અપૂર્ણાંક કેવી રીતે ઘટાડવો નહીં. વિગતવાર ઉકેલ સાથે બીજગણિત અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટર તમને અપૂર્ણાંક ઘટાડવા અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને યોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાની મંજૂરી આપે છે.
અપૂર્ણાંક અને તેમનો ઘટાડો એ બીજો વિષય છે જે 5મા ધોરણમાં શરૂ થાય છે. અહીં આ ક્રિયાનો આધાર બનાવવામાં આવે છે, અને પછી આ કુશળતાને ઉચ્ચ ગણિતમાં દોરો દ્વારા દોરવામાં આવે છે. જો વિદ્યાર્થી સમજી શકતો નથી, તો તેને બીજગણિતમાં સમસ્યા આવી શકે છે. તેથી, એકવાર અને બધા માટે થોડા નિયમોને સમજવું વધુ સારું છે. અને એક નિષેધ પણ યાદ રાખો અને તેને ક્યારેય તોડશો નહીં.
અપૂર્ણાંક અને તેનો ઘટાડો
દરેક વિદ્યાર્થી જાણે છે કે તે શું છે. આડી રેખા વચ્ચે સ્થિત કોઈપણ બે અંકો તરત જ અપૂર્ણાંક તરીકે જોવામાં આવે છે. જો કે, દરેક જણ સમજી શકતા નથી કે કોઈપણ નંબર તે બની શકે છે. જો તે પૂર્ણાંક છે, તો તેને હંમેશા એક વડે વિભાજિત કરી શકાય છે, અને પછી તમને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક મળશે. પરંતુ તેના પર પછીથી વધુ.
શરૂઆત હંમેશા સરળ હોય છે. પ્રથમ તમારે યોગ્ય અપૂર્ણાંક કેવી રીતે ઘટાડવો તે શોધવાની જરૂર છે. એટલે કે, એક જેમાં અંશ છેદ કરતા ઓછો હોય. આ કરવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતને યાદ રાખવાની જરૂર પડશે. તે જણાવે છે કે જ્યારે તેના અંશ અને છેદનો એક જ સમયે એક જ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર (તેમજ ભાગાકાર) કરવામાં આવે છે, ત્યારે સમકક્ષ અપૂર્ણાંક પ્રાપ્ત થાય છે.
વિભાજન ક્રિયાઓ જે આ મિલકત પર કરવામાં આવે છે અને પરિણામે ઘટાડો થાય છે. એટલે કે, શક્ય તેટલું સરળ બનાવવું. જ્યાં સુધી રેખાની ઉપર અને નીચે સામાન્ય પરિબળો હોય ત્યાં સુધી અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકાય છે. જ્યારે તેઓ લાંબા સમય સુધી ત્યાં નથી, ઘટાડો અશક્ય છે. અને તેઓ કહે છે કે આ અપૂર્ણાંક અફર છે.
બે રીતે
1.પગલું દ્વારા પગલું ઘટાડો.તે એક અંદાજ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે જ્યાં બંને સંખ્યાઓને વિદ્યાર્થીએ નોંધેલ લઘુત્તમ સામાન્ય પરિબળ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. જો પ્રથમ સંકોચન પછી તે સ્પષ્ટ છે કે આ અંત નથી, તો પછી વિભાજન ચાલુ રહે છે. જ્યાં સુધી અપૂર્ણાંક અફર ન થાય ત્યાં સુધી.
2. અંશ અને છેદનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક શોધવો.અપૂર્ણાંક ઘટાડવાની આ સૌથી તર્કસંગત રીત છે. તેમાં અંશ અને છેદને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં ફેક્ટરિંગનો સમાવેશ થાય છે. તેમાંથી, તમારે પછી બધા સમાન પસંદ કરવાની જરૂર છે. તેમનું ઉત્પાદન સૌથી મોટું સામાન્ય પરિબળ આપશે જેના દ્વારા અપૂર્ણાંક ઘટાડવામાં આવે છે.
આ બંને પદ્ધતિઓ સમાન છે. વિદ્યાર્થીને તેમાં નિપુણતા મેળવવા અને તેને સૌથી વધુ ગમતી એકનો ઉપયોગ કરવા પ્રોત્સાહિત કરવામાં આવે છે.
જો અક્ષરો અને સરવાળો અને બાદબાકીની ક્રિયાઓ હોય તો શું?
પ્રશ્નનો પ્રથમ ભાગ વધુ કે ઓછા સ્પષ્ટ છે. અક્ષરોને સંખ્યાની જેમ જ સંક્ષિપ્ત કરી શકાય છે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ મલ્ટિપ્લાયર્સ તરીકે કાર્ય કરે છે. પરંતુ ઘણા લોકોને બીજી સમસ્યા હોય છે.
યાદ રાખવું મહત્વપૂર્ણ! તમે માત્ર તે સંખ્યાઓ ઘટાડી શકો છો જે પરિબળો છે. જો તેઓ સમન્ડ્સ છે, તો તે અશક્ય છે.
બીજગણિત અભિવ્યક્તિનું સ્વરૂપ ધરાવતા અપૂર્ણાંકોને કેવી રીતે ઘટાડવું તે સમજવા માટે, તમારે નિયમ સમજવાની જરૂર છે. પ્રથમ, અંશ અને છેદને ઉત્પાદન તરીકે વ્યક્ત કરો. પછી જો સામાન્ય પરિબળો દેખાય તો તમે ઘટાડી શકો છો. તેને ગુણાકારના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવા માટે, નીચેની તકનીકો ઉપયોગી છે:
- જૂથબંધી;
- કૌંસ
- સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર ઓળખનો ઉપયોગ.
તદુપરાંત, પછીની પદ્ધતિ ગુણાકારના સ્વરૂપમાં શરતોને તરત જ મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે. તેથી, જો જાણીતી પેટર્ન દેખાતી હોય તો તેનો હંમેશા ઉપયોગ કરવો જોઈએ.
પરંતુ આ હજુ સુધી ડરામણી નથી, પછી ડિગ્રી અને મૂળ સાથેના કાર્યો દેખાય છે. ત્યારે તમારે હિંમત મેળવવાની અને કેટલાક નવા નિયમો શીખવાની જરૂર છે.
ડિગ્રી સાથે અભિવ્યક્તિ
અપૂર્ણાંક. અંશ અને છેદ ઉત્પાદન છે. ત્યાં અક્ષરો અને સંખ્યાઓ છે. અને તેઓ એક શક્તિમાં પણ ઉછરે છે, જેમાં શરતો અથવા પરિબળો પણ હોય છે. ડરવા જેવું કંઈક છે.
શક્તિઓ સાથે અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે ઘટાડવો તે સમજવા માટે, તમારે બે બાબતો શીખવાની જરૂર પડશે:
- જો ઘાતાંકમાં સરવાળો હોય, તો તે પરિબળોમાં વિઘટિત થઈ શકે છે, જેની સત્તાઓ મૂળ શરતો હશે;
- જો તફાવત હોય, તો ડિવિડન્ડ અને વિભાજક, પ્રથમ પાસે પાવરનો લઘુત્તમ હશે, બીજા પાસે સબટ્રાહેન્ડ હશે.
આ પગલાંઓ પૂર્ણ કર્યા પછી, કુલ ગુણક દૃશ્યમાન બને છે. આવા ઉદાહરણોમાં બધી શક્તિઓની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી. સમાન ઘાતાંક અને પાયા સાથે માત્ર ડિગ્રી ઘટાડવા માટે તે પૂરતું છે.
સત્તા સાથે અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે ઘટાડવો તે આખરે માસ્ટર કરવા માટે, તમારે ઘણી પ્રેક્ટિસની જરૂર છે. ઘણા સમાન ઉદાહરણો પછી, ક્રિયાઓ આપમેળે કરવામાં આવશે.
જો અભિવ્યક્તિમાં રુટ હોય તો શું?
તેને ટૂંકી પણ કરી શકાય છે. માત્ર ફરીથી, નિયમોને અનુસરીને. તદુપરાંત, ઉપર વર્ણવેલ બધા સાચા છે. સામાન્ય રીતે, જો પ્રશ્ન એ છે કે મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે ઘટાડવો, તો તમારે વિભાજન કરવાની જરૂર છે.
તેને અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓમાં પણ વિભાજિત કરી શકાય છે. એટલે કે, જો અંશ અને છેદ સમાન પરિબળો ધરાવે છે, જે મૂળની નિશાની હેઠળ બંધ છે, તો પછી તેઓ સુરક્ષિત રીતે ઘટાડી શકાય છે. આ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવશે અને કાર્ય પૂર્ણ કરશે.
જો, ઘટાડા પછી, અતાર્કિકતા અપૂર્ણાંક રેખા હેઠળ રહે છે, તો તમારે તેનાથી છૂટકારો મેળવવાની જરૂર છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેના દ્વારા અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરો. જો આ ઓપરેશન પછી સામાન્ય પરિબળો દેખાય, તો તેમને ફરીથી ઘટાડવાની જરૂર પડશે.
તે કદાચ અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે ઘટાડવું તે વિશે છે. ત્યાં થોડા નિયમો છે, પરંતુ માત્ર એક પ્રતિબંધ. શરતો ક્યારેય ટૂંકી ન કરો!
વિભાગઅને તેમના પરના અપૂર્ણાંકનો અંશ અને છેદ સામાન્ય વિભાજક , એકથી અલગ, કહેવાય છે અપૂર્ણાંક ઘટાડવો.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકને ઘટાડવા માટે, તમારે તેના અંશ અને છેદને સમાન કુદરતી સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવાની જરૂર છે.
આ સંખ્યા આપેલ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક છે.
નીચેના શક્ય છે નિર્ણય રેકોર્ડિંગ ફોર્મ્સસામાન્ય અપૂર્ણાંકો ઘટાડવા માટેના ઉદાહરણો.
વિદ્યાર્થીને રેકોર્ડિંગનું કોઈપણ સ્વરૂપ પસંદ કરવાનો અધિકાર છે.
ઉદાહરણો. અપૂર્ણાંકોને સરળ બનાવો.
અપૂર્ણાંકને 3 વડે ઘટાડો (અંશને 3 વડે વિભાજીત કરો;
છેદને 3 વડે વિભાજીત કરો).
અપૂર્ણાંકને 7 વડે ઘટાડો.
અમે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં દર્શાવેલ ક્રિયાઓ કરીએ છીએ.
પરિણામી અપૂર્ણાંક 5 દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે.
ચાલો આ અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ 4)
પર 5·7³- અંશ અને છેદનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક (GCD), જેમાં અંશ અને છેદના સામાન્ય અવયવોનો સમાવેશ થાય છે, જેને સૌથી નાના ઘાતાંક સાથે ઘાત પર લેવામાં આવે છે.
ચાલો આ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ.
અમને મળે છે: 756=2²·3³·7અને 1176=2³·3·7².
અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદના GCD (સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજક) નક્કી કરો 5) .
આ સૌથી ઓછા ઘાતાંક સાથે લેવામાં આવેલા સામાન્ય પરિબળોનું ઉત્પાદન છે.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
અમે આ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને તેમના gcd દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, એટલે કે. 2²·3·7અમને એક અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક મળે છે 9/14
.
અથવા અંશ અને છેદના વિઘટનને અવિભાજ્ય પરિબળોના ઉત્પાદનના રૂપમાં લખવાનું શક્ય હતું, પાવરના ખ્યાલનો ઉપયોગ કર્યા વિના, અને પછી અંશ અને છેદમાં સમાન પરિબળોને વટાવીને અપૂર્ણાંકને ઘટાડી શકાય છે. જ્યારે કોઈ સમાન અવયવ બાકી ન હોય, ત્યારે આપણે બાકીના અવયવોને અંશમાં અને છેદમાં અલગથી ગુણાકાર કરીએ છીએ અને પરિણામી અપૂર્ણાંક લખીએ છીએ. 9/14 .
અને છેવટે, આ અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનું શક્ય હતું 5) ક્રમશઃ, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બંને માટે સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાના સંકેતો લાગુ કરવા. ચાલો આના જેવું વિચારીએ: સંખ્યાઓ 756 અને 1176 એક સમાન સંખ્યામાં સમાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે બંને વડે વિભાજ્ય છે 2 . દ્વારા અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ છીએ 2 . નવા અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ એ સંખ્યાઓ છે 378 અને 588 માં પણ વિભાજિત 2 . દ્વારા અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ છીએ 2 . અમે નોંધ્યું છે કે સંખ્યા 294 - સમ, અને 189 વિચિત્ર છે, અને 2 નો ઘટાડો હવે શક્ય નથી. ચાલો સંખ્યાઓની વિભાજ્યતા તપાસીએ 189 અને 294 પર 3 .
(1+8+9)=18 એ 3 વડે વિભાજ્ય છે અને (2+9+4)=15 એ 3 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી સંખ્યાઓ પોતે 189 અને 294 માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે 3 . દ્વારા અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ છીએ 3 . આગળ, 63 3 વડે વિભાજ્ય છે અને 98 - ના. ચાલો અન્ય મુખ્ય પરિબળો જોઈએ. બંને સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય છે 7 . દ્વારા અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ છીએ 7 અને આપણને અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક મળે છે 9/14 .
અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે ઘટાડવો તે જાણ્યા વિના અને આવા ઉદાહરણો ઉકેલવામાં સ્થિર કૌશલ્ય ધરાવતા હોવા છતાં, શાળામાં બીજગણિતનો અભ્યાસ કરવો ખૂબ જ મુશ્કેલ છે. તમે જેટલું આગળ જશો, સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને ઘટાડવા વિશેના મૂળભૂત જ્ઞાન પર વધુ નવી માહિતીનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે. પ્રથમ, શક્તિઓ દેખાય છે, પછી પરિબળો, જે પાછળથી બહુપદી બને છે.
તમે અહીં મૂંઝવણમાં કેવી રીતે ટાળી શકો? અગાઉના વિષયોમાં કુશળતાને સંપૂર્ણ રીતે એકીકૃત કરો અને ધીમે ધીમે અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે ઘટાડવો તે અંગેના જ્ઞાન માટે તૈયાર કરો, જે વર્ષ-દર વર્ષે વધુ જટિલ બનતું જાય છે.
પ્રાથમિક જ્ઞાન
તેમના વિના, તમે કોઈપણ સ્તરના કાર્યોનો સામનો કરી શકશો નહીં. સમજવા માટે, તમારે બે સમજવાની જરૂર છે સરળ ક્ષણો. પ્રથમ: તમે માત્ર પરિબળો ઘટાડી શકો છો. જ્યારે બહુપદીઓ અંશ અથવા છેદમાં દેખાય છે ત્યારે આ સૂક્ષ્મતા ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. પછી તમારે સ્પષ્ટપણે તફાવત કરવાની જરૂર છે કે ગુણક ક્યાં છે અને ઉમેરણ ક્યાં છે.
બીજો મુદ્દો કહે છે કે કોઈપણ સંખ્યાને અવયવોના રૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે. વધુમાં, ઘટાડાનું પરિણામ એ અપૂર્ણાંક છે જેનો અંશ અને છેદ હવે ઘટાડી શકાતો નથી.
સામાન્ય અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટેના નિયમો
પ્રથમ, તમારે તપાસવું જોઈએ કે શું અંશ છેદ દ્વારા વિભાજ્ય છે કે તેનાથી ઊલટું. પછી તે ચોક્કસપણે આ સંખ્યા છે જેને ઘટાડવાની જરૂર છે. આ સૌથી સરળ વિકલ્પ છે.
બીજું વિશ્લેષણ છે દેખાવસંખ્યાઓ જો બંને એક અથવા વધુ શૂન્યમાં સમાપ્ત થાય છે, તો તેને 10, 100 અથવા હજારથી ટૂંકાવી શકાય છે. અહીં તમે નોંધ કરી શકો છો કે સંખ્યાઓ સમાન છે કે નહીં. જો હા, તો પછી તમે તેને સુરક્ષિત રીતે બે દ્વારા કાપી શકો છો.
અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનો ત્રીજો નિયમ એ છે કે અંશ અને છેદને અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવિત કરવા. આ સમયે, તમારે સંખ્યાઓના વિભાજ્યતાના સંકેતો વિશે તમારા તમામ જ્ઞાનનો સક્રિયપણે ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. આ વિઘટન પછી, જે બાકી રહે છે તે બધા પુનરાવર્તિત રાશિઓને શોધવાનું છે, તેમને ગુણાકાર કરો અને પરિણામી સંખ્યા દ્વારા તેમને ઘટાડવાનું છે.
જો અપૂર્ણાંકમાં બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ હોય તો શું?
આ તે છે જ્યાં પ્રથમ મુશ્કેલીઓ દેખાય છે. કારણ કે આ તે છે જ્યાં પરિબળ સમાન હોઈ શકે તેવા શબ્દો દેખાય છે. હું ખરેખર તેમને ઘટાડવા માંગુ છું, પરંતુ હું કરી શકતો નથી. તમે બીજગણિતીય અપૂર્ણાંકને ઘટાડી શકો તે પહેલાં, તેને રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે જેથી તેમાં પરિબળો હોય.
આ કરવા માટે, તમારે ઘણા પગલાં ભરવા પડશે. તમારે તે બધામાંથી પસાર થવાની જરૂર પડી શકે છે, અથવા કદાચ પ્રથમ એક યોગ્ય વિકલ્પ પ્રદાન કરશે.
અંશ અને છેદ અથવા તેમાંની કોઈપણ અભિવ્યક્તિ ચિહ્ન દ્વારા અલગ છે કે કેમ તે તપાસો. આ કિસ્સામાં, તમારે ફક્ત કૌંસમાંથી માઈનસ વન મૂકવાની જરૂર છે. આ સમાન પરિબળો ઉત્પન્ન કરે છે જે ઘટાડી શકાય છે.
કૌંસમાંથી બહુપદીમાંથી સામાન્ય અવયવ દૂર કરવાનું શક્ય છે કે કેમ તે જુઓ. કદાચ આ કૌંસમાં પરિણમશે, જેને ટૂંકી પણ કરી શકાય છે, અથવા તે દૂર કરેલ મોનોમિયલ હશે.
મોનોમિયલ્સને જૂથબદ્ધ કરવાનો પ્રયાસ કરો જેથી કરીને તેમાં સામાન્ય પરિબળ ઉમેરો. આ પછી, તે ચાલુ થઈ શકે છે કે એવા પરિબળો હશે જે ઘટાડી શકાય છે, અથવા ફરીથી સામાન્ય તત્વોના કૌંસને પુનરાવર્તિત કરવામાં આવશે.
લેખિતમાં સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોને ધ્યાનમાં લેવાનો પ્રયાસ કરો. તેમની સહાયથી, તમે સરળતાથી બહુપદીને પરિબળોમાં રૂપાંતરિત કરી શકો છો.
શક્તિઓ સાથે અપૂર્ણાંક સાથેની ક્રિયાઓનો ક્રમ
શક્તિઓ સાથે અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે ઘટાડવો તે પ્રશ્નને સરળતાથી સમજવા માટે, તમારે તેમની સાથેની મૂળભૂત કામગીરીને નિશ્ચિતપણે યાદ રાખવાની જરૂર છે. આમાંથી પ્રથમ શક્તિઓના ગુણાકાર સાથે સંબંધિત છે. આ કિસ્સામાં, જો પાયા સમાન હોય, તો સૂચકાંકો ઉમેરવા આવશ્યક છે.
બીજું વિભાજન છે. ફરીથી, જેમના માટે સમાન કારણો છે, સૂચકોને બાદબાકી કરવાની જરૂર પડશે. તદુપરાંત, તમારે ડિવિડન્ડમાં રહેલી સંખ્યામાંથી બાદબાકી કરવાની જરૂર છે, અને ઊલટું નહીં.
ત્રીજું ઘાત છે. આ સ્થિતિમાં, સૂચકાંકો ગુણાકાર થાય છે.
સફળ ઘટાડા માટે પણ ડિગ્રી ઘટાડવાની ક્ષમતાની જરૂર પડશે સમાન આધારો પર. એટલે કે ચાર એ બે ચોરસ છે તે જોવું. અથવા 27 - ત્રણનું ઘન. કારણ કે 9 ચોરસ અને 3 ઘન ઘટાડવું મુશ્કેલ છે. પરંતુ જો આપણે પ્રથમ અભિવ્યક્તિને (3 2) 2 તરીકે રૂપાંતરિત કરીએ, તો ઘટાડો સફળ થશે.
પ્રથમ નજરમાં, બીજગણિત અપૂર્ણાંક ખૂબ જટિલ લાગે છે, અને તૈયારી વિનાનો વિદ્યાર્થી વિચારી શકે છે કે તેમની સાથે કંઈ કરી શકાતું નથી. ચલો, સંખ્યાઓ અને ડિગ્રીઓનું સંચય ભય પેદા કરે છે. જો કે, સામાન્ય ઘટાડવા માટે (દા.ત. 15/25) અને બીજગણિત અપૂર્ણાંકસમાન નિયમોનો ઉપયોગ થાય છે.
પગલાં
અપૂર્ણાંક ઘટાડવા
સાથેની પ્રવૃત્તિઓ તપાસો સરળ અપૂર્ણાંક. સામાન્ય અને બીજગણિત અપૂર્ણાંક સાથેની કામગીરી સમાન છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો અપૂર્ણાંક 15/35 લઈએ. આ અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવવા માટે, તમારે કરવું જોઈએ સામાન્ય વિભાજક શોધો. બંને સંખ્યાઓ પાંચ વડે વિભાજ્ય છે, તેથી આપણે અંશ અને છેદમાં 5 ને અલગ કરી શકીએ છીએ:
15 → 5 * 3 35 → 5 * 7હવે તમે કરી શકો છો સામાન્ય પરિબળોમાં ઘટાડો, એટલે કે, અંશ અને છેદમાં 5 ને વટાવો. પરિણામે, અમને સરળ અપૂર્ણાંક મળે છે 3/7 . IN બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓસામાન્ય પરિબળોની ફાળવણી સામાન્ય પરિબળોની જેમ જ કરવામાં આવે છે. અગાઉના ઉદાહરણમાં આપણે 15 માંથી 5 ને સરળતાથી અલગ કરી શક્યા - આ જ સિદ્ધાંત વધુ જટિલ સમીકરણો જેમ કે 15x – 5 પર લાગુ પડે છે. ચાલો સામાન્ય પરિબળ શોધીએ. આ કિસ્સામાં તે 5 હશે, કારણ કે બંને પદો (15x અને -5) 5 વડે વિભાજ્ય છે. પહેલાની જેમ, સામાન્ય અવયવ પસંદ કરો અને તેને ખસેડો. બાકી.
15x – 5 = 5 * (3x – 1)
બધું બરાબર છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે, ફક્ત કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને 5 વડે ગુણાકાર કરો - પરિણામ પહેલાની સમાન સંખ્યાઓ હશે. જટિલ સભ્યોને સરળ સભ્યોની જેમ જ અલગ કરી શકાય છે. સમાન સિદ્ધાંતો સામાન્ય રાશિઓ માટે બીજગણિત અપૂર્ણાંકને લાગુ પડે છે. અપૂર્ણાંક ઘટાડવાનો આ સૌથી સહેલો રસ્તો છે. નીચેના અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લો:
(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)નોંધ કરો કે અંશ (ટોચ) અને છેદ (નીચે) બંનેમાં એક પદ (x+2) છે, તેથી તેને અપૂર્ણાંક 15/35માં સામાન્ય પરિબળ 5ની જેમ ઘટાડી શકાય છે:
(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)પરિણામે, આપણને એક સરળ અભિવ્યક્તિ મળે છે: (x-3)/(x+10)
બીજગણિત અપૂર્ણાંક ઘટાડવું
અંશમાં સામાન્ય અવયવ શોધો, એટલે કે અપૂર્ણાંકની ટોચ પર. બીજગણિત અપૂર્ણાંકને ઘટાડતી વખતે, પ્રથમ પગલું એ બંને બાજુઓને સરળ બનાવવાનું છે. અંશ સાથે પ્રારંભ કરો અને તેને ઘણામાં વિઘટન કરવાનો પ્રયાસ કરો મોટી સંખ્યાગુણક આ વિભાગમાં નીચેના અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લો:
9x-3 15x+6ચાલો અંશ સાથે શરૂઆત કરીએ: 9x – 3. 9x અને -3 માટે, સામાન્ય અવયવ એ સંખ્યા 3 છે. ચાલો કૌંસમાંથી 3 લઈએ, જેમ કે સામાન્ય સંખ્યાઓ સાથે કરવામાં આવે છે: 3 * (3x-1). આ પરિવર્તનનું પરિણામ નીચેનો અપૂર્ણાંક છે:
3(3x-1) 15x+6અંશમાં સામાન્ય અવયવ શોધો. ચાલો ઉપરના ઉદાહરણ સાથે ચાલુ રાખીએ અને છેદ લખીએ: 15x+6. પહેલાની જેમ, ચાલો શોધીએ કે બંને ભાગો કઈ સંખ્યા વડે વિભાજ્ય છે. અને આ કિસ્સામાં સામાન્ય પરિબળ 3 છે, તેથી આપણે લખી શકીએ: 3 * (5x +2). ચાલો નીચેના સ્વરૂપમાં અપૂર્ણાંકને ફરીથી લખીએ:
3(3x-1) 3(5x+2)સમાન શરતો ટૂંકી કરો. આ પગલા પર તમે અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવી શકો છો. અંશ અને છેદમાં સમાન પદોને રદ કરો. અમારા ઉદાહરણમાં, આ સંખ્યા 3 છે.
3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)નક્કી કરો કે અપૂર્ણાંક છે સૌથી સરળ સ્વરૂપ. જ્યારે અંશ અને છેદમાં કોઈ સામાન્ય પરિબળ બાકી ન હોય ત્યારે અપૂર્ણાંક સંપૂર્ણપણે સરળ બને છે. નોંધ કરો કે તમે કૌંસની અંદર દેખાતા શબ્દોને રદ કરી શકતા નથી - ઉપરના ઉદાહરણમાં x ને 3x અને 5xમાંથી અલગ કરવાની કોઈ રીત નથી, કારણ કે સંપૂર્ણ શરતો (3x -1) અને (5x + 2) છે. આમ, અપૂર્ણાંકને વધુ સરળ બનાવી શકાતો નથી, અને અંતિમ જવાબ નીચે મુજબ છે:
(3x-1)(5x+2)તમારા પોતાના પર અપૂર્ણાંક ઘટાડવાની પ્રેક્ટિસ કરો. શ્રેષ્ઠ માર્ગપદ્ધતિમાં નિપુણતા મેળવવી એ સ્વતંત્ર રીતે સમસ્યાઓ હલ કરવી છે. સાચા જવાબો ઉદાહરણો નીચે આપેલ છે.
4(x+2)(x-13)(4x+8)જવાબ:(x=13)
2x 2 -x 5xજવાબ:(2x-1)/5
ખાસ ચાલ
નકારાત્મક ચિહ્નને અપૂર્ણાંકની બહાર મૂકો. ધારો કે તમને નીચેનો અપૂર્ણાંક આપવામાં આવ્યો છે:
3(x-4) 5(4-x)નોંધ કરો કે (x-4) અને (4-x) "લગભગ" સમાન છે, પરંતુ તે તરત જ ઘટાડી શકાતા નથી કારણ કે તે "ઊંધી" છે. જો કે, (x - 4) -1 * (4 - x) તરીકે લખી શકાય છે, જેમ (4 + 2x) 2 * (2 + x) તરીકે લખી શકાય છે. તેને "સાઇન રિવર્સલ" કહેવામાં આવે છે.
-1 * 3(4-x) 5(4-x)હવે તમે સમાન શબ્દો ઘટાડી શકો છો (4-x):
-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)તેથી, અમને અંતિમ જવાબ મળે છે: -3/5 . ચોરસ વચ્ચેના તફાવતને ઓળખતા શીખો. વર્ગોનો તફાવત એ છે જ્યારે એક સંખ્યાનો વર્ગ બીજી સંખ્યાના વર્ગમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે, જેમ કે અભિવ્યક્તિ (a 2 - b 2). સંપૂર્ણ ચોરસના તફાવતને હંમેશા બે ભાગોમાં વિઘટિત કરી શકાય છે - સરવાળો અને અનુરૂપનો તફાવત ચોરસ મૂળ. પછી અભિવ્યક્તિ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:
A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)
બીજગણિત અપૂર્ણાંકમાં સામાન્ય શબ્દો શોધવામાં આ તકનીક ખૂબ જ ઉપયોગી છે.
- તપાસો કે તમે આ અથવા તે અભિવ્યક્તિને યોગ્ય રીતે ફેક્ટર કર્યું છે. આ કરવા માટે, પરિબળોને ગુણાકાર કરો - પરિણામ સમાન અભિવ્યક્તિ હોવું જોઈએ.
- અપૂર્ણાંકને સંપૂર્ણપણે સરળ બનાવવા માટે, હંમેશા સૌથી મોટા પરિબળોને અલગ કરો.
જો આપણે 497 ને 4 વડે વિભાજિત કરવાની જરૂર હોય, તો ભાગાકાર કરતી વખતે આપણે જોશું કે 497 4 વડે સરખે ભાગે વિભાજ્ય નથી, એટલે કે. વિભાગ બાકી રહે છે. આવા કિસ્સાઓમાં તે પૂર્ણ થયું હોવાનું કહેવાય છે શેષ સાથે વિભાજન, અને ઉકેલ નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:
497: 4 = 124 (1 શેષ).
સમાનતાની ડાબી બાજુના વિભાજન ઘટકોને શેષ વિનાના વિભાજનની જેમ જ કહેવામાં આવે છે: 497 - ડિવિડન્ડ, 4 - વિભાજક. જ્યારે શેષ સાથે ભાગવામાં આવે ત્યારે ભાગાકારનું પરિણામ કહેવાય છે અપૂર્ણ ખાનગી. અમારા કિસ્સામાં, આ નંબર 124 છે. અને છેલ્લે, છેલ્લો ઘટક, જે સામાન્ય વિભાગમાં નથી, તે છે બાકી. એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં કોઈ બાકી ન હોય, એક સંખ્યાને બીજી સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે ટ્રેસ વિના, અથવા સંપૂર્ણપણે. એવું માનવામાં આવે છે કે આવા વિભાજન સાથે શેષ શૂન્ય છે. અમારા કિસ્સામાં, બાકી 1 છે.
શેષ હંમેશા વિભાજક કરતા ઓછો હોય છે.
ભાગાકારને ગુણાકાર દ્વારા ચકાસી શકાય છે. જો, ઉદાહરણ તરીકે, ત્યાં સમાનતા 64: 32 = 2 છે, તો પછી ચેક આ રીતે કરી શકાય છે: 64 = 32 * 2.
ઘણીવાર એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં શેષ સાથે વિભાજન કરવામાં આવે છે, તે સમાનતાનો ઉપયોગ કરવા માટે અનુકૂળ છે
a = b * n + r,
જ્યાં a એ ડિવિડન્ડ છે, b એ વિભાજક છે, n એ આંશિક ભાગ છે, r એ શેષ છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ભાગને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે.
અપૂર્ણાંકનો અંશ એ ડિવિડન્ડ છે, અને છેદ એ વિભાજક છે.
કારણ કે અપૂર્ણાંકનો અંશ એ ડિવિડન્ડ છે અને છેદ એ વિભાજક છે, માને છે કે અપૂર્ણાંકની રેખાનો અર્થ ભાગાકારની ક્રિયા છે. કેટલીકવાર ":" ચિહ્નનો ઉપયોગ કર્યા વિના ભાગાકારને અપૂર્ણાંક તરીકે લખવાનું અનુકૂળ છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ m અને n ના ભાગાકારને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે \(\frac(m)(n)\), જ્યાં અંશ m એ ડિવિડન્ડ છે, અને છેદ n એ વિભાજક છે:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
નીચેના નિયમો સાચા છે:
અપૂર્ણાંક \(\frac(m)(n)\) મેળવવા માટે, તમારે એકમને n સમાન ભાગો (શેર) માં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે અને m આવા ભાગો લેવા પડશે.
અપૂર્ણાંક \(\frac(m)(n)\) મેળવવા માટે, તમારે સંખ્યા m ને સંખ્યા n વડે ભાગવાની જરૂર છે.
સંપૂર્ણનો ભાગ શોધવા માટે, તમારે સંપૂર્ણને અનુરૂપ સંખ્યાને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરવાની અને આ ભાગને વ્યક્ત કરતા અપૂર્ણાંકના અંશ દ્વારા પરિણામને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
તેના ભાગમાંથી સંપૂર્ણ શોધવા માટે, તમારે આ ભાગને અનુરૂપ સંખ્યાને અંશ દ્વારા વિભાજીત કરવાની અને આ ભાગને વ્યક્ત કરતા અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા પરિણામને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બંનેને સમાન સંખ્યા (શૂન્ય સિવાય) દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે તો, અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:
\(\મોટા \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બંનેને સમાન સંખ્યા (શૂન્ય સિવાય) દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે તો, અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:
\(\મોટો \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
આ મિલકત કહેવાય છે અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત.
છેલ્લા બે પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે અપૂર્ણાંક ઘટાડવો.
જો અપૂર્ણાંકને સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવાની જરૂર હોય, તો આ ક્રિયા કહેવાય છે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં લાવવું.
યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક. મિશ્ર સંખ્યાઓ
તમે પહેલાથી જ જાણો છો કે સંપૂર્ણને સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીને અને આવા કેટલાક ભાગો લઈને અપૂર્ણાંક મેળવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(4)\) નો અર્થ છે એકના ત્રણ-ચતુર્થાંશ. પાછલા ફકરામાં ઘણી બધી સમસ્યાઓમાં, અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ સમગ્રના ભાગોને દર્શાવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. સામાન્ય બુદ્ધિ સૂચવે છે કે ભાગ હંમેશા સંપૂર્ણ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ, પરંતુ અપૂર્ણાંક વિશે શું જેમ કે \(\frac(5)(5)\) અથવા \(\frac(8)(5)\)? તે સ્પષ્ટ છે કે આ હવે એકમનો ભાગ નથી. કદાચ આ જ કારણ છે કે જેના અંશ છેદ કરતા મોટા અથવા સમાન હોય તેવા અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક. બાકીના અપૂર્ણાંકો, એટલે કે અપૂર્ણાંક કે જેના અંશ છેદ કરતા ઓછા હોય, તેને કહેવામાં આવે છે. યોગ્ય અપૂર્ણાંક.
જેમ તમે જાણો છો, કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક, યોગ્ય અને અયોગ્ય બંને, અંશને છેદ દ્વારા વિભાજિત કરવાના પરિણામ તરીકે વિચારી શકાય છે. તેથી, ગણિતમાં, સામાન્ય ભાષાથી વિપરીત, "અયોગ્ય અપૂર્ણાંક" શબ્દનો અર્થ એ નથી કે આપણે કંઈક ખોટું કર્યું છે, પરંતુ માત્ર એટલું જ કે આ અપૂર્ણાંકનો અંશ છેદ કરતા મોટો અથવા તેની સમાન છે.
જો સંખ્યા પૂર્ણાંક ભાગ અને અપૂર્ણાંક ધરાવે છે, તો આવી અપૂર્ણાંકને મિશ્ર કહેવામાં આવે છે.
દાખ્લા તરીકે:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 એ પૂર્ણાંક ભાગ છે, અને \(\frac(2)(3) \) એ અપૂર્ણાંક ભાગ છે.
જો અપૂર્ણાંકનો અંશ \(\frac(a)(b) \) કુદરતી સંખ્યા n વડે વિભાજ્ય હોય, તો આ અપૂર્ણાંકને n વડે ભાગવા માટે, તેના અંશને આ સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવો આવશ્યક છે:
\(\મોટા \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
જો અપૂર્ણાંકનો અંશ \(\frac(a)(b)\) કુદરતી સંખ્યા n વડે વિભાજ્ય ન હોય, તો આ અપૂર્ણાંકને n વડે ભાગવા માટે, તમારે તેના છેદને આ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:
\(\મોટા \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
નોંધ કરો કે જ્યારે અંશ n વડે વિભાજ્ય હોય ત્યારે બીજો નિયમ પણ સાચો છે. તેથી, જ્યારે અપૂર્ણાંકનો અંશ n વડે વિભાજ્ય છે કે નહીં તે પ્રથમ નજરમાં નક્કી કરવું મુશ્કેલ હોય ત્યારે આપણે તેનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અપૂર્ણાંક સાથેની ક્રિયાઓ. અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છીએ.
તમે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની જેમ અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સાથે અંકગણિત કામગીરી કરી શકો છો. ચાલો પહેલા અપૂર્ણાંક ઉમેરવા જોઈએ. સાથે સરળતાથી અપૂર્ણાંક ઉમેરો સમાન છેદ. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, \(\frac(2)(7)\) અને \(\frac(3)(7)\) નો સરવાળો શોધીએ. તે સમજવું સરળ છે કે \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તમારે તેમના અંશ ઉમેરવાની જરૂર છે અને છેદને સમાન છોડવાની જરૂર છે.
અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવાનો નિયમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
\(\મોટા \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
જો તમારે સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવાની જરૂર હોય વિવિધ છેદ, તો પછી તેઓને પ્રથમ સામાન્ય સંપ્રદાય પર લાવવામાં આવશે. દાખ્લા તરીકે:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
અપૂર્ણાંક માટે, કુદરતી સંખ્યાઓની જેમ, સરવાળાના વિનિમયાત્મક અને સહયોગી ગુણધર્મો માન્ય છે.
મિશ્ર અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છે
નોટેશન જેમ કે \(2\frac(2)(3)\) કહેવાય છે મિશ્ર અપૂર્ણાંક. આ કિસ્સામાં, નંબર 2 કહેવામાં આવે છે આખો ભાગમિશ્ર અપૂર્ણાંક, અને સંખ્યા \(\frac(2)(3)\) તેની છે અપૂર્ણાંક ભાગ. એન્ટ્રી \(2\frac(2)(3)\) નીચે પ્રમાણે વાંચવામાં આવે છે: "બે અને બે તૃતીયાંશ."
નંબર 8 ને નંબર 3 વડે વિભાજિત કરતી વખતે, તમે બે જવાબો મેળવી શકો છો: \(\frac(8)(3)\) અને \(2\frac(2)(3)\). તેઓ સમાન અપૂર્ણાંક સંખ્યાને વ્યક્ત કરે છે, એટલે કે \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
આમ, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક \(\frac(8)(3)\) મિશ્ર અપૂર્ણાંક \(2\frac(2)(3)\) તરીકે રજૂ થાય છે. આવા કિસ્સાઓમાં તેઓ કહે છે કે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાંથી આખો ભાગ પ્રકાશિત કર્યો.
અપૂર્ણાંક બાદબાકી (અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ)
બાદબાકી અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ, કુદરતી સંખ્યાઓની જેમ, ઉમેરણની ક્રિયાના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે: એક નંબરમાંથી બીજી બાદબાકી કરવાનો અર્થ એ છે કે એક એવી સંખ્યા શોધવી જે, જ્યારે બીજામાં ઉમેરવામાં આવે, ત્યારે પ્રથમ આપે છે. દાખ્લા તરીકે:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ત્યારથી \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = frac(8)(9)\)
સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકને બાદ કરવાનો નિયમ આવા અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા માટેના નિયમ જેવો જ છે:
સમાન છેદ સાથેના અપૂર્ણાંકો વચ્ચેનો તફાવત શોધવા માટે, તમારે પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશમાંથી બીજાના અંશને બાદબાકી કરવાની જરૂર છે, અને છેદને સમાન છોડવાની જરૂર છે.
અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, આ નિયમ આ રીતે લખાયેલ છે:
\(\મોટા \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર
અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે તેમના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને પ્રથમ ઉત્પાદનને અંશ તરીકે અને બીજાને છેદ તરીકે લખવાની જરૂર છે.
અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, અપૂર્ણાંકના ગુણાકાર માટેનો નિયમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
\(\મોટો \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
ઘડવામાં આવેલા નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તમે અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા દ્વારા, મિશ્ર અપૂર્ણાંક દ્વારા અને મિશ્ર અપૂર્ણાંકનો પણ ગુણાકાર કરી શકો છો. આ કરવા માટે, તમારે 1 ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે કુદરતી સંખ્યા લખવાની જરૂર છે, મિશ્ર અપૂર્ણાંક - અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે.
અપૂર્ણાંકને ઘટાડીને અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગને અલગ કરીને ગુણાકારનું પરિણામ સરળ બનાવવું જોઈએ (જો શક્ય હોય તો).
અપૂર્ણાંકો માટે, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની જેમ, ગુણાકારના વિનિમયાત્મક અને સંયોજન ગુણધર્મો, તેમજ સરવાળો સંબંધિત ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મ માન્ય છે.
અપૂર્ણાંકનું વિભાજન
ચાલો અપૂર્ણાંક \(\frac(2)(3)\) લઈએ અને તેને "ફ્લિપ" કરીએ, અંશ અને છેદની અદલાબદલી કરીએ. આપણને અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(2)\) મળે છે. આ અપૂર્ણાંક કહેવાય છે વિપરીતઅપૂર્ણાંક \(\frac(2)(3)\).
જો આપણે હવે અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(2)\ ને "વિપરીત" કરીએ, તો આપણને મૂળ અપૂર્ણાંક \(\frac(2)(3)\) મળશે. તેથી, અપૂર્ણાંક જેમ કે \(\frac(2)(3)\) અને \(\frac(3)(2)\) કહેવાય છે પરસ્પર વિપરીત.
ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક \(\frac(6)(5) \) અને \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) અને \(\frac (18) )(7)\).
અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકો નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: \(\frac(a)(b) \) અને \(\frac(b)(a) \)
તે સ્પષ્ટ છે કે પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકનું ઉત્પાદન 1 બરાબર છે. ઉદાહરણ તરીકે: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને, તમે અપૂર્ણાંકના વિભાજનને ગુણાકારમાં ઘટાડી શકો છો.
અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજીત કરવાનો નિયમ છે:
એક અપૂર્ણાંકને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, તમારે વિભાજકના પરસ્પર દ્વારા ડિવિડન્ડનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવાનો નિયમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
\(\મોટો \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
જો ડિવિડન્ડ અથવા વિભાજક છે કુદરતી સંખ્યાઅથવા મિશ્ર અપૂર્ણાંક, તો પછી, અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરવા માટે, તેને પ્રથમ અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવવું આવશ્યક છે.