Kako razumjeti logaritme na prstima. Šta je logaritam

Svi smo upoznati sa jednačinama. osnovna škola. Čak smo i tamo naučili rješavati najjednostavnije primjere, a mora se priznati da svoju primjenu nalaze i u višoj matematici. Sve je jednostavno sa jednadžbama, uključujući i kvadratne. Ako imate problema s ovom temom, toplo preporučujemo da je pokušate ponovo.

I logaritmi koje ste vjerovatno već položili. Ipak, smatramo važnim reći šta je to za one koji još ne znaju. Logaritam je jednak stepenu na koji se baza mora podići da bi se dobio broj desno od predznaka logaritma. Dajemo primjer na osnovu kojeg će vam sve postati jasno.

Ako povisite 3 na četvrti stepen, dobićete 81. Sada zamijenite brojeve po analogiji i konačno ćete shvatiti kako se logaritmi rješavaju. Sada ostaje samo kombinirati dva razmatrana koncepta. U početku se situacija čini izuzetno teškom, ali nakon detaljnijeg razmatranja, težina dolazi na svoje mjesto. Sigurni smo da nakon ovog kratkog članka nećete imati problema u ovom dijelu ispita.

Danas postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Govorit ćemo o najjednostavnijim, najefikasnijim i najprimjenjivijim u slučaju USE zadataka. Rješenje logaritamske jednačine treba početi od samog početka jednostavan primjer. Najjednostavnije logaritamske jednadžbe se sastoje od funkcije i jedne varijable u njoj.

Važno je napomenuti da je x unutar argumenta. A i b moraju biti brojevi. U ovom slučaju, možete jednostavno izraziti funkciju u smislu broja u stepenu. To izgleda ovako.

Naravno, rješavanje logaritamske jednadžbe na ovaj način će vas dovesti do tačnog odgovora. Ali problem velike većine studenata u ovom slučaju je što ne razumiju šta i odakle dolazi. Kao rezultat toga, morate podnijeti greške i ne dobiti željene bodove. Najuvredljivija greška bit će ako pomiješate slova na mjestima. Da biste na ovaj način riješili jednačinu, morate zapamtiti ovu standardnu školsku formulu, jer ju je teško razumjeti.

Da biste to olakšali, možete pribjeći drugoj metodi - kanonskom obliku. Ideja je krajnje jednostavna. Ponovo obratite pažnju na zadatak. Zapamtite da je slovo a broj, a ne funkcija ili varijabla. A nije jednako jedan i veće je od nule. Nema ograničenja za b. Sada od svih formula, prisjećamo se jedne. B se može izraziti na sljedeći način.

Iz ovoga slijedi da se sve originalne jednadžbe sa logaritmima mogu predstaviti kao:

Sada možemo odbaciti logaritme. Rezultat je jednostavna konstrukcija, koju smo već ranije vidjeli.

Pogodnost ove formule leži u činjenici da se može najviše koristiti različitim prilikama i to ne samo za najjednostavniji dizajn.

Ne brinite za OOF!

Mnogi iskusni matematičari će primijetiti da nismo obratili pažnju na domen definicije. Pravilo se svodi na činjenicu da je F(x) nužno veći od 0. Ne, nismo propustili ovaj trenutak. Sada govorimo o još jednoj ozbiljnoj prednosti kanonskog oblika.

Ovdje neće biti dodatnih korijena. Ako će se varijabla pojaviti samo na jednom mjestu, tada opseg nije neophodan. Pokreće se automatski. Da biste potvrdili ovu prosudbu, razmotrite rješavanje nekoliko jednostavnih primjera.

Kako riješiti logaritamske jednadžbe sa različitim bazama

To su već složene logaritamske jednadžbe, a pristup njihovom rješavanju trebao bi biti poseban. Ovdje je rijetko moguće ograničiti se na ozloglašeni kanonski oblik. Započnimo našu detaljnu priču. Imamo sledeću konstrukciju.

Obratite pažnju na razlomak. Sadrži logaritam. Ako to vidite u zadatku, vrijedi zapamtiti jedan zanimljiv trik.

Šta to znači? Svaki logaritam se može izraziti kao količnik dva logaritma sa pogodnom bazom. I ova formula ima poseban slučaj, što je primjenjivo u ovom primjeru (što znači ako je c=b).

Upravo to vidimo u našem primjeru. Na ovaj način.

U stvari, okrenuli su razlomak i dobili zgodniji izraz. Zapamtite ovaj algoritam!

Sada nam je potrebno da logaritamska jednadžba ne sadrži različite baze. Predstavimo bazu kao razlomak.

U matematici postoji pravilo na osnovu kojeg se stepen može izvući iz baze. Ispada sljedeća konstrukcija.

Čini se, šta nas sada sprečava da svoj izraz pretvorimo u kanonski oblik i elementarno ga riješimo? Nije tako jednostavno. Prije logaritma ne bi trebalo biti razlomaka. Popravimo ovu situaciju! Razlomak je dozvoljeno uzeti kao stepen.

Odnosno.

Ako su baze iste, možemo ukloniti logaritme i izjednačiti same izraze. Tako će situacija postati mnogo puta lakša nego što je bila. Biće elementarna jednačina koju je svako od nas znao da reši još u 8. ili čak 7. razredu. Možete sami da izvršite proračune.

Dobili smo jedini pravi korijen ove logaritamske jednadžbe. Primjeri rješavanja logaritamske jednadžbe su prilično jednostavni, zar ne? Sada ćete moći samostalno da se nosite i sa većinom izazovni zadaci za pripremu i polaganje ispita.

Šta je rezultat?

U slučaju bilo koje logaritamske jednadžbe, polazimo od jedne vrlo važno pravilo. Potrebno je djelovati tako da se ekspresija dovede do maksimuma običan prizor. U tom slučaju ćete imati više šansi ne samo da ispravno riješite problem, već i da to učinite na najjednostavniji i najlogičniji način. Tako matematičari uvijek rade.

Izričito ne preporučujemo da tražite teške puteve, posebno u ovom slučaju. Zapamtite nekoliko jednostavna pravila, što će vam omogućiti da transformišete bilo koji izraz. Na primjer, dovedite dva ili tri logaritma na istu bazu, ili uzmite potenciju iz baze i pobijedite na njoj.

Također je vrijedno zapamtiti da u rješavanju logaritamskih jednadžbi morate stalno trenirati. Postepeno ćete prelaziti na sve više i više složene strukture, a to će vas dovesti do sigurnog rješenja svih varijanti zadataka na ispitu. Pripremite se za ispite unaprijed i sretno!

Dakle, imamo moći dvojke. Ako uzmete broj iz donje linije, onda možete lako pronaći stepen na koji morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrti stepen. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šesti stepen. To se vidi iz tabele.

A sada - u stvari, definicija logaritma:

Logaritam bazi a argumenta x je stepen na koji se broj a mora podići da bi se dobio broj x.

Notacija: log a x = b, gdje je a baza, x je argument, b je zapravo ono čemu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Mogao bi i logirati 2 64 = 6 jer je 2 6 = 64 .

Operacija pronalaženja logaritma broja na datu bazu naziva se logaritam. Dakle, dodajmo novi red u našu tabelu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, svi logaritmi se ne razmatraju tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći dnevnik 2 5 . Broj 5 nije u tabeli, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi brojevi se nazivaju iracionalni: brojevi iza decimalnog zareza mogu se pisati neograničeno i nikada se ne ponavljaju. Ako se pokaže da je logaritam iracionalan, bolje je ostaviti ga ovako: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Važno je shvatiti da je logaritam izraz sa dvije varijable (bazom i argumentom). U početku, mnogi ljudi brkaju gdje je osnova i gdje je argument. Da biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama nije ništa drugo do definicija logaritma. Zapamtite: logaritam je snaga, na koju morate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na stepen - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispostavilo se da je baza uvijek na dnu! Ovo divno pravilo govorim svojim učenicima već na prvom času - i nema zabune.

Shvatili smo definiciju - ostaje da naučimo kako računati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak, napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. Ovo proizilazi iz definicije stepena pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
Baza mora biti različita od jedinice, budući da je jedinica za bilo koju snagu i dalje jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje „na koju snagu se mora podići da bi se dobilo dva“. Ne postoji takva diploma!

Takva ograničenja se nazivaju važeći raspon(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Imajte na umu da nema ograničenja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuta. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 \u003d -1, jer 0,5 = 2 −1 .

Međutim, za sada samo razmatramo numeričke izraze, pri čemu nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema su već uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada logaritamske jednačine i nejednakosti uđu u igru, DHS zahtjevi će postati obavezni. Zaista, u osnovi i argumentu mogu biti vrlo jake konstrukcije, koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada razmotrite opću šemu za izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

Izrazite bazu a i argument x kao stepen sa najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimalnih razlomaka;
Riješite jednačinu za varijablu b: x = a b ;
Rezultirajući broj b će biti odgovor.

To je sve! Ako se pokaže da je logaritam iracionalan, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan je vrlo relevantan: to smanjuje vjerovatnoću greške i uvelike pojednostavljuje proračune. Slicno decimale: ako ih odmah prevedete u obične, bit će višestruko manje grešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

Predstavimo bazu i argument kao stepen petice: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Napravimo i riješimo jednačinu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Dobio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunaj logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Napravimo i riješimo jednačinu:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Dobio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Napravimo i riješimo jednačinu:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Dobio odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

Predstavimo bazu i argument kao stepen od sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
Iz prethodnog stava proizilazi da se logaritam ne uzima u obzir;
Odgovor je bez promjene: dnevnik 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako se uvjeriti da broj nije tačan stepen drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga razložite na osnovne faktore. Ako postoje najmanje dva različita faktora u ekspanziji, broj nije točna snaga.

Zadatak. Saznajte da li su tačne potencije broja: 8; 48; 81; 35; četrnaest .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tačan stepen, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije tačan stepen jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tačan stepen;
35 = 7 5 - opet nije tačan stepen;
14 \u003d 7 2 - opet nije tačan stepen;

Imajte na umu da su sami prosti brojevi uvijek tačni potenci sami za sebe.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko česti da imaju poseban naziv i oznaku.

Decimalni logaritam argumenta x je logaritam osnove 10, tj. stepen na koji trebate podići broj 10 da biste dobili broj x. Oznaka: lg x .

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput „Pronađi lg 0,01“, znajte da ovo nije greška u kucanju. to decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju notaciju. U određenom smislu, to je čak i važnije od decimalnog. Ovo je prirodni logaritam.

Prirodni logaritam od x je logaritam osnove e, tj. stepen na koji se broj e mora podići da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x .

Mnogi će se pitati: šta je još broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova tačna vrijednost se ne može pronaći i zapisati. Evo samo prvih brojeva:
e = 2,718281828459...

Nećemo se upuštati u to šta je ovaj broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Dakle, ln e = 1; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. općenito, prirodni logaritam svaki racionalni broj je iracionalan. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Razvojem društva, složenošću proizvodnje razvijala se i matematika. Kretanje od jednostavnog ka složenom. Od uobičajenog računovodstvenog metoda sabiranja i oduzimanja, sa svojim ponovljeno ponavljanje došao do koncepta množenja i dijeljenja. Smanjenje višestruko ponovljene operacije postalo je koncept eksponencijacije. Prve tabele zavisnosti brojeva od baze i broja eksponencijalnosti sastavio je još u 8. veku indijski matematičar Varasena. Od njih možete računati vrijeme pojavljivanja logaritama.

Istorijski pregled

Preporod Evrope u 16. veku takođe je podstakao razvoj mehanike. T zahtevala veliku količinu proračuna vezano za množenje i dijeljenje višecifrenih brojeva. Drevni stolovi su učinili veliku uslugu. Dozvolili su zamjenu složene operacije do jednostavnijih - sabiranje i oduzimanje. Veliki iskorak bio je rad matematičara Michaela Stiefela, objavljen 1544. godine, u kojem je realizovao ideju mnogih matematičara. To je omogućilo korištenje tablica ne samo za stupnjeve u obrascu primarni brojevi, ali i za proizvoljno racionalne.

Godine 1614, Škot Džon Napier, razvijajući ove ideje, prvi je uveo novi termin "logaritam broja". Sastavljene su nove kompleksne tablice za izračunavanje logaritama sinusa i kosinusa, kao i tangenta. To je znatno smanjilo rad astronoma.

Počele su da se pojavljuju nove tablice koje su naučnici uspješno koristili tri stoljeća. Trebalo je dosta vremena prije nova operacija u algebri dobio svoj gotov oblik. Definiran je logaritam i proučavana su njegova svojstva.

Tek u 20. veku, sa pojavom kalkulatora i kompjutera, čovečanstvo je napustilo drevne stolove koji su uspešno funkcionisali tokom 13. veka.

Danas zovemo logaritam od b na osnovu a broj x, što je stepen a, da bismo dobili broj b. Ovo je zapisano kao formula: x = log a(b).

Na primjer, log 3(9) će biti jednak 2. Ovo je očigledno ako slijedite definiciju. Ako podignemo 3 na stepen 2, dobićemo 9.

Dakle, formulisana definicija postavlja samo jedno ograničenje, brojevi a i b moraju biti realni.

Vrste logaritama

Klasična definicija se zove realni logaritam i zapravo je rješenje jednadžbe a x = b. Opcija a = 1 je granična i nije od interesa. Napomena: 1 na bilo koji stepen je 1.

Realna vrijednost logaritma definirano samo ako su baza i argument veći od 0, a baza ne smije biti jednaka 1.

Posebno mjesto u oblasti matematike igrati logaritme, koji će biti imenovani ovisno o vrijednosti njihove baze:

Pravila i ograničenja

Osnovno svojstvo logaritama je pravilo: logaritam proizvoda jednak je logaritamskom zbroju. log abp = log a(b) + log a(p).

Kao varijanta ove izjave, bit će: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), kvocijentna funkcija je jednaka razlici funkcija.

Lako je vidjeti iz prethodna dva pravila: log a(b p) = p * log a(b).

Ostala svojstva uključuju:

Komentar. Nemojte praviti uobičajenu grešku - logaritam sume nije jednak je zbiru logaritmi.

Tokom mnogih vekova, operacija pronalaženja logaritma bila je prilično dugotrajan zadatak. Matematičari su koristili dobro poznatu formulu logaritamske teorije širenja u polinom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), gdje je n prirodni broj veći od 1, što određuje tačnost proračuna.

Logaritmi s drugim bazama izračunati su korištenjem teoreme o prijelazu s jedne baze na drugu i svojstva logaritma proizvoda.

Pošto je ova metoda veoma naporna i prilikom rješavanja praktičnih problema teški za implementaciju, koristili su unaprijed sastavljene tablice logaritama, što je uvelike ubrzalo cijeli rad.

U nekim slučajevima korišteni su posebno sastavljeni grafikoni logaritama, koji su davali manju preciznost, ali znatno ubrzavali pretragu. željenu vrijednost. Kriva funkcije y = log a(x), izgrađena na nekoliko tačaka, omogućava korištenje uobičajenog ravnala za pronalaženje vrijednosti funkcije u bilo kojoj drugoj točki. Inženjeri dugo vrijeme u te svrhe korišten je tzv. grafofolija.

U 17. veku pojavili su se prvi pomoćni analogni računarski uslovi, koji bi XIX vijeka dobio gotov izgled. Najuspješniji uređaj zvao se klizač. Unatoč jednostavnosti uređaja, njegov izgled značajno je ubrzao proces svih inženjerskih proračuna, a to je teško precijeniti. Trenutno je malo ljudi upoznato s ovim uređajem.

Pojava kalkulatora i kompjutera učinila je besmislenim korištenje bilo kojih drugih uređaja.

Jednačine i nejednačine

Sljedeće formule se koriste za rješavanje različitih jednadžbi i nejednačina korištenjem logaritama:

Prijelaz s jedne baze na drugu: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Kao posljedica prethodne verzije: log a(b) = 1 / log b(a).

Za rješavanje nejednakosti korisno je znati:

Vrijednost logaritma će biti pozitivna samo ako su i baza i argument veći ili manji od jedan; ako je barem jedan uvjet prekršen, vrijednost logaritma će biti negativna.
Ako je funkcija logaritma primijenjena na desnu i lijevu stranu nejednakosti, a baza logaritma je veća od jedan, onda je predznak nejednakosti sačuvan; inače se menja.

Primjeri zadataka

Razmotrite nekoliko opcija za korištenje logaritama i njihovih svojstava. Primjeri sa rješavanjem jednadžbi:

Razmotrite opciju postavljanja logaritma u stepen:

Zadatak 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rešenje: u uslovima zadatka, notacija je slična sledećoj (5^2)^log5(3) ili 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo to drugačije: 5^log 5(3*2), ili kvadrat broja kao argument funkcije može se napisati kao kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Koristeći svojstva logaritama, ovaj izraz je 3^2. Odgovor: kao rezultat izračuna dobijamo 9.

Praktična upotreba

Budući da je čisto matematički alat, izgleda daleko od toga pravi zivot da je logaritam odjednom postao od velike važnosti za opisivanje objekata u stvarnom svijetu. Teško je naći nauku u kojoj se ne koristi. Ovo se u potpunosti odnosi ne samo na prirodnu, već i na humanističke oblasti znanja.

Logaritamske zavisnosti

Evo nekoliko primjera numeričkih ovisnosti:

Mehanika i fizika

Istorijski gledano, mehanika i fizika su se uvijek razvijale korištenjem matematičke metode istraživanja i ujedno je poslužio kao poticaj za razvoj matematike, uključujući i logaritme. Teorija većine zakona fizike napisana je jezikom matematike. Dajemo samo dva primjera opisa fizičkih zakona pomoću logaritma.

Moguće je riješiti problem izračunavanja tako složene veličine kao što je brzina rakete pomoću formule Tsiolkovsky, koja je postavila temelje za teoriju istraživanja svemira:

V = I * ln(M1/M2), gdje je

V je konačna brzina aviona.
I je specifični impuls motora.
M 1 je početna masa rakete.
M 2 - konačna masa.

Drugi važan primjer - ovo je upotreba u formuli drugog velikog naučnika, Maxa Plancka, koja služi za procjenu stanja ravnoteže u termodinamici.

S = k * ln (Ω), gdje je

S je termodinamičko svojstvo.
k je Boltzmannova konstanta.
Ω je statistička težina različitih stanja.

hemija

Manje očigledna bi bila upotreba formula u hemiji koje sadrže omjer logaritama. Evo samo dva primjera:

Nernstova jednadžba, stanje redoks potencijala medija u odnosu na aktivnost supstanci i konstantu ravnoteže.
Proračun takvih konstanti kao što su indeks autoprolize i kiselost otopine također nije potpun bez naše funkcije.

Psihologija i biologija

I potpuno je neshvatljivo kakve veze psihologija ima s tim. Ispostavilo se da je jačina osjeta dobro opisana ovom funkcijom kao inverzni omjer vrijednosti intenziteta stimulusa prema nižoj vrijednosti intenziteta.

Nakon navedenih primjera, više ne iznenađuje da se tema logaritma široko koristi i u biologiji. O biološkim oblicima koji odgovaraju logaritamskim spiralama mogu se napisati čitavi tomovi.

Ostala područja

Čini se da je postojanje svijeta nemoguće bez veze s ovom funkcijom, a ona vlada svim zakonima. Pogotovo kada su povezani zakoni prirode geometrijska progresija. Vrijedno je pogledati web stranicu MatProfi, a takvih primjera ima mnogo u sljedećim područjima djelovanja:

Lista bi mogla biti beskonačna. Nakon što ste savladali osnovne zakone ove funkcije, možete uroniti u svijet beskonačne mudrosti.

Kao što znate, kada se množe izrazi sa potencijama, njihovi eksponenti se uvijek zbrajaju (a b * a c = a b + c). Ovaj matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celobrojnih indikatora. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje je potrebno pojednostaviti glomazno množenje na jednostavno sabiranje. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (to jest, bilo kojeg pozitivnog) "b" po njegovoj osnovici "a" smatra se potencijom "c" , na koju se mora podići osnova "a", da bi na kraju dobila vrijednost "b". Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takav stepen da od 2 do traženog stepena dobijete 8. Nakon nekih proračuna u svom umu, dobili smo broj 3! I s pravom, jer 2 na stepen od 3 daje broj 8 u odgovoru.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini komplikovanom i nerazumljivom, ali u stvari, logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Ima ih tri određene vrste logaritamski izrazi:

Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Ojlerov broj (e = 2,7).
Decimala a, gdje je osnova 10.
Logaritam bilo kojeg broja b prema osnovici a>1.

Svaki od njih se rješava na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Za dobijanje ispravne vrijednosti logaritma, trebali biste zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji u njihovim odlukama.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i istinita su. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve sa nulom, a također je nemoguće izdvojiti korijen parnog stepena iz negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti kako raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

osnova "a" uvijek mora biti veća od nule, a u isto vrijeme ne mora biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stepenu uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
ako je a > 0, onda a b > 0, ispada da "c" mora biti veće od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dali smo zadatak da pronađete odgovor na jednadžbu 10 x \u003d 100. Vrlo je lako, trebate odabrati takvu snagu podizanjem broja deset na koji dobijamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 \u003d 100.

Sada ćemo predstaviti ovaj izraz kao logaritamski. Dobijamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve radnje praktično konvergiraju ka pronalaženju stepena do kojeg se mora unijeti baza logaritma da bi se dobio dati broj.

Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:

Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički način razmišljanja i poznavanje tablice množenja. Međutim, za velike vrijednosti treba ti tabela stepeni. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne razumiju ništa u kompleksu matematičke teme. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je vrijednost stepena c, na koji se podiže broj a. Na raskrsnici u ćelijama određuju se vrijednosti brojeva, koji su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najpravi humanista razumjeti!

Jednačine i nejednačine

Ispada da je pod određenim uslovima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednačina. Na primjer, 3 4 =81 može se napisati kao logaritam od 81 do baze 3, što je četiri (log 3 81 = 4). Za negativne moći pravila su ista: 2 -5 \u003d 1/32 pišemo u obliku logaritma, dobivamo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo niže, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.

Dat je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - to je logaritamska nejednakost, jer je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritma. I također se u izrazu upoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja u osnovi dva je veći od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednačina je u tome što jednadžbe sa logaritmima (na primjer, logaritam od 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednačine oba raspona prihvatljive vrijednosti i točke koje krše ovu funkciju. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovne teoreme o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka na pronalaženju vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednačine ili nejednačine, prije svega je potrebno jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednačina, hajde da prvo analiziramo svako svojstvo detaljnije.

Osnovni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo ako je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
Logaritam proizvoda se može predstaviti u sljedećoj formuli: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, preduslov je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, sa primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2 , zatim a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Dobijamo da je s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (osobine stepena ), i dalje po definiciji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
Logaritam količnika izgleda ovako: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorema u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.

Ova formula se naziva "svojstvo stepena logaritma". Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i to nije iznenađujuće, jer sva matematika počiva na redovnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka log a b = t, ispada a t = b. Ako oba dijela podignete na stepen m: a tn = b n ;

ali pošto je a tn = (a q) nt/q = b n , dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorema je dokazana.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi logaritamskih problema su primjeri jednadžbi i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim problemskim knjigama, a uključeni su i u obavezni dio ispita iz matematike. Da biste ušli na fakultet ili položili prijemne ispite iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstven plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, međutim, svaka matematička nejednakost ili logaritamska jednadžba se može primijeniti određena pravila. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili svesti na opšti pogled. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako pravilno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi potrebno je odrediti kakav logaritam imamo pred sobom: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da trebate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Za rješenja prirodnih logaritama potrebno je primijeniti logaritamski identiteti ili njihove imovine. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema različitih tipova.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno rastaviti veliku vrijednost broja b na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, primjenom četvrtog svojstva stepena logaritma uspjeli smo riješiti na prvi pogled složen i nerješiv izraz. Potrebno je samo faktorizirati bazu, a zatim izvaditi vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.

Zadaci sa ispita

Na prijemnim ispitima se često nalaze logaritmi, posebno puno logaritamskih problema na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši dio ispita), već i u dijelu C (najteži i najobimniji zadaci). Ispit podrazumijeva tačno i savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješavanje problema preuzeti su iz službenih verzija ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2 , po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1 = 2 4 , dakle 2x = 17; x = 8,5.

Sve logaritme je najbolje svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i zbunjujuće.
Svi izrazi pod predznakom logaritma su označeni kao pozitivni, stoga, kada se iznese eksponent eksponenta izraza, koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.

Date su glavne osobine prirodnog logaritma, graf, oblast definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, izvod, integral, proširenje u niz stepena i reprezentacija funkcije ln x pomoću kompleksnih brojeva.

Definicija

prirodni logaritam je funkcija y = ln x, inverzno eksponentu, x \u003d e y , a koji je logaritam bazi broja e: ln x = log e x.

Prirodni logaritam se široko koristi u matematici jer njegov izvod ima najjednostavniji oblik: (ln x)′ = 1/ x.

Na osnovu definicije, baza prirodnog logaritma je broj e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Grafikon funkcije y = ln x.

Grafikon prirodnog logaritma (funkcije y = ln x) se dobija iz grafika eksponenta refleksijom ogledala oko prave linije y = x .

Prirodni logaritam je definiran za pozitivne vrijednosti x. Ona se monotono povećava u svom domenu definicije.

Kao x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost ( - ∞ ).

Kako je x → + ∞, granica prirodnog logaritma je plus beskonačnost ( + ∞). Za veliki x, logaritam raste prilično sporo. Bilo koji funkcija snage x a sa pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma.

Svojstva prirodnog logaritma

Domen definicije, skup vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva prirodnog logaritma prikazana su u tabeli.

ln x vrijednosti

log 1 = 0

Osnovne formule za prirodne logaritme

Formule koje proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritma i njegove posljedice

Formula zamjene baze

Bilo koji logaritam se može izraziti prirodnim logaritmima koristeći formulu promjene baze:

Dokazi ovih formula su predstavljeni u odjeljku "Logaritam".

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost prirodnog logaritma je eksponent.

Ako onda

Ako onda .

Derivat ln x

Derivat prirodnog logaritma:
.
Derivat prirodnog logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Derivacija formula > > >

Integral

Integral se izračunava integracijom po dijelovima:
.
dakle,

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo kompleksnu varijablu z preko modula r i argument φ :
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Or
.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Ako stavimo
, gdje je n cijeli broj,
tada će to biti isti broj za različite n.

Dakle, prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije jednoznačna funkcija.

Proširenje serije snaga

Za , ekspanzija se odvija:

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.