Kalkulator online Wyszukiwanie (obliczanie) GCD i NOC. Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb
Rozważ trzy sposoby znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności.
Znalezienie przez faktoring
Pierwszym sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez rozłożenie podanych liczb na czynniki pierwsze.
Załóżmy, że musimy znaleźć LCM liczb: 99, 30 i 28. W tym celu rozkładamy każdą z tych liczb na czynniki pierwsze:
Aby żądana liczba była podzielna przez 99, 30 i 28, konieczne i wystarczające jest, aby zawierała wszystkie czynniki pierwsze tych dzielników. Aby to zrobić, musimy podnieść wszystkie czynniki pierwsze tych liczb do najwyższej występującej potęgi i pomnożyć je razem:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Zatem LCM (99, 30, 28) = 13 860. Żadna inna liczba mniejsza niż 13 860 nie jest podzielna przez 99, 30 lub 28.
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność danych liczb, musisz rozłożyć je na czynniki pierwsze, a następnie wziąć każdy czynnik pierwszy z największym wykładnikiem, z którym występuje, i pomnożyć te czynniki razem.
Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych czynników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb. Na przykład trzy liczby: 20, 49 i 33 są względnie pierwsze. Dlatego
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32340.
To samo należy zrobić, szukając najmniejszej wspólnej wielokrotności różnych liczby pierwsze. Na przykład LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Wyszukiwanie przez wybór
Drugim sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez dopasowanie.
Przykład 1. Gdy największa z podanych liczb jest równo podzielna przez inne podane liczby, to LCM tych liczb jest równy większej z nich. Np. biorąc pod uwagę cztery liczby: 60, 30, 10 i 6. Każda z nich jest podzielna przez 60, a więc:
NOC(60, 30, 10, 6) = 60
W innych przypadkach, aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, stosuje się następującą procedurę:
- Z podanych liczb wyznacz największą liczbę.
- Następnie znajdujemy liczby będące wielokrotnościami największej liczby, mnożąc ją przez liczby naturalne w kolejności rosnącej i sprawdzając, czy pozostałe podane liczby są podzielne przez wynikowy iloczyn.
Przykład 2. Biorąc pod uwagę trzy liczby 24, 3 i 18. Wyznacz największą z nich - jest to liczba 24. Następnie znajdź wielokrotności liczby 24, sprawdzając, czy każda z nich jest podzielna przez 18 i przez 3:
24 1 = 24 jest podzielne przez 3, ale nie podzielne przez 18.
24 2 = 48 - podzielne przez 3, ale niepodzielne przez 18.
24 3 \u003d 72 - podzielne przez 3 i 18.
Zatem LCM(24, 3, 18) = 72.
Wyszukiwanie metodą sekwencyjnego wyszukiwania LCM
Trzecim sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez sukcesywne znajdowanie LCM.
LCM dwóch podanych liczb jest równy iloczynowi tych liczb podzielonego przez ich największą wspólny dzielnik.
Przykład 1. Znajdź LCM dwóch podanych liczb: 12 i 8. Wyznacz ich największy wspólny dzielnik: NWD (12, 8) = 4. Pomnóż te liczby:
Produkt dzielimy na ich GCD:
Zatem LCM(12, 8) = 24.
Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, stosuje się następującą procedurę:
- Najpierw znajduje się LCM dowolnych dwóch z podanych liczb.
- Następnie LCM znalezionej najmniejszej wspólnej wielokrotności i trzeciej podany numer.
- Następnie LCM wynikowej najmniejszej wspólnej wielokrotności i czwartej liczby i tak dalej.
- Tak więc wyszukiwanie LCM trwa tak długo, jak długo istnieją liczby.
Przykład 2. Znajdźmy LCM trzech podanych liczb: 12, 8 i 9. Znaleźliśmy już LCM liczb 12 i 8 w poprzednim przykładzie (jest to liczba 24). Pozostaje znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność 24 i trzecią podaną liczbę - 9. Wyznacz ich największy wspólny dzielnik: gcd (24, 9) = 3. Pomnóż LCM przez liczbę 9:
Produkt dzielimy na ich GCD:
Zatem LCM(12, 8, 9) = 72.
Największy wspólny dzielnik
Definicja 2
Jeśli liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną $b$, to $b$ nazywamy dzielnikiem $a$, a liczbę $a$ nazywamy wielokrotnością $b$.
Niech $a$ i $b$ będą liczbami naturalnymi. Liczba $c$ jest nazywana wspólnym dzielnikiem zarówno dla $a$, jak i dla $b$.
Zbiór wspólnych dzielników liczb $a$ i $b$ jest skończony, ponieważ żaden z tych dzielników nie może być większy niż $a$. Oznacza to, że wśród tych dzielników jest największy, który nazywany jest największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$, a do jego oznaczenia służy notacja:
$gcd \ (a;b) \ lub \ D \ (a;b)$
Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb:
- Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
Przykład 1
Znajdź gcd liczb $121$ i $132.$
242 $=2\ckropka 11\ckropka 11$
$132=2\ckropka 2\ckropka 3\ckropka 11$
Wybierz liczby, które są zawarte w rozwinięciu tych liczb
242 $=2\ckropka 11\ckropka 11$
$132=2\ckropka 2\ckropka 3\ckropka 11$
Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
$gcd=2\cdot 11=22$
Przykład 2
Znajdź NWD jednomianów $63$ i $81$.
Znajdziemy według przedstawionego algorytmu. Dla tego:
Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\ckropka 3\ckropka 3\ckropka 3$
Wybieramy liczby, które są zawarte w rozwinięciu tych liczb
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\ckropka 3\ckropka 3\ckropka 3$
Znajdźmy iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
$gcd=3\cdot 3=9$
Możesz znaleźć NWD dwóch liczb w inny sposób, używając zestawu dzielników liczb.
Przykład 3
Znajdź gcd liczb $48$ i $60$.
Rozwiązanie:
Znajdź zbiór dzielników $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Teraz znajdźmy zbiór dzielników $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Znajdźmy przecięcie tych zbiorów: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ten zbiór wyznaczy zbiór wspólnych dzielników liczb $48$ i $60 $. Największym elementem w tym zestawie będzie liczba $12$. Więc największym wspólnym dzielnikiem 48$ i 60$ jest 12$.
Definicja NOC
Definicja 3
wspólna wielokrotność liczby naturalne $a$ i $b$ to liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.
Wspólne wielokrotności liczb to liczby, które są podzielne przez oryginał bez reszty. Na przykład dla liczb 25 $ i 50 $ wspólnymi wielokrotnościami będą liczby 50 100 150 200 $ itd.
Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością i oznaczona jako LCM$(a;b)$ lub K$(a;b).$
Aby znaleźć LCM dwóch liczb, potrzebujesz:
- Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
- Wypisz czynniki, które są częścią pierwszej liczby i dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiej i nie przechodzą do pierwszej
Przykład 4
Znajdź LCM liczb 99 $ i 77 $.
Znajdziemy według przedstawionego algorytmu. Dla tego
Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
99 $=3\ckropka 3\ckropka 11$
Zapisz czynniki zawarte w pierwszym
dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiego i nie przechodzą do pierwszego
Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Sporządzanie list dzielników liczb jest często bardzo czasochłonne. Istnieje sposób na znalezienie GCD zwany algorytmem Euclida.
Stwierdzenia, na których opiera się algorytm Euklidesa:
Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, a $a\vkropki b$, to $D(a;b)=b$
Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi takimi, że $b
Używając $D(a;b)= D(a-b;b)$, możemy sukcesywnie zmniejszać rozważane liczby, aż dojdziemy do takiej pary liczb, że jedna z nich jest podzielna przez drugą. Wtedy mniejsza z tych liczb będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem dla liczb $a$ i $b$.
Własności NWD i LCM
- Każda wspólna wielokrotność $a$ i $b$ jest podzielna przez K$(a;b)$
- Jeśli $a\vdots b$ , to K$(a;b)=a$
Jeśli K$(a;b)=k$ i $m$-liczba naturalna, to K$(am;bm)=km$
Jeśli $d$ jest wspólnym dzielnikiem dla $a$ i $b$, to K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Jeśli $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , to $\frac(ab)(c)$ jest wspólną wielokrotnością $a$ i $b$
Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ i $b$ równość
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Każdy wspólny dzielnik $a$ i $b$ jest dzielnikiem $D(a;b)$
Wyrażenia i zadania matematyczne wymagają dużo dodatkowej wiedzy. NOC jest jednym z głównych, szczególnie często używanych w temacie.Temat jest studiowany w szkole średniej, podczas gdy zrozumienie materiału nie jest szczególnie trudne, osoba zaznajomiona z potęgami i tabliczką mnożenia nie będzie trudna do wybrania niezbędne liczby i znajdź wynik.
Definicja
Wspólna wielokrotność to liczba, którą można całkowicie podzielić na dwie liczby jednocześnie (a i b). Najczęściej liczbę tę uzyskuje się przez pomnożenie oryginalnych liczb a i b. Liczba musi być podzielna przez obie liczby jednocześnie, bez odchyleń.
NOC to krótka nazwa, która pochodzi od pierwszych liter.
Sposoby uzyskania numeru
Aby znaleźć LCM, metoda mnożenia liczb nie zawsze jest odpowiednia, znacznie lepiej nadaje się do prostych liczb jednocyfrowych lub dwucyfrowych. Zwyczajowo dzieli się na czynniki, im większa liczba, tym więcej będzie czynników.
Przykład 1
Dla najprostszego przykładu szkoły zwykle przyjmują liczby proste, jednocyfrowe lub dwucyfrowe. Na przykład musisz rozwiązać następujące zadanie, znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 7 i 3, rozwiązanie jest dość proste, wystarczy je pomnożyć. W rezultacie jest liczba 21, po prostu nie ma mniejszej liczby.
Przykład nr 2
Druga opcja jest znacznie trudniejsza. Podano numery 300 i 1260, znalezienie LCM jest obowiązkowe. Aby rozwiązać zadanie, zakłada się następujące działania:
Rozkład pierwszej i drugiej liczby na najprostsze czynniki. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Pierwszy etap został zakończony.
Drugi etap polega na pracy z już uzyskanymi danymi. Każda z otrzymanych liczb musi brać udział w obliczaniu wyniku końcowego. Dla każdego czynnika pobierana jest największa liczba wystąpień z pierwotnych liczb. NOC jest Łączna, więc czynniki z liczb należy powtórzyć w nim do końca, nawet te, które są obecne w jednym egzemplarzu. Obie liczby początkowe mają w swoim składzie cyfry 2, 3 i 5, w różne stopnie, 7 występuje tylko w jednym przypadku.
Aby obliczyć wynik końcowy, musisz wziąć każdą liczbę w największej z reprezentowanych przez nią potęg do równania. Pozostaje tylko pomnożyć i uzyskać odpowiedź, przy prawidłowym wypełnieniu zadanie mieści się w dwóch krokach bez wyjaśnienia:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOK = 6300.
To całe zadanie, jeśli spróbujesz obliczyć żądaną liczbę przez pomnożenie, odpowiedź na pewno nie będzie poprawna, ponieważ 300 * 1260 = 378 000.
Badanie:
6300 / 300 = 21 - prawda;
6300/1260 = 5 jest poprawne.
Poprawność wyniku określa się sprawdzając - dzieląc LCM przez obie liczby początkowe, jeśli w obu przypadkach liczba jest liczbą całkowitą, to odpowiedź jest poprawna.
Co oznacza NOC w matematyce
Jak wiecie, w matematyce nie ma ani jednej bezużytecznej funkcji, ta nie jest wyjątkiem. Najczęstszym celem tej liczby jest sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Czego zwykle uczy się w klasach 5-6 liceum. Jest to również dodatkowo wspólny dzielnik dla wszystkich wielokrotności, jeśli takie warunki występują w problemie. Takie wyrażenie może znaleźć wielokrotność nie tylko dwóch liczb, ale także znacznie większej liczby - trzech, pięciu i tak dalej. Im więcej liczb - tym więcej akcji w zadaniu, ale złożoność tego nie wzrasta.
Na przykład, biorąc pod uwagę liczby 250, 600 i 1500, musisz znaleźć ich całkowity LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ten przykład szczegółowo opisuje rozkład na czynniki, bez redukcji.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Aby ułożyć wyrażenie należy podać wszystkie czynniki, w tym przypadku podane są 2, 5, 3 - dla wszystkich tych liczb należy określić stopień maksymalny.
Uwaga: wszystkie mnożniki należy doprowadzić do pełnego uproszczenia, w miarę możliwości rozkładając je do poziomu pojedynczych cyfr.
Badanie:
1) 3000 / 250 = 12 - prawda;
2) 3000 / 600 = 5 - prawda;
3) 3000 / 1500 = 2 jest poprawne.
Ta metoda nie wymaga żadnych sztuczek ani zdolności na poziomie geniuszu, wszystko jest proste i jasne.
Inny sposób
W matematyce wiele jest ze sobą powiązanych, wiele można rozwiązać na dwa lub więcej sposobów, to samo dotyczy znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności, LCM. Następującą metodę można zastosować w przypadku prostych dwucyfrowych i pojedyncze cyfry. Tworzona jest tabela, w której mnożnik jest wprowadzany pionowo, mnożnik poziomo, a iloczyn jest wskazany w przecinających się komórkach kolumny. Możesz odzwierciedlić tabelę za pomocą linii, pobierana jest liczba, a wyniki mnożenia tej liczby przez liczby całkowite są zapisywane w rzędzie, od 1 do nieskończoności, czasami wystarczy 3-5 punktów, druga i kolejne liczby są poddawane do tego samego procesu obliczeniowego. Wszystko dzieje się, dopóki nie zostanie znaleziona wspólna wielokrotność.
Biorąc pod uwagę liczby 30, 35, 42, musisz znaleźć LCM, który łączy wszystkie liczby:
1) Wielokrotność liczby 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.
2) Wielokrotności liczby 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.
3) Wielokrotności liczby 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.
Można zauważyć, że wszystkie liczby są dość różne, jedyną wspólną liczbą wśród nich jest 210, więc będzie to LCM. Wśród procesów związanych z tym obliczeniem znajduje się również największy wspólny dzielnik, który jest obliczany według podobnych zasad i często spotykany w sąsiednich problemach. Różnica jest niewielka, ale wystarczająco znacząca, LCM polega na obliczeniu liczby, która jest podzielna przez wszystkie podane wartości początkowe, a GCD zakłada obliczenie największej wartości, przez którą dzielą się liczby początkowe.
Kontynuujmy dyskusję o najmniejszej wspólnej wielokrotności, którą rozpoczęliśmy w sekcji LCM - najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady. W tym temacie przyjrzymy się sposobom znalezienia LCM dla trzech lub więcej liczb, przeanalizujemy pytanie, jak znaleźć LCM liczby ujemnej.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd
Ustaliliśmy już związek między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem. Teraz nauczmy się definiować LCM za pomocą GCD. Najpierw wymyślmy, jak to zrobić dla liczb dodatnich.
Definicja 1
Najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć za pomocą największego wspólnego dzielnika za pomocą wzoru LCM (a, b) \u003d a b: NWD (a, b) .
Przykład 1
Konieczne jest znalezienie LCM liczb 126 i 70.
Rozwiązanie
Weźmy a = 126 , b = 70 . Zastąp wartości we wzorze do obliczania najmniejszej wspólnej wielokrotności przez największy wspólny dzielnik LCM (a, b) = a · b: NWD (a, b) .
Znajduje NWD liczb 70 i 126. Do tego potrzebujemy algorytmu Euklidesa: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , stąd gcd (126 , 70) = 14 .
Obliczmy LCM: LCM (126, 70) = 126 70: NWD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Odpowiadać: LCM (126, 70) = 630.
Przykład 2
Znajdź nok liczb 68 i 34.
Rozwiązanie
NWD w tym przypadku jest łatwe do znalezienia, ponieważ 68 jest podzielne przez 34. Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność za pomocą wzoru: LCM (68, 34) = 68 34: NWD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Odpowiadać: LCM(68, 34) = 68.
W tym przykładzie zastosowaliśmy regułę znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb całkowitych dodatnich aib: jeśli pierwsza liczba jest podzielna przez drugą, to LCM tych liczb będzie równy pierwszej liczbie.
Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze
Przyjrzyjmy się teraz sposobowi znalezienia LCM, który opiera się na rozkładzie liczb na czynniki pierwsze.
Definicja 2
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musimy wykonać kilka prostych kroków:
- tworzymy iloczyn wszystkich czynników pierwszych liczb, dla których musimy znaleźć LCM;
- wykluczamy wszystkie czynniki pierwsze z ich otrzymanych iloczynów;
- iloczyn otrzymany po wyeliminowaniu wspólnych czynników pierwszych będzie równy LCM danych liczb.
Ten sposób znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności opiera się na równości LCM (a , b) = a b: NWD (a , b) . Jeśli spojrzysz na wzór, stanie się jasne: iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników, które biorą udział w rozwinięciu tych dwóch liczb. W tym przypadku NWD dwóch liczb jest równy produktowi wszystkie czynniki pierwsze, które są jednocześnie obecne w rozkładach na czynniki danych dwóch liczb.
Przykład 3
Mamy dwie liczby 75 i 210 . Możemy je rozłożyć w następujący sposób: 75 = 3 5 5 oraz 210 = 2 3 5 7. Jeśli zrobisz iloczyn wszystkich czynników dwóch oryginalnych liczb, otrzymasz: 2 3 3 5 5 5 7.
Jeśli wykluczymy czynniki wspólne dla obu liczb 3 i 5, otrzymamy iloczyn o następującej postaci: 2 3 5 5 7 = 1050. Ten produkt będzie naszym LCM dla numerów 75 i 210.
Przykład 4
Znajdź LCM liczb 441 oraz 700 , rozkładając obie liczby na czynniki pierwsze.
Rozwiązanie
Znajdźmy wszystkie czynniki pierwsze liczb podanych w warunku:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Otrzymujemy dwa łańcuchy liczb: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7 .
Iloczyn wszystkich czynników, które brały udział w ekspansji tych liczb, będzie wyglądał następująco: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Znajdźmy wspólne czynniki. Ta liczba to 7. Wykluczamy to z produktu ogólnego: 2 2 3 3 5 5 7 7. Okazuje się, że NIK (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Odpowiadać: LCM (441, 700) = 44 100.
Podajmy jeszcze jedno sformułowanie metody znajdowania LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze.
Definicja 3
Wcześniej wykluczaliśmy z ogólnej liczby czynników wspólnych dla obu liczb. Teraz zrobimy to inaczej:
- Rozłóżmy obie liczby na czynniki pierwsze:
- dodać do iloczynu czynników pierwszych pierwszej liczby brakujące czynniki drugiej liczby;
- otrzymamy iloczyn, który będzie pożądanym LCM dwóch liczb.
Przykład 5
Wróćmy do liczb 75 i 210 , których LCM szukaliśmy już w jednym z poprzednich przykładów. Podzielmy je na proste czynniki: 75 = 3 5 5 oraz 210 = 2 3 5 7. Do iloczynu czynników 3 , 5 i 5 numer 75 dodaj brakujące czynniki 2 oraz 7 numery 210 . Otrzymujemy: 2 3 5 5 7 . To jest LCM liczb 75 i 210.
Przykład 6
Konieczne jest obliczenie LCM liczb 84 i 648.
Rozwiązanie
Rozłóżmy liczby z warunku na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7 oraz 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodaj do iloczynu czynników 2 , 2 , 3 i 7
liczby 84 brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i
3
numery 648 . Otrzymujemy produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 84 i 648.
Odpowiadać: LCM (84, 648) = 4536.
Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb
Bez względu na to, z iloma liczbami mamy do czynienia, algorytm naszych działań będzie zawsze ten sam: konsekwentnie będziemy znajdować LCM dwóch liczb. Istnieje twierdzenie dla tego przypadku.
Twierdzenie 1
Załóżmy, że mamy liczby całkowite za 1 , za 2 , … , za k. NOC m k tych liczb można znaleźć w obliczeniach sekwencyjnych m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Przyjrzyjmy się teraz, jak to twierdzenie można zastosować do konkretnych problemów.
Przykład 7
Musisz obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .
Rozwiązanie
Wprowadźmy zapis: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.
Zacznijmy od obliczenia m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Użyjmy algorytmu Euklidesa do obliczenia NWD liczb 140 i 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Otrzymujemy: NWD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: NWD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Zatem m2 = 1 260 .
Teraz obliczmy według tego samego algorytmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . W trakcie obliczeń otrzymujemy m 3 = 3 780.
Pozostaje nam obliczyć m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Działamy według tego samego algorytmu. Otrzymujemy m 4 \u003d 94 500.
LCM czterech liczb z przykładowego warunku to 94500 .
Odpowiadać: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Jak widać obliczenia są proste, ale dość pracochłonne. Aby zaoszczędzić czas, możesz przejść w drugą stronę.
Definicja 4
Oferujemy Państwu następujący algorytm działań:
- rozłożyć wszystkie liczby na czynniki pierwsze;
- do iloczynu czynników pierwszej liczby dodaj brakujące czynniki z iloczynu drugiej liczby;
- dodać brakujące czynniki trzeciej liczby do iloczynu otrzymanego na poprzednim etapie itp.;
- wynikowy iloczyn będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich liczb z warunku.
Przykład 8
Należy znaleźć LCM pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Rozwiązanie
Rozłóżmy wszystkie pięć liczb na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Liczb pierwszych, czyli liczby 7, nie można rozłożyć na czynniki pierwsze. Takie liczby pokrywają się z ich rozkładem na czynniki pierwsze.
Teraz weźmy iloczyn czynników pierwszych 2, 2, 3 i 7 liczby 84 i dodajmy do nich brakujące czynniki drugiej liczby. Rozłożyliśmy liczbę 6 na 2 i 3. Te czynniki są już w iloczynie pierwszej liczby. Dlatego je pomijamy.
Kontynuujemy dodawanie brakujących mnożników. Zwracamy się do liczby 48, z iloczynu czynników pierwszych, z których bierzemy 2 i 2. Następnie dodajemy prosty czynnik 7 z czwartej liczby i czynniki 11 i 13 z piątej. Otrzymujemy: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność pięciu liczb pierwotnych.
Odpowiadać: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczby ujemne, liczby te należy najpierw zastąpić liczbami o przeciwnym znaku, a następnie przeprowadzić obliczenia zgodnie z powyższymi algorytmami.
Przykład 9
LCW(54, −34) = LCW(54, 34) i LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Takie działania są dopuszczalne z uwagi na to, że jeśli się to przyjmie a oraz − za- liczby przeciwne
następnie zbiór wielokrotności a pokrywa się ze zbiorem wielokrotności liczby − za.
Przykład 10
Konieczne jest obliczenie LCM liczb ujemnych − 145 oraz − 45 .
Rozwiązanie
Zmieńmy liczby − 145 oraz − 45 do ich przeciwnych liczb 145 oraz 45 . Teraz za pomocą algorytmu obliczamy LCM (145 , 45) = 145 45: NWD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , po uprzednim wyznaczeniu NWD za pomocą algorytmu Euclid.
Otrzymujemy, że LCM liczb − 145 i − 45 równa się 1 305 .
Odpowiadać: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Aby zrozumieć, jak obliczyć LCM, należy najpierw ustalić znaczenie terminu „wielokrotność”.
Wielokrotność liczby A jest liczbą naturalną podzielną bez reszty przez A. Zatem 15, 20, 25 itd. można uznać za wielokrotności liczby 5.
Może istnieć ograniczona liczba dzielników określonej liczby, ale istnieje nieskończona liczba wielokrotności.
Wspólna wielokrotność liczb naturalnych to liczba, która jest przez nie podzielna bez reszty.
Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb
Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb (dwa, trzy lub więcej) to najmniejsza liczba naturalna, która jest równo podzielna przez wszystkie te liczby.
Aby znaleźć NOC, możesz użyć kilku metod.
W przypadku małych liczb wygodnie jest wypisać w wierszu wszystkie wielokrotności tych liczb, aż znajdzie się wśród nich wspólny. Wielokrotności są oznaczane w rekordzie dużą literą K.
Na przykład wielokrotności liczby 4 można zapisać w następujący sposób:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Widać więc, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest liczba 24. Wpis ten wykonywany jest w następujący sposób:
LCM(4, 6) = 24
Jeśli liczby są duże, znajdź wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, wtedy lepiej jest użyć innego sposobu obliczenia LCM.
Aby wykonać zadanie, należy rozłożyć zaproponowane liczby na czynniki pierwsze.
Najpierw musisz napisać rozwinięcie największej z liczb w linii, a pod nią - resztę.
W rozwinięciu każdej liczby może być inna ilość mnożniki.
Na przykład rozłóżmy liczby 50 i 20 na czynniki pierwsze.
W rozwinięciu mniejszej liczby należy podkreślić czynniki, których nie ma w rozwinięciu pierwszej. duża liczba a następnie dodać je do niego. W przedstawionym przykładzie brakuje dwójki.
Teraz możemy obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 20 i 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
A więc iloczyn czynników pierwszych jeszcze a czynniki drugiej liczby, które nie wchodzą w rozwinięcie większej liczby, będą najmniejszą wspólną wielokrotnością.
Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, należy je wszystkie rozłożyć na czynniki pierwsze, tak jak w poprzednim przypadku.
Jako przykład możesz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Tak więc tylko dwie dwójki z rozkładu szesnastu nie zostały uwzględnione w rozkładzie na czynniki większej liczby (jedna jest w rozkładzie dwudziestu czterech).
Dlatego należy je dodać do rozkładu większej liczby.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Istnieją szczególne przypadki wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności. Tak więc, jeśli jedną z liczb można podzielić bez reszty przez inną, to większa z tych liczb będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.
Na przykład NOC liczące dwanaście i dwadzieścia cztery osoby miałyby dwadzieścia cztery.
Jeśli konieczne jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb względnie pierwszych, które nie mają tych samych dzielników, to ich LCM będzie równy ich iloczynowi.
Na przykład LCM(10, 11) = 110.