વર્ગમૂળનું નિર્ધારણ. કેવી રીતે ઝડપથી ચોરસ મૂળ કાઢવા

કેલ્ક્યુલેટર પહેલાં, વિદ્યાર્થીઓ અને શિક્ષકોએ હાથ વડે વર્ગમૂળની ગણતરી કરી. સંખ્યાના વર્ગમૂળની જાતે ગણતરી કરવાની ઘણી રીતો છે. તેમાંના કેટલાક માત્ર અંદાજિત ઉકેલ આપે છે, અન્ય ચોક્કસ જવાબ આપે છે.

પગલાં

પ્રાઇમ ફેક્ટરાઇઝેશન

આમૂલ સંખ્યાને અવયવમાં પરિબળ કરો જે વર્ગ સંખ્યાઓ છે.આમૂલ સંખ્યાના આધારે, તમને અંદાજિત અથવા ચોક્કસ જવાબ મળશે. ચોરસ સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જેમાંથી પૂર્ણાંક મેળવી શકાય છે. વર્ગમૂળ. અવયવ એવી સંખ્યાઓ છે જેનો ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે મૂળ સંખ્યા આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 8 ના અવયવ 2 અને 4 છે, કારણ કે 2 x 4 = 8, સંખ્યાઓ 25, 36, 49 ચોરસ સંખ્યા છે, કારણ કે √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. વર્ગ અવયવ અવયવ છે, જે ચોરસ સંખ્યાઓ છે. પ્રથમ, આમૂલ સંખ્યાને વર્ગ અવયવમાં પરિબળ કરવાનો પ્રયાસ કરો.

• ઉદાહરણ તરીકે, 400 (હાથ દ્વારા) ના વર્ગમૂળની ગણતરી કરો. સૌપ્રથમ 400 ને ચોરસ અવયવમાં ફેક્ટર કરવાનો પ્રયાસ કરો. 400 એ 100 નો ગુણાંક છે, એટલે કે 25 વડે વિભાજ્ય - આ એક વર્ગ સંખ્યા છે. 400 ને 25 વડે ભાગવાથી તમને 16 મળે છે. સંખ્યા 16 એ પણ એક વર્ગ સંખ્યા છે. આમ, 400 ને 25 અને 16 ના વર્ગ અવયવમાં અવયવિત કરી શકાય છે, એટલે કે 25 x 16 = 400.
• આને નીચે પ્રમાણે લખી શકાય: √400 = √(25 x 16).

1. અમુક પદોના ઉત્પાદનનું વર્ગમૂળ ઉત્પાદન સમાન ચોરસ મૂળદરેક પદમાંથી, એટલે કે, √(a x b) = √a x √b. દરેક વર્ગ અવયવનું વર્ગમૂળ લેવા માટે આ નિયમનો ઉપયોગ કરો અને જવાબ શોધવા માટે પરિણામોનો ગુણાકાર કરો.

   • અમારા ઉદાહરણમાં, 25 અને 16 નું મૂળ લો.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. જો આમૂલ સંખ્યા બે ચોરસ પરિબળમાં પરિબળ કરતી નથી (અને મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં આવું થાય છે), તો તમે સંપૂર્ણ સંખ્યાના સ્વરૂપમાં ચોક્કસ જવાબ શોધી શકશો નહીં. પરંતુ તમે આમૂલ સંખ્યાને ચોરસ અવયવ અને સામાન્ય પરિબળ (એવી સંખ્યા કે જેમાંથી સંપૂર્ણ વર્ગમૂળ લઈ શકાતું નથી) માં વિઘટન કરીને સમસ્યાને સરળ બનાવી શકો છો. પછી તમે વર્ગ અવયવનું વર્ગમૂળ લેશો અને સામાન્ય અવયવનું મૂળ લેશો.

   • ઉદાહરણ તરીકે, 147 નંબરના વર્ગમૂળની ગણતરી કરો. સંખ્યા 147 ને બે વર્ગના અવયવોમાં પરિબળ કરી શકાતી નથી, પરંતુ તેને નીચેના પરિબળોમાં અવયવિત કરી શકાય છે: 49 અને 3. નીચે પ્રમાણે સમસ્યા ઉકેલો:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. જો જરૂરી હોય તો, મૂળના મૂલ્યનો અંદાજ કાઢો.હવે તમે મૂળના મૂલ્યનો અંદાજ લગાવી શકો છો (અંદાજિત મૂલ્ય શોધો) તેને મૂળ સંખ્યા સાથે સૌથી નજીક (સંખ્યાની બંને બાજુએ) ચોરસ સંખ્યાના મૂળના મૂલ્યો સાથે સરખાવી શકો છો. તમને રૂટ મૂલ્ય દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે પ્રાપ્ત થશે, જેનો રૂટ ચિહ્નની પાછળની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે.

   • ચાલો આપણા ઉદાહરણ પર પાછા ફરીએ. આમૂલ સંખ્યા 3 છે. તેની સૌથી નજીકની ચોરસ સંખ્યા 1 (√1 = 1) અને 4 (√4 = 2) હશે. આમ, √3 નું મૂલ્ય 1 અને 2 ની વચ્ચે સ્થિત છે. કારણ કે √3 નું મૂલ્ય કદાચ 1 કરતાં 2 ની નજીક છે, અમારું અનુમાન છે: √3 = 1.7. અમે આ મૂલ્યને મૂળ ચિહ્ન પરની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ: 7 x 1.7 = 11.9. જો તમે કેલ્ક્યુલેટર પર ગણિત કરો છો, તો તમને 12.13 મળશે, જે અમારા જવાબની એકદમ નજીક છે.
     • આ પદ્ધતિ મોટી સંખ્યામાં પણ કામ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, √35 ને ધ્યાનમાં લો. આમૂલ સંખ્યા 35 છે. તેની સૌથી નજીકની ચોરસ સંખ્યા 25 (√25 = 5) અને 36 (√36 = 6) હશે. આમ, √35 નું મૂલ્ય 5 અને 6 ની વચ્ચે સ્થિત છે. કારણ કે √35 નું મૂલ્ય 5 કરતાં 6 ની ખૂબ નજીક છે (કારણ કે 35 એ 36 કરતાં માત્ર 1 ઓછો છે), આપણે કહી શકીએ કે √35 6 કરતાં સહેજ ઓછું છે. કેલ્ક્યુલેટર પર તપાસો અમને જવાબ 5.92 આપે છે - અમે સાચા હતા.

4. બીજી રીત એ છે કે આમૂલ સંખ્યાને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરવી.અવિભાજ્ય અવયવો એવી સંખ્યાઓ છે જે ફક્ત 1 અને પોતે વડે વિભાજ્ય છે. શૃંખલામાં મુખ્ય અવયવો લખો અને સમાન અવયવોની જોડી શોધો. આવા પરિબળોને મૂળ ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.

   • ઉદાહરણ તરીકે, 45 ના વર્ગમૂળની ગણતરી કરો. અમે મૂળ પરિબળમાં આમૂલ સંખ્યાને પરિબળ કરીએ છીએ: 45 = 9 x 5, અને 9 = 3 x 3. આમ, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 ને મૂળ ચિહ્ન તરીકે લઈ શકાય છે: √45 = 3√5. હવે આપણે √5 નો અંદાજ લગાવી શકીએ છીએ.
   • ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). તમને 2 ના ત્રણ ગુણક પ્રાપ્ત થયા છે; તેમાંથી થોડા લો અને તેમને મૂળ ચિહ્નની બહાર ખસેડો.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. હવે તમે √2 અને √11 નું મૂલ્યાંકન કરી શકો છો અને અંદાજિત જવાબ શોધી શકો છો.

   વર્ગમૂળની મેન્યુઅલી ગણતરી

   લાંબા વિભાજનનો ઉપયોગ કરીને

   1. આ પદ્ધતિમાં લાંબા વિભાજન જેવી પ્રક્રિયાનો સમાવેશ થાય છે અને તે સચોટ જવાબ આપે છે.પ્રથમ, શીટને બે ભાગમાં વિભાજીત કરતી ઊભી રેખા દોરો, અને પછી જમણી તરફ અને સહેજ નીચે ટોચની ધારઊભી રેખા પર શીટ, એક આડી રેખા દોરો. હવે દશાંશ બિંદુ પછીના અપૂર્ણાંક ભાગથી શરૂ કરીને, આમૂલ સંખ્યાને સંખ્યાઓની જોડીમાં વિભાજીત કરો. તેથી, નંબર 79520789182.47897 "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" તરીકે લખાયેલ છે.

      • ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો 780.14 નંબરના વર્ગમૂળની ગણતરી કરીએ. બે લીટીઓ દોરો (ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે) અને આપેલ નંબરને ઉપર ડાબી બાજુએ “7 80, 14” ફોર્મમાં લખો. તે સામાન્ય છે કે ડાબી બાજુનો પહેલો આંકડો એક અજોડ અંક છે. જવાબ (મૂળ આપેલ નંબર) તમે ઉપર જમણી બાજુએ લખશો.

   2. ડાબી બાજુથી સંખ્યાઓની પ્રથમ જોડી (અથવા એકલ સંખ્યા) માટે, સૌથી મોટો પૂર્ણાંક n શોધો જેનો વર્ગ પ્રશ્નમાં સંખ્યાઓની જોડી (અથવા એકલ સંખ્યા) કરતા ઓછો અથવા બરાબર છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ડાબી બાજુથી નંબરોની પ્રથમ જોડી (અથવા એકલ સંખ્યા)ની સૌથી નજીકની પરંતુ તેનાથી નાની ચોરસ સંખ્યા શોધો અને તે વર્ગ નંબરનું વર્ગમૂળ લો; તમને નંબર n મળશે. ઉપર જમણી બાજુએ મળેલ n લખો અને નીચે જમણી બાજુએ n નો ચોરસ લખો.

      • અમારા કિસ્સામાં, ડાબી બાજુનો પ્રથમ નંબર 7 હશે. આગળ, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. તમે હમણાં જ ડાબી બાજુની સંખ્યાઓની પ્રથમ જોડી (અથવા એકલ સંખ્યા)માંથી શોધી કાઢેલ સંખ્યા n ના વર્ગને બાદ કરો.સબટ્રાહેન્ડ (સંખ્યા n નો ચોરસ) હેઠળ ગણતરીનું પરિણામ લખો.

      • અમારા ઉદાહરણમાં, 7માંથી 4 બાદ કરો અને 3 મેળવો.

   4. નંબરોની બીજી જોડી નીચે લો અને તેને પાછલા પગલામાં મેળવેલ મૂલ્યની બાજુમાં લખો.પછી ઉપર જમણી બાજુએ સંખ્યા બમણી કરો અને નીચે જમણી બાજુએ "_×_=" ના ઉમેરા સાથે પરિણામ લખો.

      • અમારા ઉદાહરણમાં, સંખ્યાઓની બીજી જોડી "80" છે. 3 પછી "80" લખો. પછી, ઉપર જમણી બાજુએ બમણો નંબર 4 આપે છે. નીચે જમણી બાજુએ "4_×_=" લખો.

   5. જમણી બાજુએ ખાલી જગ્યાઓ ભરો.

      • અમારા કિસ્સામાં, જો આપણે ડેશને બદલે 8 નંબર મૂકીએ, તો 48 x 8 = 384, જે 380 કરતાં વધુ છે. તેથી, 8 ખૂબ મોટી સંખ્યા છે, પરંતુ 7 કરશે. ડેશને બદલે 7 લખો અને મેળવો: 47 x 7 = 329. ઉપર જમણી બાજુએ 7 લખો - 780.14 નંબરના ઇચ્છિત વર્ગમૂળમાં આ બીજો અંક છે.

   6. ડાબી બાજુની વર્તમાન સંખ્યામાંથી પરિણામી સંખ્યા બાદ કરો.ડાબી બાજુના વર્તમાન નંબર હેઠળ પાછલા પગલામાંથી પરિણામ લખો, તફાવત શોધો અને તેને સબટ્રાહેન્ડ હેઠળ લખો.

      • અમારા ઉદાહરણમાં, 380 માંથી 329 બાદ કરો, જે 51 બરાબર છે.

   7. પગલું 4 પુનરાવર્તન કરો.જો સ્થાનાંતરિત થઈ રહેલી સંખ્યાઓની જોડી મૂળ સંખ્યાનો અપૂર્ણાંક ભાગ હોય, તો ઉપર જમણી બાજુએ જરૂરી વર્ગમૂળમાં પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગો વચ્ચે વિભાજક (અલ્પવિરામ) મૂકો. ડાબી બાજુએ, સંખ્યાઓની આગલી જોડી નીચે લાવો. ઉપર જમણી બાજુએ સંખ્યા બમણી કરો અને નીચે જમણી બાજુએ "_×_=" ના ઉમેરા સાથે પરિણામ લખો.

      • અમારા ઉદાહરણમાં, નંબરોની આગળની જોડી 780.14 નંબરનો અપૂર્ણાંક ભાગ હશે, તેથી પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગોના વિભાજકને ઉપર જમણી બાજુએ ઇચ્છિત વર્ગમૂળમાં મૂકો. 14 નીચે લો અને તેને નીચે ડાબી બાજુએ લખો. ઉપર જમણી બાજુએ બમણી સંખ્યા (27) 54 છે, તેથી નીચે જમણી બાજુએ "54_×_=" લખો.

   8. પગલાં 5 અને 6 પુનરાવર્તન કરો.એક શોધો સૌથી મોટી સંખ્યાજમણી બાજુના ડેશની જગ્યાએ (ડેશને બદલે તમારે સમાન સંખ્યાને બદલવાની જરૂર છે) જેથી ગુણાકારનું પરિણામ ડાબી બાજુની વર્તમાન સંખ્યા કરતા ઓછું અથવા બરાબર હોય.

      • અમારા ઉદાહરણમાં, 549 x 9 = 4941, જે ડાબી બાજુની વર્તમાન સંખ્યા (5114) કરતાં ઓછી છે. ઉપર જમણી બાજુએ 9 લખો અને ડાબી બાજુની વર્તમાન સંખ્યામાંથી ગુણાકારનું પરિણામ બાદ કરો: 5114 - 4941 = 173.

   9. જો તમારે વર્ગમૂળ માટે વધુ દશાંશ સ્થાનો શોધવાની જરૂર હોય, તો વર્તમાન સંખ્યાની ડાબી બાજુએ બે શૂન્ય લખો અને પગલાં 4, 5 અને 6નું પુનરાવર્તન કરો. જ્યાં સુધી તમને જવાબની ચોકસાઈ (દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યા) ન મળે ત્યાં સુધી પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરો. જરૂર

      પ્રક્રિયાને સમજવી

      1. આ પદ્ધતિમાં નિપુણતા મેળવવા માટે, તમારે તે સંખ્યાની કલ્પના કરો કે જેના વર્ગમૂળને તમારે વર્ગ S ના ક્ષેત્રફળ તરીકે શોધવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં, તમે આવા ચોરસની બાજુ L ની લંબાઈ જોશો. અમે L ની કિંમત એવી રીતે ગણીએ છીએ કે L² = S.

         જવાબમાં દરેક નંબર માટે એક પત્ર આપો.ચાલો L (ઇચ્છિત વર્ગમૂળ) ની કિંમતમાં પ્રથમ અંક A દ્વારા દર્શાવીએ. B બીજો અંક હશે, C ત્રીજો અને તેથી વધુ.

         પ્રથમ અંકોની દરેક જોડી માટે એક અક્ષર સ્પષ્ટ કરો.ચાલો S ની કિંમતમાં અંકોની પ્રથમ જોડી S દ્વારા દર્શાવીએ, S b દ્વારા અંકોની બીજી જોડી, વગેરે.

         આ પદ્ધતિ અને લાંબા વિભાજન વચ્ચેના જોડાણને સમજો.વિભાજનની જેમ જ, જ્યાં આપણે દરેક વખતે ભાગાકાર કરી રહ્યા છીએ તે સંખ્યાના આગલા અંકમાં જ રસ ધરાવીએ છીએ, જ્યારે વર્ગમૂળની ગણતરી કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે અંકોની જોડી દ્વારા ક્રમિક રીતે કાર્ય કરીએ છીએ (વર્ગમૂળના મૂલ્યમાં આગળનો એક અંક મેળવવા માટે) .

      2. નંબર S (અમારા ઉદાહરણમાં Sa = 7) ના અંકોની પ્રથમ જોડીનો વિચાર કરો અને તેનું વર્ગમૂળ શોધો.આ કિસ્સામાં, ઇચ્છિત વર્ગમૂળ મૂલ્યનો પ્રથમ અંક A એ એક એવો અંક હશે જેનો વર્ગ S a કરતા ઓછો અથવા બરાબર છે (એટલે ​​​​કે, અમે એક A શોધી રહ્યા છીએ જે અસમાનતા A² ≤ Sa.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • ચાલો કહીએ કે આપણે 88962 ને 7 વડે ભાગવાની જરૂર છે; અહીં પ્રથમ પગલું સમાન હશે: આપણે વિભાજ્ય સંખ્યા 88962 (8) ના પ્રથમ અંકને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ અને સૌથી મોટી સંખ્યા પસંદ કરીએ છીએ કે જ્યારે 7 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે 8 કરતા ઓછું અથવા તેની બરાબર મૂલ્ય આપે છે. એટલે કે, આપણે શોધી રહ્યા છીએ. સંખ્યા d જેના માટે અસમાનતા સાચી છે: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. માનસિક રીતે એક ચોરસની કલ્પના કરો જેના વિસ્તારની તમારે ગણતરી કરવાની જરૂર છે.તમે L શોધી રહ્યા છો, એટલે કે, ચોરસની બાજુની લંબાઈ કે જેનું ક્ષેત્રફળ S. A, B, C એ L નંબરની સંખ્યાઓ છે. તમે તેને અલગ રીતે લખી શકો છો: 10A + B = L (માટે બે-અંકની સંખ્યા) અથવા 100A + 10B + C = L (ત્રણ-અંકની સંખ્યા માટે) અને તેથી વધુ.

         • દો (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². યાદ રાખો કે 10A+B એ એક એવી સંખ્યા છે જેમાં અંક B એકમો માટે વપરાય છે અને અંક A દસનો અર્થ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો A=1 અને B=2, તો 10A+B સંખ્યા 12 ની બરાબર છે. (10A+B)²સમગ્ર ચોરસનો વિસ્તાર છે, 100A²- મોટા આંતરિક ચોરસનો વિસ્તાર, B²- નાના આંતરિક ચોરસનો વિસ્તાર, 10A×B- બે લંબચોરસમાંના દરેકનો વિસ્તાર. વર્ણવેલ આકૃતિઓના વિસ્તારોને ઉમેરીને, તમને મૂળ ચોરસનો વિસ્તાર મળશે.

વિદ્યાર્થીઓ હંમેશા પૂછે છે: “હું ગણિતની પરીક્ષામાં કેમ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરી શકતો નથી? કેલ્ક્યુલેટર વગર સંખ્યાનું વર્ગમૂળ કેવી રીતે કાઢવું? ચાલો આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો પ્રયત્ન કરીએ.

કેલ્ક્યુલેટરની મદદ વગર સંખ્યાનું વર્ગમૂળ કેવી રીતે કાઢવું?

ક્રિયા વર્ગમૂળસ્ક્વેરિંગની ક્રિયાથી વિપરીત.

√81= 9 9 2 =81

જો તમે ધન સંખ્યાનું વર્ગમૂળ લો અને પરિણામનો વર્ગ કરો, તો તમને સમાન સંખ્યા મળશે.

નાની સંખ્યાઓ કે જે સંપૂર્ણ ચોરસ છે કુદરતી સંખ્યાઓ, ઉદાહરણ તરીકે 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 વર્ગમૂળ મૌખિક રીતે કાઢી શકાય છે. સામાન્ય રીતે શાળામાં તેઓ વીસ સુધીની કુદરતી સંખ્યાઓના ચોરસનું ટેબલ શીખવે છે. આ કોષ્ટકને જાણીને, 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 નંબરોમાંથી વર્ગમૂળ કાઢવાનું સરળ છે. 400 કરતાં મોટી સંખ્યાઓમાંથી તમે કેટલીક ટિપ્સનો ઉપયોગ કરીને પસંદગી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેમને કાઢી શકો છો. ચાલો આ પદ્ધતિને ઉદાહરણ સાથે જોવાનો પ્રયાસ કરીએ.

ઉદાહરણ: 676 નંબરનું મૂળ કાઢો.

અમે નોંધ્યું છે કે 20 2 = 400, અને 30 2 = 900, જેનો અર્થ થાય છે 20< √676 < 900.

કુદરતી સંખ્યાઓના ચોક્કસ વર્ગો 0 માં સમાપ્ત થાય છે; 1; 4; 5; 6; 9.
6 નંબર 4 2 અને 6 2 દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ થયો કે જો રૂટ 676 માંથી લેવામાં આવે તો તે 24 અથવા 26 છે.

તે તપાસવાનું બાકી છે: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

જવાબ: √676 = 26 .

વધુ ઉદાહરણ: √6889 .

ત્યારથી 80 2 = 6400, અને 90 2 = 8100, પછી 80< √6889 < 90.
9 નંબર 3 2 અને 7 2 દ્વારા આપવામાં આવે છે, પછી √6889 83 અથવા 87 ની બરાબર છે.

ચાલો તપાસીએ: 83 2 = 6889.

જવાબ: √6889 = 83 .

જો તમને પસંદગી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવાનું મુશ્કેલ લાગે, તો તમે આમૂલ અભિવ્યક્તિને પરિબળ કરી શકો છો.

દાખ્લા તરીકે, √893025 શોધો.

ચાલો 893025 નંબરનું પરિબળ કરીએ, યાદ રાખો, તમે આ છઠ્ઠા ધોરણમાં કર્યું હતું.

આપણને મળે છે: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

વધુ ઉદાહરણ: √20736. ચાલો સંખ્યા 20736 ને પરિબળ કરીએ:

આપણને √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 મળે છે.

અલબત્ત, ફેક્ટરાઇઝેશન માટે વિભાજ્યતા ચિહ્નો અને ફેક્ટરાઇઝેશન કૌશલ્યનું જ્ઞાન જરૂરી છે.

અને છેવટે, ત્યાં છે વર્ગમૂળ કાઢવાનો નિયમ. ચાલો ઉદાહરણો સાથે આ નિયમથી પરિચિત થઈએ.

√279841ની ગણતરી કરો.

બહુ-અંક પૂર્ણાંકના મૂળને કાઢવા માટે, અમે તેને 2 અંકો ધરાવતા ચહેરાઓમાં જમણેથી ડાબે વિભાજીત કરીએ છીએ (ડાબી બાજુની ધારમાં એક અંક હોઈ શકે છે). અમે તેને આ રીતે લખીએ છીએ: 27’98’41

મૂળ (5) નો પ્રથમ અંક મેળવવા માટે, અમે ડાબી બાજુના પ્રથમ ચહેરામાં સમાયેલ સૌથી મોટા સંપૂર્ણ ચોરસનું વર્ગમૂળ લઈએ છીએ (27).
પછી મૂળ (25) ના પ્રથમ અંકનો વર્ગ પ્રથમ ચહેરામાંથી બાદ કરવામાં આવે છે અને પછીનો ચહેરો (98) તફાવતમાં ઉમેરવામાં આવે છે (બાદબાકી).
પરિણામી સંખ્યા 298 ની ડાબી બાજુએ, મૂળ (10) નો ડબલ અંક લખો, તેના દ્વારા અગાઉ મેળવેલી સંખ્યા (29/2 ≈ 2) ના તમામ દસની સંખ્યાને ભાગાકાર કરો, ભાગ (102 ∙ 2 = 204) નું પરીક્ષણ કરો 298 થી વધુ ન હોવો જોઈએ) અને મૂળના પ્રથમ અંક પછી (2) લખો.
પછી પરિણામી ભાગાંક 204 298 માંથી બાદ કરવામાં આવે છે અને આગલી ધાર (41) તફાવત (94) માં ઉમેરવામાં આવે છે.
પરિણામી સંખ્યા 9441 ની ડાબી બાજુએ, મૂળ (52 ∙2 = 104) ના અંકોનો બેવડો ગુણાંક લખો, સંખ્યા 9441 (944/104 ≈ 9) ના તમામ દસની સંખ્યાને આ ઉત્પાદન દ્વારા વિભાજીત કરો, પરીક્ષણ કરો. ભાગ (1049 ∙9 = 9441) 9441 હોવો જોઈએ અને તેને મૂળના બીજા અંક પછી (9) લખો.

અમને જવાબ √279841 = 529 મળ્યો.

એ જ રીતે બહાર કાઢો દશાંશ અપૂર્ણાંકના મૂળ. ફક્ત આમૂલ સંખ્યાને ચહેરાઓમાં વિભાજિત કરવી આવશ્યક છે જેથી અલ્પવિરામ ચહેરાઓ વચ્ચે હોય.

ઉદાહરણ. મૂલ્ય √0.00956484 શોધો.

તમારે ફક્ત યાદ રાખવું પડશે કે જો દશાંશદશાંશ સ્થાનોની વિચિત્ર સંખ્યા છે, તેમાંથી વર્ગમૂળ બરાબર કાઢી શકાતું નથી.

તો હવે તમે રુટ કાઢવાની ત્રણ રીત જોઈ હશે. તમને સૌથી વધુ અનુકૂળ હોય તે પસંદ કરો અને પ્રેક્ટિસ કરો. સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખવા માટે, તમારે તેમને હલ કરવાની જરૂર છે. અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય, તો મારા પાઠ માટે સાઇન અપ કરો.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

સાક્ષરતાની નિશાની એવા અનેક જ્ઞાનમાં મૂળાક્ષરો પ્રથમ આવે છે. આગળનું, સમાન રીતે "ચિહ્ન" તત્વ એ સરવાળા-ગુણાકારની કુશળતા છે અને, તેમની બાજુમાં, પરંતુ અર્થમાં વિરુદ્ધ, બાદબાકી-વિભાગની અંકગણિત કામગીરી. દૂરના શાળાના બાળપણમાં શીખેલ કૌશલ્યો દિવસ-રાત વિશ્વાસપૂર્વક સેવા આપે છે: ટીવી, અખબાર, એસએમએસ અને દરેક જગ્યાએ આપણે વાંચીએ છીએ, લખીએ છીએ, ગણીએ છીએ, ઉમેરો કરીએ છીએ, બાદ કરીએ છીએ, ગુણાકાર કરીએ છીએ. અને, મને કહો, શું તમારે ઘણીવાર તમારા જીવનમાં મૂળિયાં કાઢવા પડ્યા છે, સિવાય કે ડાચા સિવાય? ઉદાહરણ તરીકે, આવી મનોરંજક સમસ્યા, 12345 નંબરના વર્ગમૂળ જેવી... શું ફ્લાસ્કમાં હજુ પણ ગનપાઉડર છે? શું આપણે તેને હેન્ડલ કરી શકીએ? કંઈ સરળ હોઈ શકે છે! મારું કેલ્ક્યુલેટર ક્યાં છે... અને તેના વિના હાથે હાથની લડાઈ નબળી છે?

પ્રથમ, ચાલો સ્પષ્ટ કરીએ કે તે શું છે - સંખ્યાનું વર્ગમૂળ. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, "સંખ્યાનું રુટ લેવું" નો અર્થ છે અંકગણિતની ક્રિયાને શક્તિ સુધી વધારવાની વિરુદ્ધ - અહીં તમારી પાસે જીવન એપ્લિકેશનમાં વિરોધીઓની એકતા છે. ચાલો કહીએ કે ચોરસ એ સંખ્યાનો પોતે જ ગુણાકાર છે, એટલે કે, શાળામાં શીખવવામાં આવે છે તેમ, X * X = A અથવા અન્ય સંકેત X2 = A, અને શબ્દોમાં - "X વર્ગ A બરાબર છે." પછી વ્યસ્ત સમસ્યા આના જેવી સંભળાય છે: સંખ્યા A નું વર્ગમૂળ એ સંખ્યા X છે, જેનો વર્ગ કરવામાં આવે ત્યારે A બરાબર થાય છે.

વર્ગમૂળ લેવું

થી શાળા અભ્યાસક્રમઅંકગણિત "કૉલમમાં" ગણતરીની પદ્ધતિઓ જાણે છે, જે પ્રથમ ચાર અંકગણિત કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ ગણતરી કરવામાં મદદ કરે છે. અરે... ચોરસ માટે, અને માત્ર ચોરસ જ નહીં, મૂળ માટે, આવા અલ્ગોરિધમ્સ અસ્તિત્વમાં નથી. અને આ કિસ્સામાં, કેલ્ક્યુલેટર વિના વર્ગમૂળ કેવી રીતે કાઢવું? વર્ગમૂળની વ્યાખ્યાના આધારે, ત્યાં માત્ર એક જ નિષ્કર્ષ છે - જેનું વર્ગ આમૂલ અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે તે સંખ્યાઓને ક્રમિક રીતે ગણીને પરિણામનું મૂલ્ય પસંદ કરવું જરૂરી છે. બસ એટલું જ! એક કે બે કલાક પસાર થાય તે પહેલાં, તમે સારી રીતે ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકો છો પ્રખ્યાત યુક્તિકૉલમ ગુણાકાર, કોઈપણ વર્ગમૂળ. જો તમારી પાસે આવડત છે, તો આમાં માત્ર થોડી મિનિટો લાગશે. કેલ્ક્યુલેટર અથવા પીસીનો અદ્યતન વપરાશકર્તા પણ એક જ વારમાં આ કરી શકે છે - પ્રગતિ.

પરંતુ ગંભીરતાપૂર્વક, વર્ગમૂળની ગણતરી ઘણીવાર "આર્ટિલરી ફોર્ક" તકનીકનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે: પ્રથમ એવી સંખ્યા લો કે જેનો ચોરસ લગભગ આમૂલ અભિવ્યક્તિને અનુરૂપ હોય. જો "અમારો ચોરસ" આ અભિવ્યક્તિ કરતા થોડો નાનો હોય તો તે વધુ સારું છે. પછી તેઓ તેમની પોતાની કુશળતા અને સમજણ અનુસાર સંખ્યાને સમાયોજિત કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, બે વડે ગુણાકાર કરો અને... તેનો ફરીથી વર્ગ કરો. જો પરિણામ વધુ સંખ્યારુટ હેઠળ, ક્રમિક રીતે મૂળ સંખ્યાને સમાયોજિત કરીને, ધીમે ધીમે મૂળની નીચે તેના "સાથીદાર" પાસે પહોંચો. જેમ તમે જોઈ શકો છો - કોઈ કેલ્ક્યુલેટર નથી, ફક્ત "કૉલમમાં" ગણતરી કરવાની ક્ષમતા. અલબત્ત, વર્ગમૂળની ગણતરી કરવા માટે ઘણા વૈજ્ઞાનિક રીતે સાબિત અને ઑપ્ટિમાઇઝ અલ્ગોરિધમ્સ છે, પરંતુ " ઘર વપરાશ"ઉપરોક્ત તકનીક પરિણામમાં 100% વિશ્વાસ આપે છે.

હા, હું લગભગ ભૂલી ગયો છું, અમારી વધેલી સાક્ષરતાની પુષ્ટિ કરવા માટે, ચાલો અગાઉ દર્શાવેલ સંખ્યા 12345 ના વર્ગમૂળની ગણતરી કરીએ. અમે તે પગલું દ્વારા કરીએ છીએ:

1. ચાલો, સંપૂર્ણ સાહજિક રીતે, X=100 લઈએ. ચાલો ગણતરી કરીએ: X * X = 10000. અંતર્જ્ઞાન શ્રેષ્ઠ છે - પરિણામ 12345 કરતા ઓછું છે.

2. ચાલો, સંપૂર્ણ સાહજિક રીતે પણ પ્રયાસ કરીએ, X = 120. પછી: X * X = 14400. અને ફરીથી, અંતર્જ્ઞાન ક્રમમાં છે - પરિણામ 12345 કરતાં વધુ છે.

3. ઉપર આપણને 100 અને 120 નો "ફોર્ક" મળ્યો. ચાલો નવા નંબરો પસંદ કરીએ - 110 અને 115. આપણને અનુક્રમે 12100 અને 13225 મળે છે - કાંટો સાંકડો થાય છે.

4. ચાલો "કદાચ" X=111 અજમાવીએ. અમને X * X = 12321 મળે છે. આ સંખ્યા પહેલેથી જ 12345 ની એકદમ નજીક છે. જરૂરી ચોકસાઈ અનુસાર, પ્રાપ્ત પરિણામ પર "ફીટ" ચાલુ રાખી શકાય છે અથવા બંધ કરી શકાય છે. બસ એટલું જ. વચન મુજબ - બધું ખૂબ જ સરળ અને કેલ્ક્યુલેટર વિના છે.

થોડો ઇતિહાસ...

પાયથાગોરિયન, શાળાના વિદ્યાર્થીઓ અને પાયથાગોરસના અનુયાયીઓ, વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાનો વિચાર આવ્યો, 800 વર્ષ પૂર્વે. અને પછી અમે સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં નવી શોધો "પડ્યા". અને તે ક્યાંથી આવ્યું?

1. રુટ કાઢવાથી સમસ્યાનું નિરાકરણ નવા વર્ગની સંખ્યાના સ્વરૂપમાં પરિણામ આપે છે. તેઓને અતાર્કિક કહેવાતા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, “ગેરવાજબી”, કારણ કે. તેઓ સંપૂર્ણ સંખ્યા તરીકે લખાયેલા નથી. આ પ્રકારનું સૌથી ઉત્તમ ઉદાહરણ 2 નું વર્ગમૂળ છે. આ કેસ 1 ની બરાબર બાજુવાળા ચોરસના કર્ણની ગણતરીને અનુરૂપ છે - આ પાયથાગોરિયન શાખાનો પ્રભાવ છે. તે બહાર આવ્યું છે કે બાજુઓના ખૂબ ચોક્કસ એકમ કદ સાથે ત્રિકોણમાં, કર્ણોનું કદ હોય છે જે સંખ્યા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે જેનો "કોઈ અંત નથી." આ રીતે તેઓ ગણિતમાં દેખાયા

2. તે જાણીતું છે કે તે બહાર આવ્યું છે કે આ ગાણિતિક ઑપરેશનમાં અન્ય એક કેચ છે - જ્યારે રુટ કાઢવામાં આવે છે, ત્યારે આપણે જાણતા નથી કે કઈ સંખ્યા, હકારાત્મક કે નકારાત્મક, આમૂલ અભિવ્યક્તિનો વર્ગ છે. આ અનિશ્ચિતતા, એક ઓપરેશનનું ડબલ પરિણામ, આ રીતે રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે.

આ ઘટનાને લગતી સમસ્યાઓનો અભ્યાસ ગણિતમાં એક દિશા બની ગયો છે જેને જટિલ ચલોનો સિદ્ધાંત કહેવાય છે, જેમાં વિશાળ વ્યવહારુ મહત્વગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં.

તે વિચિત્ર છે કે સમાન સર્વવ્યાપી I. ન્યૂટને તેના "યુનિવર્સલ અંકગણિત" માં મૂળ - આમૂલ - ના હોદ્દાનો ઉપયોગ કર્યો હતો, અને બરાબર આધુનિક દેખાવ 1690 થી ફ્રેંચમેન રોલે "મેન્યુઅલ ઓફ બીજગણિત" ના પુસ્તકમાંથી મૂળની નોંધ જાણીતી છે.

ધન સંખ્યાનું બિન-ઋણાત્મક વર્ગમૂળ કહેવાય છે અંકગણિત વર્ગમૂળઅને આમૂલ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને સૂચવવામાં આવે છે.

જટિલ સંખ્યાઓ

જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં હંમેશા બે ઉકેલો હોય છે, જે ફક્ત ચિહ્નમાં અલગ પડે છે (શૂન્યના વર્ગમૂળના અપવાદ સાથે). જટિલ સંખ્યાના મૂળને ઘણીવાર તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, પરંતુ આ સંકેતનો કાળજીપૂર્વક ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. સામાન્ય ભૂલ:

જટિલ સંખ્યાના વર્ગમૂળને કાઢવા માટે, જટિલ સંખ્યા લખવાના ઘાતાંકીય સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે: જો

જ્યાં મોડ્યુલસ રુટને અંકગણિત મૂલ્યના અર્થમાં સમજવામાં આવે છે, અને k એ k=0 અને k=1 મૂલ્યો લઈ શકે છે, તેથી જવાબ બે અલગ અલગ પરિણામો સાથે સમાપ્ત થાય છે.

સામાન્યીકરણો

સ્ક્વેર રૂટ અન્ય ઑબ્જેક્ટ્સ માટે ફોર્મના સમીકરણોના ઉકેલ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે: મેટ્રિસિસ, ફંક્શન્સ, ઑપરેટર્સ, વગેરે. એકદમ મનસ્વી ગુણાકાર ઑપરેશન્સનો ઑપરેશન તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સુપરપોઝિશન.

કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં સ્ક્વેર રૂટ

ઘણી ફંક્શન-લેવલ પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓમાં (તેમજ LaTeX જેવી માર્કઅપ લેંગ્વેજ), વર્ગમૂળ ફંક્શન આ રીતે લખવામાં આવે છે. sqrt(અંગ્રેજીમાંથી વર્ગમૂળ"વર્ગમૂળ").

વર્ગમૂળ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ્સ

આપેલ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધવું કે ગણતરી કરવી તેને કહેવાય છે નિષ્કર્ષણ(વર્ગમૂળ.

ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ

અંકગણિત વર્ગમૂળ

સંખ્યાઓના વર્ગો માટે નીચેની સમાનતાઓ સાચી છે:

એટલે કે, તમે સંખ્યાના વર્ગમૂળનો પૂર્ણાંક ભાગ શોધી શકો છો જ્યાં સુધી તેમાંથી બધી વિચિત્ર સંખ્યાઓ ક્રમમાં બાદ કરી શકો છો જ્યાં સુધી બાકીની બાદબાકીની સંખ્યા કરતાં ઓછી અથવા શૂન્યની બરાબર ન હોય, અને કરવામાં આવેલી ક્રિયાઓની સંખ્યા ગણીને. ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ:

3 પગલાં પૂર્ણ થયા, 9 નું વર્ગમૂળ 3 છે.

આ પદ્ધતિનો ગેરલાભ એ છે કે જો રુટ કાઢવામાં આવે છે તે પૂર્ણાંક નથી, તો પછી તમે ફક્ત તેના સંપૂર્ણ ભાગને શોધી શકો છો, પરંતુ વધુ ચોક્કસ રીતે નહીં. તે જ સમયે, આ પદ્ધતિ બાળકો માટે એકદમ સુલભ છે જે સરળ સમસ્યાઓ હલ કરી શકે છે. ગણિત સમસ્યાઓ, વર્ગમૂળ નિષ્કર્ષણની જરૂર છે.

રફ અંદાજ

ધન વાસ્તવિક સંખ્યાના વર્ગમૂળની ગણતરી કરવા માટે ઘણા અલ્ગોરિધમ્સ એસકેટલાક પ્રારંભિક મૂલ્યની જરૂર છે. જો પ્રારંભિક મૂલ્ય મૂળના વાસ્તવિક મૂલ્યથી ખૂબ દૂર હોય, તો ગણતરીઓ ધીમી થઈ જાય છે. તેથી, રફ અંદાજ રાખવો ઉપયોગી છે, જે ખૂબ જ અચોક્કસ હોઈ શકે છે, પરંતુ તેની ગણતરી કરવી સરળ છે. જો એસ≥ 1, ચાલો ડીઅંકોની સંખ્યા હશે એસદશાંશ બિંદુની ડાબી બાજુએ. જો એસ < 1, пусть ડીદશાંશ બિંદુની જમણી બાજુએ સળંગ શૂન્યની સંખ્યા હશે, જે ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવશે. પછી રફ અંદાજ આના જેવો દેખાય છે:

જો ડીએકી, ડી = 2n+ 1, પછી ઉપયોગ કરો જો ડીસમ, ડી = 2n+ 2, પછી ઉપયોગ કરો

બે અને છનો ઉપયોગ થાય છે કારણ કે અને

બાઈનરી સિસ્ટમમાં કામ કરતી વખતે (કોમ્પ્યુટરની અંદરની જેમ), અલગ મૂલ્યાંકનનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ (અહીં ડીદ્વિસંગી અંકોની સંખ્યા છે).

ભૌમિતિક વર્ગમૂળ

રુટને મેન્યુઅલી કાઢવા માટે, લાંબા વિભાજન જેવું જ સંકેત વપરાય છે. જેનું રુટ આપણે શોધી રહ્યા છીએ તે નંબર લખેલ છે. તેની જમણી બાજુએ આપણે ધીમે ધીમે ઇચ્છિત મૂળની સંખ્યાઓ મેળવીશું. ચાલો દશાંશ સ્થાનોની મર્યાદિત સંખ્યા સાથે સંખ્યાનું મૂળ લઈએ. શરૂ કરવા માટે, માનસિક રીતે અથવા ગુણ સાથે, આપણે સંખ્યા N ને દશાંશ બિંદુની ડાબી અને જમણી બાજુના બે અંકોના જૂથોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ. જો જરૂરી હોય તો, જૂથોને શૂન્ય સાથે પેડ કરવામાં આવે છે - પૂર્ણાંક ભાગ ડાબી બાજુએ ગાદીવાળો હોય છે, અપૂર્ણાંક ભાગ જમણી બાજુએ હોય છે. તેથી 31234.567 ને 03 12 34 તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. 56 70. વિભાજનથી વિપરીત, 2 અંકોના આવા જૂથોમાં તોડી પાડવામાં આવે છે.

અલ્ગોરિધમનું દ્રશ્ય વર્ણન: