IV Jakowlew | Materiały z matematyki | MathUs.ru

Postęp arytmetyczny

Postęp arytmetyczny jest szczególnym rodzajem ciągu. Dlatego przed zdefiniowaniem postępu arytmetycznego (a następnie geometrycznego) musimy pokrótce omówić ważne pojęcie ciągu liczb.

Podsekwencja

Wyobraź sobie urządzenie, na ekranie którego niektóre liczby są wyświetlane jeden po drugim. powiedzmy 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Taki zestaw liczb to tylko przykład ciągu.

Definicja. Ciąg numeryczny jest zbiorem liczb, w którym każdej liczbie można przyporządkować numer niepowtarzalny (to znaczy zestawiony z pojedynczą liczbą naturalną)1. Numer o numerze n jest wywoływany n-ty członek sekwencje.

Tak więc w powyższym przykładzie pierwsza liczba ma liczbę 2, która jest pierwszym elementem ciągu, który można oznaczyć jako a1 ; liczba pięć ma liczbę 6, która jest piątym elementem ciągu, który można oznaczyć jako a5 . W ogóle, n-ty członek sekwencje są oznaczane przez an (lub bn , cn , itd.).

Bardzo dogodną sytuacją jest sytuacja, gdy n-ty element ciągu można określić za pomocą jakiegoś wzoru. Na przykład wzór an = 2n 3 określa sekwencję: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formuła an = (1)n określa ciąg: 1; 1; 1; 1; : : :

Nie każdy zestaw liczb jest ciągiem. Zatem segment nie jest sekwencją; zawiera ¾zbyt wiele liczb, aby można je było przenumerować. Zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych również nie jest ciągiem. Fakty te są udowadniane w toku analizy matematycznej.

Postęp arytmetyczny: podstawowe definicje

Teraz jesteśmy gotowi do zdefiniowania postępu arytmetycznego.

Definicja. Postęp arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz (począwszy od drugiego) jest równy sumie poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby (zwanej różnicą postępu arytmetycznego).

Na przykład sekwencja 2; 5; 8; jedenaście; : : : to ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem 2 i różnicą 3. Sekwencja 7; 2; 3; 8; : : : to ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem 7 i różnicą 5. Sekwencja 3; 3; 3; : : : jest postępem arytmetycznym z zerową różnicą.

Równoważna definicja: Sekwencję an nazywamy postępem arytmetycznym, jeśli różnica an+1 an jest wartością stałą (niezależną od n).

Mówimy, że postęp arytmetyczny jest rosnący, jeśli różnica jest dodatnia, i malejący, jeśli różnica jest ujemna.

1 A oto bardziej zwięzła definicja: sekwencja to funkcja zdefiniowana na zbiorze liczby naturalne. Na przykład ciąg liczb rzeczywistych to funkcja f: N! R.

Domyślnie sekwencje są uważane za nieskończone, to znaczy zawierające nieskończoną liczbę liczb. Ale nikt nie zawraca sobie głowy rozważaniem również skończonych sekwencji; w rzeczywistości każdy skończony zbiór liczb można nazwać skończoną sekwencją. Na przykład końcowa sekwencja 1; 2; 3; 4; 5 składa się z pięciu liczb.

Formuła n-tego członka ciągu arytmetycznego

Łatwo zrozumieć, że postęp arytmetyczny jest całkowicie określony przez dwie liczby: pierwszy wyraz i różnicę. Powstaje zatem pytanie: jak, znając pierwszy wyraz i różnicę, znaleźć dowolny wyraz ciągu arytmetycznego?

Uzyskanie pożądanego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego nie jest trudne. niech an

postęp arytmetyczny z różnicą d. Mamy:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
W szczególności piszemy:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + re = (a1 + re) + re = a1 + 2d;
a4 = a3 + re = (a1 + 2d) + re = a1 + 3d;
i teraz staje się jasne, że wzór na a to:
an = a1 + (n 1)d:

Zadanie 1. W ciągu arytmetycznym 2; 5; 8; jedenaście; : : : znajdź wzór na n-ty wyraz i oblicz setny wyraz.

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (1) mamy:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Własność i znak postępu arytmetycznego

właściwość postępu arytmetycznego. W postępie arytmetycznym an dla dowolnego

Innymi słowy, każdy element ciągu arytmetycznego (począwszy od drugiego) jest średnią arytmetyczną sąsiednich elementów.

	Dowód. Mamy:
	za n 1+ za n + 1		(i d) + (an + d)

co było wymagane.

Więcej w sposób ogólny, postęp arytmetyczny an spełnia równość

za n = za n k+ za n+k

dla dowolnego n > 2 i dowolnego naturalnego k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Okazuje się, że wzór (2) jest nie tylko warunkiem koniecznym, ale i wystarczającym, aby ciąg był ciągiem arytmetycznym.

Znak postępu arytmetycznego. Jeśli równość (2) zachodzi dla wszystkich n > 2, to sekwencja an jest postępem arytmetycznym.

Dowód. Przepiszmy wzór (2) w następujący sposób:

za na n 1= za n+1a n:

Pokazuje to, że różnica an+1 an nie zależy od n, a to po prostu oznacza, że ​​ciąg an jest postępem arytmetycznym.

Własność i znak ciągu arytmetycznego można sformułować jako jedno stwierdzenie; dla wygody zrobimy to dla trzech liczb (jest to sytuacja, która często występuje w problemach).

Charakterystyka ciągu arytmetycznego. Trzy liczby a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy 2b = a + c.

Zadanie 2. (Moskiewski Uniwersytet Państwowy, Wydział Ekonomiczny, 2007) Trzy liczby 8x, 3x2 i 4 w określonej kolejności tworzą malejący ciąg arytmetyczny. Znajdź x i zapisz różnicę tego postępu.

Rozwiązanie. Z własności ciągu arytmetycznego mamy:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Jeśli x = 1, to uzyskuje się postęp malejący 8, 2, 4 z różnicą 6. Jeśli x = 5, to uzyskuje się postęp rosnący 40, 22, 4; ten przypadek nie działa.

Odpowiedź: x = 1, różnica wynosi 6.

Suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego

Legenda głosi, że kiedyś nauczyciel kazał dzieciom znaleźć sumę liczb od 1 do 100 i usiadł do spokojnego czytania gazety. Jednak w ciągu kilku minut jeden z chłopców powiedział, że rozwiązał problem. Był to 9-letni Carl Friedrich Gauss, późniejszy jeden z najwybitniejszych matematyków w historii.

Pomysł małego Gaussa był taki. Pozwalać

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Zapiszmy tę sumę w odwrotnej kolejności:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

i dodaj te dwie formuły:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Każdy wyraz w nawiasie jest równy 101, a łącznie jest 100 takich wyrazów

2S = 101 100 = 10100;

Korzystamy z tego pomysłu, aby wyprowadzić formułę sumy

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Użyteczną modyfikację wzoru (3) uzyskuje się podstawiając do niego wzór na n-ty wyraz an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

Zadanie 3. Znajdź sumę wszystkich dodatnich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 13.

Rozwiązanie. Liczby trzycyfrowe, które są wielokrotnościami 13, tworzą ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem 104 i różnicą 13; N-tym wyrazem tego ciągu jest:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Dowiedzmy się, ilu członków zawiera nasza progresja. W tym celu rozwiązujemy nierówność:

6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; nr 6 69:

Tak więc w naszej progresji jest 69 członków. Zgodnie ze wzorem (4) znajdujemy wymaganą kwotę:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Suma postępu arytmetycznego.

Suma ciągu arytmetycznego to prosta rzecz. Zarówno pod względem znaczenia, jak i formuły. Ale jest wiele zadań na ten temat. Od elementarnego do całkiem solidnego.

Najpierw zajmijmy się znaczeniem i formułą sumy. A potem zdecydujemy. Dla własnej przyjemności.) Znaczenie sumy jest tak proste, jak nucenie. Aby znaleźć sumę ciągu arytmetycznego, wystarczy ostrożnie dodać wszystkie jego elementy. Jeśli tych terminów jest niewiele, możesz dodawać bez żadnych formuł. Ale jeśli jest dużo lub dużo ... dodawanie jest denerwujące.) W tym przypadku formuła zapisuje.

Formuła sumy jest prosta:

Zastanówmy się, jakie litery są zawarte we wzorze. To wiele wyjaśni.

S n jest sumą postępu arytmetycznego. Wynik dodawania Wszystko członków, z Pierwszy Przez ostatni. To jest ważne. Dodaj dokładnie Wszystko członków w rzędzie, bez przerw i skoków. A dokładnie, począwszy od Pierwszy. W problemach takich jak znalezienie sumy trzeciego i ósmego wyrazu lub sumy wyrazów od piątego do dwudziestego bezpośrednie zastosowanie wzoru będzie rozczarowujące.)

1 - Pierwszy członek progresji. Tutaj wszystko jest jasne, to proste Pierwszy Numer wiersza.

jakiś- ostatni członek progresji. Ostatni numer rzędu. Niezbyt znana nazwa, ale po zastosowaniu do kwoty jest bardzo odpowiednia. Wtedy sam zobaczysz.

N jest numerem ostatniego członka. Ważne jest, aby zrozumieć, że we wzorze ta liczba pokrywa się z liczbą dodanych terminów.

Zdefiniujmy pojęcie ostatni członek jakiś. Wypełniające pytanie: jakiego rodzaju członek będzie ostatni, jeśli podano nieskończony postęp arytmetyczny?

Aby uzyskać pewną odpowiedź, musisz zrozumieć elementarne znaczenie postępu arytmetycznego i ... uważnie przeczytać zadanie!)

W zadaniu znalezienia sumy ciągu arytmetycznego zawsze pojawia się ostatni wyraz (bezpośrednio lub pośrednio), które należy ograniczyć. W przeciwnym razie skończoną, określoną kwotę po prostu nie istnieje. Dla rozwiązania nie ma znaczenia, jaki rodzaj postępu jest podany: skończony czy nieskończony. Nie ma znaczenia, jak jest podany: przez serię liczb lub przez formułę n-tego członka.

Najważniejszą rzeczą jest zrozumienie, że formuła działa od pierwszego terminu progresji do terminu z liczbą N. Właściwie pełna nazwa formuły wygląda tak: suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego. Liczba tych pierwszych członków, tj. N, zależy wyłącznie od zadania. W zadaniu wszystkie te cenne informacje są często szyfrowane, tak ... Ale nic, w poniższych przykładach ujawnimy te tajemnice.)

Przykłady zadań na sumę ciągu arytmetycznego.

Przede wszystkim, pomocna informacja:

Główną trudnością w zadaniach na sumę ciągu arytmetycznego jest prawidłowe określenie elementów wzoru.

Autorzy zadań szyfrują właśnie te elementy z nieograniczoną wyobraźnią.) Najważniejsze tutaj to nie bać się. Aby zrozumieć istotę elementów, wystarczy je rozszyfrować. Przyjrzyjmy się szczegółowo kilku przykładom. Zacznijmy od zadania opartego na prawdziwym GIA.

1. Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek: a n = 2n-3,5. Znajdź sumę pierwszych 10 wyrazów.

Dobra robota. Łatwe.) Aby określić kwotę zgodnie ze wzorem, co musimy wiedzieć? Pierwszy członek 1, ostatni termin jakiś, tak numer ostatniego terminu N.

Skąd wziąć ostatni numer członkowski N? Tak, tam, w stanie! Mówi znaleźć sumę pierwszych 10 członków. No właśnie, jaki to będzie numer ostatni, dziesiąty członek?) Nie uwierzysz, jego liczba jest dziesiąta!) Dlatego zamiast jakiś podstawimy do wzoru 10, lecz N- dziesięć. Ponownie, liczba ostatniego członka jest taka sama jak liczba członków.

Pozostaje do ustalenia 1 I 10. Można to łatwo obliczyć ze wzoru na n-ty wyraz, który jest podany w zadaniu zadania. Nie wiesz jak to zrobić? Odwiedź poprzednią lekcję, bez tego - nic.

1= 2 1 - 3,5 = -1,5

10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Poznaliśmy znaczenie wszystkich elementów wzoru na sumę postępu arytmetycznego. Pozostaje je zastąpić i policzyć:

To wszystko. Odpowiedź: 75.

Kolejne zadanie oparte na GIA. Trochę bardziej skomplikowane:

2. Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny (a n), którego różnica wynosi 3,7; za 1 \u003d 2,3. Znajdź sumę pierwszych 15 wyrazów.

Natychmiast piszemy formułę sumy:

Ta formuła pozwala nam znaleźć wartość dowolnego członka według jego liczby. Szukamy prostego podstawienia:

za 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Pozostaje zastąpić wszystkie elementy we wzorze sumą postępu arytmetycznego i obliczyć odpowiedź:

Odpowiedź: 423.

Nawiasem mówiąc, jeśli we wzorze sumy zamiast jakiś wystarczy podstawić formułę n-tego wyrazu, otrzymamy:

Dajemy podobne, otrzymujemy nowy wzór na sumę członków ciągu arytmetycznego:

Jak widać, n-ty wyraz nie jest tutaj wymagany. jakiś. W niektórych zadaniach ta formuła bardzo pomaga, tak… Możesz zapamiętać tę formułę. I możesz po prostu wycofać go we właściwym czasie, tak jak tutaj. W końcu wzór na sumę i wzór na n-ty wyraz należy zapamiętać pod każdym względem.)

Teraz zadanie w postaci krótkiego szyfrowania):

3. Znajdź sumę wszystkich pozytywnych liczby dwucyfrowe, wielokrotności trzech.

Jak! Żadnego pierwszego członka, żadnego ostatniego, żadnej progresji... Jak żyć!?

Będziesz musiał pomyśleć głową i wyciągnąć z warunku wszystkie elementy sumy ciągu arytmetycznego. Co to są liczby dwucyfrowe - wiemy. Składają się z dwóch liczb.) Jaka liczba dwucyfrowa będzie Pierwszy? 10, przypuszczalnie). Ostatnia rzecz numer dwucyfrowy? 99, oczywiście! W ślad za nim pójdą trzycyfrowe...

Wielokrotności trzech... Hm... To są liczby, które są podzielne przez trzy, tutaj! Dziesięć nie jest podzielne przez trzy, 11 nie jest podzielne... 12... jest podzielne! A więc coś się pojawia. Możesz już napisać serię zgodnie ze stanem problemu:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Czy ten szereg będzie postępem arytmetycznym? Z pewnością! Każdy termin różni się od poprzedniego ściśle o trzy. Jeśli do terminu zostanie dodane 2 lub 4, powiedzmy, wynik, tj. nowa liczba nie będzie już dzielona przez 3. Możesz od razu określić różnicę postępu arytmetycznego do sterty: re = 3. Użyteczne!)

Możemy więc spokojnie zapisać niektóre parametry progresji:

Jaki będzie numer N ostatni członek? Każdy, kto myśli, że 99 jest w śmiertelnym błędzie... Liczby - zawsze idą pod rząd, a nasi zawodnicy przeskakują pierwszą trójkę. Nie pasują.

Istnieją tutaj dwa rozwiązania. Jeden sposób jest dla super pracowitych. Możesz namalować progresję, całą serię liczb i policzyć liczbę wyrazów palcem.) Drugi sposób jest dla myślących. Musisz zapamiętać wzór na n-ty wyraz. Jeśli zastosujemy ten wzór do naszego problemu, otrzymamy, że 99 jest trzydziestym elementem progresji. Te. n = 30.

Spójrzmy na wzór na sumę postępu arytmetycznego:

Patrzymy i radujemy się.) Wyciągnęliśmy wszystko, co niezbędne do obliczenia kwoty ze stanu problemu:

1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Pozostaje elementarna arytmetyka. Podstaw liczby we wzorze i oblicz:

Odpowiedź: 1665

Inny rodzaj popularnych puzzli:

4. Dany jest ciąg arytmetyczny:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Znajdź sumę wyrazów od dwudziestej do trzydziestej czwartej.

Patrzymy na formułę sumy i… jesteśmy zdenerwowani.) Formuła, przypominam, oblicza sumę od pierwszego członek. A w problemie musisz obliczyć sumę od dwudziestego... Formuła nie zadziała.

Można oczywiście pomalować całą progresję pod rząd i umieścić członków od 20 do 34. Ale… jakoś głupio i na długo wychodzi, prawda?)

Istnieje bardziej eleganckie rozwiązanie. Podzielmy naszą serię na dwie części. Pierwsza część będzie od pierwszej do dziewiętnastej. Druga część - dwadzieścia do trzydziestu czterech. Oczywiste jest, że jeśli obliczymy sumę warunków pierwszej części S 1-19, dodajmy to do sumy członków drugiej części S 20-34, otrzymujemy sumę progresji od pierwszego wyrazu do trzydziestego czwartego S 1-34. Lubię to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

To pokazuje, że aby znaleźć sumę S 20-34 można to zrobić przez proste odejmowanie

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Uwzględniane są obie sumy po prawej stronie od pierwszego członek, tj. formuła sumy standardowej ma do nich całkiem zastosowanie. Zaczynamy?

Wyodrębniamy parametry progresji z warunku zadania:

re = 1,5.

1= -21,5.

Aby obliczyć sumy pierwszych 19 i pierwszych 34 wyrazów, będziemy potrzebować 19. i 34. wyrazu. Liczymy je według wzoru n-tego wyrazu, jak w zadaniu 2:

19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nic nie zostało. Odejmij sumę 19 wyrazów od sumy 34 wyrazów:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odpowiedź: 262,5

Jedna ważna uwaga! Istnieje bardzo przydatna funkcja w rozwiązaniu tego problemu. Zamiast bezpośredniej kalkulacji czego potrzebujesz (S 20-34), policzyliśmy co, jak się wydaje, nie jest potrzebne - S 1-19. A potem ustalili S 20-34, odrzucając niepotrzebne z pełnego wyniku. Taki „zwód uszami” często ratuje w złych zagadkach.)

W tej lekcji przeanalizowaliśmy problemy, dla których wystarczy zrozumieć znaczenie sumy ciągu arytmetycznego. Cóż, musisz znać kilka formuł.)

praktyczne porady:

Rozwiązując dowolny problem dotyczący sumy postępu arytmetycznego, zalecam natychmiastowe wypisanie dwóch głównych wzorów z tego tematu.

Formuła n-tego członka:

Te formuły od razu podpowiedzą, czego szukać, w jakim kierunku myśleć, aby rozwiązać problem. pomaga.

A teraz zadania do samodzielnego rozwiązania.

5. Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które nie są podzielne przez trzy.

Fajne?) Podpowiedź jest ukryta w notatce do zadania 4. Cóż, zadanie 3 pomoże.

6. Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek: a 1 =-5,5; za n+1 = za n +0,5. Znajdź sumę pierwszych 24 wyrazów.

Niezwykłe?) To powtarzająca się formuła. Możesz o tym przeczytać na poprzedniej lekcji. Nie ignoruj ​​\u200b\u200blinku, takie zagadki często znajdują się w GIA.

7. Vasya zaoszczędził pieniądze na wakacje. Aż 4550 rubli! I postanowiłem dać najukochańszej osobie (sobie) kilka dni szczęścia). Żyj pięknie, niczego sobie nie odmawiając. Pierwszego dnia wydaj 500 rubli, a każdego kolejnego dnia wydawaj o 50 rubli więcej niż poprzedniego! Aż skończą się pieniądze. Ile dni szczęścia miała Vasya?

Czy to trudne?) Pomocna będzie dodatkowa formuła z zadania 2.

Odpowiedzi (w nieładzie): 7, 3240, 6.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla ciebie jeszcze kilka interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Postęp arytmetyczny nazwij ciąg liczb (elementów ciągu)

W którym każdy kolejny termin różni się od poprzedniego terminem stalowym, który jest również nazywany krok lub różnica progresji.

Tak więc, ustalając krok progresji i jej pierwszy wyraz, można znaleźć dowolny jej element za pomocą wzoru

Własności ciągu arytmetycznego

1) Każdy członek ciągu arytmetycznego, począwszy od drugiej liczby, jest średnią arytmetyczną poprzedniego i następnego członka ciągu

Odwrotność jest również prawdziwa. Jeśli średnia arytmetyczna sąsiednich nieparzystych (parzystych) elementów ciągu jest równa członowi, który stoi między nimi, to ten ciąg liczb jest postępem arytmetycznym. Dzięki temu twierdzeniu bardzo łatwo jest sprawdzić dowolną sekwencję.

Również na podstawie właściwości postępu arytmetycznego powyższy wzór można uogólnić na następujący

Łatwo to sprawdzić, jeśli wyrazy zapiszemy po prawej stronie znaku równości

W praktyce jest często używany do uproszczenia obliczeń w problemach.

2) Suma pierwszych n członków ciągu arytmetycznego jest obliczana według wzoru

Zapamiętaj dobrze wzór na sumę ciągu arytmetycznego, jest on niezbędny w obliczeniach i dość powszechny w prostych sytuacjach życiowych.

3) Jeśli potrzebujesz znaleźć nie całą sumę, ale część ciągu zaczynając od jego k-tego elementu, to przyda ci się następujący wzór na sumę

4) Praktyczne znaczenie ma znalezienie sumy n elementów ciągu arytmetycznego, począwszy od k-tej liczby. Aby to zrobić, użyj formuły

Na tym kończy się materiał teoretyczny i przechodzimy do rozwiązywania problemów często spotykanych w praktyce.

Przykład 1. Znajdź czterdziesty wyraz ciągu arytmetycznego 4;7;...

Rozwiązanie:

Zgodnie z warunkiem mamy

Zdefiniuj krok progresji

Zgodnie ze znanym wzorem znajdujemy czterdziesty termin progresji

Przykład2. Postęp arytmetyczny jest określony przez jego trzeci i siódmy element. Znajdź pierwszy wyraz progresji i sumę dziesięciu.

Rozwiązanie:

Podane elementy progresji wpisujemy według wzorów

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego równania, w wyniku czego znajdujemy krok progresji

Znaleziona wartość jest podstawiana do dowolnego równania, aby znaleźć pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego

Oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów progresji

Bez stosowania skomplikowanych obliczeń znaleźliśmy wszystkie wymagane wartości.

Przykład 3. Postęp arytmetyczny jest dany przez mianownik i jedną z jego składowych. Znajdź pierwszy wyraz progresji, sumę jego 50 wyrazów, zaczynając od 50, oraz sumę pierwszych 100.

Rozwiązanie:

Napiszmy wzór na setny element progresji

i znaleźć pierwszy

Na podstawie pierwszego znajdujemy 50-ty okres progresji

Znalezienie sumy części progresji

i suma pierwszych 100

Suma progresji wynosi 250.

Przykład 4

Znajdź liczbę członków ciągu arytmetycznego, jeśli:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Rozwiązanie:

Zapisujemy równania pod względem pierwszego wyrazu i kroku postępu i definiujemy je

Otrzymane wartości podstawiamy do wzoru na sumę, aby określić liczbę wyrazów w sumie

Dokonywanie uproszczeń

i rozwiązać równanie kwadratowe

Spośród dwóch znalezionych wartości tylko liczba 8 jest odpowiednia dla stanu problemu. Zatem suma pierwszych ośmiu warunków progresji wynosi 111.

Przykład 5

Rozwiązać równanie

1+3+5+...+x=307.

Rozwiązanie: To równanie jest sumą ciągu arytmetycznego. Piszemy jego pierwszy wyraz i znajdujemy różnicę postępu

Pierwszy poziom

Postęp arytmetyczny. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)

Sekwencja numeryczna

Usiądźmy więc i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:
Możesz wpisać dowolne liczby, a może ich być tyle, ile chcesz (w naszym przypadku ich). Bez względu na to, ile liczb zapiszemy, zawsze możemy powiedzieć, która z nich jest pierwsza, która druga i tak dalej do ostatniej, czyli możemy je policzyć. To jest przykład sekwencji liczb:

Sekwencja numeryczna
Na przykład dla naszej sekwencji:

Przypisany numer jest specyficzny tylko dla jednego numeru kolejnego. Innymi słowy, w sekwencji nie ma trzech drugich liczb. Druga liczba (podobnie jak -ta liczba) jest zawsze taka sama.
Liczba z liczbą nazywana jest -tym elementem ciągu.

Zwykle cały ciąg nazywamy jakąś literą (np.), a każdy element tego ciągu - tą samą literą z indeksem równym numerowi tego elementu: .

W naszym przypadku:

Powiedzmy, że mamy sekwencja numeryczna, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Na przykład:

itp.
Taki ciąg liczbowy nazywamy postępem arytmetycznym.
Termin „postęp” został wprowadzony przez rzymskiego autora Boecjusza już w VI wieku i był rozumiany w szerszym znaczeniu jako nieskończony ciąg liczb. Nazwa „arytmetyka” została przeniesiona z teorii ciągłych proporcji, którą zajmowali się starożytni Grecy.

Jest to ciąg liczbowy, którego każdy element jest równy poprzedniemu, dodany z tą samą liczbą. Ta liczba nazywana jest różnicą postępu arytmetycznego i jest oznaczona.

Spróbuj określić, które ciągi liczb są ciągiem arytmetycznym, a które nie:

A)
B)
C)
D)

Rozumiem? Porównaj nasze odpowiedzi:
Jest postęp arytmetyczny - b, c.
Nie jest postęp arytmetyczny - a, d.

Wróćmy do podanej progresji () i spróbujmy znaleźć wartość jej-tego elementu. istnieje dwa sposób, aby to znaleźć.

1. Metoda

Możemy dodawać do poprzedniej wartości numeru progresji, aż dojdziemy do -tego terminu progresji. Dobrze, że nie mamy zbyt wiele do podsumowania – tylko trzy wartości:

Zatem -ty element opisanego ciągu arytmetycznego jest równy.

2. Metoda

Co by było, gdybyśmy musieli znaleźć wartość -tego wyrazu progresji? Podsumowanie zajęłoby nam ponad godzinę i nie jest faktem, że nie popełnilibyśmy błędów przy dodawaniu liczb.
Oczywiście matematycy wymyślili sposób, w jaki nie trzeba dodawać różnicy postępu arytmetycznego do poprzedniej wartości. Przyjrzyj się uważnie narysowanemu obrazkowi… Na pewno zauważyłeś już pewien wzór, a mianowicie:

Zobaczmy na przykład, co składa się na wartość -tego elementu tego ciągu arytmetycznego:


Innymi słowy:

Spróbuj samodzielnie znaleźć w ten sposób wartość członka tego ciągu arytmetycznego.

Obliczony? Porównaj swoje wpisy z odpowiedzią:

Zwróć uwagę, że otrzymałeś dokładnie taką samą liczbę jak w poprzedniej metodzie, kiedy do poprzedniej wartości dodaliśmy kolejno elementy ciągu arytmetycznego.
Spróbujmy „zdepersonalizować” tę formułę – wprowadźmy ją forma ogólna i dostać:

Równanie postępu arytmetycznego.

Postępy arytmetyczne są albo rosnące, albo malejące.

Wzrastający- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest większa od poprzedniej.
Na przykład:

malejąco- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest mniejsza od poprzedniej.
Na przykład:

Formuła pochodna jest używana do obliczania terminów zarówno rosnących, jak i malejących w postępie arytmetycznym.
Sprawdźmy to w praktyce.
Otrzymujemy ciąg arytmetyczny składający się z następujących liczb:

Od tego czasu:

Tym samym byliśmy przekonani, że formuła działa zarówno w malejącym, jak i rosnącym postępie arytmetycznym.
Spróbuj samodzielnie znaleźć -ty i -ty ​​element tego ciągu arytmetycznego.

Porównajmy wyniki:

Właściwość postępu arytmetycznego

Skomplikujmy zadanie - wyprowadzamy własność postępu arytmetycznego.
Załóżmy, że mamy następujący warunek:
- postęp arytmetyczny, znajdź wartość.
Mówisz, że to proste i zacznij liczyć według wzoru, który już znasz:

Niech a, to:

Całkowita racja. Okazuje się, że najpierw znajdujemy, potem dodajemy do pierwszej liczby i otrzymujemy to, czego szukamy. Jeśli progresja jest reprezentowana przez małe wartości, to nie ma w tym nic skomplikowanego, ale co, jeśli w warunku podano nam liczby? Zgadzam się, istnieje możliwość popełnienia błędów w obliczeniach.
Pomyśl teraz, czy możliwe jest rozwiązanie tego problemu w jednym kroku przy użyciu dowolnego wzoru? Oczywiście, że tak, i postaramy się to teraz wydobyć.

Oznaczmy żądany wyraz ciągu arytmetycznego, ponieważ znamy wzór na jego znalezienie - jest to ten sam wzór, który wyprowadziliśmy na początku:
, Następnie:

• poprzedni członek progresji to:
• kolejny okres progresji to:

Podsumujmy poprzednich i kolejnych członków progresji:

Okazuje się, że suma poprzednich i kolejnych członków progresji jest dwukrotnością wartości członka progresji znajdującego się pomiędzy nimi. Innymi słowy, aby znaleźć wartość członka progresji o znanych wartościach poprzednich i kolejnych, należy je dodać i podzielić przez.

Zgadza się, mamy ten sam numer. Naprawmy materiał. Sam oblicz wartość progresji, bo to wcale nie jest trudne.

Dobrze zrobiony! Wiesz prawie wszystko o progresji! Pozostaje znaleźć tylko jedną formułę, którą według legendy jeden z największych matematyków wszechczasów, „król matematyków” - Karl Gauss, z łatwością wydedukował dla siebie ...

Kiedy Carl Gauss miał 9 lat, nauczyciel, zajęty sprawdzaniem prac uczniów z innych klas, zadał na lekcji następujące zadanie: „Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od do (według innych źródeł do) włącznie”. Jakie było zdziwienie nauczyciela, gdy jeden z jego uczniów (był to Karl Gauss) po minucie podał poprawną odpowiedź do zadania, podczas gdy większość kolegów z klasy śmiałka po długich obliczeniach otrzymała zły wynik…

Młody Carl Gauss zauważył wzór, który można łatwo zauważyć.
Powiedzmy, że mamy postęp arytmetyczny składający się z elementów -ti: Musimy znaleźć sumę danych elementów ciągu arytmetycznego. Oczywiście możemy ręcznie zsumować wszystkie wartości, ale co jeśli musimy znaleźć sumę jego wyrazów w zadaniu, tak jak szukał Gauss?

Przedstawmy postęp jaki nam dano. Przyjrzyj się uważnie podświetlonym liczbom i spróbuj wykonać na nich różne działania matematyczne.


Wypróbowany? Co zauważyłeś? Prawidłowy! Ich sumy są równe

A teraz odpowiedz, ile takich par będzie w podanej progresji? Oczywiście dokładnie połowa wszystkich liczb, to znaczy.
Opierając się na fakcie, że suma dwóch wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa, oraz podobnych równych par, otrzymujemy, że całkowita suma jest równa:
.
Zatem wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:

W niektórych zadaniach nie znamy tego wyrazu, ale znamy różnicę progresji. Spróbuj podstawić we wzorze na sumę wzór na th członka.
Co dostałeś?

Dobrze zrobiony! Wróćmy teraz do problemu, który został zadany Carlowi Gaussowi: oblicz sobie, jaka jest suma liczb zaczynających się od -tego i suma liczb zaczynających się od -tego.

Ile dostałeś?
Gauss okazał się, że suma warunków jest równa, a suma warunków. Tak zdecydowałeś?

W rzeczywistości wzór na sumę członków ciągu arytmetycznego został udowodniony przez starożytnego greckiego naukowca Diofantusa już w III wieku i przez cały ten czas dowcipni ludzie używali właściwości ciągu arytmetycznego z siłą i mocą.
Na przykład wyobraź sobie Starożytny Egipt oraz największy plac budowy tamtych czasów – budowa piramidy… Na rysunku pokazano jedną jej stronę.

Gdzie tu jest postęp, mówisz? Przyjrzyj się uważnie i znajdź wzór w liczbie bloków piasku w każdym rzędzie ściany piramidy.


Dlaczego nie postęp arytmetyczny? Policz, ile klocków potrzeba do zbudowania jednej ściany, jeśli w podstawie umieścisz klocki blokowe. Mam nadzieję, że nie będziesz liczyć przesuwając palcem po monitorze, pamiętasz ostatni wzór i wszystko, co powiedzieliśmy o postępie arytmetycznym?

W tym przypadku progresja wygląda następująco:
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba członków ciągu arytmetycznego.
Podstawmy nasze dane do ostatnich wzorów (liczymy klocki na 2 sposoby).

Metoda 1.

Metoda 2.

A teraz możesz również obliczyć na monitorze: porównaj uzyskane wartości z liczbą klocków, które są w naszej piramidzie. Czy to się zgadzało? Dobra robota, opanowałeś sumę th wyrazów ciągu arytmetycznego.
Oczywiście piramidy nie da się zbudować z klocków u podstawy, ale z? Spróbuj obliczyć, ile cegieł piaskowych potrzeba do zbudowania ściany z tym warunkiem.
Czy udało Ci się?
Prawidłowa odpowiedź to bloki:

Szkolenie

Zadania:

1. Masza przygotowuje się do lata. Z każdym dniem zwiększa ilość przysiadów o ok. Ile razy Masza będzie robić przysiady w ciągu tygodni, jeśli robiła przysiady na pierwszym treningu.
2. Jaka jest suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w.
3. Przechowując kłody, drwale układają je w taki sposób, aby każdy z nich Górna warstwa zawiera o jeden dziennik mniej niż poprzedni. Ile kłód znajduje się w jednym murze, jeśli podstawą muru są kłody.

Odpowiedzi:

1. Zdefiniujmy parametry ciągu arytmetycznego. W tym przypadku
   (tygodnie = dni).

   Odpowiedź: Za dwa tygodnie Masza powinna robić przysiad raz dziennie.

2. Pierwsza liczba nieparzysta, ostatnia liczba.
   Różnica postępu arytmetycznego.
   Liczba liczb nieparzystych w połowie, jednak sprawdź ten fakt, korzystając ze wzoru na znalezienie -tego członka ciągu arytmetycznego:

   Liczby zawierają liczby nieparzyste.
   Dostępne dane podstawiamy do wzoru:

   Odpowiedź: Suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w jest równa.

3. Przypomnij sobie problem z piramidami. W naszym przypadku a , ponieważ każda górna warstwa jest zmniejszona o jeden dziennik, to znaczy jest tylko kilka warstw.
   Zastąp dane we wzorze:

   Odpowiedź: W murze znajdują się kłody.

Podsumowując

1. - ciąg liczbowy, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa. Rośnie i maleje.
2. Znalezienie formuły członka ciągu arytmetycznego zapisujemy wzorem - , gdzie jest liczbą liczb w ciągu.
3. Własność członków ciągu arytmetycznego- - gdzie - liczba cyfr w progresji.
4. Suma członków ciągu arytmetycznego można znaleźć na dwa sposoby:
   
   , gdzie jest liczbą wartości.

POSTĘP ARYTMETYCZNY. ŚREDNI POZIOM

Sekwencja numeryczna

Usiądźmy i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:

Możesz wpisać dowolne liczby, a może ich być tyle, ile chcesz. Ale zawsze możesz stwierdzić, który z nich jest pierwszy, który drugi itd., czyli możemy je policzyć. To jest przykład sekwencji liczb.

Sekwencja numeryczna jest zbiorem liczb, z których każdej można przypisać unikalny numer.

Innymi słowy, każda liczba może być powiązana z pewną liczbą naturalną i tylko jedną. I nie przypiszemy tego numeru żadnemu innemu numerowi z tego zestawu.

Liczba z liczbą nazywana jest -tym elementem ciągu.

Zwykle cały ciąg nazywamy jakąś literą (np.), a każdy element tego ciągu - tą samą literą z indeksem równym numerowi tego elementu: .

Jest to bardzo wygodne, jeśli -ty ​​element ciągu można podać za pomocą jakiegoś wzoru. Na przykład formuła

ustawia kolejność:

A formuła to następująca sekwencja:

Na przykład postęp arytmetyczny jest ciągiem (pierwszy wyraz to tutaj równość i różnica). Lub (różnica).

formuła n-tego terminu

Formułę rekurencyjną nazywamy rekurencyjną, w której aby znaleźć -ty termin, trzeba znać poprzedni lub kilka poprzednich:

Aby znaleźć np. th wyraz progresji za pomocą takiego wzoru, musimy obliczyć poprzednie dziewięć. Na przykład niech. Następnie:

Cóż, teraz jest jasne, jaka jest formuła?

W każdym wierszu dodajemy do, pomnożone przez pewną liczbę. Po co? Bardzo proste: to jest numer bieżącego członka minus:

Teraz o wiele wygodniej, prawda? Sprawdzamy:

Zdecyduj sam:

W ciągu arytmetycznym znajdź wzór na n-ty wyraz i znajdź setny wyraz.

Rozwiązanie:

Pierwszy członek jest równy. A jaka jest różnica? A oto co:

(w końcu nazywa się to różnicą, ponieważ jest równe różnicy kolejnych członków progresji).

Zatem formuła jest następująca:

Wtedy setny wyraz to:

Jaka jest suma wszystkich liczb naturalnych od do?

Według legendy wielki matematyk Carl Gauss będąc 9-letnim chłopcem obliczył tę kwotę w kilka minut. Zauważył, że suma pierwszej i ostatniej liczby jest równa, suma drugiej i przedostatniej jest taka sama, suma trzeciej i trzeciej od końca jest taka sama i tak dalej. Ile jest takich par? Zgadza się, dokładnie połowa wszystkich liczb, to znaczy. Więc,

Ogólny wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie wyglądał następująco:

Przykład:
Znajdź sumę wszystkich dwucyfrowych wielokrotności.

Rozwiązanie:

Pierwsza taka liczba to ta. Każdą następną uzyskuje się dodając numer do poprzedniej. Zatem interesujące nas liczby tworzą ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem i różnicą.

Wzór na th wyraz tej progresji to:

Ile wyrazów występuje w ciągu, jeśli wszystkie muszą być dwucyfrowe?

Bardzo łatwe: .

Ostatni termin progresji będzie równy. Następnie suma:

Odpowiedź: .

Teraz zdecyduj sam:

1. Każdego dnia zawodnik biegnie o 1m więcej niż dnia poprzedniego. Ile kilometrów przebiegnie w ciągu tygodni, jeśli pierwszego dnia przebiegł km m?
2. Rowerzysta pokonuje każdego dnia więcej mil niż poprzedni. Pierwszego dnia przejechał km. Ile dni musi jechać, żeby przejechać kilometr? Ile kilometrów przejedzie ostatniego dnia podróży?
3. Cena lodówki w sklepie jest co roku obniżana o tę samą kwotę. Oblicz, o ile spadła cena lodówki, jeśli wystawiona na sprzedaż za ruble sześć lat później została sprzedana za ruble.

Odpowiedzi:

1. Najważniejsze jest tutaj rozpoznanie postępu arytmetycznego i wyznaczenie jego parametrów. W tym przypadku (tygodnie = dni). Musisz wyznaczyć sumę pierwszych wyrazów tej progresji:
   .
   Odpowiedź:
2. Tutaj jest podane:, trzeba znaleźć.
   Oczywiście musisz użyć tego samego wzoru na sumę, co w poprzednim zadaniu:
   .
   Zastąp wartości:

   Korzeń oczywiście nie pasuje, więc odpowiedź.
   Obliczmy odległość przebytą w ciągu ostatniego dnia korzystając ze wzoru na -ty wyraz:
   (km).
   Odpowiedź:

3. Dany: . Znajdować: .
   To nie staje się łatwiejsze:
   (pocierać).
   Odpowiedź:

POSTĘP ARYTMETYCZNY. KRÓTKO O GŁÓWNEJ

Jest to ciąg liczbowy, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.

Postęp arytmetyczny jest rosnący () i malejący ().

Na przykład:

Wzór na znalezienie n-tego elementu ciągu arytmetycznego

jest zapisywany jako wzór, gdzie jest liczbą liczb w sekwencji.

Własność członków ciągu arytmetycznego

Ułatwia to odnalezienie członka progresji, jeśli znane są jej sąsiadujące elementy - gdzie jest liczba liczb w progresji.

Suma członków ciągu arytmetycznego

Sumę można znaleźć na dwa sposoby:

Gdzie jest liczba wartości.

Gdzie jest liczba wartości.

Postępy arytmetyczne i geometryczne

Informacje teoretyczne

Informacje teoretyczne

	Postęp arytmetyczny	Postęp geometryczny
Definicja	Postęp arytmetyczny jakiś wywoływana jest sekwencja, której każdy członek, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu członowi, dodanemu o tej samej liczbie D (D- różnica progresji)	postęp geometryczny b rz wywoływany jest ciąg liczb niezerowych, których każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu wyrazowi pomnożonemu przez tę samą liczbę Q (Q- mianownik progresji)
Powtarzająca się formuła	Dla każdego naturalnego N za n + 1 = za n + re	Dla każdego naturalnego N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
formuła n-tego terminu	za n = za 1 + re (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
charakterystyczna właściwość
Suma pierwszych n wyrazów

Przykładowe zadania z komentarzami

Ćwiczenie 1

W postępie arytmetycznym ( jakiś) 1 = -6, 2

Zgodnie ze wzorem n-tego wyrazu:

22 = 1+ re (22 - 1) = 1+ 21d

Według warunku:

1= -6, więc 22= -6 + 21d.

Konieczne jest znalezienie różnicy postępów:

d= 2 – 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Odpowiedź : 22 = -48.

Zadanie 2

Znajdź piąty wyraz postępu geometrycznego: -3; 6;...

Pierwszy sposób (przy użyciu formuły n-członowej)

Zgodnie ze wzorem n-tego elementu ciągu geometrycznego:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Ponieważ b1 = -3,

Drugi sposób (przy użyciu formuły rekurencyjnej)

Ponieważ mianownikiem progresji jest -2 (q = -2), to:

b3 = 6 ∙ (-2) = -12;

4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Odpowiedź : b5 = -48.

Zadanie 3

W postępie arytmetycznym ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Znajdź siedemdziesiąty piąty wyraz tego ciągu.

W przypadku postępu arytmetycznego charakterystyczna właściwość ma postać .

Dlatego:

.

Zastąp dane we wzorze:

Odpowiedź: 95.

Zadanie 4

W postępie arytmetycznym ( za n ) za n= 3n - 4. Znajdź sumę pierwszych siedemnastu wyrazów.

Aby znaleźć sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego, stosuje się dwa wzory:

.

Który z nich jest wygodniejszy do zastosowania w tym przypadku?

Warunkowo znana jest formuła n-tego członka pierwotnej progresji ( jakiś) jakiś= 3n - 4. Można znaleźć natychmiast i 1, I 16 bez znalezienia d. Dlatego używamy pierwszej formuły.

Odpowiedź: 368.

Zadanie 5

W postępie arytmetycznym jakiś) 1 = -6; 2= -8. Znajdź dwudziesty drugi wyraz progresji.

Zgodnie ze wzorem n-tego wyrazu:

za 22 = za 1 + re (22 – 1) = 1+ 21d.

Pod warunkiem, jeśli 1= -6, w takim razie 22= -6 + 21d. Konieczne jest znalezienie różnicy postępów:

d= 2 – 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Odpowiedź : 22 = -48.

Zadanie 6

Zapisano kilka kolejnych wyrazów postępu geometrycznego:

Znajdź termin progresji, oznaczony literą x .

Podczas rozwiązywania używamy wzoru na n-ty wyraz b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 Dla postępy geometryczne. Pierwszy członek progresji. Aby znaleźć mianownik progresji q, musisz wziąć dowolny z tych wyrazów progresji i podzielić przez poprzedni. W naszym przykładzie możesz wziąć i podzielić przez. Otrzymujemy to q \u003d 3. Zamiast n podstawiamy 3 we wzorze, ponieważ konieczne jest znalezienie trzeciego wyrazu danego postępu geometrycznego.

Podstawiając znalezione wartości do wzoru, otrzymujemy:

.

Odpowiedź : .

Zadanie 7

Spośród ciągów arytmetycznych podanych wzorem n-tego wyrazu wybierz ten, dla którego spełniony jest warunek 27 > 9:

Ponieważ określony warunek musi być spełniony dla 27-go okresu progresji, podstawimy 27 zamiast n w każdym z czterech progresji. W 4. progresji otrzymujemy:

.

Odpowiedź: 4.

Zadanie 8

W postępie arytmetycznym 1= 3, re = -1,5. Podaj największą wartość n, dla której zachodzi nierówność jakiś > -6.