Kako pravilno konstruisati sekcije paralelepipeda. Zadaci presjeka
Definicija
Presjek je ravna figura koja nastaje kada se trodimenzionalna figura presječe ravninom i čija granica leži na površini trodimenzionalne figure.
Komentar
Za konstruisanje preseka različitih prostornih figura potrebno je zapamtiti osnovne definicije i teoreme o paralelizmu i okomitosti pravih i ravni, kao i svojstva prostornih figura. Podsjetimo se glavnih činjenica.
Za detaljnije proučavanje preporučuje se čitanje tema „Uvod u geometriju čvrstog tijela. Paralelizam” i “Perpendikularnost. Uglovi i udaljenosti u prostoru”.
Važne definicije
1. Dvije prave u prostoru su paralelne ako leže u istoj ravni i ne seku se.
2. Dvije prave se seku u prostoru ako se kroz njih ne može povući ravan.
4. Dvije ravni su paralelne ako nemaju zajedničke tačke.
5. Dvije prave u prostoru nazivaju se okomiti ako je ugao između njih \(90^\circ\) .
6. Prava se naziva okomita na ravan ako je okomita na bilo koju pravu koja leži u ovoj ravni.
7. Dvije ravni se nazivaju okomite ako je ugao između njih \(90^\circ\) .
Važni aksiomi
1. Kroz tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj, prolazi ravan, i to samo jedna.
2. Ravan prolazi kroz pravu i tačku koja ne leži na njoj, i štaviše, samo jednu.
3. Ravan prolazi kroz dve prave koje se ukrštaju, i štaviše, samo jednu.
Važne teoreme
1. Ako je prava \(a\) koja ne leži u ravni \(\pi\) paralelna nekoj pravoj \(p\) koja leži u ravni \(\pi\) , tada je paralelna sa datom ravninom .
2. Neka je prava \(p\) paralelna ravni \(\mu\) . Ako ravan \(\pi\) prolazi kroz pravu \(p\) i siječe ravan \(\mu\) , tada je linija presjeka ravni \(\pi\) i \(\mu\) je prava \(m\) - paralelna pravoj \(p\) .
3. Ako su dvije prave koje se seku iz jedne ravni paralelne sa dvije prave koje se seku iz druge ravni, tada će te ravni biti paralelne.
4. Ako dvije paralelne ravni \(\alpha\) i \(\beta\) siječe treća ravan \(\gamma\) , tada su i linije presjeka ravnina paralelne:
\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]
5. Neka prava \(l\) leži u ravni \(\lambda\) . Ako prava \(s\) siječe ravan \(\lambda\) u tački \(S\) koja ne leži na pravoj \(l\) , tada prave \(l\) i \(s\) presecati.
6. Ako je prava okomita na dvije prave koje se ukrštaju koje leže u datoj ravni, onda je ona okomita na ovu ravan.
7. Teorema o tri okomice.
Neka je \(AH\) okomita na ravan \(\beta\) . Neka je \(AB, BH\) kosa i njena projekcija na ravan \(\beta\) . Tada će prava \(x\) u ravni \(\beta\) biti okomita na kosu pravu ako i samo ako je okomita na projekciju.
8. Ako ravan prolazi kroz pravu pravu okomitu na drugu ravan, onda je ona okomita na ovu ravan.
Komentar
Drugi važna činjenica, često se koristi za pravljenje sekcija:
da bi se pronašla tačka preseka prave i ravni, dovoljno je pronaći tačku preseka date prave i njenu projekciju na ovu ravan.
Da bismo to učinili, iz dvije proizvoljne tačke \(A\) i \(B\) prave \(a\) povlačimo okomite na ravan \(\mu\) – \(AA"\) i \(BB "\) (tačke \ (A, B"\) se nazivaju projekcije tačaka \(A, B\) na ravan). Tada je prava \(A"B"\) projekcija prave \(a\) na ravan \(\mu\) . Tačka \(M=a\cap A"B"\) je tačka preseka prave \(a\) i ravni \(\mu\) .
Imajte na umu da sve tačke \(A, B, A", B", M\) leže u istoj ravni.
Primjer 1
Zadana je kocka \(ABCDA"B"C"D"\) . \(A"P=\dfrac 14AA", \ KC=\dfrac15 CC"\). Pronađite tačku presjeka prave \(PK\) i ravni \(ABC\) .
Rješenje
1) Jer ivice kocke \(AA, CC"\) su okomite na \((ABC)\) , tada su tačke \(A\) i \(C\) projekcije tačaka \(P\) i \(K \) . Tada je prava \(AC\) projekcija prave \(PK\) na ravan \(ABC\) . Proširujemo segmente \(PK\) i \(AC\) izvan tačaka \(K\) i \(C\), respektivno, i dobijamo tačku preseka pravih - tačku \(E\) .
2) Pronađite relaciju \(AC:EC\) . \(\trokut PAE\sim \trokut KCE\) dva ugla ( \(\ugao A=\ugao C=90^\krug, \ugao E\)- opšte), tj. \[\dfrac(PA)(KC)=\dfrac(EA)(EC)\]
Ako ivicu kocke označimo sa \(a\) , onda \(PA=\dfrac34a, \ KC=\dfrac15a, \ AC=a\sqrt2\). onda:
\[\dfrac(\frac34a)(\frac15a)=\dfrac(a\sqrt2+EC)(EC) \Rightarrow EC=\dfrac(4\sqrt2)(11)a \Rightarrow AC:EC=4:11\ ]
Primjer 2
Zadata je pravilna trouglasta piramida \(DABC\) sa osnovom \(ABC\), čija je visina jednaka stranici osnove. Neka tačka \(M\) dijeli bočnu ivicu piramide u omjeru \(1:4\) , računajući od vrha piramide, i \(N\) visinu piramide u omjeru \( 1:2\), računajući od vrha piramide. Pronađite tačku presjeka prave \(MN\) sa ravninom \(ABC\) .
Rješenje
1) Neka \(DM:MA=1:4, \DN:NO=1:2\) (vidi sliku). Jer piramida je pravilna, tada visina pada do tačke \(O\) preseka medijana baze. Pronađite projekciju prave \(MN\) na ravan \(ABC\) . Jer \(DO\perp (ABC)\) , onda je i \(NO\perp (ABC)\) . Dakle, \(O\) je tačka koja pripada ovoj projekciji. Hajde da nađemo drugu tačku. Ispustimo okomicu \(MQ\) iz tačke \(M\) na ravan \(ABC\) . Tačka \(Q\) će ležati na medijani \(AK\) .
Zaista, pošto \(MQ\) i \(NO\) su okomite na \((ABC)\) , tada su paralelne (odnosno, leže u istoj ravni). Stoga, pošto tačke \(M, N, O\) leže u istoj ravni \(ADK\) , tada će tačka \(Q\) takođe ležati u ovoj ravni. Ali također (po konstrukciji) tačka \(Q\) mora ležati u ravni \(ABC\) , dakle, leži na liniji presjeka ovih ravnina, a to je \(AK\) .
Dakle, prava \(AK\) je projekcija prave \(MN\) na ravan \(ABC\) . \(L\) je tačka preseka ovih pravih.
2) Imajte na umu da je za pravilno crtanje crteža potrebno pronaći tačan položaj tačke \(L\) (na primjer, na našem crtežu tačka \(L\) leži izvan segmenta \(OK\). ) , iako bi mogao ležati i unutar njega; ali kako je to ispravno?).
Jer po uslovu, stranica osnove je jednaka visini piramide, tada označavamo \(AB=DO=a\) . Tada je medijan \(AK=\dfrac(\sqrt3)2a\) . znači, \(OK=\dfrac13AK=\dfrac 1(2\sqrt3)a\). Nađimo dužinu segmenta \(OL\) (tada možemo razumjeti da li je tačka \(L\) unutar ili izvan segmenta \(OK\) : ako \(OL>OK\) - onda van, inače - unutra).
a) \(\trokut AMQ\sim \trokut ADO\) dva ugla ( \(\ugao Q=\ugao O=90^\krug, \ \ugao A\)- generalno). znači,
\[\dfrac(MQ)(DO)=\dfrac(AQ)(AO)=\dfrac(MA)(DA)=\dfrac 45 \Rightarrow MQ=\dfrac 45a, \ AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a\]
znači, \(QK=\dfrac(\sqrt3)2a-\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a=\dfrac7(10\sqrt3)a\).
b) Označiti \(KL=x\) .
\(\trokut LMQ\sim \trokut LNO\) dva ugla ( \(\ugao Q=\ugao O=90^\krug, \ \ugao L\)- generalno). znači,
\[\dfrac(MQ)(NO)=\dfrac(QL)(OL) \Rightarrow \dfrac(\frac45 a)(\frac 23a) =\dfrac(\frac(7)(10\sqrt3)a+x )(\frac1(2\sqrt3)a+x) \Rightarrow x=\dfrac a(2\sqrt3) \Rightarrow OL=\dfrac a(\sqrt3)\]
Dakle, \(OL>OK\) , što znači da tačka \(L\) zaista leži izvan segmenta \(AK\) .
Komentar
Nemojte se bojati ako pri rješavanju sličnog problema dobijete da je dužina segmenta negativna. Ako smo u uslovima prethodnog zadatka dobili da je \(x\) negativan, to bi samo značilo da smo pogrešno odabrali poziciju tačke \(L\) (odnosno da je unutar segmenta \(AK \) ) .
Primjer 3
Zadana je pravilna četverokutna piramida \(SABCD\) . Pronađite presjek piramide ravninom \(\alpha\) koja prolazi kroz tačku \(C\) i sredinu ivice \(SA\) i paralelnu pravu \(BD\) .
Rješenje
1) Označite sredinu ivice \(SA\) sa \(M\) . Jer Ako je piramida pravilna, tada visina \(SH\) piramide pada na točku presjeka dijagonala osnove. Razmotrimo ravan \(SAC\) . Segmenti \(CM\) i \(SH\) leže u ovoj ravni, neka se sijeku u tački \(O\) .
Da bi ravan \(\alpha\) bila paralelna pravoj \(BD\) , ona mora sadržavati neku pravu paralelnu sa \(BD\) . Tačka \(O\) nalazi se zajedno sa pravom \(BD\) u istoj ravni - u ravni \(BSD\) . Nacrtajte pravu \(KP\paralelno BD\) (\(K\in SB, P\in SD\) ) u ovoj ravni kroz tačku \(O\) . Zatim, spajanjem tačaka \(C, P, M, K\) dobijamo presjek piramide ravninom \(\alpha\).
2) Pronađite odnos u kojem tačke \(K\) i \(P\) dijele ivice \(SB\) i \(SD\) . Dakle, u potpunosti definiramo konstruirani presjek.
Imajte na umu da pošto \(KP\paralelno BD\) , onda prema Talesovoj teoremi \(\dfrac(SB)(SK)=\dfrac(SD)(SP)\). Ali \(SB=SD\), tako i \(SK=SP\) . Dakle, samo \(SP:PD\) se može pronaći.
Razmotrimo \(\trokut ASC\) . \(CM, SH\) su medijane u ovom trouglu, dakle, tačka preseka je podeljena u odnosu \(2:1\) , računajući od vrha, tj. \(SO:OH=2:1\) .
Sada prema Talesovoj teoremi iz \(\trokut BSD\): \(\dfrac(SP)(PD)=\dfrac(SO)(OH)=\dfrac21\).
3) Imajte na umu da je, prema teoremi o tri okomite, \(CO\perp BD\) koso (\(OH\) je okomito na ravan \(ABC\) , \(CH\perp BD) \) je projekcija). Dakle \(CO\perp KP\) . Dakle, presjek je četverougao \(CPMK\) čije su dijagonale međusobno okomite.
Primjer 4
Dana pravougaone piramide\(DABC\) sa rubom \(DB\) okomitim na ravan \(ABC\) . Osnova je pravougaoni trougao sa \(\ugao B=90^\krug\) , sa \(AB=DB=CB\) . Nacrtajte ravan kroz pravu \(AB\) okomitu na lice \(DAC\) , i pronađite presjek piramide ovom ravninom.
Rješenje
1) Ravan \(\alpha\) će biti okomita na lice \(DAC\) ako sadrži pravu okomitu na \(DAC\) . Nacrtajte okomitu iz tačke \(B\) na ravan \(DAC\) - \(BH\) , \(H\in DAC\) .
Nacrtajte pomoćni \(BK\) - medijan u \(\trokut ABC\) i \(DK\) - medijan u \(\trokut DAC\) .
Jer \(AB=BC\) , tada je \(\trougao ABC\) jednakokračan, pa je \(BK\) visina, tj. \(BK\perp AC\) .
Jer \(AB=DB=CB\) i \(\ugao ABD=\ugao CBD=90^\krug\), onda \(\trokut ABD=\trokut CBD\), dakle \(AD=CD\) , dakle \(\trougao DAC\) je također jednakokračan i \(DK\perp AC\) .
Primijenimo teoremu na tri okomice: \(BH\) je okomita na \(DAC\) ; kosi \(BK\perp AC\) , dakle projekcija \(HK\perp AC\) . Ali već smo utvrdili da je \(DK\perp AC\) . Dakle, tačka \(H\) leži na segmentu \(DK\) .
Povezujući tačke \(A\) i \(H\) , dobijamo segment \(AN\) , duž kojeg se ravan \(\alpha\) seče sa licem \(DAC\) . Tada je \(\trokut ABN\) željeni presjek piramide po ravni \(\alpha\) .
2) Odredite tačan položaj tačke \(N\) na ivici \(DC\) .
Označite \(AB=CB=DB=x\) . Zatim \(BK\) , kako je medijan pao od vrha pravi ugao u \(\trokut ABC\) je \(\frac12 AC\) , dakle \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\) .
Razmotrimo \(\trokut BKD\) . Pronađite relaciju \(DH:HK\) .
Imajte na umu da pošto \(BH\perp (DAC)\) , tada je \(BH\) okomito na bilo koju pravu iz ove ravni, pa je \(BH\) visina u \(\trouglu DBK\) . Onda \(\trokut DBH\sim \trokut DBK\), Shodno tome
\[\dfrac(DH)(DB)=\dfrac(DB)(DK) \Rightarrow DH=\dfrac(\sqrt6)3x \Rightarrow HK=\dfrac(\sqrt6)6x \Rightarrow DH:HK=2:1 \]
Razmotrimo sada \(\trokut ADC\) . Medijane tačnog presječnog trougla podijeljene su sa \(2:1\) , računajući od vrha. Dakle, \(H\) je presjek medijana u \(\trokut ADC\) (jer je \(DK\) medijan). To jest, \(AN\) je također medijan, pa \(DN=NC\) .
U prethodnim problemima pokazalo se da nam je poznavanje teorije dovoljno za konstruisanje preseka. Hajde da razmotrimo još jedan problem. Zadatak 1. Konstruisati presek tetraedra koji prolazi kroz tačku M, paralelno sa ravni ABD. M Jedna tačka nam neće pomoći ni na koji način, ali postoji dodatni uslov u problemu: presek mora biti paralelan sa ABD ravninom. Šta nam ovo daje? 1. Ravnine ADB i DBC seku se duž prave DB, dakle, presek paralelan sa ADB seče DBC duž (ako se dve ravni paralelne pravoj paralelnoj sa DB seku za trećinu, tada su linije preseka paralelne) M tačka M pripada licu DBC. Povučemo kroz nju N pravu MK paralelnu sa DB. 2. Slično: (ADB) (ABC)=AB, K, dakle, presek će se preseći (ABC) u pravoj liniji paralelnoj sa AB. K (ABC). Kroz tačku K u ravni ABC povlači prava KN paralelna sa AB. M N K N (ADC), M (ADC), dakle MN (ADC) (i presječne ravni). Hajde da uradimo NM. MKN je obavezna sekcija. Dakle: M N 1. Konstrukcija: 1. U ravni (DBC) MK // DB, MK BC = K. 2. U ravni (ABC) KN // AB, KN AC = N. 3. MN Dokažimo da je MKN je željena sekcija K 2. Dokaz. 1. Presjek prolazi kroz tačku M 2. N (ADC), M (ADC) => NM (ADC) 3. MK // DB, NK // AB po konstrukciji, dakle (NMK) // (ABD) po karakteristika. Stoga je MKN željeni poprečni presjek crno-bijelog. Zadatak 2. Konstruisati presek paralelepipeda ABCDA1B1C1D1 koji prolazi središtem ivice D1C1 i tačke D, paralelno sa pravom a. B1 C1 Obrazloženje. M A1 D1 B A C D M je sredina D1C1. 2. Tačke M i D leže B1 C1 M A1 A, tako da se mogu povezati. D1 B C D u istoj ravni DD1C1, Nema više šta da se poveže. 3. Koristimo dodatni uslov: sekantna ravan mora biti paralelna pravoj a. B1 C1 M A1 B C S A Da biste to učinili, mora sadržavati pravu paralelnu pravoj a. Najlakši način je da nacrtate takvu pravu liniju u ravni ABC, jer sadrži pravu a i tačku D koja pripada presjeku. D Nacrtaj pravu DS u ravni ABC kroz tačku D paralelnu pravoj a. DS AB = S. 4. Jer (ABC) // (A1B1C1), nacrtaj u ravnini (A1B1C1), kroz tačku M, prava MP // SD. MP B1C1 = P 5. (DD1C1) // (AA1B1), tada se u P B C ravni (AA1B1) može kroz tačku S povući prava M N A D SN paralelna sa DM. SN BB1 = N 1 1 1 1 B C S A D 6. Tačke N i P leže u ravni (A1B1C1). Hajde da ih povežemo. SNPMD - željena sekcija. Dakle: 1. Izgradnja. 1. MD B1 A1 N P C1 S A M 3. U (A1B1C1), kroz tačku M, MP // DS, MP B1C1 = P C 4. U ravni (AA1B1), kroz tačku S, SN // DM, SN BB1 = N 5. NP D1 B D 2. B (ABC), kroz tačku D, DS // a, DS AB = S Dokažimo da je SNPMD obavezna sekcija. 2. Dokaz. B1 A1 N 1. Presjek prolazi kroz tačku D i sredinu ivice D1C1 - tačku M po konstrukciji. P C1 M C S A 3. PM // SD, P B1C1 po konstrukciji D1 B D 2. DS // a, (S AB) po konstrukciji, dakle (KNP) // a po osobini. 4. SN // DM, N BB1 po konstrukciji 5. P (BB1C1), N (BB1C1) => PN (BB1C1). Stoga je SNPMD željeni poprečni presjek crne kutije. Zadatak 3. Konstruisati presek paralelepipeda koji je paralelan sa B1A i prolazi kroz tačke M i N. Rezonovanje. 1. Spojite M i N (leže u ravni (C1A1B1)). B1 N M A1 D1 B A C1 C D Ne postoji ništa drugo za povezivanje. Koristimo dodatni uslov: sekantna ravan mora biti paralelna pravoj B1A 2. Da bi sekantna ravan bila paralelna sa AB1, ona mora sadržavati liniju paralelnu sa AB1 (ili DC1, pošto DC // AB1 po svojstvu paralelepipeda). Najprikladnije je prikazati takvu ravnu liniju na licu DD1C1C, jer (DD1C1) // (AA1B1) i AB1 (AA1B1). Nacrtajte u ravni (DD1C1) pravu NK // AB1, NK DD1 = K. B1 N M A1 D1 B 3. Sada postoje dvije tačke, M i K, u ravni AA1D1, koje pripadaju presjeku. Hajde da ih povežemo. C K A C1 D MNK je potrebna sekcija. Dakle: 1. Izgradnja. 1. MN 2. U ravni (DD1C1) NK // AB1, NK DD1 = K. . B1 N A1 A M D1 C1 3. MK Dokazati da je MNK traženi dio 2. Dokaz. B C 1. Presjek prolazi kroz tačke M i N. K 2. M (A1B1C1), N (A1B1C1) => D MN (A1B1C1). 3. M (ADD1), K (ADD1) => MK (ADD1). 4. Jer NK // AB1 po konstrukciji, zatim (MNK) // AB1 po kriteriju paralelnosti prave i ravni. Stoga je MNK željeni poprečni presjek crne kutije. Zadatak 3. 1. Konstruirajte presjek u tetraedru DABC ravninom koja prolazi središtem ivice DC, vrhom B i paralelna je pravoj AC. 2. Konstruisati presek paralelepipeda ravninom koja prolazi središtem ivice B1C1 i tačkom K koja leži na ivici CD, paralelna pravoj BD, ako je DK: KC = 1: 3. M 3. Konstruisati presek tetraedra ravninom koja prolazi kroz tačke M i C, paralelna prava a (slika 1). Sl.1 4. U paralelepipedu ABCDA1B1C1D1, tačka E pripada ivici CD. Konstruišite presek paralelepipeda ravninom koja prolazi kroz ovu tačku i paralelna je sa ravninom BC1D. 5. Konstruisati presek paralelepipeda ravninom koja prolazi kroz AA1, paralelno sa MN, gde je M središte AB, N središte BC. 6. Konstruišite presek paralelepipeda ravninom koja prolazi središtem ivice B1C1 paralelno sa ravninom AA1C1.
Danas, hajde da pogledamo kako konstruisati presek tetraedra ravninom.
Razmotrimo najjednostavniji slučaj (obavezni nivo), kada 2 tačke presečne ravnine pripadaju jednom licu, a treća tačka pripada drugom licu.
Podsjetimo algoritam poprečnog presjeka ove vrste (slučaj: 2 boda pripadaju istom licu).
1. Tražimo lice koje sadrži 2 tačke presečne ravni. Povlačimo pravu liniju kroz dvije tačke koje leže na istoj strani. Nalazimo tačke njegovog preseka sa ivicama tetraedra. Deo ravne linije koji se nalazi na licu je strana preseka.
2. Ako se poligon može zatvoriti, sekcija je izgrađena. Ako je nemoguće zatvoriti, tada nalazimo tačku preseka konstruisane prave i ravni koja sadrži treću tačku.
1. Vidimo da tačke E i F leže na istoj površini (BCD), povući pravu EF u ravni (BCD). 
2. Pronađite tačku preseka prave EF sa ivicom tetraedra BD, to je tačka H.
3. Sada biste trebali pronaći tačku preseka prave EF i ravni koja sadrži treću tačku G, tj. ravni (ADC).
Prava CD leži u ravnima (ADC) i (BDC), pa seče pravu EF, a tačka K je tačka preseka prave EF i ravni (ADC).
4. Zatim nalazimo još dvije tačke koje leže u istoj ravni. To su tačke G i K, obe leže u ravni leve bočne strane. Crtamo liniju GK, označavamo tačke u kojima ova linija seče ivice tetraedra. To su tačke M i L.
4. Ostaje "zatvoriti" odjeljak, odnosno spojiti točke koje leže na jednom licu. To su tačke M i H, kao i L i F. Oba ova segmenta su nevidljiva, crtamo ih isprekidanom linijom.
Ispostavilo se da je poprečni presjek četverougao MHFL. Svi njegovi vrhovi leže na ivicama tetraedra. Odaberimo rezultujući odjeljak.
Sada formulišemo "osobine" ispravno konstruisanog preseka:
1. Svi vrhovi mnogougla, koji je presek, leže na ivicama tetraedra (paralelepiped, poligon).
2. Sve strane presjeka leže u površinama poliedra.
3. U svakom licu poliedra ne može biti više od jedne (jedna ili nijedna!) stranica presjeka
Cilj:
Razvoj prostornih predstava.
Zadaci:
1. Uvesti pravila za građenje presjeka.
2. Razviti vještine za konstruiranje sekcija
tetraedar i paralelepiped na različitim mjestima
slučajevi postavljanja rezne ravni.
3. Formirati sposobnost primjene pravila
konstrukcija presjeka pri rješavanju zadataka na
teme "Poliedri".
geometrijski
potrebni zadaci
izgraditi sekcije
poliedri
razne
avioni.
Koncept rezne ravni
secantavion
paralelepiped
(tetraedar)
zove bilo koji
avion, oboje
stranu od
koji ima
tačke ovoga
paralelepiped
(tetraedar).
Koncept presjeka poliedra
reznu ravninuprelazi ivice
tetraedar
(paralelepiped) po
segmentima.
Poligon, strane
čiji su podaci
segmenti, tzv
presek tetraedra
(paralelepiped).
Rad sa crtanjem
Koliko se aviona može nacrtatikroz odabrane elemente?
Koje ste aksiome i teoreme primijenili? Za izgradnju sekcije
tačke treba izgraditi.
sekantna raskrsnica
avioni sa rebrima i
povežite ih u sekcije.
Pravila za građenje sekcija
1. Možete povezati samo dvatačke koje leže u istoj ravni
ivice.
2. Sečna ravan se siječe
paralelna lica duž
paralelni segmenti.
Pravila za građenje sekcija
3. Ako je ravnina lica označenasamo jedna tačka pripada
presečna ravnina, onda
izgraditi dodatnu tačku.
Da biste to učinili, morate pronaći bodove
raskrsnice već izgrađenih
prave linije sa drugim pravim linijama,
leže na istim granicama.
10. Konstrukcija presjeka tetraedra
11.
Tetraedar ima 4 licaU odjeljcima, možete dobiti
trouglovi
Četvorouglovi
12.
Konstruišite presek tetraedraDABC avion prolazi
kroz tačke M,N,K
1. Povucite liniju
tačke M i K, jer oni lažu
u jednom licu (ADC).
D
M
aa
N
K
BB
CC
2. Povucite liniju
tačke K i N, jer oni
lezi na istoj strani
(CDB).
3. Slično tvrdeći,
nacrtati pravu liniju MN.
4. Trougao MNK -
željeni dio.
13. prolazeći kroz tačku M paralelno sa ABC.
D1. Provući kroz tačku M
ravna paralela
rub AB
2.
M
R
ALI
To
OD
AT
Provući kroz tačku M
ravna paralela
edge AC
3. Povucite liniju
tačke K i P, jer oni leže unutra
jednostruka ivica (DBC)
4. Trougao MPK -
željeni dio.
14.
Konstruisati presek tetraedra ravninom,prolazeći kroz tačke E, F, K.
D
1. Pokrenite KF.
2. Izvodimo FE.
3. Nastavite
EF, nastavimo AC.
F
4. EF AC =M
5. Mi sprovodimo
MK.
E
M
AB=L
6.
MK
C
A
7. Provedite EL
L
EFKL - željeni dio
K
B
15.
Konstruisati presek tetraedra ravninom,prolazeći kroz tačke E, F, K
Šta
koji usmjeravaju
tačka,
leži u
mogu
Povežite se
rezultirajući
Koja vrsta
bodova
mogu
odmah
igračka
isto
aspekte
mogu
nastavi,
to
dobiti
bodovi,
laganje
in
jedan
povezati?
povezati
primljeno
dodatno
tačka?
ivica,
ime
odjeljak.
dodatni poen?
D
AC
ELFK
Fsec
vena
K i E
i FK
F
L
C
M
A
E
K
B
16.
Build sectionravan tetraedra,
prolaz kroz tačke
E, F, K.
D
F
L
C
A
E
K
B
O
17.
Zaključak: kako godkonstrukcije sekcija su iste
18. Konstrukcija presjeka paralelepipeda
19.
Tetraedar ima 6 licatrouglovi
pentagons
U svojim odjeljcima možete dobiti
Četvorouglovi
Hexagons
20. Konstruirajte presjek paralelepipeda ravninom koja prolazi kroz tačku X paralelno s ravninom (OSV)
U 1A1
Y
X
D1
S
AT
ALI
D
Z
1. Prođite
C1
tačka X linija
paralelno sa ivicom
D1C1
2. Kroz tačku X
direktno
paralelno sa ivicom
D1D
3. Kroz tačku Z prava linija
paralelno sa ivicom
OD
DC
4. Povucite liniju
tačke S i Y, jer oni leže unutra
jedno lice (BB1C1)
XYSZ - željeni odsjek
21.
Konstruirajte presjek paralelepipedaravan koja prolazi kroz tačke
M,A,D
U 1
D1
E
A1
C1
AT
ALI
1 AD
2.MD
3. ME//AD, jer (ABC)//(A1B1C1)
4.AE
5. AEMD - željena sekcija
M
D
OD
22. Konstruiraj presek paralelepipeda ravninom koja prolazi kroz tačke M, K, T
NM
To
R
S
X
T
23. Završite zadatke sami
mt
to
m
D
to
t
Napravi presjek: a) paralelepiped;
b) tetraedar
ravan koja prolazi kroz tačke M,T,K.
24. Korišteni resursi
Soboleva L. I. Konstrukcija sekcijaTkacheva V. V. Izgradnja sekcija
tetraedar i paralelepiped
Gobozova L.V. Zadaci za izgradnju
sekcije
DVD. Ćirilove lekcije geometrije i
Metodije. 10. razred, 2005
Zadaci obuke i testiranja.
Geometrija. 10. razred (bilježnica) / Aleshina
T.N. - M.: Intelekt-Centar, 1998
U ovoj lekciji ćemo pogledati tetraedar i njegove elemente (ivica tetraedra, površina, lica, vrhovi). I riješit ćemo nekoliko problema za konstruiranje presjeka u tetraedru pomoću opšta metoda za izgradnju sekcija.
Tema: Paralelizam pravih i ravni
Lekcija: Tetraedar. Problemi za konstruisanje presjeka u tetraedru
Kako izgraditi tetraedar? Uzmimo proizvoljan trougao ABC. Proizvoljna tačka D ne leži u ravni ovog trougla. Dobijamo 4 trougla. Površina koju čine ova 4 trokuta naziva se tetraedar (slika 1.). Unutrašnje tačke ograničene ovom površinom takođe su deo tetraedra.
Rice. 1. Tetraedar ABCD
Elementi tetraedra
ALI,B,
C,
D - vrhovima tetraedra.
AB,
AC,
AD,
BC,
BD,
CD - ivice tetraedra.
ABC,
ABD,
bdc,
ADC - lica tetraedra.
komentar: možete uzeti avion ABC per baza tetraedra, a zatim poenta D je vrh tetraedra. Svaka ivica tetraedra je presek dve ravni. Na primjer, rebro AB je presek ravnina ABD i ABC. Svaki vrh tetraedra je presek tri ravni. Vertex ALI leži u avionima ABC, ABD, ALIDOD. Dot ALI je presek tri označene ravni. Ova činjenica je napisana na sljedeći način: ALI= ABC ∩ ABD ∩ ACD.
Definicija tetraedra
dakle, tetraedar je površina koju čine četiri trokuta.
Ivica tetraedra- linija preseka dve ravni tetraedra.
Napravite 4 jednaka trougla od 6 šibica. Problem nije moguće riješiti u avionu. A u svemiru je to lako učiniti. Uzmimo tetraedar. 6 šibica su njegove ivice, četiri lica tetraedra i biće četiri jednaka trougla. Problem riješen.
Dan tetrahedron ABCD. Dot M pripada ivici tetraedra AB, tačka N pripada ivici tetraedra ATD i tačka R pripada ivici DOD(Sl. 2.). Konstruišite presek tetraedra ravninom MNP.
Rice. 2. Crtež za zadatak 2 - Konstruisati presek tetraedra ravninom
Rješenje:
Razmotrimo lice tetraedra Dsunce. Na ovoj ivici tačke N i P lica pripadaju Dsunce, a time i tetraedar. Ali po uslovu tačke N, P pripadaju reznoj ravni. znači, NP je linija presjeka dvije ravni: ravnine lica Dsunce i reznu ravninu. Pretpostavimo da su linije NP i sunce nisu paralelne. Leže u istoj ravni DNed. Pronađite tačku preseka pravih NP i sunce. Označimo ga E(Sl. 3.).
Rice. 3. Crtež za zadatak 2. Pronalaženje tačke E
Dot E pripada ravnini preseka MNP, budući da leži na liniji NP, i prava linija NP u potpunosti leži u ravnini preseka MNP.
Također tačka E leži u avionu ABC jer leži na liniji sunce van aviona ABC.
Shvatili smo to JEDI- linija preseka ravnina ABC i MNP, jer bodovi E i M leže istovremeno u dve ravni - ABC i MNP. Povežite tačke M i E, i nastavite liniju JEDI do raskrsnice sa linijom AC. tačka preseka linija JEDI i AC označiti Q.
Dakle, u ovom slučaju NPQM- željeni dio.
Rice. 4. Crtež za zadatak 2. Rješenje zadatka 2
Razmotrite sada slučaj kada NP paralelno BC. Ako je ravno NP paralelno s nekom pravom, na primjer, pravom sunce van aviona ABC, zatim prava linija NP paralelno sa celom ravninom ABC.
Željena presečna ravnina prolazi kroz pravu liniju NP, paralelno sa ravninom ABC, i siječe ravan u pravoj liniji MQ. Dakle, linija raskrsnice MQ paralelno sa pravom linijom NP. Dobijamo NPQM- željeni dio.
Dot M leži sa strane ALIDAT tetraedar ABCD. Konstruišite presek tetraedra ravninom koja prolazi kroz tačku M paralelno sa bazom ABC.
Rice. 5. Crtež za zadatak 3 Konstruišite presek tetraedra ravninom
Rješenje:
reznu ravninu φ
paralelno sa ravninom ABC po stanju, onda ovaj avion φ
paralelno sa pravim linijama AB, AC, sunce.
U avionu ABD kroz tačku M hajde da nacrtamo pravu liniju PQ paralelno AB(Sl. 5). Pravo PQ leži u avionu ABD. Slično u avionu ACD kroz tačku R hajde da nacrtamo pravu liniju PR paralelno AC. imam poentu R. Dvije linije koje se seku PQ i PR avion PQR su paralelne sa dve prave koje se seku AB i AC avion ABC, dakle avioni ABC i PQR su paralelne. PQR- željeni dio. Problem riješen.
Dan tetrahedron ABCD. Dot M- unutrašnja tačka, tačka lica tetraedra ABD. N- unutrašnja tačka segmenta DOD(Sl. 6.). Konstruisati tačku preseka prave NM i avion ABC.
Rice. 6. Crtež za zadatak 4
Rješenje:
Za rješavanje konstruiramo pomoćnu ravan DMN. Pusti liniju DM seče pravu AB u tački To(Sl. 7.). onda, SCD je dio aviona DMN i tetraedar. U avionu DMN laže i ravna NM, i rezultirajuća linija SC. Sta ako NM ne paralelno SC, onda se oni ukrštaju u nekom trenutku R. Dot R i biće željena tačka preseka linije NM i avion ABC.
Rice. 7. Crtež za zadatak 4. Rješenje zadatka 4
Dan tetrahedron ABCD. M- unutrašnja tačka lica ABD. R- unutrašnja tačka lica ABC. N- unutrašnja tačka ivice DOD(Sl. 8.). Konstruišite presek tetraedra ravninom koja prolazi kroz tačke M, N i R.
Rice. 8. Crtež za zadatak 5 Konstruišite presek tetraedra ravninom
Rješenje:
Razmotrimo prvi slučaj, kada je linija MN nije paralelno sa ravninom ABC. U prethodnom zadatku smo pronašli tačku preseka prave MN i avion ABC. Ovo je poenta To, dobija se pomoću pomoćne ravni DMN, tj. mi radimo DM i dobiti poen F. Trošimo CF i na raskrsnici MN dobiti poen To.
Rice. 9. Crtež za zadatak 5. Pronalaženje tačke K
Hajde da nacrtamo pravu liniju KR. Pravo KR leži i u ravni preseka i u ravni ABC. Dobivanje bodova R 1 i R 2. Povezivanje R 1 i M a u nastavku dobijamo poen M 1. Povezivanje tačke R 2 i N. Kao rezultat, dobijamo željeni poprečni presjek R 1 R 2 NM 1. Problem u prvom slučaju je riješen.
Razmotrimo drugi slučaj, kada je linija MN paralelno sa ravninom ABC. Avion MNP ide kroz pravu liniju MN paralelno sa ravninom ABC i prelazi avion ABC duž neke linije R 1 R 2, zatim prava linija R 1 R 2 paralelno sa ovom linijom MN(Sl. 10.).
Rice. 10. Crtež za zadatak 5. Željeni dio
Sada povucimo liniju R 1 M i dobiti poen M 1.R 1 R 2 NM 1- željeni dio.
Dakle, razmotrili smo tetraedar, riješili neke tipične zadatke na tetraedru. U sljedećoj lekciji ćemo pogledati kutiju.
1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i dopunjeno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str. : ill. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike obrazovne institucije(osnovni i profilni nivoi)
2. Sharygin I. F. - M.: Drfa, 1999. - 208 str.: ilustr. Geometrija. 10-11 razred: Udžbenik za opšteobrazovne ustanove
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izdanje, stereotip. - M. : Bustard, 008. - 233 str. :ill. Geometrija. 10. razred: Udžbenik za opšteobrazovne ustanove sa dubljim i profilnim izučavanjem matematike
Dodatni web resursi
2. Kako konstruisati presek tetraedra. Matematika ().
3. Festival pedagoške ideje ().
Uradite domaće zadatke na temu "Tetraedar", kako pronaći ivicu tetraedra, lica tetraedra, vrhove i površinu tetraedra
1. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike obrazovnih institucija (osnovni i profilni nivoi) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i dopunjeno - M.: Mnemozina, 2008. - 288 str.: ilustr. Zadaci 18, 19, 20 str
2. Tačka E srednjeg rebra MA tetraedar IAWS. Konstruišite presek tetraedra ravninom koja prolazi kroz tačke B, C i E.
3. U MAVS tetraedru, tačka M pripada AMB licu, P tačka BMC licu, a K tačka ivici AC. Konstruišite presek tetraedra ravninom koja prolazi kroz tačke M, R, K.
4. Koje figure se mogu dobiti kao rezultat preseka tetraedra ravninom?