Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM): definicja, przykłady i własności. Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb

Ale wiele liczb naturalnych jest równo podzielnych przez inne liczby naturalne.

Na przykład:

Liczba 12 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;

Liczba 36 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.

Liczby, przez które liczba jest podzielna (dla 12 jest to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazywamy dzielniki liczb. Dzielnik liczby naturalnej a jest liczbą naturalną, która dzieli podany numer a bez śladu. Nazywamy liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki złożony .

Zauważ, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Są to liczby: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12. Wspólny dzielnik tych dwóch liczb a oraz b jest liczbą, przez którą obie podane liczby są podzielne bez reszty a oraz b.

wspólna wielokrotność kilka liczb nazywa się liczbą, która jest podzielna przez każdą z tych liczb. Na przykład, liczby 9, 18 i 45 mają wspólną wielokrotność 180. Ale 90 i 360 są również ich wspólnymi wielokrotnościami. Wśród wszystkich j wspólnych wielokrotności zawsze jest najmniejsza, w tym przypadku jest to 90. Ta liczba nazywa się najmniejwspólna wielokrotność (LCM).

LCM jest zawsze liczbą naturalną, która musi być większa od największej z liczb, dla których jest zdefiniowana.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). Nieruchomości.

Przemienność:

Asocjatywność:

W szczególności, jeśli i są liczbami względnie pierwszymi, to:

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych m oraz n jest dzielnikiem wszystkich innych wspólnych wielokrotności m oraz n. Ponadto zbiór wspólnych wielokrotności m, rz pokrywa się ze zbiorem wielokrotności dla LCM( m, rz).

Asymptotyki dla można wyrazić za pomocą niektórych funkcji teorii liczb.

Więc, Funkcja Czebyszewa. Jak również:

Wynika to z definicji i własności funkcji Landaua g(n).

Co wynika z prawa dystrybucji liczb pierwszych.

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).

NOC( a, b) można obliczyć na kilka sposobów:

1. Jeśli znany jest największy wspólny dzielnik, można wykorzystać jego związek z LCM:

2. Niech znany będzie kanoniczny rozkład obu liczb na czynniki pierwsze:

gdzie p 1 ,..., str k są różnymi liczbami pierwszymi i d 1 ,...,dk oraz e 1 ,...,ek są nieujemnymi liczbami całkowitymi (mogą wynosić zero, jeśli odpowiadająca im liczba pierwsza nie występuje w rozwinięciu).

Następnie LCM ( a,b) oblicza się ze wzoru:

Innymi słowy, rozwinięcie LCM zawiera wszystkie czynniki pierwsze, które są zawarte w co najmniej jednym rozwinięciu liczb a, b, i bierze się największy z dwóch wykładników tego czynnika.

Przykład:

Obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności kilku liczb można sprowadzić do kilku kolejnych obliczeń LCM dwóch liczb:

Reguła. Aby znaleźć LCM szeregu liczb, potrzebujesz:

- rozkładać liczby na czynniki pierwsze;

- przenieść największą ekspansję na czynniki pożądanego produktu (iloczyn czynników duża liczba z podanych), a następnie dodać czynniki z rozkładu innych liczb, które nie występują w pierwszej liczbie lub występują w niej mniejszą liczbę razy;

- wynikowym iloczynem czynników pierwszych będzie LCM podanych liczb.

Dowolne dwa lub więcej liczby naturalne mieć własny NOC. Jeśli liczby nie są wielokrotnościami siebie lub nie mają tych samych czynników w rozwinięciu, to ich LCM jest równy iloczynowi tych liczb.

Czynniki pierwsze liczby 28 (2, 2, 7) zostały uzupełnione o współczynnik 3 (liczba 21), a wynikowy iloczyn (84) będzie najmniejszą liczbą podzielną przez 21 i 28.

Czynniki pierwsze największej liczby 30 zostały uzupełnione o współczynnik 5 liczby 25, otrzymany iloczyn 150 jest większy niż największa liczba 30 i jest podzielny przez wszystkie podane liczby bez reszty. Jest to najmniejszy możliwy iloczyn (150, 250, 300...), którego wielokrotnością są wszystkie podane liczby.

Liczby 2,3,11,37 są liczbami pierwszymi, więc ich LCM jest równy iloczynowi danych liczb.

reguła. Aby obliczyć LCM liczb pierwszych, musisz pomnożyć wszystkie te liczby razem.

Inna opcja:

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) kilku liczb, potrzebujesz:

1) przedstawiają każdą liczbę jako iloczyn jej czynników pierwszych, na przykład:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) wypisz potęgi wszystkich czynników pierwszych:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) wypisz wszystkie dzielniki pierwsze (mnożniki) każdej z tych liczb;

4) wybrać największy stopień każdej z nich, występujący we wszystkich rozwinięciach tych liczb;

5) pomnóż te potęgi.

Przykład. Znajdź LCM liczb: 168, 180 i 3024.

Rozwiązanie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Wypisujemy największe potęgi wszystkich pierwszych dzielników i mnożymy je:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Przedstawiony poniżej materiał jest logiczną kontynuacją teorii z artykułu pod nagłówkiem LCM – najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, zależność między LCM a NWD. Tutaj porozmawiamy o znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM), oraz Specjalna uwaga Rzućmy okiem na przykłady. Najpierw pokażmy, jak oblicza się LCM dwóch liczb na podstawie NWD tych liczb. Następnie rozważ znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczenie LCM liczb ujemnych.

Nawigacja po stronie.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd

Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest relacja między LCM i NWD. Istniejące połączenie między LCM a NWD pozwala obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych przez znaną największą wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła ma postać LCM(a, b)=a b: NWD(a, b) . Rozważ przykłady znajdowania LCM według powyższego wzoru.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70 .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a=126 , b=70 . Skorzystajmy z zależności między LCM i NWD wyrażonej wzorem LCM(a, b)=a b: NWD(a, b). Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb zgodnie z zapisanym wzorem.

Znajdź gcd(126, 70) za pomocą algorytmu Euklidesa: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , stąd gcd(126, 70)=14 .

Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126 70: LM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Odpowiadać:

LCM(126, 70)=630 .

Przykład.

Co to jest LCM(68, 34)?

Rozwiązanie.

Dlatego 68 jest równo podzielne przez 34 , to gcd(68, 34)=34 . Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Odpowiadać:

LCM(68, 34)=68 .

Zauważ, że poprzedni przykład pasuje do następującej reguły znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych a i b : jeśli liczba a jest podzielna przez b , to najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a .

Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli zrobimy iloczyn wszystkich czynników pierwszych tych liczb, po czym wykluczymy z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze, które występują w rozwinięciach tych liczb, to wynikowy iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb.

Ogłoszona reguła znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b: NWD(a, b). Rzeczywiście, iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia liczb aib. Z kolei gcd(a, b) jest równy produktowi wszystkie czynniki pierwsze, które są jednocześnie obecne w rozwinięciach liczb a i b (co jest opisane w części dotyczącej znajdowania NWD za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze).

Weźmy przykład. Powiedzmy, że 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Skomponuj iloczyn wszystkich czynników tych rozszerzeń: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz wyłączymy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak iw rozwinięciu liczby 210 (takimi czynnikami są 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2 3 5 5 7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 75 i 210, czyli LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Przykład.

Po rozłożeniu liczb 441 i 700 na czynniki pierwsze, znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:

Otrzymujemy 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Teraz zróbmy iloczyn wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia tych liczb: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki występujące jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik - jest to liczba 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . W ten sposób, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odpowiadać:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Regułę znajdowania LCM na podstawie rozkładu liczb na czynniki pierwsze można sformułować nieco inaczej. Jeśli do czynników z rozwinięcia liczby a dodamy brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.

Weźmy na przykład te same liczby 75 i 210, ich rozwinięcia na czynniki pierwsze są następujące: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Do czynników 3, 5 i 5 z rozkładu liczby 75 dodamy brakujące czynniki 2 i 7 z rozkładu liczby 210, otrzymamy iloczyn 2 3 5 5 7 , którego wartość to LCM(75 , 210).

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 84 i 648.

Rozwiązanie.

Najpierw otrzymujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Do czynników 2 , 2 , 3 i 7 z rozkładu liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i 3 z rozkładu liczby 648 , otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7 , co równa się 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 84 i 648 wynosi 4536.

Odpowiadać:

LCM(84, 648)=4 536 .

Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, znajdując kolejno LCM dwóch liczb. Przypomnij sobie odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.

Twierdzenie.

Niech dodatnie liczby całkowite a 1 , a 2 , …, a k to najmniejsza wspólna wielokrotność m k tych liczb znajduje się w obliczeniu sekwencyjnym m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , za k) .

Rozważ zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.

Przykład.

Znajdź LCM czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Najpierw znajdujemy m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby to zrobić, używając algorytmu Euklidesa, wyznaczamy gcd(140, 9) , mamy 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , zatem gcd( 140, 9)=1 , skąd LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . To znaczy m 2 = 1 260 .

Teraz znajdujemy m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Obliczmy to za pomocą funkcji gcd(1 260, 54) , która jest również określona przez algorytm Euklidesa: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Wtedy gcd(1 260, 54)=18 , skąd LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To znaczy m 3 \u003d 3 780.

Pozostało znaleźć m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy NWD(3 780, 250) za pomocą algorytmu Euklidesa: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dlatego gcd(3 780, 250)=10 , skąd gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . To znaczy m 4 \u003d 94 500.

Tak więc najmniejszą wspólną wielokrotnością czterech oryginalnych liczb jest 94 500.

Odpowiadać:

LCM(140, 9, 54, 250)=94500.

W wielu przypadkach najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można wygodnie znaleźć za pomocą rozkładu na czynniki pierwsze podanych liczb. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się z następujących elementów: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodaje się do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia do otrzymanych współczynników dodaje się trzecią liczbę i tak dalej.

Rozważmy przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Rozwiązanie.

Najpierw otrzymujemy rozwinięcia tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 czynników pierwszych) i 143=11 13 .

Aby znaleźć LCM tych liczb, do czynników pierwszej liczby 84 (są to 2 , 2 , 3 i 7 ) należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6 . Rozwinięcie liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozwinięciu pierwszej liczby 84 . Oprócz czynników 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 , otrzymujemy zbiór czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 . Nie ma potrzeby dodawania czynników do tego zestawu w następnym kroku, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143 . Otrzymujemy iloczyn 2 2 2 2 3 7 11 13 , co jest równe 48 048 .

Wielokrotność liczby to liczba, która jest podzielna przez daną liczbę bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) grupy liczb to najmniejsza liczba, która jest równo podzielna przez każdą liczbę w grupie. Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musisz znaleźć czynniki pierwsze podanych liczb. Ponadto LCM można obliczyć za pomocą wielu innych metod, które mają zastosowanie do grup dwóch lub więcej liczb.

Kroki

Seria wielokrotności

Spójrz na te liczby. Opisaną tutaj metodę najlepiej stosować, gdy podane są dwie liczby, każda mniejsza niż 10. Jeśli podano duże liczby, użyj innej metody.

• Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 5 i 8. Są to małe liczby, więc można użyć tej metody.

1. Wielokrotność liczby to liczba, która jest podzielna przez daną liczbę bez reszty. Wiele liczb można znaleźć w tabliczce mnożenia.

   • Na przykład liczby będące wielokrotnościami 5 to: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapisz szereg liczb, które są wielokrotnościami pierwszej liczby. Zrób to pod wielokrotnościami pierwszej liczby, aby porównać dwa rzędy liczb.

   • Na przykład liczby będące wielokrotnościami 8 to: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Znajdź najmniejszą liczbę, która pojawia się w obu seriach wielokrotności. Być może będziesz musiał napisać długą serię wielokrotności, aby znaleźć Łączna. Najmniejsza liczba występująca w obu seriach wielokrotności jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.

   • Na przykład najmniejsza liczba występująca w serii wielokrotności 5 i 8 to 40. Zatem 40 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 5 i 8.

   Rozkład na czynniki pierwsze

   1. Spójrz na te liczby. Opisaną tutaj metodę najlepiej stosować, gdy podane są dwie liczby, które są większe niż 10. Jeśli podane są mniejsze liczby, użyj innej metody.

      • Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 20 i 84. Każda z liczb jest większa niż 10, więc można użyć tej metody.

   2. Rozłóż pierwszą liczbę na czynniki. Oznacza to, że musisz znaleźć takie liczby pierwsze, po pomnożeniu otrzymasz daną liczbę. Po znalezieniu czynników pierwszych zapisz je jako równość.

      • Na przykład, 2 × 10 = 20 (\ Displaystyle (\ mathbf (2) ) \ razy 10 = 20) oraz 2 × 5 = 10 (\ Displaystyle (\ mathbf (2) ) \ razy (\ mathbf (5) ) = 10). Zatem czynnikami pierwszymi liczby 20 są liczby 2, 2 i 5. Zapisz je jako wyrażenie: .

   3. Rozłóż drugą liczbę na czynniki pierwsze. Zrób to w taki sam sposób, jak rozłożyłeś pierwszą liczbę na czynniki, czyli znajdź takie liczby pierwsze, które po pomnożeniu dadzą tę liczbę.

      • Na przykład, 2 × 42 = 84 (\ Displaystyle (\ mathbf (2) ) \ razy 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ Displaystyle (\ mathbf (7) ) \ razy 6 = 42) oraz 3 × 2 = 6 (\ Displaystyle (\ mathbf (3) ) \ razy (\ mathbf (2) ) = 6). Zatem czynnikami pierwszymi liczby 84 są liczby 2, 7, 3 i 2. Zapisz je jako wyrażenie: .

   4. Zapisz dzielniki wspólne dla obu liczb. Zapisz takie czynniki jako operację mnożenia. Zapisując każdy czynnik, przekreśl go w obu wyrażeniach (wyrażeniach opisujących rozkład liczb na czynniki pierwsze).

      • Na przykład wspólny czynnik dla obu liczb to 2, więc napisz 2 × (\ displaystyle 2 \ razy) i przekreśl cyfrę 2 w obu wyrażeniach.
      • Wspólnym dzielnikiem dla obu liczb jest kolejny dzielnik 2, więc napisz 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ razy 2) i przekreśl drugie 2 w obu wyrażeniach.

   5. Dodaj pozostałe czynniki do operacji mnożenia. Są to czynniki, które nie są przekreślone w obu wyrażeniach, czyli czynniki, które nie są wspólne dla obu liczb.

      • Na przykład w wyrażeniu 20 = 2 × 2 × 5 (\ Displaystyle 20 = 2 \ razy 2 \ razy 5) obie dwójki (2) są przekreślone, ponieważ są czynnikami wspólnymi. Współczynnik 5 nie jest przekreślony, więc operację mnożenia zapisz w następujący sposób: 2 × 2 × 5 (\ Displaystyle 2 \ razy 2 \ razy 5)
      • w wyrażeniu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ Displaystyle 84 = 2 \ razy 7 \ razy 3 \ razy 2) obie dwójki (2) są również przekreślone. Czynniki 7 i 3 nie są przekreślone, więc operację mnożenia zapisz w następujący sposób: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ Displaystyle 2 \ razy 2 \ razy 5 \ razy 7 \ razy 3).

   6. Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność. Aby to zrobić, pomnóż liczby w pisemnej operacji mnożenia.

      • Na przykład, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ Displaystyle 2 \ razy 2 \ razy 5 \ razy 7 \ razy 3 = 420). Zatem najmniejszą wspólną wielokrotnością 20 i 84 jest 420.

   Znajdowanie wspólnych dzielników

   1. Narysuj siatkę, tak jak w przypadku gry w kółko i krzyżyk. Taka siatka składa się z dwóch równoległych linii, które przecinają się (pod kątem prostym) z dwoma innymi równoległymi liniami. Spowoduje to powstanie trzech wierszy i trzech kolumn (siatka wygląda bardzo podobnie do znaku #). Wpisz pierwszą liczbę w pierwszym rzędzie i drugiej kolumnie. Wpisz drugą liczbę w pierwszym rzędzie i trzeciej kolumnie.

      • Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 18 i 30. Wpisz 18 w pierwszym rzędzie i drugiej kolumnie, a 30 w pierwszym rzędzie i trzeciej kolumnie.

   2. Znajdź dzielnik wspólny dla obu liczb. Zapisz to w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie. Lepiej jest szukać dzielników pierwszych, ale nie jest to warunek wstępny.

      • Na przykład 18 i 30 to liczby parzyste, więc ich wspólnym dzielnikiem jest 2. Wpisz więc 2 w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie.

   3. Podziel każdą liczbę przez pierwszy dzielnik. Wpisz każdy iloraz pod odpowiednią liczbą. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb.

      • Na przykład, 18 ÷ 2 = 9 (\ Displaystyle 18 \ dział 2 = 9), więc napisz 9 poniżej 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ Displaystyle 30 \ dział 2 = 15), więc napisz 15 poniżej 30.

   4. Znajdź dzielnik wspólny dla obu ilorazów. Jeśli nie ma takiego dzielnika, pomiń kolejne dwa kroki. W przeciwnym razie zapisz dzielnik w drugim wierszu i pierwszej kolumnie.

      • Na przykład 9 i 15 są podzielne przez 3, więc wpisz 3 w drugim rzędzie i pierwszej kolumnie.

   5. Podziel każdy iloraz przez drugi dzielnik. Zapisz każdy wynik dzielenia pod odpowiednim ilorazem.

      • Na przykład, 9 ÷ 3 = 3 (\ Displaystyle 9 \ dział 3 = 3), więc napisz 3 poniżej 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ Displaystyle 15 \ dział 3 = 5), więc napisz 5 poniżej 15.

   6. W razie potrzeby uzupełnij siatkę o dodatkowe komórki. Powtarzaj powyższe kroki, aż ilorazy będą miały wspólny dzielnik.

   7. Zakreśl liczby w pierwszej kolumnie i ostatnim rzędzie siatki. Następnie zapisz podświetlone liczby jako operację mnożenia.

      • Na przykład liczby 2 i 3 znajdują się w pierwszej kolumnie, a liczby 3 i 5 w ostatnim wierszu, więc zapisz operację mnożenia w następujący sposób: 2 × 3 × 3 × 5 (\ Displaystyle 2 \ razy 3 \ razy 3 \ razy 5).

   8. Znajdź wynik mnożenia liczb. Spowoduje to obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch podanych liczb.

      • Na przykład, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ Displaystyle 2 \ razy 3 \ razy 3 \ razy 5 = 90). Zatem najmniejszą wspólną wielokrotnością 18 i 30 jest 90.

   Algorytm Euklidesa

   1. Zapamiętaj terminologię związaną z operacją dzielenia. Dywidenda to liczba, która jest dzielona. Dzielnik to liczba, przez którą należy dzielić. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb. Reszta to liczba, która pozostała po podzieleniu dwóch liczb.

      • Na przykład w wyrażeniu 15 ÷ 6 = 2 (\ Displaystyle 15 \ div 6 = 2) reszta. 3:
        15 jest podzielne
        6 to dzielnik
        2 jest prywatny
        3 to reszta.

Zacznijmy studiować najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch lub więcej liczb. W tej sekcji podamy definicję tego terminu, rozważymy twierdzenie, które ustanawia związek między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem, oraz podamy przykłady rozwiązywania problemów.

Wspólne wielokrotności - definicja, przykłady

W tym temacie będziemy interesować się tylko wspólnymi wielokrotnościami liczb całkowitych różnych od zera.

Definicja 1

Wspólna wielokrotność liczb całkowitych jest liczbą całkowitą będącą wielokrotnością wszystkich podanych liczb. W rzeczywistości jest to dowolna liczba całkowita, którą można podzielić przez dowolną z podanych liczb.

Definicja wspólnych wielokrotności odnosi się do dwóch, trzech lub więcej liczb całkowitych.

Przykład 1

Zgodnie z definicją podaną powyżej dla liczby 12, wspólnymi wielokrotnościami są 3 i 2. Również liczba 12 będzie wspólną wielokrotnością liczb 2 , 3 i 4 . Liczby 12 i -12 to wspólne wielokrotności liczb ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Równocześnie wspólną wielokrotnością liczb 2 i 3 będą liczby 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 i dowolną liczbę innych.

Jeśli weźmiemy liczby, które są podzielne przez pierwszą liczbę z pary i niepodzielne przez drugą, to takie liczby nie będą wspólnymi wielokrotnościami. Zatem dla liczb 2 i 3 liczby 16 , − 27 , 5009 , 27001 nie będą wspólnymi wielokrotnościami.

0 jest wspólną wielokrotnością dowolnego zestawu niezerowych liczb całkowitych.

Jeśli przypomnimy sobie własność podzielności względem liczby przeciwne, to okazuje się, że pewna liczba całkowita k będzie wspólną wielokrotnością tych liczb w taki sam sposób jak liczba - k . Oznacza to, że wspólne dzielniki mogą być dodatnie lub ujemne.

Czy można znaleźć LCM dla wszystkich numerów?

Wspólną wielokrotność można znaleźć dla dowolnych liczb całkowitych.

Przykład 2

Załóżmy, że jest nam dane k liczby całkowite za 1 , za 2 , … , za k. Liczba, którą otrzymujemy podczas mnożenia liczb a 1 a 2 … a k zgodnie z właściwością podzielności zostanie ona podzielona przez każdy z czynników, które zostały uwzględnione w pierwotnym produkcie. Oznacza to, że iloczyn liczb za 1 , za 2 , … , za k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.

Ile wspólnych wielokrotności mogą mieć te liczby całkowite?

Grupa liczb całkowitych może mieć duża liczba wspólne wielokrotności. W rzeczywistości ich liczba jest nieskończona.

Przykład 3

Załóżmy, że mamy pewną liczbę k . Wtedy iloczyn liczb k · z , gdzie z jest liczbą całkowitą, będzie wspólną wielokrotnością liczb k i z . Biorąc pod uwagę, że liczba liczb jest nieskończona, liczba wspólnych wielokrotności jest nieskończona.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) — definicja, symbol i przykłady

Pamiętajmy o koncepcji najmniejsza liczba z danego zestawu liczb, co rozważyliśmy w sekcji Porównanie liczb całkowitych. Mając to na uwadze, sformułujmy definicję najmniejszej wspólnej wielokrotności, która ma największą wartość praktyczną spośród wszystkich wspólnych wielokrotności.

Definicja 2

Najmniejsza wspólna wielokrotność podanych liczb całkowitych jest najmniejszą dodatnią wspólną wielokrotnością tych liczb.

Dla dowolnej liczby podanych liczb istnieje najmniejsza wspólna wielokrotność. Skrót NOK jest najczęściej używanym określeniem pojęcia w literaturze przedmiotu. Skrót dla najmniejszej wspólnej wielokrotności dla liczb za 1 , za 2 , … , za k będzie wyglądać jak LCM (za 1 , za 2 , … , za k).

Przykład 4

Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 6 i 7 jest 42. Tych. LCM(6, 7) = 42. Najmniejsza wspólna wielokrotność czterech liczb - 2, 12, 15 i 3 będzie równa 60. Skrótem będzie LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​= 60 .

Nie dla wszystkich grup podanych liczb najmniejsza wspólna wielokrotność jest oczywista. Często trzeba to obliczyć.

Związek między NOC i NOD

Najmniejsza wspólna wielokrotność i największy wspólny dzielnik są ze sobą powiązane. Związek między pojęciami jest ustalany przez twierdzenie.

Twierdzenie 1

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych aib jest równa iloczynowi liczb aib podzielonych przez największy wspólny dzielnik liczb aib , czyli LCM (a , b) = a b: gcd (a , b) .

Dowód 1

Załóżmy, że mamy pewną liczbę M, która jest wielokrotnością liczb a i b . Jeśli liczba M jest podzielna przez a, istnieje również pewna liczba całkowita z , pod którym równość M = k. Zgodnie z definicją podzielności, jeśli M jest również podzielne przez b, i wtedy k podzielony przez b.

Jeśli wprowadzimy nową notację dla gcd (a , b) as d, to możemy skorzystać z równości za = za 1 re i b = b 1 · re . W tym przypadku obie równości będą wzajemnie liczby pierwsze.

Ustaliliśmy już powyżej k podzielony przez b. Teraz ten warunek można zapisać w następujący sposób:
a 1 d k podzielony przez b 1 d, co jest równoważne z warunkiem 1 k podzielony przez b1 zgodnie z właściwościami podzielności.

Zgodnie z właściwością liczb względnie pierwszych, jeśli 1 oraz b1 są wzajemnie liczbami pierwszymi, 1 niepodzielne przez b1 pomimo tego, że 1 k podzielony przez b1, następnie b1 powinien się podzielić k.

W takim przypadku należałoby założyć, że istnieje liczba t, dla którego k = b 1 t i od tego czasu b1=b:d, następnie k = b: re t.

Teraz zamiast k postawić na równość M = k wyraz formy b: d t. To pozwala nam dojść do równości M = za b: re t. Na t=1 możemy otrzymać najmniejszą dodatnią wspólną wielokrotność a i b , równy a b: d, pod warunkiem, że liczby a i b pozytywny.

Udowodniliśmy więc, że LCM (a , b) = a b: NWD (a,b).

Ustanowienie połączenia między LCM i NWD pozwala znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność przez największy wspólny dzielnik dwóch lub więcej podanych liczb.

Definicja 3

Twierdzenie ma dwie ważne konsekwencje:

• wielokrotności najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb są takie same jak wspólne wielokrotności tych dwóch liczb;
• najmniejsza wspólna wielokrotność liczb względnie pierwszych dodatnich aib jest równa ich iloczynowi.

Nietrudno uzasadnić te dwa fakty. Dowolna wspólna wielokrotność M liczb aib jest zdefiniowana przez równość M = LCM (a, b) t dla pewnej wartości całkowitej t. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, to gcd (a, b) = 1, zatem LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Najmniejsza wspólna wielokrotność trzech lub więcej liczb

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb, należy kolejno znaleźć LCM dwóch liczb.

Twierdzenie 2

Udawajmy, że za 1 , za 2 , … , za k są pewnymi dodatnimi liczbami całkowitymi. Aby obliczyć LCM m k te liczby, musimy sekwencyjnie obliczyć m2 = LCM(za 1 , za 2) , m 3 = NOC(m 2 , za 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , ak) .

Dowód 2

Pierwszy wniosek pierwszego twierdzenia omówiony w tym temacie pomoże nam udowodnić poprawność drugiego twierdzenia. Rozumowanie jest budowane zgodnie z następującym algorytmem:

• wspólne wielokrotności liczb 1 oraz 2 pokrywają się z wielokrotnościami ich LCM, w rzeczywistości pokrywają się z wielokrotnościami liczby m2;
• wspólne wielokrotności liczb 1, 2 oraz 3 m2 oraz 3 m 3;
• wspólne wielokrotności liczb za 1 , za 2 , … , za k pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczb m k - 1 oraz k, dlatego pokrywają się z wielokrotnościami liczby m k;
• ze względu na to, że najmniejsza dodatnia wielokrotność liczby m k jest samą liczbą m k, to najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb za 1 , za 2 , … , za k jest m k.

Udowodniliśmy więc twierdzenie.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb jest bezpośrednio związana z największym wspólnym dzielnikiem tych liczb. Ten związek między GCD a NOC jest określony przez następujące twierdzenie.

Twierdzenie.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych aib jest równa iloczynowi aib podzielonego przez największy wspólny dzielnik aib, czyli LCM(a, b)=a b: NWD(a, b).

Dowód.

Wynajmować M jest pewną wielokrotnością liczb a i b. Oznacza to, że M jest podzielne przez a, a zgodnie z definicją podzielności istnieje pewna liczba całkowita k taka, że ​​równość M=ak·k jest prawdziwa. Ale M jest również podzielne przez b, więc k jest podzielne przez b.

Oznaczmy gcd(a, b) jako d . Wtedy możemy zapisać równości a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d będą liczbami względnie pierwszymi. Zatem otrzymany w poprzednim akapicie warunek, że a k jest podzielna przez b, można przeformułować w następujący sposób: a 1 d k jest podzielne przez b 1 d , a to ze względu na własności podzielności jest równoważne warunkowi, że a 1 k jest podzielna przez b jeden .

Musimy również zapisać dwa ważne wnioski z rozważanego twierdzenia.

Wspólne wielokrotności dwóch liczb są takie same jak wielokrotności ich najmniejszej wspólnej wielokrotności.

To prawda, ponieważ każda wspólna wielokrotność M liczb aib jest zdefiniowana przez równość M=LCM(a, b) t dla pewnej wartości całkowitej t .

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb względnie pierwszych dodatnich aib jest równa ich iloczynowi.

Uzasadnienie tego faktu jest dość oczywiste. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, to gcd(a, b)=1 , zatem LCM(a, b)=a b: NWD(a, b)=a b:1=a b.

Najmniejsza wspólna wielokrotność trzech lub więcej liczb

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności trzech lub więcej liczb można sprowadzić do sukcesywnego znajdowania LCM dwóch liczb. Jak to się robi, pokazuje następujące twierdzenie: a 1 , a 2 , …, a k pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczb m k-1 i a k ​​, zatem pokrywają się z wielokrotnościami m k . A ponieważ najmniejszą dodatnią wielokrotnością liczby m k jest sama liczba m k, to najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb a 1 , a 2 , …, a k jest m k .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. itp. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych.
• Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
• Michałowicz Sz.Kh. Teoria liczb.
• Kulikow L.Ya. i inne Zbiór problemów z algebry i teorii liczb: Instruktaż dla studentów fizyki i matematyki. specjalności instytutów pedagogicznych.