liczby, na przykład 4 i 5. Należy utworzyć ciąg algebraiczny, aby między nimi umieścić jeszcze trzy wyrazy.

Zanim przystąpisz do rozwiązywania tego problemu, musisz zrozumieć, jakie miejsce w przyszłej progresji zajmą dane liczby. Ponieważ będą między nimi jeszcze trzy wyrazy, to a 1 = -4 i a 5 = 5. Po ustaleniu tego przechodzimy do problemu, który jest podobny do poprzedniego. Ponownie, dla n-tego członu używamy wzoru i otrzymujemy: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, co tu otrzymaliśmy, nie jest całkowitą wartością różnicy, ale liczbą wymierną, więc wzory na postęp algebraiczny pozostają takie same.

Dodajmy teraz znalezioną różnicę do 1 i przywróćmy brakujące człony progresji. Otrzymujemy: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, co się pokrywało z warunkami problemu.

Przykład nr 4: pierwszy okres progresji

Kontynuujmy podawanie przykładów postępu arytmetycznego z rozwiązaniami. We wszystkich poprzednich zadaniach znana była pierwsza liczba ciągu algebraicznego. Rozważmy teraz problem innego typu: niech zostaną podane dwie liczby, gdzie a 15 = 50 i a 43 = 37. Należy dowiedzieć się, od której liczby zaczyna się ten ciąg.

Dotychczas stosowane wzory zakładają znajomość 1 i d. W opisie problemu nic nie wiadomo na temat tych liczb. Niemniej jednak dla każdego terminu zapiszemy wyrażenia, o których są dostępne informacje: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Otrzymaliśmy dwa równania, w których są 2 nieznane wielkości (a 1 i d). Oznacza to, że problem sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych.

Najprostszym sposobem rozwiązania tego układu jest wyrażenie 1 w każdym równaniu, a następnie porównanie otrzymanych wyrażeń. Pierwsze równanie: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; drugie równanie: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Przyrównując te wyrażenia otrzymujemy: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, skąd różnica d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (podawane są tylko 3 miejsca po przecinku).

Znając d, możesz użyć dowolnego z dwóch powyższych wyrażeń dla 1. Na przykład najpierw: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, możesz to sprawdzić, na przykład określić 43. wyraz progresji, który jest określony w warunku. Otrzymujemy: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Niewielki błąd wynika z faktu, że w obliczeniach zastosowano zaokrąglenia do części tysięcznych.

Przykład nr 5: kwota

Przyjrzyjmy się teraz kilku przykładom z rozwiązaniami sumy postępu arytmetycznego.

Niech będzie podany ciąg liczbowy postaci: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak obliczyć sumę 100 tych liczb?

Dzięki rozwojowi technologii komputerowej możliwe jest rozwiązanie tego problemu, czyli dodanie wszystkich liczb po kolei, co komputer zrobi, gdy tylko ktoś naciśnie klawisz Enter. Zadanie można jednak rozwiązać mentalnie, jeśli zwrócimy uwagę, że przedstawiony ciąg liczb jest ciągiem algebraicznym, a jego różnica jest równa 1. Stosując wzór na sumę otrzymujemy: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Co ciekawe, problem ten nazywa się „gaussowskim”, ponieważ na początku XVIII wieku słynny Niemiec, mając zaledwie 10 lat, potrafił go w głowie rozwiązać w ciągu kilku sekund. Chłopiec nie znał wzoru na sumę postępu algebraicznego, ale zauważył, że jeśli dodamy liczby na końcach ciągu parami, zawsze otrzymamy ten sam wynik, czyli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a ponieważ sumy te będą wynosić dokładnie 50 (100/2), to aby uzyskać poprawną odpowiedź, wystarczy pomnożyć 50 przez 101.

Przykład nr 6: suma wyrazów od n do m

Innym typowym przykładem sumy postępu arytmetycznego jest następujący: mając ciąg liczb: 3, 7, 11, 15, ..., musisz znaleźć, jaka będzie suma jego wyrazów od 8 do 14 .

Problem rozwiązuje się na dwa sposoby. Pierwsza z nich polega na odnalezieniu nieznanych wyrazów od 8 do 14, a następnie zsumowaniu ich po kolei. Ponieważ terminów jest niewiele, metoda ta nie jest dość pracochłonna. Niemniej jednak proponuje się rozwiązanie tego problemu za pomocą drugiej metody, która jest bardziej uniwersalna.

Chodzi o to, aby otrzymać wzór na sumę postępu algebraicznego pomiędzy wyrazami m i n, gdzie n > m są liczbami całkowitymi. W obu przypadkach zapisujemy dwa wyrażenia na sumę:

1. S m = m * (za m + za 1) / 2.
2. S n = n * (za n + za 1) / 2.

Ponieważ n > m, oczywiste jest, że druga suma zawiera pierwszą. Ostatni wniosek oznacza, że ​​jeśli weźmiemy różnicę między tymi sumami i dodamy do niej człon a m (w przypadku wzięcia różnicy jest on odejmowany od sumy S n), otrzymamy niezbędną odpowiedź na zadanie. Mamy: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Konieczne jest podstawienie w tym wyrażeniu wzorów na n i m. Następnie otrzymujemy: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = za 1 * (n - m + 1) + re * n * (n - 1) / 2 + re *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Otrzymany wzór jest nieco uciążliwy, jednak suma S mn zależy tylko od n, m, a 1 i d. W naszym przypadku a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Podstawiając te liczby otrzymujemy: S mn = 301.

Jak widać z powyższych rozwiązań, wszystkie problemy opierają się na znajomości wyrażenia na n-ty wyraz i wzorze na sumę zbioru pierwszych wyrazów. Przed przystąpieniem do rozwiązywania któregokolwiek z tych problemów zaleca się uważne przeczytanie warunku, jasne zrozumienie tego, co musisz znaleźć, i dopiero wtedy przystąpienie do rozwiązania.

Kolejną wskazówką jest dążenie do prostoty, to znaczy, jeśli możesz odpowiedzieć na pytanie bez stosowania skomplikowanych obliczeń matematycznych, musisz właśnie to zrobić, ponieważ w tym przypadku prawdopodobieństwo popełnienia błędu jest mniejsze. Przykładowo na przykładzie ciągu arytmetycznego z rozwiązaniem nr 6 można by zatrzymać się na wzorze S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, oraz podziel cały problem na osobne podzadania (w tym przypadku najpierw znajdź terminy a n i a m).

Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, zaleca się sprawdzenie go, tak jak to miało miejsce w niektórych podanych przykładach. Dowiedzieliśmy się, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Jeśli się domyślisz, nie jest to takie trudne.

Pierwszy poziom

Postęp arytmetyczny. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)

Sekwencja numerów

Usiądźmy więc i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:
Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz (w naszym przypadku są). Nieważne, ile liczb zapiszemy, zawsze możemy stwierdzić, która z nich jest pierwsza, która druga i tak dalej, aż do ostatniej, czyli możemy je policzyć. Oto przykład ciągu liczbowego:

Sekwencja numerów
Na przykład dla naszej sekwencji:

Przypisany numer jest specyficzny tylko dla jednego numeru w sekwencji. Innymi słowy, w sekwencji nie ma trzech sekund. Druga liczba (podobnie jak ta) jest zawsze taka sama.
Liczbę zawierającą liczbę nazywamy th wyrazem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

W naszym przypadku:

Załóżmy, że mamy ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Na przykład:

itp.
Ten ciąg liczb nazywany jest postępem arytmetycznym.
Termin „postęp” został wprowadzony przez rzymskiego autora Boecjusza już w VI wieku i był rozumiany szerzej jako nieskończony ciąg liczbowy. Nazwa „arytmetyka” została przeniesiona z teorii proporcji ciągłych, którą studiowali starożytni Grecy.

Jest to ciąg liczb, którego każdy element jest równy poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby. Liczba ta nazywana jest różnicą postępu arytmetycznego i jest oznaczona.

Spróbuj określić, które ciągi liczbowe są ciągiem arytmetycznym, a które nie:

A)
B)
C)
D)

Rozumiem? Porównajmy nasze odpowiedzi:
Jest postęp arytmetyczny - b, c.
Nie jest postęp arytmetyczny - a, d.

Wróćmy do zadanego ciągu () i spróbujmy znaleźć wartość jego th wyrazu. Istnieje dwa sposób, aby to znaleźć.

1. Metoda

Numer progresji możemy dodawać do poprzedniej wartości, aż dotrzemy do V wyrazu progresji. Dobrze, że nie mamy zbyt wiele do podsumowania – tylko trzy wartości:

Zatem termin opisywanego postępu arytmetycznego jest równy.

2. Metoda

Co by było, gdybyśmy musieli znaleźć wartość th wyrazu progresji? Sumowanie zajęłoby nam ponad godzinę i nie jest faktem, że przy dodawaniu liczb nie popełnialibyśmy błędów.
Oczywiście matematycy wymyślili sposób, dzięki któremu nie jest konieczne dodawanie różnicy postępu arytmetycznego do poprzedniej wartości. Przyjrzyj się bliżej narysowanemu obrazkowi... Z pewnością zauważyłeś już pewien wzór, a mianowicie:

Zobaczmy na przykład, z czego składa się wartość V wyrazu tego ciągu arytmetycznego:


Innymi słowy:

Spróbuj w ten sposób samodzielnie znaleźć wartość członka danego ciągu arytmetycznego.

Czy obliczyłeś? Porównaj swoje notatki z odpowiedzią:

Zwróć uwagę, że otrzymałeś dokładnie tę samą liczbę, co w poprzedniej metodzie, gdy do poprzedniej wartości dodaliśmy kolejno wyrazy postępu arytmetycznego.
Spróbujmy „odpersonalizować” tę formułę – wprowadźmy ją w życie forma ogólna i otrzymujemy:

Równanie postępu arytmetycznego.

Postęp arytmetyczny może być rosnący lub malejący.

Wzrastający- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest większa od poprzedniej.
Na przykład:

Malejąco- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest mniejsza od poprzedniej.
Na przykład:

Wyprowadzony wzór jest używany do obliczania wyrazów zarówno rosnących, jak i malejących ciągu arytmetycznego.
Sprawdźmy to w praktyce.
Dany jest postęp arytmetyczny składający się z następujących liczb: Sprawdźmy, jaka będzie liczba th tego ciągu arytmetycznego, jeśli do jej obliczenia skorzystamy z naszego wzoru:

Od tego czasu:

Jesteśmy zatem przekonani, że wzór działa zarówno w malejącym, jak i rosnącym postępie arytmetycznym.
Spróbuj samodzielnie znaleźć th i th wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Porównajmy wyniki:

Właściwość postępu arytmetycznego

Skomplikujmy problem - wyprowadzimy własność postępu arytmetycznego.
Powiedzmy, że mamy następujący warunek:
- postęp arytmetyczny, znajdź wartość.
Spokojnie, mówisz i zaczynasz liczyć według znanego już wzoru:

Niech więc:

Całkowita racja. Okazuje się, że najpierw znajdujemy, potem dodajemy do pierwszej liczby i otrzymujemy to, czego szukamy. Jeśli postęp jest reprezentowany przez małe wartości, to nie ma w tym nic skomplikowanego, ale co, jeśli w warunku podane zostaną liczby? Zgadzam się, istnieje możliwość popełnienia błędu w obliczeniach.
Zastanów się teraz, czy można rozwiązać to zadanie w jednym kroku, stosując dowolną formułę? Oczywiście, że tak i właśnie to postaramy się teraz przedstawić.

Oznaczmy wymagany wyraz ciągu arytmetycznego, gdyż wzór na jego znalezienie jest nam znany - jest to ten sam wzór, który wyprowadziliśmy na początku:
, Następnie:

• poprzedni termin progresji to:
• kolejny wyraz progresji to:

Podsumujmy poprzednie i kolejne terminy progresji:

Okazuje się, że sumą poprzednich i kolejnych wyrazów progresji jest podwójna wartość członu progresji znajdującego się pomiędzy nimi. Innymi słowy, aby znaleźć wartość składnika progresji ze znanymi wartościami poprzednimi i kolejnymi, należy je dodać i podzielić przez.

Zgadza się, mamy ten sam numer. Zabezpieczmy materiał. Oblicz wartość progresji samodzielnie, nie jest to wcale trudne.

Dobrze zrobiony! O progresji wiesz prawie wszystko! Pozostaje znaleźć tylko jedną formułę, którą według legendy z łatwością wydedukował jeden z największych matematyków wszechczasów, „król matematyków” - Karl Gauss...

Kiedy Carl Gauss miał 9 lat, nauczyciel, zajęty sprawdzaniem prac uczniów w innych klasach, postawił na zajęciach następujące zadanie: „Obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych od do (według innych źródeł do) włącznie”. Wyobraźcie sobie zdziwienie nauczyciela, gdy jeden z jego uczniów (był to Karl Gauss) minutę później podał poprawną odpowiedź na zadanie, podczas gdy większość kolegów śmiałka po długich obliczeniach otrzymała błędny wynik…

Młody Carl Gauss zauważył pewien wzór, który i Ty możesz łatwo zauważyć.
Załóżmy, że mamy postęp arytmetyczny składający się z -tych wyrazów: Musimy znaleźć sumę tych wyrazów postępu arytmetycznego. Oczywiście możemy ręcznie zsumować wszystkie wartości, ale co jeśli zadanie wymaga znalezienia sumy jej wyrazów, tak jak szukał Gauss?

Przedstawmy dany nam postęp. Przyjrzyj się bliżej wyróżnionym liczbom i spróbuj wykonać na nich różne operacje matematyczne.


Próbowałeś tego? Co zauważyłeś? Prawidłowy! Ich sumy są równe

A teraz powiedz mi, ile takich par jest w sumie w podanej nam progresji? Oczywiście dokładnie połowa wszystkich liczb.
Z faktu, że suma dwóch wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa i pary podobne są równe, otrzymujemy, że suma całkowita jest równa:
.
Zatem wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

W niektórych problemach nie znamy terminu „th”, ale znamy różnicę w postępie. Spróbuj zastąpić wzór tego wyrazu wzorem na sumę.
Co dostałeś?

Dobrze zrobiony! Wróćmy teraz do problemu, który został zadany Carlowi Gaussowi: obliczcie sami, jaka jest suma liczb zaczynających się od th, a suma liczb zaczynających się od th.

Ile dostałeś?
Gauss stwierdził, że suma wyrazów jest równa i suma wyrazów. Czy tak zdecydowałeś?

W rzeczywistości wzór na sumę wyrazów postępu arytmetycznego został udowodniony przez starożytnego greckiego naukowca Diofantusa już w III wieku i przez cały ten czas dowcipni ludzie w pełni korzystali z właściwości postępu arytmetycznego.
Na przykład wyobraź sobie Starożytny Egipt i największy projekt budowlany tamtych czasów - budowa piramidy... Na zdjęciu jedna jej strona.

Gdzie tu jest postęp, mówisz? Przyjrzyj się uważnie i znajdź wzór w liczbie bloków piasku w każdym rzędzie ściany piramidy.


Dlaczego nie postęp arytmetyczny? Oblicz, ile bloków potrzeba do zbudowania jednej ściany, jeśli u podstawy ułożone zostaną cegły blokowe. Mam nadzieję, że nie będziesz liczyć, przesuwając palcem po monitorze, pamiętasz ostatnią formułę i wszystko, co mówiliśmy o postępie arytmetycznym?

W tym przypadku progresja wygląda następująco: .
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba wyrazów postępu arytmetycznego.
Podstawmy nasze dane do ostatnich wzorów (obliczmy liczbę bloków na 2 sposoby).

Metoda 1.

Metoda 2.

A teraz możesz obliczyć na monitorze: porównaj uzyskane wartości z liczbą bloków znajdujących się w naszej piramidzie. Rozumiem? Dobra robota, opanowałeś sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Oczywiście nie można zbudować piramidy z klocków u podstawy, ale z? Spróbuj obliczyć, ile cegieł piaskowych potrzeba do zbudowania ściany w tym stanie.
Czy udało Ci się?
Prawidłowa odpowiedź to bloki:

Szkolenie

Zadania:

1. Masza robi formę na lato. Z każdym dniem zwiększa liczbę przysiadów o. Ile razy Masza będzie robić przysiady w ciągu tygodnia, jeśli robiła przysiady na pierwszej sesji treningowej?
2. Jaka jest suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w.
3. Podczas przechowywania kłód logerzy układają je w stosy w taki sposób, aby każda Górna warstwa zawiera o jeden dziennik mniej niż poprzedni. Ile kłód znajduje się w jednym murze, jeśli fundamentem muru są kłody?

Odpowiedzi:

1. Zdefiniujmy parametry postępu arytmetycznego. W tym przypadku
   (tygodnie = dni).

   Odpowiedź: Za dwa tygodnie Masza powinna robić przysiady raz dziennie.

2. Pierwsza liczba nieparzysta, ostatnia liczba.
   Różnica postępu arytmetycznego.
   Liczba liczb nieparzystych jest równa połowie, sprawdźmy jednak ten fakt korzystając ze wzoru na znalezienie VII wyrazu ciągu arytmetycznego:

   Liczby zawierają liczby nieparzyste.
   Podstawmy dostępne dane do wzoru:

   Odpowiedź: Suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w jest równa.

3. Przypomnijmy sobie problem z piramidami. W naszym przypadku a , ponieważ każda górna warstwa jest zmniejszona o jeden log, to w sumie mamy kilka warstw.
   Podstawiamy dane do wzoru:

   Odpowiedź: W murze znajdują się kłody.

Podsumujmy to

1. - ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa. Może rosnąć lub maleć.
2. Znalezienie formuły Piąty wyraz ciągu arytmetycznego zapisuje się wzorem - , gdzie jest liczba liczb w ciągu.
3. Własność członków ciągu arytmetycznego- - gdzie jest liczbą numerów w toku.
4. Suma wyrazów postępu arytmetycznego można znaleźć na dwa sposoby:
   
   , gdzie jest liczbą wartości.

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. ŚREDNI POZIOM

Sekwencja numerów

Usiądźmy i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:

Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz. Ale zawsze możemy powiedzieć, który jest pierwszy, który drugi i tak dalej, to znaczy możemy je policzyć. To jest przykład ciągu liczbowego.

Sekwencja numerów to zbiór liczb, z których każdej można przypisać unikalny numer.

Innymi słowy, każdą liczbę można powiązać z pewną liczbą naturalną i to niepowtarzalną. I nie przypiszemy tego numeru żadnemu innemu numerowi z tego zestawu.

Liczbę z liczbą nazywamy th członkiem ciągu.

Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .

Jest to bardzo wygodne, jeśli th-ty wyraz ciągu można określić za pomocą jakiegoś wzoru. Na przykład formuła

ustawia kolejność:

A formuła jest następującą sekwencją:

Na przykład postęp arytmetyczny jest ciągiem (pierwszy wyraz jest tutaj równy, a różnica jest). Lub (, różnica).

Wzór n-ty wyraz

Nazywamy formułą rekurencyjną, w której aby znaleźć th wyraz, trzeba znać poprzednie lub kilka poprzednich:

Aby znaleźć na przykład dziewiąty wyraz progresji za pomocą tego wzoru, będziemy musieli obliczyć poprzednie dziewięć. Na przykład pozwól. Następnie:

Czy teraz jest jasne, jaka jest formuła?

W każdym wierszu dodajemy, pomnożyliśmy przez jakąś liczbę. Który? Bardzo proste: jest to numer bieżącego członka minus:

Teraz znacznie wygodniej, prawda? Sprawdzamy:

Zdecyduj sam:

W postępie arytmetycznym znajdź wzór na n-ty wyraz i znajdź setny wyraz.

Rozwiązanie:

Pierwszy wyraz jest równy. Jaka jest różnica? Oto co:

(Dlatego nazywa się to różnicą, bo jest równe różnicy kolejnych wyrazów postępu).

Zatem formuła:

Wtedy setny wyraz jest równy:

Jaka jest suma wszystkich liczb naturalnych od do?

Według legendy wielki matematyk Carl Gauss już jako 9-letni chłopiec obliczył tę kwotę w kilka minut. Zauważył, że suma pierwszej i ostatniej liczby jest równa, suma drugiej i przedostatniej jest taka sama, suma trzeciej i trzeciej od końca jest taka sama i tak dalej. Ile jest w sumie takich par? Zgadza się, to znaczy dokładnie połowa liczby wszystkich liczb. Więc,

Ogólny wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

Przykład:
Znajdź sumę wszystkich liczby dwucyfrowe, wielokrotności.

Rozwiązanie:

Pierwsza taka liczba to ta. Każdą kolejną liczbę uzyskujemy poprzez dodanie do poprzedniej liczby. Zatem interesujące nas liczby tworzą ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem i różnicą.

Formuła wyrazu VII dla tej progresji:

Ile wyrazów jest w progresji, jeśli wszystkie muszą być dwucyfrowe?

Bardzo łatwe: .

Ostatni termin progresji będzie równy. Następnie suma:

Odpowiedź: .

Teraz zdecyduj sam:

1. Każdego dnia zawodnik przebiega więcej metrów niż poprzedniego dnia. Ile kilometrów przebiegnie w ciągu tygodnia, jeśli pierwszego dnia przebiegł km?
2. Rowerzysta pokonuje każdego dnia więcej kilometrów niż poprzedniego dnia. Pierwszego dnia przejechał km. Ile dni musi podróżować, aby pokonać kilometr? Ile kilometrów przejedzie ostatniego dnia swojej podróży?
3. Cena lodówki w sklepie spada co roku o tę samą kwotę. Oblicz, o ile cena lodówki spadała każdego roku, jeśli wystawiona na sprzedaż za ruble, sześć lat później została sprzedana za ruble.

Odpowiedzi:

1. Najważniejsze jest tutaj rozpoznanie postępu arytmetycznego i określenie jego parametrów. W tym przypadku (tygodnie = dni). Musisz określić sumę pierwszych wyrazów tej progresji:
   .
   Odpowiedź:
2. Tutaj jest podane: , należy znaleźć.
   Oczywiście musisz użyć tego samego wzoru na sumę, co w poprzednim zadaniu:
   .
   Zastąp wartości:

   Katalog główny najwyraźniej nie pasuje, więc odpowiedź brzmi.
   Obliczmy drogę przebytą w ciągu ostatniego dnia, korzystając ze wzoru na wyraz:
   (km).
   Odpowiedź:

3. Dany: . Znajdować: .
   To nie może być prostsze:
   (pocierać).
   Odpowiedź:

PROGRESJA ARYTMETYCZNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Jest to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.

Postęp arytmetyczny może być rosnący () i malejący ().

Na przykład:

Wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego

jest zapisywany wzorem, gdzie jest liczbą numerów w postępie.

Własność członków ciągu arytmetycznego

Pozwala łatwo znaleźć członka progresji, jeśli znane są jego sąsiadujące elementy - gdzie jest liczba numerów w progresji.

Suma wyrazów postępu arytmetycznego

Istnieją dwa sposoby znalezienia kwoty:

Gdzie jest liczba wartości.

Gdzie jest liczba wartości.

Na przykład sekwencja \(2\); \(5\); \(8\); \(jedenaście\); \(14\)... jest postępem arytmetycznym, gdyż każdy kolejny element różni się od poprzedniego o trzy (można uzyskać z poprzedniego dodając trzy):

W tym postępie różnica \(d\) jest dodatnia (równa \(3\)), a zatem każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. Takie postępy nazywane są wzrastający.

Jednak \(d\) może być również Liczba ujemna. Na przykład, w postępie arytmetycznym \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... różnica progresji \(d\) jest równa minus sześć.

I w tym przypadku każdy kolejny element będzie mniejszy od poprzedniego. Te progresje nazywane są malejące.

Notacja postępu arytmetycznego

Postęp jest oznaczony małą literą łacińską.

Liczby tworzące progresję nazywane są członkowie(lub elementy).

Oznacza się je tą samą literą co ciąg arytmetyczny, ale z indeksem liczbowym równym numerowi elementu w kolejności.

Na przykład ciąg arytmetyczny \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) składa się z elementów \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tak dalej.

Innymi słowy, dla progresji \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rozwiązywanie problemów z postępem arytmetycznym

W zasadzie informacje przedstawione powyżej wystarczą już do rozwiązania prawie każdego problemu postępu arytmetycznego (w tym oferowanych w OGE).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(b_1=7; d=4\). Znajdź \(b_5\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_5=23\)

Przykład (OGE). Podano trzy pierwsze wyrazy postępu arytmetycznego: \(62; 49; 36…\) Znajdź wartość pierwszego ujemnego wyrazu tego ciągu.
Rozwiązanie:

	Mamy dane pierwsze elementy ciągu i wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny. Oznacza to, że każdy element różni się od swojego sąsiada tą samą liczbą. Dowiedzmy się który, odejmując poprzedni od następnego elementu: \(d=49-62=-13\).
	Teraz możemy przywrócić naszą progresję do (pierwszego negatywnego) elementu, którego potrzebujemy.
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: \(-3\)

Przykład (OGE). Mając kilka kolejnych elementów ciągu arytmetycznego: \(…5; x; 10; 12,5...\) Znajdź wartość elementu oznaczonego literą \(x\).
Rozwiązanie:

	Aby znaleźć \(x\), musimy wiedzieć, jak bardzo następny element różni się od poprzedniego, innymi słowy, różnica w progresji. Znajdźmy go na podstawie dwóch znanych sąsiednich elementów: \(d=12,5-10=2,5\).
	I teraz możemy łatwo znaleźć to, czego szukamy: \(x=5+2,5=7,5\).
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: \(7,5\).

Przykład (OGE). Podano postęp arytmetyczny następujące warunki: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Znajdź sumę pierwszych sześciu wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:

	Musimy znaleźć sumę pierwszych sześciu wyrazów progresji. Nie znamy jednak ich znaczenia; podano nam jedynie pierwszy element. Dlatego najpierw obliczamy wartości jedna po drugiej, korzystając z tego, co nam podano: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Po obliczeniu sześciu potrzebnych nam elementów znajdujemy ich sumę.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Znaleziono wymaganą kwotę.

Odpowiedź: \(S_6=9\).

Przykład (OGE). W postępie arytmetycznym \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Znajdź różnicę tego postępu.
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(d=7\).

Ważne wzory na postęp arytmetyczny

Jak widać, wiele problemów z postępem arytmetycznym można rozwiązać po prostu rozumiejąc najważniejszą rzecz - że ciąg arytmetyczny jest ciągiem liczb, a każdy kolejny element w tym łańcuchu uzyskuje się przez dodanie tej samej liczby do poprzedniej (tj. różnica w postępie).

Czasami jednak zdarzają się sytuacje, w których podjęcie decyzji „od razu” jest bardzo niewygodne. Wyobraźmy sobie na przykład, że w pierwszym przykładzie musimy znaleźć nie piąty element \(b_5\), ale trzysta osiemdziesiąty szósty \(b_(386)\). Czy musimy dodać cztery \(385\) razy? Lub wyobraź sobie, że w przedostatnim przykładzie musisz znaleźć sumę pierwszych siedemdziesięciu trzech elementów. Będziesz zmęczony liczeniem...

Dlatego w takich przypadkach nie rozwiązują spraw „od razu”, ale posługują się specjalnymi wzorami wyprowadzonymi na postęp arytmetyczny. A najważniejsze to wzór na n-ty wyraz progresji i wzór na sumę \(n\) pierwszych wyrazów.

Wzór \(n\)tego wyrazu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdzie \(a_1\) jest pierwszym wyrazem ciągu;
\(n\) – numer wymaganego elementu;
\(a_n\) – wyraz ciągu o numerze \(n\).

Formuła ta pozwala nam szybko znaleźć nawet trzysetny lub milionowy element, znając tylko pierwszy i różnicę progresji.

Przykład. Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Znajdź \(b_(246)\).
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(b_(246)=1850\).

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdzie

\(a_n\) – ostatni zsumowany wyraz;

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny jest określony przez warunki \(a_n=3,4n-0,6\). Znajdź sumę pierwszych \(25\) wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Aby obliczyć sumę pierwszych dwudziestu pięciu wyrazów, musimy znać wartość pierwszego i dwudziestego piątego wyrazu. Naszą progresję wyznacza wzór n-tego wyrazu w zależności od jego liczby (więcej szczegółów w artykule). Obliczmy pierwszy element, zastępując jedynką \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Teraz znajdźmy dwudziesty piąty wyraz, zastępując dwadzieścia pięć zamiast \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Cóż, teraz możemy łatwo obliczyć wymaganą kwotę.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: \(S_(25)=1090\).

Na sumę \(n\) pierwszych wyrazów możesz uzyskać inny wzór: wystarczy \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) zamiast \(a_n\) zamień na to wzór \(a_n=a_1+(n-1)d\). Otrzymujemy:

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdzie

\(S_n\) – wymagana suma \(n\) pierwszych elementów;
\(a_1\) – pierwszy wyraz zsumowany;
\(d\) – różnica progresji;
\(n\) – liczba elementów sumy.

Przykład. Znajdź sumę pierwszych \(33\)-ex wyrazów ciągu arytmetycznego: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Rozwiązanie:

Odpowiedź: \(S_(33)=-231\).

Bardziej złożone problemy postępu arytmetycznego

Teraz masz wszystko niezbędne informacje do rozwiązania prawie każdego problemu postępu arytmetycznego. Zakończmy temat rozważeniem problemów, w których trzeba nie tylko zastosować formuły, ale i trochę pomyśleć (w matematyce może się to przydać ☺)

Przykład (OGE). Znajdź sumę wszystkich ujemnych wyrazów progresji: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rozwiązanie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego. Zaczynamy rozwiązywać to samo: najpierw znajdujemy \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz chciałbym podstawić \(d\) do wzoru na sumę... i tu pojawia się mały niuans - nie wiemy \(n\). Innymi słowy, nie wiemy, ile terminów trzeba będzie dodać. Jak się dowiedzieć? Pomyślmy. Przestaniemy dodawać elementy, gdy osiągniemy pierwszy pozytywny element. Oznacza to, że musisz znaleźć numer tego elementu. Jak? Zapiszmy dla naszego przypadku wzór na obliczenie dowolnego elementu ciągu arytmetycznego: \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Potrzebujemy \(a_n\), aby stać się większym od zera. Dowiedzmy się, kiedy \(n\) to się stanie.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obie strony nierówności dzielimy przez \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Przenosimy minus jeden, nie zapominając o zmianie znaków
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Obliczmy...
\(n>65 333…\)		...i okazuje się, że pierwszy dodatni element będzie miał liczbę \(66\). Odpowiednio, ostatnia liczba ujemna ma \(n=65\). Na wszelki wypadek sprawdźmy to.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Musimy więc dodać pierwsze \(65\) elementy.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: \(S_(65)=-630,5\).

Przykład (OGE). Postęp arytmetyczny określony jest przez warunki: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Znajdź sumę od \(26\) do \(42\) elementu włącznie.
Rozwiązanie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	W tym zadaniu również trzeba znaleźć sumę elementów, ale zaczynając nie od pierwszego, ale od \(26\)-tego. Na taki przypadek nie mamy wzoru. Jak zdecydować? To proste - aby otrzymać sumę od \(26\)-tej do \(42\)-tej, musisz najpierw znaleźć sumę od \(1\)-tej do \(42\)-tej, a następnie odjąć z niego suma od pierwszej do (25) (patrz rysunek).
	Dla naszej progresji \(a_1=-33\) i różnicy \(d=4\) (w końcu dodajemy czwórkę do poprzedniego elementu, żeby znaleźć następny). Wiedząc o tym, znajdujemy sumę pierwszych \(42\)-y elementów.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz suma pierwszych \(25\) elementów.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Na koniec obliczamy odpowiedź.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Odpowiedź: \(S=1683\).

W przypadku postępu arytmetycznego istnieje jeszcze kilka formuł, których nie rozważaliśmy w tym artykule ze względu na ich niską przydatność praktyczną. Można je jednak łatwo znaleźć.