Logarytm naturalny, jak obliczyć wzór. Logarytm. Definicja logarytmu binarnego, logarytmu naturalnego, logarytmu dziesiętnego; funkcja wykładnicza exp(x), liczba e. Zaloguj się. Wzory potęgowe i logarytmiczne. Używając logarytmu, decybel
Wykres funkcji logarytmu naturalnego. Funkcja powoli zbliża się do dodatniej nieskończoności, ponieważ x i szybko zbliża się do ujemnej nieskończoności, gdy x ma tendencję do 0 („wolno” i „szybko” w porównaniu z dowolnym) funkcja zasilania z x).
naturalny logarytm jest logarytmem podstawowym , gdzie e (\displaystyle e) jest nieracjonalną stałą równą około 2,72. Jest oznaczony jako ln x (\displaystyle \ln x), log e x (\displaystyle \log_(e)x) a czasami po prostu log x (\displaystyle \log x) jeśli baza e (\displaystyle e) dorozumiana . Innymi słowy, logarytm naturalny liczby x jest wykładnikiem, do którego liczba ma zostać podniesiona mi, Pozyskać x. Tę definicję można również rozszerzyć na liczby zespolone.
ln e = 1 (\ Displaystyle \ ln e = 1), dlatego e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln 1 = 0 (\ Displaystyle \ ln 1 = 0), dlatego e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).Logarytm naturalny można również zdefiniować geometrycznie dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a jako obszar pod krzywą r = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) pomiędzy [ jeden ; a ] (\styl wyświetlania). Prostota tej definicji, która jest zgodna z wieloma innymi formułami wykorzystującymi ten logarytm, wyjaśnia pochodzenie nazwy „naturalny”.
Jeśli rozważymy logarytm naturalny jako rzeczywistą funkcję zmiennej rzeczywistej, to jest to funkcja odwrotna funkcji wykładniczej, która prowadzi do tożsamości:
e log a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) log e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)Jak wszystkie logarytmy, logarytm naturalny odwzorowuje mnożenie na dodawanie:
ln x y = ln x + ln y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy z nich korzystać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.
Ujawnianie osobom trzecim
Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.
Wyjątki:
- W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Zachowanie prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Może to być np. kalkulator z podstawowego zestawu programów system operacyjny Okna. Link do uruchomienia jest ukryty w głównym menu systemu operacyjnego - otwórz go, klikając przycisk "Start", a następnie otwórz jego sekcję "Programy", przejdź do podsekcji "Akcesoria", a następnie do "Narzędzia" i na koniec kliknij pozycję „Kalkulator”. Możesz użyć klawiatury i okna dialogowego uruchamiania programu zamiast myszy i nawigacji po menu - naciśnij kombinację klawiszy WIN + R, wpisz calc (jest to nazwa pliku wykonywalnego kalkulatora) i naciśnij klawisz Enter.
Przełącz interfejs kalkulatora w tryb zaawansowany, umożliwiając . Domyślnie otwiera się w „normalnej” formie i potrzebujesz „inżynierii” lub „” (w zależności od używanej wersji systemu operacyjnego). Rozwiń sekcję „Widok” w menu i wybierz odpowiednią linię.
Wprowadź argument, którego wartość naturalna ma zostać obliczona. Można to zrobić zarówno z klawiatury, jak i klikając odpowiednie przyciski w interfejsie kalkulatora na ekranie.
Kliknij przycisk oznaczony ln - program obliczy logarytm o podstawie e i wyświetli wynik.
Użyj jednego z kalkulatorów jako alternatywy do obliczenia wartości logarytmu naturalnego. Na przykład ten znajdujący się przy http://calc.org.ua. Jego interfejs jest niezwykle prosty - istnieje jedno pole wejściowe, w którym musisz wpisać wartość liczby, której logarytm chcesz obliczyć. Wśród przycisków znajdź i kliknij ten z napisem ln. Skrypt tego kalkulatora nie wymaga przesyłania danych na serwer i odpowiedzi, dzięki czemu wynik obliczenia otrzymasz niemal natychmiast. Jedyną cechą, którą należy wziąć pod uwagę, jest to, że separatorem między częściami ułamkowymi i całkowitymi wprowadzanej liczby musi być kropka, a nie .
Termin " logarytm" pochodzi od dwóch greckich słów, z których jedno oznacza "liczbę", a drugie - "związek". Oznaczają matematyczną operację obliczania zmiennej (wykładnika), do której należy podnieść stałą wartość (podstawę), aby uzyskać liczbę wskazaną pod znakiem logarytm a. Jeśli podstawa jest równa stałej matematycznej, zwanej liczbą „e”, to logarytm zwany „naturalnym”.
Będziesz potrzebować
- Dostęp do Internetu, Microsoft Office Excel lub kalkulator.
Instrukcja
Skorzystaj z wielu kalkulatorów prezentowanych w Internecie - jest to być może prosty sposób na obliczenie naturalnego a. Nie będziesz musiał szukać odpowiedniej usługi, ponieważ wiele wyszukiwarek ma wbudowane kalkulatory, które są odpowiednie do pracy z logarytm Jestem. Na przykład przejdź do strony głównej największej wyszukiwarki internetowej – Google. Tutaj nie są wymagane żadne przyciski do wprowadzania wartości i wybierania funkcji, wystarczy wpisać żądaną akcję matematyczną w polu wprowadzania zapytania. Powiedzmy, że obliczyć logarytm a liczby 457 w podstawie „e” wpisz ln 457 - to wystarczy, aby Google wyświetlił z dokładnością do ośmiu miejsc po przecinku (6.12468339) nawet bez naciskania przycisku wysyłania żądania do serwera.
Użyj odpowiedniej wbudowanej funkcji, jeśli chcesz obliczyć wartość naturalnego logarytm ale występuje podczas pracy z danymi w popularnym edytorze arkuszy kalkulacyjnych Microsoft Office Excel. Ta funkcja jest tutaj wywoływana przy użyciu konwencjonalnej notacji logarytm a wielkimi literami - LN. Wybierz komórkę, w której ma być wyświetlany wynik obliczenia i wprowadź znak równości - tak powinny zaczynać się w tej tabeli rekordy w komórkach zawierających w podsekcji "Standard" sekcji "Wszystkie programy" menu głównego redaktor. Przełącz kalkulator do bardziej funkcjonalnego trybu, naciskając skrót klawiaturowy Alt + 2. Następnie wprowadź wartość, naturalną logarytm które chcesz obliczyć, a następnie w interfejsie programu kliknij przycisk oznaczony symbolami ln. Aplikacja wykona obliczenia i wyświetli wynik.
Powiązane wideo
naturalny logarytm
Wykres funkcji logarytmu naturalnego. Funkcja powoli zbliża się do dodatniej nieskończoności, ponieważ x i szybko zbliża się do ujemnej nieskończoności, gdy x ma tendencję do 0 („powoli” i „szybko” w porównaniu do dowolnej funkcji mocy x).
naturalny logarytm jest logarytmem podstawowym , gdzie mi jest irracjonalną stałą równą około 2,718281 828 . Logarytm naturalny jest zwykle oznaczany jako ln( x), dziennik mi (x) lub czasami po prostu loguj( x) jeśli podstawa mi ukryty.
Logarytm naturalny liczby x(napisane jako log(x)) jest wykładnikiem, do którego chcesz podnieść liczbę mi, Pozyskać x. Na przykład, W(7389...) równa się 2, ponieważ mi 2 =7,389... . Logarytm naturalny samej liczby mi (w(e)) jest równe 1, ponieważ mi 1 = mi, a logarytm naturalny 1 ( dziennik(1)) to 0, ponieważ mi 0 = 1.
Logarytm naturalny można zdefiniować dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a jako obszar pod krzywą tak = 1/x od 1 do a. Prostota tej definicji, która jest spójna z wieloma innymi formułami posługującymi się logarytmem naturalnym, doprowadziła do nadania nazwy „naturalny”. Tę definicję można rozszerzyć na liczby zespolone, co zostanie omówione poniżej.
Jeśli rozważymy logarytm naturalny jako rzeczywistą funkcję zmiennej rzeczywistej, to jest to funkcja odwrotna funkcji wykładniczej, która prowadzi do tożsamości:
Jak wszystkie logarytmy, logarytm naturalny odwzorowuje mnożenie na dodawanie:
Zatem funkcja logarytmiczna jest izomorfizmem grupy dodatnich liczb rzeczywistych względem mnożenia przez grupę liczb rzeczywistych przez dodawanie, co można przedstawić jako funkcję:
Logarytm można zdefiniować dla dowolnej dodatniej podstawy innej niż 1, nie tylko mi, ale logarytmy dla innych baz różnią się od logarytmu naturalnego tylko stałym współczynnikiem i są zwykle definiowane w kategoriach logarytmu naturalnego. Logarytmy są przydatne do rozwiązywania równań, w których niewiadome występują jako wykładnik. Na przykład logarytmy służą do znalezienia stałej rozpadu dla znanego okresu półtrwania lub do znalezienia czasu rozpadu w rozwiązywaniu problemów związanych z radioaktywnością. Oni grają ważna rola w wielu dziedzinach matematyki i nauk stosowanych są wykorzystywane w dziedzinie finansów do rozwiązywania wielu problemów, w tym znajdowania odsetek składanych.
Fabuła
Pierwsze wzmianki o logarytmie naturalnym poczynił w swojej pracy Nicholas Mercator Logarytmotechnika, opublikowany w 1668 roku, chociaż nauczyciel matematyki John Spydell skompilował tabelę logarytmów naturalnych w 1619 roku. Wcześniej nazywano go logarytmem hiperbolicznym, ponieważ odpowiada obszarowi pod hiperbolą. Czasami nazywa się go logarytmem Napiera, chociaż pierwotne znaczenie tego terminu było nieco inne.
Konwencje notacji
Logarytm naturalny jest zwykle oznaczany przez „ln( x)”, logarytm o podstawie 10 przez „lg( x)” i zwyczajowo wskazuje się wyraźnie inne podstawy za pomocą symbolu „log”.
W wielu pracach z dziedziny matematyki dyskretnej, cybernetyki, informatyki autorzy posługują się notacją „log( x)” dla logarytmów o podstawie 2, ale ta konwencja nie jest ogólnie akceptowana i wymaga wyjaśnienia, albo w wykazie użytych zapisów, albo (jeśli taka lista nie istnieje) w przypisie lub komentarzu przy pierwszym użyciu.
Nawiasy wokół argumentu logarytmów (jeśli nie prowadzi to do błędnego odczytania wzoru) są zwykle pomijane, a podnosząc logarytm do potęgi wykładnik przypisuje się bezpośrednio znakowi logarytmu: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ja ( 3 )] 2 .
System anglo-amerykański
Matematycy, statystycy i niektórzy inżynierowie zwykle używają albo "log( x)" lub "ln( x)", a dla oznaczenia logarytmu o podstawie 10 - "log 10 ( x)».
Niektórzy inżynierowie, biolodzy i inni profesjonaliści zawsze piszą "ln( x)” (lub czasami „log e ( x)”), gdy mają na myśli logarytm naturalny, oraz zapis „log( x)" oznacza log 10 ( x).
dziennik mi jest logarytmem „naturalnym”, ponieważ pojawia się automatycznie i pojawia się bardzo często w matematyce. Rozważmy na przykład problem pochodnej funkcji logarytmicznej:
Jeśli baza b równa się mi, to pochodna to po prostu 1/ x, i kiedy x= 1 ta pochodna równa się 1. Kolejne uzasadnienie, dla którego podstawa mi Logarytm jest najbardziej naturalny, ponieważ można go dość prosto zdefiniować za pomocą prostej całki lub szeregu Taylora, czego nie można powiedzieć o innych logarytmach.
Dalsze uzasadnienia naturalności nie są związane z liczbą. Na przykład istnieje kilka prostych szeregów z logarytmami naturalnymi. Pietro Mengoli i Nicholas Mercator nazywali je logarytm naturalny kilkadziesiąt lat, zanim Newton i Leibniz opracowali rachunek różniczkowy i całkowy.
Definicja
Formalnie In( a) można zdefiniować jako pole pod krzywą wykresu 1/ x od 1 do a, czyli jako całka:
Jest to rzeczywiście logarytm, ponieważ spełnia podstawową własność logarytmu:
Można to wykazać zakładając, że:
Wartość numeryczna
Aby obliczyć wartość liczbową logarytmu naturalnego liczby, można wykorzystać jego rozwinięcie w szereg Taylora w postaci:
Aby uzyskać najlepszą szybkość konwergencji, możesz użyć następującej tożsamości:
Dla ln( x), gdzie x> 1, im bliżej wartości x do 1, tym szybszy współczynnik konwergencji. Tożsamości związane z logarytmem można wykorzystać do osiągnięcia celu:
Metody te były stosowane jeszcze przed pojawieniem się kalkulatorów, dla których stosowano tabele numeryczne i przeprowadzano manipulacje podobne do opisanych powyżej.
Wysoka celność
Do obliczania logarytmu naturalnego z dokładnością wielocyfrową szereg Taylora nie jest wydajny, ponieważ jego zbieżność jest powolna. Alternatywą jest użycie metody Newtona do odwrócenia na funkcję wykładniczą, której szeregi są zbieżne szybciej.
Alternatywą dla bardzo wysokiej dokładności obliczeń jest wzór:
gdzie M oznacza średnią arytmetyczno-geometryczną 1 i 4/s, a
m wybrany tak, że p osiągnięto znaki dokładności. (W większości przypadków wystarczy wartość 8 dla m). Rzeczywiście, jeśli stosuje się tę metodę, można zastosować odwrócenie logarytmu naturalnego Newtona do efektywnego obliczenia funkcji wykładniczej. (Stałe ln 2 i pi można wstępnie obliczyć z pożądaną dokładnością przy użyciu dowolnego znanego szeregu szybko zbieżnego).
Złożoność obliczeniowa
Złożoność obliczeniowa logarytmów naturalnych (przy użyciu średniej arytmetyczno-geometrycznej) wynosi O( M(n)n n). Tutaj n to liczba cyfr precyzji, dla której ma zostać obliczony logarytm naturalny, oraz M(n) to złożoność obliczeniowa mnożenia przez dwa n-cyfrowe liczby.
Ułamki ciągłe
Chociaż nie ma prostych ułamków łańcuchowych reprezentujących logarytm, można użyć kilku uogólnionych ułamków łańcuchowych, w tym:
Logarytmy zespolone
Funkcję wykładniczą można rozszerzyć do funkcji, która daje liczbę zespoloną postaci mi x dla dowolnej liczby zespolonej x, używając szeregu nieskończonego ze złożonym x. Tę funkcję wykładniczą można odwrócić, tworząc złożony logarytm, który będzie miał większość właściwości logarytmów zwykłych. Są jednak dwie trudności: nie ma x, dla którego mi x= 0 i okazuje się, że mi 2Liczba Pi = 1 = mi 0 . Ponieważ własność multiplikacyjności obowiązuje dla złożonej funkcji wykładniczej, to mi z = mi z+2NPI dla wszystkich kompleksów z i w całości n.
Logarytmu nie można zdefiniować na całej płaszczyźnie zespolonej, a mimo to jest wielowartościowy – dowolny logarytm zespolony można zastąpić logarytmem „równoważnym” przez dodanie dowolnej liczby całkowitej wielokrotności 2 Liczba Pi. Logarytm zespolony może być jednowartościowy tylko na wycinku płaszczyzny zespolonej. Na przykład ln i = 1/2 Liczba Pi lub 5/2 Liczba Pi lub −3/2 Liczba Pi itp. i chociaż i 4 = 1,4 log i można zdefiniować jako 2 Liczba Pi lub 10 Liczba Pi lub -6 Liczba Pi, i tak dalej.
Zobacz też
- John Napier - wynalazca logarytmów
Uwagi
- Matematyka dla chemii fizycznej. - 3 miejsce. - Prasa akademicka, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Wyciąg ze strony 9
- J J O „Connor i E F Robertson Liczba e . Archiwum historii matematyki MacTutor (wrzesień 2001). Zarchiwizowane
- Cajori Florian Historia matematyki, wyd. - Księgarnia AMS, 1991. - str. 152. - ISBN 0821821024
- Flashman, Martin Szacowanie całek przy użyciu wielomianów . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 12 lutego 2012 r.
logarytm podany numer nazwany wykładnik, do którego chcesz podbić inną liczbę, zwany podstawa logarytm, aby uzyskać podaną liczbę. Na przykład logarytm liczby 100 o podstawie 10 wynosi 2. Innymi słowy, 10 musi być podniesione do kwadratu, aby uzyskać liczbę 100 (10 2 = 100). Jeśli n- podany numer, b- fundacja i ja jest logarytm, to bl = n. Numer n zwany także antylogarytmem bazy b liczby ja. Na przykład antylogarytm od 2 do podstawy 10 wynosi 100. Można to zapisać jako log b n = ja i antylog b ja = n.
Główne właściwości logarytmów:
Podstawą logarytmów może być dowolna liczba dodatnia inna niż jeden, ale niestety okazuje się, że jeśli b oraz n są liczbami wymiernymi, to w rzadkich przypadkach istnieje taka liczba wymierna ja, Co bl = n. Można jednak zdefiniować liczbę niewymierną ja, na przykład takie, że 10 ja= 2; to liczba niewymierna ja można aproksymować za pomocą liczb wymiernych z dowolną wymaganą dokładnością. Okazuje się, że w tym przykładzie ja w przybliżeniu równa 0,3010, a tę przybliżoną wartość logarytmu do podstawy 10 liczby 2 można znaleźć w czterocyfrowych tablicach logarytmów dziesiętnych. Logarytmy dziesiętne (lub logarytmy dziesiętne) są używane w obliczeniach tak często, że nazywa się je zwykły logarytmów i zapisać jako log2 = 0,3010 lub log2 = 0,3010, pomijając jednoznaczne wskazanie podstawy logarytmu. logarytmy podstawowe mi, liczba transcendentalna w przybliżeniu równa 2,71828, nazywa się naturalny logarytmy. Znajdują się one głównie w pracach dotyczących analizy matematycznej i jej zastosowań w różnych naukach. Logarytmy naturalne są również zapisywane bez wyraźnego wskazania podstawy, ale przy użyciu specjalnego zapisu ln: na przykład ln2 = 0,6931, ponieważ mi 0,6931 = 2.
Korzystanie z tablic logarytmów zwykłych.
Zwykły logarytm liczby to wykładnik, do którego musisz podnieść 10, aby uzyskać podaną liczbę. Ponieważ 10 0 = 1, 10 1 = 10 i 10 2 = 100, natychmiast otrzymujemy log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 i tak dalej. dla zwiększania potęg liczb całkowitych 10. Podobnie, 10 -1 = 0,1, 10 -2 = 0,01, a zatem log0,1 = -1, log0,01 = -2 i tak dalej. dla wszystkich liczb całkowitych negatywne moce 10. Zwykłe logarytmy pozostałych liczb są zawarte między logarytmami najbliższych potęg całkowitych liczby 10; log2 musi być zawarty między 0 a 1, log20 między 1 a 2, a log0.2 między -1 a 0. Zatem logarytm ma dwie części, liczbę całkowitą i Ułamek dziesiętny od 0 do 1. Część całkowita nazywa się Charakterystyka logarytm i jest określany przez samą liczbę, nazywa się część ułamkową mantysa i można je znaleźć w tabelach. Ponadto log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logarytm z 2 to 0,3010, więc log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Podobnie, log0,2 = log(2ё10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0,3010 - 1. Odejmując, otrzymujemy log0,2 = -0,6990. Jednak wygodniej jest przedstawić log0,2 jako 0,3010 - 1 lub jako 9,31010 - 10; można sformułować i główna zasada: wszystkie liczby otrzymane z danej liczby przez pomnożenie przez potęgę 10 mają tę samą mantysę równą mantysie podanej liczby. W większości tabel podane są mantysy liczb z zakresu od 1 do 10, ponieważ mantysy wszystkich pozostałych liczb można uzyskać z podanych w tabeli.
Większość tabel podaje logarytmy z czterema lub pięcioma miejscami po przecinku, chociaż istnieją tabele siedmiocyfrowe i tabele z jeszcze większą liczbą miejsc po przecinku. Nauczenie się korzystania z takich tabel jest najłatwiejsze na przykładach. Aby znaleźć log3.59, najpierw zwróć uwagę, że liczba 3,59 jest pomiędzy 10 0 a 10 1, więc jej charakterystyka to 0. Znajdujemy liczbę 35 (po lewej) w tabeli i przechodzimy wzdłuż wiersza do kolumny który ma numer 9 na górze; przecięcie tej kolumny i wiersza 35 to 5551, więc log3,59 = 0,5551. Aby znaleźć mantysę liczby z czterema cyframi znaczącymi, musisz skorzystać z interpolacji. W niektórych tabelach interpolację ułatwiają proporcjonalne części podane w ostatnich dziewięciu kolumnach po prawej stronie każdej strony tabeli. Znajdź teraz log736.4; liczba 736.4 leży między 10 2 a 10 3, więc cechą charakterystyczną jej logarytmu jest 2. W tabeli znajdujemy wiersz na lewo od którego jest 73 i kolumna 6. Na przecięciu tego wiersza i tej kolumny znajduje się liczba 8669. Wśród części liniowych znajdujemy kolumnę 4 Na przecięciu wiersza 73 i kolumny 4 jest liczba 2. Dodając 2 do 8669, otrzymujemy mantysę - jest ona równa 8671. Zatem log736.4 = 2,8671.
logarytmy naturalne.
Tablice i własności logarytmów naturalnych są podobne do tablic i własności logarytmów zwykłych. Główna różnica między nimi polega na tym, że część całkowita logarytmu naturalnego nie ma znaczenia przy określaniu położenia przecinka, a zatem różnica między mantysą a charakterystyką nie odgrywa szczególnej roli. Logarytmy naturalne liczb 5.432; 54,32 i 543,2 wynoszą odpowiednio 1,6923; 3,9949 i 6,2975. Związek między tymi logarytmami staje się oczywisty, jeśli weźmiemy pod uwagę różnice między nimi: log543,2 - log54,32 = 6,2975 - 3,9949 = 2,3026; ostatnia liczba to nic innego jak logarytm naturalny liczby 10 (zapisany tak: ln10); log543,2 - log5,432 = 4,6052; ostatnia liczba to 2ln10. Ale 543,2 \u003d 10 × 54,32 \u003d 10 2 × 5,432. Zatem logarytmem naturalnym danej liczby a możesz znaleźć logarytmy naturalne liczb, równy pracom liczby a do dowolnego stopnia n liczba 10 jeśli k ln a dodaj ln10 pomnożone przez n, tj. W( aґ10n) = log a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Na przykład ln0,05432 = ln(5,432´10 -3) = ln5,432 - 3ln10 = 1,6923 - (3´2,3026) = - 5,2155. Dlatego tablice logarytmów naturalnych, podobnie jak tablice logarytmów zwykłych, zawierają zwykle tylko logarytmy liczb od 1 do 10. W systemie logarytmów naturalnych można mówić o antylogarytmach, ale częściej mówi się o funkcji wykładniczej lub wykładniczej. . Jeśli x=ln tak, następnie tak = były, oraz tak zwany wykładnikiem x(dla wygody typograficznego składu często piszą tak=exp x). Wykładnik pełni rolę antylogarytmu liczby x.
Za pomocą tablic logarytmów dziesiętnych i naturalnych można tworzyć tablice logarytmów o dowolnej podstawie innej niż 10 i mi. Jeśli log b a = x, następnie b x = a, a więc log c b x= log c a lub x dziennik c b= log c a, lub x= log c a/dziennik c b= log b a. Dlatego używając tego wzoru inwersji z tablicy logarytmów do podstawy c możesz budować tablice logarytmów w dowolnej innej bazie b. Mnożnik 1/log c b nazywa moduł przejściowy z ziemi c do bazy b. Nic nie stoi na przeszkodzie, aby np. użyć formuły inwersji, czyli przejścia z jednego systemu logarytmów do drugiego, znaleźć logarytmy naturalne z tablicy logarytmów zwykłych lub dokonać odwrotnego przejścia. Na przykład log105.432 = log mi 5.432/log mi 10 \u003d 1,6923/2,3026 \u003d 1,6923´0,4343 \u003d 0,7350. Liczba 0,4343, przez którą należy pomnożyć logarytm naturalny danej liczby, aby uzyskać logarytm zwyczajny, jest modułem przejścia do systemu logarytmów zwyczajnych.
Specjalne stoły.
Logarytmy zostały pierwotnie wymyślone w celu wykorzystania ich właściwości log ab= log a+log b i loguj a/b= log a-dziennik b, zamień produkty na sumy, a iloraz na różnice. Innymi słowy, jeśli log a i loguj b są znane, to za pomocą dodawania i odejmowania możemy łatwo znaleźć logarytm iloczynu i iloraz. W astronomii jednak często dla podanych wartości log a i loguj b trzeba znaleźć dziennik ( a + b) lub log( a – b). Oczywiście najpierw można było znaleźć z tablic logarytmów a oraz b, następnie wykonaj określone dodawanie lub odejmowanie i ponownie odwołując się do tabel, znajdź wymagane logarytmy, ale taka procedura wymagałaby trzech podróży do tabel. Z. Leonelli w 1802 r. opublikował tablice tzw. Logarytmy Gaussa- logarytmy dodawania sum i różnic - co pozwoliło ograniczyć dostęp do tabel.
W 1624 r. I. Kepler zaproponował tablice logarytmów proporcjonalnych, tj. logarytmy liczb a/x, gdzie a jest pewną dodatnią stałą. Tabele te są używane głównie przez astronomów i nawigatorów.
Logarytmy proporcjonalne w a= 1 są nazywane logarytmy i są używane w obliczeniach, gdy mamy do czynienia z produktami i ilorazami. Logarytm liczb n jest równa logarytmowi numer odwrotny; tych. woda kolońska n=log1/ n= -log n. Jeśli log2 = 0,3010, to colog2 = - 0,3010 = 0,6990 - 1. Zaletą korzystania z logarytmów jest to, że przy obliczaniu wartości logarytmu wyrażeń postaci pq/r potrójna suma dodatnich liczb dziesiętnych log p+log q+ woda kolońska r jest łatwiejszy do znalezienia niż suma mieszana i różnica log p+log q-dziennik r.
Fabuła.
Zasada leżąca u podstaw każdego systemu logarytmów jest znana od bardzo dawna i można ją prześledzić w starożytnej matematyce babilońskiej (około 2000 rpne). W tamtych czasach do obliczania odsetek składanych stosowano interpolację między tabelarycznymi wartościami dodatnich potęg liczb całkowitych. Znacznie później Archimedes (287–212 pne) wykorzystał potęgi 10 8, aby znaleźć górną granicę liczby ziaren piasku potrzebnych do całkowitego wypełnienia znanego wówczas wszechświata. Archimedes zwrócił uwagę na właściwość wykładników leżącą u podstaw skuteczności logarytmów: iloczyn potęg odpowiada sumie wykładników. Pod koniec średniowiecza i na początku New Age matematycy zaczęli coraz częściej odwoływać się do związku między postępem geometrycznym i arytmetycznym. M. Stiefel w swoim eseju Arytmetyka liczb całkowitych(1544) podał tabelę pozytywnych i negatywnych mocy liczby 2:
Stiefel zauważył, że suma dwóch liczb w pierwszym rzędzie (rząd wykładników) jest równa wykładnikowi dwóch odpowiadających iloczynowi dwóch odpowiadających im liczb w dolnym rzędzie (rząd wykładników). W związku z tą tabelą Stiefel sformułował cztery reguły, które są równoważne czterem współczesnym regułom dla operacji na wykładnikach lub czterem regułom dla operacji na logarytmach: suma w górnym wierszu odpowiada iloczynowi w dolnym; odejmowanie w górnym wierszu odpowiada dzieleniu w dolnym wierszu; mnożenie w górnym wierszu odpowiada potęgowaniu w dolnym wierszu; podział w górnym wierszu odpowiada ekstrakcji korzenia w dolnym wierszu.
Najwyraźniej reguły podobne do reguł Stiefela skłoniły J. Napera do formalnego wprowadzenia w eseju pierwszego systemu logarytmów Opis niesamowitej tabeli logarytmów, opublikowanej w 1614 roku. Ale myśli Napiera były zajęte problemem przeliczania produktów na kwoty, ponieważ ponad dziesięć lat przed publikacją jego pracy Napier otrzymał wiadomość z Danii, że jego asystenci w obserwatorium Tycho Brahe mieli metodę przeliczania dzieł na sumy. Metoda wymieniona w komunikacie Napiera opierała się na wykorzystaniu formuł trygonometrycznych typu
dlatego tablice Napiera składały się głównie z logarytmów funkcji trygonometrycznych. Chociaż pojęcie podstawy nie zostało wyraźnie uwzględnione w definicji zaproponowanej przez Napiera, liczba (1 – 10 –7)ґ10 7 , w przybliżeniu równa 1/ mi.
Niezależnie od Neupera i niemal równocześnie z nim system logarytmów dość zbliżonych w typie wymyślił i opublikował w Pradze J. Bürgi, który opublikował w 1620 r. Tabele progresji arytmetycznej i geometrycznej. Były to tablice antylogarytmów o podstawie (1 + 10 –4) ґ10 4 , dość dobre przybliżenie liczby mi.
W systemie Napiera logarytm liczby 10 7 przyjmowano jako zero, a gdy liczby spadały, logarytmy rosły. Kiedy G. Briggs (1561–1631) odwiedził Napier, obaj zgodzili się, że wygodniej byłoby użyć liczby 10 jako podstawy i rozważyć logarytm jedności równy zero. Następnie, w miarę wzrostu liczb, wzrastałyby ich logarytmy. W ten sposób dostaliśmy nowoczesny system logarytmy dziesiętne, których tabelę Briggs opublikował w swoim eseju Arytmetyka logarytmiczna(1620). logarytmy podstawowe mi, choć nie całkiem te wprowadzone przez Napiera, są często określane jako Napier's. Terminy „charakterystyczne” i „mantysa” zostały zaproponowane przez Briggsa.
Pierwsze logarytmy obowiązują przyczyny historyczne użyto przybliżeń do liczb 1/ mi oraz mi. Nieco później idea logarytmów naturalnych zaczęła wiązać się z badaniem obszarów pod hiperbolą xy= 1 (ryc. 1). W XVII wieku pokazano, że obszar ograniczony tą krzywą, oś x i rzędne x= 1 i x = a(na ryc. 1 obszar ten jest pokryty grubszymi i rzadszymi kropkami) zwiększa się postęp arytmetyczny, gdy a wzrasta w postęp geometryczny. To ta zależność pojawia się w regułach działań na wykładnikach i logarytmach. Dało to podstawę do nazwania logarytmów Napiera „logarytmami hiperbolicznymi”.
Funkcja logarytmiczna.
Był czas, kiedy logarytmy były traktowane wyłącznie jako środek obliczeniowy, ale w XVIII wieku, głównie dzięki pracom Eulera, powstało pojęcie funkcji logarytmicznej. Wykres takiej funkcji tak=ln x, którego rzędne zwiększają się w postępie arytmetycznym, podczas gdy odcięte rosną w postępie geometrycznym, pokazano na ryc. 2, a. Wykres funkcji odwrotnej lub wykładniczej (wykładniczej) y = e x, którego rzędne rosną wykładniczo, a odciętych rosną arytmetycznie, przedstawiono odpowiednio na ryc. 2, b. (Krzywe tak= log x oraz tak = 10x podobny kształtem do krzywych tak=ln x oraz tak = były.) Zaproponowano również alternatywne definicje funkcji logarytmicznej, np.
kpi ; i podobnie logarytmy naturalne -1 są liczbami zespolonymi postaci (2 k + 1)Liczba Pi, gdzie k jest liczbą całkowitą. Podobne stwierdzenia są również prawdziwe dla logarytmów ogólnych lub innych systemów logarytmów. Ponadto definicję logarytmów można uogólnić za pomocą tożsamości Eulera, aby uwzględnić zespolone logarytmy liczb zespolonych.
Alternatywną definicję funkcji logarytmicznej dostarcza analiza funkcjonalna. Jeśli f(x) jest funkcją ciągłą liczby rzeczywistej x, który ma następujące trzy właściwości: f (1) = 0, f (b) = 1, f (UV) = f (ty) + f (v), następnie f(x) jest zdefiniowany jako logarytm liczby x z powodu b. Ta definicja ma szereg zalet w stosunku do definicji podanej na początku tego artykułu.
Aplikacje.
Logarytmy były pierwotnie używane wyłącznie do uproszczenia obliczeń, a ta aplikacja jest nadal jedną z ich najważniejszych. Obliczanie iloczynów, ilorazów, potęg i pierwiastków ułatwia nie tylko szeroka dostępność publikowanych tablic logarytmicznych, ale także zastosowanie tzw. suwak logarytmiczny - narzędzie obliczeniowe, którego zasada opiera się na właściwościach logarytmów. Linijka wyposażona jest w skale logarytmiczne, tj. odległość od numeru 1 do dowolnej liczby x wybrany równy log x; przesuwając jedną skalę względem drugiej, można wykreślić sumy lub różnice logarytmów, co umożliwia odczytywanie produktów lub części odpowiednich liczb bezpośrednio ze skali. Aby skorzystać z prezentacji liczb w postaci logarytmicznej umożliwia tzw. papier logarytmiczny do kreślenia (papier z nadrukowanymi skalami logarytmicznymi wzdłuż obu osi współrzędnych). Jeśli funkcja spełnia prawo potęgowe postaci y = kx n, to jego wykres logarytmiczny wygląda jak linia prosta, ponieważ dziennik tak= log k + n dziennik x jest równaniem liniowym względem log tak i loguj x. Wręcz przeciwnie, jeśli wykres logarytmiczny pewnej zależności funkcjonalnej ma postać linii prostej, to zależność ta jest prawem potęgowym. Papier półlogarytmiczny (gdzie oś y jest logarytmiczna, a odcięta jednorodna) jest przydatna, gdy trzeba zidentyfikować funkcje wykładnicze. Równania postaci y = kb rx powstają, gdy ilość, taka jak populacja, ilość materiału radioaktywnego lub saldo bankowe, zmniejsza się lub zwiększa w tempie proporcjonalnym do dostępnego ten moment liczba mieszkańców, materiały promieniotwórcze lub pieniądze. Jeśli taką zależność zastosujemy do papieru półlogarytmicznego, to wykres będzie wyglądał jak linia prosta.
Funkcja logarytmiczna powstaje w związku z różnymi formami naturalnymi. Kwiaty w kwiatostanach słonecznika układają się w spirale logarytmiczne, muszle mięczaków skręcają się Łodzik, rogi górskiej owcy i dzioby papug. Wszystkie te naturalne kształty są przykładami krzywej znanej jako spirala logarytmiczna, ponieważ we współrzędnych biegunowych jej równanie to r = ae bq lub ln r=ln a + bq. Taka krzywa jest opisana przez ruchomy punkt, którego odległość od bieguna rośnie wykładniczo, a kąt opisany przez jego wektor promienia rośnie arytmetycznie. Powszechność takiej krzywej, a tym samym funkcji logarytmicznej, dobrze ilustruje fakt, że powstaje ona w różne obszary, jak kontur ekscentrycznej krzywki i trajektorię niektórych owadów lecących w kierunku światła.