બહુવિધ અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છીએ. વિવિધ છેદ સાથે બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો સરવાળો અને બાદબાકી (મૂળભૂત નિયમો, સૌથી સરળ કિસ્સાઓ)

આ પાઠમાં બીજગણિતીય અપૂર્ણાંકને ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાનું આવરી લેવામાં આવશે વિવિધ છેદ. આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે વિવિધ છેદ સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંક કેવી રીતે ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી. આ કરવા માટે, અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવું આવશ્યક છે. તે તારણ આપે છે કે બીજગણિત અપૂર્ણાંક સમાન નિયમોનું પાલન કરે છે. તે જ સમયે, આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે બીજગણિત અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં કેવી રીતે ઘટાડવું. વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી એ 8મા ધોરણના અભ્યાસક્રમમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ અને મુશ્કેલ વિષયો પૈકીનો એક છે. તદુપરાંત, આ વિષય બીજગણિત કોર્સમાં ઘણા વિષયોમાં દેખાશે જેનો તમે ભવિષ્યમાં અભ્યાસ કરશો. પાઠના ભાગ રૂપે, અમે વિવિધ છેદ સાથે બીજગણિત અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમોનો અભ્યાસ કરીશું, અને સંખ્યાબંધ લાક્ષણિક ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ પણ કરીશું.

ચાલો સામાન્ય અપૂર્ણાંક માટે સૌથી સરળ ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ 1.અપૂર્ણાંક ઉમેરો: .

ઉકેલ:

ચાલો અપૂર્ણાંક ઉમેરવાનો નિયમ યાદ રાખીએ. શરૂ કરવા માટે, અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવું આવશ્યક છે. સામાન્ય અપૂર્ણાંક માટે સામાન્ય છેદ છે ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ(LCM) મૂળ છેદ.

વ્યાખ્યા

ઓછામાં ઓછું કુદરતી સંખ્યા, જે એક સાથે સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે અને .

LCM શોધવા માટે, તમારે છેદને અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવિત કરવાની જરૂર છે, અને પછી બંને છેદના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ તમામ અવિભાજ્ય પરિબળોને પસંદ કરો.

; . પછી સંખ્યાઓના LCMમાં બે બે અને બે ત્રણનો સમાવેશ થવો જોઈએ: .

સામાન્ય છેદ શોધ્યા પછી, તમારે દરેક અપૂર્ણાંક માટે વધારાના અવયવ શોધવાની જરૂર છે (હકીકતમાં, અનુરૂપ અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા સામાન્ય છેદને વિભાજિત કરો).

દરેક અપૂર્ણાંક પછી પરિણામી વધારાના પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. સાથે અપૂર્ણાંક મેળવીએ છીએ સમાન છેદ, સરવાળા અને બાદબાકી જે આપણે અગાઉના પાઠોમાં શીખ્યા.

અમને મળે છે: .

જવાબ:.

ચાલો હવે અલગ અલગ છેદ સાથે બીજગણિતીય અપૂર્ણાંકના ઉમેરાને ધ્યાનમાં લઈએ. પ્રથમ, ચાલો એવા અપૂર્ણાંકો જોઈએ જેના છેદ સંખ્યાઓ છે.

ઉદાહરણ 2.અપૂર્ણાંક ઉમેરો: .

ઉકેલ:

સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ અગાઉના ઉદાહરણ જેવું જ છે. આ અપૂર્ણાંકોના સામાન્ય છેદ શોધવાનું સરળ છે: અને તેમાંના દરેક માટે વધારાના પરિબળો.

.

જવાબ:.

તો, ચાલો ઘડીએ વિવિધ છેદ સાથે બીજગણિત અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ:

1. અપૂર્ણાંકનો સૌથી ઓછો સામાન્ય છેદ શોધો.

2. દરેક અપૂર્ણાંક માટે વધારાના પરિબળો શોધો (આપેલ અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા સામાન્ય છેદને વિભાજિત કરીને).

3. અનુરૂપ વધારાના પરિબળો દ્વારા અંશનો ગુણાકાર કરો.

4. સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંક ઉમેરો અથવા બાદબાકી કરો.

ચાલો હવે અપૂર્ણાંકો સાથેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ કે જેના છેદમાં અક્ષરની અભિવ્યક્તિ હોય છે.

ઉદાહરણ 3.અપૂર્ણાંક ઉમેરો: .

ઉકેલ:

બંને છેદમાં અક્ષર અભિવ્યક્તિઓ સમાન હોવાથી, તમારે સંખ્યાઓ માટે સામાન્ય છેદ શોધવું જોઈએ. અંતિમ સામાન્ય છેદ આના જેવો દેખાશે: . આમ, આ ઉદાહરણનો ઉકેલ આના જેવો દેખાય છે:.

જવાબ:.

ઉદાહરણ 4.અપૂર્ણાંક બાદ કરો: .

ઉકેલ:

જો તમે સામાન્ય છેદ પસંદ કરતી વખતે "ચીટ" કરી શકતા નથી (તમે તેને પરિબળ કરી શકતા નથી અથવા સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકતા નથી), તો તમારે બંને અપૂર્ણાંકના છેદનું ઉત્પાદન સામાન્ય છેદ તરીકે લેવું પડશે.

જવાબ:.

સામાન્ય રીતે, આવા ઉદાહરણો હલ કરતી વખતે, સૌથી મુશ્કેલ કાર્ય એ છે કે સામાન્ય સંપ્રદાય શોધવો.

ચાલો વધુ જટિલ ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ 5.સરળ બનાવો: .

ઉકેલ:

સામાન્ય છેદ શોધતી વખતે, તમારે પહેલા મૂળ અપૂર્ણાંકના છેદને પરિબળ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ (સામાન્ય છેદને સરળ બનાવવા માટે).

આ ચોક્કસ કિસ્સામાં:

પછી સામાન્ય છેદ નક્કી કરવું સરળ છે: .

અમે વધારાના પરિબળો નક્કી કરીએ છીએ અને આ ઉદાહરણને હલ કરીએ છીએ:

જવાબ:.

હવે ચાલો વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમો સ્થાપિત કરીએ.

ઉદાહરણ 6.સરળ બનાવો: .

ઉકેલ:

જવાબ:.

ઉદાહરણ 7.સરળ બનાવો: .

ઉકેલ:

.

જવાબ:.

ચાલો હવે એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ જેમાં બે નહીં, પરંતુ ત્રણ અપૂર્ણાંક ઉમેરવામાં આવે છે (છેવટે, મોટી સંખ્યામાં અપૂર્ણાંકો માટે સરવાળો અને બાદબાકીના નિયમો સમાન રહે છે).

ઉદાહરણ 8.સરળ બનાવો: .

અંશ અને છેદ શોધો.અપૂર્ણાંકમાં બે સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે: રેખાની ઉપર સ્થિત સંખ્યાને અંશ કહેવામાં આવે છે, અને રેખાની નીચે સ્થિત સંખ્યાને છેદ કહેવામાં આવે છે. છેદ એ ભાગોની કુલ સંખ્યા દર્શાવે છે જેમાં સંપૂર્ણ વિભાજિત કરવામાં આવે છે, અને અંશ એ આવા ભાગોની સંખ્યા ગણવામાં આવે છે.

• ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક ½ માં અંશ 1 છે અને છેદ 2 છે.

છેદ નક્કી કરો.જો બે અથવા વધુ અપૂર્ણાંકમાં સામાન્ય છેદ હોય, તો આવા અપૂર્ણાંકોની રેખા હેઠળ સમાન સંખ્યા હોય છે, એટલે કે, આ કિસ્સામાં, ચોક્કસ સંપૂર્ણ ભાગોની સમાન સંખ્યામાં વિભાજિત થાય છે. સામાન્ય છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવાનું ખૂબ જ સરળ છે, કારણ કે સરવાળો અપૂર્ણાંકનો છેદ ઉમેરવામાં આવતા અપૂર્ણાંક જેવો જ હશે. દાખ્લા તરીકે:

• અપૂર્ણાંક 3/5 અને 2/5 નો સામાન્ય છેદ 5 છે.
• અપૂર્ણાંક 3/8, 5/8, 17/8 નો સામાન્ય છેદ 8 છે.

અંશ નક્કી કરો.સામાન્ય છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તેમના અંશ ઉમેરો અને ઉમેરવામાં આવતા અપૂર્ણાંકના છેદ ઉપર પરિણામ લખો.

• અપૂર્ણાંક 3/5 અને 2/5 માં અંશ 3 અને 2 છે.
• અપૂર્ણાંક 3/8, 5/8, 17/8 ના અંશ 3, 5, 17 છે.

અંશ ઉમેરો.સમસ્યા 3/5 + 2/5 માં, અંશ 3 + 2 = 5 ઉમેરો. સમસ્યા 3/8 + 5/8 + 17/8 માં, 3 + 5 + 17 = 25 અંશ ઉમેરો.

કુલ અપૂર્ણાંક લખો.યાદ રાખો કે સામાન્ય છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરતી વખતે, તે યથાવત રહે છે - ફક્ત અંશ ઉમેરવામાં આવે છે.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

જો જરૂરી હોય તો અપૂર્ણાંક કન્વર્ટ કરો.કેટલીકવાર અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક અથવા દશાંશ તરીકે લખવાને બદલે સંપૂર્ણ સંખ્યા તરીકે લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 5/5 સરળતાથી 1 માં રૂપાંતરિત થાય છે, કારણ કે કોઈપણ અપૂર્ણાંક કે જેનો અંશ તેના છેદ સમાન છે તે 1 છે. કલ્પના કરો કે પાઇને ત્રણ ભાગોમાં કાપો. જો તમે ત્રણેય ભાગ ખાશો, તો તમે આખી (એક) પાઇ ખાધી હશે.

• કોઈપણ અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે; આ કરવા માટે, અંશને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરો. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 5/8 નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: 5 ÷ 8 = 0.625.

જો શક્ય હોય તો, અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવો.એક સરળ અપૂર્ણાંક એ અપૂર્ણાંક છે જેના અંશ અને છેદમાં સામાન્ય અવયવ નથી.

• ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 3/6 ને ધ્યાનમાં લો. અહીં અંશ અને છેદ બંને છે સામાન્ય વિભાજક, 3 ની બરાબર, એટલે કે, અંશ અને છેદ સંપૂર્ણપણે 3 વડે વિભાજ્ય છે. તેથી, અપૂર્ણાંક 3/6 નીચે પ્રમાણે લખી શકાય: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

જો જરૂરી હોય તો, અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને માં કન્વર્ટ કરો મિશ્ર અપૂર્ણાંક(મિશ્ર સંખ્યા).અયોગ્ય અપૂર્ણાંકનો અંશ તેના છેદ કરતાં મોટો હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, 25/8 (યોગ્ય અપૂર્ણાંકનો અંશ તેના છેદ કરતાં ઓછો હોય છે). અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, જેમાં પૂર્ણાંક ભાગ (એટલે ​​​​કે, સંપૂર્ણ સંખ્યા) અને અપૂર્ણાંક ભાગ (એટલે ​​​​કે, યોગ્ય અપૂર્ણાંક) નો સમાવેશ થાય છે. અયોગ્ય અપૂર્ણાંક, જેમ કે 25/8, મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, આ પગલાં અનુસરો:

• અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના અંશને તેના છેદ દ્વારા વિભાજીત કરો; આંશિક ભાગ (સંપૂર્ણ જવાબ) લખો. અમારા ઉદાહરણમાં: 25 ÷ 8 = 3 વત્તા કેટલાક શેષ. આ કિસ્સામાં, સંપૂર્ણ જવાબ મિશ્ર સંખ્યાનો સંપૂર્ણ ભાગ છે.
• બાકી શોધો. અમારા ઉદાહરણમાં: 8 x 3 = 24; મૂળ અંશમાંથી પરિણામી પરિણામ બાદ કરો: 25 - 24 = 1, એટલે કે, શેષ 1 છે. આ કિસ્સામાં, શેષ એ મિશ્ર સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ છે.
• મિશ્ર અપૂર્ણાંક લખો. છેદ બદલાતું નથી (એટલે ​​​​કે, તે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના છેદ સમાન છે), તેથી 25/8 = 3 1/8.

એક વિદ્યાર્થી માટે સમજવા માટે સૌથી મુશ્કેલ કેટલાક છે વિવિધ ક્રિયાઓસરળ અપૂર્ણાંક સાથે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે બાળકો માટે અમૂર્ત રીતે વિચારવું હજી પણ મુશ્કેલ છે, અને અપૂર્ણાંક, હકીકતમાં, તેમના જેવા જ દેખાય છે. તેથી, સામગ્રી પ્રસ્તુત કરતી વખતે, શિક્ષકો ઘણીવાર સામ્યતાઓનો આશરો લે છે અને તેમની આંગળીઓ પર શાબ્દિક રીતે અપૂર્ણાંકના બાદબાકી અને ઉમેરાને સમજાવે છે. જોકે શાળાના ગણિતનો એક પણ પાઠ નિયમો અને વ્યાખ્યાઓ વિના પૂર્ણ થતો નથી.

મૂળભૂત ખ્યાલો

તમે પ્રારંભ કરો તે પહેલાં, કેટલીક મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને નિયમોને સમજવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં, અપૂર્ણાંક શું છે તે સમજવું મહત્વપૂર્ણ છે. તે એવી સંખ્યાનો ઉલ્લેખ કરે છે જે એકમના એક અથવા વધુ અપૂર્ણાંકને રજૂ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે એક રખડુને 8 ટુકડાઓમાં કાપીને તેમાંથી 3 ટુકડાઓ પ્લેટમાં નાખો, તો 3/8 અપૂર્ણાંક હશે. તદુપરાંત, આ લેખનમાં તે એક સરળ અપૂર્ણાંક હશે, જ્યાં રેખાની ઉપરની સંખ્યા અંશ છે અને તેની નીચે છેદ છે. પરંતુ જો તમે તેને 0.375 તરીકે લખો છો, તો તે પહેલેથી જ હશે દશાંશ.

વધુમાં, સરળ અપૂર્ણાંકોને યોગ્ય, અયોગ્ય અને મિશ્રમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. પ્રથમમાં તે બધાનો સમાવેશ થાય છે જેમનો અંશ છેદ કરતા ઓછો છે. જો, તેનાથી વિપરિત, છેદ અંશ કરતા ઓછો હોય, તો તે પહેલેથી જ અયોગ્ય અપૂર્ણાંક હશે. જો સાચી સંખ્યા પૂર્ણાંકની આગળ હોય, તો તેને મિશ્ર સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. આમ, અપૂર્ણાંક 1/2 યોગ્ય છે, પરંતુ 7/2 નથી. અને જો તમે તેને આ ફોર્મમાં લખો: 3 1/2, તો તે મિશ્રિત થઈ જશે.

અપૂર્ણાંક ઉમેરવાનું શું છે તે સમજવા માટે અને તેને સરળતા સાથે કરવા માટે, નીચેનામાં તેનો સાર યાદ રાખવો પણ મહત્વપૂર્ણ છે. જો અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો અપૂર્ણાંક બદલાશે નહીં. તે આ મિલકત છે જે તમને સામાન્ય અને અન્ય અપૂર્ણાંકો સાથે સરળ કામગીરી કરવા દે છે. હકીકતમાં, આનો અર્થ એ છે કે 1/15 અને 3/45 આવશ્યકપણે સમાન સંખ્યા છે.

સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છે

આ ક્રિયા કરવાથી સામાન્ય રીતે વધારે મુશ્કેલી પડતી નથી. આ કિસ્સામાં અપૂર્ણાંક ઉમેરવા એ પૂર્ણાંકો સાથે સમાન ક્રિયા જેવું જ છે. છેદ યથાવત રહે છે, અને અંશ ફક્ત એકસાથે ઉમેરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમારે અપૂર્ણાંક 2/7 અને 3/7 ઉમેરવાની જરૂર હોય, તો તમારી નોટબુકમાં શાળાની સમસ્યાનો ઉકેલ આના જેવો હશે:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

વધુમાં, અપૂર્ણાંકનો આ ઉમેરો ઉપયોગ કરીને સમજાવી શકાય છે સરળ ઉદાહરણ. નિયમિત સફરજન લો અને તેને કાપી લો, ઉદાહરણ તરીકે, 8 ટુકડા કરો. પ્રથમ 3 ભાગો અલગથી મૂકો, અને પછી તેમાં 2 વધુ ઉમેરો પરિણામે, કપમાં આખા સફરજનના 5/8 ભાગ હશે. અંકગણિત સમસ્યા પોતે નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે લખાયેલ છે:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

પરંતુ ઘણીવાર ત્યાં વધુ જટિલ સમસ્યાઓ હોય છે જ્યાં તમારે એકસાથે ઉમેરવાની જરૂર હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, 5/9 અને 3/5. આ તે છે જ્યાં અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવામાં પ્રથમ મુશ્કેલીઓ ઊભી થાય છે. છેવટે, આવી સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે વધારાના જ્ઞાનની જરૂર પડશે. હવે તમારે તેમની મુખ્ય મિલકતને સંપૂર્ણપણે યાદ રાખવાની જરૂર પડશે. ઉદાહરણમાંથી અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તમારે પહેલા તેમને એક સામાન્ય છેદ પર લાવવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, તમારે ફક્ત 9 અને 5 નો એકસાથે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અંશ “5” ને 5 વડે અને “3” ને અનુક્રમે 9 વડે ગુણાકાર કરો. આમ, નીચેના અપૂર્ણાંકો પહેલેથી જ ઉમેરવામાં આવ્યા છે: 25/45 અને 27/45. હવે માત્ર અંશ ઉમેરવાનું બાકી છે અને જવાબ 52/45 મેળવવાનો છે. કાગળના ટુકડા પર, ઉદાહરણ આના જેવું દેખાશે:

5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 1 7 / 45.

પરંતુ આવા છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે હંમેશા લીટી હેઠળની સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર નથી. પ્રથમ તેઓ સૌથી નીચા સામાન્ય છેદ માટે જુએ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 2/3 અને 5/6 માટે. તેમના માટે તે નંબર 6 હશે. પરંતુ જવાબ હંમેશા સ્પષ્ટ હોતો નથી. આ કિસ્સામાં, બે સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (સંક્ષિપ્ત LCM) શોધવા માટેનો નિયમ યાદ રાખવા યોગ્ય છે.

તે બે પૂર્ણાંકોના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ તરીકે સમજવામાં આવે છે. તેને શોધવા માટે, તેઓ દરેકને મુખ્ય પરિબળોમાં વિઘટિત કરે છે. હવે તેમાંથી તે લખો જે દરેક સંખ્યામાં ઓછામાં ઓછા એક વખત દેખાય છે. તેઓ તેમને એકસાથે ગુણાકાર કરે છે અને સમાન છેદ મેળવે છે. વાસ્તવમાં, બધું થોડું સરળ લાગે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, તમારે અપૂર્ણાંક 4/15 અને 1/6 ઉમેરવાની જરૂર છે. તેથી, સાદી સંખ્યાઓ 3 અને 5 નો ગુણાકાર કરીને 15 પ્રાપ્ત થાય છે, અને સાદી સંખ્યા બે અને ત્રણનો ગુણાકાર કરીને છ પ્રાપ્ત થાય છે. આનો અર્થ એ થયો કે તેમના માટે LCM 5 x 3 x 2 = 30 હશે. હવે, 30 ને પ્રથમ અપૂર્ણાંકના છેદ વડે ભાગતા, આપણને તેના અંશ - 2 માટે ગુણક મળે છે. અને બીજા અપૂર્ણાંક માટે તે સંખ્યા 5 હશે. આમ, સામાન્ય અપૂર્ણાંક 8/30 અને 5/30 ઉમેરવા અને 13/30 નો જવાબ મેળવવાનું બાકી છે. બધું અત્યંત સરળ છે. તમારી નોટબુકમાં તમારે આ કાર્યને આ રીતે લખવું જોઈએ:

4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM(15, 6) = 30.

મિશ્ર સંખ્યાઓનો ઉમેરો

હવે જ્યારે તમે સરળ અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા માટેની તમામ મૂળભૂત તકનીકો જાણો છો, તો તમે વધુ જટિલ ઉદાહરણો પર તમારો હાથ અજમાવી શકો છો. અને આ મિશ્ર સંખ્યાઓ હશે, જેનો અર્થ આ ફોર્મનો અપૂર્ણાંક છે: 2 2/3. અહીં આખો ભાગ યોગ્ય અપૂર્ણાંક પહેલા લખાયેલ છે. અને આવા નંબરો સાથે ક્રિયાઓ કરતી વખતે ઘણા લોકો મૂંઝવણમાં આવે છે. વાસ્તવમાં, અહીં સમાન નિયમો લાગુ પડે છે.

મિશ્ર સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે, આખા ભાગોને અલગથી ઉમેરો અને યોગ્ય અપૂર્ણાંક. અને પછી આ 2 પરિણામોનો સારાંશ આપવામાં આવે છે. વ્યવહારમાં, બધું ખૂબ સરળ છે, તમારે ફક્ત થોડી પ્રેક્ટિસ કરવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમસ્યા માટે નીચેની મિશ્ર સંખ્યાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે: 1 1/3 અને 4 2/5. આ કરવા માટે, 5 મેળવવા માટે પહેલા 1 અને 4 ઉમેરો. પછી સૌથી ઓછી સામાન્ય છેદ તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને 1/3 અને 2/5 ઉમેરો. ઉકેલ 11/15 હશે. અને અંતિમ જવાબ 5 11/15 છે. શાળાની નોટબુકમાં તે ખૂબ ટૂંકી દેખાશે:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

દશાંશ ઉમેરી રહ્યા છીએ

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો ઉપરાંત, દશાંશ પણ છે. માર્ગ દ્વારા, તેઓ જીવનમાં વધુ સામાન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટોરમાં કિંમત ઘણીવાર આના જેવી લાગે છે: 20.3 રુબેલ્સ. આ એક જ અપૂર્ણાંક છે. અલબત્ત, આ સામાન્ય કરતાં ફોલ્ડ કરવા માટે ખૂબ સરળ છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, તમારે ફક્ત 2 સામાન્ય સંખ્યાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે, મુખ્ય વસ્તુ તે છે યોગ્ય જગ્યાએઅલ્પવિરામ મૂકો. આ તે છે જ્યાં મુશ્કેલીઓ ઊભી થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, તમારે 2.5 અને 0.56 ઉમેરવાની જરૂર છે. આને યોગ્ય રીતે કરવા માટે, તમારે અંતમાં પ્રથમ એકમાં શૂન્ય ઉમેરવાની જરૂર છે, અને બધું સારું થઈ જશે.

2,50 + 0,56 = 3,06.

તે જાણવું અગત્યનું છે કે કોઈપણ દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, પરંતુ દરેક અપૂર્ણાંકને દશાંશ તરીકે લખી શકાતો નથી. તેથી, અમારા ઉદાહરણમાંથી, 2.5 = 2 1/2 અને 0.56 = 14/25. પરંતુ 1/6 જેવો અપૂર્ણાંક ફક્ત 0.16667 ની લગભગ સમાન હશે. આ જ પરિસ્થિતિ અન્ય સમાન સંખ્યાઓ સાથે થશે - 2/7, 1/9 અને તેથી વધુ.

નિષ્કર્ષ

ઘણા શાળાના બાળકો, અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવાની વ્યવહારિક બાજુને સમજી શકતા નથી, આ વિષયને બેદરકારીથી વર્તે છે. જો કે, આ મૂળભૂત જ્ઞાન તમને નટ્સની જેમ ક્લિક કરવાની મંજૂરી આપશે જટિલ ઉદાહરણોલઘુગણક સાથે અને ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા. તેથી, અપૂર્ણાંકો સાથેની કામગીરીને સારી રીતે સમજવા માટે તે એક વાર યોગ્ય છે, જેથી પછીથી તમે હતાશામાં તમારી કોણીને ડંખશો નહીં. છેવટે, તે અસંભવિત છે કે ઉચ્ચ શાળામાં શિક્ષક આ પહેલાથી આવરી લેવાયેલા વિષય પર પાછા ફરે. કોઈપણ ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીએ આવી કસરતો કરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ.

અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ બાળક માટે સમજવી મુશ્કેલ છે. મોટા ભાગના લોકો સાથે મુશ્કેલીઓ છે. જ્યારે "સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ સાથે અપૂર્ણાંકો ઉમેરી રહ્યા છે" વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે બાળક મૂર્ખમાં પડે છે, તેને સમસ્યા હલ કરવી મુશ્કેલ લાગે છે. ઘણા ઉદાહરણોમાં, ક્રિયા કરતા પહેલા, ગણતરીઓની શ્રેણી કરવી આવશ્યક છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંકને કન્વર્ટ કરો અથવા અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને યોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો.

ચાલો તે બાળકને સ્પષ્ટ રીતે સમજાવીએ. ચાલો ત્રણ સફરજન લઈએ, જેમાંથી બે સંપૂર્ણ હશે, અને ત્રીજાને 4 ભાગોમાં કાપો. કાપેલા સફરજનમાંથી એક સ્લાઇસ અલગ કરો અને બાકીના ત્રણને બે આખા ફળોની બાજુમાં મૂકો. આપણને એક તરફ ¼ સફરજન અને બીજી બાજુ 2 ¾ મળે છે. જો આપણે તેમને જોડીએ, તો આપણને ત્રણ સફરજન મળે છે. ચાલો 2 ¾ સફરજનને ¼ દ્વારા ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરીએ, એટલે કે બીજી સ્લાઇસ કાઢીએ, આપણને 2 2/4 સફરજન મળે છે.

ચાલો પૂર્ણાંકો ધરાવતા અપૂર્ણાંકો સાથેની કામગીરી પર નજીકથી નજર કરીએ:

પ્રથમ, ચાલો ગણતરીના નિયમને યાદ કરીએ અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓસામાન્ય છેદ સાથે:

પ્રથમ નજરમાં, બધું સરળ અને સરળ છે. પરંતુ આ ફક્ત એવા અભિવ્યક્તિઓ પર લાગુ થાય છે જેને રૂપાંતરણની જરૂર નથી.

જ્યાં છેદ અલગ હોય ત્યાં અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય કેવી રીતે શોધવું

કેટલાક કાર્યોમાં તમારે અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધવાની જરૂર છે જ્યાં છેદ અલગ હોય. ચાલો ચોક્કસ કેસ જોઈએ:
3 2/7+6 1/3

ચાલો બે અપૂર્ણાંક માટે સામાન્ય છેદ શોધીને આ અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધીએ.

નંબરો 7 અને 3 માટે, આ 21 છે. અમે પૂર્ણાંક ભાગોને સમાન છોડીએ છીએ, અને અપૂર્ણાંક ભાગોને 21 પર લાવીએ છીએ, આ માટે આપણે પ્રથમ અપૂર્ણાંકને 3 વડે, બીજાને 7 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, આપણને મળે છે:
6/21+7/21, ભૂલશો નહીં કે સંપૂર્ણ ભાગો કન્વર્ટ કરી શકાતા નથી. પરિણામે, અમને સમાન છેદ સાથે બે અપૂર્ણાંક મળે છે અને તેમના સરવાળાની ગણતરી કરીએ છીએ:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
જો ઉમેરણનું પરિણામ એ અયોગ્ય અપૂર્ણાંક હોય જે પહેલાથી પૂર્ણાંક ભાગ ધરાવે છે:
2 1/3+3 2/3
આ કિસ્સામાં, અમે પૂર્ણાંક ભાગો અને અપૂર્ણાંક ભાગો ઉમેરીએ છીએ, અમને મળે છે:
5 3/3, જેમ તમે જાણો છો, 3/3 એ એક છે, જેનો અર્થ થાય છે 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

સરવાળો શોધવો એ બધું સ્પષ્ટ છે, ચાલો બાદબાકી જોઈએ:

જે કહેવામાં આવ્યું છે તેમાંથી, ક્રિયાનો નિયમ છે મિશ્ર સંખ્યાઓ, જે આના જેવું લાગે છે:

• જો તમારે અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિમાંથી પૂર્ણાંકને બાદ કરવાની જરૂર હોય, તો તમારે બીજા નંબરને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવાની જરૂર નથી; તે ફક્ત પૂર્ણાંક ભાગો પર જ ઑપરેશન કરવા માટે પૂરતું છે.

ચાલો આપણે અભિવ્યક્તિઓના અર્થની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

ચાલો "m" અક્ષર હેઠળના ઉદાહરણ પર નજીકથી નજર કરીએ:

4 5/11-2 8/11, પ્રથમ અપૂર્ણાંકનો અંશ બીજા કરતા ઓછો છે. આ કરવા માટે, આપણે પ્રથમ અપૂર્ણાંકમાંથી એક પૂર્ણાંક ઉછીના લઈએ છીએ, આપણને મળે છે,
3 5/11+11/11=3 સંપૂર્ણ 16/11, પ્રથમ અપૂર્ણાંકમાંથી બીજાને બાદ કરો:
3 16/11-2 8/11=1 સંપૂર્ણ 8/11

• કાર્ય પૂર્ણ કરતી વખતે સાવચેત રહો, અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાનું ભૂલશો નહીં, સમગ્ર ભાગને પ્રકાશિત કરો. આ કરવા માટે, તમારે અંશના મૂલ્યને છેદના મૂલ્ય દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે, પછી જે થાય છે તે સમગ્ર ભાગનું સ્થાન લે છે, બાકીનો અંશ હશે, ઉદાહરણ તરીકે:

19/4=4 ¾, ચાલો તપાસીએ: 4*4+3=19, છેદ 4 યથાવત છે.

સારાંશ:

અપૂર્ણાંકને લગતું કાર્ય શરૂ કરતા પહેલા, તે કેવા પ્રકારની અભિવ્યક્તિ છે, ઉકેલ સાચો હોય તે માટે અપૂર્ણાંક પર કયા રૂપાંતરણો કરવાની જરૂર છે તેનું વિશ્લેષણ કરવું જરૂરી છે. વધુ તર્કસંગત ઉકેલ માટે જુઓ. મુશ્કેલ માર્ગે ન જશો. બધી ક્રિયાઓની યોજના બનાવો, તેને પહેલા ડ્રાફ્ટ સ્વરૂપમાં હલ કરો, પછી તેને તમારી શાળાની નોટબુકમાં સ્થાનાંતરિત કરો.

અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ ઉકેલતી વખતે મૂંઝવણ ટાળવા માટે, તમારે સુસંગતતાના નિયમનું પાલન કરવું આવશ્યક છે. ઉતાવળ કર્યા વિના, કાળજીપૂર્વક બધું નક્કી કરો.