Jak znaleźć inny pierwiastek i współczynnik. Równania kwadratowe - przykłady z rozwiązaniami, cechami i wzorami

”, czyli równania pierwszego stopnia. W tej lekcji zbadamy co to jest równanie kwadratowe i jak to rozwiązać.

Co to jest równanie kwadratowe

Ważny!

Stopień równania zależy od najwyższego stopnia, w jakim stoi niewiadoma.

Jeśli maksymalny stopień, w jakim niewiadoma stoi, wynosi „2”, to masz równanie kwadratowe.

Przykłady równań kwadratowych

5x2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Ważny! Ogólna postać równania kwadratowego wygląda tak:

A x 2 + b x + c = 0

„a”, „b” i „c” - podane liczby.

„a” - pierwszy lub starszy współczynnik;
„b” - drugi współczynnik;
„c” jest wolnym członkiem.

Aby znaleźć „a”, „b” i „c” Musisz porównać swoje równanie z ogólną postacią równania kwadratowego „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

Przećwiczmy wyznaczanie współczynników „a”, „b” i „c” w równaniach kwadratowych.

5x2 - 14x + 17 = 0 -7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Równanie	Szanse
a=5 b = −14 c = 17
a = -7 b = −13 c = 8

= 0

a = -1
b = 1
c =
1
3

x2 + 0,25x = 0

a = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
c = -8

Jak rozwiązywać równania kwadratowe

W przeciwieństwie do równań liniowych do rozwiązywania równań kwadratowych używane jest specjalne równanie. formuła wyszukiwania korzeni.

Pamiętać!

Aby rozwiązać równanie kwadratowe, potrzebujesz:

sprowadzić równanie kwadratowe do ogólna perspektywa"topór 2 + bx + c = 0". Oznacza to, że po prawej stronie powinno pozostać tylko „0”;
użyj wzoru na korzenie:

Użyjmy przykładu, aby dowiedzieć się, jak zastosować wzór, aby znaleźć pierwiastki równania kwadratowego. Rozwiążmy równanie kwadratowe.

X 2 - 3x - 4 = 0

Równanie „x 2 – 3x – 4 = 0” zostało już zredukowane do postaci ogólnej „ax 2 + bx + c = 0” i nie wymaga dodatkowych uproszczeń. Aby go rozwiązać, wystarczy złożyć wniosek wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego.

Zdefiniujmy współczynniki „a”, „b” i „c” dla tego równania.

x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =

Z jego pomocą rozwiązuje się dowolne równanie kwadratowe.

W formule „x 1; 2 \u003d” wyrażenie root jest często zastępowane
„b 2 − 4ac” na literę „D” i nazywamy dyskryminatorem. Pojęcie dyskryminatora zostało szerzej omówione w lekcji „Co to jest dyskryminator”.

Rozważ inny przykład równania kwadratowego.

x 2 + 9 + x = 7x

W tej postaci raczej trudno jest określić współczynniki „a”, „b” i „c”. Najpierw sprowadźmy równanie do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Teraz możesz użyć formuły dla korzeni.

X 1;2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x=

x=3
Odpowiedź: x = 3

Są chwile, kiedy w równaniach kwadratowych nie ma pierwiastków. Taka sytuacja ma miejsce, gdy w formule pod pierwiastkiem pojawia się liczba ujemna.

Mam nadzieję, że po przestudiowaniu tego artykułu dowiesz się, jak znaleźć pierwiastki pełnego równania kwadratowego.

Za pomocą dyskryminatora rozwiązywane są tylko kompletne równania kwadratowe; do rozwiązywania niekompletnych równań kwadratowych stosuje się inne metody, które znajdziesz w artykule "Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych".

Jakie równania kwadratowe nazywamy kompletnymi? to równania postaci ax 2 + b x + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c nie są równe zeru. Tak więc, aby rozwiązać pełne równanie kwadratowe, musisz obliczyć dyskryminator D.

D \u003d b 2 - 4ac.

W zależności od tego, jaką wartość ma wyróżnik, spiszemy odpowiedź.

Jeśli dyskryminator jest liczbą ujemną (D< 0),то корней нет.

Jeśli dyskryminator wynosi zero, to x \u003d (-b) / 2a. Gdy wyróżnik jest liczbą dodatnią (D > 0),

wtedy x1 = (-b - √D)/2a i x2 = (-b + √D)/2a.

Na przykład. Rozwiązać równanie x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odpowiedź: 2.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Odpowiedź: bez korzeni.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Odpowiedź: - 3,5; jeden.

Wyobraźmy sobie więc rozwiązanie pełnych równań kwadratowych za pomocą schematu na rysunku 1.

Te wzory można wykorzystać do rozwiązania dowolnego pełnego równania kwadratowego. Musisz tylko uważać, aby równanie zostało zapisane jako wielomian w postaci standardowej

a x 2 + bx + c, w przeciwnym razie możesz popełnić błąd. Na przykład, pisząc równanie x + 3 + 2x 2 = 0, możesz błędnie zdecydować, że

a = 1, b = 3 i c = 2. Wtedy

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1, a następnie równanie ma dwa pierwiastki. A to nieprawda. (Patrz przykład 2 rozwiązanie powyżej).

Dlatego, jeśli równanie nie jest zapisane jako wielomian postaci standardowej, najpierw całe równanie kwadratowe musi być zapisane jako wielomian postaci standardowej (jednomian z największym wykładnikiem powinien być na pierwszym miejscu, czyli a x 2 , to z mniej – bx, a następnie wolny termin Z.

Rozwiązując powyższe równanie kwadratowe i równanie kwadratowe z parzystym współczynnikiem dla drugiego członu, można również zastosować inne wzory. Zapoznajmy się z tymi formułami. Jeżeli w pełnym równaniu kwadratowym z drugim członem współczynnik jest parzysty (b = 2k), to równanie można rozwiązać za pomocą wzorów przedstawionych na wykresie na rysunku 2.

Pełne równanie kwadratowe nazywamy zredukowanym, jeśli współczynnik przy x 2 równa się jedność, a równanie przyjmuje postać x 2 + px + q = 0. Takie równanie można podać do rozwiązania lub otrzymuje się dzieląc wszystkie współczynniki równania przez współczynnik a stojąc w x 2 .

Rysunek 3 przedstawia schemat rozwiązania zredukowanego kwadratu
równania. Rozważ przykład zastosowania formuł omówionych w tym artykule.

Przykład. Rozwiązać równanie

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Rozwiążmy to równanie za pomocą wzorów przedstawionych na rysunku 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Odpowiedź: -1 - √3; –1 + √3

Widać, że współczynnik przy x w tym równaniu jest liczbą parzystą, to znaczy b \u003d 6 lub b \u003d 2k, skąd k \u003d 3. Następnie spróbujmy rozwiązać równanie za pomocą wzorów pokazanych na schemacie rysunku D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Odpowiedź: -1 - √3; –1 + √3. Zauważając, że wszystkie współczynniki w tym równaniu kwadratowym są podzielne przez 3 i dzieląc, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe x 2 + 2x - 2 = 0 Rozwiązujemy to równanie używając wzorów na zredukowane kwadratowe
równania rysunek 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Odpowiedź: -1 - √3; –1 + √3.

Jak widać, rozwiązując to równanie za pomocą różnych formuł, otrzymaliśmy tę samą odpowiedź. Dlatego po dobrym opanowaniu wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 1 zawsze możesz rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe.

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Ten temat może początkowo wydawać się skomplikowany ze względu na wiele nie tak prostych formuł. Nie tylko same równania kwadratowe mają długie wpisy, ale również pierwiastki można znaleźć poprzez wyróżnik. W sumie dostępne są trzy nowe formuły. Niezbyt łatwe do zapamiętania. Jest to możliwe dopiero po częstym rozwiązywaniu takich równań. Wtedy wszystkie formuły zostaną zapamiętane same.

Ogólny widok równania kwadratowego

Tutaj proponuje się ich wyraźną notację, kiedy najpierw zapisywany jest najwyższy stopień, a następnie - w porządku malejącym. Często zdarzają się sytuacje, w których terminy się różnią. Wtedy lepiej jest przepisać równanie w porządku malejącym według stopnia zmiennej.

Wprowadźmy notację. Przedstawiono je w poniższej tabeli.

Jeśli przyjmiemy te zapisy, wszystkie równania kwadratowe zostaną zredukowane do następującej notacji.

Ponadto współczynnik a ≠ 0. Niech ten wzór oznaczymy liczbą jeden.

Gdy podane jest równanie, nie jest jasne, ile pierwiastków będzie w odpowiedzi. Ponieważ zawsze możliwa jest jedna z trzech opcji:

rozwiązanie będzie miało dwa korzenie;
odpowiedź będzie jedną liczbą;
Równanie w ogóle nie ma korzeni.

I choć decyzja nie jest zakończona, trudno jest zrozumieć, która z opcji wypadnie w konkretnym przypadku.

Rodzaje zapisów równań kwadratowych

Zadania mogą je zawierać. różne zapisy. Nie zawsze będą wyglądać jak ogólna formuła równania kwadratowego. Czasami zabraknie niektórych określeń. To, co zostało napisane powyżej, to pełne równanie. Jeśli usuniesz z niego drugi lub trzeci termin, otrzymasz coś innego. Te zapisy są również nazywane równaniami kwadratowymi, tylko niekompletnymi.

Co więcej, mogą zniknąć tylko te terminy, dla których współczynniki „b” i „c” mogą zniknąć. Liczba „a” w żadnym wypadku nie może być równa zero. Ponieważ w tym przypadku formuła zamienia się w równanie liniowe. Wzory dla niepełnej postaci równań będą następujące:

Tak więc istnieją tylko dwa typy, oprócz kompletnych, istnieją również niepełne równania kwadratowe. Niech pierwsza formuła będzie liczbą dwa, a drugą liczbą trzy.

Dyskryminator i zależność liczby pierwiastków od jego wartości

Ta liczba musi być znana, aby obliczyć pierwiastki równania. Zawsze można go obliczyć, bez względu na wzór równania kwadratowego. Aby obliczyć dyskryminator, musisz użyć poniższej równości, która będzie miała liczbę cztery.

Po podstawieniu wartości współczynników do tego wzoru można uzyskać liczby za pomocą różne znaki. Jeśli odpowiedź brzmi tak, to odpowiedzią na równanie będą dwa różne pierwiastki. Na Liczba ujemna brak będzie pierwiastków równania kwadratowego. Jeśli jest równy zero, odpowiedź będzie jedna.

Jak rozwiązywane jest pełne równanie kwadratowe?

W rzeczywistości rozważanie tej kwestii już się rozpoczęło. Ponieważ najpierw musisz znaleźć wyróżnik. Po wyjaśnieniu, że istnieją pierwiastki równania kwadratowego, a ich liczba jest znana, należy użyć wzorów na zmienne. Jeśli są dwa korzenie, musisz zastosować taką formułę.

Ponieważ zawiera znak „±”, będą dwie wartości. Wyrażenie pod znakiem pierwiastka kwadratowego jest wyróżnikiem. Dlatego formułę można przepisać w inny sposób.

Formuła piąta. Z tego samego zapisu wynika, że jeśli dyskryminator ma wartość zero, to oba pierwiastki przyjmą te same wartości.

Jeśli rozwiązanie równań kwadratowych nie zostało jeszcze opracowane, lepiej zapisać wartości wszystkich współczynników przed zastosowaniem formuł dyskryminacyjnych i zmiennych. Później ta chwila nie spowoduje trudności. Ale na samym początku panuje zamieszanie.

Jak rozwiązuje się niepełne równanie kwadratowe?

Tutaj wszystko jest o wiele prostsze. Nawet nie ma potrzeby stosowania dodatkowych formuł. I nie będziesz potrzebować tych, które zostały już napisane dla dyskryminującego i nieznanego.

Najpierw rozważ niekompletne równanie pod numerem dwa. W tej równości ma ona wyjąć nieznaną wartość z nawiasu i rozwiązać równanie liniowe, które pozostanie w nawiasie. Odpowiedź będzie miała dwa korzenie. Pierwsza z nich jest z konieczności równa zero, ponieważ istnieje czynnik składający się z samej zmiennej. Drugi uzyskuje się, rozwiązując równanie liniowe.

Niekompletne równanie pod numerem trzy rozwiązuje się, przenosząc liczbę z lewej strony równania na prawą. Następnie musisz podzielić przez współczynnik przed niewiadomą. Pozostaje tylko wyodrębnić pierwiastek kwadratowy i nie zapomnij zapisać go dwukrotnie z przeciwstawnymi znakami.

Poniżej przedstawiono niektóre czynności, które pomogą Ci nauczyć się rozwiązywania wszelkiego rodzaju równości, które zamieniają się w równania kwadratowe. Pomogą uczniowi uniknąć błędów spowodowanych nieuwagą. Te niedociągnięcia są przyczyną słabych ocen podczas studiowania obszernego tematu ” Równania kwadratowe(8 klasa)". Następnie te czynności nie będą musiały być stale wykonywane. Ponieważ będzie stabilny nawyk.

Najpierw musisz napisać równanie w standardowej formie. Czyli najpierw wyraz o największym stopniu zmiennej, a następnie - bez stopnia, a na końcu - tylko liczba.

Jeśli przed współczynnikiem „a” pojawi się minus, może to skomplikować pracę początkującemu w badaniu równań kwadratowych. Lepiej się go pozbyć. W tym celu wszelką równość należy pomnożyć przez „-1”. Oznacza to, że wszystkie warunki zmienią znak na przeciwny.

W ten sam sposób zaleca się pozbycie się frakcji. Po prostu pomnóż równanie przez odpowiedni współczynnik, aby mianowniki się znosiły.

Przykłady

Wymagane jest rozwiązanie następujących równań kwadratowych:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Pierwsze równanie: x 2 - 7x \u003d 0. Jest niekompletne, dlatego rozwiązuje się je zgodnie z opisem dla wzoru numer dwa.

Po nawiasach okazuje się: x (x - 7) \u003d 0.

Pierwszy pierwiastek przyjmuje wartość: x 1 = 0. Drugi zostanie znaleziony z równanie liniowe: x - 7 = 0. Łatwo zauważyć, że x 2 = 7.

Drugie równanie: 5x2 + 30 = 0. Znowu niekompletne. Tylko to jest rozwiązane tak, jak opisano dla trzeciego wzoru.

Po przeniesieniu 30 do prawa strona równość: 5x 2 = 30. Teraz musisz podzielić przez 5. Okazuje się: x 2 = 6. Odpowiedzi będą liczbami: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Trzecie równanie: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Tutaj i poniżej rozwiązanie równań kwadratowych rozpocznie się od przepisania ich do standardowej postaci: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Teraz czas na użycie drugiego przydatna rada i pomnóż wszystko przez minus jeden. Okazuje się, że x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Zgodnie z czwartą formułą należy obliczyć dyskryminator: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Jest to Liczba dodatnia. Z tego, co zostało powiedziane powyżej, wynika, że równanie ma dwa pierwiastki. Należy je obliczyć zgodnie z piątą formułą. Zgodnie z nim okazuje się, że x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Następnie x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Czwarte równanie x 2 + 8 + 3x \u003d 0 jest konwertowane na to: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jego wyróżnik jest równy tej wartości: -23. Ponieważ liczba ta jest ujemna, odpowiedzią na to zadanie będzie następujący wpis: „Nie ma pierwiastków”.

Piąte równanie 12x + x 2 + 36 = 0 należy przepisać następująco: x 2 + 12x + 36 = 0. Po zastosowaniu wzoru na wyróżnik otrzymujemy liczbę zero. Oznacza to, że będzie miał jeden korzeń, a mianowicie: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Szóste równanie (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) wymaga przekształceń, które polegają na tym, że przed otwarciem nawiasów trzeba wprowadzić podobne wyrażenia. W miejsce pierwszego będzie takie wyrażenie: x 2 + 2x + 1. Po zrównaniu pojawi się ten wpis: x 2 + 3x + 2. Po policzeniu podobnych wyrazów równanie przyjmie postać: x 2 - x \u003d 0. Stał się niekompletny . Podobny do tego został już uznany za nieco wyższy. Korzeniem tego będą liczby 0 i 1.

Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystywane są w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Równania były używane przez człowieka od czasów starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. Dyskryminator pozwala rozwiązywać dowolne równania kwadratowe za pomocą ogólna formuła, który ma następującą postać:

Wzór na dyskryminację zależy od stopnia wielomianu. Powyższy wzór nadaje się do rozwiązywania równań kwadratowych o następującej postaci:

Wyróżnik ma następujące właściwości, które musisz znać:

* „D” wynosi 0, gdy wielomian ma wiele pierwiastków (równe pierwiastki);

* „D” jest wielomianem symetrycznym w odniesieniu do pierwiastków wielomianu, a zatem jest wielomianem w swoich współczynnikach; co więcej, współczynniki tego wielomianu są liczbami całkowitymi, niezależnie od rozszerzenia, w którym bierze się pierwiastki.

Załóżmy, że otrzymaliśmy równanie kwadratowe o następującej postaci:

1 równanie

Zgodnie z formułą mamy:

Ponieważ \, to równanie ma 2 pierwiastki. Zdefiniujmy je:

Gdzie mogę rozwiązać równanie za pomocą dyskryminującego solvera online?

Możesz rozwiązać równanie na naszej stronie https: // site. Darmowy solver online pozwoli Ci rozwiązać równanie online o dowolnej złożoności w kilka sekund. Wszystko, co musisz zrobić, to po prostu wprowadzić swoje dane do solvera. Możesz też obejrzeć film instruktażowy i dowiedzieć się, jak rozwiązywać równanie na naszej stronie internetowej, a jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w naszej grupie Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze chętnie Ci pomożemy.

Równania kwadratowe często pojawiają się podczas rozwiązywania różne zadania fizyka i matematyka. W tym artykule przyjrzymy się, jak rozwiązać te równości. uniwersalny sposób„poprzez dyskryminację”. W artykule podano również przykłady wykorzystania zdobytej wiedzy.

O jakich równaniach mówimy?

Poniższy rysunek przedstawia wzór, w którym x jest nieznaną zmienną, a łacińskie znaki a, b, c reprezentują niektóre znane liczby.

Każdy z tych symboli nazywa się współczynnikiem. Jak widać, liczba „a” znajduje się przed podaną do kwadratu zmienną x. Jest to maksymalna moc reprezentowanego wyrażenia, dlatego nazywa się to równaniem kwadratowym. Często używa się innej nazwy: równanie drugiego rzędu. Sama wartość a jest współczynnikiem kwadratowym (do kwadratu zmiennej), b jest współczynnikiem liniowym (jest obok zmiennej podniesionej do pierwszej potęgi), a liczba c jest wyrazem swobodnym.

Zauważ, że forma równania pokazana na powyższym rysunku jest ogólnym klasycznym wyrażeniem kwadratowym. Oprócz tego istnieją inne równania drugiego rzędu, w których współczynniki b, c mogą wynosić zero.

Gdy zadanie jest ustawione na rozwiązanie rozpatrywanej równości, oznacza to, że należy znaleźć takie wartości zmiennej x, które by ją spełniały. Pierwszą rzeczą do zapamiętania jest to, że ponieważ maksymalna potęga x wynosi 2, ten typ wyrażenia nie może mieć więcej niż 2 rozwiązań. Oznacza to, że jeśli przy rozwiązywaniu równania zostaną znalezione 2 x wartości, które je spełniają, to możesz być pewien, że nie ma trzeciej liczby, zastępując którą zamiast x równość również byłaby prawdziwa. Rozwiązania równania w matematyce nazywane są jego pierwiastkami.

Metody rozwiązywania równań drugiego rzędu

Rozwiązywanie tego typu równań wymaga znajomości jakiejś teorii na ich temat. W kurs szkolny algebry rozważają 4 różne metody rozwiązania. Wymieńmy je:

za pomocą faktoryzacji;
używając wzoru na idealny kwadrat;
zastosowanie wykresu odpowiedniej funkcji kwadratowej;
za pomocą równania dyskryminacyjnego.

Zaletą pierwszej metody jest jej prostota, jednak nie można jej zastosować do wszystkich równań. Druga metoda jest uniwersalna, ale nieco kłopotliwa. Trzecia metoda wyróżnia się przejrzystością, ale nie zawsze jest wygodna i stosowana. I wreszcie, użycie równania dyskryminacyjnego jest uniwersalnym i dość prostym sposobem znalezienia pierwiastków absolutnie każdego równania drugiego rzędu. Dlatego w artykule rozważymy tylko to.

Wzór do uzyskania pierwiastków równania

Przejdźmy do ogólnej postaci równania kwadratowego. Zapiszmy to: a*x²+ b*x + c =0. Przed zastosowaniem metody jego rozwiązania „poprzez dyskryminację” równość należy zawsze sprowadzić do formy pisemnej. Oznacza to, że musi składać się z trzech składników (lub mniej, jeśli b lub c wynosi 0).

Na przykład, jeśli istnieje wyrażenie: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², to najpierw należy przenieść wszystkie jego elementy na jedną stronę równości i dodać wyrazy zawierające zmienną x w tym samym uprawnienie.

W tym przypadku operacja ta doprowadzi do następującego wyrażenia: -6*x²-4*x+8=0, co jest równoważne równaniu 6*x²+4*x-8=0 (tu pomnożyliśmy lewą i prawe strony równania o -1) .

W powyższym przykładzie a = 6, b=4, c=-8. Zauważ, że wszystkie warunki rozważanej równości są zawsze sumowane między sobą, dlatego jeśli pojawi się znak „-”, oznacza to, że odpowiedni współczynnik jest ujemny, podobnie jak liczba c w tym przypadku.

Po przeanalizowaniu tego punktu przechodzimy teraz do samej formuły, która umożliwia uzyskanie pierwiastków równania kwadratowego. Wygląda jak na zdjęciu poniżej.

Jak widać z tego wyrażenia, pozwala uzyskać dwa pierwiastki (należy zwrócić uwagę na znak „±”). Aby to zrobić, wystarczy wstawić do niego współczynniki b, c i a.

Pojęcie wyróżnika

W poprzednim akapicie podano wzór, który pozwala szybko rozwiązać dowolne równanie drugiego rzędu. W nim radykalne wyrażenie nazywa się dyskryminatorem, to znaczy D \u003d b²-4 * a * c.

Dlaczego ta część formuły jest wyróżniona i czy ma w ogóle własną nazwę? Faktem jest, że dyskryminator łączy wszystkie trzy współczynniki równania w jedno wyrażenie. Ten ostatni fakt oznacza, że w całości zawiera informacje o korzeniach, które można wyrazić za pomocą poniższej listy:

D>0: równość ma 2 różne rozwiązania, z których oba są liczbami rzeczywistymi.
D=0: równanie ma tylko jeden pierwiastek i jest to liczba rzeczywista.

Zadanie określenia dyskryminatora

Oto prosty przykład, jak znaleźć wyróżnik. Niech zostanie podana następująca równość: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Sprowadźmy to do postaci standardowej, otrzymujemy: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, z którego dochodzimy do równości : -2*x² +2*x-11 = 0. Tutaj a=-2, b=2, c=-11.

Teraz możesz użyć nazwanej formuły dla dyskryminatora: D \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84. Wynikowa liczba jest odpowiedzią na zadanie. Ponieważ wyróżnik w przykładzie jest mniejszy od zera, możemy powiedzieć, że to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jego rozwiązaniem będą tylko liczby typu złożonego.

Przykład nierówności poprzez dyskryminację

Rozwiążmy zadania nieco innego typu: podana jest równość -3*x²-6*x+c = 0. Trzeba znaleźć takie wartości c, dla których D>0.

W tym przypadku znane są tylko 2 z 3 współczynników, więc nie będzie możliwe obliczenie dokładnej wartości dyskryminatora, ale wiadomo, że jest dodatni. Podczas kompilacji nierówności korzystamy z ostatniego faktu: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Rozwiązanie otrzymanej nierówności prowadzi do wyniku: c>-3.

Sprawdźmy wynikową liczbę. Aby to zrobić, obliczamy D dla 2 przypadków: c=-2 i c=-4. Liczba -2 spełnia otrzymany wynik (-2>-3), odpowiedni dyskryminator będzie miał wartość: D = 12>0. Z kolei liczba -4 nie spełnia nierówności (-4W związku z tym wszystkie liczby c, które są większe niż -3, spełnią warunek.

Przykład rozwiązania równania

Podajmy problem, który polega nie tylko na znalezieniu dyskryminatora, ale także na rozwiązaniu równania. Konieczne jest znalezienie pierwiastków dla równości -2*x²+7-9*x = 0.

W tym przykładzie wyróżnik jest równy następującej wartości: D = 81-4*(-2)*7= 137. Następnie pierwiastki równania są wyznaczane w następujący sposób: x = (9±√137)/(- 4). Są to dokładne wartości pierwiastków, jeśli obliczysz przybliżony pierwiastek, otrzymasz liczby: x \u003d -5,176 i x \u003d 0,676.

problem geometryczny

Rozwiążmy problem, który będzie wymagał nie tylko umiejętności obliczania wyróżnika, ale także wykorzystania umiejętności abstrakcyjnego myślenia i umiejętności pisania równań kwadratowych.

Bob miał kołdrę 5 x 4 metry. Chłopiec chciał uszyć ciągły pasek pięknej tkaniny na całym obwodzie. Jak gruby będzie ten pasek, jeśli wiadomo, że Bob ma 10 m² materiału.

Niech pasek ma grubość x m, wtedy powierzchnia tkaniny wzdłuż dłuższego boku koca będzie wynosić (5 + 2 * x) * x, a ponieważ są 2 długie boki, mamy: 2 * x * (5 + 2 * x). Na krótszym boku powierzchnia szytej tkaniny wyniesie 4*x, ponieważ są 2 z tych boków, otrzymujemy wartość 8*x. Zauważ, że wartość 2*x została dodana do dłuższego boku, ponieważ długość kołdry wzrosła o tę liczbę. Łączna powierzchnia tkaniny przyszytej do koca to 10 m². Dlatego otrzymujemy równość: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

W tym przykładzie wyróżnikiem jest: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Jego pierwiastek to 22. Korzystając ze wzoru, znajdujemy pożądane pierwiastki: x = (-18±22)/(2* 4) = (-5; 0,5). Oczywiście z dwóch pierwiastków tylko liczba 0,5 jest odpowiednia dla stanu problemu.

Tak więc pasek materiału, który Bob przyszywa do swojego koca, będzie miał szerokość 50 cm.