Formułowanie werbalne formuł logarytmicznych. Definicja logarytmu i jego własności: teoria i rozwiązywanie problemów

Jak wiesz, przy mnożeniu wyrażeń przez potęgi ich wykładniki zawsze się sumują (a b * a c = a b + c). To matematyczne prawo zostało wyprowadzone przez Archimedesa, a później, w VIII wieku, matematyk Virasen stworzył tablicę wskaźników całkowitych. To oni posłużyli do dalszego odkrycia logarytmów. Przykłady użycia tej funkcji można znaleźć niemal wszędzie tam, gdzie wymagane jest uproszczenie uciążliwego mnożenia do prostego dodawania. Jeśli poświęcisz 10 minut na przeczytanie tego artykułu, wyjaśnimy Ci, czym są logarytmy i jak z nimi pracować. Prosty i przystępny język.

Definicja w matematyce

Logarytm jest wyrażeniem następującej postaci: log a b=c, czyli logarytm dowolnej liczby nieujemnej (czyli dowolnej dodatniej) „b” zgodnie z jego podstawą „a” jest uważane za potęgę „c ", do którego należy podnieść podstawę "a", aby w końcu uzyskać wartość "b". Przeanalizujmy logarytm na przykładach, powiedzmy, że istnieje wyrażenie log 2 8. Jak znaleźć odpowiedź? To bardzo proste, trzeba znaleźć taki stopień, aby od 2 do wymaganego stopnia uzyskać 8. Po dokonaniu pewnych obliczeń w głowie otrzymujemy liczbę 3! I słusznie, bo 2 do potęgi 3 daje w odpowiedzi liczbę 8.

Odmiany logarytmów

Dla wielu uczniów i studentów ten temat wydaje się skomplikowany i niezrozumiały, ale w rzeczywistości logarytmy nie są takie straszne, najważniejsze jest zrozumienie ich ogólnego znaczenia i zapamiętanie ich właściwości i niektórych zasad. Są trzy pewne rodzaje wyrażenia logarytmiczne:

Logarytm naturalny ln a, gdzie podstawą jest liczba Eulera (e = 2,7).
Dziesiętne a, gdzie podstawą jest 10.
Logarytm dowolnej liczby b do podstawy a>1.

Każde z nich jest rozwiązywane w standardowy sposób, obejmujący uproszczenie, redukcję, a następnie redukcję do jednego logarytmu za pomocą twierdzeń logarytmicznych. Za zdobycie prawidłowe wartości logarytmów, należy pamiętać o ich właściwościach i kolejności działań w ich decyzjach.

Zasady i pewne ograniczenia

W matematyce istnieje kilka reguł-ograniczeń, które są akceptowane jako aksjomat, to znaczy nie podlegają dyskusji i są prawdziwe. Na przykład niemożliwe jest dzielenie liczb przez zero, a także niemożliwe jest wyodrębnienie pierwiastka stopnia parzystego z liczb ujemnych. Logarytmy też mają swoje zasady, dzięki którym łatwo nauczysz się pracować nawet z długimi i pojemnymi wyrażeniami logarytmicznymi:

podstawa „a” musi być zawsze większa od zera, a jednocześnie nie może być równa 1, w przeciwnym razie wyrażenie straci sens, ponieważ „1” i „0” w jakimkolwiek stopniu są zawsze równe swoim wartościom;
jeśli a > 0, to a b > 0, to okazuje się, że „c” musi być większe od zera.

Jak rozwiązywać logarytmy?

Na przykład zadanie polegało na znalezieniu odpowiedzi na równanie 10 x \u003d 100. To bardzo proste, musisz wybrać taką potęgę, podnosząc liczbę dziesięć, do której otrzymujemy 100. To oczywiście jest 10 2 \u003d 100.

Teraz przedstawmy to wyrażenie jako logarytmiczne. Otrzymujemy log 10 100 = 2. Przy rozwiązywaniu logarytmów wszystkie działania praktycznie sprowadzają się do znalezienia stopnia, w jakim należy wprowadzić podstawę logarytmu, aby otrzymać daną liczbę.

Aby dokładnie określić wartość nieznanego stopnia, musisz nauczyć się pracować z tabelą stopni. To wygląda tak:

Jak widać, niektóre wykładniki można odgadnąć intuicyjnie, jeśli masz techniczne nastawienie i znasz tabliczkę mnożenia. Jednak dla duże wartości potrzebujesz tabeli stopni. Może być używany nawet przez tych, którzy nie rozumieją niczego w skomplikowany sposób tematy matematyczne. Lewa kolumna zawiera liczby (podstawa a), górny rząd liczb to wartość potęgi c, do której podnoszona jest liczba a. Na przecięciu komórek określane są wartości liczb, które są odpowiedzią (a c = b). Weźmy na przykład pierwszą komórkę z liczbą 10 i podnieś ją do kwadratu, otrzymamy wartość 100, która jest wskazana na przecięciu naszych dwóch komórek. Wszystko jest tak proste i łatwe, że zrozumie nawet najbardziej prawdziwy humanista!

Równania i nierówności

Okazuje się, że w pewnych warunkach wykładnikiem jest logarytm. Dlatego dowolne matematyczne wyrażenia liczbowe można zapisać jako równanie logarytmiczne. Na przykład 3 4 = 81 można zapisać jako logarytm 81 o podstawie 3, czyli cztery (log 3 81 = 4). Do negatywne moce zasady są takie same: 2 -5 \u003d 1/32 piszemy w postaci logarytmu, otrzymujemy log 2 (1/32) \u003d -5. Jednym z najbardziej fascynujących działów matematyki jest temat „logarytmów”. Rozważymy przykłady i rozwiązania równań nieco niżej, zaraz po przestudiowaniu ich właściwości. Przyjrzyjmy się teraz, jak wyglądają nierówności i jak odróżnić je od równań.

Podano wyrażenie o postaci: log 2 (x-1) > 3 - jest to nierówność logarytmiczna, ponieważ nieznana wartość „x” jest pod znakiem logarytmu. A także w wyrażeniu porównywane są dwie wielkości: logarytm żądanej liczby o podstawie drugiej jest większy niż liczba trzy.

Najważniejsza różnica między równaniami logarytmicznymi a nierównościami polega na tym, że równania z logarytmami (na przykład logarytm z 2 x = √9) implikują jedną lub więcej określonych wartości liczbowych w odpowiedzi, podczas gdy przy rozwiązywaniu nierówności zarówno zakres dopuszczalne wartości i punkty łamania tej funkcji. W konsekwencji odpowiedź nie jest prostym zbiorem pojedynczych liczb, jak w odpowiedzi równania, ale ciągłą serią lub zbiorem liczb.

Podstawowe twierdzenia o logarytmach

Podczas rozwiązywania prymitywnych zadań dotyczących znajdowania wartości logarytmu jego właściwości mogą nie być znane. Jednak jeśli chodzi o równania lub nierówności logarytmiczne, przede wszystkim konieczne jest jasne zrozumienie i zastosowanie w praktyce wszystkich podstawowych właściwości logarytmów. Z przykładami równań zapoznamy się później, najpierw przeanalizujmy bardziej szczegółowo każdą właściwość.

Podstawowa tożsamość wygląda następująco: a logaB = B. Ma zastosowanie tylko wtedy, gdy a jest większe od 0, a nie równe jeden, a B jest większe od zera.
Logarytm iloczynu można przedstawić za pomocą następującego wzoru: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. W tym przypadku warunkiem wstępnym jest: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Możesz podać dowód dla tego wzoru logarytmów, z przykładami i rozwiązaniem. Niech log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2 , następnie a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Otrzymujemy, że s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (właściwości stopnia ), i dalej z definicji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, co należało udowodnić.
Logarytm ilorazu wygląda następująco: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Twierdzenie w postaci wzoru przyjmuje następującą postać: log a q b n = n/q log a b.

Ta formuła nazywa się „własnością stopnia logarytmu”. Przypomina właściwości zwykłych stopni i nie jest to zaskakujące, ponieważ cała matematyka opiera się na regularnych postulatach. Spójrzmy na dowód.

Zarejestrujmy a b \u003d t, okazuje się, że a t \u003d b. Jeśli podniesiesz obie części do potęgi m: a tn = b n ;

ale ponieważ a tn = (a q) nt/q = b n , stąd log a q b n = (n*t)/t, to log a q b n = n/q log a b. Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykłady problemów i nierówności

Najczęstsze typy problemów logarytmicznych to przykłady równań i nierówności. Znajdują się one w prawie wszystkich książkach problemowych, a także są zawarte w obowiązkowej części egzaminów z matematyki. Aby dostać się na uniwersytet lub zdać testy wstępne z matematyki, musisz wiedzieć, jak poprawnie rozwiązywać takie zadania.

Niestety nie ma jednego planu ani schematu rozwiązywania i wyznaczania nieznanej wartości logarytmu, jednak każdą nierówność matematyczną lub równanie logarytmiczne można zastosować pewne zasady. Przede wszystkim powinieneś dowiedzieć się, czy wyrażenie można uprościć lub sprowadzić do ogólna perspektywa. Możesz uprościć długie wyrażenia logarytmiczne, jeśli prawidłowo użyjesz ich właściwości. Poznajmy ich wkrótce.

Decydując się równania logarytmiczne, należy ustalić, jaki rodzaj logarytmu mamy przed sobą: przykładowe wyrażenie może zawierać logarytm naturalny lub dziesiętny.

Oto przykłady ln100, ln1026. Ich rozwiązanie sprowadza się do tego, że trzeba określić stopień, w jakim podstawa 10 będzie równa odpowiednio 100 i 1026. W przypadku rozwiązań logarytmów naturalnych należy zastosować tożsamości logarytmiczne lub ich właściwości. Przyjrzyjmy się przykładom rozwiązywania problemów logarytmicznych różnego typu.

Jak korzystać z formuł logarytmicznych: z przykładami i rozwiązaniami

Przyjrzyjmy się więc przykładom użycia głównych twierdzeń o logarytmach.

Właściwość logarytmu iloczynu można wykorzystać w zadaniach, w których konieczne jest rozłożenie dużej wartości liczby b na prostsze czynniki. Na przykład log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpowiedź to 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak widać, korzystając z czwartej własności stopnia logarytmu, udało nam się rozwiązać na pierwszy rzut oka złożone i nierozwiązywalne wyrażenie. Konieczne jest jedynie rozłożenie podstawy na czynniki, a następnie wyjęcie wartości wykładników ze znaku logarytmu.

Zadania z egzaminu

Logarytmy są często spotykane na egzaminach wstępnych, zwłaszcza w wielu problemach logarytmicznych na jednolitym egzaminie państwowym (egzamin państwowy dla wszystkich absolwentów szkół). Zazwyczaj zadania te występują nie tylko w części A (najłatwiejsza testowa część egzaminu), ale także w części C (zadania najtrudniejsze i najbardziej obszerne). Egzamin zakłada dokładną i perfekcyjną znajomość tematu "Logarytmy naturalne".

Przykłady i rozwiązania problemów pochodzą z oficjalnych wersji egzaminu. Zobaczmy, jak rozwiązuje się takie zadania.

Dany log 2 (2x-1) = 4. Rozwiązanie:
przepiszmy wyrażenie, upraszczając je trochę log 2 (2x-1) = 2 2 , z definicji logarytmu otrzymujemy to 2x-1 = 2 4 , więc 2x = 17; x = 8,5.

Wszystkie logarytmy najlepiej sprowadzić do tej samej podstawy, aby rozwiązanie nie było kłopotliwe i mylące.
Wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmu są oznaczane jako dodatnie, dlatego przy wyjęciu wykładnika wykładnika wyrażenia, który jest pod znakiem logarytmu i jako jego podstawa, wyrażenie pozostające pod logarytmem musi być dodatnie.

podstawowe właściwości.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x:y).

te same podstawy

log6 4 + log6 9.

Teraz skomplikujmy trochę zadanie.

Przykłady rozwiązywania logarytmów

Co jeśli w podstawie lub argumencie logarytmu jest stopień? Następnie wykładnik tego stopnia można wyjąć ze znaku logarytmu zgodnie z następującymi zasadami:

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli przestrzega się logarytmu ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Przejście na nowy fundament

Niech dany będzie logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, równość jest prawdziwa:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zobacz też:

Podstawowe własności logarytmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Wykładnik to 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować regułę: wykładnik to 2,7 i dwa razy rok urodzenia Lwa Tołstoja.

Podstawowe własności logarytmów

Znając tę zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

Przykłady logarytmów

Weź logarytm wyrażeń

Przykład 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Według właściwości 3,5 obliczamy

4. gdzie .

Przykład 2 Znajdź x, jeśli

Przykład 3. Niech będzie podana wartość logarytmów

Oblicz log(x), jeśli

Podstawowe własności logarytmów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i konwertować na wszelkie możliwe sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są całkiem zwykłymi liczbami, istnieją tutaj reguły, które są nazywane podstawowe właściwości.

Te zasady muszą być znane - bez nich nie da się rozwiązać żadnego poważnego problemu logarytmicznego. Ponadto jest ich bardzo mało - wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważ dwa logarytmy z te same podstawy: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x:y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest logarytmem ilorazu. Notatka: kluczowy moment tutaj - te same podstawy. Jeśli podstawy są różne, te zasady nie działają!

Formuły te pomogą obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli jego poszczególne części nie są brane pod uwagę (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Ponieważ podstawy logarytmów są takie same, używamy wzoru na sumę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Ponownie, podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się z „złych” logarytmów, które nie są rozpatrywane osobno. Ale po przekształceniach okazuje się całkiem normalne numery. Opierając się na tym fakcie, wielu papiery testowe. Tak, kontrola - podobne wyrażenia z całą powagą (czasami - praktycznie bez zmian) są oferowane na egzaminie.

Usuwanie wykładnika z logarytmu

Łatwo to zauważyć ostatnia zasada podąża za dwoma pierwszymi. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli obserwuje się logarytm ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie formuły nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie, tj. możesz wprowadzić liczby przed znakiem logarytmu do samego logarytmu. To jest najczęściej wymagane.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie według pierwszego wzoru:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że mianownik jest logarytmem, którego podstawą i argumentem są potęgi dokładne: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem.

Formuły logarytmów. Przykładami rozwiązań są logarytmy.

Przedstawili podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci stopni i wyjęli wskaźniki - otrzymali ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik mają tę samą liczbę: log2 7. Ponieważ log2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - 2/4 pozostanie w mianowniku. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co zostało zrobione. Wynikiem jest odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, wyraźnie podkreśliłem, że działają one tylko z tymi samymi podstawami. A co jeśli podstawy są inne? Co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia do nowej bazy. Formułujemy je w postaci twierdzenia:

Niech dany będzie logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, równość jest prawdziwa:

W szczególności, jeśli wstawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiej formuły wynika, że można zamienić podstawę i argument logarytmu, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażenia liczbowe. Można ocenić, jak wygodne są tylko przy rozwiązywaniu logarytmicznych równań i nierówności.

Są jednak zadania, których w ogóle nie można rozwiązać, chyba że przeprowadzi się do nowego fundamentu. Rozważmy kilka z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Zauważ, że argumenty obu logarytmów są dokładnymi wykładnikami. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2 log2 5;

Teraz odwróćmy drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery i dwa, a następnie obliczyliśmy logarytmy.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania wymagane jest przedstawienie liczby jako logarytmu do danej podstawy. W takim przypadku formuły pomogą nam:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem w argumencie. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to po prostu wartość logarytmu.

Druga formuła jest w rzeczywistości sparafrazowaną definicją. Nazywa się to tak:

Rzeczywiście, co się stanie, jeśli liczba b zostanie podniesiona do takiego stopnia, że liczba b w tym stopniu da liczbę a? Zgadza się: to jest ta sama liczba a. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz - wiele osób „wisi” na nim.

Podobnie jak formuły przejścia do nowej bazy, main tożsamość logarytmiczna czasami jest to jedyne możliwe rozwiązanie.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wyjąłem kwadrat z podstawy i argument logarytmu. Biorąc pod uwagę zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie, otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z Jednolitego Egzaminu Państwowego 🙂

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Na zakończenie podam dwie tożsamości, które trudno nazwać własnościami – są to raczej konsekwencje z definicji logarytmu. Ciągle znajdują się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

loga = 1 jest. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy a z samej tej podstawy jest równy jeden.
loga 1 = 0 jest. Podstawa a może być dowolna, ale jeśli argument wynosi jeden, logarytm wynosi zero! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby ćwiczyć wprowadzanie ich w życie! Pobierz ściągawkę na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Zobacz też:

Logarytm liczby b do podstawy a oznacza wyrażenie. Obliczenie logarytmu oznacza znalezienie takiej potęgi x (), przy której równość jest prawdziwa

Podstawowe własności logarytmu

Powyższe właściwości muszą być znane, ponieważ na ich podstawie prawie wszystkie problemy i przykłady są rozwiązywane w oparciu o logarytmy. Pozostałe egzotyczne właściwości można wyprowadzić za pomocą matematycznych manipulacji tymi wzorami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Podczas obliczania wzorów na sumę i różnicę logarytmów (3.4) spotyka się dość często. Reszta jest nieco skomplikowana, ale w wielu zadaniach są one niezbędne do upraszczania złożonych wyrażeń i obliczania ich wartości.

Typowe przypadki logarytmów

Niektóre z typowych logarytmów to te, w których podstawa wynosi nawet dziesięć, wykładniczy lub dwójka.
Logarytm o podstawie dziesiątej jest zwykle nazywany logarytmem o podstawie dziesiątej i jest po prostu oznaczany jako lg(x).

Z protokołu widać, że podstawy nie są zapisane w protokole. Na przykład

Logarytm naturalny to logarytm, którego podstawą jest wykładnik (oznaczony ln(x)).

Wykładnik to 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować regułę: wykładnik to 2,7 i dwa razy rok urodzenia Lwa Tołstoja. Znając tę zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

Kolejnym ważnym logarytmem o podstawie dwa jest

Pochodna logarytmu funkcji jest równa jedności podzielonej przez zmienną

Całkowy lub pierwotny logarytm jest określany przez zależność

Powyższy materiał wystarczy do rozwiązania szerokiej klasy problemów związanych z logarytmami i logarytmami. Dla przyswojenia materiału podam tylko kilka typowych przykładów z programu szkolnego i uczelni.

Przykłady logarytmów

Weź logarytm wyrażeń

Przykład 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Według właściwości 3,5 obliczamy

2.
Dzięki właściwości różnicowej logarytmów mamy

3.
Korzystając z właściwości 3.5 znajdujemy

4. gdzie .

Z pozoru złożone wyrażenie wykorzystujące szereg reguł zostaje uproszczone do formy

Znajdowanie wartości logarytmu

Przykład 2 Znajdź x, jeśli

Rozwiązanie. Do obliczeń stosujemy właściwości 5 i 13 aż do ostatniego wyrazu

Zastąp w protokole i opłakuj

Ponieważ podstawy są równe, zrównujemy wyrażenia

Logarytmy. Pierwszy poziom.

Niech podane zostaną wartości logarytmów

Oblicz log(x), jeśli

Rozwiązanie: Weź logarytm zmiennej, aby zapisać logarytm przez sumę warunków

To dopiero początek znajomości logarytmów i ich własności. Ćwicz obliczenia, wzbogać swoje umiejętności praktyczne - zdobyta wiedza będzie Ci wkrótce potrzebna do rozwiązywania równań logarytmicznych. Po przestudiowaniu podstawowych metod rozwiązywania takich równań poszerzymy Twoją wiedzę o inny równie ważny temat - nierówności logarytmiczne ...

Podstawowe własności logarytmów

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tej samej podstawie: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x:y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest logarytmem ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj - te same podstawy. Jeśli podstawy są różne, te zasady nie działają!

Formuły te pomogą obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli jego poszczególne części nie są brane pod uwagę (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log6 4 + log6 9.

Ponieważ podstawy logarytmów są takie same, używamy wzoru na sumę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Ponownie, podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się z „złych” logarytmów, które nie są rozpatrywane osobno. Ale po przekształceniach pojawiają się całkiem normalne liczby. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, kontrola - podobne wyrażenia z całą powagą (czasami - praktycznie bez zmian) są oferowane na egzaminie.

Usuwanie wykładnika z logarytmu

Teraz skomplikujmy trochę zadanie. Co jeśli w podstawie lub argumencie logarytmu jest stopień? Następnie wykładnik tego stopnia można wyjąć ze znaku logarytmu zgodnie z następującymi zasadami:

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła następuje po pierwszych dwóch. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Jak rozwiązywać logarytmy

To jest najczęściej wymagane.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie według pierwszego wzoru:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że mianownik jest logarytmem, którego podstawą i argumentem są potęgi dokładne: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawili podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci stopni i wyjęli wskaźniki - otrzymali ułamek „trzypiętrowy”.

Przejście na nowy fundament

Na ratunek przychodzą formuły przejścia do nowej bazy. Formułujemy je w postaci twierdzenia:

Niech dany będzie logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, równość jest prawdziwa:

W szczególności, jeśli wstawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiej formuły wynika, że można zamienić podstawę i argument logarytmu, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są tylko przy rozwiązywaniu logarytmicznych równań i nierówności.

Są jednak zadania, których w ogóle nie można rozwiązać, chyba że przeprowadzi się do nowego fundamentu. Rozważmy kilka z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Zauważ, że argumenty obu logarytmów są dokładnymi wykładnikami. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2 log2 5;

Teraz odwróćmy drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery i dwa, a następnie obliczyliśmy logarytmy.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania wymagane jest przedstawienie liczby jako logarytmu do danej podstawy. W takim przypadku formuły pomogą nam:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem w argumencie. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to po prostu wartość logarytmu.

Druga formuła jest w rzeczywistości sparafrazowaną definicją. Nazywa się to tak:

Podobnie jak nowe formuły konwersji bazowej, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasem jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wyjąłem kwadrat z podstawy i argument logarytmu. Biorąc pod uwagę zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie, otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z Jednolitego Egzaminu Państwowego 🙂

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

loga = 1 jest. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy a z samej tej podstawy jest równy jeden.
loga 1 = 0 jest. Podstawa a może być dowolna, ale jeśli argument wynosi jeden, logarytm wynosi zero! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby ćwiczyć wprowadzanie ich w życie! Pobierz ściągawkę na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Jednym z elementów algebry na poziomie pierwotnym jest logarytm. Nazwa pochodzi z języka greckiego od słowa „liczba” lub „stopień” i oznacza stopień, w jakim należy podnieść liczbę u podstawy, aby znaleźć liczbę końcową.

Rodzaje logarytmów

log a b jest logarytmem liczby b do podstawy a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
lg b - logarytm dziesiętny (podstawa logarytmu 10, a = 10);
ln b - logarytm naturalny (podstawa logarytmu e, a = e).

Jak rozwiązywać logarytmy?

Logarytm liczby b do podstawy a jest wykładnikiem, który wymaga podniesienia podstawy a do liczby b. Wynik jest wymawiany w następujący sposób: „logarytm b do podstawy a”. Rozwiązaniem problemów logarytmicznych jest to, że musisz określić dany stopień za pomocą liczb w określone liczby. Istnieje kilka podstawowych zasad określania lub rozwiązywania logarytmu, a także przekształcania samego zapisu. Za ich pomocą rozwiązuje się równania logarytmiczne, znajduje pochodne, rozwiązuje całki i wykonuje wiele innych operacji. Zasadniczo rozwiązaniem samego logarytmu jest jego uproszczona notacja. Poniżej znajdują się główne formuły i właściwości:

Dla dowolnego; > 0; a ≠ 1 i dla dowolnego x ; y > 0.

a log a b = b jest podstawową tożsamością logarytmiczną
zaloguj 1 = 0
log a a = 1
log a (x y ) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , dla k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x \u003d log b x / log b a - formuła przejścia do nowej bazy
loga x = 1/log x a

Jak rozwiązywać logarytmy - instrukcje krok po kroku dotyczące rozwiązywania

Najpierw zapisz wymagane równanie.

Uwaga: jeśli logarytm bazowy wynosi 10, to zapis jest skracany, uzyskuje się logarytm dziesiętny. Jeśli warto Liczba naturalna e, następnie zapisujemy, redukując do naturalny logarytm. Oznacza to, że wynikiem wszystkich logarytmów jest potęga, do której należy podnieść liczbę bazową, aby otrzymać liczbę b.

Bezpośrednio rozwiązanie leży w obliczeniu tego stopnia. Przed rozwiązaniem wyrażenia za pomocą logarytmu należy je uprościć zgodnie z regułą, czyli za pomocą wzorów. Możesz znaleźć główne tożsamości, cofając się trochę w artykule.

Podczas dodawania i odejmowania logarytmów z dwiema różnymi liczbami, ale o tej samej podstawie, zastąp je jednym logarytmem odpowiednio iloczynem lub dzieleniem liczb b i c. W takim przypadku możesz zastosować formułę przejścia do innej bazy (patrz wyżej).

Jeśli używasz wyrażeń do uproszczenia logarytmu, musisz pamiętać o pewnych ograniczeniach. I to jest: podstawa logarytmu a jest tylko liczbą dodatnią, ale nie jest równa jeden. Liczba b, podobnie jak a, musi być większa od zera.

Zdarzają się przypadki, gdy po uproszczeniu wyrażenia nie będzie można obliczyć logarytmu w postaci liczbowej. Zdarza się, że takie wyrażenie nie ma sensu, ponieważ wiele stopni to liczby niewymierne. Pod tym warunkiem zostaw potęgę liczby jako logarytm.

\(a^(b)=c\) \(\strzałka w lewo\) \(\log_(a)(c)=b\)

Wyjaśnijmy to łatwiej. Na przykład \(\log_(2)(8)\) jest równe potędze, do której należy podnieść \(2\), aby otrzymać \(8\). Z tego jasno wynika, że \(\log_(2)(8)=3\).

Przykłady:	\(\log_(5)(25)=2\)	dlatego \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	dlatego \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	dlatego \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i podstawa logarytmu

Każdy logarytm ma następującą „anatomię”:

Argument logarytmu jest zwykle zapisywany na jego poziomie, a podstawa jest zapisywana w indeksie dolnym bliżej znaku logarytmu. A ten wpis czyta się tak: „logarytm z dwudziestu pięciu do podstawy piątej”.

Jak obliczyć logarytm?

Aby obliczyć logarytm, musisz odpowiedzieć na pytanie: do jakiego stopnia należy podnieść podstawę, aby uzyskać argument?

Na przykład, oblicz logarytm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Do jakiej potęgi należy podnieść \(4\), aby otrzymać \(16\)? Jasne, że drugie. Dlatego:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Do jakiej potęgi należy podnieść \(\sqrt(5)\), aby otrzymać \(1\)? A jaki stopień sprawia, że dowolna liczba jest jednostką? Zero, oczywiście!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Do jakiej potęgi należy podnieść \(\sqrt(7)\), aby otrzymać \(\sqrt(7)\)? W pierwszym - dowolna liczba w pierwszym stopniu jest równa sobie.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Do jakiej potęgi należy podnieść \(3\), aby otrzymać \(\sqrt(3)\)? Z wiemy, że jest to potęga ułamkowa, co oznacza Pierwiastek kwadratowy to stopień \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Przykład : Oblicz logarytm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Rozwiązanie :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Musimy znaleźć wartość logarytmu, oznaczmy ją jako x. Teraz skorzystajmy z definicji logarytmu: \(\log_(a)(c)=b\) \(\strzałka w lewo\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Jakie linki \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dwa, ponieważ obie liczby mogą być reprezentowane przez dwójki: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Po lewej używamy własności stopnia: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Podstawy są równe, przechodzimy do równości wskaźników
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnóż obie strony równania przez \(\frac(2)(5)\)
		Wynikowy pierwiastek jest wartością logarytmu

Odpowiadać : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Dlaczego wynaleziono logarytm?

Aby to zrozumieć, rozwiążmy równanie: \(3^(x)=9\). Po prostu dopasuj \(x\), aby równość działała. Oczywiście \(x=2\).

Teraz rozwiąż równanie: \(3^(x)=8\) Ile wynosi x? O to chodzi.

Najbardziej pomysłowy powie: „X to trochę mniej niż dwa”. Jak dokładnie zapisać tę liczbę? Aby odpowiedzieć na to pytanie, wymyślili logarytm. Dzięki niemu tutaj odpowiedź można zapisać jako \(x=\log_(3)(8)\).

Chcę podkreślić, że \(\log_(3)(8)\), jak również każdy logarytm jest tylko liczbą. Tak, wygląda to nietypowo, ale jest krótkie. Bo gdybyśmy chcieli napisać to w formie Ułamek dziesiętny, wtedy wyglądałoby to tak: \(1.892789260714.....\)

Przykład : Rozwiąż równanie \(4^(5x-4)=10\)

Rozwiązanie :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) nie można sprowadzić do tej samej podstawy. Więc tutaj nie możesz obejść się bez logarytmu. Skorzystajmy z definicji logarytmu: \(a^(b)=c\) \(\strzałka w lewo\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Odwróć równanie tak, aby x znajdowało się po lewej stronie
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Przed nami. Przesuń \(4\) w prawo. I nie bój się logarytmu, traktuj go jak normalną liczbę.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podziel równanie przez 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Oto nasz korzeń. Tak, wygląda to nietypowo, ale odpowiedź nie jest wybrana.

Odpowiadać : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logarytmy dziesiętne i naturalne

Jak podano w definicji logarytmu, jego podstawą może być dowolna liczba dodatnia oprócz jednego \((a>0, a\neq1)\). A wśród wszystkich możliwych podstaw są dwie, które występują tak często, że wymyślono specjalną krótką notację dla logarytmów z nimi:

Logarytm naturalny: logarytm, którego podstawą jest liczba Eulera \(e\) (równa w przybliżeniu \(2,7182818...\)), a logarytm jest zapisywany jako \(\ln(a)\).

To znaczy, \(\ln(a)\) jest tym samym co \(\log_(e)(a)\)

Logarytm dziesiętny: Logarytm o podstawie 10 jest zapisywany jako \(\lg(a)\).

To znaczy, \(\lg(a)\) jest tym samym co \(\log_(10)(a)\), gdzie \(a\) to pewna liczba.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Logarytmy mają wiele właściwości. Jedna z nich nosi nazwę „Podstawowa tożsamość logarytmiczna” i wygląda następująco:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Właściwość ta wynika bezpośrednio z definicji. Zobaczmy, jak powstała ta formuła.

Przypomnij sobie krótką definicję logarytmu:

jeśli \(a^(b)=c\), to \(\log_(a)(c)=b\)

Oznacza to, że \(b\) jest tym samym co \(\log_(a)(c)\). Następnie możemy napisać \(\log_(a)(c)\) zamiast \(b\) we wzorze \(a^(b)=c\) . Okazało się, że \(a^(\log_(a)(c))=c\) - główna tożsamość logarytmiczna.

Możesz znaleźć pozostałe właściwości logarytmów. Z ich pomocą można uprościć i obliczyć wartości wyrażeń za pomocą logarytmów, które są trudne do bezpośredniego obliczenia.

Przykład : Znajdź wartość wyrażenia \(36^(\log_(6)(5))\)

Rozwiązanie :

Odpowiadać : \(25\)

Jak zapisać liczbę jako logarytm?

Jak wspomniano powyżej, każdy logarytm jest tylko liczbą. Odwrotność jest również prawdziwa: dowolną liczbę można zapisać jako logarytm. Na przykład wiemy, że \(\log_(2)(4)\) równa się dwa. Następnie możesz napisać \(\log_(2)(4)\) zamiast dwóch.

Ale \(\log_(3)(9)\) jest również równe \(2\), więc możesz również napisać \(2=\log_(3)(9)\) . Podobnie z \(\log_(5)(25)\), oraz z \(\log_(9)(81)\) itd. To znaczy, okazuje się

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Tak więc, jeśli potrzebujemy, możemy zapisać te dwa jako logarytm o dowolnej podstawie w dowolnym miejscu (nawet w równaniu, nawet w wyrażeniu, nawet w nierówności) - po prostu zapisujemy podstawę do kwadratu jako argument.

Tak samo jest z trójką - można ją zapisać jako \(\log_(2)(8)\), albo jako \(\log_(3)(27)\), albo jako \(\log_(4)( 64) \) ... Tutaj zapisujemy podstawę w kostce jako argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

I z czterema:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

I z minusem:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

I z jedną trzecią:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Dowolną liczbę \(a\) można przedstawić jako logarytm o podstawie \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Przykład : Znajdź wartość wyrażenia \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Rozwiązanie :

Odpowiadać : \(1\)

Dzisiaj porozmawiamy o formuły logarytmiczne i dać demonstrację przykłady rozwiązań.

Same w sobie implikują wzorce rozwiązań zgodnie z podstawowymi właściwościami logarytmów. Przed zastosowaniem formuł logarytmicznych do rozwiązania przypominamy najpierw wszystkie właściwości:

Teraz, w oparciu o te wzory (właściwości), pokażemy przykłady rozwiązywania logarytmów.

Przykłady rozwiązywania logarytmów na podstawie wzorów.

Logarytm liczba dodatnia b o podstawie a (oznaczona jako logarytm a b) jest wykładnikiem, do którego należy podnieść a, aby otrzymać b, gdzie b > 0, a > 0 i 1.

Zgodnie z definicją log a b = x, co jest równoważne a x = b, więc log a a x = x.

Logarytmy, przykłady:

log 2 8 = 3, ponieważ 2 3 = 8

log 7 49 = 2 ponieważ 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, ponieważ 5 -1 = 1/5

Logarytm dziesiętny jest zwykłym logarytmem, którego podstawą jest 10. Oznaczone jako lg.

log 10 100 = 2 ponieważ 10 2 = 100

naturalny logarytm- również zwykły logarytm logarytmiczny, ale z podstawą e (e \u003d 2,71828 ... - liczba niewymierna). Określany jako ln.

Pożądane jest zapamiętanie wzorów lub właściwości logarytmów, ponieważ będą one potrzebne później przy rozwiązywaniu logarytmów, równań logarytmicznych i nierówności. Przeanalizujmy ponownie każdą formułę z przykładami.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna
log a b = b
8 2 log 8 3 = (8 2 log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logarytm produktu jest równa sumie logarytmy
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Własności stopnia liczby logarytmicznej i podstawy logarytmu
Wykładnik logarytmu dziennik liczb a b m = mlog a b

Podstawowy wykładnik dziennik logarytmów a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

jeśli m = n, otrzymujemy log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Przejście na nowy fundament
log a b = log c b / log c a,
jeśli c = b, otrzymujemy log b b = 1

następnie zaloguj a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Jak widać, formuły logarytmiczne nie są tak skomplikowane, jak się wydaje. Teraz, po rozważeniu przykładów rozwiązywania logarytmów, możemy przejść do równań logarytmicznych. Bardziej szczegółowo rozważymy przykłady rozwiązywania równań logarytmicznych w artykule: „”. Nie przegap!

Jeśli nadal masz pytania dotyczące rozwiązania, napisz je w komentarzach do artykułu.

Uwaga: zdecydowałem się na wykształcenie innej klasy studiując za granicą jako opcję.