Patunayan ang teorama sa ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok. "ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok"

Kahulugan at katangian ng magkatulad na tatsulok

Ang mga numerong a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ay tinatawag na proporsyonal sa mga numerong b 1 , b 2 , b 3 , ..., b n kung ang pagkakapantay-pantay ay: a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = a 3 / b 3 = ... = a n /b n = k, kung saan ang k ay isang tiyak na numero, na tinatawag na coefficient of proportionality.

Halimbawa. Bilang 6; 7.5 at 15 ay proporsyonal sa -4; 5 at 10. Ang proportionality factor ay -1.5 dahil

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Ang proporsyonalidad ng mga numero ay nagaganap kung ang mga numerong ito ay nauugnay sa proporsyon.

Alam na ang isang proporsyon ay maaaring binubuo ng hindi bababa sa apat na numero, kaya ang konsepto ng proporsyonalidad ay naaangkop sa hindi bababa sa apat na numero (isang pares ng mga numero ay proporsyonal sa isa pang pares, o isang triple ng mga numero ay proporsyonal sa isa pang triple, atbp. .).

Isaalang-alang sa kanin. isa dalawang tatsulok ABC at A 1 B 1 C 1 na may pantay na mga anggulo sa mga pares: A \u003d A 1, B \u003d B 1, C \u003d C 1.

Tinatawag ang mga panig na magkasalungat na magkaparehong pares ng mga anggulo ng parehong tatsulok katulad. Oo, sa kanin. isa panig AB at A 1 B 1 , AC at A 1 C 1 , BC at B 1 C 1 , magkatulad dahil nakahiga sila sa tapat ng pantay na mga anggulo ng mga tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1 ayon sa pagkakabanggit.

Tukuyin natin ang mga katulad na tatsulok:

Ang dalawang tatsulok ay tinatawag katulad, kung ang kanilang mga anggulo ay magkapares na pantay, at magkatulad na panig ay proporsyonal.

Ang ratio ng magkatulad na panig ng magkatulad na tatsulok ay tinatawag koepisyent ng pagkakatulad.

Ang mga magkatulad na tatsulok ay tinutukoy bilang mga sumusunod: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

So on kanin. 2 mayroon kaming: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

mga anggulo A \u003d A 1, B \u003d B 1, C \u003d C 1 at AB / A 1 B 1 \u003d BC / B 1 C 1 \u003d AC / A 1 C 1 \u003d k, kung saan ang k ay ang pagkakatulad koepisyent. Mula sa kanin. 2 makikita na ang mga katulad na tatsulok ay may parehong sukat, at sila ay naiiba lamang sa sukat.

Tandaan 1: Ang mga pantay na tatsulok ay magkatulad na may salik na 1.

Tandaan 2: Kapag nagtatalaga ng mga katulad na tatsulok, ang kanilang mga vertices ay dapat na iayos sa paraang ang mga anggulo sa mga ito ay pantay sa mga pares. Halimbawa, para sa mga tatsulok na ipinapakita sa Figure 2, hindi tamang sabihin na Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1. Ang pagmamasid sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga vertice, ito ay maginhawa upang isulat ang proporsyon na nagkokonekta sa magkatulad na panig ng mga tatsulok nang hindi tumutukoy sa pagguhit: ang numerator at denominator ng kaukulang mga ratio ay dapat maglaman ng mga pares ng mga vertice na sumasakop sa parehong mga posisyon sa pagtatalaga ng mga katulad na tatsulok. Halimbawa, mula sa notasyong "Δ ABC ~ Δ KNL" sumusunod na ang mga anggulo A = K, B = N, C = L, at AB / KN = BC / NL = AC / KL.

Tandaan 3: Ang mga kinakailangan na nakalista sa kahulugan ng mga katulad na tatsulok ay kalabisan. Ang pamantayan ng pagkakatulad ng tatsulok, na naglalaman ng mas kaunting mga kinakailangan para sa mga katulad na tatsulok, ay mapapatunayan sa ibang pagkakataon.

Bumalangkas tayo mga katangian ng magkatulad na tatsulok:

Ang ratio ng kaukulang mga linear na elemento ng magkatulad na tatsulok ay katumbas ng koepisyent ng kanilang pagkakapareho. Kasama sa mga elemento ng magkatulad na tatsulok ang mga sinusukat sa mga yunit ng haba. Ito ay, halimbawa, ang gilid ng isang tatsulok, perimeter, median. Ang anggulo o lugar ay hindi ganoong mga elemento.
Ang ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng kanilang pagkakatulad na koepisyent.

Hayaang magkatulad ang mga tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1 sa coefficient k (Larawan 2).

Patunayan natin na S ABC /S A1 B1 C1 = k 2 .

Dahil ang mga anggulo ng magkatulad na tatsulok ay magkaparehong magkapares, i.e. A \u003d A 1, at ayon sa theorem sa ratio ng mga lugar ng mga tatsulok na may pantay na mga anggulo, mayroon kaming:

S ABC /S A1 B1 C1 \u003d (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) \u003d AB / A 1 B 1 AC / A 1 C 1.

Dahil sa pagkakapareho ng mga tatsulok AB/A 1 B 1 = k at AC/A 1 C 1 = k,

kaya S ABC /S A1 B1 C1 = AB/A 1 B 1 AC/A 1 C 1 = k k = k 2 .

Tandaan: Ang mga katangian ng mga katulad na tatsulok na nabuo sa itaas ay may bisa din para sa mga arbitrary na figure.

Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tatsulok

Ang mga kinakailangan na ipinapataw sa mga katulad na tatsulok ayon sa kahulugan (ito ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo at proporsyonalidad ng mga panig) ay kalabisan. Maaari mo ring itakda ang pagkakatulad ng mga tatsulok sa pamamagitan ng mas maliit na bilang ng mga elemento.

Kaya, kapag nilutas ang mga problema, ang unang tanda ng pagkakapareho ng mga tatsulok ay madalas na ginagamit, na nagsasabi na para sa pagkakapareho ng dalawang tatsulok, sapat na ang kanilang mga anggulo ay pantay-pantay:

Ang unang tanda ng pagkakatulad ng mga tatsulok (sa dalawang anggulo): Kung ang dalawang anggulo ng isang tatsulok ay magkapareho sa dalawang anggulo ng pangalawang tatsulok, magkatulad ang mga tatsulok na ito (Larawan 3).

Hayaang ibigay ang mga tatsulok Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1, kung saan ang mga anggulo A = A 1 , B = B 1 . Kinakailangang patunayan na Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Patunay.

1) Ayon sa theorem sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok, mayroon tayong:

anggulo C = 180° (anggulo A + anggulo B) = 180° (anggulo A 1 + anggulo B 1) = anggulo C 1 .

2) Ayon sa theorem sa ratio ng mga lugar ng mga tatsulok na may pantay na anggulo,

S ABC /S A1 B1 C1 \u003d (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) \u003d (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) \u003d (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1).

3) Mula sa pagkakapantay-pantay (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) sumusunod na AC / A 1 C 1 = BC /B 1 C 1 .

4) Mula sa pagkakapantay-pantay (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) = (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1) sumusunod na AB / A 1 B 1 = AC /A 1 C 1 .

Kaya, para sa mga triangles ABC at A 1 B 1 C 1 DA \u003d DA 1, DB \u003d DB 1, DC \u003d DC 1, at AB / A 1 B 1 \u003d AC / A 1 C 1.

5) AB / A 1 B 1 \u003d AC / A 1 C 1 \u003d BC / B 1 C 1, iyon ay, ang magkatulad na panig ay proporsyonal. Kaya, Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 ayon sa kahulugan.

Theorem sa proporsyonal na mga segment. Dibisyon ng isang segment sa isang ibinigay na ratio

Ang proportional interval theorem ay isang generalization ng Thales theorem.

Upang magamit ang Thales theorem, kinakailangan na ang mga parallel na linya na nagsa-intersecting sa dalawang ibinigay na linya ay pumutol ng pantay na mga segment sa isa sa kanila. Ang generalised Thales theorem ay nagsasaad na kung ang magkatulad na mga linya ay bumalandra sa dalawang ibinigay na linya, kung gayon ang mga segment na pinutol ng mga ito sa isang linya ay proporsyonal sa mga segment na pinutol sa pangalawang linya.

Ang theorem sa proportional segment ay napatunayang katulad ng Thales theorem (lamang sa halip na ang pagkakapantay-pantay ng mga triangles, ang kanilang pagkakatulad ay ginagamit dito).

Theorem sa proporsyonal na mga segment (generalized Thales theorem): Ang mga parallel na linya na nagsasalubong sa dalawang ibinigay na linya ay pinuputol ang mga proporsyonal na segment sa kanila.

Triangle median na ari-arian

Ang unang tanda ng pagkakapareho ng mga tatsulok ay nagpapahintulot sa amin na patunayan ang median na pag-aari ng isang tatsulok:

Triangle median property: Ang mga median ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto, at hinahati sa puntong ito sa isang ratio na 2: 1, na nagbibilang mula sa itaas (Larawan 4).

Ang punto ng intersection ng mga median ay tinatawag sentroid tatsulok.

Hayaang ibigay ang Δ ABC, kung saan ang AA 1 , BB 1 , CC 1 ay median, bilang karagdagan, AA 1 ∩CC 1 = O. Kinakailangang patunayan na ang BB 1 ∩ CC 1 = O at AO/OA 1 = BO /OB 1 \u003d CO / OS 1 \u003d 2.

Patunay.

1) Iguhit ang gitnang linya A 1 C 1 . Ayon sa teorama tungkol sa gitnang linya tatsulok A 1 C 1 || AC, at A 1 C 1 = AC/2.

2) Ang mga tatsulok AOC at A 1 OC 1 ay magkatulad sa dalawang anggulo (anggulo AOC = anggulo A 1 OC 1 bilang patayo, anggulo OAC = anggulo OA 1 C 1 bilang panloob na krus na nakahiga sa A 1 C 1 || AC at secant AA 1 ) , samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan ng mga katulad na tatsulok AO / A 1 O \u003d OS / OS 1 \u003d AC / A 1 C 1 \u003d 2.

3) Hayaan ang BB 1 ∩CC 1 = O 1 . Katulad ng mga puntos 1 at 2, mapapatunayan na ang BO / O 1 B 1 \u003d CO 1 / O 1 C \u003d 2. Ngunit dahil mayroong isang solong punto O sa segment SS 1 na naghahati nito kaugnay sa CO : OS 1 \u003d 2: 1, pagkatapos ay ang mga puntos na O at O 1 ay nag-tutugma. Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga median ng tatsulok ay bumalandra sa isang punto, na hinahati ang bawat isa sa kanila sa isang ratio na 2: 1, na binibilang mula sa itaas.

Sa kurso ng geometry sa paksang "lugar ng polygons" ang katotohanan ay pinatunayan na ang median ay naghahati arbitrary na tatsulok sa dalawang pantay na bahagi. Bilang karagdagan, kapag ang tatlong median ng isang tatsulok ay nagsalubong, anim na tatsulok ng pantay na lugar ang nabuo.

May tanong ka ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga problema sa tatsulok?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Mga proporsyonal na segment

Upang ipakilala ang konsepto ng pagkakatulad, kailangan muna nating alalahanin ang konsepto ng mga proporsyonal na segment. Alalahanin din ang kahulugan ng ratio ng dalawang segment.

Kahulugan 1

Ang ratio ng dalawang segment ay ang ratio ng kanilang mga haba.

Ang konsepto ng proporsyonalidad ng mga segment ay mayroon din para sa higit pa mga segment. Hayaan, halimbawa, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, pagkatapos

Ibig sabihin, ang mga segment na $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ ay proporsyonal sa mga segment na $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Katulad na mga tatsulok

Upang magsimula, alalahanin natin kung ano ang konsepto ng pagkakatulad sa pangkalahatan.

Kahulugan 3

Ang mga figure ay sinasabing magkatulad kung sila ay may parehong hugis ngunit magkaiba ang laki.

Hayaan natin ngayon ang konsepto ng magkatulad na tatsulok. Isaalang-alang ang Larawan 1.

Larawan 1. Dalawang tatsulok

Hayaang magkaroon ang mga tatsulok na ito ng $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Ipinakilala namin ang sumusunod na kahulugan:

Kahulugan 4

Ang mga gilid ng dalawang tatsulok ay tinatawag na magkatulad kung ang mga ito ay nasa tapat ng pantay na mga anggulo ng mga tatsulok na ito.

Sa Figure 1, magkatulad ang mga panig na $AB$ at $A_1B_1$, $BC$ at $B_1C_1$, $AC$ at $A_1C_1$. Ipinakilala namin ngayon ang kahulugan ng mga katulad na tatsulok.

Kahulugan 5

Ang dalawang tatsulok ay tinatawag na magkatulad kung ang mga anggulo at lahat ng mga anggulo ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng mga anggulo ng isa at ang tatsulok, at ang lahat ng magkatulad na panig ng mga tatsulok na ito ay proporsyonal, iyon ay

\[\anggulo A=\anggulo A_1,\ \anggulo B=\anggulo B_1,\ \anggulo C=\anggulo C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Ang Figure 1 ay nagpapakita ng magkatulad na mga tatsulok.

Pagtatalaga: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Para sa konsepto ng pagkakatulad, mayroon ding konsepto ng coefficient of similarity.

Kahulugan 6

Ang bilang na $k$ na katumbas ng ratio ng magkatulad na panig ng magkatulad na figure ay tinatawag na coefficient of similarity ng mga figure na ito.

Mga Lugar ng Magkatulad na Triangles

Isaalang-alang ngayon ang teorama sa ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok.

Teorama 1

Ang ratio ng mga lugar ng dalawang magkatulad na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakapareho, iyon ay

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Patunay.

Isaalang-alang ang dalawang magkatulad na tatsulok at tukuyin ang kanilang mga lugar bilang $S$ at $S_1$, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 2).

Figure 2.

Upang patunayan ang theorem na ito, alalahanin ang sumusunod na theorem:

Teorama 2

Kung ang anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng anggulo ng pangalawang tatsulok, kung gayon ang kanilang mga lugar ay nauugnay bilang mga produkto ng mga panig na katabi ng anggulong ito.

Dahil ang mga tatsulok na $ABC$ at $A_1B_1C_1$ ay magkatulad, ayon sa kahulugan ay $\angle A=\angle A_1$. Pagkatapos, sa pamamagitan ng Theorem 2, nakukuha natin iyon

Dahil $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, nakukuha namin

Ang teorama ay napatunayan.

Mga problemang nauugnay sa konsepto ng pagkakatulad ng tatsulok

Halimbawa 1

Ibinigay ang magkatulad na tatsulok na $ABC$ at $A_1B_1C_1.$ Ang mga gilid ng unang tatsulok ay $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Ang koepisyent ng pagkakatulad ng mga tatsulok na ito ay $k=2$. Hanapin ang mga gilid ng pangalawang tatsulok.

Solusyon.

Ang problemang ito ay may dalawang posibleng solusyon.

Hayaan ang $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

Pagkatapos ay $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Samakatuwid, $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

Hayaan ang $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

Pagkatapos ay $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

Kaya naman $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

Halimbawa 2

Dahil sa magkatulad na tatsulok na $ABC$ at $A_1B_1C_1.$ Ang gilid ng unang tatsulok ay $AB=2$, ang katumbas na bahagi ng pangalawang tatsulok ay $A_1B_1=6$. Ang taas ng unang tatsulok ay $CH=4$. Hanapin ang lugar ng pangalawang tatsulok.

Solusyon.

Dahil magkapareho ang mga tatsulok na $ABC$ at $A_1B_1C_1$, $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

Hanapin ang lugar ng unang tatsulok.

Sa pamamagitan ng Theorem 1, mayroon tayong:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \

Aralin 34 TEOREM. Ang ratio ng mga lugar ng dalawang magkatulad na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakapareho. kung saan ang k ay ang koepisyent ng pagkakatulad. Ang ratio ng mga perimeter ng dalawang magkatulad na tatsulok ay katumbas ng koepisyent ng pagkakapareho. V. A. S. R. M. K. Paglutas ng problema: No. 545, 549. Takdang aralin: p. 56-58, Blg. 544, 548.

slide 6 mula sa pagtatanghal "Geometry "Mga Katulad na Triangle"". Ang laki ng archive na may presentasyon ay 232 KB.

Geometry Baitang 8

buod iba pang mga pagtatanghal

"Kahulugan ng axial symmetry" - Symmetry sa kalikasan. Clue. Axes ng simetrya. Gumuhit ng punto. Pagbuo ng isang punto. Konstruksyon ng isang tatsulok. Pagbuo ng isang segment. Mga tao. Symmetry sa tula. Mga figure na walang axial symmetry. Mga figure na may dalawang axes ng symmetry. Parihaba. Simetrya. Diretso. Plot points. Axial symmetry. Segment ng linya. Axis ng simetrya. Gumuhit ng dalawang linya. Mga puntong nakahiga sa parehong patayo. Proporsyonalidad.

"Paghahanap ng lugar ng isang parallelogram" - Hanapin ang lugar ng isang parallelogram. Ang lugar ng isang paralelogram. taas. Hanapin ang lugar ng parisukat. Square area. Mga taas ng paralelogram. Hanapin ang lugar ng tatsulok. Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok. Hanapin ang lugar ng parihaba. Pagtukoy sa taas ng paralelogram. Base. Lugar ng isang tatsulok. Hanapin ang perimeter ng parisukat. Mga katangian ng lugar. mga pagsasanay sa bibig.

"Mga gawain para sa paghahanap ng lugar" - Aralin - isang paliwanag ng bagong materyal, na ginawa sa anyo ng isang "Power point" na pagtatanghal. Pangunahing layunin. "Lugar ng isang paralelogram". "Trapezoid Square". PAGSUSURI NG NATUTUHAN NA MATERYAL. Upang malutas ang gawain. Workbook No. 42, ulitin ang lahat ng pinag-aralan na mga formula. Kumuha ng mga formula para sa lugar ng isang parihaba, paralelogram, trapezoid, tatsulok. Palawakin at palalimin ang mga ideya tungkol sa pagsukat ng mga lugar. Ipakilala ang konsepto ng lugar sa mga mag-aaral.

"Geometry "Similar Triangles"" - Dalawang tatsulok ang tinatawag na magkatulad. Proporsyonalidad ng mga gilid ng anggulo. Mga halaga ng sine, cosine at tangent. Ang unang tanda ng pagkakatulad ng mga tatsulok. Mga proporsyonal na segment sa isang kanang tatsulok. ari-arian ng bisector ng isang tatsulok. Pagdidikta sa matematika. Hanapin ang lugar ng isosceles right triangle. proporsyonal na pagbawas. Mga halaga ng sine, cosine at tangent para sa 30°, 45°, 60° anggulo.

"Mga Parihaba" - Tao. magkabilang panig. Ang gilid ng parihaba. Ang Kuwento ng Parihaba. gilid ng parihaba. Parihaba sa buhay. Ang perimeter ng parihaba. Parihaba. Mga dayagonal. Mga pintura. dayagonal. Kahulugan. Ang lugar ng parihaba.

""Square of the rectangle" Grade 8" - Ang lugar ng kuwadrado. Ang mga gilid ng bawat isa sa mga parihaba. Ang ABCD at DSMK ay mga parisukat. Ang isang paralelogram ay iginuhit sa gilid ng AB. Mga yunit ng lugar. Hanapin ang lugar ng parisukat. Ang lugar ng parihaba. Ang ABCD ay isang paralelogram. Mga katangian ng lugar. Hanapin ang lugar ng quadrilateral. Mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga gilid ng isang parihaba. Ang sahig ng silid ay hugis-parihaba. Ang lugar ng isang parisukat ay katumbas ng parisukat ng gilid nito.

Layunin ng aralin: magbigay ng kahulugan ng magkatulad na tatsulok, patunayan ang teorama sa ratio ng magkatulad na tatsulok.

Mga layunin ng aralin:

Pang-edukasyon: dapat malaman ng mga mag-aaral ang kahulugan ng magkatulad na tatsulok, ang teorama sa ratio ng magkatulad na tatsulok, mailapat ang mga ito sa paglutas ng mga problema, ipatupad ang mga interdisciplinary na koneksyon sa algebra at pisika.
Pang-edukasyon: upang linangin ang kasipagan, pagkaasikaso, kasipagan, upang linangin ang isang kultura ng pag-uugali ng mga mag-aaral.
Pagbuo: pag-unlad ng atensyon ng mga mag-aaral, pag-unlad ng kakayahang mangatuwiran, mag-isip nang lohikal, gumawa ng mga konklusyon, bumuo ng karampatang pagsasalita at pag-iisip ng matematika ng mga mag-aaral, bumuo ng mga kasanayan sa pagsisiyasat ng sarili at kalayaan.
Pagtitipid sa kalusugan: pagsunod sa mga pamantayan sa sanitary at hygienic, pagbabago ng mga aktibidad sa aralin.

Kagamitan: computer, projector, materyal na didactic: malaya at mga test paper sa algebra at geometry para sa grade 8 A.P. Ershova, atbp.

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali(pagbati, pagsuri ng kahandaan para sa aralin).

II. Ang paksa ng aralin.

Guro: AT Araw-araw na buhay may mga bagay na magkapareho ang hugis, ngunit magkaiba ang laki.

Halimbawa: mga bola ng soccer at tennis.

Sa geometry, ang mga figure ng parehong hugis ay tinatawag na magkatulad: anumang dalawang bilog, anumang dalawang parisukat.

Ipakilala natin ang konsepto ng mga katulad na tatsulok.

Kahulugan: Ang dalawang tatsulok ay sinasabing magkatulad kung ang kanilang mga anggulo ay magkapareho at ang mga gilid ng isang tatsulok ay proporsyonal sa magkatulad na panig ng isa.

Numero k, katumbas ng ratio ng magkatulad na panig ng magkatulad na tatsulok ay tinatawag na coefficient of similarity. ∆ABC ~ A 1 B 1 C 1

1. Pasalita: Magkatulad ba ang mga tatsulok? Bakit? (inihanda ang pagguhit sa screen).

a) Triangle ABC at triangle A 1 B 1 C 1 kung AB = 7, BC = 5, AC = 4, ∠A = 46˚, ∠C = 84˚, ∠A 1 = 46˚, ∠B 1 = 50˚ , A 1 B 1 \u003d 10.5, B 1 C 1 \u003d 7.5, A 1 C 1 \u003d 6.

b) Sa isang isosceles triangle, ang anggulo sa tuktok ay 24˚, at sa isa pang isosceles triangle, ang anggulo sa base ay 78˚.

Guys! Alalahanin ang teorama sa ratio ng mga lugar ng mga tatsulok na may pantay na anggulo.

Teorama: Kung ang anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng anggulo ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga lugar ng mga tatsulok na ito ay nauugnay bilang mga produkto ng mga panig na naglalaman ng pantay na mga anggulo.

2. Nakasulat na gawain ayon sa inihandang mga guhit.

Pagguhit sa screen:

a) Ibinigay: BN: NC = 1:2,

BM=7cm, AM=3cm,

S MBN \u003d 7 cm 2.

Hanapin: S ABC

(Sagot: 30 cm2.)

b) Ibinigay: AE = 2 cm,

S AEK \u003d 8 cm 2.

Hanapin: S ABC

(Sagot: 56 cm2.)

3. Patunayan natin ang teorama sa ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok ( napatunayan ng mag-aaral ang theorem sa pisara, tumutulong ang buong klase).

Teorama: Ang ratio ng dalawang magkatulad na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad.

4. Aktwalisasyon ng kaalaman.

Pagtugon sa suliranin:

1. Ang mga lugar ng dalawang magkatulad na tatsulok ay 75 cm 2 at 300 cm 2. Ang isa sa mga gilid ng pangalawang tatsulok ay 9cm. Hanapin ang gilid ng unang tatsulok na katulad nito. ( Sagot: 4.5 cm.)

2. Ang magkatulad na gilid ng magkatulad na tatsulok ay 6 cm at 4 cm, at ang kabuuan ng kanilang mga lugar ay 78 cm 2. Hanapin ang mga lugar ng mga tatsulok na ito. ( Sagot: 54 cm2 at 24 cm2.)

Kung may oras pansariling gawain pang-edukasyon na katangian.

Pagpipilian 1

Ang mga magkatulad na tatsulok ay may magkatulad na panig na katumbas ng 7 cm at 35 cm.

Ang lugar ng unang tatsulok ay 27 cm2.

Hanapin ang lugar ng pangalawang tatsulok. ( Sagot: 675 cm2.)

Opsyon 2

Ang mga lugar ng magkatulad na tatsulok ay 17 cm 2 at 68 cm 2. Ang gilid ng unang tatsulok ay 8 cm. Hanapin ang magkatulad na bahagi ng pangalawang tatsulok. ( Sagot: 4 cm)

5. Takdang-Aralin: aklat-aralin sa geometry 7-9 L.S. Atanasyan at iba pa, pp. 57, 58, blg. 545, 547.

6. Paglagom ng aralin.

Mga proporsyonal na segment

Upang ipakilala ang konsepto ng pagkakatulad, kailangan muna nating alalahanin ang konsepto ng mga proporsyonal na segment. Alalahanin din ang kahulugan ng ratio ng dalawang segment.

Kahulugan 1

Ang ratio ng dalawang segment ay ang ratio ng kanilang mga haba.

Nagaganap din ang konsepto ng proporsyonalidad ng mga segment para sa mas malaking bilang ng mga segment. Hayaan, halimbawa, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, pagkatapos

Ibig sabihin, ang mga segment na $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ ay proporsyonal sa mga segment na $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Katulad na mga tatsulok

Upang magsimula, alalahanin natin kung ano ang konsepto ng pagkakatulad sa pangkalahatan.

Kahulugan 3

Ang mga figure ay sinasabing magkatulad kung sila ay may parehong hugis ngunit magkaiba ang laki.

Hayaan natin ngayon ang konsepto ng magkatulad na tatsulok. Isaalang-alang ang Larawan 1.

Larawan 1. Dalawang tatsulok

Hayaang magkaroon ang mga tatsulok na ito ng $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Ipinakilala namin ang sumusunod na kahulugan:

Kahulugan 4

Ang mga gilid ng dalawang tatsulok ay tinatawag na magkatulad kung ang mga ito ay nasa tapat ng pantay na mga anggulo ng mga tatsulok na ito.

Sa Figure 1, magkatulad ang mga panig na $AB$ at $A_1B_1$, $BC$ at $B_1C_1$, $AC$ at $A_1C_1$. Ipinakilala namin ngayon ang kahulugan ng mga katulad na tatsulok.

Kahulugan 5

\[\anggulo A=\anggulo A_1,\ \anggulo B=\anggulo B_1,\ \anggulo C=\anggulo C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Ang Figure 1 ay nagpapakita ng magkatulad na mga tatsulok.

Pagtatalaga: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Para sa konsepto ng pagkakatulad, mayroon ding konsepto ng coefficient of similarity.

Kahulugan 6

Ang bilang na $k$ na katumbas ng ratio ng magkatulad na panig ng magkatulad na figure ay tinatawag na coefficient of similarity ng mga figure na ito.

Mga Lugar ng Magkatulad na Triangles

Isaalang-alang ngayon ang teorama sa ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok.

Teorama 1

Ang ratio ng mga lugar ng dalawang magkatulad na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakapareho, iyon ay

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Patunay.

Isaalang-alang ang dalawang magkatulad na tatsulok at tukuyin ang kanilang mga lugar bilang $S$ at $S_1$, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 2).

Figure 2.

Upang patunayan ang theorem na ito, alalahanin ang sumusunod na theorem:

Teorama 2

Kung ang anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng anggulo ng pangalawang tatsulok, kung gayon ang kanilang mga lugar ay nauugnay bilang mga produkto ng mga panig na katabi ng anggulong ito.

Dahil ang mga tatsulok na $ABC$ at $A_1B_1C_1$ ay magkatulad, ayon sa kahulugan ay $\angle A=\angle A_1$. Pagkatapos, sa pamamagitan ng Theorem 2, nakukuha natin iyon

Dahil $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, nakukuha namin

Ang teorama ay napatunayan.

Mga problemang nauugnay sa konsepto ng pagkakatulad ng tatsulok

Halimbawa 1

Solusyon.

Ang problemang ito ay may dalawang posibleng solusyon.

Hayaan ang $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

Pagkatapos ay $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Samakatuwid, $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

Hayaan ang $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

Pagkatapos ay $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

Kaya naman $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

Halimbawa 2

Solusyon.

Dahil magkapareho ang mga tatsulok na $ABC$ at $A_1B_1C_1$, $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

Hanapin ang lugar ng unang tatsulok.

Sa pamamagitan ng Theorem 1, mayroon tayong:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \