લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM): વ્યાખ્યા, ઉદાહરણો અને ગુણધર્મો. સંખ્યાઓનો નોડ અને નોક - સૌથી વધુ સામાન્ય વિભાજક અને ઘણી સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક

ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓઅને કાર્યો માટે ઘણાં વધારાના જ્ઞાનની જરૂર પડે છે. એનઓસી એ મુખ્ય મુદ્દાઓમાંની એક છે, ખાસ કરીને વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાય છે આ વિષય હાઇસ્કૂલમાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, અને તે સામગ્રીને સમજવું ખાસ મુશ્કેલ નથી; શક્તિઓ અને ગુણાકાર કોષ્ટકથી પરિચિત વ્યક્તિને જરૂરી સંખ્યાઓ ઓળખવામાં અને શોધવામાં મુશ્કેલી નહીં પડે. પરિણામ.

વ્યાખ્યા

સામાન્ય બહુવિધ એ એવી સંખ્યા છે જેને એક જ સમયે બે સંખ્યાઓમાં સંપૂર્ણપણે વિભાજિત કરી શકાય છે (a અને b). મોટેભાગે, આ સંખ્યા મૂળ સંખ્યાઓ a અને b નો ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે. સંખ્યા વિચલનો વિના, એકસાથે બંને સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.

NOC એ હોદ્દો માટે અપનાવવામાં આવેલું ટૂંકું નામ છે, જે પ્રથમ અક્ષરોમાંથી એકત્રિત કરવામાં આવે છે.

નંબર મેળવવાની રીતો

સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવાની પદ્ધતિ હંમેશા LCM શોધવા માટે યોગ્ય નથી; તે સરળ સિંગલ-ડિજિટ અથવા બે-અંકની સંખ્યાઓ માટે વધુ સારી રીતે અનુકૂળ છે. પરિબળોમાં વિભાજીત કરવાનો રિવાજ છે; સંખ્યા જેટલી મોટી હશે, તેટલા વધુ પરિબળો હશે.

ઉદાહરણ #1

સૌથી સરળ ઉદાહરણ તરીકે, શાળાઓ સામાન્ય રીતે પ્રાઇમ, સિંગલ- અથવા બે-અંકની સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે નીચેના કાર્યને હલ કરવાની જરૂર છે, સંખ્યાઓ 7 અને 3 નો ઓછામાં ઓછો સામાન્ય ગુણાંક શોધો, ઉકેલ એકદમ સરળ છે, ફક્ત તેમને ગુણાકાર કરો. પરિણામે, ત્યાં 21 નંબર છે, ત્યાં કોઈ નાની સંખ્યા નથી.

ઉદાહરણ નંબર 2

કાર્યનું બીજું સંસ્કરણ વધુ મુશ્કેલ છે. 300 અને 1260 નંબર આપવામાં આવ્યા છે, LOC શોધવું ફરજિયાત છે. સમસ્યા હલ કરવા માટે, નીચેની ક્રિયાઓ ધારવામાં આવે છે:

પ્રથમ અને બીજી સંખ્યાઓનું સરળ અવયવોમાં વિઘટન. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. પ્રથમ તબક્કો પૂર્ણ થયો છે.

બીજા તબક્કામાં પહેલાથી મેળવેલ ડેટા સાથે કામ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. પ્રાપ્ત થયેલા દરેક નંબરોએ અંતિમ પરિણામની ગણતરીમાં ભાગ લેવો આવશ્યક છે. દરેક પરિબળ માટે, મૂળ સંખ્યાઓમાંથી ઘટનાઓની સૌથી મોટી સંખ્યા લેવામાં આવે છે. NOC છે કુલ સંખ્યા, તેથી, સંખ્યાઓના પરિબળો તેમાં પુનરાવર્તિત થવું જોઈએ, દરેક એક, તે પણ જે એક નકલમાં હાજર છે. બંને પ્રારંભિક સંખ્યાઓમાં 2, 3 અને 5, in સંખ્યાઓ શામેલ છે વિવિધ ડિગ્રીઓ, 7 માત્ર એક કેસમાં હાજર છે.

અંતિમ પરિણામની ગણતરી કરવા માટે, તમારે દરેક સંખ્યાને સમીકરણમાં રજૂ કરાયેલી સૌથી મોટી શક્તિઓમાં લેવાની જરૂર છે. જે બાકી છે તે ગુણાકાર કરવાનું અને જવાબ મેળવવાનું છે; જો યોગ્ય રીતે ભરવામાં આવે, તો કાર્ય સમજૂતી વિના બે પગલામાં બંધબેસે છે:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

આ આખી સમસ્યા છે, જો તમે ગુણાકાર દ્વારા જરૂરી સંખ્યાની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો છો, તો જવાબ ચોક્કસપણે સાચો નહીં હોય, કારણ કે 300 * 1260 = 378,000 છે.

પરીક્ષા:

6300 / 300 = 21 - સાચું;

6300 / 1260 = 5 - સાચો.

પ્રાપ્ત પરિણામની શુદ્ધતા તપાસ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - LCM ને બંને મૂળ સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજીત કરીને; જો સંખ્યા બંને કિસ્સાઓમાં પૂર્ણાંક હોય, તો જવાબ સાચો છે.

ગણિતમાં NOC નો અર્થ શું છે?

જેમ તમે જાણો છો, ગણિતમાં એક પણ નકામું કાર્ય નથી, આ કોઈ અપવાદ નથી. આ સંખ્યાનો સૌથી સામાન્ય હેતુ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડવાનો છે. સામાન્ય રીતે માધ્યમિક શાળાના ધોરણ 5-6માં શું અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. જો આવી પરિસ્થિતિઓ સમસ્યામાં હાજર હોય તો તે તમામ ગુણાંક માટે એક સામાન્ય વિભાજક પણ છે. આવી અભિવ્યક્તિ માત્ર બે સંખ્યાઓનો જ નહીં, પણ ઘણી મોટી સંખ્યા - ત્રણ, પાંચ અને તેથી વધુનો ગુણાંક શોધી શકે છે. કેવી રીતે વધુ સંખ્યાઓ- કાર્યમાં જેટલી વધુ ક્રિયાઓ છે, પરંતુ જટિલતા વધતી નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, 250, 600 અને 1500 નંબરો જોતાં, તમારે તેમના સામાન્ય LCM શોધવાની જરૂર છે:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - આ ઉદાહરણ ઘટાડ્યા વિના, પરિબળીકરણનું વિગતવાર વર્ણન કરે છે.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

અભિવ્યક્તિ કંપોઝ કરવા માટે, તમામ પરિબળોનો ઉલ્લેખ કરવો જરૂરી છે, આ કિસ્સામાં 2, 5, 3 આપવામાં આવે છે - આ બધી સંખ્યાઓ માટે મહત્તમ ડિગ્રી નક્કી કરવી જરૂરી છે.

ધ્યાન આપો: તમામ પરિબળોને સંપૂર્ણ સરળીકરણના બિંદુ પર લાવવામાં આવશ્યક છે, જો શક્ય હોય તો, એક અંકોના સ્તરે વિઘટિત.

પરીક્ષા:

1) 3000/250 = 12 - સાચો;

2) 3000/600 = 5 - સાચું;

3) 3000 / 1500 = 2 - સાચો.

આ પદ્ધતિને કોઈપણ યુક્તિઓ અથવા પ્રતિભા સ્તરની ક્ષમતાઓની જરૂર નથી, બધું સરળ અને સ્પષ્ટ છે.

બીજી રીતે

ગણિતમાં, ઘણી વસ્તુઓ જોડાયેલ છે, ઘણી વસ્તુઓને બે અથવા વધુ રીતે ઉકેલી શકાય છે, તે જ લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ, LCM શોધવા માટે જાય છે. સરળ બે-અંકના કિસ્સામાં નીચેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે અને એક અંકની સંખ્યા. એક કોષ્ટક સંકલિત કરવામાં આવે છે જેમાં ગુણાકારને ઊભી રીતે દાખલ કરવામાં આવે છે, ગુણકને આડી રીતે દાખલ કરવામાં આવે છે, અને ઉત્પાદન સ્તંભના છેદાયેલા કોષોમાં સૂચવવામાં આવે છે. તમે લીટીનો ઉપયોગ કરીને કોષ્ટકને પ્રતિબિંબિત કરી શકો છો, સંખ્યા લઈ શકો છો અને આ સંખ્યાને પૂર્ણાંકો દ્વારા ગુણાકાર કરવાના પરિણામો લખી શકો છો, 1 થી અનંત સુધી, કેટલીકવાર 3-5 પોઈન્ટ પૂરતા હોય છે, બીજી અને અનુગામી સંખ્યાઓ સમાન ગણતરી પ્રક્રિયામાંથી પસાર થાય છે. જ્યાં સુધી સામાન્ય ગુણાંક ન મળે ત્યાં સુધી બધું થાય છે.

30, 35, 42 નંબરો જોતાં, તમારે તમામ નંબરોને જોડતો LCM શોધવાની જરૂર છે:

1) 30 ના ગુણાકાર: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, વગેરે.

2) 35 ના ગુણાકાર: 70, 105, 140, 175, 210, 245, વગેરે.

3) 42 ના ગુણાકાર: 84, 126, 168, 210, 252, વગેરે.

તે નોંધનીય છે કે તમામ નંબરો તદ્દન અલગ છે, તેમાંથી એકમાત્ર સામાન્ય સંખ્યા 210 છે, તેથી તે NOC હશે. આ ગણતરી સાથે સંકળાયેલી પ્રક્રિયાઓમાં સૌથી મોટી પણ છે સામાન્ય વિભાજક, જે સમાન સિદ્ધાંતો અનુસાર ગણવામાં આવે છે અને ઘણીવાર પડોશી સમસ્યાઓમાં જોવા મળે છે. તફાવત નાનો છે, પરંતુ ખૂબ જ નોંધપાત્ર છે, LCMમાં આપેલ તમામ પ્રારંભિક મૂલ્યો દ્વારા વિભાજિત થયેલ સંખ્યાની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે, અને GCDમાં સૌથી મોટા મૂલ્યની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે જેના દ્વારા મૂળ સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

પરંતુ ઘણી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અન્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ દ્વારા પણ વિભાજ્ય હોય છે.

દાખ્લા તરીકે:

સંખ્યા 12 એ 1, 2, 3, 4, 6, 12 વડે વિભાજ્ય છે;

સંખ્યા 36 એ 1 વડે, 2 વડે, 3 વડે, 4 વડે 6, 12 વડે 18, 36 વડે વિભાજ્ય છે.

સંખ્યાઓ કે જેના દ્વારા સંખ્યાને પૂર્ણ વડે ભાગી શકાય છે (12 માટે આ 1, 2, 3, 4, 6 અને 12 છે) કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓના વિભાજકો. કુદરતી સંખ્યાનો વિભાજક a- એક કુદરતી સંખ્યા છે જે વિભાજિત થાય છે આપેલ નંબર aટ્રેસ વિના. બે કરતા વધુ વિભાજકો ધરાવતી કુદરતી સંખ્યા કહેવાય છે સંયુક્ત .

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે 12 અને 36 નંબરોમાં સામાન્ય પરિબળો છે. આ સંખ્યાઓ છે: 1, 2, 3, 4, 6, 12. આ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો વિભાજક 12 છે. આ બે સંખ્યાઓનો સામાન્ય વિભાજક aઅને b- આ તે સંખ્યા છે જેના દ્વારા આપેલ બંને સંખ્યાઓને શેષ વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે aઅને b.

સામાન્ય ગુણાંકઅનેક સંખ્યાઓ એ એક સંખ્યા છે જે આ દરેક સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે. દાખ્લા તરીકે, 9, 18 અને 45 નંબરો 180 નો સામાન્ય ગુણાંક ધરાવે છે. પરંતુ 90 અને 360 તેમના સામાન્ય ગુણાંક પણ છે. બધા સામાન્ય ગુણાંકમાં હંમેશા સૌથી નાનો હોય છે, આ કિસ્સામાં તે 90 છે. આ સંખ્યા કહેવાય છે સૌથી નાનુંસામાન્ય બહુવિધ (સીએમએમ).

LCM એ હંમેશા કુદરતી સંખ્યા છે જે સૌથી મોટી સંખ્યા કરતાં મોટી હોવી જોઈએ જેના માટે તે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM). ગુણધર્મો.

પરિવર્તનશીલતા:

સહયોગ:

ખાસ કરીને, જો અને કોપ્રાઈમ નંબરો છે, તો પછી:

બે પૂર્ણાંકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક mઅને nઅન્ય તમામ સામાન્ય ગુણાંકનો વિભાજક છે mઅને n. તદુપરાંત, સામાન્ય ગુણાંકનો સમૂહ m, n LCM ના ગુણાંકના સમૂહ સાથે એકરુપ થાય છે( m, n).

માટે એસિમ્પ્ટોટીક્સ કેટલાક સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક કાર્યોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે.

તેથી, ચેબીશેવ કાર્ય. અને:

આ લેન્ડૌ કાર્યની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મોમાંથી અનુસરે છે g(n).

વિતરણ કાયદામાંથી શું અનુસરે છે અવિભાજ્ય સંખ્યા.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવી.

NOC( a, b) ની ગણતરી ઘણી રીતે કરી શકાય છે:

1. જો સૌથી સામાન્ય વિભાજક જાણીતું હોય, તો તમે LCM સાથે તેના જોડાણનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

2. અવિભાજ્ય પરિબળોમાં બંને સંખ્યાઓના પ્રમાણભૂત વિઘટનને જાણવા દો:

જ્યાં પૃષ્ઠ 1, ...,p કે- વિવિધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, અને d 1,...,d kઅને e 1,...,e k— બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો (જો અનુરૂપ પ્રાઇમ વિસ્તરણમાં ન હોય તો તેઓ શૂન્ય હોઈ શકે છે).

પછી NOC ( a,b) ની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, LCM વિઘટનમાં સંખ્યાઓના ઓછામાં ઓછા એક વિઘટનમાં સમાવિષ્ટ તમામ મુખ્ય પરિબળોનો સમાવેશ થાય છે. a, b, અને આ ગુણકના બે ઘાતાંકમાંથી સૌથી મોટો લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ:

ઘણી સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરીને બે સંખ્યાઓના LCMની સંખ્યાબંધ અનુક્રમિક ગણતરીઓમાં ઘટાડી શકાય છે:

નિયમ.સંખ્યાઓની શ્રેણીનું LCM શોધવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

- સંખ્યાઓને મુખ્ય પરિબળોમાં વિઘટિત કરો;

- સૌથી મોટું વિસ્તરણ (ઇચ્છિત ઉત્પાદનના પરિબળોનું ઉત્પાદન) ઇચ્છિત ઉત્પાદનના પરિબળોમાં સ્થાનાંતરિત કરો મોટી સંખ્યામાંઆપેલ રાશિઓમાંથી), અને પછી અન્ય સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાંથી પરિબળો ઉમેરો જે પ્રથમ નંબરમાં દેખાતા નથી અથવા તેમાં ઓછા વખત દેખાય છે;

— અવિભાજ્ય પરિબળોનું પરિણામી ઉત્પાદન આપેલ સંખ્યાઓનો LCM હશે.

કોઈપણ બે અથવા વધુ કુદરતી સંખ્યાઓતેમની પોતાની એનઓસી છે. જો સંખ્યાઓ એકબીજાના ગુણાકાર ન હોય અથવા વિસ્તરણમાં સમાન અવયવ ધરાવતા ન હોય, તો તેમનો LCM આ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન છે.

સંખ્યા 28 (2, 2, 7) ના મુખ્ય પરિબળો પરિબળ 3 (સંખ્યા 21) સાથે પૂરક છે, પરિણામી ઉત્પાદન (84) હશે સૌથી નાની સંખ્યા, જે 21 અને 28 વડે વિભાજ્ય છે.

સૌથી મોટી સંખ્યા 30 ના અવિભાજ્ય અવયવો સંખ્યા 25 ના પરિબળ 5 દ્વારા પૂરક છે, પરિણામી ઉત્પાદન 150 સૌથી મોટી સંખ્યા 30 કરતા વધારે છે અને બાકીની બધી સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે. આ સૌથી નાનું શક્ય ઉત્પાદન છે (150, 250, 300...) જે આપેલ તમામ સંખ્યાઓનો ગુણાંક છે.

2,3,11,37 નંબરો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, તેથી તેમનો LCM આપેલ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન છે.

નિયમ. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી કરવા માટે, તમારે આ બધી સંખ્યાઓને એકસાથે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

બીજો વિકલ્પ:

તમને જરૂરી સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવા માટે:

1) દરેક સંખ્યાને તેના મુખ્ય પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરો, ઉદાહરણ તરીકે:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) તમામ મુખ્ય પરિબળોની શક્તિઓ લખો:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) આ દરેક સંખ્યાના તમામ મુખ્ય વિભાજકો (ગુણાકાર) લખો;

4) તેમાંથી દરેકની સૌથી મોટી ડિગ્રી પસંદ કરો, જે આ સંખ્યાઓના તમામ વિસ્તરણમાં જોવા મળે છે;

5) આ શક્તિઓનો ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ. સંખ્યાઓનું LCM શોધો: 168, 180 અને 3024.

ઉકેલ. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

અમે તમામ મુખ્ય વિભાજકોની સૌથી મોટી શક્તિઓ લખીએ છીએ અને તેમને ગુણાકાર કરીએ છીએ:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

નીચે પ્રસ્તુત સામગ્રી એ LCM શીર્ષકવાળા લેખમાંથી સિદ્ધાંતનું તાર્કિક ચાલુ છે - ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ, વ્યાખ્યા, ઉદાહરણો, LCM અને GCD વચ્ચેનું જોડાણ. અહીં આપણે તેના વિશે વાત કરીશું લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવું, અને ખાસ ધ્યાનચાલો ઉદાહરણો ઉકેલવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ. પ્રથમ, અમે બતાવીશું કે આ સંખ્યાઓની GCD નો ઉપયોગ કરીને કેવી રીતે બે સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી કરવામાં આવે છે. આગળ, આપણે સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં ફેક્ટર કરીને લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા પર ધ્યાન આપીશું. આ પછી, અમે ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓના LCM શોધવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું, અને નકારાત્મક સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી પર પણ ધ્યાન આપીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

GCD દ્વારા ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ (LCM) ની ગણતરી

LCM અને GCD વચ્ચેના સંબંધ પર આધારિત લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાની એક રીત છે. હાલનું કનેક્શન LCM અને GCD વચ્ચે તમને જાણીતા સૌથી સામાન્ય વિભાજકનો ઉપયોગ કરીને બે હકારાત્મક પૂર્ણાંકોના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. અનુરૂપ સૂત્ર છે LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . ચાલો આપેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને LCM શોધવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

બે સંખ્યાઓ 126 અને 70 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો.

ઉકેલ.

આ ઉદાહરણમાં a=126 , b=70 . ચાલો સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ LCM અને GCD વચ્ચેના જોડાણનો ઉપયોગ કરીએ LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). એટલે કે, પહેલા આપણે 70 અને 126 નંબરોના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકને શોધવાનું છે, ત્યારબાદ આપણે લેખિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.

ચાલો યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને GCD(126, 70) શોધીએ: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, તેથી, GCD(126, 70)=14.

હવે આપણે જરૂરી ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક શોધીએ છીએ: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

જવાબ:

LCM(126, 70)=630 .

ઉદાહરણ.

LCM(68, 34) બરાબર શું છે?

ઉકેલ.

કારણ કે 68 એ 34 વડે વિભાજ્ય છે, પછી GCD(68, 34)=34. હવે આપણે ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરીએ છીએ: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

જવાબ:

LCM(68, 34)=68 .

નોંધ કરો કે અગાઉનું ઉદાહરણ હકારાત્મક પૂર્ણાંકો a અને b માટે LCM શોધવા માટે નીચેના નિયમને બંધબેસે છે: જો સંખ્યા a એ b વડે વિભાજ્ય હોય, તો આ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક a છે.

સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળમાં ફેક્ટર કરીને LCM શોધવી

ન્યૂનતમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાની બીજી રીત અવિભાજ્ય પરિબળોમાં સંખ્યાઓના અવયવીકરણ પર આધારિત છે. જો તમે આપેલ સંખ્યાઓના તમામ અવિભાજ્ય અવયવોમાંથી ઉત્પાદન કંપોઝ કરો છો, અને પછી આપેલ સંખ્યાઓના વિઘટનમાં હાજર તમામ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોને આ ઉત્પાદનમાંથી બાકાત કરો છો, તો પરિણામી ઉત્પાદન આપેલ સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક સમાન હશે. .

LCM શોધવા માટેનો ઉલ્લેખિત નિયમ સમાનતામાંથી અનુસરે છે LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). ખરેખર, સંખ્યાઓ a અને b નું ઉત્પાદન એ સંખ્યાઓ a અને b ના વિસ્તરણમાં સામેલ તમામ પરિબળોના ગુણાંક સમાન છે. બદલામાં, gcd(a, b) ઉત્પાદન સમાનબધા અવિભાજ્ય પરિબળો કે જે સંખ્યાઓ a અને b ના વિસ્તરણમાં એકસાથે હાજર હોય છે (જેમ કે સંખ્યાઓના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને GCD શોધવાના વિભાગમાં વર્ણવેલ છે).

ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો જાણીએ કે 75=3·5·5 અને 210=2·3·5·7. ચાલો આ વિસ્તરણના તમામ પરિબળોમાંથી ઉત્પાદનની રચના કરીએ: 2·3·3·5·5·5·7 . હવે આ ઉત્પાદનમાંથી આપણે નંબર 75 ના વિસ્તરણ અને નંબર 210 ના વિસ્તરણ બંનેમાં હાજર તમામ પરિબળોને બાકાત રાખીએ છીએ (આ પરિબળ 3 અને 5 છે), તો ઉત્પાદન 2·3·5·5·7 સ્વરૂપ લેશે. . આ ઉત્પાદનનું મૂલ્ય 75 અને 210 ના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક જેટલું છે, એટલે કે, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

ઉદાહરણ.

441 અને 700 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવિત કરો અને આ સંખ્યાઓનો સૌથી ઓછો સામાન્ય ગુણાંક શોધો.

ઉકેલ.

ચાલો 441 અને 700 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ કરીએ:

આપણને 441=3·3·7·7 અને 700=2·2·5·5·7 મળે છે.

હવે ચાલો આ સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં સામેલ તમામ પરિબળોમાંથી ઉત્પાદન બનાવીએ: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. ચાલો આ ઉત્પાદનમાંથી તમામ પરિબળોને બાકાત કરીએ જે એકસાથે બંને વિસ્તરણમાં હાજર હોય છે (આવું માત્ર એક પરિબળ છે - આ નંબર 7 છે): 2·2·3·3·5·5·7·7. આમ, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

જવાબ:

NOC(441, 700) = 44 100 .

અવિભાજ્ય પરિબળોમાં સંખ્યાઓના અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરીને LCM શોધવાનો નિયમ થોડો અલગ રીતે ઘડી શકાય છે. જો સંખ્યા b ના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળોને સંખ્યા a ના વિસ્તરણના પરિબળમાં ઉમેરવામાં આવે, તો પરિણામી ઉત્પાદનનું મૂલ્ય a અને b સંખ્યાના ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંક જેટલું હશે..

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સમાન સંખ્યાઓ 75 અને 210 લઈએ, તેમના અવિભાજ્ય અવયવોમાં વિઘટન નીચે મુજબ છે: 75=3·5·5 અને 210=2·3·5·7. સંખ્યા 75 ના વિસ્તરણથી પરિબળ 3, 5 અને 5 માં આપણે સંખ્યા 210 ના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળ 2 અને 7 ઉમેરીએ છીએ, આપણે ઉત્પાદન 2·3·5·5·7 મેળવીએ છીએ, જેનું મૂલ્ય છે LCM(75, 210) ની બરાબર.

ઉદાહરણ.

84 અને 648 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો.

ઉકેલ.

આપણે સૌપ્રથમ 84 અને 648 નંબરોના વિઘટનને મુખ્ય પરિબળોમાં મેળવીએ છીએ. તેઓ 84=2·2·3·7 અને 648=2·2·2·3·3·3·3 જેવા દેખાય છે. સંખ્યા 84 ના વિસ્તરણથી પરિબળ 2, 2, 3 અને 7 માં આપણે 648 નંબરના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળ 2, 3, 3 અને 3 ઉમેરીએ છીએ, આપણે ઉત્પાદન 2 2 2 3 3 3 3 7 મેળવીએ છીએ, જે 4 536 બરાબર છે. આમ, 84 અને 648 નો ઇચ્છિત લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 4,536 છે.

જવાબ:

LCM(84, 648)=4,536 .

ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો LCM શોધવો

ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક ક્રમિક રીતે બે સંખ્યાઓના LCMને શોધીને શોધી શકાય છે. ચાલો અનુરૂપ પ્રમેયને યાદ કરીએ, જે ત્રણ કે તેથી વધુ સંખ્યાઓના LCM શોધવાનો માર્ગ આપે છે.

પ્રમેય.

સકારાત્મક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ a 1 , a 2 , …, a k આપવા દો, આ સંખ્યાઓમાંથી લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ m k અનુક્રમે m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) ની ગણતરી કરીને જોવા મળે છે. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

ચાલો ચાર સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રમેયના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ.

ચાર સંખ્યાઓ 140, 9, 54 અને 250 નો LCM શોધો.

ઉકેલ.

આ ઉદાહરણમાં, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

પ્રથમ આપણે શોધીએ છીએ m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). આ કરવા માટે, યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, અમે GCD(140, 9) નક્કી કરીએ છીએ, અમારી પાસે 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, તેથી, GCD(140, 9)=1 , જ્યાંથી GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. એટલે કે, m 2 = 1 260.

હવે આપણે શોધીએ છીએ m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). ચાલો તેની ગણતરી GCD(1 260, 54) દ્વારા કરીએ, જે આપણે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને પણ નક્કી કરીએ છીએ: 1 260=54·23+18, 54=18·3. પછી gcd(1,260, 54)=18, જેમાંથી gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. એટલે કે, m 3 = 3 780.

જે બાકી છે તે શોધવાનું છે m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). આ કરવા માટે, અમે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને GCD(3,780, 250) શોધીએ છીએ: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. તેથી, GCM(3,780, 250)=10, જ્યાંથી GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. એટલે કે, m 4 = 94,500.

તેથી મૂળ ચાર સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 94,500 છે.

જવાબ:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

ઘણા કિસ્સાઓમાં, આપેલ સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરીને ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવાનું અનુકૂળ છે. આ કિસ્સામાં, તમારે નીચેના નિયમોનું પાલન કરવું જોઈએ. સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક ગુણાંક સમાન છે, જે નીચે પ્રમાણે બનેલો છે: બીજી સંખ્યાના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળો પ્રથમ સંખ્યાના વિસ્તરણથી તમામ પરિબળોમાં ઉમેરવામાં આવે છે, વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળો ત્રીજો નંબર પરિણામી પરિબળોમાં ઉમેરવામાં આવે છે, અને તેથી વધુ.

ચાલો પ્રાઇમ ફેક્ટરાઇઝેશનનો ઉપયોગ કરીને લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ શોધવાનું ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ.

પાંચ સંખ્યાઓ 84, 6, 48, 7, 143 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો.

ઉકેલ.

પ્રથમ, આપણે આ સંખ્યાઓના વિઘટનને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં મેળવીએ છીએ: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે, તે એકરૂપ થાય છે. મુખ્ય પરિબળોમાં તેના વિઘટન સાથે) અને 143=11·13.

આ સંખ્યાઓનો LCM શોધવા માટે, પ્રથમ નંબર 84 (તે 2, 2, 3 અને 7 છે) ના અવયવોમાં, તમારે બીજા નંબર 6 ના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળો ઉમેરવાની જરૂર છે. નંબર 6 ના વિઘટનમાં ખૂટતા પરિબળો શામેલ નથી, કારણ કે પ્રથમ નંબર 84 ના વિઘટનમાં 2 અને 3 બંને પહેલેથી હાજર છે. આગળ, પરિબળ 2, 2, 3 અને 7 માં આપણે ત્રીજા નંબર 48 ના વિસ્તરણમાંથી ગુમ થયેલ પરિબળ 2 અને 2 ઉમેરીએ છીએ, આપણને પરિબળ 2, 2, 2, 2, 3 અને 7 નો સમૂહ મળે છે. આગલા પગલામાં આ સેટમાં મલ્ટિપ્લાયર્સ ઉમેરવાની જરૂર રહેશે નહીં, કારણ કે તેમાં 7 પહેલેથી જ સમાયેલ છે. છેલ્લે, પરિબળ 2, 2, 2, 2, 3 અને 7 માં આપણે 143 નંબરના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળો 11 અને 13 ઉમેરીએ છીએ. આપણને ઉત્પાદન 2·2·2·2·3·7·11·13 મળે છે, જે 48,048 બરાબર છે.

દાખ્લા તરીકે:

સંખ્યા 12 એ 1, 2, 3, 4, 6, 12 વડે વિભાજ્ય છે;

સંખ્યા 36 એ 1 વડે, 2 વડે, 3 વડે, 4 વડે 6, 12 વડે 18, 36 વડે વિભાજ્ય છે.

સંખ્યાઓ કે જેના દ્વારા સંખ્યાને પૂર્ણ વડે ભાગી શકાય છે (12 માટે આ 1, 2, 3, 4, 6 અને 12 છે) કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓના વિભાજકો. કુદરતી સંખ્યાનો વિભાજક a- એક કુદરતી સંખ્યા છે જે આપેલ સંખ્યાને વિભાજિત કરે છે aટ્રેસ વિના. બે કરતા વધુ વિભાજકો ધરાવતી કુદરતી સંખ્યા કહેવાય છે સંયુક્ત .

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM). ગુણધર્મો.

પરિવર્તનશીલતા:

સહયોગ:

ખાસ કરીને, જો અને કોપ્રાઈમ નંબરો છે, તો પછી:

તેથી, ચેબીશેવ કાર્ય. અને:

આ લેન્ડૌ કાર્યની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મોમાંથી અનુસરે છે g(n).

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણના નિયમમાંથી શું અનુસરે છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવી.

NOC( a, b) ની ગણતરી ઘણી રીતે કરી શકાય છે:

2. અવિભાજ્ય પરિબળોમાં બંને સંખ્યાઓના પ્રમાણભૂત વિઘટનને જાણવા દો:

પછી NOC ( a,b) ની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ:

નિયમ.સંખ્યાઓની શ્રેણીનું LCM શોધવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

- સંખ્યાઓને મુખ્ય પરિબળોમાં વિઘટિત કરો;

- ઇચ્છિત ઉત્પાદનના પરિબળોમાં સૌથી મોટા વિઘટન (આપેલ સંખ્યાની સૌથી મોટી સંખ્યાના પરિબળોનું ઉત્પાદન) સ્થાનાંતરિત કરો, અને પછી અન્ય સંખ્યાઓના વિઘટનમાંથી પરિબળો ઉમેરો જે પ્રથમ નંબરમાં દેખાતા નથી અથવા તેમાં દેખાતા નથી. ઓછી વખત;

— અવિભાજ્ય પરિબળોનું પરિણામી ઉત્પાદન આપેલ સંખ્યાઓનો LCM હશે.

કોઈપણ બે અથવા વધુ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું પોતાનું LCM હોય છે. જો સંખ્યાઓ એકબીજાના ગુણાકાર ન હોય અથવા વિસ્તરણમાં સમાન અવયવ ધરાવતા ન હોય, તો તેમનો LCM આ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન છે.

સંખ્યા 28 (2, 2, 7) ના અવિભાજ્ય અવયવો 3 (સંખ્યા 21) ના અવયવ સાથે પૂરક છે, પરિણામી ઉત્પાદન (84) એ સૌથી નાની સંખ્યા હશે જે 21 અને 28 વડે વિભાજ્ય છે.

2,3,11,37 નંબરો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, તેથી તેમનો LCM આપેલ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન છે.

બીજો વિકલ્પ:

તમને જરૂરી સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવા માટે:

1) દરેક સંખ્યાને તેના મુખ્ય પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરો, ઉદાહરણ તરીકે:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) તમામ મુખ્ય પરિબળોની શક્તિઓ લખો:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) આ દરેક સંખ્યાના તમામ મુખ્ય વિભાજકો (ગુણાકાર) લખો;

5) આ શક્તિઓનો ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ. સંખ્યાઓનું LCM શોધો: 168, 180 અને 3024.

ઉકેલ. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

LCM (ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ) કેવી રીતે શોધવું

બે પૂર્ણાંકોનો સામાન્ય ગુણાંક એ પૂર્ણાંક છે જે આપેલ બંને સંખ્યાઓ દ્વારા બાકીના છોડ્યા વિના સમાનરૂપે વિભાજ્ય છે.

બે પૂર્ણાંકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક એ તમામ પૂર્ણાંકોમાં સૌથી નાનો છે જે આપેલ બંને સંખ્યાઓ દ્વારા શેષ છોડ્યા વિના વિભાજ્ય છે.

પદ્ધતિ 1. તમે બદલામાં, આપેલ દરેક સંખ્યા માટે, 1, 2, 3, 4, વગેરે વડે ગુણાકાર કરીને મેળવેલી તમામ સંખ્યાઓને ચડતા ક્રમમાં લખીને, LCM શોધી શકો છો.

ઉદાહરણનંબર 6 અને 9 માટે.
આપણે ક્રમશઃ 1, 2, 3, 4, 5 વડે 6 નંબરનો ગુણાકાર કરીએ છીએ.
અમને મળે છે: 6, 12, 18 , 24, 30
આપણે 9 નંબરને ક્રમિક રીતે 1, 2, 3, 4, 5 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
અમને મળે છે: 9, 18 , 27, 36, 45
જેમ તમે જોઈ શકો છો, નંબર 6 અને 9 માટે LCM 18 ની બરાબર હશે.

જ્યારે બંને સંખ્યાઓ નાની હોય ત્યારે આ પદ્ધતિ અનુકૂળ છે અને પૂર્ણાંકોના ક્રમ દ્વારા તેમને ગુણાકાર કરવાનું સરળ છે. જો કે, એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે તમારે બે-અંક અથવા ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ માટે LCM શોધવાની જરૂર હોય, અને જ્યારે ત્રણ કે તેથી વધુ પ્રારંભિક સંખ્યાઓ હોય.

પદ્ધતિ 2. તમે મૂળ સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય અવયવોમાં ફેક્ટર કરીને LCM શોધી શકો છો.
વિઘટન પછી, મુખ્ય પરિબળોની પરિણામી શ્રેણીમાંથી સમાન સંખ્યાઓને પાર કરવી જરૂરી છે. પ્રથમ નંબરની બાકીની સંખ્યાઓ બીજા માટે ગુણક હશે, અને બીજાની બાકીની સંખ્યાઓ પ્રથમ માટે ગુણક હશે.

ઉદાહરણનંબર 75 અને 60 માટે.
75 અને 60 નંબરોનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક આ સંખ્યાઓના ગુણાંકને એક પંક્તિમાં લખ્યા વિના શોધી શકાય છે. આ કરવા માટે, ચાલો 75 અને 60 ને સરળ પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ:
75 = 3 * 5 * 5, એ
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
જેમ તમે જોઈ શકો છો, પરિબળ 3 અને 5 બંને પંક્તિઓમાં દેખાય છે. અમે માનસિક રીતે તેમને "પાણી" કરીએ છીએ.
ચાલો આ દરેક સંખ્યાના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ બાકીના પરિબળોને લખીએ. 75 નંબરનું વિઘટન કરતી વખતે, આપણી પાસે 5 નંબર બાકી છે, અને જ્યારે 60 નંબરનું વિઘટન થાય છે, ત્યારે આપણી પાસે 2 * 2 બાકી છે
આનો અર્થ એ છે કે 75 અને 60 નંબરો માટે LCM નક્કી કરવા માટે, આપણે 75 (આ 5 છે) ના વિસ્તરણમાંથી બાકીની સંખ્યાઓને 60 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને 60 ના વિસ્તરણથી બાકી રહેલી સંખ્યાઓને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે (આ 2 છે. * 2) 75 દ્વારા. એટલે કે, સમજવાની સરળતા માટે, આપણે કહીએ છીએ કે આપણે "ક્રોસવાઇઝ" ગુણાકાર કરી રહ્યા છીએ.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
આ રીતે અમને 60 અને 75 નંબરો માટે LCM મળ્યું. આ નંબર 300 છે.

ઉદાહરણ. 12, 16, 24 નંબરો માટે LCM નક્કી કરો
આ કિસ્સામાં, અમારી ક્રિયાઓ કંઈક વધુ જટિલ હશે. પરંતુ પ્રથમ, હંમેશની જેમ, ચાલો બધી સંખ્યાઓને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
એલસીએમને યોગ્ય રીતે નક્કી કરવા માટે, અમે તમામ સંખ્યાઓમાંથી સૌથી નાની સંખ્યા પસંદ કરીએ છીએ (આ નંબર 12 છે) અને ક્રમિક રીતે તેના પરિબળોમાંથી પસાર થઈએ છીએ, જો સંખ્યાઓની અન્ય પંક્તિઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક પંક્તિમાં આપણને તે જ પરિબળ મળે છે જે હજી સુધી નથી પાર કરવામાં આવ્યું છે.

પગલું 1 . આપણે જોઈએ છીએ કે 2*2 સંખ્યાઓની તમામ શ્રેણીમાં થાય છે. ચાલો તેમને પાર કરીએ.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

પગલું 2. નંબર 12 ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં, ફક્ત 3 નંબર જ રહે છે. પરંતુ તે સંખ્યા 24 ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં હાજર છે. અમે બંને પંક્તિઓમાંથી નંબર 3 ને વટાવીએ છીએ, જ્યારે 16 નંબર માટે કોઈ ક્રિયાઓ અપેક્ષિત નથી. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

જેમ તમે જોઈ શકો છો, જ્યારે 12 નંબરને વિઘટિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે અમે બધી સંખ્યાઓને "ઓળંગી" લીધી હતી. મતલબ કે એલઓસીની શોધ પૂર્ણ થઈ ગઈ છે. જે બાકી છે તે તેની કિંમતની ગણતરી કરવાનું છે.
નંબર 12 માટે, 16 નંબરના બાકીના પરિબળો લો (ચડતા ક્રમમાં આગળ)
12 * 2 * 2 = 48
આ NOC છે

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ કિસ્સામાં, LCM શોધવાનું કંઈક વધુ મુશ્કેલ હતું, પરંતુ જ્યારે તમારે તેને ત્રણ અથવા વધુ સંખ્યાઓ માટે શોધવાની જરૂર હોય, આ પદ્ધતિતમને તે ઝડપથી કરવા દે છે. જો કે, LCM શોધવાની બંને પદ્ધતિઓ સાચી છે.