9 ფორმულა, რომელიც დაკავშირებულია ლოგარითმების ძალების თვისებებთან. ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

მოგეხსენებათ, გამონათქვამების ძალებით გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ყოველთვის იკრიბება (a b *a c = a b+c). ეს მათემატიკური კანონი გამოიტანა არქიმედესმა, მოგვიანებით კი, მე-8 საუკუნეში, მათემატიკოსმა ვირასენმა შექმნა მთელი რიცხვების მაჩვენებლების ცხრილი. სწორედ ისინი ემსახურებოდნენ ლოგარითმების შემდგომ აღმოჩენას. ამ ფუნქციის გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ თითქმის ყველგან, სადაც თქვენ უნდა გაამარტივოთ რთული გამრავლება მარტივი შეკრებით. თუ 10 წუთს დაუთმობთ ამ სტატიის კითხვას, ჩვენ აგიხსნით რა არის ლოგარითმები და როგორ იმუშაოთ მათთან. მარტივი და ხელმისაწვდომი ენით.

განმარტება მათემატიკაში

ლოგარითმი არის შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log a b=c, ანუ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვის (ანუ ნებისმიერი დადებითი) ლოგარითმი "b" მის ფუძეზე "a" ითვლება "c" ხარისხად. ” რომელზედაც უნდა გაიზარდოს ფუძე “a”, რათა საბოლოოდ მივიღოთ მნიშვნელობა “b”. გავაანალიზოთ ლოგარითმი მაგალითების გამოყენებით, ვთქვათ არის გამონათქვამი log 2 8. როგორ მოვძებნოთ პასუხი? ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა იპოვოთ სიმძლავრე ისეთი, რომ 2-დან საჭირო სიმძლავრემდე მიიღოთ 8. თქვენს თავში გარკვეული გამოთვლების გაკეთების შემდეგ მივიღებთ რიცხვს 3! და ეს მართალია, რადგან 2 3-ის ხარისხზე იძლევა პასუხს, როგორც 8.

ლოგარითმების სახეები

ბევრი მოსწავლისა და სტუდენტისთვის ეს თემა რთული და გაუგებარი ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში ლოგარითმები არც ისე საშინელია, მთავარია მათი ზოგადი მნიშვნელობის გაგება და მათი თვისებების და ზოგიერთი წესის დამახსოვრება. არის სამი ცალკეული სახეობებილოგარითმული გამონათქვამები:

1. ბუნებრივი ლოგარითმი ln a, სადაც ფუძეა ეილერის რიცხვი (e = 2.7).
2. ათწილადი a, სადაც ფუძე არის 10.
3. ნებისმიერი b რიცხვის ლოგარითმი a>1-მდე.

თითოეული მათგანი წყდება სტანდარტული გზით, მათ შორის გამარტივება, შემცირება და შემდგომი შემცირება ერთ ლოგარითმზე ლოგარითმული თეორემების გამოყენებით. მისაღებად სწორი ღირებულებებილოგარითმები, მათი ამოხსნისას უნდა გახსოვდეთ მათი თვისებები და მოქმედებების თანმიმდევრობა.

წესები და გარკვეული შეზღუდვები

მათემატიკაში არის რამდენიმე წესი-შეზღუდვა, რომლებიც მიღებულია აქსიომად, ანუ ისინი არ ექვემდებარება განხილვას და არის ჭეშმარიტება. მაგალითად, რიცხვების ნულზე გაყოფა შეუძლებელია და ასევე შეუძლებელია ლუწი ფესვის ამოღება უარყოფითი რიცხვები. ლოგარითმებს ასევე აქვთ საკუთარი წესები, რომელთა დაცვით შეგიძლიათ მარტივად ისწავლოთ მუშაობა გრძელი და ტევადი ლოგარითმული გამონათქვამებითაც კი:

• ფუძე "a" ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი და არა 1-ის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოთქმა დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან "1" და "0" ნებისმიერი ხარისხით ყოველთვის მათი მნიშვნელობების ტოლია;
• თუ a > 0, მაშინ a b >0, გამოდის, რომ „c“ ასევე უნდა იყოს ნულზე მეტი.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

მაგალითად, დავალება მოცემულია პასუხის პოვნა განტოლებაზე 10 x = 100. ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა აირჩიოთ სიმძლავრე ათი რიცხვის აწევით, რომლითაც მივიღებთ 100-ს. ეს, რა თქმა უნდა, არის 10 2 = 100.

ახლა წარმოვიდგინოთ ეს გამონათქვამი ლოგარითმული ფორმით. ვიღებთ log 10 100 = 2. ლოგარითმების ამოხსნისას ყველა მოქმედება პრაქტიკულად იყრის თავს იმ სიმძლავრის საპოვნელად, რომელზედაც საჭიროა ლოგარითმის ფუძის შეყვანა მოცემული რიცხვის მისაღებად.

უცნობი ხარისხის მნიშვნელობის ზუსტად დასადგენად, თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ გრადუსების ცხრილთან. ეს ასე გამოიყურება:

როგორც ხედავთ, ზოგიერთი მაჩვენებლის გამოცნობა შესაძლებელია ინტუიციურად, თუ თქვენ გაქვთ ტექნიკური გონება და ცოდნა გამრავლების ცხრილის შესახებ. თუმცა იმისთვის დიდი ღირებულებებიდაგჭირდებათ ხარისხების ცხრილი. მისი გამოყენება შეუძლიათ მათაც, ვინც საერთოდ არაფერი იცის კომპლექსის შესახებ მათემატიკური თემები. მარცხენა სვეტი შეიცავს რიცხვებს (ბაზა a), რიცხვების ზედა მწკრივი არის c სიმძლავრის მნიშვნელობა, რომელზედაც ამაღლებულია რიცხვი. კვეთაზე, უჯრედები შეიცავს ნომრის მნიშვნელობებს, რომლებიც პასუხია (a c =b). ავიღოთ, მაგალითად, პირველივე უჯრედი 10-ით და კვადრატში მივიღოთ მნიშვნელობა 100, რომელიც მითითებულია ჩვენი ორი უჯრედის გადაკვეთაზე. ყველაფერი ისეთი მარტივი და მარტივია, რომ ყველაზე ჭეშმარიტი ჰუმანისტიც კი მიხვდება!

განტოლებები და უტოლობა

გამოდის, რომ გარკვეულ პირობებში მაჩვენებლის მაჩვენებელი ლოგარითმია. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი მათემატიკური რიცხვითი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული ტოლობის სახით. მაგალითად, 3 4 = 81 შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც 81-ის მე-3 ლოგარითმი, რომელიც ტოლია ოთხს (log 3 81 = 4). უარყოფითი ძალებისთვის წესები იგივეა: 2 -5 = 1/32 ვწერთ ლოგარითმად, ვიღებთ log 2 (1/32) = -5. მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მომხიბვლელი განყოფილება არის "ლოგარითმების" თემა. განტოლებების მაგალითებსა და ამონახსნებს განვიხილავთ ქვემოთ, მათი თვისებების შესწავლისთანავე. ახლა ვნახოთ, როგორ გამოიყურება უტოლობები და როგორ განვასხვავოთ ისინი განტოლებისგან.

მოცემულია შემდეგი გამოთქმა: log 2 (x-1) > 3 - ეს არის ლოგარითმული უტოლობა, რადგან უცნობი მნიშვნელობა „x“ ლოგარითმული ნიშნის ქვეშ არის. და ასევე გამონათქვამში შედარებულია ორი სიდიდე: სასურველი რიცხვის ლოგარითმი ორზე მეტია სამზე.

ყველაზე მნიშვნელოვანი განსხვავება ლოგარითმულ განტოლებებსა და უტოლობას შორის არის ის, რომ განტოლებები ლოგარითმებით (მაგალითად, ლოგარითმი 2 x = √9) პასუხში გულისხმობს ერთ ან მეტ კონკრეტულ რიცხვობრივ მნიშვნელობას, ხოლო უტოლობის ამოხსნისას ორივე მისაღები დიაპაზონი. მნიშვნელობები და წერტილები განისაზღვრება ამ ფუნქციის დარღვევით. შედეგად, პასუხი არ არის ინდივიდუალური რიცხვების მარტივი ნაკრები, როგორც განტოლების პასუხში, არამედ უწყვეტი სერია ან რიცხვების სიმრავლე.

ძირითადი თეორემები ლოგარითმების შესახებ

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნის პრიმიტიული ამოცანების გადაჭრისას, მისი თვისებები შეიძლება არ იყოს ცნობილი. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება ლოგარითმულ განტოლებებს ან უტოლობას, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ლოგარითმების ყველა ძირითადი თვისების მკაფიოდ გაგება და პრაქტიკაში გამოყენება. განტოლებების მაგალითებს მოგვიანებით განვიხილავთ; ჯერ უფრო დეტალურად განვიხილოთ თითოეული თვისება.

1. ძირითადი იდენტურობა ასე გამოიყურება: a logaB =B. იგი გამოიყენება მხოლოდ მაშინ, როდესაც a მეტია 0-ზე, არ უდრის ერთს და B არის ნულზე მეტი.
2. პროდუქტის ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ამ შემთხვევაში სავალდებულო პირობაა: d, s 1 და s 2 > 0; a≠1. ამ ლოგარითმული ფორმულის მტკიცებულება შეგიძლიათ მაგალითებითა და ამოხსნით. მოდით log a s 1 = f 1 და log a s 2 = f 2, შემდეგ a f1 = s 1, a f2 = s 2. მივიღებთ, რომ s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (თვისებები გრადუსი ), და შემდეგ განმარტებით: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, რაც დასამტკიცებლად იყო საჭირო.
3. კოეფიციენტის ლოგარითმი ასე გამოიყურება: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. ფორმულის სახით თეორემა იღებს შემდეგ ფორმას: log a q b n = n/q log a b.

ამ ფორმულას ეწოდება "ლოგარითმის ხარისხის თვისება". იგი წააგავს ჩვეულებრივი ხარისხების თვისებებს და გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა მათემატიკა ემყარება ბუნებრივ პოსტულატებს. მოდით შევხედოთ მტკიცებულებას.

მოდით log a b = t, გამოდის t =b. თუ ორივე ნაწილს ავწევთ m ხარისხზე: a tn = b n;

მაგრამ რადგან a tn = (a q) nt/q = b n, ამიტომ log a q b n = (n*t)/t, მაშინ log a q b n = n/q log a b. თეორემა დადასტურდა.

პრობლემებისა და უთანასწორობის მაგალითები

ლოგარითმებზე ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის განტოლებებისა და უტოლობების მაგალითები. ისინი გვხვდება თითქმის ყველა პრობლემურ წიგნში და ასევე არის მათემატიკის გამოცდების აუცილებელი ნაწილი. უნივერსიტეტში შესასვლელად ან მათემატიკაში მისაღები გამოცდების ჩასაბარებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ სწორად ამოხსნათ ასეთი ამოცანები.

სამწუხაროდ, არ არსებობს ლოგარითმის უცნობი მნიშვნელობის ამოხსნისა და განსაზღვრის ერთი გეგმა ან სქემა, თუმცა მისი გამოყენება შესაძლებელია ყველა მათემატიკური უტოლობის ან ლოგარითმული განტოლებისთვის. გარკვეული წესები. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, შეიძლება თუ არა გამოხატვის გამარტივება ან გამოიწვიოს იერი. თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ გრძელი ლოგარითმული გამონათქვამები, თუ სწორად გამოიყენებთ მათ თვისებებს. მოდით გავეცნოთ მათ სწრაფად.

როცა გადაწყვეტს ლოგარითმული განტოლებები, უნდა განვსაზღვროთ რა ტიპის ლოგარითმი გვაქვს: მაგალითის გამოხატულება შეიძლება შეიცავდეს ბუნებრივ ლოგარითმს ან ათობითი.

აქ არის მაგალითები ln100, ln1026. მათი გამოსავალი ემყარება იმ ფაქტს, რომ მათ უნდა დაადგინონ სიმძლავრე, რომლის ფუძე 10 ტოლი იქნება, შესაბამისად, 100 და 1026. ბუნებრივი ლოგარითმების ამოსახსნელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლოგარითმული იდენტობები ან მათი თვისებები. მოდით შევხედოთ სხვადასხვა ტიპის ლოგარითმული ამოცანების ამოხსნის მაგალითებს.

როგორ გამოვიყენოთ ლოგარითმის ფორმულები: მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით

ასე რომ, მოდით შევხედოთ ლოგარითმების შესახებ ძირითადი თეორემების გამოყენების მაგალითებს.

1. პროდუქტის ლოგარითმის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამოცანებში, სადაც აუცილებელია b რიცხვის დიდი მნიშვნელობის დაშლა უფრო მარტივ ფაქტორებად. მაგალითად, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. პასუხი არის 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - როგორც ხედავთ, ლოგარითმის სიმძლავრის მეოთხე თვისების გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ ერთი შეხედვით რთული და ამოუხსნელი გამოსახულების ამოხსნა. თქვენ უბრალოდ უნდა შეაფასოთ საფუძველი და შემდეგ ამოიღოთ მაჩვენებლების მნიშვნელობები ლოგარითმის ნიშნიდან.

დავალებები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან

ლოგარითმები ხშირად გვხვდება მისაღებ გამოცდებში, განსაკუთრებით ბევრი ლოგარითმული პრობლემა ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში (სახელმწიფო გამოცდა სკოლის ყველა კურსდამთავრებულისთვის). როგორც წესი, ეს ამოცანები წარმოდგენილია არა მხოლოდ A ნაწილში (გამოცდის ყველაზე მარტივი ტესტი), არამედ C ნაწილში (ყველაზე რთული და მოცულობითი ამოცანები). გამოცდა მოითხოვს ზუსტ და სრულყოფილ ცოდნას თემის „ბუნებრივი ლოგარითმები“.

მაგალითები და პრობლემების გადაწყვეტა აღებულია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ოფიციალური ვერსიებიდან. ვნახოთ, როგორ წყდება ასეთი ამოცანები.

მოცემული ჟურნალი 2 (2x-1) = 4. ამოხსნა:
მოდით გადავიწეროთ გამონათქვამი, გავამარტივოთ იგი ცოტა log 2 (2x-1) = 2 2, ლოგარითმის განმარტებით მივიღებთ, რომ 2x-1 = 2 4, შესაბამისად 2x = 17; x = 8.5.

• უმჯობესია, ყველა ლოგარითმი ერთსა და იმავე ფუძეზე შევიყვანოთ, რათა გამოსავალი არ იყოს რთული და დამაბნეველი.
• ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი ყველა გამონათქვამი მითითებულია, როგორც დადებითი, ამიტომ, როდესაც გამოხატვის გამოხატულება, რომელიც არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მისი ფუძე ამოღებულია მულტიპლიკატორად, ლოგარითმის ქვეშ დარჩენილი გამოხატულება უნდა იყოს დადებითი.

ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმების შესწავლას. ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ლოგარითმების გამოთვლა, ამ პროცესს ე.წ ლოგარითმი. ჯერ გავიგებთ ლოგარითმების გამოთვლას განმარტებით. შემდეგი, მოდით შევხედოთ, თუ როგორ არის ნაპოვნი ლოგარითმების მნიშვნელობები მათი თვისებების გამოყენებით. ამის შემდეგ, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ლოგარითმების გამოთვლაზე სხვა ლოგარითმების თავდაპირველად მითითებული მნიშვნელობებით. და ბოლოს, მოდით ვისწავლოთ ლოგარითმის ცხრილების გამოყენება. მთელი თეორია მოცემულია მაგალითებით დეტალური გადაწყვეტილებებით.

გვერდის ნავიგაცია.

ლოგარითმების გამოთვლა განმარტებით

უმარტივეს შემთხვევებში შესაძლებელია საკმაოდ სწრაფად და მარტივად შესრულება ლოგარითმის პოვნა განსაზღვრებით. მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ, თუ როგორ ხდება ეს პროცესი.

მისი არსი არის b რიცხვის წარმოდგენა a c სახით, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, რიცხვი c არის ლოგარითმის მნიშვნელობა. ანუ, განმარტებით, ტოლობების შემდეგი ჯაჭვი შეესაბამება ლოგარითმის პოვნას: log a b=log a a c =c.

ამრიგად, ლოგარითმის განსაზღვრებით გამოთვლა მთავრდება c რიცხვის პოვნამდე, რომ c = b და თავად რიცხვი c არის ლოგარითმის სასურველი მნიშვნელობა.

წინა აბზაცებში მოცემული ინფორმაციის გათვალისწინებით, როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ რიცხვი მოცემულია ლოგარითმის ბაზის გარკვეული სიმძლავრით, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ რის ტოლია ლოგარითმი - ის უდრის მაჩვენებელს. მოდით ვაჩვენოთ მაგალითების გადაწყვეტილებები.

მაგალითი.

იპოვეთ log 2 2 −3 და ასევე გამოთვალეთ რიცხვის e 5,3 ბუნებრივი ლოგარითმი.

გამოსავალი.

ლოგარითმის განმარტება საშუალებას გვაძლევს დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ log 2 2 −3 =−3. მართლაც, რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უდრის 2-ს −3 ხარისხს.

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მეორე ლოგარითმს: lne 5.3 =5.3.

პასუხი:

log 2 2 −3 =−3 და lne 5,3 =5,3.

თუ რიცხვი b ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არ არის მითითებული, როგორც ლოგარითმის ფუძის სიმძლავრე, მაშინ საჭიროა ყურადღებით დაათვალიეროთ, რომ ნახოთ შესაძლებელია თუ არა რიცხვის b გამოსახვა a c სახით. ხშირად ეს წარმოდგენა საკმაოდ აშკარაა, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უდრის ბაზის ხარისხს 1, ან 2, ან 3, ...

მაგალითი.

გამოთვალეთ ლოგარითმები log 5 25 და .

გამოსავალი.

ადვილი მისახვედრია, რომ 25=5 2, ეს საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ პირველი ლოგარითმი: log 5 25=log 5 5 2 =2.

გადავიდეთ მეორე ლოგარითმის გამოთვლაზე. რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 7-ის ხარისხად: (იხილეთ საჭიროების შემთხვევაში). აქედან გამომდინარე, .

გადავიწეროთ მესამე ლოგარითმი შემდეგი ფორმით. ახლა თქვენ ხედავთ ამას , საიდანაც ვასკვნით, რომ . მაშასადამე, ლოგარითმის განმარტებით .

მოკლედ, გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: .

პასუხი:

ჟურნალი 5 25=2, და .

როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის საკმარისად დიდი ბუნებრივი რიცხვი, მაშინ არ იქნება ზიანის მომტანი მისი ძირითადი ფაქტორებად გადაქცევა. ხშირად გვეხმარება ისეთი რიცხვის წარმოდგენაში, როგორიც არის ლოგარითმის ფუძის გარკვეული სიმძლავრე და, შესაბამისად, ამ ლოგარითმის განსაზღვრებით გამოთვლა.

მაგალითი.

იპოვეთ ლოგარითმის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

ლოგარითმების ზოგიერთი თვისება საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ ლოგარითმების მნიშვნელობა. ეს თვისებები მოიცავს ერთეულის ლოგარითმის თვისებას და რიცხვის ლოგარითმის თვისებას, ბაზის ტოლი: log 1 1=log a a 0 =0 და log a=log a 1 =1 . ანუ, როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის რიცხვი 1 ან რიცხვი ტოლი ლოგარითმის ფუძისა, მაშინ ამ შემთხვევებში ლოგარითმები უდრის 0-ს და 1-ს.

მაგალითი.

რის ტოლია ლოგარითმები და log10?

გამოსავალი.

ვინაიდან , მაშინ ლოგარითმის განმარტებიდან გამომდინარეობს .

მეორე მაგალითში რიცხვი 10 ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ემთხვევა მის ფუძეს, ამიტომ ათეულის ათწილადი ლოგარითმი უდრის ერთს, ანუ lg10=lg10 1 =1.

პასუხი:

და lg10=1.

გაითვალისწინეთ, რომ ლოგარითმების გამოთვლა განმარტებით (რაზეც წინა აბზაცში ვისაუბრეთ) გულისხმობს ტოლობის log a a p =p გამოყენებას, რაც ლოგარითმების ერთ-ერთი თვისებაა.

პრაქტიკაში, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ლოგარითმის ფუძის ქვეშ არის ადვილად წარმოდგენილი, როგორც გარკვეული რიცხვის სიმძლავრე, ძალიან მოსახერხებელია ფორმულის გამოყენება. , რომელიც შეესაბამება ლოგარითმების ერთ-ერთ თვისებას. მოდით შევხედოთ ლოგარითმის პოვნის მაგალითს, რომელიც ასახავს ამ ფორმულის გამოყენებას.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ლოგარითმი.

გამოსავალი.

პასუხი:

.

ლოგარითმების თვისებები, რომლებიც ზემოთ არ არის ნახსენები, ასევე გამოიყენება გამოთვლებში, მაგრამ ამაზე ვისაუბრებთ შემდეგ აბზაცებში.

ლოგარითმების პოვნა სხვა ცნობილი ლოგარითმების მეშვეობით

ამ პარაგრაფში მოცემული ინფორმაცია აგრძელებს ლოგარითმების თვისებების გამოყენების თემას მათი გამოთვლისას. მაგრამ აქ მთავარი განსხვავება ისაა, რომ ლოგარითმების თვისებები გამოიყენება ორიგინალური ლოგარითმის სხვა ლოგარითმით გამოხატვისთვის, რომლის მნიშვნელობა ცნობილია. გარკვევისთვის მოვიყვანოთ მაგალითი. ვთქვათ, ვიცით, რომ log 2 3≈1.584963, შემდეგ შეგვიძლია ვიპოვოთ, მაგალითად, log 2 6 მცირე ტრანსფორმაციის განხორციელებით ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში საკმარისი იყო პროდუქტის ლოგარითმის თვისების გამოყენება. თუმცა, ბევრად უფრო ხშირად საჭიროა ლოგარითმების თვისებების უფრო ფართო არსენალის გამოყენება, რათა გამოვთვალოთ ორიგინალური ლოგარითმი მოცემულების მეშვეობით.

მაგალითი.

გამოთვალეთ 27-ის ლოგარითმი 60-მდე, თუ იცით, რომ log 60 2=a და log 60 5=b.

გამოსავალი.

ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ჟურნალი 60 27. ადვილი მისახვედრია, რომ 27 = 3 3 და ორიგინალური ლოგარითმი, სიმძლავრის ლოგარითმის თვისების გამო, შეიძლება გადაიწეროს როგორც 3·log 60 3.

ახლა ვნახოთ, როგორ გამოვხატოთ log 60 3 ცნობილი ლოგარითმების მიხედვით. ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმის თვისება საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ტოლობის ჟურნალი 60 60=1. მეორეს მხრივ, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . ამრიგად, 2 ლოგი 60 2+ლოგი 60 3+ლოგი 60 5=1. აქედან გამომდინარე, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

დაბოლოს, ჩვენ ვიანგარიშებთ თავდაპირველ ლოგარითმს: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

პასუხი:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ცალკე, აღსანიშნავია ფორმის ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის მნიშვნელობა. . ის საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმებიდან ნებისმიერი ფუძით ლოგარითმებზე კონკრეტული ფუძის მქონე ლოგარითმებზე, რომელთა მნიშვნელობები ცნობილია ან შესაძლებელია მათი პოვნა. ჩვეულებრივ, ორიგინალური ლოგარითმიდან, გარდამავალი ფორმულის გამოყენებით, ისინი გადადიან ლოგარითმებზე ერთ-ერთ 2, e ან 10 ფუძეზე, რადგან ამ ბაზებისთვის არის ლოგარითმების ცხრილები, რომლებიც საშუალებას აძლევს მათი მნიშვნელობების გამოთვლას გარკვეული ხარისხით. სიზუსტე. შემდეგ აბზაცში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ კეთდება ეს.

ლოგარითმის ცხრილები და მათი გამოყენება

ლოგარითმის მნიშვნელობების სავარაუდო გაანგარიშებისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ლოგარითმის ცხრილები. ყველაზე ხშირად გამოყენებული ბაზის 2 ლოგარითმის ცხრილი, ბუნებრივი ლოგარითმის ცხრილი და ათობითი ლოგარითმის ცხრილი. ათობითი რიცხვების სისტემაში მუშაობისას მოსახერხებელია ლოგარითმების ცხრილის გამოყენება, რომელიც დაფუძნებულია ათეულზე. მისი დახმარებით ჩვენ ვისწავლით ლოგარითმების მნიშვნელობების პოვნას.

წარმოდგენილი ცხრილი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ რიცხვების ათობითი ლოგარითმების მნიშვნელობები 1000-დან 9999-მდე (სამი ათობითი ადგილით) ათიათასიანი სიზუსტით. ჩვენ გავაანალიზებთ ლოგარითმის მნიშვნელობის პოვნის პრინციპს ათობითი ლოგარითმების ცხრილის გამოყენებით კონკრეტული მაგალითის გამოყენებით - ეს უფრო ნათელია. მოდი ვიპოვოთ log1.256.

ათობითი ლოგარითმების ცხრილის მარცხენა სვეტში ვხვდებით 1.256 რიცხვის პირველ ორ ციფრს, ანუ ვპოულობთ 1.2-ს (სიცხადისთვის ეს რიცხვი შემოხაზულია ლურჯად). 1.256 რიცხვის მესამე ციფრი (ციფრი 5) გვხვდება ორმაგი ხაზის მარცხნივ პირველ ან ბოლო სტრიქონში (ეს რიცხვი შემოხაზულია წითლად). ორიგინალური რიცხვის 1.256 მეოთხე ციფრი (ციფრი 6) გვხვდება ორმაგი ხაზის მარჯვნივ პირველ ან ბოლო სტრიქონში (ეს რიცხვი შემოხაზულია მწვანე ხაზით). ახლა ჩვენ ვპოულობთ რიცხვებს ლოგარითმის ცხრილის უჯრედებში მონიშნული მწკრივისა და მონიშნული სვეტების კვეთაზე (ეს რიცხვები მონიშნულია ნარინჯისფრად). მონიშნული რიცხვების ჯამი იძლევა ათწილადის ლოგარითმის სასურველ მნიშვნელობას მეოთხე ათწილადამდე, ანუ log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

შესაძლებელია თუ არა, ზემოთ მოყვანილი ცხრილის გამოყენებით, ვიპოვოთ რიცხვების ათობითი ლოგარითმების მნიშვნელობები, რომლებსაც აქვთ სამზე მეტი ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ, ისევე როგორც ის, ვინც სცილდება 1-დან 9.999-მდე დიაპაზონს? Დიახ, შეგიძლია. მოდით აჩვენოთ, თუ როგორ კეთდება ეს მაგალითით.

გამოვთვალოთ lg102.76332. ჯერ უნდა დაწერო ნომერი სტანდარტული ფორმით: 102.76332=1.0276332·10 2. ამის შემდეგ მანტისა უნდა დამრგვალდეს მესამე ათწილადამდე, გვაქვს 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, ხოლო თავდაპირველი ათობითი ლოგარითმი არის დაახლოებით ლოგარითმის ტოლიშედეგად მიღებული რიცხვი, ანუ ვიღებთ log102.76332≈lg1.028·10 2. ახლა ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმის თვისებებს: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. საბოლოოდ, ათწილადი ლოგარითმების ცხრილიდან ვპოულობთ lg1.028 ლოგარითმის მნიშვნელობას lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. შედეგად, ლოგარითმის გამოთვლის მთელი პროცესი ასე გამოიყურება: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ ათობითი ლოგარითმების ცხრილის გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ ნებისმიერი ლოგარითმის სავარაუდო მნიშვნელობა. ამისათვის საკმარისია გამოიყენოთ გარდამავალი ფორმულა, რომ გადავიდეთ ათობითი ლოგარითმებზე, იპოვოთ მათი მნიშვნელობები ცხრილში და შეასრულოთ დარჩენილი გამოთვლები.

მაგალითად, გამოვთვალოთ ჟურნალი 2 3 . ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის მიხედვით გვაქვს . ათობითი ლოგარითმების ცხრილიდან ვხვდებით log3≈0.4771 და log2≈0.3010. ამრიგად, .

ბიბლიოგრაფია.

• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის).

ინსტრუქციები

დაწერეთ მოცემული ლოგარითმული გამოხატულება. თუ გამოთქმა იყენებს 10-ის ლოგარითმს, მაშინ მისი აღნიშვნა მცირდება და ასე გამოიყურება: lg b არის ათობითი ლოგარითმი. თუ ლოგარითმს საფუძვლად აქვს რიცხვი e, ჩაწერეთ გამოთქმა: ln b – ბუნებრივი ლოგარითმი. გასაგებია, რომ ნებისმიერის შედეგი არის ძალა, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს საბაზისო რიცხვი, რომ მივიღოთ b რიცხვი.

ორი ფუნქციის ჯამის პოვნისას თქვენ უბრალოდ უნდა განასხვავოთ ისინი სათითაოდ და დაამატოთ შედეგები: (u+v)" = u"+v";

ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებულის პოვნისას აუცილებელია პირველი ფუნქციის წარმოებული გავამრავლოთ მეორეზე და დავამატოთ მეორე ფუნქციის წარმოებული გამრავლებული პირველ ფუნქციაზე: (u*v)" = u"*v. +v"*u;

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული რომ ვიპოვოთ, საჭიროა დივიდენდის წარმოებულის ნამრავლს გამრავლებულ ფუნქციაზე გამოვაკლოთ გამყოფის წარმოებულის ნამრავლი გამრავლებული დივიდენდის ფუნქციაზე და გავყოთ. ეს ყველაფერი გამყოფი ფუნქციის კვადრატში. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

თუ მიცემულია რთული ფუნქცია, მაშინ აუცილებელია მისი წარმოებულის გამრავლება შიდა ფუნქციახოლო გარეგანის წარმოებული. მოდით y=u(v(x)), შემდეგ y"(x)=y"(u)*v"(x).

ზემოთ მიღებული შედეგების გამოყენებით, შეგიძლიათ განასხვავოთ თითქმის ნებისმიერი ფუნქცია. ასე რომ, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ასევე არის პრობლემები წარმოებულის გამოთვლასთან დაკავშირებით. მოცემული იყოს ფუნქცია y=e^(x^2+6x+5), თქვენ უნდა იპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა x=1 წერტილში.
1) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა მოცემული წერტილი y"(1)=8*e^0=8

ვიდეო თემაზე

სასარგებლო რჩევა

ისწავლეთ ელემენტარული წარმოებულების ცხრილი. ეს მნიშვნელოვნად დაზოგავს დროს.

წყაროები:

• მუდმივის წარმოებული

მაშ, რა განსხვავებაა მათ შორის რაციონალური განტოლებარაციონალურიდან? თუ უცნობი ცვლადი არის ნიშნის ქვეშ კვადრატული ფესვი, მაშინ განტოლება ითვლება ირაციონალურად.

ინსტრუქციები

ასეთი განტოლებების ამოხსნის მთავარი მეთოდია ორივე მხარის აგების მეთოდი განტოლებებიმოედანზე. თუმცა. ეს ბუნებრივია, პირველი რაც უნდა გააკეთოთ არის ნიშნის მოშორება. ეს მეთოდი არ არის ტექნიკურად რთული, მაგრამ ზოგჯერ შეიძლება გამოიწვიოს პრობლემები. მაგალითად, განტოლება არის v(2x-5)=v(4x-7). ორივე მხარის კვადრატში მიიღებთ 2x-5=4x-7. ასეთი განტოლების ამოხსნა არ არის რთული; x=1. მაგრამ ნომერი 1 არ იქნება მოცემული განტოლებები. რატომ? შეცვალეთ ერთი განტოლებაში x-ის მნიშვნელობის ნაცვლად და მარჯვენა და მარცხენა მხარეები შეიცავს გამონათქვამებს, რომლებსაც აზრი არ აქვს, ანუ. ეს მნიშვნელობა არ არის მოქმედი კვადრატული ფესვისთვის. მაშასადამე, 1 არის უცხო ფესვი და, შესაბამისად, ამ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

ასე რომ, ირაციონალური განტოლება წყდება მისი ორივე მხარის კვადრატის მეთოდის გამოყენებით. და განტოლების ამოხსნის შემდეგ, აუცილებელია ზედმეტი ფესვების ამოჭრა. ამისათვის შეცვალეთ ნაპოვნი ფესვები თავდაპირველ განტოლებაში.

განიხილეთ კიდევ ერთი.
2х+vх-3=0
რა თქმა უნდა, ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას იმავე განტოლების გამოყენებით, როგორც წინა. ნაერთების გადატანა განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ კვადრატული ფესვი, in მარჯვენა მხარედა შემდეგ გამოიყენეთ კვადრატის მეთოდი. ამოხსნათ მიღებული რაციონალური განტოლება და ფესვები. მაგრამ ასევე სხვა, უფრო ელეგანტური. შეიყვანეთ ახალი ცვლადი; vх=y. შესაბამისად მიიღებთ 2y2+y-3=0 ფორმის განტოლებას. ანუ ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება. იპოვნეთ მისი ფესვები; y1=1 და y2=-3/2. შემდეგი, გადაწყვიტეთ ორი განტოლებები vх=1; vх=-3/2. მეორე განტოლებას არ აქვს ფესვები, პირველიდან ვხვდებით, რომ x=1. არ დაგავიწყდეთ ფესვების შემოწმება.

პირადობის ამოხსნა საკმაოდ მარტივია. ამისათვის თქვენ უნდა გააკეთოთ იდენტობის გარდაქმნებიმიზნის მიღწევამდე. ამრიგად, მარტივი არითმეტიკული ოპერაციების დახმარებით, ამოცანის ამოხსნა მოხდება.

დაგჭირდებათ

• - ქაღალდი;
• -კალამი.

ინსტრუქციები

ასეთი გარდაქმნებიდან უმარტივესი არის ალგებრული შემოკლებული გამრავლება (როგორიცაა ჯამის კვადრატი (განსხვავება), კვადრატების სხვაობა, ჯამი (განსხვავება), ჯამის კუბი (განსხვავება)). გარდა ამისა, არსებობს მრავალი ტრიგონომეტრიული ფორმულა, რომლებიც არსებითად იგივე იდენტობებია.

მართლაც, ორი წევრის ჯამის კვადრატი უდრის პირველის კვადრატს პლუს ორჯერ ნამრავლი პირველის მეორეზე და პლუს მეორის კვადრატი, ანუ (a+b)^2= (a+ ბ)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

გაამარტივეთ ორივე

გადაწყვეტის ზოგადი პრინციპები

გაიმეორეთ მათემატიკური ანალიზის ან უმაღლესი მათემატიკის სახელმძღვანელოდან რა არის განსაზღვრული ინტეგრალი. როგორც ცნობილია, გამოსავალი განსაზღვრული ინტეგრალიარის ფუნქცია, რომლის წარმოებული იძლევა ინტეგრანდს. ეს ფუნქციაანტიდერივატი ეწოდება. ამ პრინციპის საფუძველზე აგებულია ძირითადი ინტეგრალები.
განსაზღვრეთ ინტეგრადის ტიპის მიხედვით, ცხრილის რომელი ინტეგრალია შესაფერისი ამ შემთხვევაში. ამის დაუყოვნებლივ დადგენა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. ხშირად, ტაბულური ფორმა შესამჩნევი ხდება მხოლოდ რამდენიმე გარდაქმნის შემდეგ, ინტეგრადის გასამარტივებლად.

ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი

თუ ინტეგრადი არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომლის არგუმენტი არის პოლინომი, მაშინ სცადეთ გამოიყენოთ ცვლადების შეცვლის მეთოდი. ამისათვის შეცვალეთ პოლინომი ინტეგრადის არგუმენტში ახალი ცვლადით. ახალ და ძველ ცვლადებს შორის ურთიერთობის საფუძველზე განსაზღვრეთ ინტეგრაციის ახალი საზღვრები. ამ გამონათქვამის დიფერენცირებით იპოვეთ ახალი დიფერენციალი . ასე რომ თქვენ მიიღებთ ახალი სახეობაწინა ინტეგრალის, ახლოს ან თუნდაც შესაბამისი რომელიმე ცხრილის.

მეორე სახის ინტეგრალების ამოხსნა

თუ ინტეგრალი არის მეორე სახის ინტეგრალი, ინტეგრანის ვექტორული ფორმა, მაშინ დაგჭირდებათ ამ ინტეგრალებიდან სკალარზე გადასვლის წესების გამოყენება. ერთ-ერთი ასეთი წესია ოსტროგრადსკი-გაუსის ურთიერთობა. ეს კანონი საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ გარკვეული ვექტორული ფუნქციის როტორული ნაკადიდან სამმაგ ინტეგრალზე მოცემული ვექტორული ველის დივერგენციაზე.

ინტეგრაციის ლიმიტების ჩანაცვლება

ანტიდერივატივის პოვნის შემდეგ აუცილებელია ინტეგრაციის საზღვრების ჩანაცვლება. პირველ რიგში, ჩაანაცვლეთ ზედა ზღვრის მნიშვნელობა ანტიწარმოებულის გამოხატულებაში. რაღაც ნომერს მიიღებ. შემდეგ, მიღებული რიცხვიდან გამოაკლეთ ქვედა ზღვრიდან მიღებული სხვა რიცხვი ანტიწარმოებულში. თუ ინტეგრაციის ერთ-ერთი ზღვარი არის უსასრულობა, მაშინ მისი ჩანაცვლებისას ანტიდერივატიული ფუნქციააუცილებელია ზღვარზე წასვლა და პოვნა, რისკენ ისწრაფვის გამოთქმა.
თუ ინტეგრალი არის ორგანზომილებიანი ან სამგანზომილებიანი, მაშინ თქვენ მოგიწევთ გეომეტრიულად წარმოადგინოთ ინტეგრაციის საზღვრები, რათა გაიგოთ, როგორ შეაფასოთ ინტეგრალი. მართლაც, მაგალითად, სამგანზომილებიანი ინტეგრალის შემთხვევაში, ინტეგრაციის საზღვრები შეიძლება იყოს მთლიანი სიბრტყეები, რომლებიც ზღუდავს ინტეგრირებულ მოცულობას.

ლოგარითმის ცნება და ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა

ლოგარითმის ცნება და ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა მჭიდრო კავშირშია, რადგან ლოგარითმის განმარტება მათემატიკური აღნიშვნადა არის .

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან:

განმარტება 1

ლოგარითმიისინი ეძახიან მაჩვენებელს $n$, ამაღლებისას რიცხვები $a$ იღებენ $b$ რიცხვს.

შენიშვნა 1

ექსპონენციალური განტოლება$a^n=b$ $a > 0$-ისთვის, $a \ne 1$-ს არ აქვს გადაწყვეტილებები არადადებითი $b$-ისთვის და აქვს ერთი ფესვი დადებითი $b$-ისთვის. ამ ფესვს ე.წ $b$ რიცხვის ლოგარითმი $a$-ის საფუძვლამდედა დაწერე:

$a^(\log_(a) b)=b$.

განმარტება 2

გამოხატულება

$a^(\log_(a) b)=b$

დაურეკა ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობაიმ პირობით, რომ $a,b > 0$, $a \ne 1$.

მაგალითი 1

$17^(\log_(17) 6)=6$;

$e^(\ln⁡13) =13$;

$10^(\lg23)=23$.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

მთავარილოგარითმული იდენტურობა ეწოდება იმიტომ იგი თითქმის ყოველთვის გამოიყენება ლოგარითმებთან მუშაობისას. გარდა ამისა, მისი დახმარებით დასაბუთებულია ლოგარითმების ძირითადი თვისებები.

მაგალითი 2

$7^5=16807$, შესაბამისად $\log_(7)16807=5$.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, შესაბამისად $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, შესაბამისად $\log_(11)⁡1=0$.

განვიხილოთ ძირითადი ლოგარითმული იდენტობის შედეგი:

განმარტება 3

თუ ორი ლოგარითმი იმავე საფუძვლებზეტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ლოგარითმული გამოსახულებები ტოლია:

თუ $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$, მაშინ $b=c$.

განვიხილოთ შეზღუდვები, რომლებიც გამოიყენება ლოგარითმული იდენტობისთვის:

იმიტომ რომ როდესაც ერთობა ნებისმიერ ძალაზე ვზრდით, ჩვენ ყოველთვის ვიღებთ ერთს და $x=\log_(a)⁡b$ ტოლობა არსებობს მხოლოდ $b=1$-ისთვის, მაშინ $\log_(1)⁡1$ იქნება ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვი. ამ გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, აიღეთ $a \ne 1$.

ლოგარითმი $a=0$-ისთვის, განმარტების მიხედვით, შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ $b=0$-ისთვის. იმიტომ რომ როდესაც ნულს ვაზრდით ნებისმიერ ხარისხზე, ყოველთვის ვიღებთ ნულს, მაშინ $\log_(0)⁡0$ შეიძლება იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ამ გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, აიღეთ $a \ne 0$. დოლარად რაციონალური და ირაციონალურილოგარითმის მნიშვნელობები, რადგან რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლით ხარისხი შეიძლება გამოითვალოს მხოლოდ დადებითი საფუძვლებისთვის. ამ სიტუაციის თავიდან ასაცილებლად, აიღეთ $a > 0$.

$b > 0$ გამომდინარეობს $a > 0$ პირობიდან, ვინაიდან $x=\log_(a)⁡b$ და დადებითი რიცხვის a ძალა ყოველთვის დადებითი იქნება.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ხშირად გამოიყენება ლოგარითმული გამონათქვამების გასამარტივებლად.

მაგალითი 3

გამოთვალეთ $81^(\log_(9) 7)$.

გამოსავალი.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტობის გამოსაყენებლად, აუცილებელია, რომ ლოგარითმის საფუძველი და სიმძლავრეები ერთნაირი იყოს. მოდით დავწეროთ ხარისხის საფუძველი სახით:

ახლა შეგვიძლია დავწეროთ:

$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

გამოვიყენოთ ძალაუფლების თვისება:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ახლა შეიძლება გამოყენებულ იქნას თითოეულ ფაქტორზე:

$=7 \cdot 7=49$.

შენიშვნა 2

ძირითადი ლოგარითმული იდენტობის გამოსაყენებლად, თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიმართოთ ლოგარითმის ფუძის შეცვლას იმ გამოხატვით, რომელიც გამოჩნდება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და პირიქით.

მაგალითი 4

გამოთვალეთ $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.

გამოსავალი.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

უპასუხე: $11$.

მაგალითი 5

გამოთვალეთ $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.

გამომდინარეობს მისი განმარტებიდან. ასე რომ, რიცხვის ლოგარითმი ბდაფუძნებული აგანისაზღვრება, როგორც მაჩვენებელი, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).

ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x=log a b, უდრის განტოლების ამოხსნას a x =b.Მაგალითად, ჟურნალი 2 8 = 3რადგან 8 = 2 3 . ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბდაფუძნებული აუდრის თან. ასევე ნათელია, რომ ლოგარითმების თემა მჭიდრო კავშირშია რიცხვის ხარისხების თემასთან.

ლოგარითმებით, როგორც ნებისმიერი რიცხვით, შეგიძლიათ ამის გაკეთება შეკრების, გამოკლების ოპერაციებიდა გარდაიქმნება ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ იმის გამო, რომ ლოგარითმები არ არის სრულიად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ მოქმედებს მათი სპეციალური წესები, რომლებიც ე.წ. ძირითადი თვისებები.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება.

ავიღოთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძეებით: შესვლა xდა შესვლა y. შემდეგ შესაძლებელია შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციების შესრულება:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ჟურნალი ა(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = შესვლა x 1 + შესვლა x 2 + შესვლა x 3 + ... + log a x k.

დან ლოგარითმის კოეფიციენტის თეორემაშეიძლება მივიღოთ ლოგარითმის კიდევ ერთი თვისება. საყოველთაოდ ცნობილია, რომ ჟურნალი ა 1 = 0, შესაბამისად

ჟურნალი ა 1 /ბ= ჟურნალი ა 1 - ჟურნალი ბ= -ლოგი ბ.

ეს ნიშნავს, რომ არსებობს თანასწორობა:

log a 1 / b = - log a b.

ორი საპასუხო რიცხვის ლოგარითმებიამავე მიზეზით განსხვავდებიან ერთმანეთისაგან მხოლოდ ნიშნით. Ისე:

ჟურნალი 3 9= - ჟურნალი 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.