9 wzorów związanych z właściwościami potęg logarytmów. Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Jak wiesz, przy mnożeniu wyrażeń przez potęgi ich wykładniki zawsze się sumują (a b * a c = a b + c). To matematyczne prawo zostało wyprowadzone przez Archimedesa, a później, w VIII wieku, matematyk Virasen stworzył tablicę wskaźników całkowitych. To oni posłużyli do dalszego odkrycia logarytmów. Przykłady użycia tej funkcji można znaleźć niemal wszędzie tam, gdzie wymagane jest uproszczenie uciążliwego mnożenia do prostego dodawania. Jeśli poświęcisz 10 minut na przeczytanie tego artykułu, wyjaśnimy Ci, czym są logarytmy i jak z nimi pracować. Prosty i przystępny język.

Definicja w matematyce

Logarytm jest wyrażeniem następującej postaci: log a b=c, czyli logarytm dowolnej liczby nieujemnej (czyli dowolnej dodatniej) „b” zgodnie z jego podstawą „a” jest uważane za potęgę „c ", do którego należy podnieść podstawę "a", aby w końcu uzyskać wartość "b". Przeanalizujmy logarytm na przykładach, powiedzmy, że istnieje wyrażenie log 2 8. Jak znaleźć odpowiedź? To bardzo proste, trzeba znaleźć taki stopień, aby od 2 do wymaganego stopnia uzyskać 8. Po dokonaniu pewnych obliczeń w głowie otrzymujemy liczbę 3! I słusznie, bo 2 do potęgi 3 daje w odpowiedzi liczbę 8.

Odmiany logarytmów

Dla wielu uczniów i studentów ten temat wydaje się skomplikowany i niezrozumiały, ale w rzeczywistości logarytmy nie są takie straszne, najważniejsze jest zrozumienie ich ogólnego znaczenia i zapamiętanie ich właściwości i niektórych zasad. Są trzy pewne rodzaje wyrażenia logarytmiczne:

1. Logarytm naturalny ln a, gdzie podstawą jest liczba Eulera (e = 2,7).
2. Dziesiętne a, gdzie podstawą jest 10.
3. Logarytm dowolnej liczby b do podstawy a>1.

Każde z nich jest rozwiązywane w standardowy sposób, obejmujący uproszczenie, redukcję, a następnie redukcję do jednego logarytmu za pomocą twierdzeń logarytmicznych. Za zdobycie prawidłowe wartości logarytmów, należy pamiętać o ich właściwościach i kolejności działań w ich decyzjach.

Zasady i pewne ograniczenia

W matematyce istnieje kilka reguł-ograniczeń, które są akceptowane jako aksjomat, to znaczy nie podlegają dyskusji i są prawdziwe. Na przykład nie można dzielić liczb przez zero, a także nie można uzyskać parzystego pierwiastka liczby ujemne. Logarytmy też mają swoje zasady, dzięki którym łatwo nauczysz się pracować nawet z długimi i pojemnymi wyrażeniami logarytmicznymi:

• podstawa „a” musi być zawsze większa od zera, a jednocześnie nie może być równa 1, w przeciwnym razie wyrażenie straci sens, ponieważ „1” i „0” w jakimkolwiek stopniu są zawsze równe swoim wartościom;
• jeśli a > 0, to a b > 0, to okazuje się, że „c” musi być większe od zera.

Jak rozwiązywać logarytmy?

Na przykład zadanie polegało na znalezieniu odpowiedzi na równanie 10 x \u003d 100. To bardzo proste, musisz wybrać taką potęgę, podnosząc liczbę dziesięć, do której otrzymujemy 100. To oczywiście jest 10 2 \u003d 100.

Teraz przedstawmy to wyrażenie jako logarytmiczne. Otrzymujemy log 10 100 = 2. Przy rozwiązywaniu logarytmów wszystkie działania praktycznie sprowadzają się do znalezienia stopnia, w jakim należy wprowadzić podstawę logarytmu, aby otrzymać daną liczbę.

Aby dokładnie określić wartość nieznanego stopnia, musisz nauczyć się pracować z tabelą stopni. To wygląda tak:

Jak widać, niektóre wykładniki można odgadnąć intuicyjnie, jeśli masz techniczne nastawienie i znasz tabliczkę mnożenia. Jednak dla duże wartości potrzebujesz tabeli stopni. Może być używany nawet przez tych, którzy nie rozumieją niczego w skomplikowany sposób tematy matematyczne. Lewa kolumna zawiera liczby (podstawa a), górny rząd liczb to wartość potęgi c, do której podnoszona jest liczba a. Na przecięciu komórek określane są wartości liczb, które są odpowiedzią (a c = b). Weźmy na przykład pierwszą komórkę z liczbą 10 i podnieś ją do kwadratu, otrzymamy wartość 100, która jest wskazana na przecięciu naszych dwóch komórek. Wszystko jest tak proste i łatwe, że zrozumie nawet najbardziej prawdziwy humanista!

Równania i nierówności

Okazuje się, że w pewnych warunkach wykładnikiem jest logarytm. Dlatego dowolne matematyczne wyrażenia liczbowe można zapisać jako równanie logarytmiczne. Na przykład 3 4 = 81 można zapisać jako logarytm 81 o podstawie 3, czyli cztery (log 3 81 = 4). Dla potęg ujemnych zasady są takie same: 2 -5 = 1/32 zapisujemy jako logarytm, otrzymujemy log 2 (1/32) = -5. Jednym z najbardziej fascynujących działów matematyki jest temat „logarytmów”. Rozważymy przykłady i rozwiązania równań nieco niżej, zaraz po przestudiowaniu ich właściwości. Przyjrzyjmy się teraz, jak wyglądają nierówności i jak odróżnić je od równań.

Podano wyrażenie o postaci: log 2 (x-1) > 3 - jest to nierówność logarytmiczna, ponieważ nieznana wartość „x” jest pod znakiem logarytmu. A także w wyrażeniu porównywane są dwie wielkości: logarytm żądanej liczby o podstawie drugiej jest większy niż liczba trzy.

Najważniejsza różnica między równaniami logarytmicznymi a nierównościami polega na tym, że równania z logarytmami (na przykład logarytm z 2 x = √9) implikują jedną lub więcej określonych wartości liczbowych w odpowiedzi, podczas gdy przy rozwiązywaniu nierówności zarówno zakres dopuszczalne wartości i punkty łamania tej funkcji. W konsekwencji odpowiedź nie jest prostym zbiorem pojedynczych liczb, jak w odpowiedzi równania, ale ciągłą serią lub zbiorem liczb.

Podstawowe twierdzenia o logarytmach

Podczas rozwiązywania prymitywnych zadań dotyczących znajdowania wartości logarytmu jego właściwości mogą nie być znane. Jednak jeśli chodzi o równania lub nierówności logarytmiczne, przede wszystkim konieczne jest jasne zrozumienie i zastosowanie w praktyce wszystkich podstawowych właściwości logarytmów. Z przykładami równań zapoznamy się później, najpierw przeanalizujmy bardziej szczegółowo każdą właściwość.

1. Podstawowa tożsamość wygląda następująco: a logaB = B. Ma zastosowanie tylko wtedy, gdy a jest większe od 0, a nie równe jeden, a B jest większe od zera.
2. Logarytm iloczynu można przedstawić za pomocą następującego wzoru: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. W tym przypadku warunkiem wstępnym jest: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Możesz podać dowód dla tego wzoru logarytmów, z przykładami i rozwiązaniem. Niech log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2 , następnie a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Otrzymujemy, że s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (właściwości stopnia ), i dalej z definicji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, co należało udowodnić.
3. Logarytm ilorazu wygląda następująco: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Twierdzenie w postaci wzoru przyjmuje następującą postać: log a q b n = n/q log a b.

Ta formuła nazywa się „własnością stopnia logarytmu”. Przypomina właściwości zwykłych stopni i nie jest to zaskakujące, ponieważ cała matematyka opiera się na regularnych postulatach. Spójrzmy na dowód.

Zarejestrujmy a b \u003d t, okazuje się, że a t \u003d b. Jeśli podniesiesz obie części do potęgi m: a tn = b n ;

ale ponieważ a tn = (a q) nt/q = b n , stąd log a q b n = (n*t)/t, to log a q b n = n/q log a b. Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykłady problemów i nierówności

Najczęstsze typy problemów logarytmicznych to przykłady równań i nierówności. Znajdują się one w prawie wszystkich książkach problemowych, a także są zawarte w obowiązkowej części egzaminów z matematyki. Aby dostać się na uniwersytet lub zdać testy wstępne z matematyki, musisz wiedzieć, jak poprawnie rozwiązywać takie zadania.

Niestety nie ma jednego planu ani schematu rozwiązywania i wyznaczania nieznanej wartości logarytmu, jednak każdą nierówność matematyczną lub równanie logarytmiczne można zastosować pewne zasady. Przede wszystkim powinieneś dowiedzieć się, czy wyrażenie można uprościć lub sprowadzić do ogólna perspektywa. Możesz uprościć długie wyrażenia logarytmiczne, jeśli prawidłowo użyjesz ich właściwości. Poznajmy ich wkrótce.

Decydując się równania logarytmiczne, należy ustalić, jaki rodzaj logarytmu mamy przed sobą: przykładowe wyrażenie może zawierać logarytm naturalny lub dziesiętny.

Oto przykłady ln100, ln1026. Ich rozwiązanie sprowadza się do tego, że trzeba określić stopień, w jakim podstawa 10 będzie równa odpowiednio 100 i 1026. W przypadku rozwiązań logarytmów naturalnych należy zastosować tożsamości logarytmiczne lub ich właściwości. Przyjrzyjmy się przykładom rozwiązywania problemów logarytmicznych różnego typu.

Jak korzystać z formuł logarytmicznych: z przykładami i rozwiązaniami

Przyjrzyjmy się więc przykładom użycia głównych twierdzeń o logarytmach.

1. Właściwość logarytmu iloczynu można wykorzystać w zadaniach, w których konieczne jest rozłożenie dużej wartości liczby b na prostsze czynniki. Na przykład log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpowiedź to 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak widać, korzystając z czwartej własności stopnia logarytmu, udało nam się rozwiązać na pierwszy rzut oka złożone i nierozwiązywalne wyrażenie. Konieczne jest jedynie rozłożenie podstawy na czynniki, a następnie wyjęcie wartości wykładników ze znaku logarytmu.

Zadania z egzaminu

Logarytmy są często spotykane na egzaminach wstępnych, zwłaszcza w wielu problemach logarytmicznych na jednolitym egzaminie państwowym (egzamin państwowy dla wszystkich absolwentów szkół). Zazwyczaj zadania te występują nie tylko w części A (najłatwiejsza testowa część egzaminu), ale także w części C (zadania najtrudniejsze i najbardziej obszerne). Egzamin zakłada dokładną i perfekcyjną znajomość tematu "Logarytmy naturalne".

Przykłady i rozwiązania problemów pochodzą z oficjalnych wersji egzaminu. Zobaczmy, jak rozwiązuje się takie zadania.

Dany log 2 (2x-1) = 4. Rozwiązanie:
przepiszmy wyrażenie, upraszczając je trochę log 2 (2x-1) = 2 2 , z definicji logarytmu otrzymujemy to 2x-1 = 2 4 , więc 2x = 17; x = 8,5.

• Wszystkie logarytmy najlepiej sprowadzić do tej samej podstawy, aby rozwiązanie nie było kłopotliwe i mylące.
• Wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmu są oznaczane jako dodatnie, dlatego przy wyjęciu wykładnika wykładnika wyrażenia, który jest pod znakiem logarytmu i jako jego podstawa, wyrażenie pozostające pod logarytmem musi być dodatnie.

Kontynuujemy naukę logarytmów. W tym artykule porozmawiamy o obliczanie logarytmów, proces ten nazywa się logarytm. Najpierw zajmiemy się obliczaniem logarytmów z definicji. Następnie zastanów się, w jaki sposób wartości logarytmów są znajdowane za pomocą ich właściwości. Następnie zajmiemy się obliczaniem logarytmów na podstawie początkowo podanych wartości innych logarytmów. Na koniec nauczmy się korzystać z tablic logarytmów. Cała teoria jest opatrzona przykładami ze szczegółowymi rozwiązaniami.

Nawigacja po stronie.

Obliczanie logarytmów z definicji

W najprostszych przypadkach możliwe jest szybkie i łatwe wykonanie znalezienie logarytmu z definicji. Przyjrzyjmy się bliżej, jak przebiega ten proces.

Jej istotą jest przedstawienie liczby b w postaci a c , skąd z definicji logarytmu liczba c jest wartością logarytmu. Oznacza to, że z definicji znalezienie logarytmu odpowiada następującemu łańcuchowi równości: log a b=log a a c =c .

Tak więc obliczenie logarytmu z definicji sprowadza się do znalezienia takiej liczby c, że a c \u003d b, a sama liczba c jest pożądaną wartością logarytmu.

Biorąc pod uwagę informacje z poprzednich akapitów, gdy liczba pod znakiem logarytmu jest podawana przez pewien stopień podstawy logarytmu, można od razu wskazać, czemu równy jest logarytm - jest równy wykładnikowi. Pokażmy przykłady.

Przykład.

Znajdź log 2 2 −3 , a także oblicz logarytm naturalny z e 5,3 .

Rozwiązanie.

Definicja logarytmu pozwala od razu powiedzieć, że log 2 2 −3 = −3 . Rzeczywiście, liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie 2 do potęgi −3.

Podobnie znajdujemy drugi logarytm: lne 5,3 = 5,3.

Odpowiedź:

log 2 2 −3 = −3 i lne 5,3 = 5,3 .

Jeśli liczba b pod znakiem logarytmu nie jest podana jako potęga podstawy logarytmu, należy dokładnie rozważyć, czy możliwe jest przedstawienie reprezentacji liczby b w postaci a c . Często ta reprezentacja jest dość oczywista, zwłaszcza gdy liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie do potęgi 1, lub 2, lub 3, ...

Przykład.

Oblicz logarytmy log 5 25 , i .

Rozwiązanie.

Łatwo zauważyć, że 25=5 2 , to pozwala obliczyć pierwszy logarytm: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Przechodzimy do obliczenia drugiego logarytmu. Liczbę można przedstawić jako potęgę liczby 7: (zobacz w razie potrzeby). Stąd, .

Przepiszmy trzeci logarytm w następującej postaci. Teraz możesz to zobaczyć , skąd to wnioskujemy . Dlatego z definicji logarytmu .

W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób:

Odpowiedź:

dziennik 5 25=2 , I .

Gdy pod znakiem logarytmu jest wystarczająco duża wartość Liczba naturalna, to nie zaszkodzi rozłożyć go na czynniki pierwsze. Często pomaga przedstawienie takiej liczby jako pewnej potęgi podstawy logarytmu, a zatem obliczenie tego logarytmu z definicji.

Przykład.

Znajdź wartość logarytmu.

Rozwiązanie.

Niektóre właściwości logarytmów umożliwiają natychmiastowe określenie wartości logarytmów. Właściwości te obejmują właściwość logarytmu jedności i właściwość logarytmu liczby, równa podstawie: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1 . Oznacza to, że gdy liczba 1 lub liczba a znajduje się pod znakiem logarytmu, równym podstawie logarytmu, wówczas w tych przypadkach logarytmy wynoszą odpowiednio 0 i 1.

Przykład.

Co to są logarytmy i lg10?

Rozwiązanie.

Ponieważ , wynika to z definicji logarytmu .

W drugim przykładzie liczba 10 pod znakiem logarytmu pokrywa się z jego podstawą, więc logarytm dziesiętny z dziesięciu jest równy jeden, czyli lg10=lg10 1 =1 .

Odpowiedź:

I lg10=1 .

Zauważ, że obliczanie logarytmów z definicji (co omówiliśmy w poprzednim akapicie) implikuje użycie logarytmu równości a a p = p , który jest jedną z właściwości logarytmów.

W praktyce, gdy liczbę pod znakiem logarytmu i podstawę logarytmu można łatwo przedstawić jako potęgę jakiejś liczby, bardzo wygodnie jest użyć wzoru , co odpowiada jednej z właściwości logarytmów. Rozważmy przykład znalezienia logarytmu, ilustrujący użycie tego wzoru.

Przykład.

Oblicz logarytm z .

Rozwiązanie.

Odpowiedź:

.

Właściwości logarytmów niewymienione powyżej są również wykorzystywane w obliczeniach, ale porozmawiamy o tym w kolejnych akapitach.

Znajdowanie logarytmów w kategoriach innych znanych logarytmów

Informacje zawarte w tym akapicie stanowią kontynuację tematu wykorzystania właściwości logarytmów do ich obliczania. Ale tutaj główna różnica polega na tym, że właściwości logarytmów są używane do wyrażenia oryginalnego logarytmu w postaci innego logarytmu, którego wartość jest znana. Weźmy przykład dla wyjaśnienia. Powiedzmy, że wiemy, że log 2 3≈1,584963 , możemy znaleźć na przykład log 2 6, wykonując małe przekształcenie z wykorzystaniem właściwości logarytmu: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

W powyższym przykładzie wystarczyło nam skorzystać z własności logarytmu iloczynu. Jednak znacznie częściej trzeba użyć szerszego arsenału właściwości logarytmów, aby obliczyć logarytm pierwotny w odniesieniu do podanych.

Przykład.

Oblicz logarytm z 27 o podstawie 60, jeśli wiadomo, że log 60 2=a i log 60 5=b .

Rozwiązanie.

Musimy więc znaleźć log 60 27 . Łatwo zauważyć, że 27=3 3 , a pierwotny logarytm, ze względu na właściwość logarytmu stopnia, można zapisać jako 3·log 60 3 .

Zobaczmy teraz, jak log 60 3 można wyrazić za pomocą znanych logarytmów. Własność logarytmu liczby równej podstawie pozwala zapisać dziennik równości 60 60=1 . Z drugiej strony log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Zatem, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Stąd, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Na koniec obliczamy oryginalny logarytm: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Odpowiedź:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Osobno warto wspomnieć o znaczeniu wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu postaci . Pozwala przejść od logarytmów o dowolnej podstawie do logarytmów o określonej podstawie, których wartości są znane lub możliwe jest ich znalezienie. Zwykle z oryginalnego logarytmu, zgodnie ze wzorem przejściowym, przechodzą na logarytmy w jednej z podstaw 2, e lub 10, ponieważ dla tych podstaw istnieją tabele logarytmów, które pozwalają na ich obliczenie z pewnym stopniem dokładności. W następnej sekcji pokażemy, jak to się robi.

Tablice logarytmów, ich zastosowanie

Do przybliżonego obliczenia wartości logarytmów można użyć tablice logarytmów. Najczęściej używane są tablica logarytmów o podstawie 2, tablica logarytmów naturalnych i tablica logarytmów dziesiętnych. Podczas pracy w systemie liczb dziesiętnych wygodnie jest użyć tabeli logarytmów o podstawie dziesiątej. Z jego pomocą nauczymy się znajdować wartości logarytmów.

Przedstawiona tablica pozwala z dokładnością do jednej dziesiątej tysięcznej znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb od 1.000 do 9.999 (z trzema miejscami po przecinku). Przeanalizujemy zasadę znajdowania wartości logarytmu za pomocą tabeli logarytmów dziesiętnych na konkretnym przykładzie - jest to jaśniejsze. Znajdźmy lg1,256 .

W lewej kolumnie tabeli logarytmów dziesiętnych znajdujemy pierwsze dwie cyfry liczby 1,256, czyli znajdujemy 1,2 (ta liczba jest zakreślona na niebiesko dla jasności). Trzecia cyfra liczby 1.256 (numer 5) znajduje się w pierwszym lub ostatnim wierszu na lewo od podwójnego wiersza (ta liczba jest zakreślona na czerwono). Czwarta cyfra pierwotnej liczby 1.256 (numer 6) znajduje się w pierwszym lub ostatnim wierszu na prawo od podwójnego wiersza (ta liczba jest zakreślona na zielono). Teraz znajdujemy liczby w komórkach tabeli logarytmów na przecięciu zaznaczonego wiersza i zaznaczonych kolumn (liczby te są podświetlone na pomarańczowo). Suma zaznaczonych liczb daje żądaną wartość logarytmu dziesiętnego do czwartego miejsca po przecinku, czyli log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Czy można, korzystając z powyższej tabeli, znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb, które mają więcej niż trzy cyfry po przecinku, a także wykraczają poza granice od 1 do 9,999? Tak, możesz. Pokażmy, jak to się robi na przykładzie.

Obliczmy lg102.76332 . Najpierw musisz napisać numer w standardowej formie: 102,76332=1,0276332 10 2 . Następnie mantysę należy zaokrąglić w górę do trzeciego miejsca po przecinku, mamy 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, podczas gdy oryginalny logarytm dziesiętny wynosi około jest równy logarytmowi wynikową liczbę, czyli bierzemy lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Teraz zastosuj właściwości logarytmu: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Ostatecznie znajdujemy wartość logarytmu lg1,028 zgodnie z tablicą logarytmów dziesiętnych lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. W rezultacie cały proces obliczania logarytmu wygląda następująco: lg102,76332=lg1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Podsumowując, warto zauważyć, że korzystając z tabeli logarytmów dziesiętnych, można obliczyć przybliżoną wartość dowolnego logarytmu. Aby to zrobić, wystarczy użyć formuły przejścia, aby przejść do logarytmów dziesiętnych, znaleźć ich wartości w tabeli i wykonać pozostałe obliczenia.

Na przykład obliczmy log 2 3 . Zgodnie ze wzorem na przejście do nowej podstawy logarytmu mamy . Z tablicy logarytmów dziesiętnych znajdujemy lg3≈0,4771 i lg2≈0,3010. Zatem, .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov AM, Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 szkół ogólnokształcących.
• Gusiew VA, Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do techników).

Instrukcja

Zapisz podane wyrażenie logarytmiczne. Jeśli wyrażenie używa logarytmu 10, to jego zapis jest skracany i wygląda następująco: lg b jest logarytmem dziesiętnym. Jeżeli podstawą logarytmu jest liczba e, to zapisuje się wyrażenie: ln b jest logarytmem naturalnym. Rozumie się, że wynikiem any jest potęga, do której należy podnieść liczbę podstawową, aby uzyskać liczbę b.

Gdy znajdujesz sumę dwóch funkcji, wystarczy rozróżnić je jedna po drugiej i dodać wyniki: (u+v)" = u"+v";

Aby znaleźć pochodną iloczynu dwóch funkcji, należy pomnożyć pochodną pierwszej funkcji przez drugą i dodać pochodną drugiej funkcji pomnożoną przez pierwszą funkcję: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Aby znaleźć pochodną ilorazu dwóch funkcji, należy od iloczynu pochodnej dywidendy pomnożonej przez funkcję dzielnika odjąć iloczyn pochodnej dzielnika pomnożonej przez funkcję dzielnika i podzielić wszystko to przez funkcję dzielnika do kwadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jeśli podano złożona funkcja, to trzeba pomnożyć pochodną funkcja wewnętrzna i pochodną zewnętrznej. Niech y=u(v(x)), wtedy y"(x)=y"(u)*v"(x).

Korzystając z powyższego, możesz rozróżnić prawie każdą funkcję. Spójrzmy więc na kilka przykładów:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Są też zadania do obliczania pochodnej w punkcie. Niech funkcja y=e^(x^2+6x+5) będzie dana, musisz znaleźć wartość funkcji w punkcie x=1.
1) Znajdź pochodną funkcji: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Oblicz wartość funkcji w dany punkt y"(1)=8*e^0=8

Powiązane wideo

Pomocna rada

Naucz się tabeli pochodnych elementarnych. Pozwoli to zaoszczędzić dużo czasu.

Źródła:

• stała pochodna

Więc jaka jest różnica między racjonalne równanie od racjonalnego? Jeśli nieznana zmienna znajduje się pod znakiem pierwiastek kwadratowy, to równanie jest uważane za niewymierne.

Instrukcja

Główną metodą rozwiązywania takich równań jest metoda podnoszenia obu stron równania w kwadrat. Jednakże. jest to naturalne, pierwszym krokiem jest pozbycie się znaku. Technicznie ta metoda nie jest trudna, ale czasami może prowadzić do kłopotów. Na przykład równanie v(2x-5)=v(4x-7). Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymujesz 2x-5=4x-7. Takie równanie nie jest trudne do rozwiązania; x=1. Ale numer 1 nie zostanie nadany równania. Dlaczego? Zastąp jednostkę w równaniu zamiast wartości x. A prawa i lewa strona będą zawierać wyrażenia, które nie mają sensu, to znaczy. Taka wartość nie jest poprawna dla pierwiastka kwadratowego. Dlatego 1 jest zewnętrznym pierwiastkiem, a zatem to równanie nie ma pierwiastków.

Tak więc irracjonalne równanie rozwiązuje się metodą podniesienia do kwadratu obu jego części. Po rozwiązaniu równania konieczne jest odcięcie obcych korzeni. Aby to zrobić, zastąp znalezione pierwiastki oryginalnym równaniem.

Rozważ inny.
2x+vx-3=0
Oczywiście to równanie można rozwiązać za pomocą tego samego równania, co poprzednie. Związki transferowe równania, które nie mają pierwiastka kwadratowego, prawa strona a następnie zastosować metodę kwadratową. rozwiązać wynikowe równanie wymierne i pierwiastki. Ale inny, bardziej elegancki. Wprowadź nową zmienną; vx=y. W związku z tym otrzymasz równanie takie jak 2y2+y-3=0. Czyli zwykły równanie kwadratowe. Znajdź jego korzenie; y1=1 i y2=-3/2. Następnie rozwiąż dwa równania vx=1; vx \u003d -3/2. Drugie równanie nie ma pierwiastków, z pierwszego wynika, że ​​x=1. Nie zapomnij o konieczności sprawdzenia korzeni.

Rozwiązywanie tożsamości jest dość łatwe. To wymaga zrobienia identyczne przekształcenia aż do osiągnięcia celu. W ten sposób zadanie zostanie rozwiązane za pomocą najprostszych operacji arytmetycznych.

Będziesz potrzebować

• - papier;
• - długopis.

Instrukcja

Najprostsze takie przekształcenia to algebraiczne skrócone mnożenia (takie jak kwadrat sumy (różnica), różnica kwadratów, suma (różnica), sześcian sumy (różnica)). Ponadto istnieje wiele wzorów trygonometrycznych, które są zasadniczo tymi samymi tożsamościami.

Rzeczywiście, kwadrat sumy dwóch wyrazów jest równy kwadratowi pierwszego plus dwukrotność iloczynu pierwszego i drugiego plus kwadrat drugiego, czyli (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Uprość oba

Ogólne zasady rozwiązania

Powtórz z podręcznika analizy matematycznej lub matematyki wyższej, która jest całką oznaczoną. Jak wiesz, rozwiązanie określona całka istnieje funkcja, której pochodna da całkę. Ta funkcja nazywa się prymitywnym. Zgodnie z tą zasadą konstruowane są całki podstawowe.
Określ na podstawie postaci całki, która z całek tabeli jest odpowiednia w tym przypadku. Nie zawsze da się to ustalić od razu. Często forma tabelaryczna staje się zauważalna dopiero po kilku przekształceniach w celu uproszczenia całki.

Metoda podstawienia zmiennej

Jeśli całka jest funkcją trygonometryczną, której argumentem jest jakiś wielomian, to spróbuj użyć metody zamiany zmiennych. Aby to zrobić, zastąp wielomian w argumencie całki jakąś nową zmienną. Na podstawie stosunku między nową a starą zmienną wyznacz nowe granice całkowania. Różniczkując to wyrażenie, znajdź nową różnicę w . W ten sposób otrzymasz nowy rodzaj poprzednia całka, bliska lub nawet odpowiadająca dowolnej tabelarycznej.

Rozwiązywanie całek drugiego rodzaju

Jeśli całka jest całką drugiego rodzaju, postacią wektorową całki, wówczas będziesz musiał zastosować reguły przejścia od tych całek do całek skalarnych. Jedną z takich reguł jest stosunek Ostrogradskiego-Gaussa. Prawo to umożliwia przejście od przepływu wirnika jakiejś funkcji wektorowej do potrójnej całki po rozbieżności danego pola wektorowego.

Podstawianie granic całkowania

Po znalezieniu funkcji pierwotnej konieczne jest podstawienie granic całkowania. Najpierw wstaw wartość górnej granicy do wyrażenia funkcji pierwotnej. Otrzymasz jakiś numer. Następnie odejmij od wynikowej liczby inną liczbę, wynikową dolną granicę funkcji pierwotnej. Jeśli jedną z granic integracji jest nieskończoność, to podstawiając ją do funkcja pierwotna konieczne jest dojście do granicy i znalezienie tego, do czego zmierza wyrażenie.
Jeśli całka jest dwuwymiarowa lub trójwymiarowa, będziesz musiał przedstawić geometryczne granice całkowania, aby zrozumieć, jak obliczyć całkę. Rzeczywiście, w przypadku, powiedzmy, całki trójwymiarowej, granicami całkowania mogą być całe płaszczyzny, które ograniczają całkowaną objętość.

Pojęcie logarytmu i podstawowa tożsamość logarytmiczna

Pojęcie logarytmu i podstawowa tożsamość logarytmiczna są ze sobą ściśle powiązane, ponieważ definicja logarytmu w notacja matematyczna i jest .

Podstawowa tożsamość logarytmiczna wynika z definicji logarytmu:

Definicja 1

logarytm wywołaj wykładnik $n$, po podniesieniu którego liczby $a$ dostaną liczbę $b$.

Uwaga 1

równanie wykładnicze$a^n=b$ dla $a > 0$, $a \ne 1$ nie ma rozwiązań dla niedodatnich $b$ i ma pojedynczy pierwiastek dla dodatniego $b$. Ten korzeń nazywa się logarytm liczby $b$ do podstawy $a$ i napisz:

$a^(\log_(a) b)=b$.

Definicja 2

Wyrażenie

$a^(\log_(a) b)=b$

zwany podstawowa tożsamość logarytmiczna pod warunkiem, że $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Przykład 1

$17^(\log_(17) 6)=6$;

$e^(\ln⁡13) =13$;

$10^(\lg23)=23$.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Główny tożsamość logarytmiczna nazywana jest ponieważ jest prawie zawsze używany podczas pracy z logarytmami. Ponadto za jego pomocą uzasadnione są podstawowe właściwości logarytmów.

Przykład 2

$7^5=16 807$, stąd $\log_(7)16 807=5$.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, stąd $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, stąd $\log_(11)⁡1=0$.

Rozważać konsekwencja podstawowej tożsamości logarytmicznej:

Definicja 3

Jeśli dwa logarytmy te same podstawy są równe, to wyrażenia logarytmiczne są również równe:

jeśli $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$, to $b=c$.

Rozważać ograniczenia, które są używane do tożsamości logarytmicznej:

Ponieważ podnosząc jedynkę do dowolnej potęgi, zawsze otrzymujemy jedynkę, a równość $x=\log_(a)⁡b$ istnieje tylko dla $b=1$, wtedy $\log_(1)⁡1$ będzie dowolne prawdziwy numer. Aby uniknąć tej dwuznaczności, przyjmuje się, że $a \ne 1$.

Zgodnie z definicją logarytm dla $a=0$ może istnieć tylko dla $b=0$. Ponieważ podnosząc zero do dowolnej potęgi, zawsze otrzymujemy zero, wtedy $\log_(0)⁡0$ może być dowolną liczbą rzeczywistą. Aby uniknąć tej dwuznaczności, zakłada się, że $a \ne 0$. Dla racjonalnego i irracjonalny wartości logarytmiczne, ponieważ stopień z wykładnikiem wymiernym i niewymiernym można obliczyć tylko dla dodatnich podstaw. Aby zapobiec takiej sytuacji, akceptowane jest $a > 0$.

$b > 0$ wynika z warunku $a > 0$, ponieważ $x=\log_(a)⁡b$, a potęga liczby dodatniej a zawsze będzie dodatnia.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna jest często używana do uproszczenia wyrażeń logarytmicznych.

Przykład 3

Oblicz 81 $^(\log_(9) 7)$.

Rozwiązanie.

Aby móc korzystać z podstawowej tożsamości logarytmicznej, podstawa logarytmu i wykładnik muszą być takie same. Piszemy podstawę stopnia w postaci:

Teraz możemy napisać:

$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

Skorzystajmy z własności stopnia:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

podstawową tożsamość logarytmiczną można teraz zastosować do każdego czynnika:

$=7 \cdot 7=49$.

Uwaga 2

Aby zastosować podstawową tożsamość logarytmiczną, możesz również skorzystać z zastąpienia podstawy logarytmu wyrażeniem znajdującym się pod znakiem logarytmu i odwrotnie.

Przykład 4

Oblicz 7 $^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.

Rozwiązanie.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

Odpowiedź: $11$.

Przykład 5

Oblicz 7 $^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.

wywodzi się z jego definicji. I tak logarytm liczby B z powodu A zdefiniowany jako wykładnik, do którego należy podnieść liczbę A aby uzyskać numer B(logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich).

Z tego sformułowania wynika, że ​​obliczenie x=log a b, jest równoważne rozwiązaniu równania topór=b. Na przykład, log 2 8 = 3 ponieważ 8 = 2 3 . Sformułowanie logarytmu pozwala uzasadnić, że jeśli b=a do, a następnie logarytm liczby B z powodu A równa się Z. Oczywiste jest również, że temat logarytmu jest ściśle powiązany z tematem potęgi liczby.

Z logarytmami, jak z dowolnymi liczbami, możesz wykonać operacje dodawania, odejmowania i przekształcać w każdy możliwy sposób. Ale ze względu na fakt, że logarytmy nie są całkiem zwykłymi liczbami, obowiązują tutaj ich własne specjalne zasady, zwane podstawowe właściwości.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów.

Weź dwa logarytmy o tej samej podstawie: dziennik x I zaloguj się. Następnie usuń możliwe jest wykonywanie operacji dodawania i odejmowania:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

zaloguj się(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = dziennik x 1 + dziennik x 2 + dziennik x 3 + ... + log a x k.

Z Twierdzenia o logarytmach ilorazowych można uzyskać jeszcze jedną właściwość logarytmu. Ten dziennik jest dobrze znany A 1= 0, zatem

dziennik A 1 /B= dziennik A 1 - dziennik b= -log b.

Istnieje więc równość:

log a 1 / b = - log a b.

Logarytmy dwóch wzajemnie odwrotnych liczb na tej samej podstawie będą się różnić od siebie tylko znakiem. Więc:

log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.