Pierwiastki odejmowania. Jak odjąć pierwiastek od liczby

Fakt 1.
\(\bullet\) Weź trochę nie liczba ujemna\(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Następnie (arytmetyka) pierwiastek kwadratowy z liczby \(a\) nazywamy taką liczbę nieujemną \(b\), podnosząc ją do kwadratu otrzymujemy liczbę \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tak samo jak )\quad a=b^2\] Z definicji wynika, że \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Te ograniczenia są ważny warunek istnienie pierwiastka kwadratowego i należy o nich pamiętać!
Przypomnij sobie, że dowolna liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny. Czyli \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Co to jest \(\sqrt(25)\) ? Wiemy, że \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Ponieważ z definicji musimy znaleźć liczbę nieujemną, \(-5\) nie jest odpowiednia, stąd \(\sqrt(25)=5\) (od \(25=5^2\) ).
Znalezienie wartości \(\sqrt a\) jest nazywane wyciąganiem pierwiastka kwadratowego z liczby \(a\) , a liczba \(a\) jest nazywana wyrażeniem pierwiastka.
\(\bullet\) Na podstawie definicji wyrażenia \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) itp. nie ma sensu.

Fakt 2.
Do szybkich obliczeń przyda się nauka tabeli kwadratów liczby naturalne od \(1\) do \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hlinia \koniec(tablica)\]

Fakt 3.
Co można zrobić z pierwiastkami kwadratowymi?
\(\pocisk\) Suma lub różnica pierwiastki kwadratowe NIERÓWNE pierwiastkowi kwadratowemu z sumy lub różnicy, tj. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jeśli więc chcesz obliczyć np. \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , to najpierw musisz znaleźć wartości \(\sqrt(25)\) i \(\sqrt (49)\ ), a następnie dodaj je. W konsekwencji, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jeśli podczas dodawania \(\sqrt a+\sqrt b\) nie można znaleźć wartości \(\sqrt a\) lub \(\sqrt b\), to takie wyrażenie nie jest dalej konwertowane i pozostaje bez zmian. Na przykład w sumie \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) możemy znaleźć \(\sqrt(49)\) - to jest \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nie może być przekonwertowany w jakikolwiek sposób, dlatego \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Co więcej, tego wyrażenia niestety nie można w żaden sposób uprościć.\(\bullet\) Iloczyn/iloraz pierwiastków kwadratowych jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu/ilorazu, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod warunkiem, że obie części równości mają sens)
Przykład: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Korzystając z tych właściwości, wygodnie jest znaleźć pierwiastki kwadratowe z duże liczby poprzez faktoring.
Rozważ przykład. Znajdź \(\sqrt(44100)\) . Ponieważ \(44100:100=441\) , to \(44100=100\cdot 441\) . Zgodnie z kryterium podzielności liczba \(441\) jest podzielna przez \(9\) (ponieważ suma jej cyfr wynosi 9 i jest podzielna przez 9), zatem \(441:9=49\) , czyli \(441=9\ cdot 49\) .
W ten sposób otrzymaliśmy: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Spójrzmy na inny przykład: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9)=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokażemy jak wprowadzać liczby pod pierwiastkiem kwadratowym na przykładzie wyrażenia \(5\sqrt2\) (skrót od wyrażenia \(5\cdot \sqrt2\) ). Ponieważ \(5=\sqrt(25)\) , to \ Zwróć też uwagę, że na przykład
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Dlaczego? Wyjaśnijmy na przykładzie 1). Jak już zrozumiałeś, nie możemy w jakiś sposób przekonwertować liczby \(\sqrt2\) . Wyobraź sobie, że \(\sqrt2\) to pewna liczba \(a\) . W związku z tym wyrażenie \(\sqrt2+3\sqrt2\) to nic innego jak \(a+3a\) (jedna liczba \(a\) plus jeszcze trzy takie same liczby \(a\) ). A wiemy, że to jest równe czterem takim liczbom \(a\) , czyli \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Często mówi się „nie można wyodrębnić pierwiastka”, gdy nie można pozbyć się znaku \(\sqrt () \ \) pierwiastka (rodnik) podczas znajdowania wartości jakiejś liczby. Na przykład możesz wykorzenić liczbę \(16\), ponieważ \(16=4^2\) , więc \(\sqrt(16)=4\) . Ale wyciągnięcie pierwiastka z liczby \(3\) , czyli znalezienie \(\sqrt3\) , jest niemożliwe, ponieważ nie ma takiej liczby, która do kwadratu da \(3\) .
Takie liczby (lub wyrażenia z takimi liczbami) są irracjonalne. Na przykład liczby \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) itp. są irracjonalne.
Nieracjonalne są również liczby \(\pi\) (liczba „pi”, w przybliżeniu równa \(3,14\) ), \(e\) (liczba ta nazywa się liczbą Eulera, w przybliżeniu równą \(2 ,7\) ) itp.
\(\bullet\) Należy pamiętać, że każda liczba będzie wymierna lub nieracjonalna. I razem wszystkie liczby wymierne i niewymierne tworzą zbiór zwany zbiór liczb rzeczywistych (rzeczywistych). Ten zestaw jest oznaczony literą \(\mathbb(R)\) .
Oznacza to, że wszystkie liczby, które są ten moment wiemy, że nazywane są liczbami rzeczywistymi.

Fakt 5.
\(\bullet\) Moduł liczby rzeczywistej \(a\) jest liczbą nieujemną \(|a|\) równą odległości od punktu \(a\) do \(0\) na rzeczywistej linia. Na przykład \(|3|\) i \(|-3|\) są równe 3, ponieważ odległości od punktów \(3\) i \(-3\) do \(0\) są taki sam i równy \(3 \) .
\(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą nieujemną, to \(|a|=a\) .
Przykład: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to \(|a|=-a\) .
Przykład: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mówią, że dla liczb ujemnych moduł „zjada” minus, a dodatnie, a także liczbę \(0\) , moduł pozostaje bez zmian.
ALE ta zasada dotyczy tylko liczb. Jeżeli mamy nieznaną \(x\) (lub jakąś inną niewiadomą) pod znakiem modułu, na przykład \(|x|\) , o której nie wiemy, czy jest dodatnia, równa zero czy ujemna, to pozbyć się modułu, którego nie możemy. W tym przypadku to wyrażenie pozostaje takie: \(|x|\) . \(\bullet\) Następujące formuły mają zastosowanie: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( pod warunkiem ) a\geqslant 0\] Często popełniany jest następujący błąd: mówią, że \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) to to samo. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy \(a\) jest liczbą dodatnią lub zerem. Ale jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to nie jest to prawdą. Wystarczy rozważyć taki przykład. Weźmy liczbę \(-1\) zamiast \(a\). Wtedy \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale wyrażenie \((\sqrt (-1))^2\) w ogóle nie istnieje (ponieważ jest niemożliwe pod znakiem korzenia wprowadź liczby ujemne!).
Dlatego zwracamy uwagę, że \(\sqrt(a^2)\) nie jest równe \((\sqrt a)^2\) ! Przykład 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), dlatego \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Ponieważ \(\sqrt(a^2)=|a|\) , wtedy \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (wyrażenie \(2n\) oznacza liczbę parzystą)
Oznacza to, że podczas wyciągania pierwiastka z liczby, która jest w pewnym stopniu, stopień ten zmniejsza się o połowę.
Przykład:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (zauważ, że jeśli moduł nie jest ustawiony, to okazuje się, że pierwiastek liczby jest równy \(-25 \) ; ale pamiętamy , że z definicji pierwiastka nie może to być: przy wyciąganiu pierwiastka zawsze powinniśmy otrzymać liczbę dodatnią lub zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ponieważ dowolna liczba do potęgi parzystej jest nieujemna)

Fakt 6.
Jak porównać dwa pierwiastki kwadratowe?
\(\bullet\) Prawda dla pierwiastków kwadratowych: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPrzykład:
1) porównaj \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Najpierw przekształcamy drugie wyrażenie w \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Tak więc, ponieważ \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Pomiędzy którymi liczbami całkowitymi jest \(\sqrt(50)\) ?
Ponieważ \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porównaj \(\sqrt 2-1\) i \(0,5\) . Załóżmy \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(wyrównany) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((dodaj po jednym z obu stron))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kwadrat obie części))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Widzimy, że uzyskaliśmy niewłaściwą nierówność. Dlatego nasze założenie było błędne i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Zauważ, że dodanie pewnej liczby po obu stronach nierówności nie wpływa na jej znak. Mnożenie/dzielenie obu stron nierówności przez liczbę dodatnią również nie zmienia jej znaku, ale mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności!
Obie strony równania/nierówności mogą być podniesione do kwadratu TYLKO JEŚLI obie strony są nieujemne. Na przykład, w nierówności z poprzedniego przykładu, możesz podnieść obie strony do kwadratu, w nierówności \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Zauważ, że \[\begin(wyrównane) &\sqrt 2\ok 1,4\\ &\sqrt 3\ok 1,7 \end(wyrównane)\] Znajomość przybliżonego znaczenia tych liczb pomoże ci przy porównywaniu liczb! \(\bullet\) Aby wydobyć pierwiastek (jeśli jest wyciągnięty) z jakiejś dużej liczby, której nie ma w tabeli kwadratów, musisz najpierw określić, między którymi jest to „setkami”, a następnie między którymi „dziesiątkami”, a następnie określ ostatnią cyfrę tej liczby. Pokażmy jak to działa na przykładzie.
Weź \(\sqrt(28224)\) . Wiemy, że \(100^2=10\000\) , \(200^2=40\000\) i tak dalej. Zauważ, że \(28224\) jest pomiędzy \(10\,000\) a \(40\,000\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) jest pomiędzy \(100\) a \(200\) .
Teraz ustalmy, pomiędzy którymi „dziesiątkami” jest nasza liczba (czyli np. między \(120\) a \(130\) ). Z tablicy kwadratów wiemy też, że \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., a następnie \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\ ) . Widzimy więc, że \(28224\) jest pomiędzy \(160^2\) a \(170^2\) . W związku z tym liczba \(\sqrt(28224)\) znajduje się między \(160\) a \(170\) .
Spróbujmy określić ostatnią cyfrę. Pamiętajmy jakie liczby jednocyfrowe przy kwadracie dają na końcu \ (4 \) ? Są to \(2^2\) i \(8^2\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) kończy się na 2 lub 8. Sprawdźmy to. Znajdź \(162^2\) i \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Stąd \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Aby właściwie rozwiązać egzamin z matematyki, należy przede wszystkim przestudiować materiał teoretyczny, który wprowadza liczne twierdzenia, wzory, algorytmy itp. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że jest to dość proste. Jednak znalezienie źródła, w którym teoria do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki jest przedstawiona w sposób łatwy i zrozumiały dla uczniów o dowolnym poziomie przygotowania, jest w rzeczywistości dość trudnym zadaniem. Podręczniki szkolne nie zawsze można mieć pod ręką. A znalezienie podstawowych wzorów na egzamin z matematyki może być trudne nawet w Internecie.

Dlaczego tak ważne jest studiowanie teorii z matematyki, nie tylko dla tych, którzy przystępują do egzaminu?

Ponieważ poszerza horyzonty. Studiowanie materiału teoretycznego w matematyce jest przydatne dla każdego, kto chce uzyskać odpowiedzi na szeroki zakres pytań związanych ze znajomością świata. Wszystko w naturze jest uporządkowane i ma jasną logikę. Właśnie to znajduje odzwierciedlenie w nauce, dzięki której można zrozumieć świat.
Ponieważ rozwija intelekt. Studiując materiały referencyjne do egzaminu z matematyki, a także rozwiązując różne problemy, człowiek uczy się logicznego myślenia i rozumowania, poprawnego i jasnego formułowania myśli. Rozwija umiejętność analizowania, uogólniania, wyciągania wniosków.

Zapraszamy do osobistej oceny wszystkich zalet naszego podejścia do systematyzacji i prezentacji materiałów edukacyjnych.

Pierwiastek kwadratowy z liczby x to liczba a, która po pomnożeniu przez samą siebie daje liczbę x: a * a = a^2 = x, √x = a. Jak w przypadku każdej liczby, możesz wykonywać operacje arytmetyczne dodawania i odejmowania na pierwiastkach kwadratowych.

Instrukcja

Po pierwsze, dodając pierwiastki kwadratowe, spróbuj je wyodrębnić. Będzie to możliwe, jeśli liczby pod pierwiastkiem będą idealnymi kwadratami. Na przykład niech zostanie podane wyrażenie √4 + √9. Pierwsza liczba 4 to kwadrat liczby 2. Druga liczba 9 to kwadrat liczby 3. Okazuje się, że: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
Jeśli pod pierwiastkiem nie ma pełnych kwadratów, spróbuj wyjąć mnożnik liczby spod znaku pierwiastka. Na przykład powiedzmy, że podano √24 + √54. Faktoryzacja liczb: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Liczba 24 ma współczynnik 4, który można wyciągnąć ze znaku pierwiastka kwadratowego. Liczba 54 ma współczynnik 9. Okazuje się więc, że: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . W tym przykładzie w wyniku wyjęcia mnożnika ze znaku pierwiastka okazało się, że dane wyrażenie zostało uproszczone.
Niech suma dwóch pierwiastków kwadratowych będzie mianownikiem ułamka, na przykład A / (√a + √b). I niech twoim zadaniem będzie „pozbyć się irracjonalności w mianowniku”. Następnie możesz użyć następującej metody. Pomnóż licznik i mianownik ułamka przez wyrażenie √a - √b. Zatem w mianowniku otrzymamy wzór na skrócone mnożenie: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Analogicznie, jeśli różnica pierwiastków jest podana w mianowniku: √a - √b, to licznik i mianownik ułamka należy pomnożyć przez wyrażenie √a + √b. Na przykład, biorąc pod uwagę ułamek 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
Rozważ bardziej złożony przykład pozbycia się irracjonalności w mianowniku. Niech zostanie podany ułamek 12 / (√2 + √3 + √5). Konieczne jest pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez wyrażenie √2 + √3 - √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
I na koniec, jeśli potrzebujesz tylko przybliżonej wartości, możesz obliczyć pierwiastki kwadratowe na kalkulatorze. Oblicz wartości osobno dla każdej liczby i zapisz z wymaganą dokładnością (na przykład dwa miejsca po przecinku). A następnie wykonaj wymagane operacje arytmetyczne, tak jak w przypadku zwykłych liczb. Załóżmy na przykład, że chcesz poznać przybliżoną wartość wyrażenia √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

W matematyce każde działanie ma swoje przeciwieństwo pary - w istocie jest to jeden z przejawów heglowskiego prawa dialektyki: „jedność i walka przeciwieństw”. Jedno z działań w takiej „parze” ma na celu zwiększenie liczby, a drugie, przeciwnie, maleje. Na przykład działaniem przeciwstawnym do dodawania jest odejmowanie, a dzielenie odpowiada mnożeniu. Wznoszenie się do potęgi ma również swoją własną przeciwstawną parę dialektyczną. Chodzi o ekstrakcję korzeni.

Wyciągnięcie pierwiastka takiego a takiego stopnia z liczby oznacza obliczenie, która liczba musi zostać podniesiona do odpowiedniej potęgi, aby otrzymać tę liczbę. Dwa stopnie mają swoje odrębne nazwy: drugi stopień nazywa się "kwadratem", a trzeci - "sześcianem". W związku z tym przyjemnie jest nazywać pierwiastek tych potęg pierwiastkiem kwadratowym i pierwiastkiem sześciennym. Akcje z pierwiastkami sześciennymi to temat na osobną dyskusję, ale teraz porozmawiajmy o dodawaniu pierwiastków kwadratowych.

Zacznijmy od tego, że w niektórych przypadkach łatwiej jest najpierw wydobyć pierwiastki kwadratowe, a potem dodać wyniki. Załóżmy, że musimy znaleźć wartość takiego wyrażenia:

W końcu wcale nie jest trudno obliczyć, że pierwiastek kwadratowy z 16 wynosi 4, a z 121 – 11.

√16+√121=4+11=15

Jest to jednak najprostszy przypadek – tutaj mówimy o pełnych kwadratach, czyli o liczbach uzyskanych przez podniesienie do kwadratu liczb całkowitych. Lecz nie zawsze tak jest. Na przykład liczba 24 nie jest idealnym kwadratem (nie możesz znaleźć liczby całkowitej, która po podniesieniu do drugiej potęgi dałaby 24). To samo dotyczy liczby takiej jak 54... A jeśli musimy dodać pierwiastki kwadratowe tych liczb?

W takim przypadku otrzymamy w odpowiedzi nie liczbę, ale inne wyrażenie. Maksymalnie, co możemy tutaj zrobić, to maksymalnie uprościć oryginalne wyrażenie. Aby to zrobić, będziesz musiał usunąć czynniki spod pierwiastka kwadratowego. Zobaczmy, jak to się robi na przykładzie wspomnianych liczb:

Na początek rozłóżmy na czynniki 24 – w taki sposób, aby jeden z nich można było łatwo przyjąć jako pierwiastek kwadratowy (czyli tak, aby był to kwadrat idealny). Jest taka liczba - to 4:

Teraz zróbmy to samo z 54. W jej składzie ta liczba będzie wynosić 9:

W ten sposób otrzymujemy:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Teraz wydobądźmy korzenie z tego, z czego możemy je wydobyć: 2*√6+3*√6

Jest tu wspólny czynnik, który możemy wyjąć z nawiasów:

(2+3)* √6=5*√6

To będzie wynik dodawania - nic więcej nie można tu wydobyć.

To prawda, możesz skorzystać z pomocy kalkulatora - jednak wynik będzie przybliżony i z ogromną liczbą miejsc po przecinku:

√6=2,449489742783178

Stopniowo zaokrąglając w górę, otrzymujemy około 2,5. Jeśli nadal chcielibyśmy doprowadzić rozwiązanie z poprzedniego przykładu do logicznego wniosku, możemy ten wynik pomnożyć przez 5 - i otrzymamy 12,5. Przy takich początkowych danych nie można uzyskać dokładniejszego wyniku.

W dzisiejszych czasach nowoczesnych komputerów elektronicznych obliczenie pierwiastka liczby nie jest trudnym zadaniem. Na przykład √2704=52, każdy kalkulator obliczy to za Ciebie. Na szczęście kalkulator znajduje się nie tylko w Windowsie, ale także w zwykłym, nawet najprostszym telefonie. To prawda, że jeśli nagle (z małym prawdopodobieństwem, którego obliczenie obejmuje dodanie korzeni) znajdziesz się bez dostępnych środków, to niestety będziesz musiał polegać tylko na swoich mózgach.

Trening umysłu nigdy nie zawodzi. Zwłaszcza dla tych, którzy nie pracują tak często z liczbami, a tym bardziej z pierwiastkami. Dodawanie i odejmowanie korzeni to dobry trening dla znudzonego umysłu. I pokażę ci krok po kroku dodawanie korzeni. Przykłady wyrażeń mogą być następujące.

Równanie do uproszczenia to:

√2 + 3√48-4 × √27 + √128

To irracjonalne wyrażenie. Aby to uprościć, musisz sprowadzić wszystkie radykalne wyrażenia do wspólnej formy. Robimy to etapami:

Pierwszej liczby nie można już uprościć. Przejdźmy do drugiego semestru.

3√48 rozkładamy na czynniki 48: 48=2×24 lub 48=3×16. z 24 nie jest liczbą całkowitą, tj. ma resztę ułamkową. Ponieważ potrzebujemy dokładnej wartości, przybliżone korzenie nie są dla nas odpowiednie. Pierwiastek kwadratowy z 16 to 4, wyjmij go spod Otrzymujemy: 3×4×√3=12×√3

Nasze następne wyrażenie jest negatywne, tj. napisane ze znakiem minus -4×√(27.) Faktoring 27. Otrzymujemy 27=3×9. Nie używamy współczynników ułamkowych, ponieważ trudniej jest obliczyć pierwiastek kwadratowy z ułamków. Wyciągamy 9 spod znaku, czyli obliczyć pierwiastek kwadratowy. Otrzymujemy następujące wyrażenie: -4×3×√3 = -12×√3

Następny wyraz √128 oblicza część, którą można wyjąć spod korzenia. 128=64×2 gdzie √64=8. Jeśli ci to ułatwi, możesz przedstawić to wyrażenie w następujący sposób: √128=√(8^2×2)

Przepisujemy wyrażenie za pomocą uproszczonych terminów:

√2 + 12 × √3-12 × √3 + 8 × √2

Teraz dodajemy liczby o tym samym radykalnym wyrażeniu. Nie można dodawać ani odejmować wyrażeń z różnymi wyrażeniami radykalnymi. Dodanie korzeni wymaga przestrzegania tej zasady.

Otrzymujemy następującą odpowiedź:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - Mam nadzieję, że w algebrze zwyczajowo pomijanie takich elementów nie będzie dla ciebie nowością.

Wyrażenia mogą być reprezentowane nie tylko przez pierwiastki kwadratowe, ale także przez pierwiastki sześcienne lub n-te.

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków o różnych wykładnikach, ale o równoważnym wyrażeniu pierwiastkowym, zachodzi w następujący sposób:

Jeśli mamy wyrażenie takie jak √a+∛b+∜b, to możemy je uprościć tak:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Zredukowaliśmy dwa podobne terminy do wspólnego wykładnika pierwiastka. Użyto tutaj właściwości pierwiastków, która mówi: jeśli liczba stopnia wyrażenia radykalnego i liczba wykładnika pierwiastka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę, to jego obliczenia pozostaną niezmienione.

Uwaga: wykładniki są dodawane tylko po pomnożeniu.

Rozważ przykład, w którym w wyrażeniu występują ułamki.

5/8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Rozwiążmy to krok po kroku:

5√8=5*2√2 - wyjmujemy wyekstrahowaną część spod korzenia.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Jeśli ciało pierwiastka jest reprezentowane przez ułamek, to często ten ułamek nie zmieni się, jeśli weźmie się pierwiastek kwadratowy z dzielnika i dzielnika. W rezultacie uzyskaliśmy opisaną powyżej równość.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Oto odpowiedź.

Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że pierwiastek z parzystym wykładnikiem nie jest wyodrębniany z liczb ujemnych. Jeśli radykalne wyrażenie parzystego stopnia jest ujemne, to wyrażenie jest nierozwiązywalne.

Dodanie pierwiastków jest możliwe tylko wtedy, gdy radykalne wyrażenia pokrywają się, ponieważ są to podobne terminy. To samo dotyczy różnicy.

Dodawanie pierwiastków o różnych wykładnikach liczbowych odbywa się poprzez zredukowanie obu terminów do wspólnego pierwiastka. To prawo działa w taki sam sposób, jak redukcja do wspólnego mianownika przy dodawaniu lub odejmowaniu ułamków.

Jeśli radykalne wyrażenie zawiera liczbę podniesioną do potęgi, to wyrażenie to można uprościć pod warunkiem, że istnieje wspólny mianownik między pierwiastkiem a wykładnikiem.

Pierwiastek liczby najłatwiej odjąć za pomocą kalkulatora. Ale jeśli nie masz kalkulatora, musisz znać algorytm obliczania pierwiastka kwadratowego. Faktem jest, że liczba w kwadracie znajduje się pod pierwiastkiem. Na przykład 4 do kwadratu to 16. Oznacza to, że pierwiastek kwadratowy z 16 będzie równy cztery. Również 5 do kwadratu to 25. Dlatego pierwiastek z 25 będzie równy 5. I tak dalej.

Jeśli liczba jest mała, można ją łatwo odjąć werbalnie, na przykład pierwiastek z 25 będzie wynosił 5, a pierwiastek z 144-12. Możesz także obliczyć na kalkulatorze, jest specjalna ikona root, musisz wjechać w numer i kliknąć ikonę.

Tabela pierwiastków kwadratowych pomoże również:

Istnieją inne sposoby, które są bardziej złożone, ale bardzo skuteczne:

Pierwiastek z dowolnej liczby można odjąć za pomocą kalkulatora, zwłaszcza że są one dziś w każdym telefonie.

Możesz spróbować z grubsza obliczyć, jak dana liczba może się okazać, mnożąc jedną liczbę przez samą siebie.

Obliczenie pierwiastka kwadratowego z liczby nie jest trudne, zwłaszcza jeśli istnieje specjalna tabela. Znana tablica z lekcji algebry. Taka operacja nazywa się wyciągnięciem pierwiastka kwadratowego z liczby aquot ;, innymi słowy, rozwiązanie równania. Prawie wszystkie kalkulatory w smartfonach mają funkcję pierwiastka kwadratowego.

Wynikiem wyciągnięcia pierwiastka kwadratowego ze znanej liczby będzie inna liczba, która podniesiona do drugiej potęgi (kwadrat) da tę samą liczbę, którą znamy. Rozważ jeden z opisów osiedli, który wydaje się krótki i zrozumiały:

Oto film na ten temat:

Istnieje kilka sposobów obliczenia pierwiastka kwadratowego z liczby.

Najpopularniejszym sposobem jest użycie specjalnej tabeli korzeni (patrz poniżej).

Również na każdym kalkulatorze znajduje się funkcja, za pomocą której można znaleźć korzeń.

Lub za pomocą specjalnej formuły.

Istnieje kilka sposobów na wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z liczby. Jeden z nich jest najszybszy, korzystając z kalkulatora.

Ale jeśli nie ma kalkulatora, możesz to zrobić ręcznie.

Wynik będzie dokładny.

Zasada jest prawie taka sama jak dzielenie przez kolumnę:

Spróbujmy bez kalkulatora znaleźć wartość pierwiastka kwadratowego z liczby, na przykład 190969.

Wszystko jest więc niezwykle proste. W obliczeniach najważniejsze jest przestrzeganie pewnych prostych zasad i logiczne myślenie.

Do tego potrzebujesz tabeli kwadratów

Na przykład pierwiastek z 100 = 10, z 20 = 400 z 43 = 1849

Teraz prawie wszystkie kalkulatory, w tym te na smartfonach, potrafią obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby. ALE jeśli nie masz kalkulatora, możesz znaleźć pierwiastek liczby na kilka prostych sposobów:

Rozkład na czynniki pierwsze

Rozłóż pierwiastek na czynniki, które są liczbami kwadratowymi. W zależności od numeru głównego otrzymasz przybliżoną lub dokładną odpowiedź. Liczby kwadratowe to liczby, z których można wyciągnąć cały pierwiastek kwadratowy. Czynniki liczby, które po pomnożeniu dają pierwotną liczbę. Na przykład dzielnikami liczby 8 są 2 i 4, ponieważ 2 x 4 = 8, liczby 25, 36, 49 są liczbami kwadratowymi, ponieważ 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Czynniki kwadratowe to dzielniki, które są liczbami kwadratowymi . Najpierw spróbuj rozłożyć pierwiastek na czynniki kwadratowe.

Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 400 (ręcznie). Najpierw spróbuj rozłożyć 400 na czynniki kwadratowe. 400 to wielokrotność 100, która jest liczbą kwadratową podzielną przez 25. Dzielenie 400 przez 25 daje 16, co również jest liczbą kwadratową. W ten sposób 400 można rozłożyć na czynniki kwadratowe 25 i 16, czyli 25 x 16 = 400.

Zapisz to jako: 400 = (25 x 16).

Pierwiastek kwadratowy z iloczynu niektórych wyrazów jest równy iloczynowi pierwiastków kwadratowych każdego wyrazu, czyli (a x b) = a x b. Korzystając z tej zasady, wyciągnij pierwiastek kwadratowy z każdego czynnika kwadratowego i pomnóż wyniki, aby znaleźć odpowiedź.

W naszym przykładzie wyjmij pierwiastek kwadratowy z 25 i 16.

Jeśli pierwiastek nie dzieli się na dwa czynniki kwadratowe (a tak jest w większości przypadków), nie będziesz w stanie znaleźć dokładnej odpowiedzi w postaci liczby całkowitej. Ale możesz uprościć problem, rozkładając pierwiastek na czynnik kwadratowy i zwykły czynnik (liczbę, z której nie można wyciągnąć całego pierwiastka kwadratowego). Następnie wyciągniesz pierwiastek kwadratowy z czynnika kwadratowego i wyciągniesz pierwiastek ze zwykłego czynnika.

Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby 147. Liczby 147 nie można rozłożyć na dwa czynniki kwadratowe, ale można ją rozłożyć na następujące czynniki: 49 i 3. Rozwiąż problem w następujący sposób:

Teraz możesz ocenić wartość pierwiastka (znaleźć przybliżoną wartość), porównując ją z wartościami pierwiastków kwadratowych, które są najbliższe (po obu stronach osi liczbowej) pierwiastkowi. Otrzymasz wartość pierwiastka jako ułamek dziesiętny, który należy pomnożyć przez liczbę za znakiem pierwiastka.

Wróćmy do naszego przykładu. Podstawą jest 3. Najbliższe liczby kwadratowe to liczby 1 (1 \u003d 1) i 4 (4 \u003d 2). Zatem wartość 3 wynosi od 1 do 2. Ponieważ wartość 3 jest prawdopodobnie bliższa 2 niż 1, nasze oszacowanie wynosi: 3 = 1,7. Tę wartość mnożymy przez liczbę przy znaku korzenia: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Jeśli wykonasz obliczenia na kalkulatorze, otrzymasz 12.13, co jest dość bliskie naszej odpowiedzi.

Ta metoda działa również z dużymi liczbami. Rozważmy na przykład 35. Podstawą jest 35. Najbliższe liczby kwadratowe to 25 (25 = 5) i 36 (36 = 6). Tak więc wartość 35 wynosi od 5 do 6. Ponieważ wartość 35 jest znacznie bliższa 6 niż 5 (ponieważ 35 to tylko 1 mniej niż 36), możemy powiedzieć, że 35 jest nieco mniejsze niż 6. Sprawdzenie na kalkulatorze daje nam odpowiedź 5,92 - mieliśmy rację.

Innym sposobem jest faktoryzacja liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze. Czynniki pierwsze liczby, które są podzielne tylko przez 1 i przez siebie. Napisz czynniki pierwsze z rzędu i znajdź pary identycznych czynników. Takie czynniki można usunąć ze znaku korzenia.

Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 45. Rozkładamy pierwiastek na czynniki pierwsze: 45 \u003d 9 x 5 i 9 \u003d 3 x 3. Zatem 45 \u003d (3 x 3 x 5). 3 można wyciągnąć ze znaku pierwiastka: 45 = 35. Teraz możemy oszacować 5.

Rozważ inny przykład: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Masz trzy mnożniki 2; weź kilka z nich i wyjmij je ze znaku korzenia.

2(2 x 11) = 22 x 11. Teraz możesz obliczyć 2 i 11 i znaleźć przybliżoną odpowiedź.

Ten samouczek wideo może być również pomocny:

Aby wyodrębnić pierwiastek z liczby, powinieneś użyć kalkulatora, a jeśli nie ma odpowiedniego, radzę przejść na tę stronę i rozwiązać problem za pomocą kalkulatora internetowego, który poda prawidłową wartość w ciągu kilku sekund.