Аритметичка прогресијаименува низа од броеви (поими на прогресија)

Во кој секој нареден член се разликува од претходниот со нов поим, кој уште се нарекува разлика во чекор или прогресија.

Така, со одредување на чекорот на прогресија и неговиот прв член, можете да најдете кој било од неговите елементи користејќи ја формулата

Својства на аритметичка прогресија

1) Секој член на аритметичка прогресија, почнувајќи од вториот број, е аритметичка средина на претходните и следните членови на прогресијата

Вистина е и обратното. Ако аритметичката средина на соседните непарни (парни) членови на прогресијата е еднаква на членот што стои меѓу нив, тогаш оваа низа од броеви е аритметичка прогресија. Користејќи ја оваа изјава, многу е лесно да се провери која било низа.

Исто така, според својството на аритметичка прогресија, горната формула може да се генерализира на следново

Ова е лесно да се потврди ако ги напишете условите десно од знакот за еднаквост

Често се користи во пракса за да се поедностават пресметките во проблемите.

2) Збирот на првите n членови на аритметичка прогресија се пресметува со помош на формулата

Добро запомнете ја формулата за збир на аритметичка прогресија; таа е неопходна во пресметките и често се наоѓа во едноставни животни ситуации.

3) Ако треба да го пронајдете не целиот збир, туку дел од низата почнувајќи од неговиот k-ти член, тогаш следнава формула за сума ќе ви биде корисна

4) Од практичен интерес е да се најде збир од n членови на аритметичка прогресија почнувајќи од k-тиот број. За да го направите ова, користете ја формулата

Со ова се заокружува теоретскиот материјал и се преминува на решавање на заедничките проблеми во пракса.

Пример 1. Најдете го четириесеттиот член на аритметичката прогресија 4;7;...

Решение:

Според состојбата што ја имаме

Ајде да го одредиме чекорот на прогресија

Користејќи добро позната формула, го наоѓаме четириесеттиот член на прогресијата

Пример 2. Аритметичка прогресија е дадена со нејзиниот трет и седми член. Најдете го првиот член од прогресијата и збирот од десет.

Решение:

Да ги запишеме дадените елементи на прогресијата користејќи ги формулите

Ја одземаме првата од втората равенка, како резултат на тоа го наоѓаме чекорот на прогресија

Пронајдената вредност ја заменуваме со која било од равенките за да го најдеме првиот член од аритметичката прогресија

Го пресметуваме збирот на првите десет члена од прогресијата

Без да користиме сложени пресметки, ги најдовме сите потребни количини.

Пример 3. Аритметичка прогресија е дадена со именителот и еден од неговите членови. Најдете го првиот член од прогресијата, збирот на неговите 50 членови почнувајќи од 50 и збирот на првите 100.

Решение:

Да ја запишеме формулата за стотиот елемент од прогресијата

и најди го првиот

Врз основа на првиот, го наоѓаме 50-тиот член на прогресијата

Наоѓање на збирот на делот од прогресијата

и збирот на првите 100

Износот на прогресијата е 250.

Пример 4.

Најдете го бројот на членовите на аритметичката прогресија ако:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Решение:

Да ги напишеме равенките во однос на првиот член и чекорот на прогресијата и да ги одредиме

Добиените вредности ги заменуваме во формулата за збир за да го одредиме бројот на поими во збирот

Ние спроведуваме поедноставувања

и одлучи квадратна равенка

Од двете пронајдени вредности, само бројот 8 одговара на условите на проблемот. Така, збирот на првите осум члена од прогресијата е 111.

Пример 5.

Решете ја равенката

1+3+5+...+x=307.

Решение: Оваа равенка е збир на аритметичка прогресија. Ајде да го напишеме неговиот прв член и да ја најдеме разликата во прогресијата

Да, да: аритметичката прогресија не е играчка за вас :)

Па, пријатели, ако го читате овој текст, тогаш внатрешната капа-доказ ми кажува дека сè уште не знаете што е аритметичка прогресија, но навистина (не, така: ТООООО!) сакате да знаете. Затоа, нема да ве измачувам со долги воведи и ќе навлезам директно на поентата.

Прво, неколку примери. Ајде да погледнеме неколку групи на броеви:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Што имаат заедничко сите овие комплети? На прв поглед ништо. Но, всушност има нешто. Имено: секој следен елемент се разликува од претходниот по ист број.

Проценете сами. Првиот сет е едноставно последователни броеви, секој следен е еден повеќе од претходниот. Во вториот случај, разликата помеѓу серијата постојани броевие веќе еднаква на пет, но оваа разлика е сè уште константна. Во третиот случај, има корени целосно. Сепак, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ и $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, т.е. и во овој случај, секој следен елемент едноставно се зголемува за $\sqrt(2)$ (и не плашете се дека овој број е ирационален).

Значи: сите такви низи се нарекуваат аритметички прогресии. Ајде да дадеме строга дефиниција:

Дефиниција. Редоследот на броеви во кој секој следен се разликува од претходниот за точно иста количина се нарекува аритметичка прогресија. Самиот износ по кој се разликуваат броевите се нарекува прогресивна разлика и најчесто се означува со буквата $d$.

Ознака: $\left(((a)_(n)) \right)$ е самата прогресија, $d$ е нејзината разлика.

И само неколку важни забелешки. Прво, само се разгледува прогресијата нарединиза броеви: дозволено е да се читаат строго по редоследот по кој се напишани - и ништо друго. Броевите не можат да се преуредуваат или заменуваат.

Второ, самата низа може да биде или конечна или бесконечна. На пример, множеството (1; 2; 3) е очигледно конечна аритметичка прогресија. Но, ако напишете нешто во духот (1; 2; 3; 4; ...) - ова е веќе бесконечна прогресија. Елипсата по четирите се чини дека навестува дека претстојат уште неколку бројки. Бесконечно многу, на пример. :)

Исто така, би сакал да забележам дека прогресијата може да се зголемува или намалува. Веќе видовме зголемени - истиот сет (1; 2; 3; 4; ...). Еве примери за намалување на прогресијата:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt (5);\ \sqrt (5) -1;\ \sqrt (5) -2;\ \sqrt (5) -3;...$

Во ред, во ред: последниот пример може да изгледа премногу комплициран. Но, остатокот, мислам, го разбираш. Затоа, воведуваме нови дефиниции:

Дефиниција. Аритметичката прогресија се нарекува:

1. се зголемува ако секој следен елемент е поголем од претходниот;
2. се намалува ако, напротив, секој следен елемент е помал од претходниот.

Покрај тоа, постојат и таканаречени „стационарни“ секвенци - тие се состојат од ист број што се повторува. На пример, (3; 3; 3; ...).

Останува само едно прашање: како да се разликува растечката прогресија од опаѓачката? За среќа, овде сè зависи само од знакот на бројот $d$, т.е. разлики во прогресијата:

1. Ако $d \gt 0$, тогаш прогресијата се зголемува;
2. Ако $d \lt 0$, тогаш прогресијата очигледно се намалува;
3. Конечно, постои случајот $d=0$ - во овој случај целата прогресија се сведува на стационарна низа од идентични броеви: (1; 1; 1; 1; ...), итн.

Ајде да се обидеме да ја пресметаме разликата $d$ за трите опаѓачки прогресии дадени погоре. За да го направите ова, доволно е да земете кои било два соседни елементи (на пример, првиот и вториот) и да го одземете бројот лево од бројот од десната страна. Ќе изгледа вака:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Како што можеме да видиме, во сите три случаи разликата всушност се покажа негативна. И сега кога повеќе или помалку ги сфативме дефинициите, време е да откриеме како се опишани прогресиите и какви својства имаат.

Термини за прогресија и формула за повторување

Бидејќи елементите на нашите секвенци не можат да се заменат, тие можат да се нумерираат:

\[\left(((a)_(n)) \десно)=\лево\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \десно\)\]

Поединечните елементи на ова множество се нарекуваат членови на прогресија. Тие се означени со број: прв член, втор член итн.

Покрај тоа, како што веќе знаеме, соседните термини на прогресијата се поврзани со формулата:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\десна стрелка ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Накратко, за да го најдете $n$-тиот член на прогресијата, треба да го знаете членот $n-1$th и разликата $d$. Оваа формула се нарекува повторлива, бидејќи со нејзина помош можете да најдете кој било број само со познавање на претходниот (и всушност, сите претходни). Ова е многу незгодно, па затоа постои полукава формула која ги сведува сите пресметки на првиот член и разликата:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\лево(n-1 \десно)d\]

Веројатно веќе сте наишле на оваа формула. Тие сакаат да го даваат во секакви референтни книги и книги за решенија. И во секој разумен учебник по математика тој е еден од првите.

Сепак, предлагам да вежбате малку.

Задача бр. 1. Запишете ги првите три члена од аритметичката прогресија $\left((a)_(n)) \десно)$ ако $((a)_(1))=8,d=-5$.

Решение. Значи, го знаеме првиот член $((a)_(1))=8$ и разликата во прогресијата $d=-5$. Ајде да ја користиме формулата штотуку дадена и да ги замениме $n=1$, $n=2$ и $n=3$:

\[\begin(порамни) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \десно)d; \\ & ((a)_(1))=((а)_(1))+\лево(1-1 \десно)d=((а)_(1))=8; \\ & ((а)_(2))=(а)_(1))+\лево(2-1 \десно)d=((а)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((а)_(3))=(а)_(1))+\лево(3-1 \десно)d=((а)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \крај (порамни)\]

Одговор: (8; 3; −2)

Тоа е се! Ве молиме имајте предвид: нашиот напредок се намалува.

Се разбира, $n=1$ не можеше да се замени - првиот термин ни е веќе познат. Меѓутоа, со замена на единството, се уверивме дека и за првиот мандат нашата формула функционира. Во други случаи, сè се сведуваше на банална аритметика.

Задача бр. 2. Запиши ги првите три члена на аритметичка прогресија ако нејзиниот седми член е еднаков на -40, а неговиот седумнаесетти член е еднаков на -50.

Решение. Ајде да ја напишеме проблемската состојба со познати термини:

\[((а)_(7))=-40;\четири ((а)_(17))=-50.\]

\[\лево\( \почеток(порамни) & ((а)_(7))=((а)_(1))+6d \\ & ((а)_(17))=(а) _(1))+16d \\ \крај (порамни) \десно.\]

\[\лево\( \почеток(порамни) & ((а)_(1))+6д=-40 \\ & ((а)_(1))+16д=-50 \\ \крај (порамни) \право.\]

Го ставив знакот систем затоа што овие барања мора да се исполнат истовремено. Сега да забележиме дека ако ја одземеме првата од втората равенка (имаме право да го направиме ова, бидејќи имаме систем), ќе го добиеме ова:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))+16d-\лево(((а)_(1))+6d \десно)=-50-\лево(-40 \десно); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \крај (порамни)\]

Така е лесно да се најде разликата во прогресијата! Останува само да се замени пронајдениот број со која било од равенките на системот. На пример, во првиот:

\[\begin(матрица) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Надолу \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \крај (матрица)\]

Сега, знаејќи го првиот член и разликата, останува да ги најдеме вториот и третиот член:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(2))=((а)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((а)_(3))=(а)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \крај (порамни)\]

Подготвени! Проблемот е решен.

Одговор: (−34; −35; −36)

Забележете го интересното својство на прогресијата што го откривме: ако ги земеме членовите $n$th и $m$th и ги одземеме еден од друг, ќе ја добиеме разликата на прогресијата помножена со бројот $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \лево(n-m \десно)\]

Едноставно, но многу корисно својство, што дефинитивно треба да го знаете - со негова помош можете значително да го забрзате решавањето на многу проблеми со прогресијата. Еве јасен пример за ова:

Задача бр.3. Петтиот член на аритметичката прогресија е 8,4, а нејзиниот десетти член е 14,4. Најдете го петнаесеттиот член од оваа прогресија.

Решение. Бидејќи $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ и треба да најдеме $((a)_(15))$, го забележуваме следново:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(15))-((а)_(10))=5д; \\ & ((а)_(10))-((а)_(5))=5г. \\ \крај (порамни)\]

Но по услов $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, значи $5d=6$, од кои имаме:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \крај (порамни)\]

Одговор: 20.4

Тоа е се! Не ни требаше да создаваме системи на равенки и да го пресметаме првиот член и разликата - сè беше решено во само неколку линии.

Сега да погледнеме друг тип на проблем - пребарување на негативни и позитивни термини на прогресија. Не е тајна дека ако прогресијата се зголеми, а нејзиниот прв термин е негативен, тогаш порано или подоцна во него ќе се појават позитивни термини. И обратно: условите за намалена прогресија порано или подоцна ќе станат негативни.

Во исто време, не е секогаш можно да се најде овој момент „главно“ со последователно поминување низ елементите. Честопати, проблемите се напишани на таков начин што без да се знаат формулите, за пресметките би биле потребни неколку листови хартија - едноставно ќе заспиеме додека го најдовме одговорот. Затоа, да се обидеме да ги решиме овие проблеми на побрз начин.

Задача бр.4. Колку негативни членови има во аритметичката прогресија −38,5; −35,8; ...?

Решение. Значи, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, од каде веднаш ја наоѓаме разликата:

Забележете дека разликата е позитивна, така што прогресијата се зголемува. Првиот член е негативен, па навистина во одреден момент ќе налетаме на позитивни бројки. Прашањето е само кога тоа ќе се случи.

Ајде да се обидеме да откриеме колку долго (т.е. до кој природен број $n$) останува негативноста на поимите:

\[\почеток(порамни) & ((a)_(n)) \lt 0\Десна стрелка ((a)_(1))+\лево(n-1 \десно)d \lt 0; \\ & -38,5+\лево(n-1 \десно)\cточка 2,7 \lt 0;\quad \лево| \cdot 10 \десно. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \десно) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Десна стрелка ((n)_(\max))=15. \\ \крај (порамни)\]

Последната линија бара некое објаснување. Значи знаеме дека $n \lt 15\frac(7)(27)$. Од друга страна, се задоволуваме само со целобројни вредности на бројот (покрај тоа: $n\in \mathbb(N)$), така што најголемиот дозволен број е точно $n=15$, а во никој случај 16 .

Задача бр.5. Во аритметичка прогресија $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Најдете го бројот на првиот позитивен член од оваа прогресија.

Ова би било точно истиот проблем како и претходниот, но не знаеме $((a)_(1))$. Но, познати се соседните поими: $((a)_(5))$ и $((a)_(6))$, така што лесно можеме да ја најдеме разликата во прогресијата:

Дополнително, да се обидеме да го изразиме петтиот член преку првиот и разликата користејќи ја стандардната формула:

\[\begin(порамни) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \десно)\cточка d; \\ & ((а)_(5))=((а)_(1))+4г; \\ & -150=((а)_(1))+4\cточка 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \крај (порамни)\]

Сега продолжуваме по аналогија со претходната задача. Ајде да дознаеме во која точка од нашата низа ќе се појават позитивните броеви:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(n))=-162+\лево(n-1 \десно)\cточка 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Десна стрелка ((n)_(\min ))=56. \\ \крај (порамни)\]

Минималното целобројно решение за оваа неравенка е бројот 56.

Забележете: во последната задача сè се сведе на строга нееднаквост, така што опцијата $n=55$ нема да ни одговара.

Сега кога научивме како да решаваме едноставни проблеми, да преминеме на посложени. Но, прво, да проучиме уште едно многу корисно својство на аритметичките прогресии, кое ќе ни заштеди многу време и нееднакви ќелии во иднина. :)

Аритметичка средина и еднакви вдлабнатини

Да разгледаме неколку последователни членови на растечката аритметичка прогресија $\left(((a)_(n)) \right)$. Ајде да се обидеме да ги означиме на нумеричката линија:

Услови на аритметичка прогресија на бројната права

Јас конкретно означив произволни термини $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, а не некои $((a)_(1)) ,\ ((а)_(2)),\ ((а)_(3))$, итн. Затоа што правилото за кое ќе ви кажам сега функционира исто за сите „сегменти“.

А правилото е многу едноставно. Да се ​​потсетиме на рекурентната формула и да ја запишеме за сите означени поими:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(n-2))=((а)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((а)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((а)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((а)_(n))+d; \\ & ((а)_(n+2))=((а)_(n+1))+d; \\ \крај (порамни)\]

Сепак, овие еднаквости може да се препишат поинаку:

\[\begin(порамни) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((а)_(n-2))=((а)_(n))-2д; \\ & ((a)_(n-3))=((а)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((а)_(n))+d; \\ & ((а)_(n+2))=((а)_(n))+2д; \\ & ((a)_(n+3))=((а)_(n))+3d; \\ \крај (порамни)\]

Па, што? И фактот дека термините $((a)_(n-1))$ и $((a)_(n+1))$ лежат на исто растојание од $((a)_(n)) $ . И ова растојание е еднакво на $d$. Истото може да се каже и за поимите $((a)_(n-2))$ и $((a)_(n+2))$ - тие исто така се отстранети од $((a)_(n) )$ на исто растојание еднакво на $2d$. Можеме да продолжиме бесконечно, но значењето е добро илустрирано од сликата

Условите на прогресијата лежат на исто растојание од центарот

Што значи ова за нас? Ова значи дека $((a)_(n))$ може да се најде ако се познати соседните броеви:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Добивме одлична изјава: секој член на аритметичка прогресија е еднаков на аритметичката средина на нејзините соседни членови! Покрај тоа: можеме да се повлечеме од нашите $((a)_(n))$ налево и надесно не за еден чекор, туку за $k$ чекори - и формулата сепак ќе биде точна:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Оние. лесно можеме да најдеме некои $((a)_(150))$ ако знаеме $((a)_(100))$ и $((a)_(200))$, бидејќи $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. На прв поглед, може да изгледа дека овој факт не ни дава ништо корисно. Меѓутоа, во пракса, многу проблеми се специјално приспособени да ја користат аритметичката средина. Погледни:

Задача бр.6. Најдете ги сите вредности на $x$ за кои броевите $-6((x)^(2))$, $x+1$ и $14+4((x)^(2))$ се последователни термини на аритметичка прогресија (по наведениот редослед).

Решение. Затоа што наведените броевисе членови на прогресија, за нив условот на аритметичката средина е задоволен: централниот елемент $x+1$ може да се изрази во однос на соседните елементи:

\[\begin(порамни) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \крај (порамни)\]

Резултатот е класична квадратна равенка. Неговите корени: $x=2$ и $x=-3$ се одговорите.

Одговор: −3; 2.

Задача бр.7. Најдете ги вредностите на $$ за кои броевите $-1;4-3;(()^(2))+1$ формираат аритметичка прогресија (по тој редослед).

Решение. Да се ​​изразиме пак просечен членпреку аритметичката средина на соседните поими:

\[\begin(порамни) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \лево| \cdot 2 \десно.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \крај (порамни)\]

Повторно квадратна равенка. И повторно има два корени: $x=6$ и $x=1$.

Одговор: 1; 6.

Ако во процесот на решавање на проблемот излезете со некои брутални бројки или не сте сосема сигурни во точноста на пронајдените одговори, тогаш постои прекрасна техника која ви овозможува да проверите: дали правилно го решивме проблемот?

Да речеме во задачата бр. 6 добивме одговори −3 и 2. Како можеме да провериме дали овие одговори се точни? Ајде само да ги приклучиме во првобитната состојба и да видиме што ќе се случи. Да ве потсетам дека имаме три броја ($-6(()^(2))$, $+1$ и $14+4(()^(2))$), кои мора да формираат аритметичка прогресија. Да го замениме $x=-3$:

\[\почеток(порамни) & x=-3\Десна стрелка \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4 ((x) ^ (2)) = 50. \крај (порамни)\]

Ги добивме броевите −54; −2; 50 кои се разликуваат за 52 е несомнено аритметичка прогресија. Истото се случува и за $x=2$:

\[\почеток(порамни) & x=2\Десна стрелка \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4 ((x) ^ (2)) = 30. \крај (порамни)\]

Повторно прогресија, но со разлика од 27. Така проблемот беше правилно решен. Оние кои сакаат можат сами да го проверат вториот проблем, но веднаш ќе кажам: и таму сè е точно.

Во принцип, додека ги решававме последните проблеми, наидовме на друг интересен факт, што исто така треба да се запомни:

Ако три броја се такви што вториот е аритметичка средина на првиот и последниот, тогаш овие броеви формираат аритметичка прогресија.

Во иднина, разбирањето на оваа изјава ќе ни овозможи буквално да ги „конструираме“ потребните прогресии врз основа на условите на проблемот. Но, пред да се вклучиме во таква „конструкција“, треба да обрнеме внимание на уште еден факт, кој директно произлегува од она што веќе беше дискутирано.

Групирање и сумирање на елементи

Ајде повторно да се вратиме на бројната оска. Да забележиме таму неколку членови на прогресијата, меѓу кои, можеби. вреди за многу други членови:

На нумеричката линија се означени 6 елементи

Ајде да се обидеме да ја изразиме „левата опашка“ преку $((a)_(n))$ и $d$, а „десната опашка“ преку $((a)_(k))$ и $d$. Многу е едноставно:

\[\begin(порамни) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((а)_(n+2))=((а)_(n))+2д; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((а)_(к-2))=(а)_(к))-2д. \\ \крај (порамни)\]

Сега забележете дека следните износи се еднакви:

\[\begin(порамни) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((а)_(n+1))+((a)_(k-1))=((а)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((а)_(n+2))+((а)_(k-2))=((а)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \крај (порамни)\]

Едноставно кажано, ако земеме за почеток два елементи на прогресијата, кои вкупно се еднакви на некој број $S$, а потоа почнуваат да чекорат од овие елементи во спротивни насоки (еден кон друг или обратно за да се оддалечат), тогаш збировите на елементите на кои ќе се сопнеме исто така ќе бидат еднакви$S$. Ова може најјасно да се прикаже графички:

Еднаквите вдлабнатини даваат еднакви количини

Разбирање овој фактќе ни овозможи да ги решиме проблемите во фундаментално повеќе високо нивотешкотии од оние што ги разгледавме погоре. На пример, овие:

Задача бр.8. Одреди ја разликата на аритметичка прогресија во која првиот член е 66, а производот од вториот и дванаесеттиот член е најмалиот можен.

Решение. Ајде да запишеме сè што знаеме:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \крај (порамни)\]

Значи, не ја знаеме разликата во прогресијата $d$. Всушност, целото решение ќе биде изградено околу разликата, бидејќи производот $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ може да се преработи на следниов начин:

\[\begin(порамни) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((а)_(12))=(а)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \десно)\cdot \left(66+11d \десно)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \десно)\cdot \left(d+6 \десно). \крај (порамни)\]

За оние во резервоарот: го зедов вкупниот множител од 11 од втората заграда. Така, саканиот производ е квадратна функција во однос на променливата $d$. Затоа, разгледајте ја функцијата $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - нејзиниот график ќе биде парабола со гранки нагоре, бидејќи ако ги прошириме заградите, добиваме:

\[\почеток(порамни) & f\лево(d \десно)=11\лево(((d)^(2))+66d+6d+66\cточка 6 \десно)= \\ & =11(( г)^(2))+11\cточка 72d+11\cточка 66\cточка 6 \крај (порамни)\]

Како што можете да видите, коефициентот на највисокиот член е 11 - ова е позитивен број, така што навистина се занимаваме со парабола со нагорни гранки:

распоред квадратна функција- парабола

Ве молиме имајте предвид: оваа парабола ја зема својата минимална вредност на нејзиното теме со апсцисата $((d)_(0))$. Се разбира, можеме да ја пресметаме оваа апсциса со стандардна шема(постои формулата $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), но би било многу поразумно да се забележи дека саканото теме лежи на оската на симетрија на парабола, па точката $((d) _(0))$ е еднакво оддалечена од корените на равенката $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(порамни) & f\left(d \десно)=0; \\ & 11\cdot \лево(d+66 \десно)\cdot \лево(d+6 \десно)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \крај (порамни)\]

Затоа не брзав особено да ги отворам заградите: во нивната оригинална форма, корените беа многу, многу лесно да се најдат. Затоа, апсцисата е еднаква на средната вредност аритметички броеви−66 и −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Што ни дава откриениот број? Со него бараниот производ добива најмала вредност (патем, никогаш не сме пресметале $((y)_(\min ))$ - тоа не се бара од нас). Во исто време, овој број е разликата на првобитната прогресија, т.е. го најдовме одговорот. :)

Одговор: −36

Задача бр.9. Помеѓу броевите $-\frac(1)(2)$ и $-\frac(1)(6)$ вметнете три броја така што заедно со овие броеви да формираат аритметичка прогресија.

Решение. Во суштина, треба да направиме низа од пет броеви, со првиот и последниот број веќе познати. Да ги означиме броевите што недостасуваат со променливите $x$, $y$ и $z$:

\[\left(((a)_(n)) \десно)=\лево\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \десно\ )\]

Забележете дека бројот $y$ е „средината“ на нашата низа - тој е подеднакво оддалечен од броевите $x$ и $z$ и од броевите $-\frac(1)(2)$ и $-\frac (1) (6) $. И ако од бројките $x$ и $z$ сме во овој моментне можеме да добиеме $y$, тогаш ситуацијата е поинаква со краевите на прогресијата. Да се ​​потсетиме на аритметичката средина:

Сега, знаејќи $y$, ќе ги најдеме преостанатите броеви. Забележете дека $x$ лежи помеѓу броевите $-\frac(1)(2)$ и $y=-\frac(1)(3)$ што штотуку ги најдовме. Затоа

Користејќи слично размислување, го наоѓаме преостанатиот број:

Подготвени! Ги најдовме сите три броја. Да ги запишеме во одговорот по редоследот по кој треба да се вметнат меѓу оригиналните броеви.

Одговор: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Задача бр.10. Помеѓу броевите 2 и 42 вметнете неколку броеви кои заедно со овие броеви формираат аритметичка прогресија, ако знаете дека збирот на првиот, вториот и последниот од вметнати броеви е 56.

Решение. Уште повеќе тешка задача, која, сепак, се решава по истата шема како и претходните - преку аритметичката средина. Проблемот е што не знаеме точно колку броеви треба да се вметнат. Затоа, да претпоставиме за дефинитивно дека откако ќе се вметне сè ќе има точно $n$ броеви, а првиот од нив е 2, а последниот е 42. Во овој случај, потребната аритметичка прогресија може да се претстави во форма:

\[\left(((a)_(n)) \десно)=\лево\( 2;((a)_(2));(a)_(3));...;(( а)_(n-1));42 \десно\)\]

\[((а)_(2))+((а)_(3))+(а)_(n-1))=56\]

Забележете, сепак, дека броевите $((a)_(2))$ и $((a)_(n-1))$ се добиени од броевите 2 и 42 на рабовите за еден чекор еден кон друг, т.е. до центарот на низата. И ова значи дека

\[((а)_(2))+((а)_(n-1))=2+42=44\]

Но, тогаш изразот напишан погоре може да се преработи на следниов начин:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(2))+((а)_(3))+((а)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \десно)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \крај (порамни)\]

Знаејќи ги $((a)_(3))$ и $((a)_(1))$, лесно можеме да ја најдеме разликата во прогресијата:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(3))-((а)_(1))=12-2=10; \\ & ((а)_(3))-((а)_(1))=\лево(3-1 \десно)\cточка d=2d; \\ & 2d=10\Десна стрелка d=5. \\ \крај (порамни)\]

Останува само да се најдат преостанатите термини:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))=2; \\ & ((а)_(2))=2+5=7; \\ & ((а)_(3))=12; \\ & ((а)_(4))=2+3\cточка 5=17; \\ & ((а)_(5))=2+4\cточка 5=22; \\ & ((а)_(6))=2+5\cточка 5=27; \\ & ((а)_(7))=2+6\cточка 5=32; \\ & ((а)_(8))=2+7\cточка 5=37; \\ & ((а)_(9))=2+8\cточка 5=42; \\ \крај (порамни)\]

Така, веќе на 9-тиот чекор ќе стигнеме до левиот крај на низата - бројот 42. Вкупно требаше да се вметнат само 7 броеви: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Одговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Проблеми со зборови со прогресии

Како заклучок, би сакал да разгледам неколку релативно едноставни проблеми. Па, толку едноставно: за повеќето ученици кои учат математика на училиште и не го прочитале она што е напишано погоре, овие проблеми може да изгледаат тешки. Сепак, ова се типови на проблеми што се појавуваат на ОГЕ и на Единствениот државен испит по математика, па затоа препорачувам да се запознаете со нив.

Задача бр.11. Тимот произведе 62 делови во јануари, а во секој следен месец произведоа 14 повеќе делови отколку во претходниот месец. Колку делови произведе тимот во ноември?

Решение. Очигледно, бројот на делови наведени по месеци ќе претставува зголемена аритметичка прогресија. Згора на тоа:

\[\почеток(порамни) & ((а)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\лево(n-1 \десно)\cточка 14. \\ \крај (порамни)\]

Ноември е 11-тиот месец во годината, па затоа треба да најдеме $((a)_(11))$:

\[((а)_(11))=62+10\cточка 14=202\]

Затоа, во ноември ќе бидат произведени 202 делови.

Задача бр.12. Работилницата за сврзување во јануари врзала 216 книги, а во секој нареден месец врзала 4 книги повеќе од претходниот месец. Колку книги поврза работилницата во декември?

Решение. Се исто:

$\begin(порамни) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\лево(n-1 \десно)\cточка 4. \\ \крај (порамни)$

Декември е последниот, 12-ти месец во годината, затоа бараме $((a)_(12))$:

\[((а)_(12))=216+11\cточка 4=260\]

Ова е одговорот - во декември ќе бидат врзани 260 книги.

Па, ако сте прочитале досега, побрзам да ви честитам: успешно го завршивте „курсот на млад борец“ во аритметички прогресии. Можете безбедно да преминете на следната лекција, каде што ќе ја проучуваме формулата за збир на прогресија, како и важни и многу корисни последици од неа.

Онлајн калкулатор.
Решавање аритметичка прогресија.
Дадени: a n , d, n
Најдете: а 1

Оваа математичка програма наоѓа \(a_1\) на аритметичка прогресија базирана на броевите одредени од корисникот \(a_n, d\) и \(n\).
Броевите \(a_n\) и \(d\) можат да се наведат не само како цели броеви, туку и како дропки. Покрај тоа, дробниот број може да се внесе во форма на децимална дропка (\(2,5\)) и во форма заедничка дропка(\(-5\frac(2)(7)\)).

Програмата не само што дава одговор на проблемот, туку го прикажува и процесот на изнаоѓање решение.

Овој онлајн калкулатор може да биде корисен за средношколците при подготовката за тестовии испити, при проверка на знаењето пред обединет државен испит, за родителите да го контролираат решавањето на многу проблеми по математика и алгебра. Или можеби е премногу скапо за вас да ангажирате учител или да купите нови учебници? Или само сакате да го завршите тоа што е можно побрзо? домашна работапо математика или алгебра? Во овој случај, можете да ги користите и нашите програми со детални решенија.

На овој начин можете да ги потрошите вашите сопствена обукаи/или ги обучуваат нивните помали браќа или сестри, додека нивото на образование во областа на проблемите што се решаваат се зголемува.

Доколку не сте запознаени со правилата за внесување броеви, ви препорачуваме да се запознаете со нив.

Правила за внесување броеви

Броевите \(a_n\) и \(d\) можат да се наведат не само како цели броеви, туку и како дропки.
Бројот \(n\) може да биде само позитивен цел број.

Правила за внесување децимални дропки.
Цел број и дробни делови во децималните дропки може да се одделат или со точка или со запирка.
На пример, можете да внесете децималипа 2,5 или така 2,5

Правила за внесување обични дропки.
Само цел број може да дејствува како броител, именител и цел број на дропка.

Именителот не може да биде негативен.

При влегувањето нумеричка дропкаБројачот е одделен од именителот со знак за делење: /
Влез:
Резултат: \(-\frac(2)(3)\)

Целиот дел е одделен од дропот со знакот за амперсенд: &
Влез:
Резултат: \(-1\frac(2)(3)\)

Внесете ги броевите a n , d, n

Најдете 1

Откриено е дека некои скрипти неопходни за решавање на овој проблем не се вчитани и дека програмата може да не работи.
Можеби имате овозможено AdBlock.
Во овој случај, оневозможете го и освежете ја страницата.

JavaScript е оневозможен во вашиот прелистувач.
За да се појави решението, треба да овозможите JavaScript.
Еве инструкции за тоа како да овозможите JavaScript во вашиот прелистувач.

Бидејќи Има многу луѓе кои се подготвени да го решат проблемот, вашето барање е на ред.
За неколку секунди решението ќе се појави подолу.
Ве молам почекајте сек...

Ако ти забележал грешка во решението, тогаш можете да напишете за ова во Формуларот за повратни информации.
Не заборавај посочете која задачавие одлучувате што внесете во полињата.

Нашите игри, загатки, емулатори:

Малку теорија.

Редоследот на броеви

Во секојдневната практика често се користи нумерирање на различни предмети за да се означи редоследот по кој се наредени. На пример, куќите на секоја улица се нумерирани. Во библиотеката, претплатите на читателите се нумерирани, а потоа подредени по редослед на доделените броеви во посебни картички.

Во штедилница, користејќи го бројот на личната сметка на депонентот, можете лесно да ја најдете оваа сметка и да видите каков депозит има на неа. Нека сметката бр. 1 содржи депозит од a1 рубли, сметката бр. 2 содржи депозит од a2 рубли итн. броена низа
a 1, a 2, a 3, ..., a N
каде N е бројот на сите сметки. Овде, секој природен број n од 1 до N е поврзан со број a n.

Студирал и по математика секвенци со бесконечен број:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Се нарекува бројот a 1 првиот член од низата, број а 2 - вториот член од низата, број а 3 - трет член од низатаитн.
Се повикува бројот a n n-ти (n-ти) член на низата, а природниот број n е негов број.

На пример, во низа од квадрати природни броеви 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... и 1 = 1 е првиот член од низата; и n = n 2 е n-ти мандатсеквенци; a n+1 = (n + 1) 2 е (n + 1)-тиот (n плус првиот) член од низата. Често низа може да се специфицира со формулата на нејзиниот n-ти член. На пример, формулата \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) ја дефинира низата \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3), \; \frac(1)(4) , \точки,\frac(1)(n) , \точки \)

Аритметичка прогресија

Должината на годината е приближно 365 дена. Попрецизна вредност е \(365\frac(1)(4)\) дена, така што на секои четири години се акумулира грешка од еден ден.

За да се земе предвид оваа грешка, на секоја четврта година се додава ден, а продолжената година се нарекува престапна.

На пример, во третиот милениум престапни годинисе годините 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Во оваа низа, секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот, додаден на истиот број 4. Таквите низи се нарекуваат аритметички прогресии.

Дефиниција.
Се нарекува бројната низа a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... аритметичка прогресија, ако за сите природни n еднаквоста
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
каде што d е некој број.

Од оваа формула произлегува дека a n+1 - a n = d. Бројот d се нарекува разлика аритметичка прогресија.

По дефиниција за аритметичка прогресија имаме:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
каде
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), каде што \(n>1 \)

Така, секој член на аритметичка прогресија, почнувајќи од вториот, е еднаков на аритметичката средина на неговите два соседни члена. Ова го објаснува името „аритметичка“ прогресија.

Забележете дека ако се дадени a 1 и d, тогаш преостанатите членови од аритметичката прогресија може да се пресметаат со помош на рекурентната формула a n+1 = a n + d. На овој начин не е тешко да се пресметаат првите неколку членови на прогресијата, но, на пример, 100 веќе ќе бара многу пресметки. Обично, формулата за n-ти термин се користи за ова. По дефиниција за аритметичка прогресија
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
итн.
Воопшто,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
бидејќи n-тиот член на аритметичката прогресија се добива од првиот член со собирање (n-1) пократко од бројот d.
Оваа формула се нарекува формула за n-ти член на аритметичка прогресија.

Збир на првите n членови на аритметичка прогресија

Најдете го збирот на сите природни броеви од 1 до 100.
Ајде да ја напишеме оваа сума на два начина:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Да ги додадеме овие еднаквости по поим:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Оваа сума има 100 термини
Затоа, 2S = 101 * 100, па оттука и S = ​​101 * 50 = 5050.

Сега да разгледаме произволна аритметичка прогресија
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Нека S n е збирот на првите n членови од оваа прогресија:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Потоа збирот на првите n членови на аритметичка прогресија е еднаков на
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Бидејќи \(a_n=a_1+(n-1)d\), тогаш заменувајќи n во оваа формула, добиваме друга формула за наоѓање збир од првите n членови на аритметичка прогресија:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Книги (учебници) Апстракти од обединетиот државен испит и тестовите за обединет државен испит онлајн Игри, загатки Изготвување графикони на функции Правописен речник на руски јазик Речник на младински сленг Каталог на руски училишта Каталог на средни образовни институции на Русија Каталог на руски универзитети Список на задачите

При изучување на алгебра во средно училиште (9 одделение) еден од важни темие студијата секвенци на броеви, кои вклучуваат прогресии - геометриски и аритметички. Во оваа статија ќе разгледаме аритметичка прогресија и примери со решенија.

Што е аритметичка прогресија?

За да се разбере ова, неопходно е да се дефинира прогресијата за која станува збор, како и да се дадат основните формули кои подоцна ќе се користат при решавање на проблемите.

Аритметика или е збир од подредени рационални броеви, чиј член се разликува од претходниот по некоја константна вредност. Оваа вредност се нарекува разлика. Односно, познавајќи го кој било член на нарачана серија на броеви и разликата, можете да ја вратите целата аритметичка прогресија.

Да дадеме пример. Следната низа од броеви ќе биде аритметичка прогресија: 4, 8, 12, 16, ..., бидејќи разликата во овој случај е 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Но, множеството од броеви 3, 5, 8, 12, 17 повеќе не може да се припише на видот на прогресијата што се разгледува, бидејќи разликата за тоа не е константна вредност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Сега да ги претставиме основните формули кои ќе бидат потребни за решавање на проблеми со помош на аритметичка прогресија. Со симболот a n да го означиме n-тиот член на низата, каде што n е цел број. Разликата ја означуваме со латинската буква d. Тогаш важат следните изрази:

1. За да се одреди вредноста на n-тиот член, погодна е следната формула: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. За да се одреди збирот на првите n членови: S n = (a n +a 1)*n/2.

За да се разберат какви било примери на аритметичка прогресија со решенија во 9-то одделение, доволно е да се запаметат овие две формули, бидејќи сите проблеми од типот што се разгледува се засноваат на нивната употреба. Исто така, треба да запомните дека разликата во прогресијата се одредува со формулата: d = a n - a n-1.

Пример #1: наоѓање непознат поим

Да дадеме едноставен пример за аритметичка прогресија и формулите што треба да се користат за да се реши.

Нека биде дадена низата 10, 8, 6, 4, ..., во неа треба да најдете пет члена.

Од условите на проблемот веќе произлегува дека првите 4 поими се познати. Петтиот може да се дефинира на два начина:

1. Ајде прво да ја пресметаме разликата. Имаме: d = 8 - 10 = -2. Слично на тоа, можете да земете кои било други други членови кои стојат еден до друг. На пример, d = 4 - 6 = -2. Бидејќи е познато дека d = a n - a n-1, тогаш d = a 5 - a 4, од што добиваме: a 5 = a 4 + d. Ги заменуваме познатите вредности: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Вториот метод исто така бара познавање на разликата во односната прогресија, така што прво треба да ја одредите како што е прикажано погоре (d = -2). Знаејќи дека првиот член a 1 = 10, ја користиме формулата за n бројот на низата. Имаме: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Заменувајќи го n = 5 во последниот израз, добиваме: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Како што можете да видите, двете решенија доведоа до истиот резултат. Забележете дека во овој пример, разликата во прогресијата d е негативна вредност. Ваквите низи се нарекуваат опаѓачки, бидејќи секој следен член е помал од претходниот.

Пример #2: разлика во прогресијата

Сега да го комплицираме проблемот малку, да дадеме пример како да ја најдеме разликата на аритметичка прогресија.

Познато е дека во некоја алгебарска прогресија првиот член е еднаков на 6, а седмиот член е еднаков на 18. Неопходно е да се најде разликата и да се врати оваа низа во седмиот член.

Да ја користиме формулата за да го одредиме непознатиот член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Да ги замениме познатите податоци од условот во него, односно броевите a 1 и a 7, имаме: 18 = 6 + 6 * d. Од овој израз можете лесно да ја пресметате разликата: d = (18 - 6) /6 = 2. Така, го одговоривме првиот дел од задачата.

За да ја вратите низата до седмиот термин, треба да ја користите дефиницијата алгебарска прогресија, односно a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и така натаму. Како резултат на тоа, ја враќаме целата низа: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример бр. 3: изготвување прогресија

Да го искомплицираме дополнително посилна состојбазадачи. Сега треба да одговориме на прашањето како да најдеме аритметичка прогресија. Може да се даде следниов пример: дадени се два броја, на пример - 4 и 5. Потребно е да се создаде алгебарска прогресија така што меѓу нив ќе се постават уште три члена.

Пред да започнете да го решавате овој проблем, треба да разберете какво место ќе заземат дадените броеви во идната прогресија. Бидејќи меѓу нив ќе има уште три члена, тогаш 1 = -4 и 5 = 5. Откако го утврдивме ова, преминуваме на проблемот, кој е сличен на претходниот. Повторно, за n-тиот член ја користиме формулата, добиваме: a 5 = a 1 + 4 * d. Од: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Она што го добивме овде не е цел бројна вредност на разликата, туку е рационален број, така што формулите за алгебарската прогресија остануваат исти.

Сега да ја додадеме пронајдената разлика на 1 и да ги вратиме термините што недостасуваат од прогресијата. Добиваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, што се совпаѓа со условите на проблемот.

Пример бр. 4: прв рок на прогресија

Да продолжиме да даваме примери за аритметичка прогресија со решенија. Во сите претходни задачи беше познат првиот број на алгебарската прогресија. Сега да разгледаме проблем од различен тип: нека се дадат два броја, каде што е 15 = 50 и 43 = 37. Неопходно е да се најде со кој број започнува оваа низа.

Досега користените формули претпоставуваат познавање на 1 и d. Во изјавата за проблемот, ништо не се знае за овие бројки. Сепак, ќе запишеме изрази за секој поим за кои информации се достапни: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Добивме две равенки во кои има 2 непознати величини (а 1 и г). Тоа значи дека проблемот се сведува на решавање на систем од линеарни равенки.

Најлесен начин да се реши овој систем е да се изрази 1 во секоја равенка и потоа да се споредат добиените изрази. Првата равенка: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; втора равенка: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Изедначувајќи ги овие изрази, добиваме: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, од каде разликата d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (дадени се само 3 децимални места).

Знаејќи го d, можете да користите кој било од 2-те изрази погоре за 1. На пример, прво: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ако се сомневате во добиениот резултат, можете да го проверите, на пример, да го одредите 43-от термин на прогресијата, што е наведено во условот. Добиваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Малата грешка се должи на фактот што во пресметките се користело заокружување на илјадити делови.

Пример бр. 5: износ

Сега да погледнеме неколку примери со решенија за збир на аритметичка прогресија.

Нека е дадена нумеричка прогресија од следната форма: 1, 2, 3, 4, ...,. Како да се пресмета збирот од 100 од овие броеви?

Благодарение на развојот на компјутерската технологија, можно е да се реши овој проблем, односно да се додадат сите броеви последователно, што компјутерот ќе го направи веднаш штом лицето ќе го притисне копчето Enter. Меѓутоа, проблемот може да се реши ментално ако обрнете внимание дека претставената серија на броеви е алгебарска прогресија, а нејзината разлика е еднаква на 1. Применувајќи ја формулата за збирот, добиваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Интересно е да се забележи дека овој проблем е наречен „Гаус“ затоа што на почетокот на 18 век познатиот Германец, сè уште имал само 10 години, можел да го реши во својата глава за неколку секунди. Момчето не ја знаело формулата за збир на алгебарска прогресија, но забележал дека ако ги соберете броевите на краевите на низата во парови, секогаш го добивате истиот резултат, односно 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а бидејќи овие збирови ќе бидат точно 50 (100 / 2), тогаш за да се добие точниот одговор доволно е да се помножи 50 со 101.

Пример бр. 6: збир на членови од n до m

Друг типичен пример за збир на аритметичка прогресија е следниов: дадени се низа броеви: 3, 7, 11, 15, ..., треба да најдете колку ќе биде еднаков збирот на членовите од 8 до 14. .

Проблемот се решава на два начина. Првиот од нив вклучува пронаоѓање непознати поими од 8 до 14, а потоа последователно собирање. Бидејќи има неколку термини, овој метод не е доста трудоинтензивен. Сепак, се предлага да се реши овој проблем со помош на втор метод, кој е поуниверзален.

Идејата е да се добие формула за збирот на алгебарската прогресија помеѓу членовите m и n, каде што n > m се цели броеви. За двата случаи, пишуваме два изрази за збирот:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Бидејќи n > m, очигледно е дека вториот збир го вклучува првиот. Последниот заклучок значи дека ако ја земеме разликата меѓу овие збирови и на неа го додадеме поимот a m (во случај да се земе разликата, таа се одзема од збирот S n), ќе го добиеме потребниот одговор на задачата. Имаме: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Неопходно е да се заменат формулите за n и a m во овој израз. Потоа добиваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Резултирачката формула е донекаде незгодна, сепак, збирот S mn зависи само од n, m, a 1 и d. Во нашиот случај, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Заменувајќи ги овие броеви, добиваме: S mn = 301.

Како што може да се види од горенаведените решенија, сите задачи се засноваат на познавање на изразот за n-тиот член и формулата за збир на множеството од први членови. Пред да започнете да решавате некој од овие проблеми, се препорачува внимателно да ја прочитате состојбата, јасно да разберете што треба да најдете и дури потоа да продолжите со решението.

Друг совет е да се стремите кон едноставност, односно, ако можете да одговорите на прашање без да користите сложени математички пресметки, тогаш треба да го направите токму тоа, бидејќи во овој случај веројатноста да направите грешка е помала. На пример, во примерот на аритметичка прогресија со решение бр. 6, може да се застане на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и поделете го целокупниот проблем на посебни подзадачи (во овој случај, прво најдете ги поимите a n и a m).

Доколку се сомневате во добиениот резултат, се препорачува да го проверите, како што беше направено во некои од дадените примери. Дознавме како да најдеме аритметичка прогресија. Ако го сфатите тоа, не е толку тешко.

Тип на лекција:учење нов материјал.

Цели на лекцијата:

• проширување и продлабочување на разбирањето на учениците за проблемите решени со помош на аритметичка прогресија; организирање на активности за пребарување на учениците при изведување на формулата за збир на првите n членови на аритметичка прогресија;
• развивање на способност за самостојно стекнување на нови знаења и користење на веќе стекнатото знаење за постигнување на дадена задача;
• развивање на желбата и потребата за генерализирање на добиените факти, развивање независност.

Задачи:

• сумирање и систематизирање на постојните знаења на тема „Аритметичка прогресија“;
• изведе формули за пресметување на збирот на првите n членови на аритметичка прогресија;
• учат како се применуваат добиените формули при решавање различни задачи;
• привлече внимание на учениците на постапката за пронаоѓање на вредноста на нумеричкиот израз.

Опрема:

• картички со задачи за работа во групи и парови;
• хартија за евалуација;
• презентација„Аритметичка прогресија“.

I. Ажурирање на основните знаења.

1. Самостојна работаво парови.

1-ва опција:

Дефинирајте ја аритметичката прогресија. Запишете формула за повторување што дефинира аритметичка прогресија. Ве молиме наведете пример за аритметичка прогресија и наведете ја нејзината разлика.

2-ра опција:

Запишете ја формулата за n-ти член на аритметичка прогресија. Најдете го 100-тиот член од аритметичката прогресија ( a n}: 2, 5, 8 …
Во тоа време, двајца студенти задна странаодборите подготвуваат одговори на истите овие прашања.
Учениците ја оценуваат работата на партнерот така што ќе ги проверат на табла. (Се предаваат листови со одговори.)

2. Игра момент.

Вежба 1.

Наставник.Мислев на некоја аритметичка прогресија. Поставете ми само две прашања за по одговорите набрзина да го именувате 7-от член од оваа прогресија. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Прашања од студенти.

1. Кој е шестиот член на прогресијата и која е разликата?
2. Кој е осмиот член на прогресијата и која е разликата?

Ако нема повеќе прашања, тогаш наставникот може да ги стимулира - „забрана“ за d (разлика), односно не е дозволено да се прашува на што е еднаква разликата. Можете да поставувате прашања: на што е еднаков шестиот член од прогресијата и на што е еднаков 8-ми член од прогресијата?

Задача 2.

На таблата се напишани 20 бројки: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Наставникот стои со грб кон таблата. Учениците го повикуваат бројот, а наставникот веднаш го повикува самиот број. Објасни како можам да го направам тоа?

Наставникот се сеќава на формулата за n-ти член a n = 3n - 2и, заменувајќи ги наведените вредности n, ги наоѓа соодветните вредности a n.

II. Поставување задача за учење.

Предлагам да се реши древен проблем кој датира од II милениум п.н.е., пронајден во египетски папируси.

Задача:„Нека ви се каже: поделете 10 мерки јачмен на 10 луѓе, разликата меѓу секој човек и неговиот сосед е 1/8 од мерката.

• Како овој проблем е поврзан со темата аритметичка прогресија? (Секој следен добива 1/8 од мерката повеќе, што значи разликата е d=1/8, 10 лица, што значи n=10.)
• Што мислите, што значат мерките број 10? (Збир на сите термини на прогресијата.)
• Што друго треба да знаете за да може лесно и едноставно да се подели јачменот според условите на проблемот? (Прв рок на прогресија.)

Цел на часот– добивање на зависноста на збирот на членовите на прогресијата од нивниот број, првиот член и разликата и проверка дали проблемот бил правилно решен во античко време.

Пред да ја заклучиме формулата, да погледнеме како старите Египќани го решиле проблемот.

И тие го решија на следниов начин:

1) 10 мерки: 10 = 1 мерка – просечно учество;
2) 1 мерка ∙ = 2 мерки – двојно просексподелување.
Двојно просекудел е збир на акциите на 5-то и 6-то лице.
3) 2 мерки – 1/8 мерки = 1 7/8 мерки – двојно поголем удел на петтото лице.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – дел од петтина; и така натаму, можете да го најдете уделот на секоја претходна и наредна личност.

Ја добиваме низата:

III. Решавање на проблемот.

1. Работа во групи

Група I:Најдете го збирот од 20 последователни природни броеви: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Генерално

II група:Најдете го збирот на природните броеви од 1 до 100 (Легендата за малиот Гаус).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Заклучок:

III група:Најдете го збирот на природните броеви од 1 до 21.

Решение: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Заклучок:

IV група:Најдете го збирот на природните броеви од 1 до 101.

Заклучок:

Овој метод за решавање на разгледаните проблеми се нарекува „Гаус метод“.

2. Секоја група го прикажува решението на проблемот на табла.

3. Генерализирање на предложените решенија за произволна аритметичка прогресија:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Ајде да ја најдеме оваа сума користејќи слично расудување:

4. Дали го решивме проблемот?(Да.)

IV. Примарно разбирање и примена на добиените формули при решавање на задачи.

1. Проверка на решението на антички проблем со помош на формулата.

2. Примена на формулата при решавање на различни проблеми.

3. Вежби за развивање на способност за примена на формули при решавање проблеми.

А) бр.613

Со оглед на: ( а н) -аритметичка прогресија;

(а n): 1, 2, 3, ..., 1500

Најдете: S 1500

Решение: , а 1 = 1 и 1500 = 1500,

Б) Со оглед на: ( а н) -аритметичка прогресија;
(а n): 1, 2, 3,…
S n = 210

Најдете: n
Решение:

V. Самостојна работа со меѓусебна проверка.

Денис почна да работи како курир. Во првиот месец неговата плата беше 200 рубли, во секој следен месец се зголемуваше за 30 рубли. Колку заработил вкупно за една година?

Со оглед на: ( а н) -аритметичка прогресија;
a 1 = 200, d=30, n=12
Најдете: С 12
Решение:

Одговор: Денис доби 4380 рубли за годината.

VI. Упатство за домашна задача.

1. Дел 4.3 – научете ја изведбата на формулата.
2. №№ 585, 623 .
3. Создадете проблем што може да се реши користејќи ја формулата за збир од првите n членови од аритметичка прогресија.

VII. Сумирајќи ја лекцијата.

1. Лист со резултати

2. Продолжи со речениците

• Денес на час научив...
• Научените формули...
• Верувам дека …

3. Дали можете да го најдете збирот на броевите од 1 до 500? Кој метод ќе го користите за да го решите овој проблем?

Библиографија.

1. Алгебра, 9-то одделение. Упатство за образовните институции. Ед. Г.В. Дорофеева.М.: „Просветителство“, 2009 година.