Kalkulator online Redukcja ułamków zwykłych (niewłaściwych, mieszanych). Jak zmniejszyć ułamki algebraiczne

Kalkulator online działa redukcja ułamków algebraicznych zgodnie z zasadą redukcji ułamków: zastąpienie ułamka pierwotnego ułamkiem równym, ale o mniejszym liczniku i mianowniku, tj. jednoczesne dzielenie licznika i mianownika ułamka przez ich wspólną największą wspólny dzielnik(GCD). Wyświetlany jest również kalkulator szczegółowe rozwiązanie, co pomoże Ci zrozumieć kolejność wykonywania redukcji.

Dany:

Rozwiązanie:

Robienie redukcji ułamków

weryfikacja możliwości przeprowadzenia redukcji ułamka algebraicznego

1) Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika (NWD) licznika i mianownika ułamka

wyznaczanie największego wspólnego dzielnika (wcd) licznika i mianownika ułamka algebraicznego

2) Zmniejszenie licznika i mianownika ułamka

redukcja licznika i mianownika ułamka algebraicznego

3) Wybór części całkowitej ułamka

wyodrębnianie części całkowitej ułamka algebraicznego

4) Konwersja ułamka algebraicznego na ułamek dziesiętny

zamiana ułamka algebraicznego na dziesiętny

Pomoc w rozwoju projektu strony

Drogi odwiedzający witrynę.
Jeśli nie znalazłeś tego, czego szukałeś - koniecznie napisz o tym w komentarzach, czego obecnie brakuje na stronie. Pomoże nam to zrozumieć, w jakim kierunku musimy iść dalej, a inni odwiedzający wkrótce będą mogli zdobyć niezbędny materiał.
Jeśli witryna okazała się dla Ciebie przydatna, przekaż ją do projektu tylko 2 ₽ i będziemy wiedzieć, że idziemy we właściwym kierunku.

Dziękuję, że nie przechodzisz obok!

I. Procedura redukcji ułamka algebraicznego za pomocą kalkulatora online:

Aby skrócić ułamek algebraiczny, w odpowiednie pola wpisz wartości licznika i mianownika ułamka. Jeżeli ułamek jest mieszany, to uzupełnij również pole odpowiadające części całkowitej ułamka. Jeśli ułamek jest prosty, pozostaw puste pole części całkowitej.
Aby określić ułamek ujemny, wstaw znak minus w części całkowitej ułamka.
W zależności od podanego ułamka algebraicznego automatycznie wykonywana jest następująca sekwencja działań:

wyznaczanie największego wspólnego dzielnika (NWD) licznika i mianownika ułamka;
redukcja licznika i mianownika ułamka przez gcd;
wyodrębnianie części całkowitej ułamka jeśli licznik końcowego ułamka jest większy niż mianownik.
zamiana końcowego ułamka algebraicznego na ułamek dziesiętny zaokrąglone do części setnych.

Wynikiem redukcji może być ułamek niewłaściwy. W takim przypadku końcowy ułamek niewłaściwy będzie miał wybraną część całkowitą, a końcowy ułamek zostanie przekonwertowany na ułamek właściwy.

II. Na przykład:

Ułamek to liczba składająca się z jednej lub więcej części (ułamków) jednostki. Ułamek zwykły (ułamek prosty) jest zapisywany jako dwie liczby (licznik ułamka i mianownik ułamka), oddzielone poziomą kreską (słupkiem ułamkowym), oznaczającą znak podziału. Licznik ułamka to liczba nad kreską ułamkową. Licznik pokazuje, ile części zostało wziętych z całości. Mianownik ułamka to liczba pod kreską ułamkową. Mianownik pokazuje, na ile równych części podzielono całość. Ułamek prosty to ułamek, który nie ma części całkowitej. Prosty ułamek może być poprawny lub błędny. Ułamek właściwy to ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika, więc ułamek właściwy jest zawsze mniejszy od jeden. Przykład poprawnych ułamków: 8/7, 11/19, 16/17. Ułamek niewłaściwy to ułamek, którego licznik jest większy lub równy mianownikowi, więc ułamek niewłaściwy jest zawsze większy lub równy jeden. Przykład ułamków niewłaściwych: 7/6, 8/7, 13/13. ułamek mieszany - liczba zawierająca liczbę całkowitą i ułamek właściwy oraz oznaczająca sumę tej liczby całkowitej i ułamka właściwego. Każdy ułamek mieszany można zamienić na niewłaściwy prosty ułamek. Przykład frakcje mieszane: 1¼, 2½, 4¾.

III. Notatka:

Podświetlony blok danych źródłowych żółty , podświetlony blok obliczeń pośrednich niebieski kolor , blok rozwiązania podświetlony na zielono.
Do dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych lub mieszanych użyj kalkulatora ułamków online ze szczegółowym rozwiązaniem.

Na podstawie ich głównej właściwości: jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez ten sam niezerowy wielomian, otrzymamy ułamek równy temu.

Możesz tylko zmniejszyć mnożniki!

Składników wielomianów nie można zredukować!

Aby zredukować ułamek algebraiczny, należy najpierw rozłożyć wielomiany w liczniku i mianowniku.

Rozważ przykłady redukcji frakcji.

Licznik i mianownik ułamka to jednomiany. Oni reprezentują praca(liczby, zmienne i ich stopnie), mnożniki możemy zmniejszyć.

Liczby zmniejszamy o ich największy wspólny dzielnik, czyli o więcej, przez który każda z podanych liczb jest podzielna. Dla 24 i 36 jest to 12. Po redukcji z 24 pozostaje 2, z 36 - 3.

Zmniejszamy stopnie o stopień z najmniejszym wskaźnikiem. Zmniejszenie ułamka oznacza podzielenie licznika i mianownika przez ten sam dzielnik i odjęcie wykładników.

a² i a⁷ są zmniejszone o a². Jednocześnie w liczniku z a² pozostaje jedynka (1 piszemy tylko wtedy, gdy po redukcji nie ma już innych czynników. Z 24 zostaje 2, więc nie zapisujemy 1 pozostałego z a²). Z a⁷ po redukcji pozostaje a⁵.

b i b są skracane przez b, wynikowe jednostki nie są zapisywane.

c³º i c⁵ są zmniejszone o c⁵. Z c³º pozostaje c²⁵, z c⁵ - jednostka (nie piszemy tego). Zatem,

Licznik i mianownik tego ułamka algebraicznego to wielomiany. Nie można zredukować wyrazów wielomianów! (nie można zmniejszyć, na przykład 8x² i 2x!). Aby zmniejszyć tę frakcję, jest to konieczne. Licznik ma wspólny czynnik 4x. Wyjmijmy to z nawiasów:

Zarówno licznik, jak i mianownik mają ten sam dzielnik (2x-3). Zmniejszamy ułamek o ten czynnik. W liczniku mamy 4x, w mianowniku 1. Zgodnie z 1 właściwością ułamków algebraicznych ułamek wynosi 4x.

Możesz tylko zmniejszyć czynniki (nie możesz zmniejszyć danego ułamka o 25x²!). Dlatego wielomiany w liczniku i mianowniku ułamka muszą być rozłożone na czynniki.

Licznik to pełny kwadrat sumy, a mianownik to różnica kwadratów. Po rozwinięciu za pomocą wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy:

Zmniejszamy ułamek o (5x + 1) (w tym celu wykreśl dwa w liczniku jako wykładnik, z (5x + 1) ² to wyjdzie (5x + 1)):

Licznik ma wspólny dzielnik 2, wyjmijmy go z nawiasów. W mianowniku - wzór na różnicę kostek:

W wyniku rozwinięcia licznika i mianownika otrzymaliśmy ten sam dzielnik (9 + 3a + a²). Zmniejszamy na nim ułamek:

Wielomian w liczniku składa się z 4 wyrazów. pierwszy wyraz z drugim, trzeci z czwartym, a z pierwszych nawiasów wyciągamy wspólny czynnik x². Rozkładamy mianownik zgodnie ze wzorem na sumę kostek:

W liczniku usuwamy z nawiasów wspólny czynnik (x + 2):

Zmniejszamy ułamek o (x + 2):

W tym artykule szczegółowo przeanalizujemy, w jaki sposób redukcja frakcji. Najpierw porozmawiajmy o tym, co nazywa się redukcją frakcji. Następnie porozmawiajmy o redukcji ułamka redukowalnego do postaci nieredukowalnej. Następnie otrzymujemy regułę zmniejszania ułamków i wreszcie rozważymy przykłady zastosowania tej reguły.

Nawigacja po stronie.

Co to znaczy skrócić ułamek?

Wiemy, że ułamki zwykłe dzielą się na ułamki redukowalne i nieredukowalne. Z nazw można się domyślić, że ułamki redukowalne można skrócić, ale nieredukowalne nie.

Co to znaczy skrócić ułamek? Zmniejsz ułamek- oznacza to podzielenie jej licznika i mianownika przez ich dodatnią i niejedność. Oczywiste jest, że w wyniku redukcji ułamka otrzymuje się nowy ułamek z mniejszym licznikiem i mianownikiem, a ze względu na główną właściwość ułamka uzyskany ułamek jest równy ułamkowi pierwotnemu.

Na przykład skróćmy ułamek zwykły 8/24, dzieląc jego licznik i mianownik przez 2. Innymi słowy, skróćmy ułamek 8/24 o 2. Ponieważ 8:2=4 i 24:2=12, w wyniku tej redukcji otrzymujemy ułamek 4/12, który jest równy pierwotnemu ułamkowi 8/24 (patrz ułamki równe i nierówne). W efekcie mamy.

Redukcja ułamków zwykłych do postaci nieredukowalnej

Zwykle końcowym celem redukcji ułamka jest uzyskanie ułamka nieredukowalnego, który jest równy pierwotnemu ułamkowi redukowalnemu. Cel ten można osiągnąć, zmniejszając pierwotny ułamek zredukowany o jego licznik i mianownik. Ta redukcja zawsze skutkuje ułamkiem nieredukowalnym. Rzeczywiście, ułamek jest nieredukowalny, ponieważ wiadomo, że I - . Tutaj mówimy, że największym wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika ułamka jest Największa liczba, o którą ten ułamek można zmniejszyć.

Więc, redukcja ułamka zwykłego do postaci nieredukowalnej polega na podzieleniu licznika i mianownika pierwotnego ułamka zredukowanego przez ich NWD.

Przeanalizujmy przykład, dla którego wracamy do ułamka 8/24 i redukujemy go o największy wspólny dzielnik liczb 8 i 24, który jest równy 8. Ponieważ 8:8=1 i 24:8=3, dochodzimy do nieredukowalnego ułamka 1/3. Więc, .

Zauważ, że wyrażenie „skróć ułamek” często oznacza zredukowanie pierwotnego ułamka do postaci nieredukowalnej. Innymi słowy, redukcja ułamków jest bardzo często określana jako dzielenie licznika i mianownika przez ich największy wspólny dzielnik (a nie przez żaden z ich wspólnych dzielników).

Jak skrócić ułamek? Reguła i przykłady redukcji ułamków

Pozostaje tylko przeanalizować regułę zmniejszania ułamków, która wyjaśnia, jak zmniejszyć ten ułamek.

Reguła redukcji ułamków składa się z dwóch kroków:

najpierw znajduje się NWD licznika i mianownika ułamka;
po drugie, licznik i mianownik ułamka są dzielone przez ich NWD, co daje ułamek nieredukowalny równy ułamkowi pierwotnemu.

Przeanalizujmy przykład redukcji frakcji według podanej zasady.

Przykład.

Skróć ułamek 182/195.

Rozwiązanie.

Zróbmy oba kroki opisane przez regułę redukcji ułamków.

Najpierw znajdujemy gcd(182, 195) . Najwygodniej jest użyć algorytmu Euclid (patrz): 195=182 1+13 , 182=13 14 , czyli gcd(182, 195)=13 .

Teraz dzielimy licznik i mianownik ułamka 182/195 przez 13, otrzymując ułamek nierozkładalny 14/15, który jest równy ułamkowi pierwotnemu. To kończy redukcję frakcji.

W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób:

Odpowiedź:

Na tym, przy redukcji ułamków, możesz zakończyć. Aby jednak uzupełnić obraz, rozważmy jeszcze dwa sposoby zmniejszania ułamków, które są zwykle stosowane w łagodnych przypadkach.

Czasami licznik i mianownik ułamka zredukowanego jest łatwy. Zmniejszenie ułamka w tym przypadku jest bardzo proste: wystarczy usunąć wszystkie wspólne czynniki z licznika i mianownika.

Warto zauważyć, że metoda ta wynika bezpośrednio z zasady redukcji ułamków, gdyż iloczyn wszystkich wspólnych czynników pierwszych licznika i mianownika jest równy ich największemu wspólnemu dzielnikowi.

Spójrzmy na przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Skróć ułamek 360/2940.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy licznik i mianownik na czynniki pierwsze: 360=2 2 2 3 3 5 i 2940=2 2 3 5 7 7 . Zatem, .

Teraz pozbywamy się wspólnych czynników w liczniku i mianowniku, dla wygody po prostu je przekreślamy: .

Na koniec mnożymy pozostałe czynniki: , i redukcja ułamka jest zakończona.

Oto podsumowanie rozwiązania: .

Odpowiedź:

Rozważ inny sposób zmniejszenia ułamka, który polega na redukcji sekwencyjnej. Tutaj na każdym kroku ułamek jest zmniejszany przez jakiś wspólny dzielnik licznika i mianownika, który jest albo oczywisty, albo łatwy do wyznaczenia za pomocą

Ostatnim razem stworzyliśmy plan, po którym możesz nauczyć się szybko skracać ułamki. Rozważmy teraz konkretne przykłady redukcji frakcji.

Przykłady.

Sprawdzamy, czy większa liczba jest podzielna przez mniejszą (licznik przez mianownik czy mianownik przez licznik)? Tak, we wszystkich trzech przykładach większa liczba jest podzielna przez mniejszą. W ten sposób zmniejszamy każdy ułamek o mniejszą z liczb (o licznik lub mianownik). Mamy:

Sprawdź, czy większa liczba jest podzielna przez mniejszą? Nie, nie udostępnia.

Następnie przechodzimy do sprawdzenia kolejnego punktu: czy zapis zarówno licznika, jak i mianownika kończy się jednym, dwoma lub większą liczbą zer? W pierwszym przykładzie licznik i mianownik kończą się zerem, w drugim - dwoma zerami, w trzecim - trzema zerami. Tak więc zmniejszamy pierwszy ułamek o 10, drugi o 100, a trzeci o 1000:

Uzyskaj ułamki nieredukowalne.

Większa liczba nie jest podzielna przez mniejszą, zapis liczb nie kończy się na zerach.

Teraz sprawdzamy, czy licznik i mianownik są w tej samej kolumnie w tabliczce mnożenia? 36 i 81 są podzielne przez 9, 28 i 63 - przez 7, a 32 i 40 - przez 8 (też są podzielne przez 4, ale jeśli jest wybór, zawsze zmniejszymy o więcej). W ten sposób dochodzimy do odpowiedzi:

Wszystkie otrzymane liczby są ułamkami nieredukowalnymi.

Większa liczba nie jest podzielna przez mniejszą. Ale zapis zarówno licznika, jak i mianownika kończy się na zero. Zmniejszamy więc ułamek o 10:

Ułamek ten można jeszcze zmniejszyć. Sprawdzamy zgodnie z tabliczką mnożenia: zarówno 48, jak i 72 dzielimy przez 8. Zmniejszamy ułamek o 8:

Możemy również zmniejszyć wynikowy ułamek o 3:

Ten ułamek jest nieredukowalny.

Większa liczba nie jest podzielna przez mniejszą. Rekord licznika i mianownika kończy się na zero, więc zmniejszamy ułamek o 10.

Sprawdzamy otrzymane liczby w liczniku i mianowniku dla i . Ponieważ suma cyfr zarówno 27, jak i 531 jest podzielna przez 3 i 9, ułamek ten można skrócić zarówno o 3, jak i o 9. Wybieramy większy i zmniejszamy o 9. Otrzymujemy ułamek nieredukowalny.

Nie wiedząc, jak skrócić ułamek i nie mając stabilnej umiejętności rozwiązywania takich przykładów, bardzo trudno jest uczyć się algebry w szkole. Im dalej tym więcej na podstawowej wiedzy o redukcji ułamki zwykłe dodawane są nowe informacje. Najpierw są stopnie, potem czynniki, które później stają się wielomianami.

Jak tu się nie pomylić? Gruntownie utrwal umiejętności z poprzednich tematów i stopniowo przygotowuj się do wiedzy o tym, jak skrócić ułamek, który z roku na rok staje się coraz bardziej skomplikowany.

Podstawowa wiedza

Bez nich nie będzie można poradzić sobie z zadaniami na żadnym poziomie. Aby zrozumieć, musisz zrozumieć dwa proste chwile. Po pierwsze, możesz tylko zmniejszać mnożniki. Ten niuans okazuje się bardzo ważny, gdy w liczniku lub mianowniku występują wielomiany. Następnie musisz wyraźnie rozróżnić, gdzie jest mnożnik, a gdzie jest termin.

Drugi punkt mówi, że każdą liczbę można przedstawić jako czynniki. Co więcej, wynikiem redukcji jest taki ułamek, którego licznika i mianownika nie można już zmniejszyć.

Zasady skracania ułamków zwykłych

Pierwszą rzeczą do sprawdzenia jest to, czy licznik jest podzielny przez mianownik lub odwrotnie. Następnie o tę liczbę musisz zmniejszyć. To najłatwiejsza opcja.

Drugi to analiza wygląd liczby. Jeśli oba kończą się jednym lub więcej zerami, można je zmniejszyć o 10, 100 lub tysiąc. Tutaj możesz zobaczyć, czy liczby są parzyste. Jeśli tak, możesz bezpiecznie zmniejszyć o dwa.

Trzecią zasadą skracania ułamka jest rozkład licznika i mianownika na czynniki pierwsze. W tej chwili musisz aktywnie wykorzystywać całą wiedzę o znakach podzielności liczb. Po takim rozkładzie pozostaje tylko znaleźć wszystkie powtarzające się, pomnożyć je i zmniejszyć o wynikową liczbę.

Co jeśli ułamek zawiera wyrażenie algebraiczne?

Tu pojawiają się pierwsze trudności. Bo tu pojawiają się terminy, które mogą być tożsame z czynnikami. Naprawdę chcę je ściąć, ale nie mogę. Zanim ułamek algebraiczny będzie mógł zostać zredukowany, musi zostać przekształcony tak, aby miał dzielniki.

Będzie to wymagało kilku kroków. Być może będziesz musiał przejrzeć je wszystkie, a może pierwszy z nich da odpowiednią opcję.

Sprawdź, czy licznik i mianownik lub zawarte w nich wyrażenie różnią się znakiem. W takim przypadku wystarczy wyjąć nawiasy minus jeden. Powoduje to identyczne mnożniki, które można zmniejszyć.

Sprawdź, czy wspólny czynnik można wziąć w nawias z wielomianu. Być może okaże się to nawiasem, który można również zmniejszyć, lub będzie to wyjęty jednomian.

Spróbuj przeprowadzić grupowanie jednomianów, aby następnie wyodrębnić z nich wspólny czynnik. Potem może się okazać, że pojawią się czynniki, które można zredukować, czyli znowu ujęcie w nawias elementów wspólnych.

Spróbuj rozważyć na piśmie formułę skróconego mnożenia. Z ich pomocą łatwo będzie zamienić wielomian na czynniki.

Sekwencja działań z ułamkami o potęgach

Aby łatwo zrozumieć pytanie, jak zmniejszyć ułamek o stopnie, musisz mocno pamiętać o podstawowych czynnościach z nimi. Pierwszy z nich związany jest z mnożeniem potęg. W takim przypadku, jeśli podstawy są takie same, należy dodać wskaźniki.

Drugi to podział. Ponownie, dla tych, które mają tę samą podstawę, wskaźniki będą musiały zostać odjęte. Co więcej, musisz odjąć od liczby, która jest w dywidendzie, a nie odwrotnie.

Trzeci to potęgowanie. W tej sytuacji wskaźniki są zwielokrotnione.

Pomyślna redukcja będzie również wymagać umiejętności zmniejszania stopni do te same podstawy. To znaczy zobaczyć, że cztery to dwa do kwadratu. Lub 27 to sześcian trzech. Ponieważ cięcie 9 do kwadratu i 3 do sześcianu jest trudne. Ale jeśli przekonwertujesz pierwsze wyrażenie na (3 2) 2 , to redukcja się powiedzie.