Jak obliczyć trapez online. Pole trapezu: jak obliczyć, wzór

Ten kalkulator obliczył 2192 problemów na temat "Pole trapezu"

POWIERZCHNIA TRAPEZIDU

Wybierz wzór na obliczenie pola trapezu, którego planujesz użyć do rozwiązania przypisanego Ci problemu:

Ogólna teoria obliczania pola trapezu.

Trapez - Jest to figura płaska składająca się z czterech punktów, z których trzy nie leżą na tej samej prostej, oraz czterech odcinków (boków) łączących te cztery punkty parami, w których dwa przeciwległe boki są równoległe (leżą na liniach równoległych), a pozostałe dwa nie są równoległe.

Punkty to tzw wierzchołki trapezu i są oznaczone dużymi literami łacińskimi.

Segmenty nazywane są boki trapezu i są oznaczone parą wielkich liter łacińskich odpowiadających wierzchołkom łączącym segmenty.

Nazywa się dwa równoległe boki trapezu podstawy trapezowe .

Nazywa się dwa nierównoległe boki trapezu boki trapezu .

Rysunek nr 1: Trapez ABCD

Rysunek 1 pokazuje trapez ABCD z wierzchołki A, B,C, D i boki AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - podstawy trapezu ABCD.

AD, BC - boczne boki trapezu ABCD.

Kąt utworzony przez promienie AB i AD nazywa się kątem przy wierzchołku A. Oznacza się go jako ÐA, ÐBAD lub ÐDAB.

Kąt utworzony przez promienie BA i BC nazywany jest kątem przy wierzchołku B. Oznacza się go jako ÐB, ÐABC lub ÐCBA.

Kąt utworzony przez promienie CB i CD nazywany jest kątem wierzchołkowym C. Oznacza się go jako ÐC, ÐDCB lub ÐBCD.

Kąt utworzony przez promienie AD i CD nazywany jest kątem wierzchołkowym D. Oznacza się go jako ÐD, ÐADC lub ÐCDA.

Rysunek nr 2: Trapez ABCD

Na rysunku 2 nazywa się odcinek MN łączący środki boków bocznych linia środkowa trapezu.

Linia środkowa trapezu równoległe do podstaw i równe ich połowie sumy. To jest, .

Rysunek nr 3: Trapez równoramienny ABCD

Na rysunku 3 AD=BC.

Nazywa się trapez równoramienny (równoramienny), jeśli jego boki są równe.

Rysunek nr 4: Trapez prostokątny ABCD

Na rysunku nr 4 kąt D jest prosty (równy 90°).

Nazywa się trapez prostokątny, jeśli kąt z boku jest prosty.

Powierzchnia S mieszkanie figury, do których należy trapez, nazywane są ograniczoną zamkniętą przestrzenią na płaszczyźnie. Obszar płaskiej figury pokazuje rozmiar tej figury.

Obszar ma kilka właściwości:

1. Nie może być ujemna.

2. Jeśli podany jest pewien zamknięty obszar na płaszczyźnie, który składa się z kilku figur, które się nie przecinają (to znaczy figury nie mają wspólnych punktów wewnętrznych, ale mogą się stykać), wówczas obszar takiego obszaru jest równa sumie obszarów jego cyfr składowych.

3. Jeśli dwie figury są równe, ich pola są równe.

4. Powierzchnia kwadratu, na którym jest zbudowany segment jednostkowy, jest równe jeden.

Za jednostka pomiary obszar weź obszar kwadratu, którego bok jest równy jednostka pomiary segmenty.

Podczas rozwiązywania problemów często stosuje się następujące wzory do obliczania powierzchni trapezu:

1. Pole trapezu jest równe połowie sumy jego podstaw pomnożonej przez jego wysokość:

2. Pole trapezu jest równe iloczynowi jego linii środkowej i wysokości:

3. Znając długości podstaw i boków trapezu, jego pole można obliczyć ze wzoru:

4. Pole trapezu równoramiennego można obliczyć o znanej długości promienia okręgu wpisanego w trapez i znanej wartości kąta przy podstawie, korzystając ze wzoru:

Przykład 1: Oblicz pole trapezu o podstawach a=7, b=3 i wysokości h=15.

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Przykład 2: Znajdź bok podstawy trapezu o polu S = 35 cm 2, wysokości h = 7 cm i drugiej podstawie b = 2 cm.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć bok podstawy trapezu, używamy wzoru na obliczenie pola:

Wyraźmy ze wzoru bok podstawy trapezu:

Zatem mamy co następuje:

Odpowiedź:

Przykład 3: Znajdź wysokość trapezu o polu S = 17 cm 2 i podstawach a = 30 cm, b = 4 cm.

Rozwiązanie:

Aby obliczyć wysokość trapezu, korzystamy ze wzoru na obliczenie pola:

Zatem mamy co następuje:

Odpowiedź:

Przykład 4: Oblicz pole trapezu o wysokości h=24 i linii środkowej m=5.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć pole trapezu, używamy następującego wzoru do obliczenia pola:

Zatem mamy co następuje:

Odpowiedź:

Przykład 5: Znajdź wysokość trapezu o polu S = 48 cm 2 i linii środkowej m = 6 cm.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć wysokość trapezu, używamy wzoru do obliczania pola trapezu:

Wyraźmy wysokość trapezu ze wzoru:

Zatem mamy co następuje:

Odpowiedź:

Przykład 6: Znajdź linię środkową trapezu o polu S = 56 i wysokości h = 4.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć linię środkową trapezu, używamy wzoru do obliczania pola trapezu:

Wyraźmy środkową linię trapezu ze wzoru:

Zatem mamy co następuje.

I . Teraz możemy zacząć zastanawiać się, jak znaleźć obszar trapezu. To zadanie pojawia się bardzo rzadko w życiu codziennym, ale czasami okazuje się konieczne, aby na przykład znaleźć powierzchnię pokoju w kształcie trapezu, który jest coraz częściej stosowany przy budowie nowoczesnych mieszkań, lub w projektować projekty renowacji.

Trapez jest figura geometryczna, utworzone przez cztery przecinające się odcinki, z których dwa są równoległe do siebie i nazywane są podstawami trapezu. Pozostałe dwa odcinki nazywane są bokami trapezu. Ponadto będziemy potrzebować później innej definicji. Ten Środkowa linia trapez, czyli odcinek łączący środki boków i wysokość trapezu, która jest równa odległości między podstawami.
Podobnie jak trójkąty, trapezy mają specjalne typy w postaci trapezu równoramiennego (równobocznego), w którym długości boków są takie same, oraz trapezu prostokątnego, w którym jeden z boków tworzy kąt prosty z podstawami.

Trapezy mają kilka interesujących właściwości:

1. Linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy podstaw i jest do nich równoległa.
   
2. Trapezy równoramienne mają równe boki i kąty, które tworzą z podstawami.
   
3. Środki przekątnych trapezu i punkt przecięcia jego przekątnych leżą na tej samej prostej.
   
4. Jeżeli suma boków trapezu jest równa sumie podstaw, to można w niego wpisać okrąg
   
5. Jeżeli suma kątów utworzonych przez boki trapezu przy którejkolwiek z jego podstaw wynosi 90, to długość odcinka łączącego środki podstaw jest równa ich połowie różnicy.
   
6. Trapez równoramienny można opisać za pomocą okręgu. I wzajemnie. Jeśli trapez mieści się w okręgu, to jest równoramienny.
   
7. Odcinek przechodzący przez środki podstaw trapezu równoramiennego będzie prostopadły do ​​jego podstaw i reprezentuje oś symetrii.
   

Jak znaleźć obszar trapezu.

Pole trapezu będzie równe połowie sumy jego podstaw pomnożonej przez jego wysokość. W formie wzoru zapisuje się to jako wyrażenie:

gdzie S to powierzchnia trapezu, a, b to długość każdej z podstaw trapezu, h to wysokość trapezu.

Możesz zrozumieć i zapamiętać tę formułę w następujący sposób. Jak wynika z poniższego rysunku, za pomocą linii środkowej trapez można przekształcić w prostokąt, którego długość będzie równa połowie sumy podstaw.

Możesz także rozłożyć dowolny trapez na prostsze figury: prostokąt i jeden lub dwa trójkąty, a jeśli jest to dla ciebie łatwiejsze, znajdź obszar trapezu jako sumę pól jego figur składowych.

Istnieje inny prosty wzór na obliczenie jego powierzchni. Zgodnie z nim pole trapezu jest równe iloczynowi jego linii środkowej przez wysokość trapezu i zapisuje się w postaci: S = m*h, gdzie S jest polem, m jest długością trapezu linia środkowa, h jest wysokością trapezu. Ten wzór jest bardziej odpowiedni do problemów matematycznych niż do problemów codziennych, ponieważ w rzeczywistych warunkach nie poznasz długości linii środkowej bez wstępnych obliczeń. I będziesz znać tylko długości podstaw i boków.

W takim przypadku obszar trapezu można znaleźć za pomocą wzoru:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

gdzie S to powierzchnia, a, b to podstawy, c, d to boki trapezu.

Istnieje kilka innych sposobów znalezienia obszaru trapezu. Są jednak mniej więcej tak samo niewygodne jak ostatnia formuła, co oznacza, że ​​nie ma sensu się nad nimi rozwodzić. Dlatego zalecamy skorzystanie z pierwszej formuły z artykułu i życzymy, aby zawsze uzyskiwano dokładne wyniki.

Istnieje wiele sposobów znalezienia obszaru trapezu. Zwykle nauczyciel matematyki zna kilka metod jej obliczania, przyjrzyjmy się im bardziej szczegółowo:
1) , gdzie AD i BC to podstawy, a BH to wysokość trapezu. Dowód: narysuj przekątną BD i wyraź pola trójkątów ABD i CDB przez połowę iloczynu ich podstaw i wysokości:

, gdzie DP jest wysokością zewnętrzną w

Dodajmy te równości wyraz po wyrazie i biorąc pod uwagę, że wysokości BH i DP są równe, otrzymamy:

Wyjmijmy to z nawiasów

co było do okazania

Wniosek ze wzoru na pole trapezu:
Ponieważ suma połówek podstaw jest równa MN - zatem linia środkowa trapezu

2) Aplikacja ogólna formuła obszar czworoboku.
Pole czworokąta jest równe połowie iloczynu przekątnych pomnożonego przez sinus kąta między nimi
Aby to udowodnić, wystarczy podzielić trapez na 4 trójkąty, wyrazić pole każdego z nich w kategoriach „połowy iloczynu przekątnych i sinusa kąta między nimi” (przyjętego jako kąt, dodać wynikowy wyrażenia, usuń je z nawiasu i rozłóż ten nawias, korzystając z metody grupowania, aby uzyskać jego równość z wyrażeniem Stąd

3) Metoda przesunięcia diagonalnego
To moje imię. Korepetytor matematyki nie spotka się z takim tytułem w podręcznikach szkolnych. Opis techniki można znaleźć jedynie w dodatku podręczniki jako przykład rozwiązania problemu. Zauważam, że większość interesujących i przydatne fakty Korepetytorzy matematyki odkrywają przed uczniami planimetrię w trakcie wykonywania zadań praktycznych. Jest to wyjątkowo nieoptymalne, ponieważ uczeń musi wydzielić je na osobne twierdzenia i nazwać je „wielkimi nazwiskami”. Jednym z nich jest „przesunięcie po przekątnej”. O czym to jest? Narysujmy prostą równoległą do AC przez wierzchołek B, aż przetnie się ona z dolną podstawą w punkcie E. W tym przypadku czworokąt EBCA będzie (z definicji) równoległobokiem, a zatem BC=EA i EB=AC. Pierwsza równość jest dla nas teraz ważna. Mamy:

Zauważ, że trójkąt ŁÓŻKO, którego powierzchnia jest równa powierzchni trapezu, ma kilka innych niezwykłych właściwości:
1) Jego powierzchnia jest równa powierzchni trapezu
2) Jego równoramienne występują jednocześnie z równoramiennymi samymi trapezami
3) Jego górny kąt w wierzchołku B jest równy kątowi między przekątnymi trapezu (co jest bardzo często wykorzystywane w zadaniach)
4) Jego mediana BK jest równa odległości QS pomiędzy środkami podstaw trapezu. Niedawno zetknąłem się z wykorzystaniem tej własności, przygotowując studenta mechaniki i matematyki na Uniwersytecie Moskiewskim, korzystając z podręcznika Tkachuka, wersja z 1973 r. (zadanie podano na dole strony).

Specjalne techniki dla nauczyciela matematyki.

Czasem proponuję problemy wykorzystując bardzo podstępny sposób wyznaczania pola trapezu. Klasyfikuję ją jako technikę specjalną, ponieważ w praktyce korepetytor wykorzystuje ją niezwykle rzadko. Jeśli potrzebujesz przygotowania do Unified State Exam z matematyki tylko w części B, nie musisz o nich czytać. O innych powiem dalej. Okazuje się, że pole trapezu jest dwukrotnie większe od pola trójkąta z wierzchołkami na końcach jednego boku i środku drugiego, czyli trójkąta ABS na rysunku:
Dowód: narysuj wysokości SM i SN w trójkątach BCS i ADS i wyraź sumę pól tych trójkątów:

Ponieważ punkt S jest środkiem CD, to (udowodnij to sam). Znajdź sumę pól trójkątów:

Ponieważ suma ta okazała się równa połowie powierzchni trapezu, a następnie jego drugiej połowie. Itp.

Dodałbym do zbioru technik specjalnych nauczyciela formę obliczania pola trapezu równoramiennego wzdłuż jego boków: gdzie p jest półobwodem trapezu. Nie dam dowodu. W przeciwnym razie Twój nauczyciel matematyki zostanie bez pracy :). Chodź do klasy!

Problemy na obszarze trapezu:

Notatka nauczyciela matematyki: Poniższa lista nie stanowi metodologicznego uzupełnienia tematu, to jedynie niewielki wybór ciekawe zadania do metod omówionych powyżej.

1) Dolna podstawa trapezu równoramiennego wynosi 13, a górna 5. Znajdź obszar trapezu, jeśli jego przekątna jest prostopadła do boku.
2) Znajdź pole trapezu, jeśli jego podstawy mają długość 2 cm i 5 cm, a boki 2 cm i 3 cm.
3) W trapezie równoramiennym większa podstawa wynosi 11, bok wynosi 5, a przekątna to Znajdź obszar trapezu.
4) Przekątna trapezu równoramiennego wynosi 5, a linia środkowa wynosi 4. Znajdź pole.
5) W trapezie równoramiennym podstawy wynoszą 12 i 20, a przekątne są wzajemnie prostopadłe. Oblicz pole trapezu
6) Przekątna trapezu równoramiennego tworzy kąt z jego dolną podstawą. Znajdź pole trapezu, jeśli jego wysokość wynosi 6 cm.
7) Pole trapezu wynosi 20, a jeden z jego boków ma długość 4 cm. Znajdź odległość do niego od środka przeciwnej strony.
8) Przekątna trapezu równoramiennego dzieli go na trójkąty o polach 6 i 14. Znajdź wysokość, jeśli bok boczny wynosi 4.
9) W trapezie przekątne są równe 3 i 5, a odcinek łączący środki podstaw jest równy 2. Znajdź obszar trapezu (Mekhmat MSU, 1970).

Nie wybrałem najlepszego złożone zadania(nie bójcie się wydziału mechaniki i matematyki!) z oczekiwaniem, że da się je rozwiązać samodzielnie. Zdecyduj się na swoje zdrowie! Jeśli potrzebujesz przygotowania do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki, bez udziału w tym procesie mogą pojawić się wzory na obszar trapezu poważne problemy nawet w przypadku problemu B6, a tym bardziej w przypadku C4. Nie zaczynaj tematu i w razie jakichkolwiek trudności poproś o pomoc. Korepetytor matematyki zawsze chętnie Ci pomoże.

Kołpakow A.N.
Korepetytor matematyki w Moskwie, przygotowanie do Jednolitego Egzaminu Państwowego w Stroginie.

Trapez nazywa się czworokątem, którego tylko dwa boki są do siebie równoległe.

Nazywa się je podstawami figury, pozostałe nazywane są bokami. Równoległoboki są uważane za szczególne przypadki figury. Istnieje również zakrzywiony trapez, który zawiera wykres funkcji. Wzory na powierzchnię trapezu obejmują prawie wszystkie jego elementy i Najlepsza decyzja jest wybierany w zależności od określonych wartości.
Główne role w trapezie przypisane są wysokości i linii środkowej. Środkowa linia- To jest linia łącząca środki boków. Wysokość Trapez jest rysowany pod kątem prostym od górnego rogu do podstawy.
Pole trapezu na jego wysokości jest równe iloczynowi połowy sumy długości podstaw pomnożonej przez wysokość:

Jeśli znana jest linia średnia zgodnie z warunkami, wówczas wzór ten jest znacznie uproszczony, ponieważ jest równy połowie sumy długości podstaw:

Jeśli zgodnie z warunkami podane są długości wszystkich boków, możemy rozważyć przykład obliczenia pola trapezu na podstawie tych danych:

Załóżmy, że mamy trapez o podstawach a = 3 cm, b = 7 cm i bokach c = 5 cm, d = 4 cm. Znajdźmy pole figury:

Powierzchnia trapezu równoramiennego

Trapez równoramienny lub, jak to się nazywa, trapez równoramienny, jest uważany za odrębny przypadek.
Szczególnym przypadkiem jest znalezienie pola trapezu równobocznego. Formuła jest wyprowadzana różne sposoby– przez przekątne, przez kąty przylegające do podstawy i promień okręgu wpisanego.
Jeśli długość przekątnych zostanie określona zgodnie z warunkami i znany jest kąt między nimi, można skorzystać ze wzoru:

Pamiętaj, że przekątne trapezu równoramiennego są sobie równe!

Oznacza to, że znając jedną z ich podstaw, bok i kąt, możesz łatwo obliczyć pole.

Powierzchnia zakrzywionego trapezu

Szczególnym przypadkiem jest zakrzywiony trapez. Znajduje się na osi współrzędnych i jest ograniczony wykresem ciągłej funkcji dodatniej.

Jego podstawa znajduje się na osi X i ogranicza się do dwóch punktów:
Całki pomagają obliczyć powierzchnię zakrzywionego trapezu.
Formuła jest zapisana w następujący sposób:

Rozważmy przykład obliczenia pola zakrzywionego trapezu. Aby móc pracować z pewnymi całkami, formuła wymaga pewnej wiedzy. Najpierw spójrzmy na wartość całki oznaczonej:

Tutaj F(a) jest wartością funkcja pierwotna f(x) w punkcie a, F(b) jest wartością tej samej funkcji f(x) w punkcie b.

Teraz rozwiążmy problem. Rysunek przedstawia zakrzywiony trapez ograniczony funkcją. Funkcjonować
Musimy znaleźć pole wybranej figury, która jest trapezem krzywoliniowym ograniczonym powyżej wykresem, po prawej stronie prostą x =(-8), po lewej stronie prostą x =(-10 ) i oś OX poniżej.
Pole tej figury obliczymy za pomocą wzoru:

Warunki problemu dają nam funkcję. Za jego pomocą znajdziemy wartości funkcji pierwotnej w każdym z naszych punktów:


Teraz
Odpowiedź: Pole danego zakrzywionego trapezu wynosi 4.

Obliczenie tej wartości nie jest skomplikowane. Ważna jest tylko duża ostrożność w obliczeniach.