Równania

Jak rozwiązywać równania?

W tej części przypomnimy sobie (lub przestudiujemy, w zależności od tego, kogo wybierzesz) najbardziej elementarne równania. Jakie jest więc równanie? Z ludzkiego punktu widzenia jest to pewnego rodzaju wyrażenie matematyczne, gdzie jest znak równości i niewiadoma. Co jest zwykle oznaczone literą "X". Rozwiązać równanie- polega to na znalezieniu takich wartości x, które po podstawieniu do oryginalny wyrażenie da nam poprawną tożsamość. Przypomnę, że tożsamość to wyraz nie budzący wątpliwości nawet dla osoby absolutnie nieobciążonej wiedzą matematyczną. Jak 2=2, 0=0, ab=ab itd. Jak zatem rozwiązywać równania? Rozwiążmy to.

Istnieje wiele rodzajów równań (jestem zaskoczony, prawda?). Ale całą ich nieskończoną różnorodność można podzielić tylko na cztery typy.

4. Inny.)

Cała reszta oczywiście przede wszystkim tak...) Obejmuje to sześcienne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i wszelkiego rodzaju inne. Będziemy z nimi ściśle współpracować w odpowiednich sekcjach.

Od razu powiem, że czasami równania pierwsze trzy oszukają typy tak bardzo, że nawet ich nie rozpoznasz… Nic. Dowiemy się jak je rozluźnić.

I dlaczego potrzebujemy tych czterech typów? I co wtedy równania liniowe rozwiązać w jeden sposób kwadrat inni, wymierne ułamkowe - trzecie, A odpoczynek Wcale się nie odważą! No cóż, to nie tak, że w ogóle nie potrafią się zdecydować, tylko że się myliłem z matematyką.) Po prostu dla nich są swoje własne specjalne ruchy i metody.

Ale dla każdego (powtarzam - dla każdy!) równania zapewniają niezawodną i niezawodną podstawę do rozwiązywania. Działa wszędzie i zawsze. Ten podkład - Brzmi przerażająco, ale jest bardzo prosty. I bardzo (Bardzo!) ważny.

Właściwie rozwiązanie równania składa się z tych właśnie przekształceń. 99% Odpowiedz na pytanie: " Jak rozwiązywać równania?” leży właśnie w tych przekształceniach. Czy podpowiedź jest jasna?)

Identyczne przekształcenia równań.

W dowolne równania Aby znaleźć nieznane, musisz przekształcić i uprościć oryginalny przykład. I tak przy zmianie wygląd istota równania nie uległa zmianie. Takie przekształcenia nazywane są identyczny lub odpowiednik.

Należy pamiętać, że te przekształcenia mają zastosowanie konkretnie do równań. Transformacje tożsamościowe występują także w matematyce wyrażenia. To jest inny temat.

Teraz powtórzymy wszystko, wszystko, wszystko podstawowe identyczne przekształcenia równań.

Podstawowe, bo można do nich zastosować każdy równania - liniowe, kwadratowe, ułamkowe, trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne itp. i tak dalej.

Pierwsza transformacja tożsamości: możesz dodawać (odejmować) po obu stronach dowolnego równania każdy(ale jedna i ta sama!) liczba lub wyrażenie (w tym wyrażenie z niewiadomą!). Nie zmienia to istoty równania.

Nawiasem mówiąc, ciągle korzystałeś z tej transformacji, po prostu myślałeś, że przenosisz niektóre wyrazy z jednej części równania do drugiej poprzez zmianę znaku. Typ:

Sprawa jest znana, przesuwamy oba w prawo i otrzymujemy:

Właściwie ty zabrany z obu stron równania wynosi dwa. Wynik jest taki sam:

x+2 - 2 = 3 - 2

Przesuwanie terminów w lewo i w prawo wraz ze zmianą znaku jest po prostu skróconą wersją pierwszego transformacja tożsamości. I po co nam tak głęboka wiedza? - ty pytasz. Nic w równaniach. Na litość boską, wytrzymaj. Tylko nie zapomnij zmienić znaku. Ale w przypadku nierówności nawyk przenoszenia może prowadzić w ślepy zaułek...

Druga transformacja tożsamości: obie strony równania można pomnożyć (podzielić) przez to samo niezerowy liczba lub wyrażenie. Tutaj pojawia się już zrozumiałe ograniczenie: mnożenie przez zero jest głupie, a dzielenie jest całkowicie niemożliwe. To jest transformacja, której używasz, gdy rozwiązujesz coś fajnego

Jest jasne X= 2. Jak to znalazłeś? Przez wybór? A może po prostu do ciebie dotarło? Aby nie wybierać i nie czekać na wgląd, musisz zrozumieć, że jesteś sprawiedliwy dzielimy obie strony równania przez 5. Dzieląc lewą stronę (5x), pięć zostało zmniejszone, pozostawiając czyste X. Właśnie tego potrzebowaliśmy. A dzieląc prawą stronę (10) przez pięć, otrzymamy oczywiście dwa.

To wszystko.

To zabawne, ale te dwie (tylko dwie!) identyczne transformacje są podstawą rozwiązania wszystkie równania matematyczne. Wow! Warto przyjrzeć się przykładom tego, co i jak, prawda?)

Przykłady identycznych przekształceń równań. Główne problemy.

Zacznijmy Pierwszy transformacja tożsamości. Przenieś lewo-prawo.

Przykład dla młodszych.)

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujące równanie:

3-2x = 5-3x

Przypomnijmy zaklęcie: „z X – w lewo, bez X – w prawo!” To zaklęcie jest instrukcją użycia pierwszej transformacji tożsamości.) Jakie wyrażenie z X znajduje się po prawej stronie? 3x? Odpowiedź jest błędna! Po naszej prawej stronie - 3x! Minus trzy x! Dlatego podczas przesuwania się w lewo znak zmieni się na plus. Okaże się:

3-2x+3x=5

Zatem X zostały zebrane w stos. Przejdźmy do liczb. Po lewej stronie jest trójka. Z jakim znakiem? Odpowiedź „bez żadnego” nie jest akceptowana!) Przed trzema rzeczywiście nic nie jest rysowane. A to oznacza, że ​​​​przed trzema jest plus. Więc matematycy zgodzili się. Nic nie jest napisane, to znaczy plus. Dlatego potrójna zostanie przeniesiona na prawą stronę z minusem. Otrzymujemy:

-2x+3x=5-3

Pozostały już tylko drobnostki. Po lewej stronie - przynieś podobne, po prawej - policz. Odpowiedź przychodzi od razu:

W tym przykładzie wystarczyła jedna transformacja tożsamości. Drugi nie był już potrzebny. No cóż.)

Przykład dla starszych dzieci.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystuje się je w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Człowiek używał równań w czasach starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. Równania potęgowe lub wykładnicze to równania, w których zmienne są potęgami, a podstawą jest liczba. Na przykład:

Rozwiązanie równania wykładniczego sprowadza się do dwóch dość prostych kroków:

1. Musisz sprawdzić, czy podstawy równania po prawej i lewej stronie są takie same. Jeśli przyczyny nie są takie same, szukamy opcji rozwiązania tego przykładu.

2. Gdy podstawy staną się takie same, zrównujemy stopnie i rozwiązujemy powstałe nowe równanie.

Załóżmy, że mamy równanie wykładnicze w następującej postaci:

Rozwiązanie tego równania warto rozpocząć od analizy bazy. Podstawy są różne - 2 i 4, ale do rozwiązania potrzebujemy, żeby były takie same, więc przekształcamy 4 za pomocą następującego wzoru -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Do pierwotnego równania dodajemy:

Wyjmijmy to z nawiasów \

Wyraźmy \

Ponieważ stopnie są takie same, odrzucamy je:

Odpowiedź: \

Gdzie mogę rozwiązać równanie wykładnicze za pomocą narzędzia online?

Równanie możesz rozwiązać na naszej stronie internetowej https://site. Bezpłatny solwer online pozwoli Ci rozwiązać równania online o dowolnej złożoności w ciągu kilku sekund. Wystarczy, że wprowadzisz swoje dane do solwera. Możesz także obejrzeć instrukcje wideo i dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej. A jeśli nadal masz pytania, możesz je zadać w naszej grupie VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze chętnie Ci pomożemy.

Na etapie przygotowania do egzaminu końcowego uczniowie szkół średnich muszą udoskonalić swoją wiedzę na temat „Równania wykładnicze”. Doświadczenia ostatnich lat wskazują, że tego typu zadania sprawiają uczniom pewne trudności. Dlatego licealiści, niezależnie od poziomu przygotowania, muszą dokładnie opanować teorię, zapamiętać wzory i zrozumieć zasadę rozwiązywania takich równań. Nauczywszy się radzić sobie z tego typu problemami, absolwenci mogą liczyć na wysokie wyniki przy zdaniu Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki.

Przygotuj się do testów egzaminacyjnych z Shkolkovo!

Przeglądając przestudiowany materiał, wielu uczniów staje przed problemem znalezienia wzorów potrzebnych do rozwiązania równań. Podręcznik szkolny nie zawsze jest pod ręką i wybór niezbędne informacje poruszanie tego tematu w Internecie zajmuje dużo czasu.

Portal edukacyjny Shkolkovo zaprasza uczniów do korzystania z naszej bazy wiedzy. Realizujemy całkowicie nowa metoda przygotowanie do egzaminu końcowego. Studiując na naszej stronie, będziesz w stanie zidentyfikować luki w wiedzy i zwrócić uwagę na te zadania, które sprawiają najwięcej trudności.

Nauczyciele Shkolkovo zebrali, usystematyzowali i przedstawili wszystko, co niezbędne pomyślne Materiał do egzaminu Unified State w najprostszej i najbardziej przystępnej formie.

Podstawowe definicje i wzory przedstawiono w części „Podstawy teoretyczne”.

Aby lepiej zrozumieć materiał, zalecamy przećwiczenie wykonywania zadań. Dokładnie przejrzyj przykłady przedstawione na tej stronie. równania wykładnicze z rozwiązaniem, aby zrozumieć algorytm obliczeniowy. Następnie przejdź do wykonywania zadań w sekcji „Katalogi”. Możesz zacząć od najłatwiejszych zadań lub przejść od razu do rozwiązywania złożonych równań wykładniczych z kilkoma niewiadomymi lub . Baza ćwiczeń na naszej stronie jest na bieżąco uzupełniana i aktualizowana.

Te przykłady ze wskaźnikami, które sprawiły Ci trudności, możesz dodać do „Ulubionych”. W ten sposób możesz szybko je znaleźć i omówić rozwiązanie ze swoim nauczycielem.

Aby pomyślnie zdać ujednolicony egzamin państwowy, codziennie ucz się na portalu Shkolkovo!

Na lekcjach matematyki w klasie 7 spotykamy się po raz pierwszy równania z dwiema zmiennymi, ale bada się je tylko w kontekście układów równań z dwiema niewiadomymi. Dlatego też znika z pola widzenia cały szereg problemów, w których na współczynniki równania wprowadzane są pewne warunki ograniczające je. Ponadto ignorowane są również metody rozwiązywania problemów, takie jak „Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych lub całkowitych”, chociaż w Materiały do ​​​​egzaminu ujednoliconego stanu A na egzaminach wstępnych problemy tego typu spotyka się coraz częściej.

Które równanie nazwiemy równaniem z dwiema zmiennymi?

Na przykład równania 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 lub xy = 12 są równaniami z dwiema zmiennymi.

Rozważmy równanie 2x – y = 1. Staje się prawdziwe, gdy x = 2 i y = 3, więc ta para wartości zmiennych jest rozwiązaniem omawianego równania.

Zatem rozwiązaniem dowolnego równania z dwiema zmiennymi jest zbiór uporządkowanych par (x; y), wartości zmiennych, które zamieniają to równanie w prawdziwą równość liczbową.

Równanie z dwiema niewiadomymi może:

A) mieć jedno rozwiązanie. Na przykład równanie x 2 + 5y 2 = 0 ma unikalne rozwiązanie (0; 0);

B) mieć wiele rozwiązań. Na przykład (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ma 4 rozwiązania: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nie mają rozwiązań. Na przykład równanie x 2 + y 2 + 1 = 0 nie ma rozwiązań;

G) mają nieskończenie wiele rozwiązań. Np. x + y = 3. Rozwiązaniem tego równania będą liczby, których suma jest równa 3. Zbiór rozwiązań tego równania można zapisać w postaci (k; 3 – k), gdzie k jest dowolną wartością rzeczywistą numer.

Głównymi metodami rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi są metody oparte na rozkładaniu wyrażeń na czynniki, izolowaniu pełnego kwadratu i korzystaniu z właściwości równanie kwadratowe, ograniczenia wyrażeń, metody oceny. Równanie zwykle przekształca się do postaci, z której można uzyskać układ znajdowania niewiadomych.

Faktoryzacja

Przykład 1.

Rozwiąż równanie: xy – 2 = 2x – y.

Rozwiązanie.

Grupujemy terminy w celu faktoryzacji:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Z każdego nawiasu wyciągamy wspólny czynnik:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Mamy:

y = 2, x – dowolna liczba rzeczywista lub x = -1, y – dowolna liczba rzeczywista.

Zatem, odpowiedzią są wszystkie pary postaci (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.

Równe zero nie jest liczby ujemne

Przykład 2.

Rozwiąż równanie: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Rozwiązanie.

Grupowanie:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Teraz każdy nawias można złożyć, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Suma dwóch nieujemnych wyrażeń wynosi zero tylko wtedy, gdy 3x – 2 = 0 i 2y – 3 = 0.

Oznacza to x = 2/3 i y = 3/2.

Odpowiedź: (2/3; 3/2).

Metoda szacowania

Przykład 3.

Rozwiąż równanie: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Rozwiązanie.

W każdym nawiasie wybieramy cały kwadrat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Oszacujmy znaczenie wyrażeń w nawiasach.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 oraz (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, wówczas lewa strona równania wynosi zawsze co najmniej 2. Równość jest możliwa, jeśli:

(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y – 2) 2 + 2 = 2, co oznacza x = -1, y = 2.

Odpowiedź: (-1; 2).

Zapoznajmy się z inną metodą rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi drugiego stopnia. Metoda ta polega na traktowaniu równania jako kwadrat w odniesieniu do jakiejś zmiennej.

Przykład 4.

Rozwiąż równanie: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Rozwiązanie.

Rozwiążmy to równanie jako równanie kwadratowe dla x. Znajdźmy dyskryminator:

re = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Równanie będzie miało rozwiązanie tylko wtedy, gdy D = 0, to znaczy, jeśli y = 4. Podstawiamy wartość y do pierwotnego równania i stwierdzamy, że x = 3.

Odpowiedź: (3; 4).

Często w równaniach z dwiema niewiadomymi wskazują ograniczenia dotyczące zmiennych.

Przykład 5.

Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Rozwiązanie.

Przepiszmy równanie jako x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Prawa część powstałe równanie przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2. Zatem x 2 nie jest podzielne przez 5. Ale kwadrat liczby niepodzielnej przez 5 daje resztę 1 lub 4. Zatem równość jest niemożliwa i nie ma rozwiązania.

Odpowiedź: brak korzeni.

Przykład 6.

Rozwiąż równanie: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Rozwiązanie.

Zaznaczmy całe kwadraty w każdym nawiasie:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lewa strona równanie jest zawsze większe lub równe 3. Równość jest możliwa pod warunkiem |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Zatem x = ± 2, y = -3.

Odpowiedź: (2; -3) i (-2; -3).

Przykład 7.

Dla każdej pary ujemnych liczb całkowitych (x;y) spełniających równanie
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, oblicz sumę (x + y). W odpowiedzi proszę wskazać najmniejszą kwotę.

Rozwiązanie.

Wybierzmy całe kwadraty:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Ponieważ x i y są liczbami całkowitymi, ich kwadraty również są liczbami całkowitymi. Otrzymamy sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych równą 37, jeśli dodamy 1 + 36. Zatem:

(x – y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.

Rozwiązując te układy i biorąc pod uwagę, że x i y są ujemne, znajdujemy rozwiązania: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpowiedź: -17.

Nie rozpaczaj, jeśli masz trudności z rozwiązywaniem równań z dwiema niewiadomymi. Przy odrobinie praktyki poradzisz sobie z każdym równaniem.

Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania z dwiema zmiennymi?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.