ગૌસીયન પદ્ધતિ છે... ગૌસીયન પદ્ધતિથી વિપરીત
અહીં તમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને મફતમાં હલ કરી શકો છો ગૌસ પદ્ધતિ ઓનલાઇન મોટા કદખૂબ જ વિગતવાર ઉકેલ સાથે જટિલ સંખ્યામાં. અમારું કેલ્ક્યુલેટર ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સામાન્ય નિશ્ચિત અને અનિશ્ચિત બંને પ્રણાલીઓને ઓનલાઇન ઉકેલી શકે છે, જેમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે. આ કિસ્સામાં, જવાબમાં તમે અન્ય, મફત લોકો દ્વારા કેટલાક ચલોની અવલંબન પ્રાપ્ત કરશો. તમે ગૌસીયન સોલ્યુશનનો ઉપયોગ કરીને ઓનલાઈન સુસંગતતા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ પણ ચકાસી શકો છો.
પદ્ધતિ વિશે
રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરતી વખતે ઑનલાઇન પદ્ધતિગૌસ નીચેના પગલાંઓ કરવામાં આવે છે.
- અમે વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ લખીએ છીએ.
- વાસ્તવમાં, સોલ્યુશન ગૌસીયન પદ્ધતિના આગળ અને પાછળના પગલામાં વહેંચાયેલું છે. ગૌસીયન પદ્ધતિનું સીધું પગલું એ મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં ઘટાડવું છે. ગૌસીયન પદ્ધતિથી વિપરીત એ મેટ્રિક્સને વિશિષ્ટ સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં ઘટાડી છે. પરંતુ વ્યવહારમાં, પ્રશ્નમાં તત્વની ઉપર અને નીચે શું સ્થિત છે તે તરત જ શૂન્ય કરવું વધુ અનુકૂળ છે. અમારું કેલ્ક્યુલેટર બરાબર આ અભિગમનો ઉપયોગ કરે છે.
- એ નોંધવું અગત્યનું છે કે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરતી વખતે, શૂન્ય નહીં સાથે ઓછામાં ઓછી એક શૂન્ય પંક્તિના મેટ્રિક્સમાં હાજરી જમણી બાજુ(મુક્ત સભ્યોની કૉલમ) સિસ્ટમની અસંગતતા દર્શાવે છે. ઉકેલ રેખીય સિસ્ટમઆ કિસ્સામાં તે અસ્તિત્વમાં નથી.
ગૌસીયન અલ્ગોરિધમ ઓનલાઈન કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે શ્રેષ્ઠ રીતે સમજવા માટે, કોઈપણ ઉદાહરણ દાખલ કરો, "ખૂબ પસંદ કરો વિગતવાર ઉકેલઅને તેનો ઉકેલ ઓનલાઈન શોધો.
1. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ
1.1 રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમનો ખ્યાલ
સમીકરણોની સિસ્ટમ એ એવી સ્થિતિ છે જેમાં અનેક ચલોના સંદર્ભમાં અનેક સમીકરણોના એકસાથે અમલીકરણનો સમાવેશ થાય છે. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ (ત્યારબાદ SLAE તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) જેમાં m સમીકરણો અને n અજ્ઞાત હોય છે તેને ફોર્મની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે:
જ્યાં સંખ્યાઓ a ij ને સિસ્ટમ ગુણાંક કહેવામાં આવે છે, સંખ્યા b i ને મુક્ત શબ્દો કહેવામાં આવે છે, એક ijઅને b i(i=1,…, m; b=1,…, n) કેટલીક જાણીતી સંખ્યાઓ અને x રજૂ કરે છે 1,…, x n- અજ્ઞાત. ગુણાંકના હોદ્દામાં એક ijપ્રથમ અનુક્રમણિકા i સમીકરણની સંખ્યા દર્શાવે છે, અને બીજો j એ અજાણ્યાની સંખ્યા છે કે જેના પર આ ગુણાંક રહે છે. નંબરો x n શોધવા જ જોઈએ. કોમ્પેક્ટ મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં આવી સિસ્ટમ લખવાનું અનુકૂળ છે: AX=B.અહીં A એ સિસ્ટમ ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ છે, જેને મુખ્ય મેટ્રિક્સ કહેવાય છે;
- અજાણ્યાઓનું કૉલમ વેક્ટર xj. મુક્ત પદો bi નો કૉલમ વેક્ટર છે.
મેટ્રિક્સ A*X નું ઉત્પાદન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે, કારણ કે મેટ્રિક્સ Aમાં મેટ્રિક્સ X (n ટુકડાઓ) માં જેટલી પંક્તિઓ છે તેટલી કૉલમ છે.
સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ એ સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ A છે, જે મુક્ત શરતોના કૉલમ દ્વારા પૂરક છે.
1.2 રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી
સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓનો ક્રમબદ્ધ સમૂહ (ચલોના મૂલ્યો) છે, જ્યારે તેમને ચલોની જગ્યાએ બદલીને, સિસ્ટમના દરેક સમીકરણો સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે.
સિસ્ટમનો ઉકેલ એ અજ્ઞાત x1=c1, x2=c2,…, xn=cn ના મૂલ્યો છે, જેની અવેજીમાં સિસ્ટમના તમામ સમીકરણો સાચી સમાનતા બની જાય છે. સિસ્ટમનો કોઈપણ ઉકેલ કૉલમ મેટ્રિક્સ તરીકે લખી શકાય છે
સમીકરણોની સિસ્ટમને સુસંગત કહેવામાં આવે છે જો તેમાં ઓછામાં ઓછું એક ઉકેલ હોય, અને જો તેની પાસે કોઈ ઉકેલ ન હોય તો તે અસંગત કહેવાય.
સુસંગત સિસ્ટમને નિર્ધારિત કહેવામાં આવે છે જો તેની પાસે એક જ ઉકેલ હોય, અને જો તેની પાસે એક કરતાં વધુ ઉકેલો હોય તો અનિશ્ચિત. પછીના કિસ્સામાં, તેના દરેક ઉકેલોને સિસ્ટમનો ચોક્કસ ઉકેલ કહેવામાં આવે છે. તમામ વિશિષ્ટ ઉકેલોના સમૂહને સામાન્ય ઉકેલ કહેવામાં આવે છે.
સિસ્ટમ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તે સુસંગત છે કે અસંગત છે તે શોધવું. જો સિસ્ટમ સુસંગત છે, તો તેનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.
બે સિસ્ટમોને સમકક્ષ (સમાન) કહેવામાં આવે છે જો તેમની પાસે સમાન સામાન્ય ઉકેલ હોય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સિસ્ટમો સમકક્ષ છે જો તેમાંથી એકનો દરેક ઉકેલ બીજાનો ઉકેલ હોય, અને ઊલટું.
રૂપાંતરણ, જેનો ઉપયોગ સિસ્ટમને માં ફેરવે છે નવી સિસ્ટમ, મૂળની સમકક્ષ, સમકક્ષ અથવા સમકક્ષ રૂપાંતરણ કહેવાય છે. સમકક્ષ રૂપાંતરણોના ઉદાહરણોમાં નીચેના રૂપાંતરણોનો સમાવેશ થાય છે: સિસ્ટમના બે સમીકરણોની અદલાબદલી કરવી, તમામ સમીકરણોના ગુણાંક સાથે બે અજાણ્યાઓને અદલાબદલી કરવી, સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણની બંને બાજુઓને બિનશૂન્ય સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવી.
જો તમામ મુક્ત પદો શૂન્ય સમાન હોય તો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સજાતીય કહેવામાં આવે છે:
સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે, કારણ કે x1=x2=x3=…=xn=0 એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. આ ઉકેલને શૂન્ય અથવા તુચ્છ કહેવામાં આવે છે.
2. ગૌસિયન દૂર કરવાની પદ્ધતિ
2.1 ગૌસિયન દૂર કરવાની પદ્ધતિનો સાર
રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની શાસ્ત્રીય પદ્ધતિ એ અજાણ્યાઓને ક્રમિક દૂર કરવાની પદ્ધતિ છે - ગૌસીયન પદ્ધતિ(તેને ગૌસીયન દૂર કરવાની પદ્ધતિ પણ કહેવામાં આવે છે). આ ચલોના ક્રમિક નાબૂદીની એક પદ્ધતિ છે, જ્યારે, પ્રારંભિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને, સમીકરણોની સિસ્ટમને એક પગલા (અથવા ત્રિકોણાકાર) સ્વરૂપની સમકક્ષ સિસ્ટમમાં ઘટાડવામાં આવે છે, જેમાંથી અન્ય તમામ ચલો અનુક્રમે જોવા મળે છે, છેલ્લા (દ્વારા) થી શરૂ કરીને સંખ્યા) ચલો.
ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલની પ્રક્રિયામાં બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે: આગળ અને પાછળની ચાલ.
1. ડાયરેક્ટ સ્ટ્રોક.
પ્રથમ તબક્કે, કહેવાતી સીધી ચાલ હાથ ધરવામાં આવે છે, જ્યારે, પંક્તિઓ પર પ્રાથમિક રૂપાંતરણ દ્વારા, સિસ્ટમને એક પગલાની દિશામાં લાવવામાં આવે છે અથવા ત્રિકોણાકાર આકાર, અથવા સ્થાપિત કરો કે સિસ્ટમ અસંગત છે. એટલે કે, મેટ્રિક્સના પ્રથમ સ્તંભના ઘટકોમાંથી, બિન-શૂન્ય એક પસંદ કરો, પંક્તિઓને ફરીથી ગોઠવીને તેને સૌથી ઉપરના સ્થાને ખસેડો, અને પુન: ગોઠવણી પછી બાકીની પંક્તિઓમાંથી પરિણામી પ્રથમ પંક્તિને બાદ કરો, તેને મૂલ્ય વડે ગુણાકાર કરો. આ દરેક પંક્તિના પ્રથમ ઘટક અને પ્રથમ પંક્તિના પ્રથમ તત્વના ગુણોત્તર સમાન, તેની નીચેની કૉલમને શૂન્ય કરો.
આ રૂપાંતરણો પૂર્ણ થયા પછી, પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમ માનસિક રીતે પાર કરવામાં આવે છે અને શૂન્ય-કદ મેટ્રિક્સ રહે ત્યાં સુધી ચાલુ રાખવામાં આવે છે. જો કોઈપણ પુનરાવૃત્તિ પર પ્રથમ કૉલમના ઘટકોમાં કોઈ બિન-શૂન્ય તત્વ ન હોય, તો પછીની કૉલમ પર જાઓ અને સમાન ઑપરેશન કરો.
પ્રથમ તબક્કે (ડાયરેક્ટ સ્ટ્રોક), સિસ્ટમ સ્ટેપ્ડ (ખાસ કરીને, ત્રિકોણાકાર) સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે.
નીચેની સિસ્ટમ સ્ટેપવાઇઝ ફોર્મ ધરાવે છે:
,
ગુણાંક aii ને સિસ્ટમના મુખ્ય (અગ્રણી) તત્વો કહેવામાં આવે છે.
(જો a11=0, મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ ફરીથી ગોઠવો જેથી કરીને a 11 એ 0 ની બરાબર ન હતી. આ હંમેશા શક્ય છે, કારણ કે અન્યથા મેટ્રિક્સમાં શૂન્ય કૉલમ હોય છે, તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય બરાબર છે અને સિસ્ટમ અસંગત છે).ચાલો પહેલા (સિસ્ટમના પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને) સિવાયના તમામ સમીકરણોમાં અજ્ઞાત x1 નાબૂદ કરીને સિસ્ટમમાં પરિવર્તન કરીએ. આ કરવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરો
અને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણ સાથે ટર્મ બાય ટર્મ ઉમેરો (અથવા બીજા સમીકરણમાંથી ટર્મ દ્વારા ટર્મ બાદ કરો, પ્રથમ દ્વારા ગુણાકાર કરો). પછી આપણે પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તેમને સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણમાં ઉમેરીએ છીએ (અથવા ત્રીજામાંથી આપણે પ્રથમને ગુણાકાર કરીને બાદ કરીએ છીએ). આમ, અમે ક્રમિક રીતે પ્રથમ લીટીને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તેમાં ઉમેરો કરીએ છીએ iમી લીટી, માટે i= 2, 3, …,nઆ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને, અમે એક સમાન સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:
- સિસ્ટમના છેલ્લા એમ -1 સમીકરણોમાં અજાણ્યા અને મુક્ત શબ્દો માટે ગુણાંકના નવા મૂલ્યો, જે સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: આમ, પ્રથમ પગલા પર, પ્રથમ અગ્રણી તત્વ a 11 હેઠળ આવેલા તમામ ગુણાંકો નાશ પામે છે.
0, બીજા પગલામાં બીજા અગ્રણી તત્વ 22 (1) હેઠળ રહેલા તત્વોનો નાશ થાય છે (જો 22 (1) 0 હોય તો), વગેરે. આ પ્રક્રિયાને આગળ ચાલુ રાખીને, અમે આખરે, (m-1) સ્ટેપ પર, મૂળ સિસ્ટમને ત્રિકોણાકાર સિસ્ટમમાં ઘટાડીશું.જો, સિસ્ટમને પગલાવાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની પ્રક્રિયામાં, શૂન્ય સમીકરણો દેખાય છે, એટલે કે. ફોર્મ 0=0 ની સમાનતા, તે કાઢી નાખવામાં આવે છે. જો ફોર્મનું સમીકરણ દેખાય
પછી આ સિસ્ટમની અસંગતતા દર્શાવે છે. આ તે છે જ્યાં ગૌસની પદ્ધતિની સીધી પ્રગતિ સમાપ્ત થાય છે.
2. રિવર્સ સ્ટ્રોક.
બીજા તબક્કે, કહેવાતા રિવર્સ ચાલ હાથ ધરવામાં આવે છે, જેનો સાર એ છે કે તમામ પરિણામી મૂળભૂત ચલોને બિન-મૂળભૂતની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવા અને ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવવી, અથવા, જો બધા ચલો મૂળભૂત હોય. , પછી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો એકમાત્ર ઉકેલ આંકડાકીય રીતે વ્યક્ત કરો.
આ પ્રક્રિયા છેલ્લા સમીકરણથી શરૂ થાય છે, જેમાંથી અનુરૂપ મૂળભૂત ચલ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે (તેમાં ફક્ત એક જ છે) અને અગાઉના સમીકરણોમાં અવેજી કરવામાં આવે છે, અને તેથી આગળ, "પગલાઓ" ઉપર જઈને.
દરેક લાઇન બરાબર એક બેઝિસ વેરિએબલને અનુરૂપ છે, તેથી છેલ્લી (સૌથી ટોચની) સિવાયના દરેક પગલા પર, પરિસ્થિતિ છેલ્લી લાઇનના કિસ્સામાં બરાબર પુનરાવર્તન કરે છે.
નોંધ: વ્યવહારમાં, સિસ્ટમ સાથે નહીં, પરંતુ તેના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ સાથે કામ કરવું વધુ અનુકૂળ છે, તેની પંક્તિઓ પરના તમામ પ્રાથમિક પરિવર્તનો કરવા. ગુણાંક a11 માટે 1 ની બરાબર હોવું અનુકૂળ છે (સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવો અથવા સમીકરણની બંને બાજુઓને a11 વડે વિભાજીત કરો).
2.2 ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ને ઉકેલવાના ઉદાહરણો
આ વિભાગમાં ત્રણ છે વિવિધ ઉદાહરણોચાલો બતાવીએ કે ગૌસીયન પદ્ધતિ SLAE કેવી રીતે ઉકેલી શકે છે.
ઉદાહરણ 1. 3જી ઓર્ડર SLAE ઉકેલો.
પર ગુણાંક રીસેટ કરીએ
બીજી અને ત્રીજી લાઇનમાં. આ કરવા માટે, તેમને અનુક્રમે 2/3 અને 1 વડે ગુણાકાર કરો અને તેમને પ્રથમ લાઇનમાં ઉમેરો:
રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની એક સિસ્ટમ આપવા દો જેને ઉકેલવાની જરૂર છે (અજ્ઞાત xi ના આવા મૂલ્યો શોધો જે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સમાનતામાં ફેરવે).
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ આ કરી શકે છે:
1) કોઈ ઉકેલ નથી (હો બિન-સંયુક્ત).
2) અનંત ઘણા ઉકેલો છે.
3) એક જ ઉપાય છે.
જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ, ક્રેમરનો નિયમ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિએવા કિસ્સાઓમાં અયોગ્ય છે કે જ્યાં સિસ્ટમમાં અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો હોય અથવા અસંગત હોય. ગૌસ પદ્ધતિ – રેખીય સમીકરણોની કોઈપણ સિસ્ટમના ઉકેલો શોધવા માટેનું સૌથી શક્તિશાળી અને બહુમુખી સાધન, જે દરેક કિસ્સામાંઅમને જવાબ તરફ દોરી જશે! મેથડ એલ્ગોરિધમ પોતે ત્રણેય કેસોમાં સમાન કામ કરે છે. જો ક્રેમર અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઓ માટે નિર્ણાયકોના જ્ઞાનની જરૂર હોય, તો પછી ગૌસ પદ્ધતિ લાગુ કરવા માટે તમારે માત્ર અંકગણિત કામગીરીના જ્ઞાનની જરૂર છે, જે તેને પ્રાથમિક શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પણ સુલભ બનાવે છે.
ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન્સ ( આ સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ છે - એક મેટ્રિક્સ જે ફક્ત અજાણ્યાના ગુણાંકથી બનેલું છે, ઉપરાંત મફત શરતોની કૉલમ)ગૌસ પદ્ધતિમાં રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો:
1) સાથે ટ્રોકીમેટ્રિક્સ કરી શકે છે ફરીથી ગોઠવોકેટલાક સ્થળોએ.
2) જો મેટ્રિક્સમાં પ્રમાણસર દેખાય છે (અથવા અસ્તિત્વમાં છે). ખાસ કેસ- સમાન) રેખાઓ, પછી તે અનુસરે છે કાઢી નાખોઆ બધી પંક્તિઓ એક સિવાય મેટ્રિક્સમાંથી છે.
3) જો પરિવર્તન દરમિયાન મેટ્રિક્સમાં શૂન્ય પંક્તિ દેખાય છે, તો તે પણ હોવી જોઈએ કાઢી નાખો.
4) મેટ્રિક્સની એક પંક્તિ હોઈ શકે છે ગુણાકાર (ભાગાકાર)શૂન્ય સિવાયની કોઈપણ સંખ્યા માટે.
5) મેટ્રિક્સની એક પંક્તિ સુધી તમે કરી શકો છો સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને બીજી સ્ટ્રિંગ ઉમેરો, શૂન્યથી અલગ.
ગૌસ પદ્ધતિમાં, પ્રાથમિક રૂપાંતરણો સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલને બદલતા નથી.
ગૌસ પદ્ધતિમાં બે તબક્કાઓ શામેલ છે:
- "ડાયરેક્ટ મૂવ" - પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને "ત્રિકોણાકાર" સ્ટેપ ફોર્મમાં લાવો: મુખ્ય કર્ણની નીચે સ્થિત વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના તત્વો શૂન્ય (ટોપ-ડાઉન ચાલ) ની બરાબર છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ પ્રકાર માટે:
આ કરવા માટે, નીચેના પગલાંઓ કરો:
1) ચાલો રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ અને x 1 માટે ગુણાંક K બરાબર છે. બીજું, ત્રીજું, વગેરે. અમે સમીકરણોને નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત કરીએ છીએ: અમે દરેક સમીકરણમાં અજ્ઞાત x 1 ના ગુણાંક દ્વારા દરેક સમીકરણ (અજાણ્યાના ગુણાંક, મુક્ત શરતો સહિત) ને વિભાજીત કરીએ છીએ, અને K વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. આ પછી, આપણે બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરીએ છીએ ( અજાણ્યા અને મુક્ત શબ્દોના ગુણાંક). બીજા સમીકરણમાં x 1 માટે આપણે ગુણાંક 0 મેળવીએ છીએ. ત્રીજા રૂપાંતરિત સમીકરણમાંથી આપણે પ્રથમ સમીકરણને બાદ કરીએ ત્યાં સુધી પ્રથમ સિવાયના તમામ સમીકરણો, અજાણ્યા x 1 માટે, ગુણાંક 0 હોય.
2) ચાલો આગળના સમીકરણ પર જઈએ. ચાલો આ બીજું સમીકરણ હોઈએ અને x 2 બરાબર M નું ગુણાંક. આપણે ઉપર વર્ણવ્યા પ્રમાણે બધા "નીચલા" સમીકરણો સાથે આગળ વધીએ. આમ, અજ્ઞાત x 2 ની "નીચે" બધા સમીકરણોમાં શૂન્ય હશે.
3) આગલા સમીકરણ પર આગળ વધો અને આ રીતે જ્યાં સુધી એક છેલ્લું અજ્ઞાત ન રહે અને રૂપાંતરિત મુક્ત શબ્દ બાકી રહે.
- ગૌસ પદ્ધતિની "વિપરીત ચાલ" એ રેખીય બીજગણિત સમીકરણો ("બોટમ-અપ" ચાલ) ની સિસ્ટમનો ઉકેલ મેળવવાનો છે. છેલ્લા "નીચલા" સમીકરણમાંથી આપણે એક પ્રથમ ઉકેલ મેળવીએ છીએ - અજ્ઞાત x n. આ કરવા માટે, અમે પ્રાથમિક સમીકરણ A * x n = B ઉકેલીએ છીએ. ઉપર આપેલા ઉદાહરણમાં, x 3 = 4. અમે "ઉપલા" આગલા સમીકરણમાં મળેલ મૂલ્યને બદલીએ છીએ અને તેને આગલા અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં હલ કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, x 2 – 4 = 1, એટલે કે. x 2 = 5. અને જ્યાં સુધી આપણે બધા અજાણ્યા શોધીએ ત્યાં સુધી.
ઉદાહરણ.
ચાલો ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ, જેમ કે કેટલાક લેખકો સલાહ આપે છે:
ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ:
અમે ઉપર ડાબી બાજુ "પગલું" જોઈએ છીએ. આપણે ત્યાં એક હોવું જોઈએ. સમસ્યા એ છે કે પ્રથમ કૉલમમાં કોઈ એકમો નથી, તેથી પંક્તિઓને ફરીથી ગોઠવવાથી કંઈપણ હલ થશે નહીં. આવા કિસ્સાઓમાં, એકમ પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને ગોઠવાયેલ હોવું જોઈએ. આ સામાન્ય રીતે ઘણી રીતે કરી શકાય છે. ચાલો આ કરીએ:
1 પગલું
. પ્રથમ લીટીમાં આપણે બીજી લીટી ઉમેરીએ છીએ, -1 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. એટલે કે, અમે માનસિક રીતે બીજી લાઇનને –1 વડે ગુણાકાર કરી અને પ્રથમ અને બીજી લાઇન ઉમેરી, જ્યારે બીજી લાઇન બદલાઈ નહીં.
હવે ઉપર ડાબી બાજુએ “માઈનસ વન” છે, જે આપણને ખૂબ અનુકૂળ આવે છે. કોઈપણ જે +1 મેળવવા માંગે છે તે વધારાની ક્રિયા કરી શકે છે: પ્રથમ લીટીને –1 વડે ગુણાકાર કરો (તેનું ચિહ્ન બદલો).
પગલું 2 . પ્રથમ લીટી, 5 વડે ગુણાકાર, બીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી. પ્રથમ લીટી, 3 વડે ગુણાકાર, ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી.
પગલું 3 . પ્રથમ લાઇનને –1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો, સૈદ્ધાંતિક રીતે, આ સુંદરતા માટે છે. ત્રીજી લાઇનનું ચિહ્ન પણ બદલાયું હતું અને તેને બીજા સ્થાને ખસેડવામાં આવ્યું હતું, જેથી બીજા "પગલાં" પર અમારી પાસે જરૂરી એકમ હતું.
પગલું 4 . ત્રીજી લાઇન બીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, જેનો 2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.
પગલું 5 . ત્રીજી લાઇનને 3 વડે વિભાજિત કરવામાં આવી હતી.
એક ચિહ્ન જે ગણતરીમાં ભૂલ સૂચવે છે (વધુ ભાગ્યે જ, ટાઇપો) એ "ખરાબ" બોટમ લાઇન છે. એટલે કે, જો આપણને નીચે (0 0 11 |23) જેવું કંઈક મળ્યું હોય, અને તે મુજબ, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, તો સાથે મોટો હિસ્સોસંભાવના, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે પ્રાથમિક પરિવર્તન દરમિયાન ભૂલ થઈ હતી.
ચાલો ઊલટું કરીએ; ઉદાહરણોની રચનામાં, સિસ્ટમ પોતે ઘણીવાર ફરીથી લખાતી નથી, પરંતુ સમીકરણો "આપેલ મેટ્રિક્સમાંથી સીધા લેવામાં આવે છે." વિપરીત ચાલ, હું તમને યાદ કરાવું છું, નીચેથી ઉપર કામ કરે છે. આ ઉદાહરણમાં, પરિણામ ભેટ હતું:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, તેથી x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
જવાબ આપો:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
ચાલો સૂચિત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સમાન સિસ્ટમને હલ કરીએ. અમને મળે છે
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
બીજા સમીકરણને 5 વડે અને ત્રીજાને 3 વડે વિભાજીત કરો. આપણને મળે છે:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
બીજા અને ત્રીજા સમીકરણને 4 વડે ગુણાકાર કરવાથી આપણને મળે છે:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
બીજા અને ત્રીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરો, અમારી પાસે છે:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
ત્રીજા સમીકરણને 0.64 વડે વિભાજીત કરો:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
ત્રીજા સમીકરણને 0.4 વડે ગુણાકાર કરો
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
ત્રીજા સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીને, આપણે "સ્ટેપ્ડ" વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
આમ, ગણતરી દરમિયાન ભૂલ એકઠી થઈ હોવાથી, આપણે x 3 = 0.96 અથવા આશરે 1 મેળવીએ છીએ.
x 2 = 3 અને x 1 = –1.
આ રીતે ઉકેલવાથી, તમે ગણતરીમાં ક્યારેય ગૂંચવશો નહીં અને, ગણતરીની ભૂલો હોવા છતાં, તમને પરિણામ મળશે.
રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવાની આ પદ્ધતિ પ્રોગ્રામ કરવા માટે સરળ છે અને તે ધ્યાનમાં લેતી નથી ચોક્કસ લક્ષણોઅજ્ઞાત માટે ગુણાંક, કારણ કે વ્યવહારમાં (આર્થિક અને તકનીકી ગણતરીઓમાં) વ્યક્તિએ બિન-પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે.
હું તમને સફળતાની ઇચ્છા કરું છું! વર્ગમાં મળીશું! શિક્ષક દિમિત્રી આયસ્ટ્રાખાનોવ.
વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.
આ લેખમાં, પદ્ધતિને રેખીય સમીકરણો (SLAEs) ની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ તરીકે ગણવામાં આવે છે. પદ્ધતિ વિશ્લેષણાત્મક છે, એટલે કે, તે તમને સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ લખવાની મંજૂરી આપે છે સામાન્ય દૃશ્ય, અને પછી ત્યાં ચોક્કસ ઉદાહરણોમાંથી મૂલ્યો બદલો. મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અથવા ક્રેમરના સૂત્રોથી વિપરીત, જ્યારે ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલી રહ્યા હોય, ત્યારે તમે એવા લોકો સાથે પણ કામ કરી શકો છો કે જેની પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે. અથવા તેઓ પાસે તે બિલકુલ નથી.
ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ લાવવાનો અર્થ શું છે?
પ્રથમ, આપણે આપણી સમીકરણોની સિસ્ટમ લખવાની જરૂર છે તે આના જેવું દેખાય છે. સિસ્ટમ લો:
ગુણાંક કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, અને મફત શરતો જમણી બાજુએ એક અલગ કૉલમમાં લખવામાં આવે છે. મફત શરતો સાથેની કૉલમ સુવિધા માટે અલગ કરવામાં આવી છે. મેટ્રિક્સ જેમાં આ કૉલમનો સમાવેશ થાય છે તેને વિસ્તૃત કહેવામાં આવે છે.
આગળ, સહગુણાંકો સાથેનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ ઉપલા ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવું આવશ્યક છે. ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવાનો આ મુખ્ય મુદ્દો છે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, ચોક્કસ મેનિપ્યુલેશન્સ પછી, મેટ્રિક્સ દેખાવું જોઈએ જેથી તેના નીચલા ડાબા ભાગમાં ફક્ત શૂન્ય હોય:
પછી, જો તમે નવા મેટ્રિક્સને સમીકરણોની સિસ્ટમ તરીકે ફરીથી લખો, તો તમે જોશો કે છેલ્લી પંક્તિમાં પહેલાથી જ મૂળમાંથી એકની કિંમત છે, જે પછી ઉપરના સમીકરણમાં બદલાઈ જાય છે, બીજું મૂળ મળે છે, વગેરે.
આ સૌથી વધુ ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનું વર્ણન છે સામાન્ય રૂપરેખા. અચાનક તંત્ર પાસે કોઈ ઉકેલ ન આવે તો શું થાય? અથવા તેમાંના અનંત ઘણા છે? આ અને અન્ય ઘણા પ્રશ્નોના જવાબો આપવા માટે, ગૌસીયન પદ્ધતિને ઉકેલવામાં ઉપયોગમાં લેવાતા તમામ ઘટકોને અલગથી ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી છે.
મેટ્રિસિસ, તેમની મિલકતો
મેટ્રિક્સમાં કોઈ છુપાયેલ અર્થ નથી. તે સરળ છે અનુકૂળ રીતતેમની સાથે અનુગામી કામગીરી માટે ડેટા રેકોર્ડિંગ. શાળાના બાળકોને પણ તેમનાથી ડરવાની જરૂર નથી.
મેટ્રિક્સ હંમેશા લંબચોરસ હોય છે, કારણ કે તે વધુ અનુકૂળ છે. ગૌસ પદ્ધતિમાં પણ, જ્યાં બધું ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ બાંધવા માટે નીચે આવે છે, પ્રવેશમાં એક લંબચોરસ દેખાય છે, ફક્ત તે જગ્યાએ શૂન્ય સાથે જ્યાં કોઈ સંખ્યાઓ નથી. શૂન્ય લખી શકાતું નથી, પરંતુ તે ગર્ભિત છે.
મેટ્રિક્સનું કદ છે. તેની "પહોળાઈ" એ પંક્તિઓની સંખ્યા છે (m), "લંબાઈ" એ કૉલમની સંખ્યા છે (n). પછી મેટ્રિક્સ A (કેપિટલ લેટિન અક્ષરો સામાન્ય રીતે તેમને દર્શાવવા માટે વપરાય છે) નું કદ A m×n તરીકે સૂચવવામાં આવશે. જો m=n, તો આ મેટ્રિક્સ ચોરસ છે, અને m=n એ તેનો ક્રમ છે. તદનુસાર, મેટ્રિક્સ A ના કોઈપણ ઘટકને તેની પંક્તિ અને કૉલમ નંબરો દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે: a xy ; x - પંક્તિ નંબર, ફેરફારો, y - કૉલમ નંબર, ફેરફારો.
B એ નિર્ણયનો મુખ્ય મુદ્દો નથી. સૈદ્ધાંતિક રીતે, બધી ક્રિયાઓ સીધા સમીકરણો સાથે જાતે કરી શકાય છે, પરંતુ સંકેત વધુ બોજારૂપ હશે, અને તેમાં મૂંઝવણમાં આવવું વધુ સરળ રહેશે.
નિર્ધારક
મેટ્રિક્સમાં નિર્ણાયક પણ છે. આ ખૂબ જ છે મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતા. હવે તેનો અર્થ શોધવાની જરૂર નથી; તમે ફક્ત બતાવી શકો છો કે તે કેવી રીતે ગણવામાં આવે છે, અને પછી તે મેટ્રિક્સના કયા ગુણધર્મો નક્કી કરે છે તે જણાવો. નિર્ણાયકને શોધવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો કર્ણ દ્વારા છે. મેટ્રિક્સમાં કાલ્પનિક કર્ણ દોરવામાં આવે છે; તેમાંના દરેક પર સ્થિત તત્વોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને પછી પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરવામાં આવે છે: જમણી તરફ ઢોળાવ સાથે કર્ણ - વત્તા ચિહ્ન સાથે, ડાબી બાજુ ઢોળાવ સાથે - ઓછા ચિહ્ન સાથે.
એ નોંધવું અત્યંત અગત્યનું છે કે નિર્ણાયકની ગણતરી માત્ર ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે જ કરી શકાય છે. લંબચોરસ મેટ્રિક્સ માટે, તમે નીચે મુજબ કરી શકો છો: પંક્તિઓની સંખ્યા અને કૉલમની સંખ્યામાંથી સૌથી નાનું પસંદ કરો (તેને k હોવા દો), અને પછી મેટ્રિક્સમાં k કૉલમ્સ અને k પંક્તિઓને રેન્ડમલી માર્ક કરો. પસંદ કરેલ કૉલમ અને પંક્તિઓના આંતરછેદ પરના તત્વો એક નવું ચોરસ મેટ્રિક્સ બનાવશે. જો આવા મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક બિન-શૂન્ય સંખ્યા હોય, તો તેને મૂળ લંબચોરસ મેટ્રિક્સનો આધાર ગૌણ કહેવામાં આવે છે.
તમે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, નિર્ણાયકની ગણતરી કરવામાં નુકસાન થતું નથી. જો તે શૂન્ય હોવાનું બહાર આવે છે, તો આપણે તરત જ કહી શકીએ કે મેટ્રિક્સમાં કાં તો અસંખ્ય ઉકેલો છે અથવા તો કંઈ જ નથી. આવા ઉદાસી કિસ્સામાં, તમારે વધુ આગળ વધવાની અને મેટ્રિક્સના રેન્ક વિશે જાણવાની જરૂર છે.
સિસ્ટમ વર્ગીકરણ
મેટ્રિક્સની રેન્ક જેવી વસ્તુ છે. આ તેના બિન-શૂન્ય નિર્ણાયકનો મહત્તમ ક્રમ છે (જો આપણે બેઝિસ માઇનોર વિશે યાદ રાખીએ, તો આપણે કહી શકીએ કે મેટ્રિક્સનો રેન્ક એ બેઝિસ માઇનોરનો ક્રમ છે).
રેન્ક સાથેની પરિસ્થિતિના આધારે, SLAE ને આમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
- સંયુક્ત. યુસંયુક્ત પ્રણાલીઓમાં, મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ (માત્ર ગુણાંકનો સમાવેશ થાય છે) વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ (મુક્ત શરતોના કૉલમ સાથે) ની રેન્ક સાથે એકરુપ છે. આવી પ્રણાલીઓમાં સોલ્યુશન હોય છે, પરંતુ તે જરૂરી નથી, તેથી, વધુમાં, સંયુક્ત સિસ્ટમો આમાં વહેંચાયેલી છે:
- - ચોક્કસ- એક જ ઉકેલ છે. અમુક સિસ્ટમોમાં, મેટ્રિક્સનો ક્રમ અને અજાણ્યાઓની સંખ્યા (અથવા કૉલમની સંખ્યા, જે સમાન વસ્તુ છે) સમાન હોય છે;
- - અવ્યાખ્યાયિત -અસંખ્ય ઉકેલો સાથે. આવી સિસ્ટમોમાં મેટ્રિસિસનો ક્રમ અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતા ઓછો છે.
- અસંગત. યુઆવી સિસ્ટમોમાં, મુખ્ય અને વિસ્તૃત મેટ્રિસિસની રેન્ક એકરૂપ થતી નથી. અસંગત સિસ્ટમો પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.
ગૌસ પદ્ધતિ સારી છે કારણ કે સોલ્યુશન દરમિયાન તે સિસ્ટમની અસંગતતાનો અસ્પષ્ટ પુરાવો (મોટા મેટ્રિસીસના નિર્ધારકોની ગણતરી કર્યા વિના) અથવા અસંખ્ય ઉકેલો ધરાવતી સિસ્ટમ માટે સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઉકેલ મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.
પ્રાથમિક પરિવર્તનો
સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે સીધા જ આગળ વધતા પહેલા, તમે તેને ઓછા બોજારૂપ અને ગણતરીઓ માટે વધુ અનુકૂળ બનાવી શકો છો. આ પ્રાથમિક પરિવર્તનો દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે - જેમ કે તેમના અમલીકરણથી અંતિમ જવાબ કોઈપણ રીતે બદલાતા નથી. એ નોંધવું જોઈએ કે આપેલ કેટલાક પ્રાથમિક પરિવર્તનો માત્ર મેટ્રિસિસ માટે જ માન્ય છે, જેનો સ્ત્રોત SLAE હતો. અહીં આ પરિવર્તનોની સૂચિ છે:
- ફરીથી ગોઠવણી રેખાઓ. દેખીતી રીતે, જો તમે સિસ્ટમ રેકોર્ડમાં સમીકરણોનો ક્રમ બદલો છો, તો આ ઉકેલને કોઈપણ રીતે અસર કરશે નહીં. પરિણામે, આ સિસ્ટમના મેટ્રિક્સમાંની પંક્તિઓ પણ અદલાબદલી થઈ શકે છે, અલબત્ત, મફત શરતોની કૉલમને ભૂલશો નહીં.
- ચોક્કસ ગુણાંક દ્વારા સ્ટ્રિંગના તમામ ઘટકોનો ગુણાકાર. ખૂબ જ ઉપયોગી! તેનો ઉપયોગ ટૂંકો કરવા માટે થઈ શકે છે મોટી સંખ્યાઓમેટ્રિક્સમાં અથવા શૂન્ય દૂર કરો. ઘણા નિર્ણયો, હંમેશની જેમ, બદલાશે નહીં, પરંતુ આગળની કામગીરી વધુ અનુકૂળ બનશે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે ગુણાંક શૂન્યની બરાબર નથી.
- પ્રમાણસર પરિબળો સાથે પંક્તિઓ દૂર કરી રહ્યા છીએ. આ અંશતઃ પાછલા ફકરામાંથી અનુસરે છે. જો મેટ્રિક્સમાં બે અથવા વધુ પંક્તિઓ પ્રમાણસર ગુણાંક ધરાવે છે, તો પછી જ્યારે પંક્તિઓમાંથી એકને પ્રમાણસર ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર/વિભાજિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે બે (અથવા, ફરીથી, વધુ) એકદમ સમાન પંક્તિઓ પ્રાપ્ત થાય છે, અને વધારાની પંક્તિઓ દૂર કરી શકાય છે. માત્ર એક.
- નલ લીટી દૂર કરી રહ્યા છીએ. જો, રૂપાંતર દરમિયાન, એક પંક્તિ ક્યાંક પ્રાપ્ત થાય છે જેમાં મુક્ત શબ્દ સહિત તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય, તો આવી પંક્તિને શૂન્ય કહી શકાય અને મેટ્રિક્સની બહાર ફેંકી શકાય.
- એક પંક્તિના ઘટકોમાં બીજી પંક્તિના ઘટકો (અનુરૂપ કૉલમમાં) ઉમેરીને, ચોક્કસ ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. બધામાં સૌથી અસ્પષ્ટ અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ પરિવર્તન. તેના પર વધુ વિગતમાં રહેવું યોગ્ય છે.
પરિબળ વડે ગુણાકાર કરીને સ્ટ્રિંગ ઉમેરવી
સમજવાની સરળતા માટે, આ પ્રક્રિયાને તબક્કાવાર તોડવા યોગ્ય છે. મેટ્રિક્સમાંથી બે પંક્તિઓ લેવામાં આવી છે:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
ચાલો કહીએ કે તમારે પ્રથમને બીજામાં ઉમેરવાની જરૂર છે, ગુણાંક "-2" દ્વારા ગુણાકાર.
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
પછી મેટ્રિક્સની બીજી પંક્તિને નવી સાથે બદલવામાં આવે છે, અને પ્રથમ યથાવત રહે છે.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
એ નોંધવું જોઈએ કે ગુણાકાર ગુણાંક એવી રીતે પસંદ કરી શકાય છે કે, બે પંક્તિઓ ઉમેરવાના પરિણામે, નવી પંક્તિના ઘટકોમાંથી એક શૂન્ય બરાબર છે. તેથી, એવી સિસ્ટમમાં સમીકરણ મેળવવું શક્ય છે જ્યાં એક ઓછું અજ્ઞાત હશે. અને જો તમને આવા બે સમીકરણો મળે, તો ઓપરેશન ફરીથી કરી શકાય છે અને એક સમીકરણ મેળવી શકાય છે જેમાં બે ઓછા અજાણ્યા હશે. અને જો દરેક વખતે તમે મૂળ પંક્તિઓની નીચેની તમામ પંક્તિઓમાંથી એક ગુણાંકને શૂન્યમાં ફેરવો છો, તો તમે સીડીની જેમ, મેટ્રિક્સના ખૂબ જ તળિયે જઈ શકો છો અને એક અજ્ઞાત સાથેનું સમીકરણ મેળવી શકો છો. આને ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનું નિરાકરણ કહેવામાં આવે છે.
સામાન્ય રીતે
એક સિસ્ટમ બનવા દો. તેમાં m સમીકરણો અને n અજ્ઞાત મૂળ છે. તમે તેને નીચે પ્રમાણે લખી શકો છો:
મુખ્ય મેટ્રિક્સ સિસ્ટમ ગુણાંકમાંથી સંકલિત કરવામાં આવે છે. વિસ્તૃત મેટ્રિક્સમાં મફત શરતોનો કૉલમ ઉમેરવામાં આવે છે અને અનુકૂળતા માટે, એક રેખા દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે.
- મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિનો ગુણાંક k = (-a 21 /a 11) દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે;
- પ્રથમ સંશોધિત પંક્તિ અને મેટ્રિક્સની બીજી પંક્તિ ઉમેરવામાં આવે છે;
- બીજી પંક્તિને બદલે, અગાઉના ફકરામાંથી ઉમેરાનું પરિણામ મેટ્રિક્સમાં દાખલ કરવામાં આવે છે;
- હવે નવી બીજી હરોળમાં પ્રથમ ગુણાંક એ 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 છે.
હવે પરિવર્તનની સમાન શ્રેણી કરવામાં આવે છે, ફક્ત પ્રથમ અને ત્રીજી પંક્તિઓ સામેલ છે. તદનુસાર, અલ્ગોરિધમના દરેક પગલા પર, તત્વ a 21 ને 31 દ્વારા બદલવામાં આવે છે. પછી બધું 41, ... a m1 માટે પુનરાવર્તિત થાય છે. પરિણામ એ મેટ્રિક્સ છે જ્યાં પંક્તિઓમાં પ્રથમ તત્વ શૂન્ય છે. હવે તમારે લીટી નંબર એક વિશે ભૂલી જવાની અને લીટી બેથી શરૂ કરીને સમાન અલ્ગોરિધમ કરવાની જરૂર છે:
- ગુણાંક k = (-a 32 /a 22);
- બીજી સંશોધિત લાઇન "વર્તમાન" લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવે છે;
- ઉમેરાનું પરિણામ ત્રીજી, ચોથી અને તેથી લીટીઓમાં બદલાય છે, જ્યારે પ્રથમ અને બીજું યથાવત રહે છે;
- મેટ્રિક્સની પંક્તિઓમાં પ્રથમ બે તત્વો પહેલાથી જ શૂન્ય સમાન છે.
જ્યાં સુધી ગુણાંક k = (-a m,m-1 /a mm) દેખાય ત્યાં સુધી અલ્ગોરિધમનું પુનરાવર્તન કરવું આવશ્યક છે. આનો અર્થ એ છે કે છેલ્લી વખત અલ્ગોરિધમનો અમલ કરવામાં આવ્યો હતો તે ફક્ત નીચલા સમીકરણ માટે હતો. હવે મેટ્રિક્સ ત્રિકોણ જેવો દેખાય છે, અથવા સ્ટેપ્ડ આકાર ધરાવે છે. નીચે લીટીમાં સમાનતા a mn × x n = b m છે. ગુણાંક અને મુક્ત શબ્દ જાણીતો છે, અને મૂળ તેમના દ્વારા વ્યક્ત થાય છે: x n = b m /a mn. x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 શોધવા માટે પરિણામી મૂળને ટોચની લાઇનમાં બદલવામાં આવે છે. અને તેથી સમાનતા દ્વારા: દરેક આગલી લાઇનમાં એક નવું મૂળ છે, અને, સિસ્ટમના "ટોચ" પર પહોંચ્યા પછી, તમે ઘણા ઉકેલો શોધી શકો છો. તે એક જ હશે.
જ્યારે કોઈ ઉકેલ નથી
જો મેટ્રિક્સ પંક્તિઓમાંથી એકમાં ફ્રી ટર્મ સિવાયના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો આ પંક્તિને અનુરૂપ સમીકરણ 0 = b જેવું દેખાય છે. તેનો કોઈ ઉકેલ નથી. અને કારણ કે આવા સમીકરણ સિસ્ટમમાં શામેલ છે, તો પછી સમગ્ર સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ ખાલી છે, એટલે કે, તે અધોગતિ છે.
જ્યારે અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે
એવું બની શકે છે કે આપેલ ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સમાં સમીકરણના એક ગુણાંક ઘટક અને એક મુક્ત પદ સાથે કોઈ પંક્તિઓ નથી. ત્યાં માત્ર એવી રેખાઓ છે જે, જ્યારે ફરીથી લખવામાં આવે છે, ત્યારે તે બે અથવા વધુ ચલો સાથેના સમીકરણની જેમ દેખાશે. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે. આ કિસ્સામાં, જવાબ સામાન્ય ઉકેલના સ્વરૂપમાં આપી શકાય છે. તે કેવી રીતે કરવું?
મેટ્રિક્સના તમામ ચલોને મૂળભૂત અને મફતમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યા છે. મૂળભૂત તે છે જે સ્ટેપ મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓની "ધાર પર" ઊભા છે. બાકીના મફત છે. સામાન્ય સોલ્યુશનમાં, મૂળભૂત ચલો મફતમાં લખવામાં આવે છે.
સગવડ માટે, મેટ્રિક્સને પહેલા સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ફરીથી લખવામાં આવે છે. પછી તેમાંના છેલ્લામાં, જ્યાં બરાબર માત્ર એક મૂળભૂત ચલ બાકી છે, તે એક બાજુ રહે છે, અને બાકીનું બધું બીજી તરફ સ્થાનાંતરિત થાય છે. આ એક મૂળભૂત ચલ સાથે દરેક સમીકરણ માટે કરવામાં આવે છે. પછી, બાકીના સમીકરણોમાં, જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં, તેના માટે મેળવેલ અભિવ્યક્તિ મૂળભૂત ચલને બદલે અવેજી કરવામાં આવે છે. જો પરિણામ ફરીથી માત્ર એક મૂળભૂત ચલ ધરાવતી અભિવ્યક્તિ છે, તો તે ફરીથી ત્યાંથી વ્યક્ત થાય છે, અને તેથી જ, જ્યાં સુધી દરેક મૂળભૂત ચલ મુક્ત ચલો સાથે અભિવ્યક્તિ તરીકે લખવામાં ન આવે ત્યાં સુધી. આ SLAE નો સામાન્ય ઉકેલ છે.
તમે સિસ્ટમનો મૂળભૂત ઉકેલ પણ શોધી શકો છો - મફત ચલોને કોઈપણ મૂલ્યો આપો, અને પછી આ ચોક્કસ કેસ માટે મૂળભૂત ચલોની કિંમતોની ગણતરી કરો. ત્યાં અસંખ્ય ચોક્કસ ઉકેલો છે જે આપી શકાય છે.
ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે ઉકેલ
અહીં સમીકરણોની સિસ્ટમ છે.
સગવડ માટે, તેનું મેટ્રિક્સ તરત જ બનાવવું વધુ સારું છે
તે જાણીતું છે કે જ્યારે ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રથમ પંક્તિને અનુરૂપ સમીકરણ પરિવર્તનના અંતે યથાવત રહેશે. તેથી, જો ડાબેરી હોય તો તે વધુ નફાકારક રહેશે ટોચનું તત્વમેટ્રિક્સ સૌથી નાનું હશે - પછી ઓપરેશન પછી બાકીની પંક્તિઓના પ્રથમ ઘટકો શૂન્ય થઈ જશે. આનો અર્થ એ છે કે સંકલિત મેટ્રિક્સમાં પ્રથમની જગ્યાએ બીજી પંક્તિ મૂકવી ફાયદાકારક રહેશે.
બીજી લીટી: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
ત્રીજી પંક્તિ: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
હવે, મૂંઝવણમાં ન આવવા માટે, તમારે પરિવર્તનના મધ્યવર્તી પરિણામો સાથે મેટ્રિક્સ લખવાની જરૂર છે.
દેખીતી રીતે, આવા મેટ્રિક્સને ચોક્કસ કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને ધારણા માટે વધુ અનુકૂળ બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે દરેક ઘટકને “-1” વડે ગુણાકાર કરીને બીજી લાઇનમાંથી તમામ “બાદબાકી” દૂર કરી શકો છો.
એ નોંધવું પણ યોગ્ય છે કે ત્રીજી લાઇનમાં બધા તત્વો ત્રણના ગુણાંક છે. પછી તમે દરેક ઘટકને "-1/3" વડે ગુણાકાર કરીને, આ સંખ્યા દ્વારા રેખા ટૂંકી કરી શકો છો (માઈનસ - તે જ સમયે, દૂર કરવા માટે નકારાત્મક મૂલ્યો).
વધુ સરસ લાગે છે. હવે આપણે પ્રથમ લાઇનને એકલા છોડીને બીજી અને ત્રીજી સાથે કામ કરવાની જરૂર છે. કાર્ય એ ત્રીજી લાઇનમાં બીજી લાઇન ઉમેરવાનું છે, આવા ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે કે તત્વ a 32 શૂન્યની બરાબર બને છે.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (જો અમુક રૂપાંતરણ દરમિયાન જવાબ પૂર્ણાંક ન હોય તો, છોડવા માટેની ગણતરીઓની ચોકસાઈ જાળવવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે. તે "જેમ છે તેમ", સ્વરૂપમાં સામાન્ય અપૂર્ણાંક, અને માત્ર ત્યારે જ, જ્યારે જવાબો પ્રાપ્ત થાય, ત્યારે નક્કી કરો કે શું રાઉન્ડ કરવું અને રેકોર્ડિંગના બીજા સ્વરૂપમાં કન્વર્ટ કરવું)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
મેટ્રિક્સ ફરીથી નવા મૂલ્યો સાથે લખવામાં આવે છે.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
જેમ તમે જોઈ શકો છો, પરિણામી મેટ્રિક્સ પહેલાથી જ સ્ટેપ્ડ ફોર્મ ધરાવે છે. તેથી, ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના વધુ પરિવર્તનની જરૂર નથી. અહીં શું કરી શકાય છે તે ત્રીજી લાઇનમાંથી દૂર કરવાનું છે એકંદર ગુણાંક "-1/7".
હવે બધું સુંદર છે. સમીકરણોની સિસ્ટમના રૂપમાં મેટ્રિક્સને ફરીથી લખવાનું અને મૂળની ગણતરી કરવાનું બાકી છે.
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
એલ્ગોરિધમ કે જેના દ્વારા હવે મૂળ શોધવામાં આવશે તેને ગૌસીયન પદ્ધતિમાં રિવર્સ મૂવ કહેવામાં આવે છે. સમીકરણ (3) z મૂલ્ય ધરાવે છે:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
અને પ્રથમ સમીકરણ આપણને x શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
અમારી પાસે આવી સિસ્ટમને સંયુક્ત કૉલ કરવાનો અધિકાર છે, અને તે પણ નિશ્ચિત છે, એટલે કે, એક અનન્ય ઉકેલ છે. જવાબ નીચેના ફોર્મમાં લખાયેલ છે:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
અનિશ્ચિત સિસ્ટમનું ઉદાહરણ
ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ સિસ્ટમને ઉકેલવાના પ્રકારનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે; હવે જો સિસ્ટમ અનિશ્ચિત હોય તો તે કેસને ધ્યાનમાં લેવો જરૂરી છે, એટલે કે, તેના માટે અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો શોધી શકાય છે.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
સિસ્ટમનો દેખાવ પહેલેથી જ ચિંતાજનક છે, કારણ કે અજાણ્યાઓની સંખ્યા n = 5 છે, અને સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો ક્રમ પહેલાથી જ આ સંખ્યા કરતા બરાબર ઓછો છે, કારણ કે પંક્તિઓની સંખ્યા m = 4 છે, એટલે કે, નિર્ણાયક-ચોરસનો સૌથી મોટો ક્રમ 4 છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં અસંખ્ય ઉકેલો છે, અને તમારે તેના સામાન્ય દેખાવને જોવાની જરૂર છે. રેખીય સમીકરણો માટેની ગૌસ પદ્ધતિ તમને આ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
પ્રથમ, હંમેશની જેમ, વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ સંકલિત કરવામાં આવે છે.
બીજી લાઇન: ગુણાંક k = (-a 21 /a 11) = -3. ત્રીજી લાઇનમાં, પ્રથમ તત્વ રૂપાંતરણ પહેલાં છે, તેથી તમારે કંઈપણ સ્પર્શ કરવાની જરૂર નથી, તમારે તેને જેમ છે તેમ છોડવાની જરૂર છે. ચોથી લીટી: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
પ્રથમ પંક્તિના ઘટકોને બદલામાં તેમના દરેક ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરીને અને તેમને જરૂરી પંક્તિઓમાં ઉમેરીને, અમે નીચેના ફોર્મનું મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ:
જેમ તમે જોઈ શકો છો, બીજી, ત્રીજી અને ચોથી પંક્તિઓ એકબીજાના પ્રમાણસર તત્વો ધરાવે છે. બીજી અને ચોથી સામાન્ય રીતે સમાન હોય છે, તેથી તેમાંથી એકને તરત જ દૂર કરી શકાય છે, અને બાકીની એકને ગુણાંક “-1” વડે ગુણાકાર કરી શકાય છે અને લાઇન નંબર 3 મેળવી શકાય છે. અને ફરીથી, બે સરખી રેખાઓમાંથી, એક છોડી દો.
પરિણામ આના જેવું મેટ્રિક્સ છે. જ્યારે સિસ્ટમ હજી સુધી લખવામાં આવી નથી, ત્યારે અહીં મૂળભૂત ચલો નક્કી કરવા જરૂરી છે - જે ગુણાંક 11 = 1 અને 22 = 1 પર ઊભા છે, અને મફત રાશિઓ - બાકીના બધા.
બીજા સમીકરણમાં માત્ર એક મૂળભૂત ચલ છે - x 2. આનો અર્થ એ છે કે તેને ત્યાંથી x 3 , x 4 , x 5 ચલ દ્વારા લખીને વ્યક્ત કરી શકાય છે, જે મુક્ત છે.
અમે પરિણામી અભિવ્યક્તિને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ.
પરિણામ એ એક સમીકરણ છે જેમાં માત્ર મૂળભૂત ચલ x 1 છે. ચાલો તેની સાથે x 2 ની જેમ જ કરીએ.
તમામ મૂળભૂત ચલો, જેમાંથી બે છે, તે ત્રણ મુક્તની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે; હવે આપણે સામાન્ય સ્વરૂપમાં જવાબ લખી શકીએ છીએ.
તમે સિસ્ટમના ચોક્કસ ઉકેલોમાંથી એક પણ સ્પષ્ટ કરી શકો છો. આવા કિસ્સાઓ માટે, શૂન્ય સામાન્ય રીતે મફત ચલો માટે મૂલ્યો તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે. પછી જવાબ હશે:
16, 23, 0, 0, 0.
બિન-સહકારી પ્રણાલીનું ઉદાહરણ
ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીઓને ઉકેલવી એ સૌથી ઝડપી છે. તે તરત જ સમાપ્ત થાય છે કારણ કે એક તબક્કે એક સમીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે જેનો કોઈ ઉકેલ નથી. એટલે કે, મૂળની ગણતરી કરવાનો તબક્કો, જે ખૂબ લાંબો અને કંટાળાજનક છે, તે દૂર થઈ ગયો છે. નીચેની સિસ્ટમ ગણવામાં આવે છે:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
હંમેશની જેમ, મેટ્રિક્સ સંકલિત કરવામાં આવે છે:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
અને તે એક પગલાવાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
પ્રથમ રૂપાંતર પછી, ત્રીજી લાઇન ફોર્મનું સમીકરણ ધરાવે છે
ઉકેલ વિના. પરિણામે, સિસ્ટમ અસંગત છે, અને જવાબ ખાલી સેટ હશે.
પદ્ધતિના ફાયદા અને ગેરફાયદા
જો તમે પેન વડે કાગળ પર SLAE ને ઉકેલવા માટેની કઈ પદ્ધતિ પસંદ કરો છો, તો આ લેખમાં જે પદ્ધતિની ચર્ચા કરવામાં આવી છે તે સૌથી આકર્ષક લાગે છે. જો તમારે નિર્ણાયક અથવા કેટલાક મુશ્કેલ વિપરીત મેટ્રિક્સ માટે જાતે શોધ કરવી પડે તેના કરતાં પ્રારંભિક પરિવર્તનોમાં મૂંઝવણમાં આવવું વધુ મુશ્કેલ છે. જો કે, જો તમે આ પ્રકારના ડેટા સાથે કામ કરવા માટે પ્રોગ્રામ્સનો ઉપયોગ કરો છો, ઉદાહરણ તરીકે, સ્પ્રેડશીટ્સ, તો પછી તે તારણ આપે છે કે આવા પ્રોગ્રામ્સમાં મેટ્રિસિસના મુખ્ય પરિમાણો - નિર્ણાયક, સગીર, વ્યસ્ત અને તેથી વધુની ગણતરી માટે પહેલાથી જ અલ્ગોરિધમ્સ હોય છે. અને જો તમને ખાતરી હોય કે મશીન આ મૂલ્યોની જાતે ગણતરી કરશે અને ભૂલ કરશે નહીં, તો મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અથવા ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો વધુ સલાહભર્યું છે, કારણ કે તેમની એપ્લિકેશન નિર્ધારકો અને વ્યસ્ત મેટ્રિસેસની ગણતરી સાથે શરૂ થાય છે અને સમાપ્ત થાય છે. .
અરજી
ગૌસીયન સોલ્યુશન એ અલ્ગોરિધમ હોવાથી, અને મેટ્રિક્સ વાસ્તવમાં દ્વિ-પરિમાણીય એરે છે, તેનો પ્રોગ્રામિંગમાં ઉપયોગ કરી શકાય છે. પરંતુ લેખ પોતાને "ડમીઝ માટે" માર્ગદર્શિકા તરીકે સ્થાન આપે છે, એવું કહેવું જોઈએ કે પદ્ધતિને સ્પ્રેડશીટ્સમાં મૂકવાનું સૌથી સરળ સ્થાન છે, ઉદાહરણ તરીકે, એક્સેલ. ફરીથી, મેટ્રિક્સના રૂપમાં કોષ્ટકમાં દાખલ થયેલ કોઈપણ SLAE ને એક્સેલ દ્વારા દ્વિ-પરિમાણીય એરે તરીકે ગણવામાં આવશે. અને તેમની સાથેની કામગીરી માટે ઘણા સરસ આદેશો છે: ઉમેરો (તમે માત્ર સમાન કદના મેટ્રિસિસ ઉમેરી શકો છો!), સંખ્યા વડે ગુણાકાર, મેટ્રિસનો ગુણાકાર (ચોક્કસ પ્રતિબંધો સાથે પણ), વ્યસ્ત અને સ્થાનાંતરિત મેટ્રિસિસ શોધવા અને, સૌથી અગત્યનું , નિર્ણાયકની ગણતરી. જો આ સમય માંગી લેનાર કાર્યને એક આદેશ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ વધુ ઝડપથી નક્કી કરવો શક્ય છે અને તેથી, તેની સુસંગતતા અથવા અસંગતતા સ્થાપિત કરો.
સિસ્ટમ આપવા દો, ∆≠0. (1)ગૌસ પદ્ધતિક્રમિક રીતે અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ છે.
ગૌસ પદ્ધતિનો સાર એ છે કે (1) ને ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સવાળી સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત કરવું, જેમાંથી તમામ અજ્ઞાતના મૂલ્યો પછી ક્રમિક રીતે (વિપરીત) મેળવવામાં આવે છે. ચાલો એક કોમ્પ્યુટેશનલ સ્કીમનો વિચાર કરીએ. આ સર્કિટને સિંગલ ડિવિઝન સર્કિટ કહેવામાં આવે છે. તો ચાલો આ રેખાકૃતિ જોઈએ. 11 ≠0 (અગ્રણી તત્વ) ને પ્રથમ સમીકરણને 11 વડે ભાગવા દો. અમને મળે છે
(2)
સમીકરણ (2) નો ઉપયોગ કરીને, સિસ્ટમના બાકીના સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા x 1 ને દૂર કરવું સરળ છે (આ કરવા માટે, દરેક સમીકરણમાંથી સમીકરણ (2) બાદબાકી કરવા માટે તે પૂરતું છે, અગાઉ x 1 માટે અનુરૂપ ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો) , એટલે કે, પ્રથમ પગલામાં આપણે મેળવીએ છીએ
.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પગલું 1 પર, અનુગામી પંક્તિઓનું દરેક ઘટક, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે મૂળ તત્વ અને તેના પ્રથમ કૉલમ અને પ્રથમ (રૂપાંતરિત) પંક્તિ પરના "પ્રોજેક્શન" ના ઉત્પાદન વચ્ચેના તફાવત જેટલો છે.
આ પછી, પ્રથમ સમીકરણને એકલા છોડીને, અમે પ્રથમ પગલામાં મેળવેલા સિસ્ટમના બાકીના સમીકરણો પર સમાન રૂપાંતર કરીએ છીએ: અમે તેમાંથી અગ્રણી તત્વ સાથેનું સમીકરણ પસંદ કરીએ છીએ અને તેની મદદથી, બાકીનામાંથી x 2 ને બાકાત કરીએ છીએ. સમીકરણો (પગલું 2).
n પગલાંઓ પછી, (1) ને બદલે, આપણે સમકક્ષ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ 
(3)
આમ, પ્રથમ તબક્કે આપણે ત્રિકોણાકાર સિસ્ટમ (3) મેળવીએ છીએ. આ તબક્કાને ફોરવર્ડ સ્ટ્રોક કહેવામાં આવે છે.
બીજા તબક્કે (વિપરીત), આપણે (3) x n, x n -1, ..., x 1 મૂલ્યોમાંથી ક્રમિક રીતે શોધીએ છીએ.
ચાલો પરિણામી ઉકેલને x 0 તરીકે દર્શાવીએ. પછી તફાવત ε=b-A x 0 શેષ કહેવાય છે.
જો ε=0 હોય, તો મળેલ ઉકેલ x 0 સાચો છે.
ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ બે તબક્કામાં કરવામાં આવે છે:
- પ્રથમ તબક્કાને ફોરવર્ડ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. પ્રથમ તબક્કે, મૂળ સિસ્ટમ ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
- બીજા તબક્કાને રિવર્સ સ્ટ્રોક કહેવામાં આવે છે. બીજા તબક્કે, મૂળની સમકક્ષ ત્રિકોણાકાર સિસ્ટમ ઉકેલાય છે.
દરેક પગલા પર, અગ્રણી તત્વ બિનશૂન્ય હોવાનું માનવામાં આવતું હતું. જો આ કિસ્સો ન હોય તો, સિસ્ટમના સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવતા હોય તેમ, અન્ય કોઈપણ તત્વનો અગ્રણી તત્વ તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે.
ગૌસ પદ્ધતિનો હેતુ
ગૌસ પદ્ધતિ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે રચાયેલ છે. સીધી ઉકેલ પદ્ધતિઓનો સંદર્ભ આપે છે.ગૌસીયન પદ્ધતિના પ્રકાર
- શાસ્ત્રીય ગૌસીયન પદ્ધતિ;
- ગૌસ પદ્ધતિના ફેરફારો. ગૌસીયન પદ્ધતિના ફેરફારોમાંની એક એ મુખ્ય તત્વની પસંદગી સાથેની યોજના છે. મુખ્ય તત્વની પસંદગી સાથે ગૌસ પદ્ધતિની વિશેષતા એ સમીકરણોની આવી પુનઃ ગોઠવણી છે જેથી kth સ્ટેપ પર અગ્રણી તત્વ kth સ્તંભમાં સૌથી મોટું તત્વ હોવાનું બહાર આવે.
- જોર્ડાનો-ગૌસ પદ્ધતિ;
ચાલો તફાવત સમજાવીએ જોર્ડાનો-ગૌસ પદ્ધતિઉદાહરણો સાથે ગૌસીયન પદ્ધતિમાંથી.
ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલનું ઉદાહરણ
ચાલો સિસ્ટમ હલ કરીએ: 
ગણતરીની સરળતા માટે, ચાલો લીટીઓને સ્વેપ કરીએ: 
ચાલો બીજી લીટીને (2) વડે ગુણાકાર કરીએ. 2જીમાં 3જી લાઇન ઉમેરો 
2જી લીટીને (-1) વડે ગુણાકાર કરો. 1 લી માં 2જી લાઇન ઉમેરો 
1લી લીટીથી આપણે x 3 વ્યક્ત કરીએ છીએ:
2જી લીટીથી આપણે x 2 વ્યક્ત કરીએ છીએ:
3જી લાઇનથી આપણે x 1 વ્યક્ત કરીએ છીએ:
જોર્ડાનો-ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલનું ઉદાહરણ
ચાલો Jordano-Gauss પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમાન SLAE ઉકેલીએ. 
અમે ક્રમિક રીતે રિઝોલ્વિંગ એલિમેન્ટ RE પસંદ કરીશું, જે મેટ્રિક્સના મુખ્ય કર્ણ પર આવેલું છે.
રિઝોલ્યુશન તત્વ (1) ની બરાબર છે.
NE = SE - (A*B)/RE
RE - રિઝોલ્વિંગ એલિમેન્ટ (1), A અને B - મેટ્રિક્સ તત્વો STE અને RE તત્વો સાથે લંબચોરસ બનાવે છે.
ચાલો દરેક તત્વની ગણતરી કોષ્ટકના રૂપમાં રજૂ કરીએ:
| x 1 | x 2 | x 3 | બી |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
નિરાકરણ તત્વ (3) ની બરાબર છે.
રિઝોલ્વિંગ એલિમેન્ટની જગ્યાએ આપણને 1 મળે છે, અને કોલમમાં જ આપણે શૂન્ય લખીએ છીએ.
મેટ્રિક્સના અન્ય તમામ ઘટકો, કૉલમ B ના ઘટકો સહિત, લંબચોરસ નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
આ કરવા માટે, અમે ચાર નંબરો પસંદ કરીએ છીએ જે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત છે અને તેમાં હંમેશા રિઝોલ્વિંગ તત્વ RE શામેલ છે.
| x 1 | x 2 | x 3 | બી |
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
રિઝોલ્યુશન એલિમેન્ટ (-4) છે.
રિઝોલ્વિંગ એલિમેન્ટની જગ્યાએ આપણને 1 મળે છે, અને કોલમમાં જ આપણે શૂન્ય લખીએ છીએ.
મેટ્રિક્સના અન્ય તમામ ઘટકો, કૉલમ B ના ઘટકો સહિત, લંબચોરસ નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
આ કરવા માટે, અમે ચાર નંબરો પસંદ કરીએ છીએ જે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત છે અને તેમાં હંમેશા રિઝોલ્વિંગ તત્વ RE શામેલ છે.
ચાલો દરેક તત્વની ગણતરી કોષ્ટકના રૂપમાં રજૂ કરીએ:
| x 1 | x 2 | x 3 | બી |
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
જવાબ આપો: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1