ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્કેચ. ફંક્શનના ગ્રાફનું સ્કેચ (અપૂર્ણાંક-ચતુર્ભુજ કાર્યના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને). વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

1. કાર્ય ગ્રાફના સ્કેચ બનાવવા માટેની પદ્ધતિ

2. ઉદાહરણ નંબર 1 નો ઉકેલ

3. ઉદાહરણ નંબર 2 નો ઉકેલ

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો


પ્લોટીંગ કાર્ય આલેખ. . . . . . . . . . . .
1. આલેખ બનાવતી વખતે કાર્યનો અભ્યાસ કરવાની યોજના. .
2. મૂળભૂત ખ્યાલો અને કાર્ય સંશોધનના તબક્કા. . . .
1. ફંક્શન D f અને સેટનું ડોમેન
ફંક્શન E f ની કિંમતો. ખાસ ગુણધર્મો
કાર્યો . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. એસિમ્પ્ટોટ્સનો અભ્યાસ. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. ત્રાંસી (આડી) એસિમ્પ્ટોટ્સ. . . . . . .
2.3. બિન-વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિઓ. .
2.4. કાર્ય ગ્રાફની સંબંધિત સ્થિતિ
અને તેના એસિમ્પ્ટોટ્સ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. ફંક્શનના ગ્રાફનું સ્કેચિંગ. . . . . . . . . .
4. વધતા અને ઘટતા કાર્યના વિભાગો
ન્યૂનતમ અને મહત્તમ પોઈન્ટ. . . . . . . . . . . . . . .
5. બહિર્મુખ કાર્ય ઉપર અને નીચે
ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. ફંક્શનનું ભિન્નતા, વિશ્લેષણાત્મક
જેની અભિવ્યક્તિ એક મોડ્યુલ ધરાવે છે. . . . . . . . . . . . .
4. સંશોધન પરિણામો માટે મૂળભૂત આવશ્યકતાઓ
અને કાવતરું. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. કાર્ય સંશોધન અને બાંધકામના ઉદાહરણો
કાર્ય આલેખ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ઉદાહરણ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ઉદાહરણ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ઉદાહરણ 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ઉદાહરણ 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ઉદાહરણ 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ઉદાહરણ 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
રેખાંકન વણાંકો. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. વણાંકોના સંશોધન અને બાંધકામ માટેની યોજના. . . . . . . . . .

2. મૂળ ખ્યાલો અને વળાંક સંશોધનના તબક્કા. . . . .
	x x t અને y y t કાર્યોનો અભ્યાસ. . . . . . .
	સંશોધન પરિણામોનો ઉપયોગ x x t . .
2.1. વળાંકના વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ. . . . . . . . . . .
2.2. વળાંકના ઢોળાવ (આડા) એસિમ્પ્ટોટ્સ. .
	પરિણામોનું વિશ્લેષણ અને સ્કેચનું નિર્માણ
કાર્ય ગ્રાફિક્સ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. વધતા અને ઘટતા વળાંકના વિભાગો
કાર્યોના ન્યૂનતમ અને મહત્તમ બિંદુઓ
x x y અને y y x , વળાંકના કુસ્પ પોઈન્ટ. . . . . . .
	બહિર્મુખ કાર્ય ઉપર અને નીચે. ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ. .
3. પેરામેટ્રિકલી સ્પષ્ટ કરેલ વળાંકોનું બાંધકામ. . . . . .
ઉદાહરણ 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ઉદાહરણ 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ઉદાહરણ 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમસ્યાઓ. . . . . .
જવાબો. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ગ્રાફિંગ કાર્યો

1. ગ્રાફ બનાવતી વખતે ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવાની યોજના બનાવો

1. કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો. ફંક્શનના બહુવિધ મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેવું ઘણીવાર ઉપયોગી છે. ફંક્શનના વિશેષ ગુણધર્મોનું અન્વેષણ કરો: સમ, વિચિત્ર; સામયિકતા, સમપ્રમાણતા ગુણધર્મો.

2. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સનું અન્વેષણ કરો: વર્ટિકલ, ઓબ્લિક. ફંક્શનના ગ્રાફની સંબંધિત સ્થિતિ અને તેના વલણવાળા (આડા) એસિમ્પ્ટોટ્સનું વિશ્લેષણ કરો.

3. ગ્રાફનો સ્કેચ દોરો.

4. કાર્યની એકવિધતાના ક્ષેત્રો શોધો: વધતા અને ઘટતા. ફંક્શનની સીમા શોધો: ન્યૂનતમ અને મહત્તમ.

ફંક્શનના ડેરિવેટિવના ડિસકોન્ટિન્યુટી પોઈન્ટ્સ પર અને ફંક્શનની ડેરિવેટિવ્ઝ ડેરિવેટિવ્ઝના ડોમેનના બાઉન્ડ્રી પોઈન્ટ પર એકતરફી ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો (જો એકતરફી ડેરિવેટિવ અસ્તિત્વમાં હોય તો).

5. ફંક્શનના બહિર્મુખ અંતરાલો અને ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ શોધો.

2. મૂળભૂત ખ્યાલો અને કાર્ય સંશોધનના તબક્કા

1. ફંક્શન ડોમેનડીએફ અને ઘણા અર્થો

કાર્ય E f નું કાર્ય વિશેષ કાર્ય ગુણધર્મો

ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનને સૂચવો, તેને એબ્સીસા અક્ષ પર બાઉન્ડ્રી પોઈન્ટ અને પંચર પોઈન્ટ સાથે ચિહ્નિત કરો અને આ પોઈન્ટના એબ્સીસાસને સૂચવો. ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધવું જરૂરી નથી.

બહુવિધ કાર્ય મૂલ્યો શોધવા માટે તે જરૂરી નથી. મૂલ્યોના સમૂહના સહેલાઈથી અભ્યાસ કરેલ ગુણધર્મો: બિન-નકારાત્મકતા, નીચે અથવા ઉપરથી સીમિતતા, વગેરેનો ઉપયોગ ગ્રાફનું સ્કેચ બનાવવા, અભ્યાસના પરિણામો અને આલેખની શુદ્ધતાને નિયંત્રિત કરવા માટે થાય છે.

x ગમે છે

સમ ફંક્શનનો ગ્રાફ ઓર્ડિનેટ અક્ષ Oy વિશે સપ્રમાણ છે. વિચિત્ર કાર્યનો ગ્રાફ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે. સમ અને વિષમ કાર્યો વ્યાખ્યાના ડોમેનના હકારાત્મક અડધા પર તપાસવામાં આવે છે.

સામયિક કાર્યનો અભ્યાસ એક સમયગાળા પર કરવામાં આવે છે, અને

ચાર્ટ 2-3 સમયગાળા પર બતાવવામાં આવે છે.
2. એસિમ્પ્ટોટ્સનો અભ્યાસ
2.1. વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ
વ્યાખ્યા 1.				x x0		કહેવાય છે		ઊભી
કાર્યના ગ્રાફનું લક્ષણ				y f x,			જો પૂર્ણ થાય
શરતોમાંથી એક:			લિમ એફ x 1				લિમ એફ એક્સ.
			x x0 0				x x0 0
2.2. ત્રાંસી (આડી) એસિમ્પ્ટોટ્સ

noah) ફંક્શનના ગ્રાફનું એસિમ્પ્ટોટ					y f x અને x,
લિમ f x kx b 0 .
					x પર
	એસિમ્પ્ટોટની વ્યાખ્યા
ક્લિમ		b lim f x kx . અનુરૂપ ગણતરી


મર્યાદા, આપણે એસિમ્પ્ટોટ સમીકરણ y kx b મેળવીએ છીએ.
સમાન નિવેદન જ્યારે કિસ્સામાં સાચું છે

જો k 0 હોય, તો એસિમ્પ્ટોટને ત્રાંસી કહેવામાં આવે છે.
k 0 , પછી એસિમ્પ્ટોટ			y b ને આડી કહેવામાં આવે છે.
વલણ અને આડા ખ્યાલો સમાન રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે.
ફંક્શન y f x ના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ						x પર.

2.3. બિન-વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિઓ x અને for માટે એસિમ્પ્ટોટ્સનો અભ્યાસ

નિયમ અલગથી હાથ ધરવામાં આવે છે.

1 અમે પ્રતીકનો ઉપયોગ એક કેસની પરિપૂર્ણતાનો અર્થ કરવા માટે કરીશું

કેટલાક ખાસ કિસ્સાઓમાં, x અને x પર એસિમ્પ્ટોટ્સનો સંયુક્ત રીતે અભ્યાસ કરવો શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, માટે

1) તર્કસંગત કાર્યો;

2) સમ અને વિચિત્ર કાર્યો, આલેખ માટે કે જેનો અભ્યાસ વ્યાખ્યાના ડોમેનના ભાગ પર કરી શકાય છે.

મુખ્ય ભાગ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ.એસિમ્પ્ટોટ શોધવા માટે, x પર ફંક્શનનો મુખ્ય ભાગ પસંદ કરો. તેવી જ રીતે એક્સ માટે.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યનો મુખ્ય ભાગઅપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગને હાઇલાઇટ કરીને શોધવાનું અનુકૂળ છે:

ઉદાહરણ 1. ફંક્શનના ગ્રાફના ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

f x 2 x 3 x 2 . x 1

f x 2 x 5					o 1 ખાતે	x , પછી સીધા

મે 2 x 5 એ ઇચ્છિત એસિમ્પ્ટોટ છે. ◄

અતાર્કિક કાર્યનો મુખ્ય ભાગવ્યવહારુ ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે, x માટે ટેલર સૂત્ર દ્વારા ફંક્શનને રજૂ કરવાની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને શોધવાનું અનુકૂળ છે.

ઉદાહરણ 2. ફંક્શનના આલેખનું ત્રાંસુ એસિમ્પ્ટોટ શોધો

x4 3 x 1

x પર.

x 4 o1

x માટે, પછી સીધી રેખા		y x 4 એ ઇચ્છિત એસિમ્પ્ટોટ છે.

		અતાર્કિક
		f x 3		શોધવા માટે અનુકૂળ
	ax2 bx c અને		ax3 bx2 cx d

અનુક્રમે સંપૂર્ણ ચોરસ અથવા આમૂલ અભિવ્યક્તિના સંપૂર્ણ સમઘનને અલગ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.

ઉદાહરણ 3. x અને x માટે f x x 2 6 x 14 ફંક્શનના ગ્રાફના ત્રાંસી એસિમ્પટોટ્સ શોધો.

આમૂલ અભિવ્યક્તિમાં, અમે સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ છીએ

x 3 2

5 ફંક્શનનો ગ્રાફ હોવાથી

f x સપ્રમાણ છે

સીધી રેખા x 3 અને સાપેક્ષ

પછી f x ~

x પર.

x 3 2 5

તેથી તે સીધું છે

y x 3 છે

એસિમ્પટોટ x પર, અને સીધી રેખા y 3 x

એસિમ્પ્ટોટ ખાતે

x ◄

એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધવા માટે, તમે મુખ્ય ભાગને અલગ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

ઉદાહરણ 4. f x 4 x 2 x 2 ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો.

f x 2

તે કાર્ય છે

એસિમ્પ્ટોટ ધરાવે છે

y 2 x

અને એસિમ્પ્ટોટ

y 2 x

x .◄ પર

ગુણાતીત કાર્યો માટેબંને પદ્ધતિઓ સ્વીકાર્ય છે

વ્યવહારુ ઉદાહરણો હલ કરતી વખતે એસિમ્પ્ટોટ્સને અનુસરવું.

ટીકા 1. એસિમ્પ્ટોટ્સનો અભ્યાસ કરતી વખતે અતાર્કિક, ગુણાતીત કાર્યો, અને વિધેયો જેની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ મોડ્યુલ ધરાવે છે,બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: x અને x. x અને x પર એસિમ્પ્ટોટ્સનો સંયુક્ત અભ્યાસ અભ્યાસમાં ભૂલો તરફ દોરી શકે છે. x ની મર્યાદા અથવા મુખ્ય ભાગ શોધતી વખતે, x t ચલ બદલવો જરૂરી છે.

2.4. ફંક્શનના ગ્રાફની સંબંધિત સ્થિતિ અને તેના એસિમ્પ્ટોટ્સ

a) જો ફંક્શન y f x માં x પર એસિમ્પટોટ હોય,

વિભેદક છે અને કડક રીતે બહિર્મુખ કિરણ x x 0, પછી ગ્રાફ પર નીચે તરફ છે

ફંક્શનનું ફિક એસિમ્પ્ટોટ (ફિગ. 1.1) ની ઉપર આવેલું છે.

b) જો ફંક્શન y f x માં x પર એસિમ્પટોટ હોય,

તે પછી, કિરણ x x 0 પર વિભેદક અને સખત રીતે બહિર્મુખ છે

ફંક્શનનો ગ્રાફ એસિમ્પ્ટોટ (ફિગ. 1.2) ની નીચે આવેલો છે.

c) ફંક્શનના ગ્રાફના વર્તનના અન્ય કિસ્સાઓ હોઈ શકે છે કારણ કે તે એસિમ્પ્ટોટ તરફ વલણ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, શક્ય છે કે ફંક્શનનો ગ્રાફ અસીમિતને અનંત સંખ્યામાં છેદે છે (ફિગ. 1.3 અને 1.4).

સમાન વિધાન x માટે સાચું છે.

ફંક્શન ગ્રાફના બહિર્મુખતાના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરતા પહેલા, મુખ્ય ભાગને અલગ કરવાની પદ્ધતિમાં ચિહ્ન o 1 દ્વારા ફંક્શન ગ્રાફ અને તેના એસિમ્પ્ટોટ્સની સંબંધિત સ્થિતિઓ નક્કી કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 5. ગ્રાફની સંબંધિત સ્થિતિ નક્કી કરો

ફંક્શન f x 2 x 2 3 x 2 અને તેના લક્ષણો. x 1

x પર 0, પછી ફંક્શનનો ગ્રાફ એસિમ્પ્ટોટિકની નીચે આવેલો છે

તમે y 2 x 5 . ◄

ઉદાહરણ 6. ગ્રાફની સંબંધિત સ્થિતિ નક્કી કરો

કાર્યો f x

x4 3 x 1

અને x માટે તેના એસિમ્પ્ટોટ્સ.

x 2 1

સમાનતા થી

x તે અનુસરે છે કે ફંક્શનનો ગ્રાફ એસિમ્પ્ટોટ y x 4 ની નીચે આવેલો છે. ◄

ઉદાહરણ 7. f x x 2 6 x 14 ફંક્શનના ગ્રાફની સંબંધિત સ્થિતિ અને તેના એસિમ્પટોટ્સ નક્કી કરો.

f x x 3 થી (ઉદાહરણ 3 જુઓ), પછી

x 3 2 5 x 3

ફંક્શનનો ગ્રાફ એસિમ્પ્ટોટ y x 3 ની ઉપર x અને x પર છે. ◄

ઉદાહરણ 8. ગ્રાફની સંબંધિત સ્થિતિ નક્કી કરો

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 અને તેના લક્ષણો.

x 3 6 x 2 તરીકે

2 x 14 x 2 3 14 x 6, પછી ઉપયોગ કરીને

a x 2 3 14 x 6 ,

b x 2 3 , આપણને f x x 2 મળે છે

14x6

3 x 2 3 14 x 6 2

x 2 3

x 2 3 14x 6

x 2 2

તફાવત x પર હકારાત્મક છે

અને x પર નકારાત્મક

તેથી, x પર, કાર્યનો આલેખ એસિમ્પટોટ y x 2 ની નીચે અને x પર, એસિમ્પટોટ y x 2 ની ઉપર છે.◄

એસિમ્પ્ટોટ્સનો અભ્યાસ કરવા માટેની મર્યાદાઓની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ કોઈને ફંક્શનના ગ્રાફ અને તેના એસિમ્પ્ટોટ્સની સંબંધિત સ્થિતિનો અંદાજ લગાવવાની મંજૂરી આપતી નથી.

3. ફંક્શનના ગ્રાફનું સ્કેચિંગગ્રાફનું સ્કેચ બનાવવા માટે, વર્ટિકલ અને

ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ, અક્ષો સાથે ફંક્શનના ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ. ફંક્શનના ગ્રાફની સંબંધિત સ્થિતિ અને એસિમ્પ્ટોટ્સને ધ્યાનમાં લેતા, ગ્રાફનો સ્કેચ બનાવવામાં આવે છે. જો ફંક્શનનો ગ્રાફ એસિમ્પ્ટોટની ઉપર (નીચે) x પર આવેલો છે, તો ધારી રહ્યા છીએ કે

ત્યાં એક બિંદુ x 0 અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે બિંદુઓ x x 0 વચ્ચે કોઈ વળાંકના બિંદુઓ નથી,

આપણે શોધીએ છીએ કે ફંક્શન બહિર્મુખ નીચે તરફ (ઉપરની તરફ) છે, એટલે કે એસિમ્પ્ટોટ તરફ. એ જ રીતે, કોઈ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ માટે એસિમ્પ્ટોટ અને x પર એસિમ્પ્ટોટ માટે બહિર્મુખતાની દિશાનું અનુમાન કરી શકે છે. જો કે, ઉપરનું ઉદાહરણ બતાવે છે તેમ

ફંક્શન y x sin 2 x , જેમ કે ધારણાઓ x ન હોઈ શકે

4. વધતા અને ઘટતા કાર્યના ક્ષેત્રો. ન્યૂનતમ અને મહત્તમ પોઈન્ટ

વ્યાખ્યા 3.	ફંક્શન f x કહેવાય છે	વધારો
(ઘટતા) અંતરાલ પર a, b, જો કોઈ હોય તો		x1, x2 a, b ,
જેમ કે x 1 x 2	અસમાનતા છે	f x1 f x2
(f x1 f x2 ).

ફંક્શન f x અંતરાલ a, b પર તફાવત કરી શકાય તેવું

અંતરાલ પર ઓગળે છે (ઘટે છે) a, b, જો અને માત્ર જો

ફંક્શન f x.

એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ. જો

પોઈન્ટ ભૂતપૂર્વ-

ફંક્શન f x નું tremum, પછી આ બિંદુએ ક્યાં તો

f x 0 0 , અથવા

વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.

એક્સ્ટ્રીમ માટે પૂરતી શરતો.

f x તફાવત

1. ત્યાં 0 અસ્તિત્વમાં રહેવા દો જેમ કે ફંક્શન

બિંદુ x 0 ના પંચર-પડોશમાં રેડિયેબલ છે

અને સતત

બિંદુ x 0 પર પછી,

a) જો તેના વ્યુત્પન્ન ફેરફારો જ્યારે ફરીથી-

બિંદુ દ્વારા પ્રગતિ		x 0 ,

			x x 0 , x 0 , પછી x 0 એ મહત્તમ બિંદુ છે
	x 0 કોઈપણ માટે
કાર્યો f x ;
	b) જો તેના વ્યુત્પન્ન ફેરફારો જ્યારે ફરીથી-
બિંદુ દ્વારા પ્રગતિ		x 0 ,
			તે કોઈપણ x x 0 , x 0 માટે f x 0 ,
			x x 0 , x 0 , પછી x 0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે
	x 0 કોઈપણ માટે

વિધેયો f x .

મોડેલ ઉદાહરણોમાં y x (ફિગ. 2.1) અને શામેલ છે

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ટેલિફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા સાર્વજનિક વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશમાં સરકારી અધિકારીઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

આ પાઠમાં આપણે ફંક્શનના ગ્રાફનું સ્કેચ બનાવવાની ટેકનિક જોઈશું અને સમજૂતીત્મક ઉદાહરણો આપીશું.

વિષય: પુનરાવર્તન

પાઠ: ફંક્શનના ગ્રાફનું સ્કેચિંગ (અપૂર્ણાંક-ચતુર્ભુજ કાર્યના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને)

અમારો ધ્યેય અપૂર્ણાંક ચતુર્ભુજ કાર્યના ગ્રાફને સ્કેચ કરવાનો છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો એક ફંક્શન લઈએ જેનાથી આપણે પહેલાથી જ પરિચિત છીએ:

એક અપૂર્ણાંક કાર્ય આપવામાં આવે છે, જેનો અંશ અને છેદ ચતુર્ભુજ કાર્યો ધરાવે છે.

સ્કેચિંગ તકનીક નીચે મુજબ છે:

1. અચળ ચિહ્નના અંતરાલો પસંદ કરો અને દરેક પર કાર્યની નિશાની નક્કી કરો (આકૃતિ 1)

અમે ઝીણવટપૂર્વક તપાસ કરી અને જાણવા મળ્યું કે ODZ માં સતત રહેતું ફંક્શન માત્ર ત્યારે જ ચિહ્ન બદલી શકે છે જ્યારે દલીલ ODZ ના મૂળ અને વિરામ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય.

આપેલ ફંક્શન y તેના ODZ માં સતત છે; ચાલો ODZ સૂચવીએ:

ચાલો મૂળ શોધીએ:

ચાલો ચિહ્નની સ્થિરતાના અંતરાલોને પ્રકાશિત કરીએ. અમને ફંક્શનના મૂળ અને વ્યાખ્યાના ડોમેનના વિરામ બિંદુઓ મળ્યા છે - છેદના મૂળ. એ નોંધવું અગત્યનું છે કે દરેક અંતરાલમાં ફંક્શન તેની નિશાની સાચવે છે.

ચોખા. 1. ફંક્શનના સતત સંકેતના અંતરાલ

દરેક અંતરાલ પર ફંક્શનની નિશાની નક્કી કરવા માટે, તમે અંતરાલ સાથે સંબંધિત કોઈપણ બિંદુ લઈ શકો છો, તેને ફંક્શનમાં બદલી શકો છો અને તેનું ચિહ્ન નક્કી કરી શકો છો. દાખ્લા તરીકે:

અંતરાલ પર ફંક્શનમાં વત્તાનું ચિહ્ન છે

અંતરાલ પર, ફંક્શનમાં માઈનસ ચિહ્ન છે.

આ અંતરાલ પદ્ધતિનો ફાયદો છે: અમે એક જ અજમાયશ બિંદુ પર ચિહ્ન નક્કી કરીએ છીએ અને નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે ફંક્શનમાં સમગ્ર પસંદ કરેલ અંતરાલ પર સમાન ચિહ્ન હશે.

જો કે, તમે ફંક્શન વેલ્યુની ગણતરી કર્યા વિના, આપમેળે ચિહ્નો સેટ કરી શકો છો, આ કરવા માટે, આત્યંતિક અંતરાલ પર ચિહ્ન નક્કી કરો અને પછી ચિહ્નોને વૈકલ્પિક કરો.

1. ચાલો દરેક મૂળની નજીકમાં એક ગ્રાફ બનાવીએ. યાદ કરો કે આ કાર્યના મૂળ અને:

ચોખા. 2. મૂળની નજીકમાં ગ્રાફ

એક બિંદુએ ફંક્શનની નિશાની વત્તાથી બાદમાં બદલાતી હોવાથી, વળાંક પ્રથમ અક્ષની ઉપર હોય છે, પછી શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે અને પછી x અક્ષની નીચે સ્થિત હોય છે. તે બિંદુ પર વિપરીત છે.

2. ચાલો દરેક ODZ વિરામની નજીકમાં એક ગ્રાફ બનાવીએ. યાદ કરો કે આ ફંક્શનના છેદના મૂળ અને :

ચોખા. 3. ODZ ના વિરામ બિંદુઓની નજીકમાં કાર્યનો ગ્રાફ

જ્યારે અથવા અપૂર્ણાંકનો છેદ વ્યવહારીક રીતે શૂન્ય સમાન હોય છે, તેનો અર્થ એ થાય છે કે જ્યારે દલીલનું મૂલ્ય આ સંખ્યાઓ તરફ વળે છે, ત્યારે અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય અનંત તરફ વળે છે. આ કિસ્સામાં, જ્યારે દલીલ ડાબી બાજુએ ટ્રિપલની નજીક આવે છે, ત્યારે ફંક્શન સકારાત્મક છે અને પ્લસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, જમણી બાજુનું ફંક્શન નકારાત્મક છે અને માઇનસ અનંતથી આગળ વધે છે. ચારની આસપાસ, તેનાથી વિપરિત, ડાબી બાજુએ ફંક્શન માઇનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, અને જમણી બાજુએ તે વત્તા અનંત છોડે છે.

બાંધેલા સ્કેચ મુજબ, આપણે અમુક અંતરાલોમાં ફંક્શનના વર્તનની પ્રકૃતિનો અંદાજ લગાવી શકીએ છીએ.

ચોખા. 4. ફંક્શન ગ્રાફનું સ્કેચ

ચાલો નીચેના મહત્વપૂર્ણ કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ - અનંત પરના બિંદુઓની નજીકમાં ફંક્શનના ગ્રાફનું સ્કેચ બનાવવું, એટલે કે જ્યારે દલીલ વત્તા અથવા ઓછા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, સતત શરતોની અવગણના કરી શકાય છે. અમારી પાસે:

કેટલીકવાર તમે આ હકીકતનું રેકોર્ડિંગ શોધી શકો છો:

ચોખા. 5. અનંત પરના બિંદુઓની નજીકમાં કાર્યના ગ્રાફનું સ્કેચ

અમે વ્યાખ્યાના તેના સમગ્ર ડોમેન પર ફંક્શનની અંદાજિત વર્તણૂક મેળવી છે; પછી આપણે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામને રિફાઇન કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 1 - ફંક્શનનો ગ્રાફ સ્કેચ કરો:

અમારી પાસે ત્રણ બિંદુઓ છે જેના દ્વારા જ્યારે દલીલ પસાર થાય ત્યારે ફંક્શન સાઇન બદલી શકે છે.

અમે દરેક અંતરાલ પર કાર્યના સંકેતો નક્કી કરીએ છીએ. અમારી પાસે આત્યંતિક જમણા અંતરાલ પર વત્તા છે, પછી ચિહ્નો વૈકલ્પિક છે, કારણ કે બધા મૂળમાં પ્રથમ ડિગ્રી હોય છે.

અમે ODZ ના મૂળ અને બ્રેક પોઈન્ટ્સની નજીકમાં ગ્રાફનું સ્કેચ બનાવીએ છીએ. આપણી પાસે છે: એક બિંદુએ ફંક્શનનું ચિહ્ન વત્તાથી બાદમાં બદલાય છે, વક્ર પ્રથમ અક્ષની ઉપર છે, પછી શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે અને પછી x અક્ષની નીચે સ્થિત છે. જ્યારે અથવા અપૂર્ણાંકનો છેદ વ્યવહારીક રીતે શૂન્ય સમાન હોય છે, તેનો અર્થ એ થાય છે કે જ્યારે દલીલનું મૂલ્ય આ સંખ્યાઓ તરફ વળે છે, ત્યારે અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય અનંત તરફ વળે છે. આ કિસ્સામાં, જ્યારે દલીલ ડાબી બાજુએ માઈનસ ટુની નજીક આવે છે, ત્યારે ફંક્શન નકારાત્મક હોય છે અને અનંતતાને બાદ કરે છે, જમણી બાજુએ ફંક્શન પોઝિટિવ હોય છે અને વત્તા અનંતને છોડી દે છે. લગભગ બે સમાન છે.

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

દેખીતી રીતે, વ્યુત્પન્ન હંમેશા શૂન્ય કરતાં ઓછું હોય છે, તેથી, કાર્ય તમામ વિભાગોમાં ઘટે છે. તેથી, માઈનસ અનંતથી માઈનસ બે સુધીના વિભાગમાં, કાર્ય શૂન્યથી માઈનસ અનંત સુધી ઘટે છે; માઈનસ બે થી શૂન્ય સુધીના વિભાગમાં, કાર્ય વત્તા અનંતથી શૂન્ય સુધી ઘટે છે; શૂન્યથી બે વિભાગમાં, કાર્ય શૂન્યથી માઈનસ અનંત સુધી ઘટે છે; બે થી વત્તા અનંત સુધીના વિભાગમાં, કાર્ય વત્તા અનંતથી શૂન્ય સુધી ઘટે છે.

ચાલો સમજાવીએ:

ચોખા. 6. ઉદાહરણ તરીકે 1 ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્કેચ

x પર, પછી ગ્રા-

y 2 x 5 . કારણ કે

કાલ્પનિક કાર્યો આવેલું છે

એસિમ્પ્ટોટ ઉપર

ઉદાહરણ 2 - ફંક્શનનો ગ્રાફ સ્કેચ કરો:

અમે ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કર્યા વિના ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્કેચ બનાવીએ છીએ.

પ્રથમ, ચાલો આપેલ કાર્યની તપાસ કરીએ:

અમારી પાસે એક જ બિંદુ છે જેના દ્વારા જ્યારે દલીલ પસાર થાય છે ત્યારે ફંક્શન સાઇન બદલી શકે છે.

નોંધ કરો કે આપેલ કાર્ય વિચિત્ર છે.

અમે દરેક અંતરાલ પર કાર્યના સંકેતો નક્કી કરીએ છીએ. અમારી પાસે આત્યંતિક જમણા અંતરાલ પર વત્તા છે, પછી ચિહ્ન બદલાય છે, કારણ કે મૂળમાં પ્રથમ ડિગ્રી હોય છે.

અમે રુટની નજીકમાં ગ્રાફનું સ્કેચ બનાવીએ છીએ. આપણી પાસે છે: કારણ કે એક બિંદુએ ફંક્શનનું ચિહ્ન માઈનસથી વત્તામાં બદલાય છે, વક્ર પ્રથમ અક્ષની નીચે છે, પછી શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે અને પછી x-અક્ષની ઉપર સ્થિત છે.

હવે આપણે ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્કેચ બનાવીએ છીએ જે અનંત પરના પોઈન્ટની નજીક છે, એટલે કે જ્યારે દલીલ વત્તા અથવા ઓછા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, સતત શરતોની અવગણના કરી શકાય છે. અમારી પાસે:

ઉપરોક્ત પગલાંઓ કર્યા પછી, આપણે પહેલાથી જ ફંક્શનના ગ્રાફની કલ્પના કરીએ છીએ, પરંતુ આપણે ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને તેને સ્પષ્ટ કરવાની જરૂર છે.

"વ્યુત્પન્ન સમસ્યાઓ" - ?f(x) = f(x) - f(x0). x0 x0+?x. તમે ત્વરિત ગતિની કલ્પના કેવી રીતે કરો છો? ત્વરિત વેગ સમસ્યા. y. તમે ત્વરિત ગતિની કલ્પના કેવી રીતે કરો છો? ?X=x-x0. જે કહેવામાં આવ્યું છે તે ફોર્મમાં લખેલું છે. પ્રથમ, અમે અમારા સંશોધનનો "પ્રદેશ" વ્યાખ્યાયિત કર્યો. A lg o r i t m. ઝડપ v ધીમે ધીમે વધે છે.

"વ્યુત્પન્ન કાર્યનો અભ્યાસ" - તોપ ક્ષિતિજના ખૂણા પર ફાયર કરે છે. વિકલ્પ 1 A B D વિકલ્પ 2 G B B. મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા મેશકોવસ્કાયા માધ્યમિક શાળા ગણિતના શિક્ષક કોવાલેવા ટી.વી. કાર્ય સેગમેન્ટ [-4;4] પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. વ્યુત્પન્ન અને કાર્ય કેવી રીતે સંબંધિત છે? જવાબો: કાર્યના અભ્યાસમાં વ્યુત્પન્નતા લાગુ કરવી: કાર્યોમાં વધારો અને ઘટાડો. TASK બેરોન મુનચૌસેન વિશેની વાર્તા યાદ છે?

"એક જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન" - જટિલ કાર્ય. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવાનો નિયમ. સરળ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. જટિલ કાર્ય: ઉદાહરણો:

"કાર્યોના અભ્યાસ માટે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ" - 6. -1. 8. ફંક્શનના ડેરિવેટિવના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓને ઓળખો. 1. =. જુલાઈ 1, 1646 - નવેમ્બર 14, 1716, વોર્મ-અપ. વધતા અને ઘટતા કાર્યની નિશાની. અંતરાલો પર કાર્યના વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરો.

"જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન પરનો પાઠ" - જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. બિંદુની ઝડપની ગણતરી કરો: a) સમયે t; b) આ ક્ષણે t=2 સે. ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો: , જો. બ્રુક ટેલર. ફંક્શનનો વિભેદક શોધો: x ના કયા મૂલ્યો પર સમાનતા ધરાવે છે. બિંદુ s(t) = s(t) = (s એ મીટરમાં પાથ છે, t એ સેકન્ડમાં સમય છે) કાયદા અનુસાર સચોટ રીતે આગળ વધે છે.

“વ્યુત્પન્નતાની વ્યાખ્યા” - 1. પુરાવો: f(x+ ?x). ચાલો u(x), v(x) અને w(x) ને અમુક અંતરાલ (a; b) માં વિભેદક ફંક્શન હોઈએ, C એ સ્થિરાંક છે. f(x). કોણીય ગુણાંક સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ: ન્યુટનના દ્વિપદી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણી પાસે છે: પ્રમેય. પછી: જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન.

કુલ 31 પ્રસ્તુતિઓ છે

વિષય: પુનરાવર્તન

એક અપૂર્ણાંક કાર્ય આપવામાં આવે છે, જેનો અંશ અને છેદ ચતુર્ભુજ કાર્યો ધરાવે છે.

સ્કેચિંગ તકનીક નીચે મુજબ છે:

1. અચળ ચિહ્નના અંતરાલો પસંદ કરો અને દરેક પર કાર્યની નિશાની નક્કી કરો (આકૃતિ 1)

આપેલ ફંક્શન y તેના ODZ માં સતત છે; ચાલો ODZ સૂચવીએ:

ચાલો મૂળ શોધીએ:

ચોખા. 1. ફંક્શનના સતત સંકેતના અંતરાલ

અંતરાલ પર ફંક્શનમાં વત્તાનું ચિહ્ન છે

અંતરાલ પર, ફંક્શનમાં માઈનસ ચિહ્ન છે.

1. ચાલો દરેક મૂળની નજીકમાં એક ગ્રાફ બનાવીએ. યાદ કરો કે આ કાર્યના મૂળ અને:

ચોખા. 2. મૂળની નજીકમાં ગ્રાફ

ચોખા. 3. ODZ ના વિરામ બિંદુઓની નજીકમાં કાર્યનો ગ્રાફ

ચોખા. 4. ફંક્શન ગ્રાફનું સ્કેચ

ચાલો નીચેના મહત્વપૂર્ણ કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ - અનંત પરના બિંદુઓની નજીકમાં ફંક્શનના ગ્રાફનું સ્કેચ બનાવવું, એટલે કે. જ્યારે દલીલ વત્તા અથવા ઓછા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, સતત શરતોની અવગણના કરી શકાય છે. અમારી પાસે:

કેટલીકવાર તમે આ હકીકતનું રેકોર્ડિંગ શોધી શકો છો:

ચોખા. 5. અનંત પરના બિંદુઓની નજીકમાં કાર્યના ગ્રાફનું સ્કેચ

ઉદાહરણ 1 - ફંક્શનનો ગ્રાફ સ્કેચ કરો:

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

ચાલો સમજાવીએ:

ચોખા. 6. ઉદાહરણ તરીકે 1 ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્કેચ

ઉદાહરણ 2 - ફંક્શનનો ગ્રાફ સ્કેચ કરો:

અમે ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કર્યા વિના ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્કેચ બનાવીએ છીએ.

પ્રથમ, ચાલો આપેલ કાર્યની તપાસ કરીએ:

નોંધ કરો કે આપેલ કાર્ય વિચિત્ર છે.

હવે આપણે અનંત પરના બિંદુઓની નજીકમાં ફંક્શનના ગ્રાફનું સ્કેચ બનાવીએ છીએ, એટલે કે. જ્યારે દલીલ વત્તા અથવા ઓછા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, સતત શરતોની અવગણના કરી શકાય છે. અમારી પાસે:

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

અમે વ્યુત્પન્નના સતત ચિહ્નના અંતરાલો પસંદ કરીએ છીએ: પર. અહીં ODZ. આમ, આપણી પાસે વ્યુત્પન્નના સતત ચિહ્નના ત્રણ અંતરાલો અને મૂળ કાર્યની એકવિધતાના ત્રણ વિભાગો છે. ચાલો દરેક અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો નક્કી કરીએ. ક્યારે વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, કાર્ય વધે છે; જ્યારે વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હોય છે, ત્યારે કાર્ય ઘટતું જાય છે. આ કિસ્સામાં - લઘુત્તમ બિંદુ, કારણ કે વ્યુત્પન્ન ફેરફારો બાદબાકીથી વત્તા સુધીનું ચિહ્ન; તેનાથી વિપરીત, મહત્તમ બિંદુ.