Postęp arytmetyczny nazwij ciąg liczb (elementów ciągu)

W którym każdy kolejny termin różni się od poprzedniego terminem stalowym, który jest również nazywany krok lub różnica progresji.

Tak więc, ustalając krok progresji i jej pierwszy wyraz, można znaleźć dowolny jej element za pomocą wzoru

Własności ciągu arytmetycznego

1) Każdy członek ciągu arytmetycznego, począwszy od drugiej liczby, jest średnią arytmetyczną poprzedniego i następnego członka ciągu

Odwrotność jest również prawdziwa. Jeśli średnia arytmetyczna sąsiednich nieparzystych (parzystych) elementów ciągu jest równa członowi, który stoi między nimi, to ten ciąg liczb jest postępem arytmetycznym. Dzięki temu twierdzeniu bardzo łatwo jest sprawdzić dowolną sekwencję.

Również na podstawie właściwości postępu arytmetycznego powyższy wzór można uogólnić na następujący

Łatwo to sprawdzić, jeśli wyrazy zapiszemy po prawej stronie znaku równości

W praktyce jest często używany do uproszczenia obliczeń w problemach.

2) Suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego jest obliczana według wzoru

Zapamiętaj dobrze wzór na sumę ciągu arytmetycznego, jest on niezbędny w obliczeniach i dość powszechny w prostych sytuacjach życiowych.

3) Jeśli potrzebujesz znaleźć nie całą sumę, ale część ciągu zaczynając od jego k-tego elementu, to przyda ci się następujący wzór na sumę

4) Praktyczne znaczenie ma znalezienie sumy n elementów ciągu arytmetycznego, począwszy od k-tej liczby. Aby to zrobić, użyj formuły

Na tym kończy się materiał teoretyczny i przechodzimy do rozwiązywania problemów często spotykanych w praktyce.

Przykład 1. Znajdź czterdziesty wyraz ciągu arytmetycznego 4;7;...

Rozwiązanie:

Zgodnie z warunkiem mamy

Zdefiniuj krok progresji

Zgodnie ze znanym wzorem znajdujemy czterdziesty termin progresji

Przykład2. Postęp arytmetyczny jest określony przez jego trzeci i siódmy element. Znajdź pierwszy wyraz progresji i sumę dziesięciu.

Rozwiązanie:

Podane elementy progresji wpisujemy według wzorów

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego równania, w wyniku czego znajdujemy krok progresji

Znaleziona wartość jest podstawiana do dowolnego równania, aby znaleźć pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego

Oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów progresji

Bez stosowania skomplikowanych obliczeń znaleźliśmy wszystkie wymagane wartości.

Przykład 3. Postęp arytmetyczny jest dany przez mianownik i jedną z jego składowych. Znajdź pierwszy wyraz progresji, sumę jego 50 wyrazów, zaczynając od 50, oraz sumę pierwszych 100.

Rozwiązanie:

Napiszmy wzór na setny element progresji

i znaleźć pierwszy

Na podstawie pierwszego znajdujemy 50-ty okres progresji

Znalezienie sumy części progresji

i suma pierwszych 100

Suma progresji wynosi 250.

Przykład 4

Znajdź liczbę członków ciągu arytmetycznego, jeśli:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Rozwiązanie:

Zapisujemy równania pod względem pierwszego wyrazu i kroku postępu i definiujemy je

Otrzymane wartości podstawiamy do wzoru na sumę, aby określić liczbę wyrazów w sumie

Dokonywanie uproszczeń

i zdecyduj równanie kwadratowe

Spośród dwóch znalezionych wartości tylko liczba 8 jest odpowiednia dla stanu problemu. Zatem suma pierwszych ośmiu warunków progresji wynosi 111.

Przykład 5

Rozwiązać równanie

1+3+5+...+x=307.

Rozwiązanie: To równanie jest sumą ciągu arytmetycznego. Piszemy jego pierwszy wyraz i znajdujemy różnicę postępu

Tak, tak: postęp arytmetyczny to nie zabawka dla Ciebie :)

Cóż, przyjaciele, jeśli czytacie ten tekst, to wewnętrzny dowód cap mówi mi, że nadal nie wiecie, co to jest postęp arytmetyczny, ale naprawdę (nie, w ten sposób: SOOOOO!) chcecie wiedzieć. Dlatego nie będę męczyć Cię długimi wstępami i od razu przejdę do rzeczy.

Na początek kilka przykładów. Rozważ kilka zestawów liczb:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Co łączy te wszystkie zestawy? Na pierwszy rzut oka nic. Ale faktycznie coś jest. Mianowicie: każdy kolejny element różni się od poprzedniego o ten sam numer.

Sędzia dla siebie. Pierwszy zestaw to po prostu kolejne numery, każdy o jeden większy od poprzedniego. W drugim przypadku różnica między numery stojące jest już równe pięć, ale ta różnica jest nadal stała. W trzecim przypadku generalnie istnieją korzenie. Jednak $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, podczas gdy $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. w takim przypadku każdy następny element po prostu zwiększa się o $\sqrt(2)$ (i nie bój się, że ta liczba jest niewymierna).

A więc: wszystkie takie ciągi nazywane są po prostu ciągami arytmetycznymi. Podajmy ścisłą definicję:

Definicja. Ciąg liczb, w którym każda następna różni się od poprzedniej o dokładnie taką samą wartość, nazywamy postępem arytmetycznym. Sama kwota, o którą różnią się liczby, nazywana jest różnicą progresji i jest najczęściej oznaczana literą $d$.

Notacja: $\left(((a)_(n)) \right)$ to sama progresja, $d$ to jej różnica.

I tylko kilka ważnych uwag. Po pierwsze, brana jest pod uwagę tylko progresja uporządkowany ciąg liczb: wolno je czytać ściśle w kolejności, w jakiej zostały zapisane - i nic więcej. Nie możesz zmieniać kolejności ani zamieniać numerów.

Po drugie, sama sekwencja może być skończona lub nieskończona. Na przykład zbiór (1; 2; 3) jest oczywiście skończonym postępem arytmetycznym. Ale jeśli napiszesz coś takiego jak (1; 2; 3; 4; ...) - to już nieskończony postęp. Wielokropek po czwórce niejako sugeruje, że całkiem sporo liczb idzie dalej. Na przykład nieskończenie wiele :)

Chciałbym również zauważyć, że progresje rosną i maleją. Widzieliśmy już rosnące - ten sam zestaw (1; 2; 3; 4; ...). Oto przykłady postępów malejących:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Dobra, dobra: ostatni przykład może wydawać się zbyt skomplikowany. Ale resztę, jak sądzę, rozumiesz. Dlatego wprowadzamy nowe definicje:

Definicja. Postęp arytmetyczny nazywa się:

1. rosnący, jeśli każdy kolejny element jest większy od poprzedniego;
2. malejący, jeśli wręcz przeciwnie, każdy kolejny element jest mniejszy niż poprzedni.

Do tego dochodzą tak zwane ciągi „stacjonarne” – składają się one z tej samej powtarzającej się liczby. Na przykład (3; 3; 3; ...).

Pozostaje tylko jedno pytanie: jak odróżnić postęp rosnący od malejącego? Na szczęście tutaj wszystko zależy tylko od znaku liczby $d$, czyli różnice w progresji:

1. Jeśli $d \gt 0$, to postęp jest rosnący;
2. Jeśli $d \lt 0$, to progresja oczywiście maleje;
3. Wreszcie mamy przypadek $d=0$ — w tym przypadku cały postęp sprowadza się do stacjonarnego ciągu identycznych liczb: (1; 1; 1; 1; ...) itd.

Spróbujmy obliczyć różnicę $d$ dla trzech postępów malejących powyżej. Aby to zrobić, wystarczy wziąć dowolne dwa sąsiednie elementy (na przykład pierwszy i drugi) i od liczby po prawej stronie odjąć liczbę po lewej stronie. będzie wyglądać tak:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Jak widać, we wszystkich trzech przypadkach różnica rzeczywiście okazała się ujemna. A teraz, gdy mniej więcej ustaliliśmy definicje, nadszedł czas, aby dowiedzieć się, jak opisywane są progresje i jakie mają właściwości.

Członkowie progresji i formuły rekurencyjnej

Ponieważ elementów naszych sekwencji nie można zamieniać miejscami, można je ponumerować:

\[\lewo(((a)_(n)) \right)=\lewo\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \Prawidłowy\)\]

Poszczególne elementy tego zestawu nazywane są członkami progresji. Są one oznaczone w ten sposób za pomocą liczby: pierwszy członek, drugi członek i tak dalej.

Ponadto, jak już wiemy, sąsiednie elementy progresji są powiązane wzorem:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Strzałka w prawo ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Krótko mówiąc, aby znaleźć n-ty wyraz progresji, musisz znać n-1-ty wyraz i różnicę $d$. Taka formuła nazywana jest rekurencyjną, ponieważ za jej pomocą można znaleźć dowolną liczbę, znając tylko poprzednią (a właściwie wszystkie poprzednie). Jest to bardzo niewygodne, więc istnieje bardziej skomplikowana formuła, która ogranicza wszelkie obliczenia do pierwszego wyrazu i różnicy:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Zapewne spotkałeś się już z tą formułą. Lubią to podawać we wszelkiego rodzaju podręcznikach i reshebnikach. I w każdym sensownym podręczniku do matematyki jest jednym z pierwszych.

Radzę jednak trochę poćwiczyć.

Zadanie numer 1. Zapisz pierwsze trzy wyrazy ciągu arytmetycznego $\left(((a)_(n)) \right)$, jeśli $((a)_(1))=8,d=-5$.

Rozwiązanie. Znamy więc pierwszy wyraz $((a)_(1))=8$ i różnicę progresji $d=-5$. Użyjmy podanego wzoru i podstawmy $n=1$, $n=2$ i $n=3$:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(wyrównaj)\]

Odpowiedź: (8; 3; -2)

To wszystko! Zauważ, że nasz postęp maleje.

Oczywiście $n=1$ nie mogło zostać podstawione - znamy już pierwszy wyraz. Jednak podstawiając jednostkę upewniliśmy się, że nawet przez pierwszy wyraz nasza formuła zadziała. W innych przypadkach wszystko sprowadzało się do banalnej arytmetyki.

Zadanie numer 2. Wypisz pierwsze trzy wyrazy ciągu arytmetycznego, jeśli jego siódmy wyraz to −40, a siedemnasty wyraz to −50.

Rozwiązanie. Piszemy stan problemu w zwykły sposób:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Prawidłowy.\]

Stawiam znak systemu, ponieważ te wymagania muszą być spełnione jednocześnie. A teraz zauważmy, że jeśli odejmiemy pierwsze równanie od drugiego równania (mamy do tego prawo, bo mamy układ), otrzymamy to:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(wyrównaj)\]

Tak po prostu znaleźliśmy różnicę w postępach! Pozostaje zastąpić znalezioną liczbę w dowolnym z równań układu. Na przykład w pierwszym:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \strzałka w dół \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(macierz)\]

Teraz, znając pierwszy termin i różnicę, pozostaje znaleźć drugi i trzeci termin:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(wyrównaj)\]

Gotowy! Problem rozwiązany.

Odpowiedź: (-34; -35; -36)

Zwróć uwagę na ciekawą właściwość progresji, którą odkryliśmy: jeśli weźmiemy wyrazy $n$th i $m$th i odejmiemy je od siebie, otrzymamy różnicę postępu pomnożoną przez liczbę $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Proste, ale bardzo użyteczna właściwość, o którym koniecznie musisz wiedzieć – z jego pomocą możesz znacznie przyspieszyć rozwiązanie wielu problemów w progresjach. Oto doskonały tego przykład:

Zadanie numer 3. Piąty wyraz ciągu arytmetycznego to 8,4, a dziesiąty to 14,4. Znajdź piętnasty wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie. Ponieważ $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, a musimy znaleźć $((a)_(15))$, zauważamy, że:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(wyrównaj)\]

Ale z warunku $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, więc $5d=6$, skąd mamy:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(wyrównaj)\]

Odpowiedź: 20.4

To wszystko! Nie musieliśmy układać żadnych układów równań i obliczać pierwszego wyrazu oraz różnicy - wszystko rozstrzygnęło się w zaledwie kilku linijkach.

Rozważmy teraz inny rodzaj problemu - poszukiwanie negatywnych i pozytywnych członków progresji. Nie jest tajemnicą, że jeśli progresja wzrasta, podczas gdy jej pierwszy wyraz jest ujemny, to prędzej czy później pojawią się w nim wyrazy dodatnie. I odwrotnie: warunki progresji malejącej prędzej czy później staną się ujemne.

Jednocześnie nie zawsze można znaleźć ten moment „na czole”, kolejno sortując elementy. Często problemy są projektowane w taki sposób, że bez znajomości wzorów obliczenia zajęłyby kilka kartek – po prostu zasnęlibyśmy, dopóki nie znaleźliśmy odpowiedzi. Dlatego postaramy się rozwiązać te problemy w szybszy sposób.

Zadanie numer 4. Ile wyrazów ujemnych w ciągu arytmetycznym -38,5; -35,8; …?

Rozwiązanie. A więc $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, z którego od razu znajdujemy różnicę:

Zauważ, że różnica jest dodatnia, więc progresja jest rosnąca. Pierwszy wyraz jest ujemny, więc rzeczywiście w pewnym momencie natkniemy się na liczby dodatnie. Pytanie tylko, kiedy to nastąpi.

Spróbujmy dowiedzieć się: jak długo (tj. do jakiej liczby naturalnej $n$) zachowana jest ujemność wyrazów:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n)) \lt 0\Strzałka w prawo ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \dobrze. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Strzałka w prawo ((n)_(\max ))=15. \\ \end(wyrównaj)\]

Ostatnia linijka wymaga wyjaśnienia. Wiemy więc, że $n \lt 15\frac(7)(27)$. Z drugiej strony, będą nam odpowiadać tylko wartości całkowite liczby (do tego: $n\in \mathbb(N)$), więc największa dopuszczalna liczba to właśnie $n=15$, a w żadnym wypadku 16.

Zadanie numer 5. W postępie arytmetycznym $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Znajdź numer pierwszego dodatniego wyrazu tego postępu.

Byłby to dokładnie ten sam problem, co poprzedni, ale nie znamy $((a)_(1))$. Ale znane są sąsiednie wyrażenia: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, więc łatwo możemy znaleźć różnicę w progresji:

Ponadto spróbujmy wyrazić piąty wyraz w kategoriach pierwszego i różnicy za pomocą standardowego wzoru:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(wyrównaj)\]

Teraz postępujemy analogicznie do poprzedniego problemu. Dowiadujemy się, w którym punkcie naszego ciągu pojawią się liczby dodatnie:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Strzałka w prawo ((n)_(\min ))=56. \\ \end(wyrównaj)\]

Minimalnym całkowitym rozwiązaniem tej nierówności jest liczba 56.

Zauważ, że w ostatnim zadaniu wszystko zostało sprowadzone do ścisłej nierówności, więc opcja $n=55$ nie będzie nam odpowiadać.

Teraz, gdy nauczyliśmy się rozwiązywać proste problemy, przejdźmy do bardziej złożonych. Ale najpierw poznajmy kolejną bardzo przydatną właściwość postępów arytmetycznych, która pozwoli nam w przyszłości zaoszczędzić mnóstwo czasu i nierównych komórek. :)

Średnia arytmetyczna i równe wcięcia

Rozważmy kilka kolejnych wyrazów rosnącego postępu arytmetycznego $\left(((a)_(n)) \right)$. Spróbujmy zaznaczyć je na osi liczbowej:

Elementy postępu arytmetycznego na osi liczbowej

W szczególności zaznaczyłem arbitralnych członków $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a nie żadnych $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ itd. Ponieważ reguła, którą teraz wam powiem, działa tak samo dla wszystkich „segmentów”.

A zasada jest bardzo prosta. Zapamiętajmy formułę rekurencyjną i zapiszmy ją dla wszystkich zaznaczonych członków:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(wyrównaj)\]

Jednak te równości można zapisać inaczej:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(wyrównaj)\]

Cóż, więc co? Ale fakt, że wyrazy $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ leżą w tej samej odległości od $((a)_(n)) $ . A ta odległość jest równa $d$. To samo można powiedzieć o terminach $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - są one również usunięte z $((a)_(n) )$ o tę samą odległość równą $2d$. Możesz kontynuować w nieskończoność, ale obraz dobrze ilustruje znaczenie

Członkowie progresji leżą w tej samej odległości od środka

Co to oznacza dla nas? Oznacza to, że możesz znaleźć $((a)_(n))$, jeśli znane są sąsiednie liczby:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Wydedukowaliśmy wspaniałe stwierdzenie: każdy element ciągu arytmetycznego jest równy średniej arytmetycznej sąsiednich elementów! Co więcej, możemy odchylać się od naszego $((a)_(n))$ w lewo i w prawo nie o jeden krok, ale o $k$ — i tak formuła będzie poprawna:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Te. możemy łatwo znaleźć trochę $((a)_(150))$, jeśli znamy $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, ponieważ $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że ten fakt nie daje nam nic pożytecznego. Jednak w praktyce wiele zadań jest specjalnie „zaostrzonych” pod kątem użycia średniej arytmetycznej. Spójrz:

Zadanie numer 6. Znajdź wszystkie wartości $x$ takie, że liczby $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ są kolejnymi członkami postęp arytmetyczny (w określonej kolejności).

Rozwiązanie. Ponieważ wskazane numery są członkami progresji, spełniają warunek średniej arytmetycznej: centralny element $x+1$ można wyrazić za pomocą sąsiednich elementów:

\[\begin(wyrównaj) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(wyrównaj)\]

Wynikiem jest klasyczne równanie kwadratowe. Jego pierwiastki: $x=2$ i $x=-3$ to odpowiedzi.

Odpowiedź: -3; 2.

Zadanie numer 7. Znajdź wartości $$ takie, że liczby $-1;4-3;(()^(2))+1$ tworzą ciąg arytmetyczny (w tej kolejności).

Rozwiązanie. Wyraźmy się ponownie środkowy członek przez średnią arytmetyczną sąsiednich członków:

\[\begin(wyrównaj) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\prawo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(wyrównaj)\]

Kolejne równanie kwadratowe. I znowu dwa pierwiastki: $x=6$ i $x=1$.

Odpowiedź 1; 6.

Jeśli w trakcie rozwiązywania problemu otrzymasz brutalne liczby lub nie jesteś do końca pewien poprawności znalezionych odpowiedzi, istnieje cudowna sztuczka, która pozwala sprawdzić: czy rozwiązaliśmy problem poprawnie?

Powiedzmy, że w zadaniu 6 otrzymaliśmy odpowiedzi -3 i 2. Jak możemy sprawdzić, czy te odpowiedzi są poprawne? Po prostu podłączmy je do pierwotnego stanu i zobaczmy, co się stanie. Przypomnę, że mamy trzy liczby ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$), które powinny tworzyć ciąg arytmetyczny. Zastąp $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(wyrównaj)\]

Mamy liczby -54; −2; 50, które różnią się o 52, jest niewątpliwie postępem arytmetycznym. To samo dzieje się dla $x=2$:

\[\begin(wyrównaj) & x=2\Strzałka w prawo \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(wyrównaj)\]

Znowu progresja, ale z różnicą 27. W ten sposób problem został rozwiązany poprawnie. Ci, którzy chcą, mogą sami sprawdzić drugie zadanie, ale od razu powiem: tam też wszystko jest w porządku.

Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązując ostatnie zadania, natknęliśmy się na kolejne interesujący fakt, o czym również należy pamiętać:

Jeśli trzy liczby są takie, że druga jest średnią pierwszej i ostatniej, to liczby te tworzą ciąg arytmetyczny.

W przyszłości zrozumienie tego stwierdzenia pozwoli nam dosłownie „konstruować” niezbędne progresje w oparciu o stan problemu. Zanim jednak przystąpimy do takiej "konstrukcji", powinniśmy zwrócić uwagę na jeszcze jeden fakt, który bezpośrednio wynika z tego co już zostało omówione.

Grupowanie i suma elementów

Wróćmy jeszcze raz do osi liczbowej. Odnotowujemy tam kilku członków progresji, między którymi być może. wart wielu innych członków:

6 elementów zaznaczonych na osi liczbowej

Spróbujmy wyrazić „lewy ogon” za pomocą $((a)_(n))$ i $d$, a „prawy ogon” za pomocą $((a)_(k))$ i $ d$. To jest bardzo proste:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(wyrównaj)\]

Teraz zauważ, że następujące sumy są równe:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(wyrównaj)\]

Mówiąc najprościej, jeśli weźmiemy na początek dwa elementy progresji, które w sumie są równe pewnej liczbie $S$, a następnie zaczniemy odchodzić od tych elementów w przeciwnych kierunkach (do siebie lub odwrotnie, aby się oddalić), Następnie sumy pierwiastków, na które się natkniemy, również będą równe$S$. Najlepiej można to przedstawić graficznie:

Te same wcięcia dają równe sumy

Zrozumienie ten fakt pozwoli nam rozwiązywać problemy zasadniczo bardziej wysoki poziom złożoność niż te omówione powyżej. Na przykład te:

Zadanie numer 8. Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy wyraz wynosi 66, a iloczyn drugiego i dwunastego wyrazu jest najmniejszy z możliwych.

Rozwiązanie. Zapiszmy wszystko, co wiemy:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(wyrównaj)\]

Nie znamy więc różnicy progresji $d$. W rzeczywistości całe rozwiązanie zostanie zbudowane wokół różnicy, ponieważ iloczyn $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(wyrównaj)\]

Dla tych, którzy są w zbiorniku: wziąłem wspólny czynnik 11 z drugiego nawiasu. Zatem pożądanym produktem jest funkcja kwadratowa względem zmiennej $d$. Dlatego rozważmy funkcję $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - jej wykresem będzie parabola z gałęziami skierowanymi w górę, ponieważ jeśli otworzymy nawiasy, otrzymamy:

\[\begin(wyrównaj) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Jak widać współczynnik o najwyższym wyrazie to 11 - jest to liczba dodatnia, więc tak naprawdę mamy do czynienia z parabolą z gałęziami w górę:

harmonogram funkcja kwadratowa- parabola

Uwaga: ta parabola przyjmuje minimalną wartość w wierzchołku z odciętą $((d)_(0))$. Oczywiście możemy obliczyć tę odciętą za pomocą schemat standardowy(istnieje wzór $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale znacznie rozsądniej byłoby zauważyć, że żądany wierzchołek leży na osi symetrii paraboli, więc punkt $((d) _(0))$ jest w równej odległości od pierwiastków równania $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(wyrównaj) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(wyrównaj)\]

Dlatego nie spieszyłem się z otwieraniem nawiasów: w oryginalnej formie korzenie były bardzo, bardzo łatwe do znalezienia. Dlatego odcięta jest równa średniej liczby arytmetyczne-66 i -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Co daje nam odkryta liczba? Dzięki niemu wymagany iloczyn przyjmuje najmniejszą wartość (nawiasem mówiąc, nie obliczyliśmy $((y)_(\min ))$ - nie jest to od nas wymagane). Jednocześnie liczba ta jest różnicą początkowej progresji, tj. znaleźliśmy odpowiedź :)

Odpowiedź: -36

Zadanie numer 9. Wstaw trzy liczby między liczby $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ tak, aby razem z podanymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny.

Rozwiązanie. W rzeczywistości musimy utworzyć sekwencję pięciu liczb, przy czym pierwsza i ostatnia liczba są już znane. Oznacz brakujące liczby zmiennymi $x$, $y$ i $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Zauważ, że liczba $y$ jest "środkiem" naszego ciągu - jest równoodległa od liczb $x$ i $z$ oraz od liczb $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)( 6)$. A jeśli z liczb $x$ i $z$ jesteśmy w ten moment nie możemy dostać $y$, wtedy sytuacja wygląda inaczej z końcówkami progresji. Pamiętaj o średniej arytmetycznej:

Teraz, znając $y$, znajdziemy pozostałe liczby. Zauważ, że $x$ leży pomiędzy $-\frac(1)(2)$ a $y=-\frac(1)(3)$ właśnie znaleziony. Dlatego

Argumentując podobnie, znajdujemy pozostałą liczbę:

Gotowy! Znaleźliśmy wszystkie trzy liczby. Zapiszmy je w odpowiedzi w kolejności, w jakiej powinny być wstawione między oryginalne liczby.

Odpowiedź: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Zadanie numer 10. Pomiędzy cyframi 2 i 42 wstaw kilka liczb, które razem z podanymi liczbami tworzą ciąg arytmetyczny, jeżeli wiadomo, że suma pierwszej, drugiej i ostatniej z wprowadzonych liczb wynosi 56.

Rozwiązanie. Nawet więcej trudne zadanie, które jednak rozwiązuje się w taki sam sposób jak poprzednie - za pomocą średniej arytmetycznej. Problem polega na tym, że nie wiemy dokładnie, ile liczb wstawić. Dlatego dla ścisłości zakładamy, że po wstawieniu będzie dokładnie $n$ liczb, a pierwsza z nich to 2, a ostatnia to 42. W tym przypadku pożądany postęp arytmetyczny można przedstawić jako:

\[\lewo(((a)_(n)) \right)=\lewo\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Zauważ jednak, że liczby $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ pochodzą z liczb 2 i 42 stojących na krawędziach o jeden krok od siebie , tj. . do środka sekwencji. A to oznacza, że

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ale wtedy powyższe wyrażenie można przepisać w ten sposób:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(wyrównaj)\]

Znając $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, możemy łatwo znaleźć różnicę w progresji:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Strzałka w prawo d=5. \\ \end(wyrównaj)\]

Pozostaje tylko znaleźć pozostałych członków:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(wyrównaj)\]

Tym samym już na 9 kroku dojdziemy do lewego końca ciągu - liczby 42. W sumie trzeba było wpisać tylko 7 cyfr: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpowiedź: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Zadania tekstowe z postępami

Podsumowując, chciałbym rozważyć kilka stosunkowo prostych problemów. Cóż, takie proste: dla większości uczniów, którzy uczą się matematyki w szkole i nie przeczytali tego, co jest napisane powyżej, te zadania mogą wydawać się gestem. Niemniej jednak właśnie takie zadania spotyka się w OGE i USE w matematyce, dlatego polecam zapoznanie się z nimi.

Zadanie numer 11. W styczniu zespół wyprodukował 62 części, aw każdym kolejnym miesiącu produkował o 14 części więcej niż w poprzednim. Ile części wyprodukowała brygada w listopadzie?

Rozwiązanie. Oczywiście liczba części malowanych w poszczególnych miesiącach będzie rosnącym postępem arytmetycznym. I:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Listopad to jedenasty miesiąc w roku, więc musimy znaleźć $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Dlatego w listopadzie zostaną wyprodukowane 202 części.

Zadanie numer 12. Introligatornia oprawiła w styczniu 216 książek, a każdego miesiąca oprawiła o 4 sztuki więcej niż w poprzednim miesiącu. Ile książek oprawiła pracownia w grudniu?

Rozwiązanie. Wszystkie takie same:

$\begin(wyrównaj) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Grudzień to ostatni, 12. miesiąc w roku, dlatego szukamy $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Oto odpowiedź - w grudniu oprawionych zostanie 260 książek.

Cóż, jeśli doczytałeś do tego miejsca, spieszę ci pogratulować: pomyślnie ukończyłeś „kurs młodego wojownika” w postępach arytmetycznych. Możemy spokojnie przejść do następnej lekcji, gdzie przestudiujemy formułę sumy progresji, a także ważne i bardzo przydatne konsekwencje z niej płynące.

Kalkulator online.
Rozwiązanie postępu arytmetycznego.
Biorąc pod uwagę: a n , d, n
Znajdź: a 1

Ten program matematyczny znajduje \(a_1\) ciągu arytmetycznego na podstawie określonych przez użytkownika liczb \(a_n, d \) i \(n \).
Liczby \(a_n\) i \(d \) można podać nie tylko jako liczby całkowite, ale także jako ułamki. Ponadto liczbę ułamkową można wprowadzić w postaci ułamka dziesiętnego (\ (2,5 \)) oraz w postaci ułamek wspólny(\(-5\frac(2)(7) \)).

Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces poszukiwania rozwiązania.

Ten kalkulator online może być przydatny dla uczniów szkół średnich przygotowujących się do praca kontrolna i egzaminy, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem, rodzice kontrolują rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może zatrudnienie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz to zrobić jak najszybciej? Praca domowa matematyka czy algebra? W takim przypadku możesz również skorzystać z naszych programów ze szczegółowym rozwiązaniem.

W ten sposób możesz realizować swoje własny trening i/lub szkolenie swoich młodszych braci lub sióstr, przy jednoczesnym podniesieniu poziomu wykształcenia w zakresie zadań do rozwiązania.

Jeśli nie znasz zasad wprowadzania cyfr, zalecamy zapoznanie się z nimi.

Zasady wprowadzania cyfr

Liczby \(a_n\) i \(d \) można podać nie tylko jako liczby całkowite, ale także jako ułamki.
Liczba \(n\) może być tylko dodatnią liczbą całkowitą.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
Części całkowite i ułamkowe w ułamkach dziesiętnych można oddzielić kropką lub przecinkiem.
Na przykład możesz wejść dziesiętne więc 2,5 lub tak 2,5

Zasady wprowadzania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może działać jako licznik, mianownik i część całkowita ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Kiedy wchodzisz ułamek liczbowy Licznik jest oddzielony od mianownika znakiem dzielenia: /
Wejście:
Wynik: \(-\frac(2)(3) \)

Część całkowita jest oddzielona od ułamka znakiem ampersand: &
Wejście:
Wynik: \(-1\frac(2)(3) \)

Wprowadź liczby a n , d, n

Znajdź 1

Stwierdzono, że niektóre skrypty potrzebne do rozwiązania tego zadania nie zostały załadowane, a program może nie działać.
Możesz mieć włączony AdBlock.
W takim przypadku wyłącz go i odśwież stronę.

Masz wyłączoną obsługę JavaScript w przeglądarce.
JavaScript musi być włączony, aby rozwiązanie się pojawiło.
Oto instrukcje, jak włączyć JavaScript w przeglądarce.

Ponieważ Jest wiele osób, które chcą rozwiązać problem, Twoja prośba jest w kolejce.
Po kilku sekundach rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sek...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, wtedy możesz napisać o tym w formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż jakie zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Sekwencja numeryczna

W codziennej praktyce numeracja różnych przedmiotów jest często używana do wskazania kolejności, w jakiej się znajdują. Na przykład domy na każdej ulicy są ponumerowane. W bibliotece prenumeraty czytelników są numerowane, a następnie układane w kolejności nadanych numerów w specjalnych szafach kartotekowych.

W banku oszczędnościowym po numerze konta osobistego wpłacającego można łatwo znaleźć to konto i zobaczyć, jaki rodzaj depozytu ma. Niech będzie depozyt w wysokości 1 rubla na koncie nr 1, depozyt w wysokości 2 rubli na koncie nr 2 itd. Okazuje się sekwencja numeryczna
za 1 , za 2 , za 3 , ..., za N
gdzie N to liczba wszystkich kont. Tutaj każdej liczbie naturalnej n od 1 do N przypisano liczbę a n .

Matematyka też się studiuje nieskończone ciągi liczb:
za 1 , za 2 , za 3 , ..., za n , ... .
Numer a 1 nazywa się pierwszy członek ciągu, liczba a 2 - drugi członek ciągu, liczba a 3 - trzeci członek ciągu itp.
Nazywa się liczbę a n n-ty (n-ty) element ciągu, a liczba naturalna n jest jego numer.

Na przykład w sekwencji kwadratów liczby naturalne 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... a 1 = 1 jest pierwszym elementem ciągu; i n = n 2 jest n-ty członek sekwencje; a n+1 = (n + 1) 2 jest (n + 1)-tym (en plus pierwszy) elementem ciągu. Często sekwencję można określić za pomocą formuły jej n-tego elementu. Na przykład formuła \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) daje ciąg \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Postęp arytmetyczny

Długość roku wynosi około 365 dni. Dokładniejsza wartość to \(365\frac(1)(4) \) dni, więc co cztery lata kumuluje się błąd jednego dnia.

Aby uwzględnić ten błąd, do każdego czwartego roku dodawany jest dzień, a wydłużony rok nazywany jest rokiem przestępnym.

Na przykład w trzecim tysiącleciu lata przestępne lata to 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

W tej sekwencji każdy element, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu, dodawanemu z tą samą liczbą 4. Takie sekwencje nazywane są ciągi arytmetyczne.

Definicja.
Sekwencja numeryczna a 1 , a 2 , a 3 , ..., an , ... nazywa się postęp arytmetyczny, jeśli dla wszystkich naturalnych n równość
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
gdzie d jest pewną liczbą.

Z tego wzoru wynika, że ​​a n+1 - a n = d. Liczba d nazywana jest różnicą postęp arytmetyczny.

Z definicji ciągu arytmetycznego mamy:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Gdzie
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), gdzie \(n>1 \)

Zatem każdy element ciągu arytmetycznego, począwszy od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej dwóch sąsiednich elementów. To wyjaśnia nazwę „postęp arytmetyczny”.

Zauważ, że jeśli podano a 1 i d, to pozostałe wyrazy ciągu arytmetycznego można obliczyć za pomocą rekurencyjnego wzoru a n+1 = a n + d. W ten sposób obliczenie kilku pierwszych wyrazów progresji nie jest trudne, jednak np. dla 100 trzeba będzie już wykonać sporo obliczeń. Zwykle stosuje się do tego formułę n-tego wyrazu. Zgodnie z definicją postępu arytmetycznego
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
itp.
W ogóle,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
ponieważ n-ty element ciągu arytmetycznego otrzymuje się z pierwszego elementu przez dodanie (n-1) razy liczbę d.
Ta formuła nazywa się formuła n-tego członka ciągu arytmetycznego.

Suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego

Znajdźmy sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100.
Sumę tę zapisujemy na dwa sposoby:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Dodajemy te równości termin po terminie:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ta suma zawiera 100 wyrazów.
Zatem 2S = 101 * 100, skąd S = 101 * 50 = 5050.

Rozważmy teraz dowolny postęp arytmetyczny
za 1 , za 2 , za 3 , ..., za n , ...
Niech S n będzie sumą pierwszych n wyrazów tego ciągu:
S n \u003d za 1, za 2, za 3, ..., za n
Następnie suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Ponieważ \(a_n=a_1+(n-1)d \), a następnie zastępując n w tym wzorze, otrzymujemy inny wzór na znalezienie sumy pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Książki (podręczniki) Streszczenia jednolitego egzaminu państwowego i testów OGE online Gry, puzzle Budowa wykresów funkcji Słownik ortograficzny języka rosyjskiego Słownik slangu młodzieżowego Katalog szkół rosyjskich Katalog szkół średnich w Rosji Katalog rosyjskich uniwersytetów Lista zadań

Podczas nauki algebry w szkole średniej (klasa 9) jeden z ważne tematy jest badaniem ciągi liczb, na które składają się postępy - geometryczny i arytmetyczny. W tym artykule rozważymy postęp arytmetyczny i przykłady z rozwiązaniami.

Co to jest postęp arytmetyczny?

Aby to zrozumieć, konieczne jest podanie definicji rozpatrywanej progresji, a także podanie podstawowych wzorów, które będą dalej wykorzystywane w rozwiązywaniu problemów.

Arytmetyka lub jest takim zbiorem uporządkowanych liczb wymiernych, których każdy element różni się od poprzedniego o pewną stałą wartość. Ta wartość nazywana jest różnicą. Oznacza to, że znając dowolnego członka uporządkowanej serii liczb i różnicę, możesz odtworzyć cały postęp arytmetyczny.

Weźmy przykład. Następna sekwencja liczb będzie postępem arytmetycznym: 4, 8, 12, 16, ..., ponieważ różnica w tym przypadku wynosi 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale zestawu liczb 3, 5, 8, 12, 17 nie można już przypisać do rozważanego rodzaju progresji, ponieważ różnica dla niego nie jest wartością stałą (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Ważne formuły

Podamy teraz podstawowe wzory, które będą potrzebne do rozwiązywania problemów za pomocą ciągu arytmetycznego. Niech n oznacza n-ty element ciągu, gdzie n jest liczbą całkowitą. Różnica jest oznaczona łacińską literą d. Wtedy prawdziwe są następujące wyrażenia:

1. Aby określić wartość n-tego terminu, odpowiedni jest wzór: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Aby wyznaczyć sumę pierwszych n wyrazów: S n = (a n + a 1)*n/2.

Aby zrozumieć jakiekolwiek przykłady postępu arytmetycznego z rozwiązaniem w klasie 9, wystarczy zapamiętać te dwa wzory, ponieważ wszelkie rozważane problemy są zbudowane na ich użyciu. Nie zapominaj również, że różnicę progresji określa wzór: d = a n - a n-1 .

Przykład nr 1: Znalezienie nieznanego członka

Podajemy prosty przykład postępu arytmetycznego i wzory, których należy użyć do rozwiązania.

Niech ciąg 10, 8, 6, 4, ... będzie dany, trzeba znaleźć w nim pięć wyrazów.

Już z warunków zadania wynika, że ​​znane są pierwsze 4 wyrazy. Piąty można zdefiniować na dwa sposoby:

1. Najpierw obliczmy różnicę. Mamy: d = 8 - 10 = -2. Podobnie można by wziąć dowolne dwa inne terminy stojące obok siebie. Na przykład d = 4 - 6 = -2. Ponieważ wiadomo, że d \u003d a n - a n-1, to d \u003d a 5 - a 4, skąd otrzymujemy: a 5 \u003d a 4 + d. Podstawiamy znane wartości: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druga metoda wymaga również znajomości różnicy omawianej progresji, więc najpierw trzeba ją określić, jak pokazano powyżej (d = -2). Wiedząc, że pierwszy wyraz a 1 = 10, używamy wzoru na liczbę n ciągu. Mamy: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Podstawiając n = 5 do ostatniego wyrażenia, otrzymujemy: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Jak widać, oba rozwiązania prowadzą do tego samego rezultatu. Zauważ, że w tym przykładzie różnica d progresji jest ujemna. Takie ciągi nazywamy malejącymi, ponieważ każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.

Przykład nr 2: różnica w postępach

Teraz skomplikujmy trochę zadanie, podaj przykład, jak znaleźć różnicę postępu arytmetycznego.

Wiadomo, że w pewnym ciągu algebraicznym pierwszy wyraz jest równy 6, a siódmy wyraz równy jest 18. Trzeba znaleźć różnicę i przywrócić ten ciąg do siódmego wyrazu.

Użyjmy wzoru do wyznaczenia nieznanego wyrazu: a n = (n - 1) * d + a 1 . Podstawiamy do niego znane dane z warunku, czyli liczby a 1 i a 7, mamy: 18 \u003d 6 + 6 * d. Z tego wyrażenia można łatwo obliczyć różnicę: d = (18 - 6) / 6 = 2. W ten sposób rozwiązano pierwszą część problemu.

Aby odtworzyć ciąg do 7 wyrazów, należy posłużyć się definicją postęp algebraiczny, czyli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d i tak dalej. W rezultacie przywracamy całą sekwencję: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 i 7 = 18.

Przykład nr 3: robienie postępów

Utrudnijmy to silniejszy stan zadania. Teraz musisz odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Możemy podać następujący przykład: podane są dwie liczby, na przykład 4 i 5. Konieczne jest wykonanie ciągu algebraicznego, aby między nimi mieściły się jeszcze trzy wyrazy.

Przed przystąpieniem do rozwiązywania tego problemu należy zrozumieć, jakie miejsce zajmą dane liczby w przyszłej progresji. Ponieważ między nimi będą jeszcze trzy wyrazy, to 1 \u003d -4 i a 5 \u003d 5. Po ustaleniu tego przystępujemy do zadania podobnego do poprzedniego. Ponownie, dla n-tego terminu, używamy wzoru, otrzymujemy: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Tutaj różnica nie jest liczbą całkowitą, ale liczbą wymierną, więc wzory na postęp algebraiczny pozostają takie same.

Teraz dodajmy znalezioną różnicę do 1 i przywróćmy brakujące elementy progresji. Otrzymujemy: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, co zbiegło się ze stanem problemu.

Przykład 4: Pierwszy członek progresji

Nadal podajemy przykłady postępu arytmetycznego z rozwiązaniem. We wszystkich poprzednich problemach znana była pierwsza liczba ciągu algebraicznego. Rozważmy teraz problem innego rodzaju: niech dane będą dwie liczby, gdzie 15 = 50 i a 43 = 37. Trzeba znaleźć, od jakiej liczby zaczyna się ten ciąg.

Stosowane dotychczas wzory zakładają znajomość a 1 i d. Nic nie wiadomo o tych numerach w stanie problemu. Niemniej jednak wypiszmy wyrażenia dla każdego terminu, o którym mamy informacje: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Otrzymaliśmy dwa równania, w których są 2 nieznane wielkości (a 1 i d). Oznacza to, że problem sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych.

Podany system najłatwiej rozwiązać, jeśli w każdym równaniu wyrazisz 1, a następnie porównasz wynikowe wyrażenia. Pierwsze równanie: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; drugie równanie: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Zrównując te wyrażenia, otrzymujemy: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, skąd różnica d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (podano tylko 3 miejsca po przecinku).

Znając d, możesz użyć dowolnego z 2 powyższych wyrażeń dla 1 . Na przykład najpierw: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Jeśli masz wątpliwości co do wyniku, możesz to sprawdzić, np. wyznaczyć 43. członka progresji, który jest określony w warunku. Otrzymujemy: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Niewielki błąd wynika z faktu, że w obliczeniach zastosowano zaokrąglenie do części tysięcznych.

Przykład 5: Suma

Teraz spójrzmy na kilka przykładów z rozwiązaniami dla sumy postępu arytmetycznego.

Niech dany będzie ciąg liczbowy następującej postaci: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak obliczyć sumę 100 tych liczb?

Dzięki rozwojowi technologii komputerowej problem ten można rozwiązać, czyli sekwencyjnie dodawać wszystkie liczby, co komputer zrobi, gdy tylko ktoś wciśnie klawisz Enter. Jednak problem można rozwiązać mentalnie, jeśli zwrócimy uwagę, że przedstawiony ciąg liczb jest postępem algebraicznym, a jego różnica wynosi 1. Stosując wzór na sumę, otrzymujemy: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Warto zauważyć, że problem ten nazywa się „Gaussowskim”, ponieważ na początku XVIII wieku słynny Niemiec, mając zaledwie 10 lat, był w stanie rozwiązać go w swoim umyśle w ciągu kilku sekund. Chłopiec nie znał wzoru na sumę ciągu algebraicznego, ale zauważył, że dodając pary liczb znajdujących się na krawędziach ciągu, zawsze otrzymujemy ten sam wynik, czyli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a ponieważ te sumy wyniosą dokładnie 50 (100 / 2), to aby uzyskać poprawną odpowiedź, wystarczy pomnożyć 50 przez 101.

Przykład #6: suma wyrazów od n do m

Innym typowym przykładem sumy ciągu arytmetycznego jest następujący: biorąc pod uwagę ciąg liczb: 3, 7, 11, 15, ..., musisz znaleźć, jaka będzie suma jego wyrazów od 8 do 14.

Problem rozwiązuje się na dwa sposoby. Pierwsza z nich polega na znalezieniu nieznanych terminów od 8 do 14, a następnie ich sekwencyjnemu zsumowaniu. Ponieważ terminów jest niewiele, ta metoda nie jest wystarczająco pracochłonna. Niemniej jednak proponuje się rozwiązanie tego problemu drugą metodą, która jest bardziej uniwersalna.

Chodzi o to, aby uzyskać wzór na sumę postępu algebraicznego między wyrazami m i n, gdzie n > m są liczbami całkowitymi. W obu przypadkach piszemy dwa wyrażenia na sumę:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Ponieważ n > m jest oczywiste, że suma 2 obejmuje pierwszą. Ostatni wniosek oznacza, że ​​jeśli weźmiemy różnicę między tymi sumami i dodamy do niej wyraz a m (w przypadku wzięcia różnicy jest on odejmowany od sumy S n), to otrzymamy niezbędną odpowiedź na problem. Mamy: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + za n * n / 2 + za m * (1- m / 2). Konieczne jest podstawienie wzorów na n i m w tym wyrażeniu. Wtedy otrzymujemy: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = za 1 * (n - m + 1) + re * n * (n - 1) / 2 + re * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Otrzymany wzór jest nieco nieporęczny, jednak suma S mn zależy tylko od n, m, a 1 i d. W naszym przypadku a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Podstawiając te liczby, otrzymujemy: S mn = 301.

Jak widać z powyższych rozwiązań, wszystkie problemy opierają się na znajomości wyrażenia na n-ty wyraz i wzoru na sumę zbioru pierwszych wyrazów. Przed rozpoczęciem rozwiązywania któregokolwiek z tych problemów zaleca się uważne przeczytanie warunku, jasne zrozumienie tego, co chcesz znaleźć, a dopiero potem przystąpienie do rozwiązania.

Kolejną wskazówką jest dążenie do prostoty, to znaczy, jeśli możesz odpowiedzieć na pytanie bez użycia skomplikowanych obliczeń matematycznych, musisz to zrobić, ponieważ w tym przypadku prawdopodobieństwo popełnienia błędu jest mniejsze. Na przykład w przykładzie ciągu arytmetycznego z rozwiązaniem nr 6 można by zatrzymać się na wzorze S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m oraz podziel zadanie ogólne na osobne podzadania (w tym przypadku najpierw znajdź wyrazy a n i a m).

W przypadku wątpliwości co do uzyskanego wyniku, zaleca się jego sprawdzenie, tak jak to zrobiono w niektórych podanych przykładach. Dowiedz się, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Kiedy już to zrozumiesz, nie jest to takie trudne.

Rodzaj lekcji: nauka nowego materiału.

Cele Lekcji:

• poszerzenie i pogłębienie pomysłów uczniów na zadania rozwiązywane za pomocą ciągu arytmetycznego; organizacja pracy poszukiwawczej studentów przy wyprowadzaniu wzoru na sumę pierwszych n członków ciągu arytmetycznego;
• rozwijanie umiejętności samodzielnego zdobywania nowej wiedzy, wykorzystywania wiedzy już zdobytej do realizacji zadania;
• rozwój chęci i potrzeby uogólniania uzyskanych faktów, rozwój samodzielności.

Zadania:

• uogólnić i usystematyzować istniejącą wiedzę na temat „Postęp arytmetyczny”;
• wyprowadzać wzory do obliczania sumy pierwszych n elementów ciągu arytmetycznego;
• nauczyć, jak stosować otrzymane wzory podczas rozwiązywania różne zadania;
• zwróć uwagę uczniów na procedurę znajdowania wartości wyrażenia liczbowego.

Sprzęt:

• karty z zadaniami do pracy w grupach i parach;
• dokument oceniający;
• prezentacja„Postęp arytmetyczny”.

I. Aktualizacja podstawowej wiedzy.

1. Niezależna praca W parach.

1. opcja:

Zdefiniuj postęp arytmetyczny. Zapisz wzór rekurencyjny definiujący postęp arytmetyczny. Podaj przykład ciągu arytmetycznego i wskaż jego różnicę.

2. opcja:

Zapisz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Znajdź setny wyraz ciągu arytmetycznego ( jakiś}: 2, 5, 8 …
W tym czasie dwóch studentów Odwrotna strona tablice przygotowują odpowiedzi na te same pytania.
Uczniowie oceniają pracę partnera porównując ją z tablicą. (Rozdawane są ulotki z odpowiedziami).

2. Moment gry.

Ćwiczenie 1.

Nauczyciel. Wymyśliłem pewien postęp arytmetyczny. Zadaj mi tylko dwa pytania, aby po odpowiedziach móc szybko wskazać 7. członka tej progresji. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pytania od studentów.

1. Co to jest szósty okres progresji i jaka jest różnica?
2. Jaki jest ósmy termin progresji i jaka jest różnica?

Jeśli nie ma więcej pytań, nauczyciel może je stymulować - „zakaz” d (różnicy), to znaczy nie wolno pytać, jaka jest różnica. Można zadawać pytania: jaki jest 6. termin progresji, a jaki 8. termin progresji?

Zadanie 2.

Na tablicy jest zapisanych 20 liczb: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Nauczyciel stoi tyłem do tablicy. Uczniowie podają numer numeru, a nauczyciel natychmiast wywołuje sam numer. Wyjaśnij, jak mogę to zrobić?

Nauczyciel pamięta formułę n-tego semestru za n \u003d 3n - 2 i zastępując podane wartości n, znajduje odpowiednie wartości jakiś .

II. Zestawienie zadania edukacyjnego.

Proponuję rozwiązać stary problem datowany na II tysiąclecie pne, znaleziony w egipskich papirusach.

Zadanie:„Niech ci powiedzą: podziel 10 miar jęczmienia między 10 osób, różnica między każdą osobą a jej sąsiadem wynosi 1/8 miarki”.

• Jak ten problem odnosi się do tematu postępu arytmetycznego? (Każda następna osoba dostaje 1/8 miary więcej, więc różnica wynosi d=1/8, 10 osób, więc n=10.)
• Jak myślisz, co oznacza liczba 10? (Suma wszystkich członków progresji.)
• Co jeszcze musisz wiedzieć, aby dzielenie jęczmienia w zależności od stanu problemu było łatwe i proste? (Pierwszy okres progresji.)

Cel lekcji- uzyskanie zależności sumy wyrazów ciągu od ich liczby, pierwszego wyrazu i różnicy oraz sprawdzenie, czy problem został rozwiązany poprawnie w starożytności.

Zanim wyprowadzimy wzór, zobaczmy, jak starożytni Egipcjanie rozwiązali ten problem.

A rozwiązali to tak:

1) 10 miar: 10 = 1 miara - średni udział;
2) 1 miara ∙ = 2 miary - podwojona przeciętny udział.
podwojona przeciętny udział jest sumą udziałów piątej i szóstej osoby.
3) 2 miarki - 1/8 miarki = 1 7/8 miary - dwukrotność udziału piątej osoby.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - udział piątego; i tak dalej, możesz znaleźć udział każdej poprzedniej i kolejnej osoby.

Otrzymujemy ciąg:

III. Rozwiązanie zadania.

1. Pracuj w grupach

1. grupa: Znajdź sumę 20 kolejnych liczb naturalnych: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Ogólnie

II grupa: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 100 (Legenda Małego Gaussa).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Wniosek:

III grupa: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 21.

Rozwiązanie: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Wniosek:

IV grupa: Znajdź sumę liczb naturalnych od 1 do 101.

Wniosek:

Ta metoda rozwiązywania rozważanych problemów nosi nazwę „metody Gaussa”.

2. Każda grupa przedstawia rozwiązanie problemu na tablicy.

3. Uogólnienie proponowanych rozwiązań dla dowolnego ciągu arytmetycznego:

za 1 , za 2 , za 3 ,…, za n-2 , za n-1 , za n .
S n \u003d za 1 + za 2 + za 3 + za 4 + ... + za n-3 + za n-2 + za n-1 + za n.

Sumę tę znajdujemy, argumentując podobnie:

4. Czy rozwiązaliśmy zadanie?(Tak.)

IV. Podstawowe zrozumienie i zastosowanie otrzymanych wzorów w rozwiązywaniu problemów.

1. Sprawdzenie rozwiązania starego problemu za pomocą wzoru.

2. Zastosowanie wzoru w rozwiązywaniu różnych problemów.

3. Ćwiczenia kształtujące umiejętność stosowania formuły w rozwiązywaniu problemów.

A) Nr 613

Dany :( oraz n) - postęp arytmetyczny;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Znajdować: S 1500

Rozwiązanie: , i 1 = 1, a 1500 = 1500,

B) Biorąc pod uwagę: ( oraz n) - postęp arytmetyczny;
(i n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Znajdować: N
Rozwiązanie:

V. Niezależna praca z wzajemną weryfikacją.

Denis poszedł do pracy jako kurier. W pierwszym miesiącu jego pensja wynosiła 200 rubli, w każdym kolejnym miesiącu wzrastała o 30 rubli. Ile zarobił w ciągu roku?

Dany :( oraz n) - postęp arytmetyczny;
za 1 = 200, d = 30, n = 12
Znajdować: S 12
Rozwiązanie:

Odpowiedź: Denis otrzymał 4380 rubli za rok.

VI. Instrukcja pracy domowej.

1. s. 4.3 – poznaj wyprowadzenie wzoru.
2. №№ 585, 623 .
3. Ułóż problem, który można by rozwiązać za pomocą wzoru na sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego.

VII. Podsumowanie lekcji.

1. Protokół punktacji

2. Kontynuuj zdania

• Dzisiaj na zajęciach dowiedziałam się...
• Nauczone formuły...
• Wierzę w to …

3. Czy potrafisz znaleźć sumę liczb od 1 do 500? Jakiej metody użyjesz do rozwiązania tego problemu?

Bibliografia.

1. Algebra, klasa 9. Samouczek dla instytucje edukacyjne. wyd. GV Dorofejewa. Moskwa: Oświecenie, 2009.