Przykłady ułamków redukujących. Kalkulator online Ułamki redukcyjne (nieregularne, mieszane)
Kalkulator online działa redukcja ułamków algebraicznych zgodnie z zasadą redukcji ułamków: zastąpienie ułamka pierwotnego ułamkiem równym, ale o mniejszym liczniku i mianowniku, tj. jednoczesne dzielenie licznika i mianownika ułamka przez ich wspólną największą wspólny dzielnik(UKŁON). Wyświetla się także kalkulator szczegółowe rozwiązanie, co pomoże Ci zrozumieć kolejność redukcji.
Dany:
Rozwiązanie:
Przeprowadzanie redukcji frakcji
sprawdzenie możliwości przeprowadzenia redukcji ułamków algebraicznych
1) Wyznaczanie największego wspólnego dzielnika (NWD) licznika i mianownika ułamka
wyznaczanie największego wspólnego dzielnika (NWD) licznika i mianownika ułamka algebraicznego
2) Skrócenie licznika i mianownika ułamka
skracanie licznika i mianownika ułamka algebraicznego
3) Wybór całej części ułamka
oddzielanie całej części ułamka algebraicznego
4) Zamiana ułamka algebraicznego na ułamek dziesiętny
zamiana ułamka algebraicznego na dziesiętny
Pomoc przy tworzeniu strony internetowej projektu
Szanowny Gościu.
Jeśli nie udało Ci się znaleźć tego, czego szukałeś, koniecznie napisz o tym w komentarzach, czego aktualnie brakuje na stronie. Pomoże nam to zrozumieć, w jakim kierunku musimy pójść dalej, a inni odwiedzający wkrótce będą mogli otrzymać niezbędne materiały.
Jeśli strona okazała się dla Ciebie przydatna, przekaż ją na rzecz projektu tylko 2 ₽ i będziemy wiedzieć, że zmierzamy we właściwym kierunku.
Dziękuję za zatrzymanie się!
I. Procedura redukcji ułamka algebraicznego za pomocą kalkulatora online:
- Aby skrócić ułamek algebraiczny, wprowadź wartości licznika i mianownika ułamka w odpowiednich polach. Jeśli ułamek jest mieszany, wypełnij także pole odpowiadające całej części ułamka. Jeśli ułamek jest prosty, pozostaw całe pole części puste.
- Aby określić ułamek ujemny, umieść znak minus na całej części ułamka.
- W zależności od określonego ułamka algebraicznego automatycznie wykonywana jest następująca sekwencja działań:
- wyznaczanie największego wspólnego dzielnika (NWD) licznika i mianownika ułamka;
- skrócenie licznika i mianownika ułamka przez gcd;
- podświetlanie całej części ułamka, jeśli licznik ułamka końcowego jest większy od mianownika.
- zamiana końcowego ułamka algebraicznego na ułamek dziesiętny zaokrąglone do najbliższej setnej.
II. Na przykład:
Ułamek to liczba składająca się z jednej lub większej liczby części (ułamków) jednostki. Ułamek zwykły (ułamek prosty) zapisuje się jako dwie liczby (licznik ułamka i mianownik ułamka) oddzielone poziomą kreską (kreską ułamkową) wskazującą znak dzielenia. Licznik ułamka to liczba znajdująca się nad linią ułamkową. Licznik pokazuje, ile udziałów oddano z całości. Mianownikiem ułamka jest liczba znajdująca się poniżej linii ułamkowej. Mianownik pokazuje, na ile równych części podzielona jest całość. Ułamek prosty to ułamek, który nie ma części całkowitej. Ułamek prosty może być właściwy lub niewłaściwy. Ułamek właściwy to ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika, zatem ułamek właściwy jest zawsze mniejszy od jedności. Przykład ułamków właściwych: 8/7, 11/19, 16/17. Ułamek niewłaściwy to ułamek, którego licznik jest większy lub równy mianownikowi, więc ułamek niewłaściwy jest zawsze większy lub równy jedności. Przykład ułamków niewłaściwych: 7/6, 8/7, 13/13. ułamek mieszany to liczba zawierająca liczbę całkowitą i ułamek właściwy i oznaczająca sumę tej liczby całkowitej i ułamka właściwego. Każdy ułamek mieszany można zamienić na ułamek niewłaściwy ułamek prosty. Przykład ułamków mieszanych: 1¼, 2½, 4¾.
III. Notatka:
- Podświetlony blok danych źródłowych żółty , przydzielony pośredni blok obliczeniowy niebieski , blok rozwiązania jest podświetlony na zielono.
- Aby dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić ułamki zwykłe lub mieszane, skorzystaj z kalkulatora ułamków online ze szczegółowymi rozwiązaniami.
W tym artykule kontynuujemy temat konwersji ułamków algebraicznych: rozważmy takie działanie, jak redukcja ułamków algebraicznych. Zdefiniujmy samo pojęcie, sformułujmy regułę redukcji i przeanalizujmy praktyczne przykłady.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Znaczenie skracania ułamka algebraicznego
W materiałach o ułamkach zwykłych zajmowaliśmy się ich redukcją. Zdefiniowaliśmy redukcję ułamka jako podzielenie jego licznika i mianownika przez wspólny czynnik.
Redukcja ułamka algebraicznego przebiega w podobny sposób.
Definicja 1
Redukcja ułamka algebraicznego jest podzieleniem licznika i mianownika przez wspólny czynnik. W tym przypadku, w przeciwieństwie do redukcji ułamka zwykłego (wspólnym mianownikiem może być tylko liczba), wspólnym czynnikiem licznika i mianownika ułamka algebraicznego może być wielomian, w szczególności jednomian lub liczba.
Np, ułamek algebraiczny 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 można zmniejszyć o liczbę 3, otrzymując: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 · x 2 · y 2 . Możemy zmniejszyć ten sam ułamek przez zmienną x, co da nam wyrażenie 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Możliwe jest także skrócenie danego ułamka o jednomian 3x lub którykolwiek z wielomianów x + 2 lata, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y lub 3 x 2 + 6 x y.
Ostatecznym celem redukcji ułamka algebraicznego jest ułamek prostszej postaci, w najlepszy scenariusz– frakcja nieredukowalna.
Czy wszystkie ułamki algebraiczne podlegają redukcji?
Ponownie, z materiałów na zwykłych frakcjach wiemy, że istnieją frakcje redukowalne i nieredukowalne. Ułamki nieredukowalne to ułamki, które nie mają wspólnych dzielników w liczniku i mianowniku innych niż 1.
To samo dotyczy ułamków algebraicznych: mogą mieć wspólne dzielniki w liczniku i mianowniku, ale nie muszą. Obecność wspólnych czynników pozwala uprościć pierwotny ułamek poprzez redukcję. Gdy nie ma wspólnych czynników, nie ma możliwości optymalizacji danego ułamka metodą redukcji.
W ogólnych przypadkach, biorąc pod uwagę rodzaj frakcji, dość trudno jest zrozumieć, czy można ją zmniejszyć. Oczywiście w niektórych przypadkach obecność wspólnego czynnika między licznikiem i mianownikiem jest oczywista. Na przykład we ułamku algebraicznym 3 x 2 3 y jest całkiem jasne, że wspólnym czynnikiem jest liczba 3.
We ułamku - x · y 5 · x · y · z 3 od razu rozumiemy, że można go zmniejszyć o x, lub y, lub x · y. A jednak znacznie częściej zdarzają się przykłady ułamków algebraicznych, gdy wspólny czynnik licznika i mianownika nie jest tak łatwy do zobaczenia, a jeszcze częściej go po prostu nie ma.
Na przykład możemy zmniejszyć ułamek x 3 - 1 x 2 - 1 przez x - 1, podczas gdy we wpisie nie ma podanego wspólnego dzielnika. Ale ułamka x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 nie można zmniejszyć, ponieważ licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika.
Zatem kwestia określenia sprowadzalności ułamka algebraicznego nie jest taka prosta i często łatwiej jest pracować z ułamkiem danej postaci, niż próbować dowiedzieć się, czy jest on redukowalny. W tym przypadku zachodzą takie przekształcenia, które w poszczególnych przypadkach umożliwiają wyznaczenie wspólnego czynnika licznika i mianownika lub wyciągnięcie wniosku o nieredukowalności ułamka. Zagadnieniu temu przyjrzymy się szczegółowo w kolejnym akapicie artykułu.
Zasada redukcji ułamków algebraicznych
Zasada redukcji ułamków algebraicznych składa się z dwóch kolejnych działań:
- znajdowanie wspólnych czynników licznika i mianownika;
- jeżeli zostaną znalezione, akcja redukcji frakcji odbywa się bezpośrednio.
Najwygodniejszą metodą znajdowania wspólnych mianowników jest rozłożenie na czynniki wielomianów występujących w liczniku i mianowniku danego ułamka algebraicznego. Pozwala to od razu wyraźnie zobaczyć obecność lub brak wspólnych czynników.
Samo działanie redukcji ułamka algebraicznego opiera się na głównej właściwości ułamka algebraicznego, wyrażonej przez równość nieokreśloną, gdzie a, b, c są pewnymi wielomianami, a b i c są niezerowe. Pierwszym krokiem jest sprowadzenie ułamka do postaci a · c b · c, w której od razu zauważamy wspólny czynnik c. Drugim krokiem jest wykonanie redukcji, tj. przejście do ułamka postaci a b .
Typowe przykłady
Mimo pewnej oczywistości, wyjaśnijmy szczególny przypadek gdy licznik i mianownik ułamka algebraicznego są równe. Podobne ułamki są identycznie równe 1 na całym ODZ zmiennych tego ułamka:
5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Ponieważ ułamki zwykłe są szczególnym przypadkiem ułamków algebraicznych, przypomnijmy sobie, jak się je redukuje. Liczby naturalne zapisane w liczniku i mianowniku są rozkładane na czynniki pierwsze, a następnie usuwane są wspólne czynniki (jeśli występują).
Na przykład 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Iloczyn prostych, identycznych czynników można zapisać w postaci potęg, a w procesie redukcji ułamka wykorzystać właściwość dzielenia potęg za pomocą na tej samej podstawie. Wtedy powyższe rozwiązanie byłoby następujące:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(licznik i mianownik podzielone przez wspólny czynnik 2 2 3). Lub dla jasności, w oparciu o właściwości mnożenia i dzielenia, podajemy rozwiązanie w następującej formie:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Analogicznie przeprowadza się redukcję ułamków algebraicznych, w których licznik i mianownik mają jednomiany o współczynnikach całkowitych.
Przykład 1
Podano ułamek algebraiczny - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Należy to zmniejszyć.
Rozwiązanie
Można zapisać licznik i mianownik danego ułamka jako iloczyn prostych czynników i zmiennych, a następnie przeprowadzić redukcję:
27 · za 5 · b 2 · c · z 6 · za 2 · b 2 · do 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 za 3 2 do 6
Jednak bardziej racjonalnym sposobem byłoby zapisanie rozwiązania jako wyrażenia z potęgami:
27 · za 5 · b 2 · c · z 6 · za 2 · b 2 · do 7 · z = - 3 3 · za 5 · b 2 · do · z 2 · 3 · za 2 · b 2 · do 7 · z = - 3 3 2 · 3 · za 5 za 2 · b 2 b 2 · do do 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · za 5 - 2 1 · 1 · 1 do 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · za 3 2 · do 6 = · - 9 · za 3 2 · do 6 .
Odpowiedź:- 27 za 5 b 2 do z 6 za 2 b 2 do 7 z = - 9 za 3 2 do 6
Gdy licznik i mianownik ułamka algebraicznego mają ułamkowe współczynniki liczbowe, możliwe są dwa sposoby dalsze działania: albo podziel osobno te współczynniki ułamkowe, albo najpierw pozbądź się współczynników ułamkowych, mnożąc licznik i mianownik przez określoną liczbę naturalną. Ostatnie przekształcenie przeprowadzamy ze względu na podstawową właściwość ułamka algebraicznego (przeczytasz o tym w artykule „Sprowadzenie ułamka algebraicznego do nowego mianownika”).
Przykład 2
Podany ułamek to 2 5 x 0, 3 x 3. Należy to zmniejszyć.
Rozwiązanie
Można zmniejszyć ułamek w ten sposób:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Spróbujmy rozwiązać problem inaczej, pozbywając się najpierw współczynników ułamkowych - pomnóż licznik i mianownik przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników, tj. na LCM (5, 10) = 10. Następnie otrzymujemy:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Odpowiedź: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Kiedy redukujemy ułamki algebraiczne ogólna perspektywa, w którym liczniki i mianowniki mogą być jednomianami lub wielomianami, może pojawić się problem, gdy wspólny czynnik nie zawsze jest od razu widoczny. Albo co więcej, po prostu go nie ma. Następnie, aby wyznaczyć wspólny czynnik lub odnotować fakt jego braku, rozkłada się na czynniki licznik i mianownik ułamka algebraicznego.
Przykład 3
Podano ułamek wymierny 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Należy to zmniejszyć.
Rozwiązanie
Rozłóżmy wielomiany na czynniki w liczniku i mianowniku. Wyjmijmy to z nawiasów:
2 za 2 b 2 + 28 za b 2 + 98 b 2 za 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (za 2 + 14 za + 49) b 3 (za 2 - 49)
Widzimy, że wyrażenie w nawiasach można przekonwertować za pomocą skróconych wzorów mnożenia:
2 b 2 (za 2 + 14 a + 49) b 3 (za 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Wyraźnie widać, że możliwe jest zmniejszenie ułamka przez wspólny współczynnik b 2 (za + 7). Zróbmy redukcję:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Zapiszmy krótkie rozwiązanie bez wyjaśnienia jako łańcuch równości:
2 za 2 b 2 + 28 za b 2 + 98 b 2 za 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (za 2 + 14 a + 49) b 3 (za 2 - 49) = = 2 b 2 (za + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Odpowiedź: 2 za 2 b 2 + 28 za b 2 + 98 b 2 za 2 b 3 - 49 b 3 = 2 za + 14 za b - 7 b.
Zdarza się, że wspólne czynniki są ukryte pod współczynnikami liczbowymi. Następnie przy redukcji ułamków optymalnie jest umieścić czynniki liczbowe w wyższych potęgach licznika i mianownika poza nawiasami.
Przykład 4
Biorąc pod uwagę ułamek algebraiczny 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Jeśli to możliwe, konieczne jest jego zmniejszenie.
Rozwiązanie
Na pierwszy rzut oka licznik i mianownik nie mają wspólnego mianownika. Spróbujmy jednak przeliczyć podany ułamek. Wyjmijmy czynnik x z licznika:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
Teraz możesz zobaczyć pewne podobieństwo między wyrażeniem w nawiasach a wyrażeniem w mianowniku ze względu na x 2 y . Wyjmijmy współczynniki liczbowe wyższych potęg tych wielomianów:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 lata 5 x 2 lata - 7 10
Teraz widoczny staje się wspólny czynnik, przeprowadzamy redukcję:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Odpowiedź: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
Podkreślmy, że umiejętność redukcji ułamków wymiernych zależy od umiejętności rozkładu na czynniki wielomianów.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Wielu uczniów popełnia te same błędy podczas pracy z ułamkami zwykłymi. A wszystko dlatego, że zapominają podstawowe zasady arytmetyka. Dziś powtórzymy te zasady na konkretnych zadaniach, które daję na swoich zajęciach.
Oto zadanie, które stawiam każdemu, kto przygotowuje się do Unified State Exam z matematyki:
Zadanie. Morświn zjada dziennie 150 gramów pożywienia. Ale dorosła i zaczęła jeść o 20% więcej. Ile gramów paszy zjada teraz świnia?
Nie prawidłowe rozwiązanie. Jest to problem procentowy, który sprowadza się do równania:
Wiele (bardzo wiele) zmniejsza liczbę 100 w liczniku i mianowniku ułamka:
To jest błąd, który mój student popełnił w dniu pisania tego artykułu. Liczby, które zostały obcięte, są zaznaczone na czerwono.
Nie trzeba dodawać, że odpowiedź była błędna. Oceń sam: świnia zjadła 150 gramów, ale zaczęła jeść 3150 gramów. Wzrost nie jest 20%, ale 21-krotny, tj. o 2000%.
Aby uniknąć takich nieporozumień, pamiętaj o podstawowej zasadzie:
Zmniejszyć można jedynie mnożniki. Warunki nie mogą zostać obniżone!
Zatem prawidłowe rozwiązanie poprzedniego problemu wygląda następująco:
Liczby skrócone w liczniku i mianowniku są zaznaczone na czerwono. Jak widać licznik jest iloczynem, mianownik jest zwykłą liczbą. Zatem obniżka jest w pełni legalna.
Praca z proporcjami
Kolejnym problematycznym obszarem jest proporcje. Zwłaszcza, gdy zmienna jest po obu stronach. Na przykład:
Zadanie. Rozwiązać równanie:
Złe rozwiązanie - niektórych dosłownie korci, żeby wszystko skrócić o m:
Zredukowane zmienne są pokazane na czerwono. Wyrażenie 1/4 = 1/5 okazuje się kompletną bzdurą, liczby te nigdy nie są równe.
A teraz - słuszna decyzja. Zasadniczo jest zwyczajny równanie liniowe . Można to rozwiązać albo przesuwając wszystkie elementy na jedną stronę, albo korzystając z podstawowej właściwości proporcji:
Wielu czytelników zaprotestuje: „Gdzie jest błąd w pierwszym rozwiązaniu?” Cóż, przekonajmy się. Pamiętajmy o zasadzie pracy z równaniami:
Każde równanie można podzielić i pomnożyć przez dowolną liczbę, niezerowy.
Przegapiłeś tę sztuczkę? Dzielić można tylko przez liczby niezerowy. W szczególności możesz dzielić przez zmienną m tylko wtedy, gdy m != 0. Ale co, jeśli m = 0? Podstawmy i sprawdźmy:
Otrzymaliśmy poprawną równość liczbową, tj. m = 0 jest pierwiastkiem równania. Dla pozostałego m != 0 otrzymujemy wyrażenie w postaci 1/4 = 1/5, co jest oczywiście błędne. Zatem nie ma niezerowych pierwiastków.
Wnioski: złożyć wszystko w jedną całość
Zatem do rozwiązania ułamkowe równania wymierne pamiętaj o trzech zasadach:
- Zmniejszyć można jedynie mnożniki. Dodatki są niedozwolone. Dlatego naucz się rozkładać na czynniki licznik i mianownik;
- Główna właściwość proporcji: iloczyn skrajnych elementów jest równy iloczynowi środkowych;
- Równania można mnożyć i dzielić jedynie przez liczby k różne od zera. Przypadek k = 0 należy sprawdzić osobno.
Zapamiętaj te zasady i nie popełniaj błędów.
Redukcja ułamków jest konieczna, aby zmniejszyć ułamek na więcej prosty widok na przykład w odpowiedzi uzyskanej w wyniku rozwiązania wyrażenia.
Ułamki redukcyjne, definicja i wzór.
Co to jest ułamek redukujący? Co to znaczy skrócić ułamek?
Definicja:
Redukcja ułamków- jest to dzielenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę dodatnią, różną od zera i jedynki. W wyniku redukcji otrzymuje się ułamek o mniejszym liczniku i mianowniku, równy ułamkowi poprzedniemu wg.
Wzór na redukcję ułamków podstawowe własności liczb wymiernych.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Spójrzmy na przykład:
Zmniejsz ułamek \(\frac(9)(15)\)
Rozwiązanie:
Możemy rozłożyć ułamek na czynniki pierwsze i anulować wspólne czynniki.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Odpowiedź: po redukcji otrzymaliśmy ułamek \(\frac(3)(5)\). Zgodnie z podstawową właściwością liczb wymiernych ułamki pierwotne i wynikowe są równe.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Jak skrócić ułamki? Sprowadzanie ułamka do jego nieredukowalnej postaci.
Aby w rezultacie uzyskać ułamek nieredukowalny, potrzebujemy znajdź największy wspólny dzielnik (NWD) dla licznika i mianownika ułamka.
Istnieje kilka sposobów znalezienia NWD; w przykładzie wykorzystamy rozkład liczb na czynniki pierwsze.
Znajdź ułamek nieredukowalny \(\frac(48)(136)\).
Rozwiązanie:
Znajdźmy NWD(48, 136). Zapiszmy liczby 48 i 136 na czynniki pierwsze.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
NWD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(czerwony) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Zasada sprowadzania ułamka do postaci nieredukowalnej.
- Musisz znaleźć największy wspólny dzielnik licznika i mianownika.
- Aby otrzymać ułamek nieredukowalny, musisz podzielić licznik i mianownik przez największy wspólny dzielnik.
Przykład:
Skróć ułamek \(\frac(152)(168)\).
Rozwiązanie:
Znajdźmy NWD(152, 168). Zapiszmy liczby 152 i 168 na czynniki pierwsze.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
NWD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Odpowiedź: \(\frac(19)(21)\) jest ułamkiem nieredukowalnym.
Redukcja ułamków niewłaściwych.
Jak skrócić ułamek niewłaściwy?
Zasady skracania ułamków zwykłych i niewłaściwych są takie same.
Spójrzmy na przykład:
Skróć ułamek niewłaściwy \(\frac(44)(32)\).
Rozwiązanie:
Zapiszmy licznik i mianownik na proste czynniki. A następnie zredukujemy wspólne czynniki.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(czerwony) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Redukcja frakcji mieszanych.
Ułamki mieszane podlegają tym samym zasadom, co ułamki zwykłe. Jedyna różnica jest taka, że możemy nie dotykaj całej części, ale zmniejsz część ułamkową Lub Zamień ułamek mieszany na ułamek niewłaściwy, skróć go i zamień z powrotem na ułamek właściwy.
Spójrzmy na przykład:
Anuluj ułamek mieszany \(2\frac(30)(45)\).
Rozwiązanie:
Rozwiążmy to na dwa sposoby:
Pierwszy sposób:
Zapiszmy część ułamkową na proste czynniki, ale nie będziemy dotykać całej części.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Drugi sposób:
Najpierw zamieńmy go na ułamek niewłaściwy, a następnie zapiszmy na czynniki pierwsze i skróćmy. Zamieńmy otrzymany ułamek niewłaściwy na ułamek właściwy.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Pytania na ten temat:
Czy potrafisz skracać ułamki zwykłe podczas dodawania lub odejmowania?
Odpowiedź: nie, musisz najpierw dodać lub odjąć ułamki zgodnie z zasadami, a dopiero potem je zmniejszyć. Spójrzmy na przykład:
Oceń wyrażenie \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Rozwiązanie:
Często popełniają błąd, redukując te same liczby w liczniku i mianowniku, w naszym przypadku liczbę 20, ale nie można ich zmniejszyć, dopóki nie zakończy się dodawanie i odejmowanie.
\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Przez jakie liczby można skrócić ułamek?
Odpowiedź: Możesz skrócić ułamek przez największy wspólny dzielnik lub wspólny dzielnik licznika i mianownika. Na przykład ułamek \(\frac(100)(150)\).
Zapiszmy liczby 100 i 150 na czynniki pierwsze.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Największym wspólnym dzielnikiem będzie liczba gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Otrzymaliśmy ułamek nieredukowalny \(\frac(2)(3)\).
Ale nie zawsze trzeba dzielić przez NWD; nie zawsze potrzebny jest ułamek nieredukowalny; można go zmniejszyć przez prosty dzielnik licznika i mianownika. Na przykład liczby 100 i 150 mają wspólny dzielnik 2. Zmniejszmy ułamek \(\frac(100)(150)\) o 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Otrzymaliśmy ułamek redukowalny \(\frac(50)(75)\).
Jakie ułamki można skrócić?
Odpowiedź: Można skrócić ułamki zwykłe, w których licznik i mianownik mają wspólny dzielnik. Na przykład ułamek \(\frac(4)(8)\). Liczby 4 i 8 mają liczbę, przez którą są podzielne - liczbę 2. Dlatego taki ułamek można zmniejszyć o liczbę 2.
Przykład:
Porównaj dwa ułamki \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(8)(12)\).
Te dwa ułamki są równe. Przyjrzyjmy się bliżej ułamkowi \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)
Stąd otrzymujemy, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Dwa ułamki są równe wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich otrzymamy poprzez skrócenie drugiego ułamka przez wspólny współczynnik licznika i mianownika.
Przykład:
Jeśli to możliwe, skróć następujące ułamki: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Rozwiązanie:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) ułamek nieredukowalny
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ razy 5)=\frac(2)(5)\)
Jeśli będziemy musieli podzielić 497 przez 4, to podczas dzielenia zobaczymy, że 497 nie jest równomiernie podzielne przez 4, tj. pozostała część podziału pozostaje. W takich przypadkach mówi się, że jest zakończone dzielenie z resztą, a rozwiązanie jest zapisane w następujący sposób:
497: 4 = 124 (1 reszta).
Składniki dzielenia po lewej stronie równości nazywane są tak samo, jak przy dzieleniu bez reszty: 497 - dywidenda, 4 - rozdzielacz. Nazywa się wynik dzielenia z resztą niepełny prywatny. W naszym przypadku jest to liczba 124. I wreszcie ostatnia składowa, która nie podlega zwykłemu podziałowi, to reszta. W przypadkach, gdy nie ma reszty, mówi się, że jedna liczba jest dzielona przez drugą bez śladu lub całkowicie. Uważa się, że przy takim podziale reszta wynosi zero. W naszym przypadku reszta wynosi 1.
Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.
Dzielenie można sprawdzić mnożąc. Jeśli na przykład istnieje równość 64: 32 = 2, wówczas sprawdzenie można wykonać w następujący sposób: 64 = 32 * 2.
Często w przypadkach, gdy wykonywane jest dzielenie z resztą, wygodnie jest zastosować równość
a = b * n + r,
gdzie a jest dywidendą, b jest dzielnikiem, n jest ilorazem częściowym, r jest resztą.
Iloraz liczb naturalnych można zapisać w postaci ułamka zwykłego.
Licznik ułamka to dzielna, a mianownik to dzielnik.
Ponieważ licznik ułamka jest dzielną, a mianownik jest dzielnikiem, wierzą, że linia ułamka oznacza czynność dzielenia. Czasami wygodnie jest zapisać dzielenie w postaci ułamka zwykłego bez użycia znaku „:”.
Iloraz dzielenia liczb naturalnych m i n można zapisać w postaci ułamka zwykłego \(\frac(m)(n)\), gdzie licznik m jest dzielną, a mianownik n jest dzielnikiem:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Następujące zasady są prawdziwe:
Aby otrzymać ułamek \(\frac(m)(n)\), należy podzielić jednostkę na n równych części (udziałów) i wziąć m takich części.
Aby otrzymać ułamek \(\frac(m)(n)\), należy podzielić liczbę m przez liczbę n.
Aby znaleźć część całości, należy podzielić liczbę odpowiadającą całości przez mianownik i wynik pomnożyć przez licznik ułamka wyrażającego tę część.
Aby znaleźć całość z jej części, należy podzielić liczbę odpowiadającą tej części przez licznik i wynik pomnożyć przez mianownik ułamka wyrażającego tę część.
Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\duży \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ta właściwość nazywa się główna właściwość ułamka.
Dwie ostatnie transformacje nazywane są zmniejszanie ułamka.
Jeśli ułamki muszą być reprezentowane jako ułamki o tym samym mianowniku, wówczas nazywa się to działanie sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.
Ułamki właściwe i niewłaściwe. Liczby mieszane
Wiesz już, że ułamek można uzyskać, dzieląc całość na równe części i biorąc kilka takich części. Na przykład ułamek \(\frac(3)(4)\) oznacza trzy czwarte jednego. W wielu zadaniach opisanych w poprzednim akapicie ułamki były używane do przedstawienia części całości. Zdrowy rozsądek podpowiada, że część powinna być zawsze mniejsza od całości, ale co z ułamkami takimi jak \(\frac(5)(5)\) lub \(\frac(8)(5)\)? Oczywiste jest, że nie jest to już część jednostki. Prawdopodobnie dlatego nazywa się ułamki, których licznik jest większy lub równy mianownikowi ułamki niewłaściwe. Pozostałe ułamki, czyli ułamki, których licznik jest mniejszy od mianownika, nazywane są poprawne ułamki.
Jak wiadomo, dowolne ułamek wspólny, zarówno poprawne, jak i błędne, można uznać za wynik podzielenia licznika przez mianownik. Dlatego w matematyce, w odróżnieniu od języka potocznego, określenie „ułamek niewłaściwy” nie oznacza, że zrobiliśmy coś złego, a jedynie to, że licznik tego ułamka jest większy lub równy mianownikowi.
Jeśli liczba składa się z części całkowitej i ułamka, to taka ułamki nazywane są mieszanymi.
Na przykład:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 to część całkowita, a \(\frac(2)(3) \) to część ułamkowa.
Jeżeli licznik ułamka \(\frac(a)(b)\) jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, jego licznik należy podzielić przez tę liczbę:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Jeżeli licznik ułamka \(\frac(a)(b)\) nie jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, należy pomnożyć jego mianownik przez tę liczbę:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Zauważ, że druga zasada jest również prawdziwa, gdy licznik jest podzielny przez n. Dlatego możemy go użyć, gdy trudno na pierwszy rzut oka określić, czy licznik ułamka jest podzielny przez n, czy nie.
Działania z ułamkami. Dodawanie ułamków.
Operacje arytmetyczne można wykonywać na liczbach ułamkowych, podobnie jak na liczbach naturalnych. Przyjrzyjmy się najpierw dodawaniu ułamków. Z łatwością dodawaj ułamki za pomocą same mianowniki. Znajdźmy na przykład sumę \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3)(7)\). Łatwo zrozumieć, że \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.
Używając liter, regułę dodawania ułamków o podobnych mianownikach można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Jeśli chcesz dodać ułamki za pomocą różne mianowniki, to należy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Na przykład:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
W przypadku ułamków, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, obowiązują przemienne i łączne właściwości dodawania.
Dodawanie frakcji mieszanych
Wywoływane są takie oznaczenia, jak \(2\frac(2)(3)\). frakcje mieszane. W tym przypadku wywoływana jest liczba 2 cała część ułamek mieszany, a liczba \(\frac(2)(3)\) jest jego liczbą część ułamkowa. Zapis \(2\frac(2)(3)\) czyta się następująco: „dwa i dwie trzecie”.
Dzieląc liczbę 8 przez liczbę 3, możesz otrzymać dwie odpowiedzi: \(\frac(8)(3)\) i \(2\frac(2)(3)\). Wyrażają tę samą liczbę ułamkową, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Zatem ułamek niewłaściwy \(\frac(8)(3)\) jest reprezentowany jako ułamek mieszany \(2\frac(2)(3)\). W takich przypadkach się tak mówi ułamek niewłaściwy podkreślił całą część.
Odejmowanie ułamków zwykłych (liczb ułamkowych)
Odejmowanie liczb ułamkowych, podobnie jak liczb naturalnych, określa się na podstawie działania dodawania: odejmowanie drugiej od jednej liczby oznacza znalezienie takiej liczby, która po dodaniu do drugiej daje pierwszą. Na przykład:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ponieważ \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)
Zasada odejmowania ułamków o podobnych mianownikach jest podobna do zasady dodawania takich ułamków:
Aby znaleźć różnicę między ułamkami o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian.
Używając liter, reguła ta jest zapisana w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Mnożenie ułamków
Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć jego liczniki i mianowniki i zapisać pierwszy iloczyn jako licznik, a drugi jako mianownik.
Używając liter, regułę mnożenia ułamków można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Korzystając ze sformułowanej reguły, możesz pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, przez ułamek mieszany, a także pomnożyć ułamki mieszane. Aby to zrobić, musisz zapisać liczbę naturalną jako ułamek o mianowniku 1, a ułamek mieszany jako ułamek niewłaściwy.
Wynik mnożenia należy uprościć (jeśli to możliwe) poprzez zmniejszenie ułamka i wyodrębnienie całej części ułamka niewłaściwego.
W przypadku ułamków zwykłych, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, obowiązują przemienne i kombinacyjne właściwości mnożenia, a także rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Podział ułamków
Weźmy ułamek \(\frac(2)(3)\) i „odwróćmy go”, zamieniając licznik z mianownikiem. Otrzymujemy ułamek \(\frac(3)(2)\). Ten ułamek nazywa się odwracać ułamki \(\frac(2)(3)\).
Jeśli teraz „odwrócimy” ułamek \(\frac(3)(2)\), otrzymamy pierwotny ułamek \(\frac(2)(3)\). Dlatego ułamki takie jak \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(3)(2)\) nazywane są wzajemnie odwrotne.
Na przykład ułamki \(\frac(6)(5) \) i \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) i \(\frac (18 )(7)\).
Używając liter, ułamki odwrotne można zapisać w następujący sposób: \(\frac(a)(b) \) i \(\frac(b)(a) \)
Jest jasne, że iloczyn ułamków odwrotnych jest równy 1. Na przykład: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Używając ułamków odwrotnych, możesz sprowadzić dzielenie ułamków do mnożenia.
Zasada dzielenia ułamka przez ułamek jest następująca:
Aby podzielić ułamek przez drugi, należy pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.
Używając liter, regułę dzielenia ułamków można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Jeżeli dywidenda lub dzielnik jest liczbą naturalną lub frakcja mieszana, to aby zastosować regułę dzielenia ułamków, należy je najpierw przedstawić jako ułamek niewłaściwy.