Online na calculator. Paghahanap (kinakalkula) GCD at NOC. Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero
Isaalang-alang ang tatlong paraan upang mahanap ang least common multiple.
Paghahanap sa pamamagitan ng Factoring
Ang unang paraan ay upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-factor ng mga ibinigay na numero sa mga pangunahing kadahilanan.
Ipagpalagay na kailangan nating hanapin ang LCM ng mga numero: 99, 30 at 28. Upang gawin ito, i-decompose namin ang bawat isa sa mga numerong ito sa mga pangunahing kadahilanan:
Upang ang nais na numero ay mahahati sa 99, 30 at 28, kinakailangan at sapat na kasama nito ang lahat ng mga pangunahing kadahilanan ng mga divisors na ito. Upang gawin ito, kailangan nating dalhin ang lahat ng pangunahing mga kadahilanan ng mga numerong ito sa pinakamataas na nagaganap na kapangyarihan at i-multiply ang mga ito nang sama-sama:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Kaya LCM (99, 30, 28) = 13,860. Walang ibang numerong mas mababa sa 13,860 ang pantay na mahahati ng 99, 30, o 28.
Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga ibinigay na numero, kailangan mong i-factor ang mga ito sa prime factor, pagkatapos ay kunin ang bawat prime factor na may pinakamalaking exponent na nangyayari, at i-multiply ang mga salik na ito nang magkasama.
Dahil ang mga coprime na numero ay walang karaniwang prime factor, ang kanilang hindi bababa sa karaniwang multiple ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito. Halimbawa, tatlong numero: 20, 49 at 33 ay coprime. kaya lang
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
Ang parehong ay dapat gawin kapag naghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng iba't ibang mga prime number. Halimbawa, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Paghahanap sa pamamagitan ng pagpili
Ang pangalawang paraan ay ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-angkop.
Halimbawa 1. Kapag ang pinakamalaki sa mga binigay na numero ay pantay na nahahati sa iba pang ibinigay na mga numero, kung gayon ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng mas malaki sa kanila. Halimbawa, binigyan ng apat na numero: 60, 30, 10 at 6. Ang bawat isa sa kanila ay nahahati sa 60, samakatuwid:
NOC(60, 30, 10, 6) = 60
Sa ibang mga kaso, upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, ang sumusunod na pamamaraan ay ginagamit:
- Tukuyin ang pinakamalaking bilang mula sa mga ibinigay na numero.
- Susunod, mahahanap namin ang mga numero na mga multiple ng pinakamalaking bilang, pina-multiply ito sa mga natural na numero sa pataas na pagkakasunud-sunod at sinusuri kung ang natitirang mga ibinigay na numero ay nahahati sa resultang produkto.
Halimbawa 2. Ibinigay ang tatlong numero 24, 3 at 18. Tukuyin ang pinakamalaki sa kanila - ito ang bilang na 24. Susunod, hanapin ang mga numero na multiple ng 24, tingnan kung ang bawat isa sa kanila ay nahahati ng 18 at ng 3:
Ang 24 1 = 24 ay nahahati sa 3 ngunit hindi nahahati ng 18.
24 2 = 48 - mahahati ng 3 ngunit hindi mahahati ng 18.
24 3 \u003d 72 - mahahati ng 3 at 18.
Kaya LCM(24, 3, 18) = 72.
Paghahanap sa pamamagitan ng Sequential Finding LCM
Ang ikatlong paraan ay ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap sa LCM.
Ang LCM ng dalawang ibinigay na numero ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito na hinati sa kanilang pinakamalaking karaniwang divisor.
Halimbawa 1. Hanapin ang LCM ng dalawang ibinigay na numero: 12 at 8. Tukuyin ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor: GCD (12, 8) = 4. I-multiply ang mga numerong ito:
Hinahati namin ang produkto sa kanilang GCD:
Kaya LCM(12, 8) = 24.
Upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, ginagamit ang sumusunod na pamamaraan:
- Una, ang LCM ng alinman sa dalawa sa mga ibinigay na numero ay matatagpuan.
- Pagkatapos, ang LCM ng nakitang least common multiple at ang ikatlong ibinigay na numero.
- Pagkatapos, ang LCM ng nagreresultang hindi bababa sa karaniwang maramihang at ang ikaapat na numero, at iba pa.
- Kaya, ang paghahanap sa LCM ay nagpapatuloy hangga't may mga numero.
Halimbawa 2. Hanapin natin ang LCM ng tatlong ibinigay na numero: 12, 8 at 9. Nahanap na natin ang LCM ng mga numero 12 at 8 sa nakaraang halimbawa (ito ang numero 24). Ito ay nananatili upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 24 at ang ikatlong ibinigay na numero - 9. Tukuyin ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor: gcd (24, 9) = 3. I-multiply ang LCM sa numerong 9:
Hinahati namin ang produkto sa kanilang GCD:
Kaya LCM(12, 8, 9) = 72.
Pinakamahusay na Common Divisor
Kahulugan 2
Kung ang natural na numerong a ay nahahati sa natural na bilang na $b$, ang $b$ ay tinatawag na divisor ng $a$, at ang bilang na $a$ ay tinatawag na multiple ng $b$.
Hayaang maging natural na mga numero ang $a$ at $b$. Ang numerong $c$ ay tinatawag na karaniwang divisor para sa parehong $a$ at $b$.
Ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong $a$ at $b$ ay may hangganan, dahil wala sa mga divisors na ito ang maaaring mas malaki sa $a$. Nangangahulugan ito na sa mga divisors na ito ay mayroong pinakamalaki, na tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong $a$ at $b$, at ang notasyon ay ginagamit upang tukuyin ito:
$gcd \ (a;b) \ o \ D \ (a;b)$
Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero:
- Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.
Halimbawa 1
Hanapin ang gcd ng mga numerong $121$ at $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Piliin ang mga numerong kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.
$gcd=2\cdot 11=22$
Halimbawa 2
Hanapin ang GCD ng mga monomial na $63$ at $81$.
Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito:
I-decompose natin ang mga numero sa prime factors
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Pinipili namin ang mga numero na kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Hanapin natin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.
$gcd=3\cdot 3=9$
Mahahanap mo ang GCD ng dalawang numero sa ibang paraan, gamit ang hanay ng mga divisors ng mga numero.
Halimbawa 3
Hanapin ang gcd ng mga numerong $48$ at $60$.
Solusyon:
Hanapin ang hanay ng mga divisors na $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Ngayon hanapin natin ang hanay ng mga divisors na $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Hanapin natin ang intersection ng mga set na ito: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tutukuyin ng set na ito ang set ng mga common divisors ng mga numero $48$ at $60 $. Ang pinakamalaking elemento sa set na ito ay ang bilang na $12$. Kaya ang pinakamalaking karaniwang divisor ng $48$ at $60$ ay $12$.
Kahulugan ng NOC
Kahulugan 3
karaniwang maramihan ng mga natural na numero Ang $a$ at $b$ ay isang natural na numero na isang multiple ng parehong $a$ at $b$.
Ang mga karaniwang multiple ng mga numero ay mga numero na nahahati sa orihinal na walang natitira. Halimbawa, para sa mga numerong $25$ at $50$, ang mga karaniwang multiple ay ang mga numerong $50,100,150,200$, atbp.
Ang least common multiple ay tatawagin na least common multiple at tinutukoy ng LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$
Upang mahanap ang LCM ng dalawang numero, kailangan mo:
- I-decompose ang mga numero sa prime factor
- Isulat ang mga salik na bahagi ng unang numero at idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at huwag pumunta sa una
Halimbawa 4
Hanapin ang LCM ng mga numerong $99$ at $77$.
Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito
I-decompose ang mga numero sa prime factor
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Isulat ang mga salik na kasama sa una
idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at hindi napupunta sa una
Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Ang pag-compile ng mga listahan ng mga divisors ng mga numero ay kadalasang napakatagal. Mayroong isang paraan upang mahanap ang GCD na tinatawag na Euclid's algorithm.
Mga pahayag kung saan nakabatay ang algorithm ni Euclid:
Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero, at $a\vdots b$, kung gayon ang $D(a;b)=b$
Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero tulad ng $b
Gamit ang $D(a;b)= D(a-b;b)$, maaari naming sunud-sunod na bawasan ang mga numerong isinasaalang-alang hanggang sa maabot namin ang isang pares ng mga numero upang ang isa sa mga ito ay mahahati ng isa. Kung gayon ang mas maliit sa mga numerong ito ay ang gustong pinakamalaking karaniwang divisor para sa mga numerong $a$ at $b$.
Mga katangian ng GCD at LCM
- Anumang common multiple ng $a$ at $b$ ay nahahati sa K$(a;b)$
- Kung $a\vdots b$ , kung gayon K$(a;b)=a$
Kung K$(a;b)=k$ at $m$-natural na numero, kung gayon ang K$(am;bm)=km$
Kung ang $d$ ay karaniwang divisor para sa $a$ at $b$, kung gayon ang K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Kung ang $a\vdots c$ at $b\vdots c$ , ang $\frac(ab)(c)$ ay isang common multiple ng $a$ at $b$
Para sa anumang natural na bilang na $a$ at $b$ ang pagkakapantay-pantay
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Anumang karaniwang divisor ng $a$ at $b$ ay isang divisor ng $D(a;b)$
Ang mga expression at gawain sa matematika ay nangangailangan ng maraming karagdagang kaalaman. Ang NOC ay isa sa mga pangunahing, lalo na madalas na ginagamit sa paksa. Ang paksa ay pinag-aaralan sa mataas na paaralan, habang ito ay hindi partikular na mahirap unawain ang materyal, hindi ito magiging mahirap para sa isang taong pamilyar sa mga kapangyarihan at ang multiplication table na pumili ang mga kinakailangang numero at hanapin ang resulta.
Kahulugan
Ang common multiple ay isang numero na maaaring ganap na hatiin sa dalawang numero sa parehong oras (a at b). Kadalasan, ang numerong ito ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng orihinal na mga numerong a at b. Ang numero ay dapat na mahahati sa parehong mga numero nang sabay-sabay, nang walang mga paglihis.
Ang NOC ay isang maikling pangalan, na kinuha mula sa mga unang titik.
Mga paraan para makakuha ng numero
Upang mahanap ang LCM, ang paraan ng pagpaparami ng mga numero ay hindi palaging angkop, ito ay mas angkop para sa simpleng isang-digit o dalawang-digit na mga numero. Ito ay kaugalian na hatiin sa mga kadahilanan, kung mas malaki ang bilang, mas maraming mga kadahilanan ang magkakaroon.
Halimbawa #1
Para sa pinakasimpleng halimbawa, ang mga paaralan ay karaniwang kumukuha ng simple, isang-digit o dalawang-digit na mga numero. Halimbawa, kailangan mong lutasin ang sumusunod na gawain, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 7 at 3, ang solusyon ay medyo simple, i-multiply lamang ang mga ito. Bilang isang resulta, mayroong numero 21, walang mas maliit na numero.
Halimbawa #2
Ang pangalawang pagpipilian ay mas mahirap. Ang mga numerong 300 at 1260 ay ibinigay, ang paghahanap ng LCM ay sapilitan. Upang malutas ang gawain, ang mga sumusunod na aksyon ay ipinapalagay:
Decomposition ng una at pangalawang numero sa pinakasimpleng mga kadahilanan. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Nakumpleto na ang unang yugto.
Ang ikalawang yugto ay nagsasangkot ng pagtatrabaho sa nakuha na data. Ang bawat isa sa mga natanggap na numero ay dapat lumahok sa pagkalkula ng huling resulta. Para sa bawat salik, ang pinakamalaking bilang ng mga paglitaw ay kinuha mula sa mga orihinal na numero. Ang LCM ay isang karaniwang numero, kaya ang mga salik mula sa mga numero ay dapat na ulitin dito hanggang sa huli, kahit na ang mga naroroon sa isang pagkakataon. Ang parehong mga unang numero ay nasa kanilang komposisyon ang mga numero 2, 3 at 5, sa magkaibang antas, 7 ay nasa isang kaso lamang.
Upang kalkulahin ang huling resulta, kailangan mong kunin ang bawat numero sa pinakamalaki sa kanilang kinakatawan na kapangyarihan, sa equation. Ito ay nananatiling lamang upang dumami at makuha ang sagot, na may tamang pagpuno, ang gawain ay umaangkop sa dalawang hakbang nang walang paliwanag:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOK = 6300.
Iyon ang buong gawain, kung susubukan mong kalkulahin ang nais na numero sa pamamagitan ng pagpaparami, kung gayon ang sagot ay tiyak na hindi tama, dahil 300 * 1260 = 378,000.
Pagsusuri:
6300 / 300 = 21 - totoo;
6300 / 1260 = 5 ang tama.
Ang katumpakan ng resulta ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagsuri - paghahati sa LCM sa parehong orihinal na mga numero, kung ang numero ay isang integer sa parehong mga kaso, kung gayon ang sagot ay tama.
Ano ang ibig sabihin ng NOC sa matematika
Tulad ng alam mo, walang isang walang silbi na pag-andar sa matematika, ang isang ito ay walang pagbubukod. Ang pinakakaraniwang layunin ng numerong ito ay upang dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator. Ano ang karaniwang pinag-aaralan sa grade 5-6 ng high school. Ito rin ay isang pangkaraniwang divisor para sa lahat ng multiple, kung ang mga ganitong kundisyon ay nasa problema. Ang ganitong expression ay makakahanap ng maramihang hindi lamang ng dalawang numero, kundi pati na rin ng mas malaking numero - tatlo, lima, at iba pa. Ang mas maraming mga numero - mas maraming mga aksyon sa gawain, ngunit ang pagiging kumplikado nito ay hindi tumataas.
Halimbawa, ibinigay ang mga numerong 250, 600 at 1500, kailangan mong hanapin ang kanilang kabuuang LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ang halimbawang ito ay naglalarawan ng factorization nang detalyado, nang walang pagbabawas.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Upang makabuo ng isang expression, kinakailangang banggitin ang lahat ng mga kadahilanan, sa kasong ito 2, 5, 3 ay ibinigay - para sa lahat ng mga numerong ito ay kinakailangan upang matukoy ang pinakamataas na antas.
Pansin: ang lahat ng mga multiplier ay dapat dalhin sa ganap na pagpapasimple, kung maaari, nabubulok sa antas ng mga solong digit.
Pagsusuri:
1) 3000 / 250 = 12 - totoo;
2) 3000 / 600 = 5 - totoo;
3) 3000 / 1500 = 2 ang tama.
Ang pamamaraang ito ay hindi nangangailangan ng anumang mga trick o kakayahan sa antas ng henyo, lahat ay simple at malinaw.
Ibang paraan
Sa matematika, maraming konektado, marami ang maaaring malutas sa dalawa o higit pang mga paraan, ganoon din ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang, LCM. Ang sumusunod na paraan ay maaaring gamitin sa kaso ng simpleng dalawang-digit at solong-digit na mga numero. Ang isang talahanayan ay pinagsama-sama kung saan ang multiplier ay ipinasok patayo, ang multiplier nang pahalang, at ang produkto ay ipinahiwatig sa intersecting na mga cell ng column. Maaari mong ipakita ang talahanayan sa pamamagitan ng isang linya, ang isang numero ay kinuha at ang mga resulta ng pagpaparami ng numerong ito sa pamamagitan ng mga integer ay nakasulat sa isang hilera, mula 1 hanggang infinity, kung minsan ay sapat na ang 3-5 puntos, ang pangalawa at kasunod na mga numero ay napapailalim. sa parehong proseso ng computational. Nangyayari ang lahat hanggang sa matagpuan ang isang common multiple.
Dahil sa mga numerong 30, 35, 42, kailangan mong hanapin ang LCM na nagkokonekta sa lahat ng numero:
1) Multiple ng 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, atbp.
2) Multiple ng 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, atbp.
3) Multiple ng 42: 84, 126, 168, 210, 252, atbp.
Kapansin-pansin na ang lahat ng mga numero ay medyo naiiba, ang karaniwang bilang lamang sa kanila ay 210, kaya ito ang magiging LCM. Kabilang sa mga proseso na nauugnay sa pagkalkula na ito, mayroon ding pinakadakilang karaniwang divisor, na kinakalkula ayon sa magkatulad na mga prinsipyo at madalas na nakatagpo sa mga kalapit na problema. Ang pagkakaiba ay maliit, ngunit sapat na makabuluhan, ang LCM ay nagsasangkot ng pagkalkula ng isang numero na nahahati sa lahat ng ibinigay na paunang halaga, at ipinapalagay ng GCD ang pagkalkula ng pinakamalaking halaga kung saan hinahati ang mga unang numero.
Ipagpatuloy natin ang talakayan tungkol sa least common multiple na sinimulan natin sa LCM - Least Common Multiple, Definition, Examples section. Sa paksang ito, titingnan natin ang mga paraan upang mahanap ang LCM para sa tatlong numero o higit pa, susuriin natin ang tanong kung paano hanapin ang LCM ng isang negatibong numero.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pagkalkula ng least common multiple (LCM) sa pamamagitan ng gcd
Naitatag na namin ang ugnayan sa pagitan ng least common multiple at ng greatest common divisor. Ngayon, alamin natin kung paano tukuyin ang LCM sa pamamagitan ng GCD. Una, alamin natin kung paano ito gagawin para sa mga positibong numero.
Kahulugan 1
Mahahanap mo ang hindi bababa sa karaniwang multiple sa pamamagitan ng pinakamalaking karaniwang divisor gamit ang formula na LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Halimbawa 1
Kinakailangang hanapin ang LCM ng mga numerong 126 at 70.
Solusyon
Kunin natin ang a = 126 , b = 70 . Palitan ang mga value sa formula para sa pagkalkula ng least common multiple sa pamamagitan ng greatest common divisor LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Hinahanap ang GCD ng mga numerong 70 at 126. Para dito kailangan namin ang Euclid algorithm: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , kaya gcd (126 , 70) = 14 .
Kalkulahin natin ang LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Sagot: LCM (126, 70) = 630.
Halimbawa 2
Hanapin ang nok ng mga numerong 68 at 34.
Solusyon
Ang GCD sa kasong ito ay madaling mahanap, dahil ang 68 ay nahahati sa 34. Kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple gamit ang formula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Sagot: LCM(68, 34) = 68.
Sa halimbawang ito, ginamit namin ang panuntunan para sa paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng positive integers a at b: kung ang unang numero ay nahahati sa pangalawa, ang LCM ng mga numerong ito ay magiging katumbas ng unang numero.
Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng Factoring Numbers into Prime Factors
Ngayon tingnan natin ang isang paraan upang mahanap ang LCM, na batay sa pagkabulok ng mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.
Kahulugan 2
Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, kailangan nating magsagawa ng ilang simpleng hakbang:
- binubuo natin ang produkto ng lahat ng pangunahing salik ng mga numero kung saan kailangan nating hanapin ang LCM;
- ibinubukod namin ang lahat ng pangunahing mga kadahilanan mula sa kanilang mga nakuhang produkto;
- ang produktong nakuha pagkatapos alisin ang mga karaniwang prime factor ay magiging katumbas ng LCM ng mga ibinigay na numero.
Ang paraan ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ay batay sa pagkakapantay-pantay na LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Kung titingnan mo ang formula, magiging malinaw: ang produkto ng mga numerong a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga kadahilanan na kasangkot sa pagpapalawak ng dalawang numerong ito. Sa kasong ito, ang GCD ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng lahat ng prime factor na sabay-sabay na naroroon sa mga factorization ng dalawang numerong ito.
Halimbawa 3
Mayroon kaming dalawang numero 75 at 210 . Maaari naming i-factor ang mga ito tulad nito: 75 = 3 5 5 at 210 = 2 3 5 7. Kung gagawin mo ang produkto ng lahat ng mga salik ng dalawang orihinal na numero, makakakuha ka ng: 2 3 3 5 5 5 7.
Kung ibubukod namin ang mga salik na karaniwan sa parehong numero 3 at 5, makakakuha kami ng produkto ng sumusunod na anyo: 2 3 5 5 7 = 1050. Ang produktong ito ang ating magiging LCM para sa mga numerong 75 at 210.
Halimbawa 4
Hanapin ang LCM ng mga numero 441 at 700 , nabubulok ang parehong mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.
Solusyon
Hanapin natin ang lahat ng prime factor ng mga numerong ibinigay sa kondisyon:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Nakakuha tayo ng dalawang kadena ng mga numero: 441 = 3 3 7 7 at 700 = 2 2 5 5 7 .
Ang produkto ng lahat ng mga salik na lumahok sa pagpapalawak ng mga numerong ito ay magiging ganito: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Hanapin natin ang mga karaniwang salik. Ang numerong ito ay 7. Ibinubukod namin ito sa pangkalahatang produkto: 2 2 3 3 5 5 7 7. NOC pala (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Sagot: LCM (441 , 700) = 44 100 .
Magbigay tayo ng isa pang pormulasyon ng pamamaraan para sa paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng pag-decomposing ng mga numero sa prime factor.
Kahulugan 3
Dati, hindi namin isinama sa kabuuang bilang ng mga salik na karaniwan sa parehong numero. Ngayon ay gagawin natin ito nang iba:
- I-decompose natin ang parehong mga numero sa prime factor:
- idagdag sa produkto ng pangunahing mga kadahilanan ng unang numero ang nawawalang mga kadahilanan ng pangalawang numero;
- makuha namin ang produkto, na magiging ninanais na LCM ng dalawang numero.
Halimbawa 5
Bumalik tayo sa mga numerong 75 at 210 , kung saan hinanap na natin ang LCM sa isa sa mga nakaraang halimbawa. Hatiin natin ang mga ito sa mga simpleng kadahilanan: 75 = 3 5 5 at 210 = 2 3 5 7. Sa produkto ng mga salik 3 , 5 at 5 bilang 75 idagdag ang nawawalang mga kadahilanan 2 at 7 mga numero 210 . Nakukuha namin: 2 3 5 5 7 . Ito ang LCM ng mga numerong 75 at 210.
Halimbawa 6
Kinakailangang kalkulahin ang LCM ng mga numero 84 at 648.
Solusyon
I-decompose natin ang mga numero mula sa kundisyon sa prime factor: 84 = 2 2 3 7 at 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Idagdag sa produkto ng mga salik 2 , 2 , 3 at 7
mga numero 84 nawawalang mga salik 2 , 3 , 3 at
3
mga numero 648 . Nakukuha namin ang produkto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ito ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.
Sagot: LCM (84, 648) = 4536.
Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero
Hindi alintana kung gaano karaming mga numero ang ating kinakaharap, ang algorithm ng ating mga aksyon ay palaging magiging pareho: sunud-sunod nating hahanapin ang LCM ng dalawang numero. Mayroong teorama para sa kasong ito.
Teorama 1
Ipagpalagay na mayroon kaming mga integer a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k sa mga numerong ito ay matatagpuan sa sunud-sunod na pagkalkula m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Ngayon tingnan natin kung paano mailalapat ang teorama sa mga partikular na problema.
Halimbawa 7
Kailangan mong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng apat na numero 140 , 9 , 54 at 250 .
Solusyon
Ipakilala natin ang notasyon: isang 1 \u003d 140, isang 2 \u003d 9, isang 3 \u003d 54, isang 4 \u003d 250.
Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagkalkula ng m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Gamitin natin ang Euclidean algorithm upang kalkulahin ang GCD ng mga numerong 140 at 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Nakukuha namin ang: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Samakatuwid, m 2 = 1 260 .
Ngayon kalkulahin natin ayon sa parehong algorithm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Sa kurso ng mga kalkulasyon, nakukuha namin ang m 3 = 3 780.
Nananatili para sa amin na kalkulahin ang m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Kumilos kami ayon sa parehong algorithm. Nakukuha namin ang m 4 \u003d 94 500.
Ang LCM ng apat na numero mula sa halimbawang kundisyon ay 94500 .
Sagot: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.
Tulad ng nakikita mo, ang mga kalkulasyon ay simple, ngunit medyo matrabaho. Upang makatipid ng oras, maaari kang pumunta sa ibang paraan.
Kahulugan 4
Inaalok namin sa iyo ang sumusunod na algorithm ng mga aksyon:
- mabulok ang lahat ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;
- sa produkto ng mga kadahilanan ng unang numero, idagdag ang nawawalang mga kadahilanan mula sa produkto ng pangalawang numero;
- idagdag ang nawawalang mga salik ng ikatlong numero sa produktong nakuha sa nakaraang yugto, atbp.;
- ang magreresultang produkto ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng lahat ng numero mula sa kundisyon.
Halimbawa 8
Kinakailangang hanapin ang LCM ng limang numero 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Solusyon
I-decompose ang lahat ng limang numero sa prime factor: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Ang mga pangunahing numero, na siyang numero 7, ay hindi maisasaalang-alang sa mga pangunahing kadahilanan. Ang ganitong mga numero ay nag-tutugma sa kanilang pagkabulok sa mga pangunahing kadahilanan.
Ngayon kunin natin ang produkto ng prime factor 2, 2, 3 at 7 ng numero 84 at idagdag sa kanila ang nawawalang mga kadahilanan ng pangalawang numero. Na-decompose namin ang numero 6 sa 2 at 3. Ang mga salik na ito ay nasa produkto na ng unang numero. Samakatuwid, tinanggal namin ang mga ito.
Patuloy kaming nagdaragdag ng mga nawawalang multiplier. Bumaling tayo sa numerong 48, mula sa produkto ng mga pangunahing kadahilanan kung saan kinukuha natin ang 2 at 2. Pagkatapos ay nagdaragdag kami ng isang simpleng kadahilanan ng 7 mula sa ikaapat na numero at mga kadahilanan ng 11 at 13 ng ikalima. Nakukuha namin ang: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ito ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng limang orihinal na numero.
Sagot: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Paghahanap ng Pinakamaliit na Karaniwang Multiple ng mga Negatibong Numero
Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga negatibong numero, ang mga numerong ito ay dapat munang mapalitan ng mga numero na may kabaligtaran na tanda, at pagkatapos ay ang mga kalkulasyon ay dapat isagawa gamit ang mga algorithm sa itaas.
Halimbawa 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) at LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Ang ganitong mga aksyon ay pinahihintulutan dahil sa ang katunayan na kung ito ay tinanggap na a at − a- magkasalungat na numero
pagkatapos ay ang hanay ng mga multiple a tumutugma sa hanay ng mga multiple ng isang numero − a.
Halimbawa 10
Kinakailangang kalkulahin ang LCM ng mga negatibong numero − 145 at − 45 .
Solusyon
Palitan natin ang mga numero − 145 at − 45 sa kanilang kabaligtaran na mga numero 145 at 45 . Ngayon, gamit ang algorithm, kinakalkula namin ang LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , na dati nang natukoy ang GCD gamit ang Euclid algorithm.
Nakukuha namin na ang LCM ng mga numero − 145 at − 45 katumbas 1 305 .
Sagot: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Upang maunawaan kung paano kalkulahin ang LCM, dapat mo munang matukoy ang kahulugan ng terminong "maramihan".
Ang multiple ng A ay isang natural na numero na nahahati sa A nang walang natitira. Kaya, ang 15, 20, 25, at iba pa ay maaaring ituring na multiple ng 5.
Maaaring may limitadong bilang ng mga divisors ng isang partikular na numero, ngunit mayroong walang katapusang bilang ng mga multiple.
Ang karaniwang multiple ng mga natural na numero ay isang numero na nahahati ng mga ito nang walang nalalabi.
Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero
Ang least common multiple (LCM) ng mga numero (dalawa, tatlo o higit pa) ay ang pinakamaliit na natural na numero na pantay na nahahati sa lahat ng numerong ito.
Upang mahanap ang NOC, maaari kang gumamit ng ilang mga pamamaraan.
Para sa maliliit na numero, maginhawang isulat sa isang linya ang lahat ng multiple ng mga numerong ito hanggang sa matagpuan ang isang karaniwan sa kanila. Ang mga multiple ay tinutukoy sa talaan na may malaking titik K.
Halimbawa, ang mga multiple ng 4 ay maaaring isulat tulad nito:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Kaya, makikita mo na ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 4 at 6 ay ang numero 24. Ang entry na ito ay ginanap bilang sumusunod:
LCM(4, 6) = 24
Kung ang mga numero ay malaki, hanapin ang karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero, pagkatapos ay mas mahusay na gumamit ng ibang paraan upang makalkula ang LCM.
Upang makumpleto ang gawain, kinakailangan na mabulok ang mga iminungkahing numero sa mga pangunahing kadahilanan.
Una kailangan mong isulat ang pagpapalawak ng pinakamalaki sa mga numero sa isang linya, at sa ibaba nito - ang natitira.
Sa pagpapalawak ng bawat numero, maaaring may ibang bilang ng mga salik.
Halimbawa, i-factor natin ang mga numerong 50 at 20 sa prime factor.
Sa pagpapalawak ng mas maliit na bilang, dapat isalungguhitan ang mga salik na nawawala sa pagpapalawak ng unang pinakamalaking bilang, at pagkatapos ay idagdag ang mga ito dito. Sa ipinakita na halimbawa, isang deuce ang nawawala.
Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 20 at 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Kaya, ang produkto ng prime factor ng mas malaking bilang at ang mga factor ng pangalawang numero, na hindi kasama sa decomposition ng mas malaking numero, ay ang hindi bababa sa common multiple.
Upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, lahat ng mga ito ay dapat na mabulok sa pangunahing mga kadahilanan, tulad ng sa nakaraang kaso.
Bilang halimbawa, mahahanap mo ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Kaya, dalawang deuces lamang mula sa decomposition ng labing-anim ang hindi kasama sa factorization ng mas malaking bilang (isa ay nasa decomposition ng dalawampu't apat).
Kaya, kailangan nilang idagdag sa agnas ng isang mas malaking bilang.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
May mga espesyal na kaso ng pagtukoy ng hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kaya, kung ang isa sa mga numero ay maaaring hatiin nang walang natitira sa isa pa, kung gayon ang mas malaki sa mga numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.
Halimbawa, ang mga NOC ng labindalawa at dalawampu't apat ay magiging dalawampu't apat.
Kung kinakailangan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ng coprime na walang parehong divisors, kung gayon ang kanilang LCM ay magiging katumbas ng kanilang produkto.
Halimbawa, LCM(10, 11) = 110.