પ્લેટોનિક સોલિડ્સ શું છે? પ્લેટોનિક ઘન

પ્લેટોનિયન સોલિડ્સની ભૂમિતિ

ફેરફાર 06/24/2013 થી - (ઉમેરાયેલ)

મુખ્ય પાંચ પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થો છે: ઓક્ટાહેડ્રોન, સ્ટાર ટેટ્રાહેડ્રોન, ક્યુબ, ડોડેકેહેડ્રોન, આઇકોસેડ્રોન.

દરેક ભૌમિતિક પેટર્ન, ભલે તે અણુ ન્યુક્લિયસ હોય, માઇક્રોક્લસ્ટર્સ હોય, વૈશ્વિક જાળી હોય અથવા ગ્રહો, તારાઓ, આકાશગંગાઓ વચ્ચેનું અંતર હોય, પાંચ મુખ્ય "પ્લેટોનિક સોલિડ્સ" પૈકીનું એક છે.

શા માટે સમાન પેટર્ન પ્રકૃતિમાં વારંવાર જોવા મળે છે? પ્રથમ સંકેતોમાંથી એક: ગણિતશાસ્ત્રીઓ જાણતા હતા કે આ આકારોમાં આપણે બનાવી શકીએ તે કોઈપણ ત્રિ-પરિમાણીય ભૂમિતિ કરતાં વધુ "સપ્રમાણતા" ધરાવે છે.

રોબર્ટ લોલર દ્વારા પુસ્તકમાંથી "પવિત્ર ભૂમિતિ"આપણે જાણી શકીએ છીએ કે હિંદુઓએ પ્લેટોનિક સોલિડ્સની ભૂમિતિને ઓક્ટેવ સ્ટ્રક્ચરમાં ઘટાડી દીધી છે જે આપણે ધ્વનિ અને પ્રકાશ (નોટ્સ અને રંગો) માટે જોયે છે. ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી અને ફિલસૂફ પાયથાગોરસ, ફ્રીક્વન્સીઝને ક્રમિક રીતે પાંચ વડે વિભાજીત કરવાની પ્રક્રિયા દ્વારા, સૌપ્રથમ આઠ "શુદ્ધ" ઓક્ટેવ ટોન વિકસાવ્યા, જેને ડાયટોનિક સ્કેલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તેણે સિંગલ-સ્ટ્રિંગ "મોનોકોર્ડ" લીધો અને વિવિધ નોંધો વગાડતી વખતે ચોક્કસ તરંગલંબાઇ માપી. પાયથાગોરસ દર્શાવે છે કે દરેક નોંધની આવર્તન (અથવા કંપનનો દર) શબ્દમાળાના બે ભાગો અથવા બે સંખ્યાઓ વચ્ચેના ગુણોત્તર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, તેથી શબ્દ "ડાયટોનિક ગુણોત્તર" છે.

નીચેનું કોષ્ટક ભૂમિતિઓને ચોક્કસ ક્રમમાં સૂચિબદ્ધ કરે છે, તેમને હેલિક્સ નંબર સાથે સંબંધિત છે fi(). આ વિવિધ સ્પંદનો એકસાથે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તેનું સંપૂર્ણ અને સંપૂર્ણ ચિત્ર આપે છે. તે ક્યુબની કિનારીઓને "ની બરાબર લંબાઈ આપવા પર આધારિત છે. 1 " પછી અમે આ મૂલ્ય સાથે અન્ય તમામ આકારોની ધારની તુલના કરીએ છીએ, પછી ભલે તે મોટા હોય કે નાના. આપણે જાણીએ છીએ કે પ્લેટોનિક સોલિડ્સમાં, દરેક ચહેરો સમાન આકાર ધરાવે છે, દરેક ખૂણો સમાન હોય છે, દરેક નોડ દરેક અન્ય નોડથી સમાન અંતર હોય છે, અને દરેક રેખા સમાન લંબાઈ હોય છે.

1 સ્ફિયર (કોઈ ચહેરો નથી) 2 સેન્ટ્રલ આઇકોસેડ્રોન 1/ફાઇ 2 3 ઓક્ટાહેડ્રોન 1/ √2 4 સ્ટાર ટેટ્રાહેડ્રોન √2 5 ક્યુબ 1 6 ડોડેકાહેડ્રોન 1/ફાઇ 7 આઇકોસેહેડ્રોન ફી 8 સ્ફિયર (કોઈ ચહેરો નથી)

આ સમજવામાં મદદ કરશે કે કેવી રીતે, ફી સર્પાકારના સ્પંદનોની મદદથી, પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થો ધીમે ધીમે એકબીજામાં વહે છે.

બ્રહ્માંડની બહુપરીમાણીયતા

ઉચ્ચ વિમાનો સાથે પ્લેટોનિક ભૂમિતિના જોડાણની ખૂબ જ ખ્યાલ ઊભી થાય છે કારણ કે વૈજ્ઞાનિકો જાણે છે: ત્યાં ભૂમિતિ હોવી જોઈએ; તેઓ તેને સમીકરણોમાં મળી. "છુપાયેલા" 90° વળાંકમાં અદૃશ્ય વધારાની અક્ષો દેખાય તે માટે "વધુ જગ્યા" પ્રદાન કરવા માટે, પ્લેટોનિક ભૂમિતિ જરૂરી છે. ડેટા વિશ્લેષણ પદ્ધતિમાં, ભૌમિતિક આકારનો દરેક ચહેરો એક અલગ ધરી અથવા પ્લેનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જેમાં તે ફેરવી શકે છે. જ્યારે આપણે ફુલર અને જેનીના કાર્યને જોવાનું શરૂ કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે જોઈએ છીએ કે "છુપાયેલા" 90 ° વળાંકમાં અસ્તિત્વમાં રહેલા અન્ય વિમાનોનો વિચાર ફક્ત ભૂમિતિ વચ્ચેના "પવિત્ર" જોડાણોના જ્ઞાનના અભાવ પર આધારિત એક અયોગ્ય સમજૂતી છે. અને કંપન.

તે ખૂબ જ સંભવ છે કે પરંપરાગત વૈજ્ઞાનિકો ક્યારેય સમજી શકશે નહીં કે પ્રાચીન સંસ્કૃતિઓમાં "ચૂકી ગયેલું જોડાણ" હોઈ શકે છે જે અવકાશના ભૌતિકશાસ્ત્રના તમામ આધુનિક સિદ્ધાંતોને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવે છે અને એકીકૃત કરે છે. જ્યારે તે અવિશ્વસનીય લાગે છે કે "આદિમ" સંસ્કૃતિને આ પ્રકારની માહિતીની ઍક્સેસ હશે, પુરાવા સ્પષ્ટ છે. પ્રસાદનું ક્લાસિક પુસ્તક વાંચો, હમણાં માટે તમે જોઈ શકો છો કે વૈદિક બ્રહ્માંડશાસ્ત્રમાં વૈજ્ઞાનિક નિપુણતા છે.

તમને શું લાગે છે તમે જુઓ છો? - આ એક વિસ્ફોટ થતો તારો છે જેમાંથી ધૂળ નીકળે છે... પરંતુ અહીં સ્પષ્ટપણે અમુક પ્રકારનું ઉર્જા ક્ષેત્ર છે, જે ધૂળને સંરચિત કરે છે કારણ કે તે ખૂબ જ ચોક્કસ ભૌમિતિક પેટર્નમાં વિસ્તરે છે:

સમસ્યા એ છે કે પરંપરાગત ભૌતિકશાસ્ત્રના નમૂનાઓમાં લાક્ષણિક ચુંબકીય ક્ષેત્રો આવી ભૌમિતિક ચોકસાઇને મંજૂરી આપતા નથી. વિજ્ઞાનીઓ ખરેખર નથી જાણતા કે આવી બાબતો કેવી રીતે સમજવી!

નીચેની છબી નવી નિહારિકા છે, જે એક સંપૂર્ણ "ચોરસ" છે. જો કે, આ હજુ પણ દ્વિ-પરિમાણીય વિચારસરણી છે. ત્રણ પરિમાણમાં ચોરસ શું છે?
અલબત્ત, એક સમઘન!

ઇન્ફ્રારેડ પ્રકાશમાં અવલોકન કરાયેલ, નિહારિકા તેજસ્વી સફેદ આંતરિક કોર સાથે આકાશમાં એક વિશાળ ઝગઝગતું બોક્સ જેવું લાગે છે. મૃત્યુ પામતો તારો MWC 922 સિસ્ટમના કેન્દ્રમાં આવેલો છે અને તેની આંતરડાઓ વિરુદ્ધ ધ્રુવોથી અવકાશમાં ફેલાવે છે. MWC 922 એ તેની મોટાભાગની સામગ્રીને અવકાશમાં ઉત્સર્જિત કર્યા પછી, તે તેના કાટમાળના વાદળોમાં છુપાયેલા સફેદ દ્વાર્ફ તરીકે ઓળખાતા ગાઢ તારાકીય શરીરમાં તૂટી પડશે.

જ્યારે તે દૂરસ્થ રીતે શક્ય છે કે તારાનો વિસ્ફોટ માત્ર એક દિશામાં પ્રવાસ કરે છે, પિરામિડ આકારનું વધુ નિર્માણ કરે છે, તમે જે જુઓ છો તે અવકાશમાં એક સંપૂર્ણ સમઘન છે. ક્યુબની ચારેય બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોવાથી અને એકબીજા સાથે સંપૂર્ણ 90° કોણ છે, અને ફરીથી, ક્યુબમાં આપણે અગાઉની છબીમાં જોયેલા "પગલાઓ" છે, વૈજ્ઞાનિકો સંપૂર્ણપણે આશ્ચર્યચકિત છે. ક્યુબમાં “લંબચોરસ” નિહારિકા કરતાં પણ વધુ સમપ્રમાણતા છે!

આવા દાખલાઓ માત્ર જગ્યાની વિશાળતામાં જ દેખાતા નથી. તેઓ અણુઓ અને પરમાણુઓના સૌથી નાના સ્તરે પણ ઉદ્ભવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય ઘન બંધારણમાં ટેબલ મીઠુંઅથવા સોડિયમ ક્લોરાઇડ. એક પેંગ ત્સાયા (જાપાન) એ એલ્યુમિનિયમ-કોપર-આયર્ન એલોયના ક્વોસિક્રિસ્ટલ્સને ડોડેકેહેડ્રોનના રૂપમાં અને એલ્યુમિનિયમ-નિકલ-કોબાલ્ટ એલોયને દસકોણીય (દસ-બાજુવાળા) પ્રિઝમ (ફોટો જુઓ) ના રૂપમાં ફોટોગ્રાફ કર્યો હતો. સમસ્યા એ છે કે તમે એક સાથે બંધાયેલા એક અણુનો ઉપયોગ કરીને આના જેવા સ્ફટિકો બનાવી શકતા નથી.

બીજું ઉદાહરણ બોઝ-આઈન્સ્ટાઈન કન્ડેન્સેટ છે. ટૂંકમાં, બોઝ-આઈન્સ્ટાઈન કન્ડેન્સેટ એ અણુઓનો મોટો સમૂહ છે જે એક જ "કણ" ની જેમ વર્તે છે જેમાં દરેક ઘટક અણુ વારાફરતી સમગ્ર રચનામાં તમામ જગ્યા અને તમામ સમય રોકે છે. બધા અણુઓ સમાન આવર્તન પર વાઇબ્રેટ કરવા, સમાન ગતિએ આગળ વધવા અને અવકાશના સમાન પ્રદેશમાં સ્થિત છે તે માટે માપવામાં આવે છે. તે વિરોધાભાસી છે, પરંતુ સિસ્ટમના જુદા જુદા ભાગો એક સંપૂર્ણ તરીકે કાર્ય કરે છે, વ્યક્તિત્વના તમામ ચિહ્નો ગુમાવે છે. આ ચોક્કસપણે "સુપરકન્ડક્ટર" માટે જરૂરી મિલકત છે. સામાન્ય રીતે, બોઝ-આઈન્સ્ટાઈન કન્ડેન્સેટ અત્યંત નીચે રચાઈ શકે છે નીચા તાપમાન. જો કે, તે ચોક્કસપણે આ પ્રક્રિયાઓ છે જે આપણે માઇક્રોક્લસ્ટર્સ અને ક્વાસિક્રિસ્ટલ્સમાં અવલોકન કરીએ છીએ, જે વ્યક્તિગત પરમાણુ ઓળખથી વંચિત છે.

અન્ય સમાન પ્રક્રિયા લેસર પ્રકાશની ક્રિયા છે, જેને "સુસંગત" પ્રકાશ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અવકાશ અને સમય બધામાં લેસર બીમ એક "ફોટોન" ની જેમ વર્તે છે, એટલે કે, લેસર બીમમાં વ્યક્તિગત ફોટોનને અલગ કરવું અશક્ય છે.

તદુપરાંત, 1960 ના દાયકાના અંતમાં, અંગ્રેજી ભૌતિકશાસ્ત્રી હર્બર્ટ ફ્રોહલિચે સૂચવ્યું કે જીવંત પ્રણાલીઓ ઘણીવાર બોઝ-આઈન્સ્ટાઈન કન્ડેન્સેટની જેમ વર્તે છે, માત્ર મોટા પાયે.

નિહારિકાના ફોટા અદભૂત દૃશ્યમાન પુરાવા આપે છે કે ભૂમિતિ રમતમાં છે. ઓમોટા ભાગના લોકો માને છે તેના કરતાં બ્રહ્માંડના દળોમાં મોટી ભૂમિકા. આપણા વિજ્ઞાનીઓ હાલના પરંપરાગત મોડલના માળખામાં જ આ ઘટનાને સમજવા માટે સંઘર્ષ કરી શકે છે.

ટીકા

ઉત્કૃષ્ટ રશિયન ફિલસૂફ એલેક્સી લોસેવ, પ્રાચીનકાળના સૌંદર્ય શાસ્ત્ર અને પુનરુજ્જીવનના સંશોધક, નીચેના શબ્દોમાં પ્રાચીન ગ્રીક લોકોના "સુવર્ણ" નમૂનારૂપની રચના કરે છે: "પ્લેટોના દૃષ્ટિકોણથી, અને ખરેખર તેના દૃષ્ટિકોણથી. સમગ્ર પ્રાચીન બ્રહ્માંડશાસ્ત્ર, વિશ્વ એક પ્રકારનું પ્રમાણસર સમગ્ર છે, જે હાર્મોનિક વિભાજનના કાયદાને આધીન છે - સુવર્ણ ગુણોત્તર." નવીનતમ શોધો આધુનિક વિજ્ઞાન, પ્લેટોનિક સોલિડ્સ, સુવર્ણ ગુણોત્તર, ફિબોનાકી નંબરો પર આધારિત: ફુલરેન્સ, નોબેલ પ્રાઈઝ - 1996; quasicrystals, નોબેલ પુરસ્કાર - 2011; ક્વોન્ટમ વિશ્વમાં "ગોલ્ડન રેશિયો" ના સંવાદિતાના અસ્તિત્વનો પ્રાયોગિક પુરાવો; સામયિક કોષ્ટકમાં ફિબોનાકી પેટર્નની શોધ; "પ્રોક્લુસની પૂર્વધારણા" અને યુક્લિડના "તત્વો" પર એક નવો દેખાવ અને ગણિતના વિકાસનો ઇતિહાસ, યુક્લિડથી શરૂ કરીને; હાઇપરબોલિક ફિબોનાકી ફંક્શન્સ અને ફિલોટેક્સિસનો નવો ભૌમિતિક સિદ્ધાંત; પાસ્કલનો ત્રિકોણ અને સામાન્યકૃત ફિબોનાકી સંખ્યાઓ; સામાન્યકૃત સુવર્ણ પ્રમાણ અને સિસ્ટમોની માળખાકીય સંવાદિતાનો કાયદો; લેમ્બડા ફિબોનાકી નંબરો તરીકે નવો વર્ગઅનન્ય ગાણિતિક ગુણધર્મો સાથે પૂર્ણાંક સિક્વન્સ; "મેટાલિક પ્રમાણ" અને હાર્મોનિક હાઇપરબોલિક કાર્યોનો સામાન્ય સિદ્ધાંત; હિલ્બર્ટની ચોથી સમસ્યાનું નિરાકરણ અને પ્રકૃતિના હાર્મોનિક હાઇપરબોલિક વિશ્વોની શોધ; "ગોલ્ડન" મેટ્રિસીસ, ફિબોનાકી-લોરેન્ટ્ઝ પરિવર્તન અને સાપેક્ષતાના વિશેષ સિદ્ધાંતનું "ગોલ્ડન" અર્થઘટન; "ગોલ્ડન" જનીન મેટ્રિસિસ; અલ્ગોરિધમિક માપન સિદ્ધાંત, ફિબોનાકી કોડ્સ અને કમ્પ્યુટર્સ; સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં નવી દિશા તરીકે અતાર્કિક પાયા, ટર્નરી મિરર-સપ્રમાણ અંકગણિત અને "ગોલ્ડન" નંબર થિયરી સાથે નંબર સિસ્ટમ્સ; સામાન્યકૃત ફિબોનાકી મેટ્રિસિસ અને નવો કોડિંગ સિદ્ધાંત; છેવટે, "સંવાદિતાનું ગણિત" નવી આંતરશાખાકીય દિશા તરીકે, યુક્લિડના "સિદ્ધાંતો" થી ડેટિંગ કરે છે - આ બધા આધુનિક વિજ્ઞાનમાં "દૈવી પ્રમાણના ચહેરા" છે, જે "ગોલ્ડન" વૈજ્ઞાનિક ક્રાંતિ તરફ તેની હિલચાલનું સામાન્ય ચિત્ર બનાવે છે, જે એકસાથે આધુનિક વિજ્ઞાનના વિકાસના સૌથી મહત્વપૂર્ણ વલણોમાંના એકને પ્રતિબિંબિત કરે છે - પાયથાગોરસ, પ્લેટો અને યુક્લિડ પર પાછા ફરવું.

ભાગIII

"ગણિતમાં માત્ર સત્ય જ નથી, પણ ઉચ્ચ સૌંદર્ય પણ છે - સુંદરતા જે તીક્ષ્ણ અને કડક છે, ઉત્કૃષ્ટપણે શુદ્ધ છે અને સાચી પૂર્ણતા માટે પ્રયત્નશીલ છે, જે ફક્ત કલાના મહાન ઉદાહરણોની લાક્ષણિકતા છે."

બર્ટ્રાન્ડ રસેલ

પ્રસ્તાવના

આપણામાંના દરેકને એક કરતા વધુ વાર વિચારવું પડ્યું છે કે શા માટે કુદરત આંખને આનંદ અને આનંદ આપે તેવી અદ્ભુત સૌંદર્યલક્ષી રચનાઓ બનાવવા માટે સક્ષમ છે. શા માટે કલાકારો, કવિઓ, સંગીતકારો, આર્કિટેક્ટ્સ સદીથી સદી સુધી કલાના અદ્ભુત કાર્યો બનાવે છે? આ સુમેળભર્યા જીવોનું રહસ્ય શું છે અને કયા કાયદાઓ છે? "સંવાદિતા" શું છે? અને શું તેમાં ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ છે? પ્રાચીન વિશ્વમાં "સંવાદિતાની દુનિયા" ને મોડેલ કરવા માટે, ખાસ કરીને પ્રાચીન ગ્રીસ, બનાવવામાં આવી હતી સંવાદિતાનું ગણિત,જેનાં તત્વો પુસ્તક સહિત અનેક પુસ્તકોમાં આધુનિક વિજ્ઞાનમાં પુનઃજીવિત થયા છે એલેક્સી સ્ટેખોવ “ આ ગણિત ના સંવાદિતા. થી યુક્લિડ પ્રતિ સમકાલીન ગણિત અને કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન” 2009 માં વિશ્વના સૌથી પ્રતિષ્ઠિત વૈજ્ઞાનિક પ્રકાશન ગૃહોમાંથી એક "વર્લ્ડ સાયન્ટિફિક" દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું હતું.

વિશાળ પ્રેક્ષકો માટે બનાવાયેલ આ પ્રકાશનનો હેતુ, "સંવાદિતા" ની વિભાવનાને લોકપ્રિય રીતે સમજાવવાનો છે, જે માનવ સંસ્કૃતિના વિકાસના પ્રારંભમાં વિજ્ઞાનમાં દાખલ કરવામાં આવી હતી, પ્રાચીન સમયગાળામાં આ વલણના ઇતિહાસ વિશે જણાવવા માટે. , મધ્ય યુગ, પુનરુજ્જીવન, 19મી અને 20મી સદીમાં, તેમજ આધુનિક "સંવાદિતાનું ગણિત" ના વિચારો અને એપ્લિકેશનોની શ્રેણીમાં પરિચય આપે છે, જે 21મી સદીમાં સક્રિયપણે વિકાસશીલ છે. . અલબત્ત, "સંવાદિતાનું ગણિત" ગણિતની એક શાખા છે; તેથી, લેખકો આ ગાણિતિક શિસ્તને સમર્પિત લેખમાં ગાણિતિક સૂત્રોને સંપૂર્ણપણે ટાળવામાં અસમર્થ હતા. જો કે, "સંવાદિતાનું ગણિત" એ એકદમ સરળ (કોઈ "પ્રાથમિક" કહી શકે છે) ગણિત છે, જે ગાણિતિક સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે જે ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે સુલભ છે. અને લેખકો અમારા વાચકોના આનંદની આશા રાખે છે.

લેખમાં 4 ભાગો છે:

ભાગ III. પ્લેટોનિક સોલિડ્સ, "પ્રોક્લુસ પૂર્વધારણા", યુક્લિડના "તત્વો", ફુલરેન્સ અને ક્વાસિક્રિસ્ટલ્સ પર એક નવો દેખાવ

ભાગ IV. આધુનિક વિજ્ઞાનના વિકાસમાં "સંવાદિતાનું ગણિત" ની ભૂમિકા

ભાગIII. પ્લેટોનિક સોલિડ્સ, "પ્રોક્લુસ પૂર્વધારણા", યુક્લિડના "તત્વો", ફુલરેન્સ અને ક્વાસિક્રિસ્ટલ્સ પર એક નવો દેખાવ

7. પ્લેટોનિક ઘન

નિયમિત બહુકોણ અને પોલિહેડ્રા

એક વ્યક્તિ તેની સમગ્ર સભાન પ્રવૃત્તિ દરમિયાન નિયમિત બહુકોણ અને પોલિહેડ્રામાં રસ બતાવે છે - લાકડાના બ્લોક્સ સાથે રમતા બે વર્ષના બાળકથી લઈને પરિપક્વ ગણિતશાસ્ત્રી સુધી. કેટલાક સાચા અને અર્ધ યોગ્ય સંસ્થાઓપ્રકૃતિમાં સ્ફટિકોના સ્વરૂપમાં જોવા મળે છે, અન્ય - વાયરસના સ્વરૂપમાં જે ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપનો ઉપયોગ કરીને જોઈ શકાય છે.

બહુકોણ અને બહુકોણ શું છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો યાદ કરીએ કે ભૂમિતિને કેટલીકવાર અવકાશ અને અવકાશી આકૃતિઓના વિજ્ઞાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે - દ્વિ-પરિમાણીય અને ત્રિ-પરિમાણીય. દ્વિ-પરિમાણીય આકૃતિને સીધા ભાગોના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે પ્લેનના એક ભાગને બાંધે છે. આવી સપાટ આકૃતિ કહેવાય છે બહુકોણ. તે અનુસરે છે કે પોલિહેડ્રોનને બહુકોણના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાના એક ભાગને બાંધે છે. બહુકોણ જે બહુહેડ્રોન બનાવે છે તેને તેના ચહેરા કહેવામાં આવે છે.

વૈજ્ઞાનિકો લાંબા સમયથી આદર્શ અથવા નિયમિત બહુકોણમાં રસ ધરાવે છે, એટલે કે, સમાન બાજુઓ અને સમાન ખૂણાવાળા બહુકોણ. સૌથી સરળ નિયમિત બહુકોણ ગણી શકાય સમભુજ ત્રિકોણ, કારણ કે તેની પાસે છે સૌથી નાની સંખ્યાબાજુઓ, જે પ્લેનના ભાગને મર્યાદિત કરી શકે છે. નિયમિત બહુકોણનું સામાન્ય ચિત્ર જે આપણને રસ લે છે, સમબાજુ ત્રિકોણ સાથે, આ છે: ચોરસ(ચાર બાજુઓ) પંચકોણ(પાંચ બાજુઓ) ષટ્કોણ(છ બાજુઓ) અષ્ટકોણ(આઠ બાજુઓ) દશકોણ(દસ બાજુઓ), વગેરે. દેખીતી રીતે, સૈદ્ધાંતિક રીતે નિયમિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા પર કોઈ નિયંત્રણો નથી, એટલે કે, નિયમિત બહુકોણની સંખ્યા અનંત છે.

આ શુ છે નિયમિત પોલિહેડ્રોન? રેગ્યુલર પોલિહેડ્રોન એ એવો પોલિહેડ્રોન છે, જેના બધા ચહેરા એકબીજા સાથે સમાન (અથવા એકરૂપ) હોય છે અને તે જ સમયે નિયમિત બહુકોણ હોય છે. કેટલા અસ્તિત્વમાં છે નિયમિત પોલિહેડ્રા? પ્રથમ નજરમાં, આ પ્રશ્નનો જવાબ ખૂબ જ સરળ છે - ત્યાં જેટલા નિયમિત બહુકોણ છે. જો કે, તે નથી. યુક્લિડના તત્વોમાં આપણને એક સખત પુરાવો મળે છે કે ત્યાં માત્ર પાંચ બહિર્મુખ નિયમિત પોલિહેડ્રા છે, અને તેમના ચહેરા ફક્ત ત્રણ પ્રકારના નિયમિત બહુકોણ હોઈ શકે છે: ત્રિકોણ, ચોરસ અને પંચકોણ.

યુક્લિડના તત્વોમાં નિયમિત પોલિહેડ્રા

ઘણા પુસ્તકો પોલિહેડ્રાના સિદ્ધાંતને સમર્પિત છે. સૌથી પ્રસિદ્ધ એક અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી એમ. વેનિન્જરનું પુસ્તક છે “મૉડલ્સ ઑફ પોલિહેડ્રા”. પુસ્તક કહેવાતા વર્ણન સાથે શરૂ થાય છે નિયમિત પોલિહેડ્રા, એટલે કે, સમાન પ્રકારના સૌથી સરળ નિયમિત બહુકોણ દ્વારા રચાયેલ પોલિહેડ્રા. આ પોલિહેડ્રાને સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે પ્લેટોનિક ઘન, પ્રાચીન ગ્રીક ફિલસૂફ પ્લેટોના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેમના કોસ્મોલોજીમાં નિયમિત પોલિહેડ્રાનો ઉપયોગ કર્યો હતો. અમે નિયમિત પોલિહેડ્રા સાથે અમારી વિચારણા શરૂ કરીશું, જેના ચહેરા સમભુજ ત્રિકોણ છે (ફિગ. 21).

ફિગ.21. પ્લેટોનિક સોલિડ્સ: ટેટ્રાહેડ્રોન, ઓક્ટાહેડ્રોન, ક્યુબ, ડોડેકેહેડ્રોન, આઇકોસાહેડ્રોન

નિયમિત પોલિહેડ્રામાં પ્રથમ (અને સૌથી સરળ) છે ટેટ્રાહેડ્રોન. ટેટ્રાહેડ્રોનમાં, ત્રણ સમભુજ ત્રિકોણ એક શિરોબિંદુ પર મળે છે; તે જ સમયે, તેમના પાયા એક નવો સમભુજ ત્રિકોણ બનાવે છે. ટેટ્રાહેડ્રોન પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોમાં સૌથી નાની સંખ્યામાં ચહેરા ધરાવે છે અને તે સપાટ નિયમિત ત્રિકોણનું ત્રિ-પરિમાણીય એનાલોગ છે, જે નિયમિત બહુકોણમાં બાજુઓની સૌથી નાની સંખ્યા ધરાવે છે.

આગળનું શરીર, જે સમભુજ ત્રિકોણ દ્વારા રચાય છે, કહેવામાં આવે છે ઓક્ટાહેડ્રોન. અષ્ટકોણમાં, ચાર ત્રિકોણ એક શિરોબિંદુ પર મળે છે; પરિણામ ચતુષ્કોણીય આધાર સાથે પિરામિડ છે. જો તમે આવા બે પિરામિડને તેમના પાયા સાથે જોડો છો, તો તમને આઠ ત્રિકોણાકાર ચહેરાઓ સાથે સપ્રમાણ શરીર મળશે - ઓક્ટાહેડ્રોન.

હવે તમે એક બિંદુ પર પાંચ સમબાજુ ત્રિકોણને જોડવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. પરિણામ 20 ત્રિકોણાકાર ચહેરાવાળી આકૃતિ હશે - આઇકોસાહેડ્રોન.

નીચેનો નિયમિત બહુકોણ આકાર છે ચોરસ. જો આપણે એક બિંદુ પર ત્રણ ચોરસ જોડીએ અને પછી ત્રણ વધુ ઉમેરીએ, તો આપણને છ બાજુઓ સાથેનો સંપૂર્ણ આકાર મળે છે હેક્ઝાહેડ્રોનઅથવા સમઘન.

છેલ્લે, નીચેના નિયમિત બહુકોણના ઉપયોગના આધારે નિયમિત પોલિહેડ્રોન બનાવવાની બીજી શક્યતા છે - પેન્ટાગોન. જો આપણે 12 પેન્ટાગોન્સ એવી રીતે એકત્રિત કરીએ કે દરેક બિંદુએ ત્રણ પેન્ટાગોન્સ મળે, તો આપણને બીજો પ્લેટોનિક સોલિડ મળે છે, જેને કહેવાય છે. ડોડેકાહેડ્રોન.

આગામી નિયમિત બહુકોણ છે ષટ્કોણ. જો કે, જો આપણે એક બિંદુએ ત્રણ ષટ્કોણને જોડીએ, તો આપણને એક વિમાન મળે છે, એટલે કે, ષટ્કોણમાંથી ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિ બનાવવી અશક્ય છે. ષટ્કોણની ઉપરના કોઈપણ અન્ય નિયમિત બહુકોણ ઘન પદાર્થોની રચના કરી શકતા નથી. સારમાં, અમે યુક્લિડે તેના તત્વોના પુસ્તક XIII માં કરેલા તર્કનું પુનરાવર્તન કર્યું. આ પુસ્તક પ્લેટોનિક સોલિડ્સના પૂર્ણ ભૌમિતિક સિદ્ધાંતની રજૂઆતને સમર્પિત છે. અને તે આ દલીલોથી ચોક્કસપણે છે કે તે અનુસરે છે કે ત્યાં ફક્ત પાંચ બહિર્મુખ નિયમિત પોલિહેડ્રા છે, જેનાં ચહેરા ફક્ત સમભુજ ત્રિકોણ, ચોરસ અને પંચકોણ હોઈ શકે છે.

પ્લેટોનિક સોલિડ્સની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ.પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોની મુખ્ય સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ ચહેરા m ની બાજુઓની સંખ્યા, દરેક શિરોબિંદુ પર એકરૂપ થતા ચહેરાઓની સંખ્યા, ચહેરાઓની સંખ્યા જી, શિરોબિંદુઓની સંખ્યા IN, ધારની સંખ્યા આરઅને સપાટ ખૂણાઓની સંખ્યા યુપોલિહેડ્રોનની સપાટી પર, યુલરે પ્રખ્યાત સૂત્ર શોધ્યું અને સાબિત કર્યું:

IN - પી+ જી = 2 ,

કોઈપણ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ, કિનારીઓ અને ચહેરાઓની સંખ્યાને જોડવી. ઉપરોક્ત સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ કોષ્ટક 2 માં આપવામાં આવી છે.

કોષ્ટક 2. પ્લેટોનિક સોલિડ્સની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

મિલકત પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે દ્વૈતજે પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોને જોડે છે. કોષ્ટક 2 થી તે અનુસરે છે કે હેક્ઝાહેડ્રોન (ક્યુબ) અને ઓક્ટાહેડ્રોન માટે, ધારની સંખ્યા P = 12 અને સપાટી પરના સપાટ ખૂણાઓની સંખ્યા Y = 24 એકરૂપ થાય છે. પરંતુ G=6 ક્યુબના ચહેરાઓની સંખ્યા B=6 ઓક્ટાહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે, અને B=8 ક્યુબના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા G=8 ઓક્ટાહેડ્રોનના ચહેરાઓની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે. વધુમાં, સમઘન ચહેરાની બાજુઓની સંખ્યા m= 4 શિરોબિંદુ પર અષ્ટાહેડ્રોન બેઠકના ચહેરાઓની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે, n=4, જ્યારે ક્યુબના ચહેરાઓની સંખ્યા કન્વર્જ થઈ રહી છે n=3, ઓક્ટાહેડ્રોન ચહેરાની બાજુઓની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે m= 3. આઇકોસાહેડ્રોન અને ડોડકાહેડ્રોનના કિસ્સામાં સમાન પરિસ્થિતિ જોવા મળે છે. આવા કિસ્સાઓમાં આપણે વાત કરીએ છીએ દ્વૈતઅનુરૂપ પ્લેટનોવ ગરમી, એટલે કે, ક્યુબ દ્વિઓક્ટાહેડ્રોન અને આઇકોસાહેડ્રોન દ્વિડોડેકાહેડ્રોન નોંધ કરો કે મિલકતમાં દ્વૈતપ્લેટોનિક સોલિડ્સની "છુપી" સંવાદિતા પ્રતિબિંબિત થાય છે.

ડોડેકેહેડ્રોન અને આઇકોસાહેડ્રોનમાં સુવર્ણ ગુણોત્તર. પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોમાં ડોડેકેહેડ્રોન અને તેના દ્વિ આઇકોસાહેડ્રોન એક વિશેષ સ્થાન ધરાવે છે. સૌ પ્રથમ, તે ભારપૂર્વક જણાવવું આવશ્યક છે કે ડોડેકાહેડ્રોન અને આઇકોસાહેડ્રોનની ભૂમિતિ સીધી સુવર્ણ ગુણોત્તર સાથે સંબંધિત છે. ખરેખર, ડોડેકાહેડ્રોનના ચહેરા પેન્ટાગોન્સ છે, એટલે કે, સુવર્ણ ગુણોત્તરના આધારે નિયમિત પેન્ટાગોન્સ. જો તમે આઇકોસાહેડ્રોનને નજીકથી જોશો, તો તમે જોઈ શકો છો કે દરેક શિરોબિંદુ પર પાંચ ત્રિકોણ મળે છે, બાહ્ય બાજુઓજે પેન્ટાગોન બનાવે છે. આ તથ્યો જ આપણને ખાતરી આપવા માટે પૂરતા છે કે આ બે પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોની રચનામાં સુવર્ણ ગુણોત્તર નિર્ણાયક ભૂમિકા ભજવે છે.

પરંતુ આઇકોસેહેડ્રોન અને ડોડેકેહેડ્રોન સાથે સુવર્ણ ગુણોત્તરના ઊંડા ગાણિતિક જોડાણના ઊંડા પુરાવા છે. અને આ જોડાણ એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે ડોડેકેહેડ્રોન અને આઇકોસાહેડ્રોન "છુપાયેલા" સ્વરૂપમાં સુવર્ણ ગુણોત્તરની સંવાદિતા વ્યક્ત કરે છે.

9. પ્રોક્લસની પૂર્વધારણા: યુક્લિડના તત્વો અને ગણિતના વિકાસના ઇતિહાસ પર એક નવો દેખાવ

યુક્લિડે તેના તત્વો કયા હેતુ માટે લખ્યા હતા?

પ્રથમ નજરમાં, આ પ્રશ્નનો જવાબ ખૂબ જ સરળ લાગે છે: યુક્લિડનું મુખ્ય ધ્યેય યુક્લિડ પહેલાના 300 વર્ષોમાં ગ્રીક ગણિતની મુખ્ય સિદ્ધિઓ રજૂ કરવાનું હતું, સામગ્રીની રજૂઆતની "સ્વયંતુલિત પદ્ધતિ" નો ઉપયોગ કરીને. ખરેખર, યુક્લિડના તત્વો એ ગ્રીક વિજ્ઞાનનું મુખ્ય કાર્ય છે, જે ભૂમિતિ અને ગણિતના સ્વયંસિદ્ધ બાંધકામને સમર્પિત છે. પ્રિન્સિપિયાનો આ દૃષ્ટિકોણ આધુનિક ગણિતમાં સૌથી સામાન્ય છે.

જો કે, "સ્વયંતુલિત" દૃષ્ટિકોણ ઉપરાંત, "તત્વો" લખતી વખતે યુક્લિડને માર્ગદર્શન આપનારા હેતુઓ પર એક અન્ય દૃષ્ટિકોણ છે. આ દૃષ્ટિકોણ ગ્રીક ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રીએ વ્યક્ત કર્યો હતો પ્રોક્લુસ ડાયડોકોસ(412-485), એલિમેન્ટ્સ પરના પ્રથમ ટીકાકારોમાંના એક.

સૌ પ્રથમ, પ્રોક્લસ વિશે થોડાક શબ્દો. પ્રોક્લસનો જન્મ બાયઝેન્ટિયમમાં લિસિયાના શ્રીમંત વકીલના પરિવારમાં થયો હતો. તેના પિતાના પગલે ચાલવાના ઇરાદાથી, કિશોર વયે તે એલેક્ઝાન્ડ્રિયા ગયો, જ્યાં તેણે પ્રથમ રેટરિકનો અભ્યાસ કર્યો, પછી ફિલસૂફીમાં રસ લીધો અને એલેક્ઝાન્ડ્રિયન નિયોપ્લાટોનિસ્ટ ઓલિમ્પિયોડોરસ ધ યંગરનો વિદ્યાર્થી બન્યો. તેમની પાસેથી જ પ્રોક્લસે એરિસ્ટોટલના તાર્કિક ગ્રંથોનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું. 20 વર્ષની ઉંમરે, પ્રોક્લસ એથેન્સ ગયા, જ્યાં તે સમયે પ્લેટોનિક એકેડેમીનું નેતૃત્વ એથેન્સના પ્લુટાર્ક દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. પહેલેથી જ 28 વર્ષની ઉંમરે, પ્રોક્લસે તેની સૌથી મહત્વપૂર્ણ કૃતિઓમાંની એક, પ્લેટોની ટિમાયસ પરની ટિપ્પણી લખી હતી. 450 ની આસપાસ, પ્રોક્લસ પ્લેટોનિક એકેડેમીના વડા બન્યા.

પ્રોક્લસના ગાણિતિક કાર્યોમાં, યુક્લિડના તત્વોના પ્રથમ પુસ્તક પર તેમની કોમેન્ટરી સૌથી વધુ પ્રખ્યાત છે. આ કોમેન્ટરીમાં તે નીચેની અસામાન્ય પૂર્વધારણા આગળ મૂકે છે, જેને "પ્રોક્લસની પૂર્વધારણા" કહેવામાં આવે છે. તેનો સાર નીચે મુજબ છે. જેમ તમે જાણો છો, XIIIમું, એટલે કે, "તત્વો" નું અંતિમ પુસ્તક, પાંચ નિયમિત પોલિહેડ્રાના સિદ્ધાંતની રજૂઆત માટે સમર્પિત છે, જેણે "પ્લેટોના બ્રહ્માંડ વિજ્ઞાન" માં પ્રબળ ભૂમિકા ભજવી હતી અને આધુનિક વિજ્ઞાનમાં તે તરીકે ઓળખાય છે. પ્લેટોનિક ઘન. તે ચોક્કસપણે આ સંજોગો છે કે પ્રોક્લસ ધ્યાન ખેંચે છે. જેમ કે એડ્યુઅર્ડ સોરોકો ભાર મૂકે છે, પ્રોક્લસ મુજબ, યુક્લિડ "પ્રિન્સિપિયા બનાવ્યું, કથિત રીતે ભૂમિતિને આ રીતે રજૂ કરવાના હેતુ માટે નહીં, પરંતુ પાંચ "પ્લેટોનિક ઘન" ના નિર્માણનો સંપૂર્ણ વ્યવસ્થિત સિદ્ધાંત આપવા માટે, એક સાથે ગણિતની કેટલીક નવીનતમ સિદ્ધિઓને પ્રકાશિત કરવા."

ગણિતના વિકાસ માટે પ્રોક્લસની પૂર્વધારણાનું મહત્વ. મુખ્ય નિષ્કર્ષ"પ્રોક્લસ હાયપોથીસીસ" માંથી જાણવા મળે છે કે યુક્લિડના તત્વો, મહાન ગ્રીક ગાણિતિક કાર્ય, યુક્લિડ દ્વારા ગ્રીક "હાર્મોનીના વિચાર" ના સીધા પ્રભાવ હેઠળ લખવામાં આવ્યું હતું, જે પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થો સાથે સંકળાયેલું હતું. આમ, "પ્રોક્લસ પૂર્વધારણા" અમને સૂચવવા દે છે કે "બ્રહ્માંડની સંખ્યાત્મક સંવાદિતાનો પાયથાગોરિયન સિદ્ધાંત" અને "પ્લેટોની બ્રહ્માંડ વિજ્ઞાન", જે પ્રાચીન વિજ્ઞાનમાં જાણીતી છે, નિયમિત પોલિહેડ્રા પર આધારિત છે, તે ગ્રીકના સૌથી મહાન ગાણિતિક કાર્યમાં મૂર્તિમંત હતા. ગણિત, યુક્લિડના “તત્વો”. આ દૃષ્ટિકોણથી, આપણે યુક્લિડના "સિદ્ધાંતો" ને "બ્રહ્માંડના સંવાદિતાનો ગાણિતિક સિદ્ધાંત" બનાવવાના પ્રથમ પ્રયાસ તરીકે ગણી શકીએ, જે પ્રાચીન વિજ્ઞાનમાં પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થો સાથે સંકળાયેલું હતું. અને આ ગ્રીક વિજ્ઞાનનો મુખ્ય વિચાર હતો! આ યુક્લિડના "પ્રિન્સિપિયા" નું મુખ્ય રહસ્ય છે, જે યુક્લિડથી શરૂ કરીને ગણિતના ઉદભવના ઇતિહાસના પુનરાવર્તન તરફ દોરી જાય છે.

કમનસીબે, એલિમેન્ટ્સના લેખનમાં યુક્લિડના સાચા ધ્યેયો અંગે પ્રોક્લસની મૂળ પૂર્વધારણાને ગણિતના ઘણા આધુનિક ઇતિહાસકારો દ્વારા અવગણવામાં આવી છે, પરિણામે ગણિતની રચના અને તમામ ગાણિતિક શિક્ષણનો વિકૃત દૃષ્ટિકોણ થયો છે. અને આ ગણિતના વિકાસમાં મુખ્ય "વ્યૂહાત્મક ભૂલો" પૈકીની એક છે.

"પ્રોક્લસની પૂર્વધારણા" અને પ્રાચીન ગણિતની "મુખ્ય" સમસ્યાઓ. જેમ તમે જાણો છો, એકેડેમિશિયન કોલમોગોરોવે તેમના પુસ્તકમાં બે મુખ્ય, એટલે કે, "ચાવીરૂપ" સમસ્યાઓ ઓળખી છે જેણે તેની શરૂઆતના તબક્કે ગણિતના વિકાસને ઉત્તેજિત કર્યો - એકાઉન્ટ સમસ્યાઅને માપન સમસ્યા. જો કે, બીજી "કી" સમસ્યા "પ્રોક્લસ પૂર્વધારણા" થી અનુસરે છે - સંવાદિતાની સમસ્યા, જે "પ્લેટોનિક સોલિડ્સ" અને "ગોલ્ડન રેશિયો" સાથે સંકળાયેલું હતું - પ્રાચીન ગણિતની સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક શોધોમાંની એક (યુક્લિડના "તત્વો" ની દરખાસ્ત II.11). તે આ સમસ્યા હતી જેનો ઉપયોગ યુક્લિડે તેના "તત્વો" માટેના આધાર તરીકે કર્યો હતો, જેનો મુખ્ય ધ્યેય "પ્લેટોનિક સોલિડ્સ" ના ભૌમિતિક સિદ્ધાંતની રચના હતી, જે "પ્લેટોની બ્રહ્માંડ વિજ્ઞાન" માં બ્રહ્માંડની સંવાદિતા વ્યક્ત કરે છે. આ વિચાર આકૃતિ 22 માં પ્રસ્તુત ગણિતના ઇતિહાસના નવા દૃષ્ટિકોણ તરફ દોરી જાય છે.

ચોખા. 22. પ્રાચીન ગણિતની "મુખ્ય" સમસ્યાઓ અને ગણિત, સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર અને કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં નવી દિશાઓ

ફિગ. 22 માં દર્શાવવામાં આવેલ અભિગમ પ્રથમ પેપરમાં દર્શાવેલ છે. તે નીચેના તર્ક પર આધારિત છે. પહેલેથી જ ગણિતના જન્મ સમયે, સંખ્યાબંધ મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક શોધો કરવામાં આવી હતી જેણે સમગ્ર ગણિત અને વિજ્ઞાનના વિકાસને મૂળભૂત રીતે પ્રભાવિત કર્યા હતા. તેમાંના સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે:

1. સંખ્યાના પ્રતિનિધિત્વનો સ્થિતિકીય સિદ્ધાંત, 2જી સહસ્ત્રાબ્દી બીસીમાં બેબીલોનીયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું હતું. અને તેમના દ્વારા બેબીલોનીયન 60-એરી નંબર સિસ્ટમમાં મૂર્તિમંત છે. આ મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક શોધ અનુગામી તમામ સ્થિતિકીય સંખ્યા સિસ્ટમો, ખાસ કરીને દશાંશ સિસ્ટમ અને દ્વિસંગી સિસ્ટમ - આધુનિક કમ્પ્યુટર્સનો આધાર ધરાવે છે. આ શોધ આખરે ખ્યાલની રચના તરફ દોરી ગઈ કુદરતી સંખ્યા- ગણિતની અંતર્ગત સૌથી મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ.

2. અસંતુલિત ભાગોના અસ્તિત્વનો પુરાવો. પાયથાગોરસની વૈજ્ઞાનિક શાળામાં કરવામાં આવેલી આ શોધને કારણે પ્રારંભિક પાયથાગોરિયન ગણિતની પુનઃવિચારણા થઈ, જે "જથ્થાની સુસંગતતાના સિદ્ધાંત" અને પરિચય પર આધારિત હતી. અતાર્કિક સંખ્યાઓ- ગણિતની બીજી (કુદરતી સંખ્યાઓ પછી) મૂળભૂત ખ્યાલ. આખરે, આ બે ખ્યાલો (કુદરતી અને અતાર્કિક સંખ્યાઓ) "શાસ્ત્રીય ગણિત" નો આધાર હતો.

3. આત્યંતિક અને સરેરાશ ગુણોત્તરમાં સેગમેન્ટનું વિભાજન ("ગોલ્ડન રેશિયો"). આ ગાણિતિક શોધનું વર્ણન યુક્લિડ્સ એલિમેન્ટ્સ (પ્રપોઝિશન II.11) માં આપવામાં આવ્યું છે. આ દરખાસ્ત યુક્લિડ દ્વારા "પ્લેટોનિક સોલિડ્સ" (ખાસ કરીને, ડોડેકેહેડ્રોન) ની સંપૂર્ણ ભૌમિતિક સિદ્ધાંત બનાવવાના ઉદ્દેશ્ય સાથે રજૂ કરવામાં આવી હતી, જેનું પ્રસ્તુતિ યુક્લિડના "તત્વો" ના અંતિમ (XIII) પુસ્તકને સમર્પિત છે.

ઉપર ઘડવામાં આવેલ અભિગમ (ફિગ. 22) એવા નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે જે ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે અનપેક્ષિત હોઈ શકે છે. તે તારણ આપે છે કે તેની સાથે સમાંતર "શાસ્ત્રીય ગણિત"વિજ્ઞાનમાં, પ્રાચીન ગ્રીકોથી શરૂ કરીને, બીજી ગાણિતિક દિશા વિકસિત થવા લાગી - "સંવાદિતાનું ગણિત"જે, શાસ્ત્રીય ગણિતની જેમ, યુક્લિડના તત્વો પર પાછા જાય છે, પરંતુ તેનું ધ્યાન "સ્વયંતુલિત અભિગમ" પર નહીં, પરંતુ ભૌમિતિક "એકસ્ટ્રીમ અને સરેરાશ ગુણોત્તરમાં સેગમેન્ટને વિભાજીત કરવાની સમસ્યા" (પ્રસ્તાવ II.11) અને સિદ્ધાંત પર કેન્દ્રિત કરે છે. રેગ્યુલર પોલિહેડ્રાની , યુક્લિડ્સ એલિમેન્ટ્સના પુસ્તક XIII માં દર્શાવેલ છે. ઉત્કૃષ્ટ વિચારકો, વૈજ્ઞાનિકો અને ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ઘણી સહસ્ત્રાબ્દીમાં "સંવાદિતાના ગણિત" ના વિકાસમાં ભાગ લીધો: પાયથાગોરસ, પ્લેટો, યુક્લિડ, ફિબોનાકી, પેસિઓલી, કેપ્લર, કેસિની, બિનેટ, લુકાસ, ક્લેઈન અને 20મી સદીમાં - પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રીઓ કોક્સેટર, વોરોબ્યોવ, હોગેટ અને વાયડા. અને આપણે આ ઐતિહાસિક હકીકતને અવગણી શકીએ નહીં.

સિદ્ધાંતની ઉત્પત્તિ

પ્લેટોની કૃતિઓની તાજેતરની આવૃત્તિ પરના વિવેચકના જણાવ્યા મુજબ, તેમની પાસે છે "બધી કોસ્મિક પ્રમાણભૂતતા સુવર્ણ વિભાગ અથવા હાર્મોનિક પ્રમાણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે."ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, પ્લેટોની બ્રહ્માંડ વિજ્ઞાન નિયમિત પોલિહેડ્રા પર આધારિત છે જેને પ્લેટોનિક ઘન કહેવાય છે. બ્રહ્માંડના "અંત-થી-અંત" સંવાદિતાનો વિચાર હંમેશા આ પાંચ નિયમિત પોલિહેડ્રામાં તેના મૂર્ત સ્વરૂપ સાથે સંકળાયેલો હતો, જેણે વિશ્વની સાર્વત્રિક પૂર્ણતાનો વિચાર વ્યક્ત કર્યો હતો. અને હકીકત એ છે કે મુખ્ય "કોસ્મિક" આકૃતિ - ડોડેકાહેડ્રોન, જે વિશ્વના શરીર અને સાર્વત્રિક આત્માનું પ્રતીક છે, તે સુવર્ણ ગુણોત્તર પર આધારિત છે, તેણે બાદમાં એક વિશેષ વશીકરણ આપ્યું, જે બ્રહ્માંડના મુખ્ય પ્રમાણનો અર્થ છે.

પ્લેટોની બ્રહ્માંડવિજ્ઞાન કહેવાતી શરૂઆત બની icosahedral-dodecahedral સિદ્ધાંત, જે પ્રાચીન સમયથી તમામ માનવ વિજ્ઞાનમાં ચાલતો લાલ દોરો છે. આ સિદ્ધાંતનો સાર એ છે કે ડોડેકેહેડ્રોન અને આઇકોસાહેડ્રોન છે લાક્ષણિક સ્વરૂપોપ્રકૃતિ તેના તમામ અભિવ્યક્તિઓમાં, અવકાશથી માઇક્રોકોઝમ સુધી.

પૃથ્વીનો આકાર

પૃથ્વીના આકારના પ્રશ્ને પ્રાચીન સમયના વૈજ્ઞાનિકોના મનમાં સતત કબજો જમાવ્યો હતો. અને જ્યારે પૃથ્વીના ગોળાકાર આકાર વિશેની પૂર્વધારણાની પુષ્ટિ થઈ, ત્યારે વિચાર આવ્યો કે પૃથ્વી તેના આકારમાં છે. ડોડેકાહેડ્રોનતેથી, સોક્રેટીસ પહેલેથી જ લખ્યું છે:

"પૃથ્વી, જ્યારે તમે તેને ઉપરથી જુઓ છો, ત્યારે ચામડાના 12 ટુકડાઓથી બનેલા બોલ જેવી લાગે છે."

સોક્રેટીસની આ પૂર્વધારણાને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ, ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને ભૂસ્તરશાસ્ત્રીઓના કાર્યોમાં વધુ વૈજ્ઞાનિક વિકાસ જોવા મળ્યો. તેથી, ફ્રેન્ચ ભૂસ્તરશાસ્ત્રી દ બીમનઅને પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી પોઈનકેરમાનતા હતા કે પૃથ્વીનો આકાર વિકૃત ડોડેકેહેડ્રોન હતો.

રશિયન ભૂસ્તરશાસ્ત્રી એસ. કિસ્લિત્સિને પણ પૃથ્વીના ડોડેકહેડ્રલ આકાર વિશે અભિપ્રાય શેર કર્યો. તેમણે અનુમાન લગાવ્યું હતું કે 400-500 મિલિયન વર્ષો પહેલા, ડોડેકેહેડ્રલ જીઓસ્ફિયર જિયો-આઈકોસાહેડ્રોનમાં ફેરવાઈ ગયું હતું. જો કે, આવા સંક્રમણ અપૂર્ણ અને અપૂર્ણ હોવાનું બહાર આવ્યું, જેના પરિણામે જીઓ-ડોડેકાહેડ્રોન પોતાને આઇકોસાહેડ્રોનની રચનામાં લખાયેલું જોવા મળ્યું. વધુ વિગતવાર માહિતીઆ પૂર્વધારણા પુસ્તકમાં રજૂ કરવામાં આવી છે.

ઇજિપ્તીયન કેલેન્ડરનું રહસ્ય

પ્રથમ સૌર કેલેન્ડર પૈકીનું એક હતું ઇજિપ્તીયન, 4થી સહસ્ત્રાબ્દી બીસીમાં બનાવવામાં આવ્યું હતું. મૂળ ઇજિપ્તીયન કેલેન્ડર વર્ષમાં 360 દિવસનો સમાવેશ થતો હતો. વર્ષને બરાબર 30 દિવસના 12 મહિનામાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યું હતું. જો કે, પછીથી જાણવા મળ્યું કે કેલેન્ડર વર્ષની આ લંબાઈ ખગોળશાસ્ત્રીય માહિતીને અનુરૂપ નથી. અને પછી ઇજિપ્તવાસીઓએ કેલેન્ડર વર્ષમાં 5 વધુ દિવસો ઉમેર્યા, જે, જો કે, મહિનાના દિવસો ગણવામાં આવતા ન હતા. તે 5 હતો રજાઓ, પડોશી કેલેન્ડર વર્ષોને જોડે છે. આમ, ઇજિપ્તીયન કેલેન્ડર વર્ષ નીચે મુજબનું માળખું ધરાવે છે: 365=12 x 30+5. નોંધ કરો કે તે ઇજિપ્તીયન કેલેન્ડર છે જે આધુનિક કેલેન્ડરનો પ્રોટોટાઇપ છે.

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શા માટે ઇજિપ્તવાસીઓએ કેલેન્ડર વર્ષને 12 મહિનામાં વિભાજિત કર્યું? છેવટે, વર્ષમાં જુદા જુદા મહિનાઓ સાથે કૅલેન્ડર હતા. ઉદાહરણ તરીકે, મય કેલેન્ડરમાં, વર્ષમાં 18 મહિનાનો સમાવેશ થાય છે અને દર મહિને 20 દિવસ હોય છે. આગળનો પ્રશ્નઇજિપ્તીયન કેલેન્ડર વિશે: શા માટે દરેક મહિનામાં બરાબર 30 દિવસ હોય છે (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, દિવસો)? સમય માપન પ્રણાલી વિશે પણ કેટલાક પ્રશ્નો ઉભા થઈ શકે છે, જે પછીના સમયમાં રચાયેલ હોઈ શકે છે. ખાસ કરીને, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શા માટે કલાકનું એકમ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું કે તે દિવસમાં બરાબર 24 વખત બંધબેસે છે, એટલે કે, શા માટે 1 દિવસ = 24 (2 x 12) કલાક? આગળ: શા માટે 1 કલાક = 60 મિનિટ અને 1 મિનિટ = 60 સેકન્ડ? આ જ પ્રશ્નો કોણીય જથ્થાના એકમોની પસંદગી પર લાગુ થાય છે, ખાસ કરીને: શા માટે વર્તુળને 360° માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, શા માટે 2p=360°=12 x 30°? આ પ્રશ્નોમાં અન્ય ઉમેરવામાં આવે છે, ખાસ કરીને: ખગોળશાસ્ત્રીઓને શા માટે એવું માનવું યોગ્ય લાગ્યું કે ત્યાં 12 છે? રાશિચક્રચિહ્નો, જો કે હકીકતમાં, ગ્રહણની સાથે તેની હિલચાલ દરમિયાન, સૂર્ય 13 નક્ષત્રોને પાર કરે છે? અને એક વધુ "વિચિત્ર" પ્રશ્ન: શા માટે બેબીલોનીયન નંબર સિસ્ટમમાં ખૂબ જ અસામાન્ય આધાર છે - નંબર 60?

ઇજિપ્તીયન કેલેન્ડર, તેમજ સમય અને કોણીય મૂલ્યોને માપવા માટેની પ્રણાલીઓનું વિશ્લેષણ કરતા, અમને જાણવા મળ્યું કે ચાર સંખ્યાઓ અદ્ભુત સુસંગતતા સાથે પુનરાવર્તિત થાય છે: 12, 30, 60 અને તેમની વ્યુત્પન્ન સંખ્યા 360 = 12´30. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું ત્યાં કોઈ મૂળભૂત વૈજ્ઞાનિક વિચાર છે જે ઇજિપ્તીયન કેલેન્ડર અને સિસ્ટમ્સમાં આ સંખ્યાઓના ઉપયોગ માટે સરળ અને તાર્કિક સમજૂતી આપી શકે?

ચાલો ડોડેકાહેડ્રોન તરફ વળીએ (ફિગ. 21). કોષ્ટક 1 થી તે અનુસરે છે કે ડોડેકેહેડ્રોન તેની સપાટી પર 12 ચહેરા, 30 કિનારીઓ અને 60 સપાટ ખૂણા ધરાવે છે. પ્રાચીન ઇજિપ્તવાસીઓના આશ્ચર્યની કલ્પના કરો જ્યારે તેઓએ શોધ્યું કે સમાન સંખ્યાઓ ચક્રને વ્યક્ત કરે છે સૂર્ય સિસ્ટમ, એટલે કે, ગુરુનું 12-વર્ષનું ચક્ર, શનિનું 30-વર્ષનું ચક્ર અને છેલ્લે સૌરમંડળનું 60-વર્ષનું ચક્ર. આમ, જેમ કે સંપૂર્ણ અવકાશી આકૃતિ વચ્ચે ડોડેકાહેડ્રોન, અને સૂર્યમંડળ, ત્યાં ગાણિતિક જોડાણ છે! આ નિષ્કર્ષ પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. આ હકીકત તરફ દોરી કે ડોડેકાહેડ્રોન"મુખ્ય વ્યક્તિ" તરીકે અપનાવવામાં આવ્યું હતું જેણે પ્રતીક કર્યું હતું બ્રહ્માંડની સંવાદિતા. પ્રાચીન લોકોના મતે, ગ્રહણ સાથે સૂર્યની હિલચાલ સખત ગોળાકાર હતી, ત્યારબાદ, રાશિચક્રના 12 ચિહ્નો પસંદ કરીને, જેની વચ્ચેનું આર્ક અંતર બરાબર 30 ° હતું, ઇજિપ્તવાસીઓએ આશ્ચર્યજનક રીતે સૂર્યની વાર્ષિક ચળવળનું સુંદર સંકલન કર્યું. તેમના કેલેન્ડર વર્ષની રચના સાથે ગ્રહણની સાથે: એક મહિનો રાશિચક્રના બે પડોશી ચિહ્નો વચ્ચે ગ્રહણ સાથે સૂર્યની હિલચાલને અનુરૂપ છે!તદુપરાંત, એક ડિગ્રી દ્વારા સૂર્યની હિલચાલ ઇજિપ્તીયન કેલેન્ડર વર્ષમાં એક દિવસને અનુરૂપ છે! આ કિસ્સામાં, ગ્રહણ આપોઆપ 360° માં વિભાજિત થયું હતું. પાછળથી, આ જ વૈજ્ઞાનિક વિચારનો ઉપયોગ સમય માપન પ્રણાલીના સર્જકો દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. દિવસના દરેક અડધા ભાગને 12 ભાગોમાં (12 બાજુઓ ડોડેકાહેડ્રોન) પરિચય તરફ દોરી ગયો કલાક- સમયનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ એકમ. એક કલાકનું 60 મિનિટમાં વિભાજન (સપાટી પર 60 સમતલ ખૂણા ડોડેકાહેડ્રોન) પરિચય તરફ દોરી ગયો મિનિટ- સમયનો આગલો મહત્વનો એકમ. એ જ રીતે તેનો પરિચય થયો બીજું(1 મિનિટ = 60 સેકન્ડ).

આમ, પસંદ કરી રહ્યા છીએ ડોડેકાહેડ્રોનબ્રહ્માંડની મુખ્ય "હાર્મોનિક" આકૃતિ તરીકે, અને ડોડેકાહેડ્રોન 12, 30, 60 ની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓને સખત રીતે અનુસરીને, વૈજ્ઞાનિકો એક અત્યંત સુમેળભર્યું કેલેન્ડર, તેમજ સમય અને કોણીય મૂલ્યોને માપવા માટેની સિસ્ટમો બનાવવામાં વ્યવસ્થાપિત થયા.

આ આશ્ચર્યજનક તારણો છે જે સરખામણીથી અનુસરે છે: ડોડેકાહેડ્રોનસૌર સિસ્ટમ સાથે. અને જો આપણી પૂર્વધારણા સાચી હોય (કોઈ તેને ખંડન કરવાનો પ્રયાસ કરીએ), તો તે અનુસરે છે કે ઘણા સહસ્ત્રાબ્દીઓથી માનવતા "સુવર્ણ ગુણોત્તર" (જે ડોડકેહેડ્રોન હેઠળ આવે છે) ની નિશાની હેઠળ જીવે છે! અને જ્યારે પણ આપણે આપણી ઘડિયાળના ડાયલને જોઈએ છીએ, જે ડોડેકાહેડ્રોન 12, 30 અને 60 ની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓના ઉપયોગ પર પણ બનેલ છે, ત્યારે આપણે મુખ્ય "બ્રહ્માંડના રહસ્ય" ને સ્પર્શ કરીએ છીએ - સુવર્ણ ગુણોત્તર, તે જાણ્યા વિના પણ! દેખીતી રીતે, ઇજિપ્તીયન કેલેન્ડરની આ પૂર્વધારણા સૌરમંડળના કેટલાક "છુપાયેલા" રહસ્યોની ચિંતા કરે છે, જે "ગોલ્ડન રેશિયો" સાથે જોડાયેલ છે.

જોહાન્સ કેપ્લર અને ફેલિક્સ ક્લેઈન

"મિસ્ટેરિયમ કોસ્મોગ્રાફિકમ".જોહાન્સ કેપ્લરે તેની વૈજ્ઞાનિક કારકિર્દીની શરૂઆત નાનકડા ઓસ્ટ્રિયન શહેર ગ્રાઝમાં કરી હતી, જ્યાં, ટ્યુબિંગેન એકેડેમીમાંથી સ્નાતક થયા પછી, તેને વ્યાયામશાળામાં ગણિતના શિક્ષક તરીકે મોકલવામાં આવ્યો હતો.

ચાલો એક "ગીત વિષયાંતર" કરીએ. જુલાઈ 15 થી 19, 1996, 7 મી આંતરરાષ્ટ્રીય પરિષદફિબોનાકી નંબરો અને તેમની એપ્લિકેશનો પર. આ કોન્ફરન્સમાં, એલેક્સી સ્ટેખોવે એક અહેવાલ આપ્યો “ આસુવર્ણવિભાગઅનેઆધુનિકસંવાદિતાગણિત” , જેમાંથી, સારમાં, આધુનિક "સંવાદિતાના ગણિત" નો વિકાસ આધુનિક વિજ્ઞાનની નવી આંતરશાખાકીય દિશા તરીકે શરૂ થયો. આ અહેવાલે ફિબોનાકી ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં ભારે રસ જગાડ્યો હતો અને તેને "ફિબોનાકી નંબર્સની એપ્લિકેશન્સ" (1998) સંગ્રહમાં પ્રકાશન માટે પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો. ગ્રાઝમાં તેમના રોકાણ દરમિયાન, પ્રો. એલેક્સી સ્ટેખોવે ગ્રાઝના એક ઉદ્યાનમાં સ્થાપિત જોહાન્સ કેપ્લરના સ્મારકની નજીક એક ફોટો લીધો.

જોહાન્સ કેપ્લરના સ્મારકની બાજુમાં એલેક્સી સ્ટેખોવ

(ગ્રાઝ, જુલાઈ 1996)

કેપ્લરનું પ્રથમ ખગોળશાસ્ત્રીય કાર્ય, ગ્રાઝમાં લખાયેલું, નીચેના શીર્ષક સાથેનું એક નાનું પુસ્તક હતું: “ધ હાર્બિંગર ઑફ કોસ્મોગ્રાફિક રિસર્ચ, અવકાશી વર્તુળો અને સાચા કારણો, સંખ્યાઓ અને કદ વચ્ચેના અદ્ભુત પ્રમાણને લગતા બ્રહ્માંડના રહસ્યને સમાવતું. અવકાશી ગોળાઓ, અને સ્ટાયરિયાના પ્રસિદ્ધ પ્રાંતના ગણિતશાસ્ત્રી વુર્ટેમબર્ગના જોહાન્સ કેપ્લર દ્વારા પાંચ નિયમિત સંસ્થાઓના સંદર્ભમાં સામયિક ગતિ પણ સમજાવવામાં આવી છે." તેમણે પોતે 1597 માં પ્રકાશિત આ પુસ્તકને "મિસ્ટેરિયમ કોસ્મોગ્રાફિકમ" ("ધ મિસ્ટ્રી ઓફ કોસ્મોગ્રાફી") તરીકે ઓળખાવ્યું.

કેપ્લરની પ્રથમ કૃતિ, “મિસ્ટેરિયમ કોસ્મોગ્રાફિકમ” (“ધ મિસ્ટ્રી ઓફ કોસ્મોગ્રાફી”) વાંચીને તેની કલ્પના જોઈને ક્યારેય આશ્ચર્ય પામવાનું બંધ થતું નથી. વિશ્વમાં સંવાદિતાના અસ્તિત્વની ઊંડી પ્રતીતિએ કેપ્લરની સમગ્ર વિચારસરણી પર છાપ છોડી. કેપ્લરે તેમના સંશોધનનો હેતુ ઘડ્યો હતો, જે કોસ્મોગ્રાફીના રહસ્યમાં દર્શાવેલ છે, પ્રસ્તાવનામાં:

« પ્રિય વાચક! આ પુસ્તકમાં, હું એ સાબિત કરવા માટે નિકળ્યો હતો કે સર્વશ્રેષ્ઠ અને સર્વશક્તિમાન ઈશ્વરે, જ્યારે આપણું ફરતું વિશ્વ બનાવ્યું હતું અને અવકાશી ભ્રમણકક્ષા ગોઠવતી વખતે, પાંચ નિયમિત પિંડોને આધાર તરીકે પસંદ કર્યા હતા, જે પાયથાગોરસ અને પ્લેટોના સમયથી. વર્તમાન સમયમાં આટલી મોટી ખ્યાતિ પ્રાપ્ત થઈ છે, અવકાશી ભ્રમણકક્ષાની સંખ્યા અને પ્રમાણ પસંદ કર્યા છે, તેમજ હલનચલન વચ્ચેના સંબંધો નિયમિત શરીરની પ્રકૃતિ અનુસાર પસંદ કરવામાં આવ્યા છે. ત્રણ વસ્તુઓનો સાર - શા માટે તેઓ આ રીતે ગોઠવાય છે અને અન્યથા નહીં - ખાસ કરીને મને રસ છે, એટલે કે: અવકાશી ભ્રમણકક્ષાની સંખ્યા, પરિમાણો અને હલનચલન.

બ્રહ્માંડના રહસ્યને ઉજાગર કરવાનો અર્થ, કેપ્લર અનુસાર, તેણે ખગોળશાસ્ત્રના ઇતિહાસમાં પ્રથમ વખત પોતાને પૂછેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપવો. તે "ધ મિસ્ટ્રી ઓફ કોસ્મોગ્રાફી" પુસ્તકમાં હતું કે કેપ્લરે આ રહસ્યને ઉજાગર કરવા માટે, તેને લાગતું હતું તેમ, વ્યવસ્થાપિત કર્યું. તેનો સાર, કેપ્લર મુજબ, નીચે મુજબ છે:

“પૃથ્વી (પૃથ્વીની ભ્રમણકક્ષા) એ તમામ ભ્રમણકક્ષાનું માપ છે. ચાલો તેની આસપાસના ડોડેકેહેડ્રોનનું વર્ણન કરીએ. ડોડેકેહેડ્રોનની ફરતે ઘેરાયેલો ગોળો મંગળનો ગોળો છે. ચાલો મંગળના ગોળાની આસપાસના ટેટ્રાહેડ્રોનનું વર્ણન કરીએ. ટેટ્રાહેડ્રોનની ફરતે ઘેરાયેલો ગોળો ગુરુનો ગોળ છે. ચાલો ગુરુના ગોળાની આસપાસના ઘનનું વર્ણન કરીએ. ટેટ્રાહેડ્રોનની ફરતે ઘેરાયેલો ગોળો શનિનો ગોળો છે. ચાલો પૃથ્વીના ગોળામાં એક આઇકોસાહેડ્રોન દાખલ કરીએ. તેમાં અંકિત ગોળ શુક્રનો ગોળો છે. ચાલો શુક્રના ગોળામાં એક અષ્ટાદિક દાખલ કરીએ. તેમાં લખાયેલો ગોળો બુધનો ગોળો છે."

વેરા ડબલ્યુ. ડી સ્પિનેડેલ. ગોલ્ડન મીનથી લઈને કેઓસ સુધી. ન્યુએવા લાઇબ્રેરિયા, 1998 (બીજી આવૃત્તિ, નોબુકો, 2004).

ગઝલે મિદત જે. નોમોન. ફેરોની થી ફ્રેકટલ્સ સુધી. પ્રિન્સટન, ન્યુ જર્સી: પ્રિન્સટન યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 1999 (રશિયન ભાષાંતર: મિદત ગઝાલેહ. ગ્નોમોન. ફ્રોમ ફેરોસ ટુ ફ્રેકટલ્સ. મોસ્કો-ઇઝેવસ્ક: ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર કમ્પ્યુટર રિસર્ચ, 2002.)

ટાટેરેન્કો એ.એ. ગોલ્ડન ટી એમ - હાર્મોનિઝ અને ડી એમ - ફ્રેકટલ્સ એ સોલિટોન જેવા ટીએમનો સાર છે - વિશ્વના સ્ટ્રક્ચરોજેનેસિસ // "એકેડેમી ઑફ ટ્રિનિટેરિયનિઝમ", એમ., એલ નંબર 77-6567, પબ. 12691, 12/09/ 2005

અરાકલ્યાન ગ્રાન્ટ. આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સંખ્યાઓ અને માત્રા. યેરેવન: પબ્લિશિંગ હાઉસ. એએન, 1989.

શેન્યાગિન વી.પી. "પાયથાગોરસ, અથવા દરેક વ્યક્તિ તેની પોતાની પૌરાણિક કથા બનાવે છે" - ક્વાડ્રેટિક મન્ટિસા એસ-પ્રોપોર્શન્સ વિશેના પ્રથમ પ્રકાશન પછીના ચૌદ વર્ષ // "એકેડેમી ઑફ ટ્રિનિટેરિયનિઝમ", એમ., એલ નંબર 77-6567, પબ. 17031, 11/27/2011

ફાલ્કન સર્જિયો, પ્લાઝા એન્જલ. ફિબોનાકી k-નંબર્સ કેઓસ, સોલિટોન્સ અને ફ્રેકલ્સ પર, વોલ્યુમ 32, અંક 5, જૂન 2007: 1615-1624.

એ.પી. સ્ટેખોવ, હાઇપરબોલિક ફિબોનાકી અને લુકાસ ફંક્શન્સ પર આધારિત હાઇપરબોલિક ફંક્શન્સના સામાન્ય સિદ્ધાંત પર અને હિલ્બર્ટની ચોથી સમસ્યા પર. વિઝ્યુઅલ મેથેમેટિક્સ, વોલ્યુમ. 15, નંબર 1, 2013. http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/2013stakhov/hyp.pdf

એ. સ્ટેખોવ, એસ. અરેન્સન, "હાયપરબોલિક ફિબોનાકી અને લુકાસ ફંક્શન્સ, "ગોલ્ડન" ફિબોનાચી ગોનીઓમેટ્રી, બોડનારની ભૂમિતિ, અને હિલ્બર્ટની ચોથી સમસ્યા." એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ, 2011, નંબર 1 (જાન્યુઆરી), નંબર 2 (ફેબ્રુઆરી), નંબર 3 (માર્ચ).

સ્ટેખોવ, એ.પી. ગઝલના સૂત્રો, ફિબોનાકી અને લુકાસના હાયપરબોલિક કાર્યોનો નવો વર્ગ અને "ગોલ્ડન" ક્રિપ્ટોગ્રાફીની સુધારેલી પદ્ધતિ // "એકેડેમી ઑફ ટ્રિનિટેરિયનિઝમ", એમ., એલ નંબર 77-6567, પબ. 14098, 12.21.2006

સ્ટેખોવ એ.પી., ફિબોનાકીની થિયરી λ-નંબર્સ // “એકેડેમી ઑફ ટ્રિનિટેરિયનિઝમ”, એમ., એલ નંબર 77-6567, પબ. 17407, 04/05/2012 http://www.trinitas.ru/rus/doc/ 0232/ 009a/02321250.htm

એ.પી. સ્ટેખોવ, ધ મેથેમેટિક્સ ઓફ હાર્મની: ક્લેરીફાઈંગ ધ ઓરિજિન્સ એન્ડ ડેવલપમેન્ટ ઓફ મેથેમેટિક્સ // કોંગ્રેસસ ન્યુમેરેન્ટિયમ, 193, 2008, 5-48.

સ્ટેખોવ, "ધ "ગોલ્ડન" મેટ્રિસિસ અને એક નવા પ્રકારની સંકેતલિપી. કેઓસ, સોલિટોન્સ એન્ડ ફ્રેકટલ્સ 2007, વોલ્યુમ 32, અંક 3, 1138-1146.

એ. સ્ટેખોવ, એસ. એરન્સન. "ગોલ્ડન" ફિબોનાકી ગોનીઓમેટ્રી. ફિબોનાકી-લોરેન્ટ્ઝ ટ્રાન્સફોર્મેશન્સ અને હિલ્બર્ટની ચોથી સમસ્યા. કોંગ્રેસસ ન્યુમેરેન્ટિયમ, 193 (2008), 119-156.

એ.પી. સ્ટેખોવ, "ધ ગોલ્ડન સેક્શન એન્ડ મોર્ડન હાર્મની મેથેમેટિક્સ." ફિબોનાકી નંબર્સની એપ્લિકેશન્સ, ક્લુવર એકેડેમિક પબ્લિશિંગ, વોલ્યુમ 7, 1998: 393-399.

સ્ટેખોવ એ.પી., ત્કાચેન્કો આઇ.એસ. ફિબોનાકી હાઇપરબોલિક ત્રિકોણમિતિ // યુક્રેનિયન એસએસઆરની એકેડેમી ઓફ સાયન્સના અહેવાલો, વોલ્યુમ 208, નંબર 7, 1993.

સ્ટેખોવ એ., રોઝિન બી. હાયપરબોલિક ફંક્શનના નવા વર્ગ પર // કેઓસ, સોલિટોન્સ એન્ડ ફ્રેકલ્સ, 2005, વોલ્યુમ. 23, અંક 2, 379-389.

સ્ટેખોવ એ.પી. સામાન્યકૃત સુવર્ણ ગુણોત્તર અને નવો અભિગમસંખ્યાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા માટે. // યુક્રેનિયન મેથેમેટિકલ જર્નલ, 2004, વોલ્યુમ. 56, નં. 8, 1143-1150.

પ્લેટોનિક સોલિડ્સ એ તમામ નિયમિત પોલિહેડ્રા, ત્રિ-પરિમાણીય (ત્રિ-પરિમાણીય) ઘન પદાર્થોનો સંગ્રહ છે જે સમાન નિયમિત બહુકોણ દ્વારા બંધાયેલ છે, જેનું પ્રથમ વર્ણન પ્લેટોએ કર્યું છે. પ્લેટોના વિદ્યાર્થી યુક્લિડ દ્વારા "એલિમેન્ટ્સ" નું અંતિમ, XIII પુસ્તક પણ તેમને સમર્પિત છે. નિયમિત બહુકોણની તમામ અનંત વિવિધતાઓ (સમાન બાજુઓ દ્વારા મર્યાદિત દ્વિ-પરિમાણીય ભૌમિતિક આકૃતિઓ, જેમાંથી અડીને જોડીમાં સમાન કોણ બનાવે છે), ત્યાં ફક્ત પાંચ વોલ્યુમેટ્રિક બહુકોણ છે, જે પ્લેટોના સમયથી, સાથે સંકળાયેલા છે. બ્રહ્માંડના પાંચ તત્વો: ટેટ્રાહેડ્રોન, ક્યુબ, ઓક્ટાહેડ્રોન, આઇકોસાહેડ્રોન, ડોડેકેહેડ્રોન.

પ્લેટોનિક ઘન

પ્રાથમિક તત્વોનું જ્ઞાન પ્રાચીન પૂર્વીય સંસ્કૃતિઓ જેમ કે ભારતીય અને ચાઈનીઝ માટે ઉપલબ્ધ હતું. પ્લેટો, તેમજ પાયથાગોરિયનોએ, નિયમિત બહિર્મુખ પોલિહેડ્રાના દાર્શનિક, ગાણિતિક અને જાદુઈ પાસાઓનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કર્યો. પ્રાચીન જ્ઞાન અનુસાર, આ દરેક પોલિહેડ્રા ચોક્કસને અનુરૂપ છે બ્રહ્માંડના તત્વો (પ્રાથમિક તત્વ) અને તેની ઉર્જા કેન્દ્રિત કરે છે. પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ ઊર્જા ઉત્સર્જન કરે છે, અને ચહેરાના કેન્દ્રો શોષી લે છે. નીચે પુસ્તકમાંથી પ્લેટોનિક ઘન અને પ્રાથમિક તત્વો વચ્ચેના જોડાણનું ઉદાહરણ છે ડ્રુનવાલો મેલ્ચિઝેડેક "જીવનના ફૂલનું પ્રાચીન રહસ્ય" :

આગળ, બહુકોણની ઊર્જા લાક્ષણિકતાઓને ચાઇનીઝ ઉપદેશોના દૃષ્ટિકોણથી ગણવામાં આવે છે "યુ-શિન." પોલિહેડ્રાના કિરણોત્સર્ગની યીન અથવા યાંગ પ્રકૃતિ, તેમજ તેમના તત્વોની શક્તિને જાણતા, ચાઇનીઝ દવાઓના ડોકટરો તેમની સાથે માનવ ઊર્જાને સુમેળ કરવાના સાધન તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

● હેક્ઝાહેડ્રોન (ઘન)માં 8 શિરોબિંદુઓ છે જે ઊર્જા ઉત્સર્જન કરે છે અને 6 ચહેરાઓ છે જ્યાં ઊર્જા શોષાય છે. શોષક કરતાં વધુ ઉત્સર્જક બિંદુઓ હોવાથી, ચીની ઉપદેશ "યુ-ઝિંગ" અનુસાર, સમઘન પુરુષ સિદ્ધાંત "યાંગ" થી સંબંધિત છે.

● ઓક્ટાહેડ્રોનમાં 6 કિરણોત્સર્ગ શિરોબિંદુઓ અને 8 શોષણ ચહેરાઓ છે. તેથી, ઓક્ટાહેડ્રોન તે ઉત્સર્જન કરે છે તેના કરતાં વધુ ઊર્જાને શોષી લે છે, તેથી તેને વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે સ્ત્રીની"યિન."

● ટેટ્રાહેડ્રોનમાં 4 શિરોબિંદુઓ અને 4 ચહેરાઓ છે, જે "યિન-યાંગ" સમાનતા તરફ દોરી જાય છે.

● આઇકોસાહેડ્રોનમાં 12 શિરોબિંદુઓ અને 20 ચહેરાઓ છે, જેનો આકાર નિયમિત ત્રિકોણ જેવો છે, તેથી તે "યિન" સિદ્ધાંતને વ્યક્ત કરે છે.

● ડોડેકાહેડ્રોનમાં 20 શિરોબિંદુઓ અને 12 ચહેરાઓ છે અને તેથી તે "યાંગ" ના સિદ્ધાંતને વ્યક્ત કરે છે. તેના 12 ચહેરા નિયમિત પેન્ટાગોન્સ જેવા આકારના છે.

મેલ્ચિસેડેક અનુસાર, પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થો વચ્ચે "જીવનનું ફૂલ ", વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તેઓ છુપાયેલા છેમેટાટ્રોન ક્યુબ , જે જીવનના ફૂલમાં સમાયેલું છે. આ લેખમાં હું તમારા સંદર્ભ માટે આ પુસ્તકમાંથી માત્ર થોડી માહિતી આપીશ. આ વિષય ખૂબ જટિલ અને વ્યાપક છે, પરંતુ જો તમે તેનો વિગતવાર અભ્યાસ કરવા માંગતા હો, તો પુસ્તક " પ્રાચીન રહસ્યફ્લાવર ઑફ લાઇફ" ઇન્ટરનેટ પર ઉપલબ્ધ છે.

જીવનનું ફૂલ - આ આધુનિક નામ ભૌમિતિક આકૃતિ, ષટ્કોણ (ષટ્કોણ) જેવી છગણી સમપ્રમાણતા સાથે પેટર્ન બનાવે છે તેવા ઘણા સમાન અંતરે, સમાન વર્તુળોનો સમાવેશ કરે છે. આ પવિત્ર ભૂમિતિનું સૌથી જૂનું પ્રતીક છે, જે સમગ્ર પૃથ્વી પરની ઘણી પ્રાચીન સંસ્કૃતિઓ માટે જાણીતું છે, જે અવકાશ અને સમયના અસ્તિત્વના મૂળભૂત સ્વરૂપને દર્શાવતું હોવાનું માનવામાં આવે છે:

જીવનનું ફૂલ

જીવનનું ફૂલ - એક દ્વિ-પરિમાણીય છબી - એક પ્રતીક છે, ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિનું પ્રક્ષેપણ. અને આ ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિમાં છુપાયેલું છે મેટાટ્રોનનું ઘન:

મેટાટ્રોન ક્યુબ

મેટાટ્રોન્સ ક્યુબ જીવનના ફૂલમાં અંકિત છે.

મેટાટ્રોનનું ક્યુબ, તે મુજબ, સપાટ આકૃતિ પણ નથી, પરંતુ ત્રિ-પરિમાણીય શરીર છે. જો તમે મેટાટ્રોનના ક્યુબના બોલના તમામ કેન્દ્રોને રેખાઓ સાથે જોડો છો, તો આ રેખાઓ પાંચ પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોના ચહેરા હશે:

મેટાટ્રોનના ક્યુબમાં કોતરેલ ટેટ્રાહેડ્રોન.

મેટાટ્રોનના ક્યુબમાં અંકિત એક ક્યુબ.

મેટાટ્રોનના ક્યુબમાં ઓક્ટાહેડ્રોન અંકિત.

મેટાટ્રોનના ક્યુબમાં આઇકોસાહેડ્રોન અંકિત.

મેટાટ્રોનના ક્યુબમાં ડોડેકાહેડ્રોન અંકિત છે.

પાયથાગોરિયન મિસ્ટ્રી સ્કૂલ, પ્લેટો અને પ્રાચીન ગ્રીક માનતા હતા કે આ પાંચ સંસ્થાઓ ભૌતિક બ્રહ્માંડ પાછળના મૂળભૂત નમૂનાઓ છે. જો કે, આ પ્રાચીન જ્ઞાન અનાદિ કાળથી જાણીતું છે. પૃથ્વી, અગ્નિ, વાયુ અને પાણી: ચારેય શરીર એ તમામ સર્જનના ચાર તત્વો પાછળના આર્કિટેપલ પેટર્ન છે. પાંચમી પેટર્નને બ્રહ્માંડનો સાર્વત્રિક પદાર્થ માનવામાં આવતો હતો, અને કેટલીક ગુપ્ત શાળાઓમાં તેને પાંચમું તત્વ - ઈથર માનવામાં આવતું હતું. પાંચમું શરીર ડોડેકાહેડ્રોન છે, અને ભૌતિક વિશ્વમાં તેનો ઉપયોગ કાળજીપૂર્વક છુપાયેલો હતો કારણ કે તેઓએ તેનો ભય અનુભવ્યો હતો. દુરુપયોગ. આપણે જાણીએ છીએ કે એનએએ, ઘણી ગુપ્ત સોસાયટીઓ અને ઈલુમિનેટી લાઈનોએ તેનો દુરુપયોગ કર્યો છે જે પૃથ્વી પર મન નિયંત્રણ મેટ્રિક્સ તરીકે મૂકવામાં આવેલા દસ રિવર્સલ સ્ટ્રક્ચરને અંતર્ગત છે.

આને રિવર્સિબલ નેટવર્ક્સ 55 કહેવામાં આવે છે અને તે ડોડેકાહેડ્રોન આકારો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી ઘણા એકમોના સ્વને સેવા આપવા માટે વપરાતા રિવર્સલ મેટ્રિક્સ સાથે સંકળાયેલા છે. આમ, અમારા મોડેલમાં આપણે ડોડેકેહેડ્રોનને એક એલિમેન્ટલ મેટ્રિક્સ અથવા સમય અને અવકાશની રચના માટે વપરાતા પદાર્થ તરીકે ધ્યાનમાં લઈશું. મેટ્રિક્સ સાથે પ્રોગ્રામ કરી શકાય છે વિવિધ ખૂણાસમય અને અવકાશને અકાર્બનિક રીતે વાળતા પ્રકાશના રીફ્રેક્શન્સ. હિરોગેમી દ્વારા, આધુનિકીકરણ થાય છે - બુધનો તારો (એઝોથનો તારો), ક્રિસ્ટલ સ્ટારમાંથી, સાત પવિત્ર સૂર્ય, જેમાં કોસ્મિક ઈથરનો ઘટક છે. આ પાંચમું તત્વ કોસ્મિક સર્વોચ્ચ કાયદા અનુસાર અને ક્રિસ્ટલ સ્ટારના માર્ગદર્શન હેઠળ આપણું જોડાણ અને સંદેશાવ્યવહાર જાળવી રાખીને છઠ્ઠા ભાગમાં વિકસિત થશે. માતાનું કોસ્મિક ઈથર અથવા ક્વિન્ટેસન્સ કોઈપણ ભૌમિતિક તરંગની પેટર્નમાં પ્રગટ થાય છે અને સ્વરૂપમાં જીવનનો શ્વાસ લે છે. તે સર્પાકારની બહુવિધ ખંડિત પેટર્ન તરીકે સંતતિ બનાવે છે, જે સ્વરૂપ અને પદાર્થમાંથી જન્મેલા જીવો છે. પ્લેટોનિક સોલિડ્સને ફ્રેક્ટલ પેટર્નમાં ઓર્ડર કરવામાં આવે છે જે મોર્ફોજેનેટિક ફિલ્ડને એક પ્રોજેક્ટમાં વણાટ કરે છે જે અવકાશમાં એક મેટ્રિક્સ દર્શાવે છે જે અણુઓને તેમની ખગોળશાસ્ત્રીય પેટર્નમાં તારાઓ સાથે જોડે છે. પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોના આકાર અલગ-અલગ હોવા છતાં, સંબંધો, માળખું અને હોલોગ્રાફિક પેટર્ન સમાન છે. આ હર્મેટિક સિદ્ધાંતને અનુરૂપ છે "ઉપરની જેમ, તેથી નીચે."

આ ખગોળશાસ્ત્રીય દાખલાઓ સૂર્યના નક્ષત્રો દ્વારા ગ્રહણની વાર્ષિક ચળવળમાં જોવા મળે છે, જે ઘણા હજારો વર્ષોથી ઉત્ક્રાંતિ ચક્રમાં આગળ વધે છે જેને સમપ્રકાશીય સમપ્રકાશીય કહેવાય છે. બ્રહ્માંડ સર્પાકારમાં આગળ વધે છે અને વિકાસ પામે છે. તમામ વિરોધી ધ્રુવીયતાઓ ઓગળી જાય છે, સંતુલનમાં સર્પાકાર થાય છે. સર્પાકાર ચળવળમાં ધ્રુવીયતા વચ્ચેનું સંતુલન જોઇ શકાય છે. સર્પાકાર સાથે ઊર્જાની હિલચાલનું મુખ્ય કેન્દ્ર હોય છે, જેમાં સર્પાકારનું સંપૂર્ણ શૂન્ય હોય છે, આ એક તટસ્થ કેન્દ્ર અથવા આરામનું કેન્દ્ર છે. ચેતનાના સર્પાકારનું આ મૂળભૂત કેન્દ્ર તમામ જીવોમાં હાજર છે.

પાંચ પ્લેટોનિક સોલિડ્સ ચેતનામાં પવિત્ર ભૂમિતિના બિલ્ડીંગ બ્લોક્સ છે, જે સમાન લક્ષણો ધરાવે છે:

બધી કિનારીઓ સમાન કદની છે

બધી કિનારીઓ સમાન લંબાઈ ધરાવે છે

શરીરના બધા ખૂણા સમાન છે

બધા શરીરને એક ગોળામાં લખી શકાય છે

ટેટ્રાહેડ્રોન - પ્રથમ પ્લેટોનિક ઘન, જેના ચાર ચહેરા નિયમિત ત્રિકોણ છે, તે અગ્નિના તત્વનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તે ગુરુ અને મંગળ ગ્રહોના માર્ગના આંતરછેદ સાથે સંકળાયેલું છે, જે સૌપ્રથમ જોહાન્સ કેપ્લરે શોધ્યું હતું.

હેક્ઝાહેડ્રોન - બીજો પ્લેટોનિક ઘન, જેના છ ચહેરા ચોરસ છે, તે પૃથ્વીના તત્વનું પ્રતીક છે. તે શનિ અને ગુરુ ગ્રહોના માર્ગના આંતરછેદ સાથે સંકળાયેલું છે, જે સૌપ્રથમ જોહાન્સ કેપ્લરે શોધ્યું હતું.

ઓક્ટાહેડ્રોન - ત્રીજો પ્લેટોનિક ઘન, જેનાં આઠ ચહેરા નિયમિત ત્રિકોણ છે, અને તે હવાના તત્વનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ મંગળ અને પૃથ્વીના ગ્રહોના માર્ગના આંતરછેદને કારણે છે, જે સૌપ્રથમ જોહાન્સ કેપ્લરે શોધ્યું હતું.

ડોડેકેહેડ્રોન - ચોથો પ્લેટોનિક સોલિડ, જેના બાર ચહેરા નિયમિત પંચકોણ છે, તે સમય અને અવકાશના તત્વનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તે પદાર્થ જેમાંથી મેટ્રિસિસ બનાવવામાં આવે છે. તે પૃથ્વી અને શુક્ર ગ્રહોના માર્ગના આંતરછેદ સાથે સંકળાયેલું છે, જે સૌપ્રથમ જોહાન્સ કેપ્લરે શોધ્યું હતું.

આઇકોસાહેડ્રોન - પાંચમો પ્લેટોનિક ઘન, જેમાંથી વીસ ચહેરાઓ સમભુજ ત્રિકોણ છે, તે પાણીના તત્વનું પ્રતીક છે. તે શુક્ર અને બુધ ગ્રહોના માર્ગના આંતરછેદ સાથે સંકળાયેલું છે, જે સૌપ્રથમ જોહાન્સ કેપ્લરે શોધ્યું હતું.

એક નેટવર્ક ક્ષેત્ર

પ્લેટોનિક સોલિડ્સ ભૌમિતિક રીતે રચાયેલી રચનાઓ છે જે નેટવર્ક માળખાના આધારને એન્કોડ કરવા માટે વિવિધ જૂથોમાં ગોઠવવામાં આવે છે. નેટવર્ક એ એક સામાન્ય શબ્દ છે જેનો ઉપયોગ મોર્ફોજેનેટિક ક્ષેત્રના બહુવિધ સ્તરોને સમજાવવા માટે થાય છે જે જીવંત પદાર્થનું એકીકૃત ક્ષેત્ર બનાવે છે જેના દ્વારા બ્રહ્માંડમાં બધું જોડાયેલું છે. નેટવર્ક ફેબ્રિકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જેમાં સ્ફટિકીય પ્રોજેક્ટ્સના સ્તરો અભિવ્યક્તિ, સહાયક સ્વરૂપ અને ચેતનામાં વણાયેલા છે. નેટવર્ક ઉર્જા એ બ્રહ્માંડનો ખૂબ જ સાર અને ફેબ્રિક છે.

ભૌમિતિક આકારો એ સ્ફટિકીય રચનાઓ છે જે ચેતના અને પદાર્થના સ્વરૂપોના બહુપરીમાણીય સ્તરો બનાવે છે. તેઓ ફ્રીક્વન્સી બિલ્ડીંગ બ્લોક્સ અને ધ્વનિ ટોન તરીકે કાર્ય કરે છે જેમાંથી શરીરની મૂળભૂત પેટર્ન રચાય છે. ભૌમિતિક સ્વરૂપો તે છે જે સમય અને અવકાશમાં ચેતનાના સ્વરૂપોને પ્રોજેક્ટ કરે છે અને વિસ્તરે છે, અને ચેતનાના શરીરને મુખ્ય કેન્દ્રમાં પરત કરે છે. તેઓ સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં અવકાશ અને સમયને અનુભવતા તમામ પદાર્થો, બંધારણો અને જીવવિજ્ઞાનનો ભૌમિતિક પાયો નાખે છે. આ મૂળભૂત ભૌમિતિક સંસ્થાઓ એકસાથે અનેક પરિમાણોમાં આગળ વધીને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રો બનાવે છે, અને આ ક્ષેત્રો કેવી રીતે પ્રગટ થાય છે અને ભૌતિક સ્વરૂપોનું નિર્માણ કરે છે તેનું નિયંત્રણ કરે છે. પ્લેટોનિક સોલિડ્સ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રો અને ચેતનાનું સ્ફટિકીય મેટ્રિક્સ બનાવે છે જે બ્રહ્માંડની દરેક વસ્તુને પ્રસરે છે અને જોડે છે.

પવિત્ર ભૂમિતિ

પ્લેટોનિક સોલિડ્સના મૂળભૂત ભૌમિતિક આકારો જૂથોમાં ગોઠવાયેલા છે, જેમાંથી આદેશોના વધુ જટિલ સેટ અને ભૌમિતિક કોડ્સ. તમામ ભૌતિક સ્વરૂપો અને ચેતનાની ઊર્જા આ મૂળભૂત જૂથો અને ભૌમિતિક કોડિંગ સેટિંગ્સના આધારે રચાયેલ છે. આ મૂળભૂત પરમાણુ માળખું અને ફોર્મની આનુવંશિકતા, તેની લાક્ષણિકતાઓ અને વ્યક્તિત્વ નક્કી કરે છે. પવિત્ર ભૂમિતિ સાથે કામ કરવું એ પ્લેટોનિક સોલિડ્સ દ્વારા નિર્ધારિત ભૌમિતિક પેટર્નના જૂથો સાથે કામ કરે છે. નોંધ કરો કે આ જૂથો ચોક્કસ એન્કોડિંગ બનાવે છે જે પ્રકાશ અને ધ્વનિ તરંગોને એકસાથે અનેક પરિમાણોમાં બહુવિધ અભિવ્યક્તિઓ બનાવવા માટે નિર્દેશિત કરે છે. આ ભૌમિતિક કોડ તમામ વ્યક્તિગત સ્વરૂપોમાં અભિવ્યક્તિની મૂળભૂત પેટર્ન ધરાવે છે. તેઓ મૂળભૂત માળખાને પણ સમર્થન આપે છે જે બ્રહ્માંડની તમામ વસ્તુઓની અંદર ચેતના બનાવે છે. આ મૂળભૂત ભૌમિતિક કોડને પુનઃરૂપરેખાંકિત કરીને આકારોના અભિવ્યક્તિ ગુણધર્મોને બદલી અથવા અનુકૂલિત કરી શકાય છે.

પવિત્ર ભૂમિતિ સમગ્ર બ્રહ્માંડના પ્રોજેક્ટ્સ માટે તમામ સૂચનાઓ અને બિલ્ડીંગ બ્લોક્સ ધરાવે છે, અવ્યક્ત વિશ્વોથી પ્રગટ સુધી, અને તે તમામ સ્વરૂપો અને ચેતનાનો આધાર છે. પવિત્ર ભૂમિતિ એ ચેતનાની પેટર્ન છે. દરેક સ્તરે, ક્વોન્ટમથી લઈને વિશાળ ગ્રહો અને ખગોળશાસ્ત્રીય સંસ્થાઓ સુધી, વૃદ્ધિ, પરિવર્તન અથવા હિલચાલની દરેક પેટર્ન એક અથવા વધુ ભૌમિતિક સ્વરૂપો સાથે ગાણિતિક ચોકસાઇને અનુરૂપ છે. પવિત્ર ભૂમિતિ એ એક પ્રાચીન આધ્યાત્મિક વિજ્ઞાન છે જે બ્રહ્માંડમાં સહજ હોય ​​તેવા ગાણિતિક દાખલાઓનો અભ્યાસ કરે છે અને બ્રહ્માંડ પોતાને કેવી રીતે ગોઠવે છે તે ચોક્કસ રીતે શોધે છે. પવિત્ર ભૂમિતિ, ગાણિતિક સ્વરૂપમાં, સંખ્યાઓ અને ભૂમિતિ દ્વારા તમામ વસ્તુઓના અંતર્ગત મૂળભૂત જોડાણને દર્શાવે છે, જે દૈવી અનંત કેલ્ક્યુલસમાં તમામ સર્જન પાછળ છુપાયેલ ક્રમને સાબિત કરે છે. "ભગવાન ગણિત છે" અને પવિત્ર ભૂમિતિ એ બ્રહ્માંડની તમામ પ્રકારની રચના પાછળની ભાષા છે તેવી મહાન સમજણ વિભાજનની ભાવનાને બદલે એકતાનું બ્રહ્માંડ વિજ્ઞાન બનાવે છે.

પ્રકૃતિનું અન્વેષણ કરવા, આત્મા-આત્માની રચના માટેના હેતુ અને જરૂરિયાતને સમજવા માટે ધ્યાન અથવા ચિંતન દ્વારા પવિત્ર ભૂમિતિની સમજ મહત્વપૂર્ણ છે. આપણી અનન્ય આત્માની પેટર્ન ગાણિતિક પેટર્ન અને ભૌમિતિક આકારો ધરાવે છે જે આપણી ચેતનાની પેટર્ન નક્કી કરે છે. જેમ જેમ આપણે ચેતનાની આ રચનાઓનો અભ્યાસ કરીએ છીએ તેમ, આપણે ગાણિતિક પેટર્ન અને કોડ્સની ઊંડી સમજણ મેળવીએ છીએ જે આપણી જાતને, બ્રહ્માંડ અને ભગવાન સાથેના આપણા સંબંધની પ્રકૃતિના પ્રતીકવાદને દર્શાવે છે.

દરેક વસ્તુમાં એક પેટર્ન હોય છે જે ડિઝાઇનને નીચે આપે છે, ચોક્કસ ઘટનાઓની રચનાની ચાવી છે અને તે આપણી ચેતના અથવા દ્રષ્ટિને અસર કરે છે. પ્રકૃતિના સામ્રાજ્યોના કુદરતી ફેરફારો અને હલનચલનનો અભ્યાસ કરીને, પ્રકૃતિમાં રહેલી ભૂમિતિ, આપણે પ્રકૃતિ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે વિશેની માહિતીનો ભંડાર મેળવીએ છીએ. બધા સ્વરૂપો બનાવટના લિંગ સિદ્ધાંત અનુસાર ઉત્પન્ન થાય છે. દરેક વસ્તુ માતા અને પિતાના સિદ્ધાંતોને જોડીને બનાવવામાં આવી છે.

અનુવાદ:

સુવેરોવ મિખાઇલ, 10મા ધોરણનો વિદ્યાર્થી

આ કાર્ય ટેટ્રાહેડ્રોન, ઓક્ટાહેડ્રોન, હેક્ઝાહેડ્રોન (ક્યુબ), ડોડેકેહેડ્રોન અને આઇકોસેડ્રોન જેવા નિયમિત બહુકોણના ઉપયોગ દ્વારા બ્રહ્માંડની રચના પર પ્રાચીન ગ્રીક ફિલસૂફ પ્લેટોના મંતવ્યોનું વર્ણન કરવા માટે સમર્પિત છે. આધુનિક ગણિતમાં, આ સંસ્થાઓને પ્લેટોનિક સંસ્થાઓ કહેવામાં આવે છે.

આધુનિક કુદરતી વિજ્ઞાન સિદ્ધાંતોમાં પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તે પ્રશ્ન પણ આ કાર્ય પ્રતિબિંબિત કરે છે.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com

સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:

ભૂમિતિ પર સંશોધન કાર્ય. વિષય: "પ્લેટોનિક સોલિડ્સ" આના દ્વારા તૈયાર: સુવેરોવ વિદ્યાર્થી મિખાઇલ સુવોરોવ ગણિતના શિક્ષક મરિના વેલેરીવના ખાર્કોવ

પ્લેટો (427–347 બીસી) - મહાન પ્રાચીન ગ્રીક ફિલસૂફ, સોક્રેટીસના વિદ્યાર્થી, એકેડેમીના સ્થાપક. ગણિતના ઈતિહાસમાં પ્લેટોની મુખ્ય યોગ્યતા એ છે કે તેણે માન્યતા આપી હતી કે દરેક શિક્ષિત વ્યક્તિ માટે ગણિતનું જ્ઞાન જરૂરી છે. ગણિતમાં પ્લેટોનો ફાળો નજીવો છે. જો કે, ગણિતની રચના અને પદ્ધતિઓ અંગેના તેમના વિચારો અત્યંત મૂલ્યવાન છે. તેમણે દોષરહિત વ્યાખ્યાઓ આપવાની અને સાબિતી વિના ગાણિતિક બાબતોમાં કઈ સ્થિતિ સ્વીકારી શકાય તે નક્કી કરવાની પરંપરા રજૂ કરી. વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિતીની પદ્ધતિને સાબિત કરનાર પ્લેટો પ્રથમ હતા, જે હવે ભૂમિતિમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. પ્લેટોની શાળામાં ખાસ ધ્યાનબાંધકામ સમસ્યાઓ ઉકેલવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું. આનો આભાર, તેણીએ પોઈન્ટના ભૌમિતિક સ્થાનની વિભાવનાની રચના કરી, અને બાંધકામની સમસ્યાઓ હલ કરવા માટેની તકનીક પણ વિકસાવી. બહિર્મુખ નિયમિત પોલિહેડ્રા - ટેટ્રાહેડ્રોન, ઓક્ટાહેડ્રોન, હેક્ઝાહેડ્રોન (ક્યુબ), ડોડેકેહેડ્રોન અને આઇકોસેડ્રોન - સામાન્ય રીતે પ્લેટોનિક ઘન કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા: પ્લેટોનિયન સોલિડ્સ - ગ્રીકમાંથી. પ્લેટો 427-347 પૂર્વે. – ત્રિ-પરિમાણીય વિશ્વના તમામ નિયમિત પોલિહેડ્રા [એટલે ​​કે, સમાન નિયમિત બહુકોણ દ્વારા બંધાયેલા વોલ્યુમેટ્રિક બોડીઝ] ની સંપૂર્ણતા, સૌપ્રથમ પ્લેટો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.

નિયમિત બહુકોણ એ સમાન બાજુઓ અને સમાન આંતરિક ખૂણાઓ સાથે સીધી રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિ છે. ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં નિયમિત બહુકોણનું એનાલોગ એ નિયમિત પોલિહેડ્રોન છે: નિયમિત બહુકોણના આકારમાં સમાન ચહેરાઓ અને શિરોબિંદુઓ પર સમાન પોલિહેડ્રલ ખૂણાઓ સાથેની અવકાશી આકૃતિ. ત્યાં ફક્ત પાંચ નિયમિત બહિર્મુખ પોલિહેડ્રા છે: નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન, ક્યુબ, ઓક્ટાહેડ્રોન, ડોડેકાહેડ્રોન અને આઇકોસાહેડ્રોન.

પ્લેટોનિક સોલિડ્સની રચનાનો ઇતિહાસ. ચાર પોલિહેડ્રોન તેમાં ચાર એસેન્સ અથવા "તત્વો" ને વ્યક્ત કરે છે. ટેટ્રાહેડ્રોન અગ્નિનું પ્રતીક છે, કારણ કે તેની ટોચ ઉપરની તરફ છે; આઇકોસાહેડ્રોન - પાણી, કારણ કે તે સૌથી "સુવ્યવસ્થિત" બહુહેડ્રોન છે; ક્યુબ - પૃથ્વી, સૌથી "સ્થિર" બહુહેડ્રોન તરીકે; ઓક્ટાહેડ્રોન - હવા, સૌથી "હવાદાર" પોલિહેડ્રોન તરીકે. પાંચમો પોલિહેડ્રોન, ડોડેકેહેડ્રોન, "અસ્તિત્વમાં છે તે બધું" મૂર્ત સ્વરૂપ આપે છે.

ટેટ્રાહેડ્રોન પ્રાચીન ગ્રીક લોકોએ ચહેરાની સંખ્યાના આધારે પોલિહેડ્રોનને નામ આપ્યું હતું. “ટેટ્રા” નો અર્થ ચાર, “હેડ્રા” નો અર્થ ચહેરો (ટેટ્રાહેડ્રોન એ ટેટ્રાહેડ્રોન છે). પોલિહેડ્રોન નિયમિત પોલિહેડ્રાને દર્શાવે છે અને તે પાંચ પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોમાંથી એક છે. ટેટ્રાહેડ્રોનમાં નીચેની લાક્ષણિકતાઓ છે: ચહેરાનો પ્રકાર - નિયમિત ત્રિકોણ; ચહેરા પર બાજુઓની સંખ્યા 3 છે; ચહેરાઓની કુલ સંખ્યા 4 છે; શિરોબિંદુને અડીને ધારની સંખ્યા 3 છે; શિરોબિંદુઓની કુલ સંખ્યા 4 છે; પાંસળીઓની કુલ સંખ્યા 6 છે; નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન ચાર સમભુજ ત્રિકોણથી બનેલું હોય છે. તેના દરેક શિરોબિંદુ ત્રણ ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ છે. તેથી, દરેક શિરોબિંદુ પરના સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે. ટેટ્રાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાનું કોઈ કેન્દ્ર નથી, પરંતુ તેમાં સમપ્રમાણતાના 3 અક્ષો અને સમપ્રમાણતાના 6 સમતલ છે.

હેક્ઝાહેડ્રોન (વધુ સામાન્ય નામ ક્યુબ છે) પ્રાચીન ગ્રીક લોકોએ ચહેરાઓની સંખ્યાના આધારે પોલિહેડ્રોનને નામ આપ્યું હતું. "હેક્સો" નો અર્થ છ, "હેડ્રા" નો અર્થ થાય છે ચહેરો (હેક્ઝાહેડ્રોન એક ષટ્કોણ છે). પોલિહેડ્રોન નિયમિત પોલિહેડ્રાનો સંદર્ભ આપે છે અને તે પાંચ પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોમાંથી એક છે. હેક્સાહેડ્રોનમાં નીચેની લાક્ષણિકતાઓ છે: ચહેરા પર બાજુઓની સંખ્યા 4 છે; ચહેરાઓની કુલ સંખ્યા 6 છે; શિરોબિંદુને અડીને ધારની સંખ્યા 3 છે; શિરોબિંદુઓની કુલ સંખ્યા 8 છે; પાંસળીની કુલ સંખ્યા 12 છે; હેક્ઝાહેડ્રોન છ ચોરસનો બનેલો છે. ઘનનું દરેક શિરોબિંદુ એ ત્રણ ચોરસનું શિરોબિંદુ છે. તેથી, દરેક શિરોબિંદુ પર સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો 270° છે. હેક્ઝાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાનું કોઈ કેન્દ્ર નથી, પરંતુ સપ્રમાણતાના 3 અક્ષો અને સમપ્રમાણતાના 6 સમતલ છે.

આઇકોસાહેડ્રોન પ્રાચીન ગ્રીક લોકોએ ચહેરાઓની સંખ્યાના આધારે પોલિહેડ્રોનને નામ આપ્યું હતું. "ઇકોસી" નો અર્થ વીસ, "હેડ્રા" નો અર્થ ચહેરો (આઇકોસાહેડ્રોન - વીસ બાજુ). પોલિહેડ્રોન નિયમિત પોલિહેડ્રા સાથે સંબંધિત છે અને તે પાંચ પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોમાંથી એક છે. આઇકોસાહેડ્રોનમાં નીચેની લાક્ષણિકતાઓ છે: ચહેરાનો પ્રકાર - નિયમિત ત્રિકોણ; ચહેરા પર બાજુઓની સંખ્યા 3 છે; ચહેરાઓની કુલ સંખ્યા 20 છે; શિરોબિંદુને અડીને ધારની સંખ્યા 5 છે; શિરોબિંદુઓની કુલ સંખ્યા 12 છે; પાંસળીની કુલ સંખ્યા 30 છે; નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન વીસ સમબાજુ ત્રિકોણથી બનેલું છે. આઇકોસાહેડ્રોનનું દરેક શિરોબિંદુ પાંચ ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ છે. તેથી, દરેક શિરોબિંદુ પર સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો 270° છે. આઇકોસાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે - આઇકોસાહેડ્રોનનું કેન્દ્ર, સમપ્રમાણતાના 15 અક્ષો અને સપ્રમાણતાના 15 વિમાનો.

ઓક્ટાહેડ્રોન પ્રાચીન ગ્રીક લોકોએ ચહેરાઓની સંખ્યાના આધારે પોલિહેડ્રોનને નામ આપ્યું હતું. “ઓક્ટો” એટલે આઠ, “હેડ્રા” નો અર્થ ચહેરો (ઓક્ટાહેડ્રોન એ અષ્ટાહેડ્રોન છે). પોલિહેડ્રોન નિયમિત પોલિહેડ્રાને દર્શાવે છે અને તે પાંચ પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોમાંથી એક છે. ઓક્ટાહેડ્રોનમાં નીચેની લાક્ષણિકતાઓ છે: ચહેરાનો પ્રકાર - નિયમિત ત્રિકોણ; ચહેરા પર બાજુઓની સંખ્યા 3 છે; ચહેરાઓની કુલ સંખ્યા 8 છે; શિરોબિંદુને અડીને ધારની સંખ્યા 4 છે; શિરોબિંદુઓની કુલ સંખ્યા 6 છે; પાંસળીની કુલ સંખ્યા 12 છે; નિયમિત અષ્ટકોણ આઠ સમભુજ ત્રિકોણથી બનેલું હોય છે. ઓક્ટાહેડ્રોનનું દરેક શિરોબિંદુ ચાર ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ છે. તેથી, દરેક શિરોબિંદુ પર સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો 240° છે. ઓક્ટાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે - અષ્ટાહેડ્રોનનું કેન્દ્ર, સમપ્રમાણતાના 9 અક્ષો અને સમપ્રમાણતાના 9 વિમાનો.

ડોડેકાહેડ્રોન પ્રાચીન ગ્રીકોએ ચહેરાની સંખ્યાના આધારે પોલિહેડ્રોનને નામ આપ્યું હતું. "ડોડેકા" નો અર્થ છે બાર, "હેદ્રા" નો અર્થ ચહેરો (ડોડેકાહેડ્રોન - ડોડેકાહેડ્રોન). પોલિહેડ્રોન નિયમિત પોલિહેડ્રા સાથે સંબંધિત છે અને તે પાંચ પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોમાંથી એક છે. ડોડેકાહેડ્રોનમાં નીચેની લાક્ષણિકતાઓ છે: ચહેરાનો પ્રકાર - નિયમિત પેન્ટાગોન; ચહેરા પર બાજુઓની સંખ્યા 5 છે; ચહેરાઓની કુલ સંખ્યા 12 છે; શિરોબિંદુને અડીને ધારની સંખ્યા 3 છે; શિરોબિંદુઓની કુલ સંખ્યા 20 છે; પાંસળીની કુલ સંખ્યા 30 છે; નિયમિત ડોડેકાહેડ્રોન બાર નિયમિત પંચકોણથી બનેલો છે. ડોડેકાહેડ્રોનનું દરેક શિરોબિંદુ એ ત્રણ નિયમિત પંચકોણનું શિરોબિંદુ છે. તેથી, દરેક શિરોબિંદુ પર સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો 324° છે. ડોડેકાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે - ડોડેકેહેડ્રોનનું કેન્દ્ર, સમપ્રમાણતાના 15 અક્ષો અને સપ્રમાણતાના 15 વિમાનો.

વિજ્ઞાનમાં પ્લેટોનિક સોલિડ્સનો ઉપયોગ જોહાન્સ કેપ્લર (1571-1630) - જર્મન ખગોળશાસ્ત્રી. ગ્રહોની ગતિના નિયમો શોધ્યા. 1596 માં, કેપ્લરે એક નિયમનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો જે મુજબ પૃથ્વીના ગોળાની આસપાસ ડોડેકેહેડ્રોનનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે, અને તેમાં એક આઇકોસેહેડ્રોન બંધબેસે છે. ગ્રહોની ભ્રમણકક્ષા વચ્ચેનું અંતર એકબીજાની અંદર રહેલા પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોના આધારે મેળવી શકાય છે. આ મૉડલનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ અંતર સાચાની તદ્દન નજીક હતા.

વી. મકારોવ અને વી. મોરોઝોવ માને છે કે પૃથ્વીના મૂળમાં વધતા સ્ફટિકના આકાર અને ગુણધર્મો છે, જે ગ્રહ પર થતી તમામ કુદરતી ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓ અને પ્રક્રિયાઓના વિકાસને પ્રભાવિત કરે છે. આ વધતા સ્ફટિકનું બળ ક્ષેત્ર આઇકોસેહેડ્રોન - પૃથ્વીનું ડોડેકેહેડ્રલ માળખું (IDSZ) નક્કી કરે છે. આ પોલિહેડ્રા એકબીજામાં અંકિત છે. તમામ કુદરતી વિસંગતતાઓ, તેમજ સંસ્કૃતિના વિકાસના કેન્દ્રો, આ આંકડાઓના શિરોબિંદુઓ અને ધારને અનુરૂપ છે.

ઉદાહરણો: કેટલાક નિયમિત પોલિહેડ્રા સ્ફટિકીય વાયરસ તરીકે પ્રકૃતિમાં જોવા મળે છે. પોલિયો વાયરસ ડોડેકેહેડ્રોન જેવો આકાર ધરાવે છે. તે ફક્ત માનવ અથવા પ્રાઈમેટ કોષોમાં જીવી શકે છે અને પ્રજનન કરી શકે છે. માઇક્રોસ્કોપિક સ્તરે, ડોડેકેહેડ્રોન અને આઇકોસાહેડ્રોન એ ડીએનએના સંબંધિત પરિમાણો છે જેના પર તમામ જીવનનું નિર્માણ થાય છે. તમે જોઈ શકો છો કે ડીએનએ પરમાણુ એક ક્યુબમાં ફરે છે.

પ્લેટોના ઘન પદાર્થોનો ઉપયોગ ક્રિસ્ટલોગ્રાફીમાં કરવામાં આવ્યો છે વિશાળ એપ્લિકેશનક્રિસ્ટલોગ્રાફીમાં, કારણ કે ઘણા સ્ફટિકો નિયમિત પોલિહેડ્રાનો આકાર ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્યુબ એ ટેબલ સોલ્ટ (NaCl) નું સિંગલ ક્રિસ્ટલ છે, એક ઓક્ટાહેડ્રોન પોટેશિયમ ફટકડીનું એક સ્ફટિક છે, હીરાના સ્ફટિકોના સ્વરૂપોમાંનું એક ઓક્ટાહેડ્રોન છે.

http:// www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm http:// www.mnogogranniki.ru/stati/129-svojstva-platonovyh-tel.html stepanov.lk.net http:// /www.goldenmuseum.com/0213Solids_rus.html