Panuntunan para sa pagpaparami ng anumang numero sa zero. Kurso sa matematika ng paaralan: bakit hindi mo mahati sa zero sa paaralan

Evgeny Shiryaev, lektor at pinuno ng Laboratory of Mathematics ng Polytechnic Museum, sinabi sa AiF.ru tungkol sa dibisyon ng zero:

1. Jurisdiction ng isyu

Sumang-ayon, ang pagbabawal ay nagbibigay ng isang espesyal na provocativeness sa panuntunan. Paano ito imposible? Sino ang nagbawal? Ngunit paano ang ating mga karapatang sibil?

Ni ang konstitusyon ng Russian Federation, o ang Criminal Code, o kahit ang charter ng iyong paaralan ay hindi tumututol sa intelektwal na aksyon na interesado sa amin. Nangangahulugan ito na ang pagbabawal ay walang legal na puwersa, at walang pumipigil dito mismo, sa mga pahina ng AiF.ru, na subukang hatiin ang isang bagay sa zero. Halimbawa, isang libo.

2. Hatiin ayon sa itinuro

Tandaan, noong una mong natutunan kung paano hatiin, ang mga unang halimbawa ay nalutas sa pamamagitan ng pagsuri sa pamamagitan ng multiplikasyon: ang resulta na pinarami ng divisor ay kailangang tumugma sa divisible. Hindi tumugma - hindi nagpasya.

Halimbawa 1 1000: 0 =...

Kalimutan natin ang tungkol sa ipinagbabawal na panuntunan para sa isang minuto at gumawa ng ilang mga pagtatangka upang hulaan ang sagot.

Ang mali ay puputulin ang tseke. Ulitin ang mga opsyon: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000. Para sa bawat isa sa kanila, ang pagsubok ay magbibigay ng parehong resulta:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10,000 0 = 0

Ang zero sa pamamagitan ng multiplikasyon ay ginagawa ang lahat sa sarili nito at hindi kailanman sa isang libo. Ang konklusyon ay madaling bumalangkas: walang numero ang papasa sa pagsusulit. Iyon ay, walang numero ang maaaring maging resulta ng paghahati ng isang di-zero na numero sa zero. Ang ganitong dibisyon ay hindi ipinagbabawal, ngunit walang resulta.

3. Nuance

Halos napalampas ang isang pagkakataon upang pabulaanan ang pagbabawal. Oo, kinikilala namin na ang isang di-zero na numero ay hindi mahahati sa 0. Ngunit maaaring ang 0 mismo ay maaari?

Halimbawa 2 0: 0 = ...

Ang iyong mga mungkahi para sa pribado? 100? Mangyaring: ang quotient ng 100 na pinarami ng divisor ng 0 ay katumbas ng divisible ng 0.

Higit pang mga pagpipilian! isa? Angkop din. At -23, at 17, at lahat-lahat-lahat. Sa halimbawang ito, magiging positibo ang pagsusuri sa resulta para sa anumang numero. At upang maging matapat, ang solusyon sa halimbawang ito ay hindi dapat tawaging isang numero, ngunit isang hanay ng mga numero. lahat. At hindi magtatagal upang sumang-ayon na si Alice ay hindi si Alice, ngunit si Mary Ann, at pareho silang pangarap ng kuneho.

4. Paano naman ang mas mataas na matematika?

Ang problema ay nalutas, ang mga nuances ay isinasaalang-alang, ang mga tuldok ay inilalagay, ang lahat ay malinaw - walang numero ang maaaring maging sagot para sa halimbawa na may dibisyon ng zero. Ang paglutas ng gayong mga problema ay walang pag-asa at imposible. Kaya... kawili-wili! Dobleng dalawa.

Halimbawa 3 Alamin kung paano hatiin ang 1000 sa 0.

Pero hindi pwede. Ngunit ang 1000 ay madaling hatiin ng ibang mga numero. Well, gawin man lang natin ang gumagana, kahit na baguhin natin ang gawain. At doon, makikita mo, kami ay madadala, at ang sagot ay lilitaw sa kanyang sarili. Kalimutan ang tungkol sa zero sa loob ng isang minuto at hatiin sa isang daan:

Ang isang daan ay malayo sa zero. Gumawa tayo ng isang hakbang patungo dito sa pamamagitan ng pagbabawas ng divisor:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Obvious dynamics: mas malapit ang divisor sa zero, mas malaki ang quotient. Ang trend ay maaaring obserbahan nang higit pa, lumipat sa mga fraction at patuloy na bawasan ang numerator:

Nananatiling tandaan na maaari nating lapitan ang zero hangga't gusto natin, na ginagawang arbitraryong malaki ang quotient.

Walang zero sa prosesong ito at walang huling quotient. Ipinahiwatig namin ang paggalaw patungo sa kanila sa pamamagitan ng pagpapalit ng numero ng isang pagkakasunod-sunod na nag-uugnay sa bilang ng interes sa amin:

Ito ay nagpapahiwatig ng isang katulad na kapalit para sa dibidendo:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Ang mga arrow ay may dalawang panig para sa isang dahilan: ang ilang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring magsalubong sa mga numero. Pagkatapos ay maaari nating iugnay ang isang sequence sa limitasyon ng numero nito.

Tingnan natin ang pagkakasunud-sunod ng mga quotient:

Lumalaki ito nang walang hanggan, nagsusumikap para sa walang bilang at higit pa sa alinman. Ang mga mathematician ay nagdaragdag ng mga simbolo sa mga numero ∞ upang makapaglagay ng double-sided na arrow sa tabi ng naturang sequence:

Ang paghahambing ng mga bilang ng mga sequence na may limitasyon ay nagpapahintulot sa amin na magmungkahi ng solusyon sa ikatlong halimbawa:

Ang paghahati ng isang sequence na nagtatagpo sa 1000 element-wise sa pamamagitan ng isang sequence ng mga positibong numero na nagtatagpo sa 0, makakakuha tayo ng isang sequence na nagtatagpo sa ∞.

5. At narito ang nuance na may dalawang zero

Ano ang magiging resulta ng paghahati ng dalawang sequence ng mga positibong numero na nagtatagpo sa zero? Kung pareho sila, pagkatapos ay ang magkaparehong yunit. Kung ang isang sequence-dividend ay nag-converge sa zero nang mas mabilis, pagkatapos ay sa isang partikular na sequence na may zero na limitasyon. At kapag ang mga elemento ng divisor ay bumaba nang mas mabilis kaysa sa dibidendo, ang quotient sequence ay lalago nang malakas:

Hindi tiyak na sitwasyon. At kaya ito ay tinatawag na: ang kawalan ng katiyakan ng anyo 0/0 . Kapag nakita ng mga mathematician ang mga sequence na nasa ilalim ng naturang kawalan ng katiyakan, hindi sila nagmamadaling hatiin ang dalawang magkaparehong numero sa isa't isa, ngunit alamin kung alin sa mga sequence ang mas mabilis na tumatakbo sa zero at kung paano. At ang bawat halimbawa ay magkakaroon ng sarili nitong tiyak na sagot!

6. Sa buhay

Ang batas ng Ohm ay nag-uugnay sa kasalukuyang, boltahe, at paglaban sa isang circuit. Madalas itong nakasulat sa form na ito:

Pabayaan natin ang tumpak na pisikal na pag-unawa at pormal na tingnan kanang bahagi bilang quotient ng dalawang numero. Isipin na nilulutas natin ang problema sa paaralan sa kuryente. Ang kondisyon ay binibigyan ng boltahe sa volts at paglaban sa ohms. Ang tanong ay halata, ang desisyon sa isang aksyon.

Ngayon tingnan natin ang kahulugan ng superconductivity: ito ang pag-aari ng ilang mga metal na magkaroon ng zero electrical resistance.

Well, lutasin natin ang problema para sa isang superconducting circuit? Ilagay mo na lang yan R= 0 hindi gagana, sumusuka ang pisika kawili-wiling gawain, sa likod kung saan, malinaw naman, mayroong isang siyentipikong pagtuklas. At ang mga taong nagawang hatiin ng zero sa sitwasyong ito ay nakatanggap ng Nobel Prize. Ito ay kapaki-pakinabang upang ma-bypass ang anumang mga pagbabawal!

"Hindi mo maaaring hatiin sa zero!" - karamihan sa mga mag-aaral ay isinasaulo ang panuntunang ito, nang hindi nagtatanong. Alam ng lahat ng bata kung ano ang "Hindi" at kung ano ang mangyayari kung tatanungin mo ito bilang tugon: "bakit? Ngunit talagang napaka-interesante at mahalagang malaman kung bakit imposible.

Ang bagay ay ang apat na operasyon ng aritmetika - karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati - ay talagang hindi pantay. Kinikilala lamang ng mga mathematician ang dalawa sa kanila bilang ganap - pagdaragdag at pagpaparami. Ang mga operasyong ito at ang kanilang mga katangian ay kasama sa mismong kahulugan ng konsepto ng numero. Ang lahat ng iba pang mga aksyon ay binuo sa isang paraan o iba pa mula sa dalawang ito.

Isasaalang-alang namin, halimbawa, ang pagbabawas. Ano ang ibig sabihin ng 5-3? Sasagot ito ng mag-aaral nang simple: kailangan mong kumuha ng limang bagay, alisin (alisin) ang tatlo at tingnan kung ilan ang natitira. Ngunit tinitingnan ng mga mathematician ang problemang ito sa isang ganap na naiibang paraan. Walang pagbabawas, karagdagan lamang. Samakatuwid, ang pagsulat ng 5 - 3 ay nangangahulugang isang numero na, kapag idinagdag sa numero 3, ay magbibigay ng numero 5. Ibig sabihin, ang 5 - 3 ay isang pinaikling notasyon ng equation: x 3 \u003d 5. Walang pagbabawas sa equation na ito. Mayroon lamang isang gawain - upang makahanap ng angkop na numero.

Ang parehong ay totoo sa multiplikasyon at paghahati. Ang Record 8: 4 ay mauunawaan bilang resulta ng paghahati ng walong bagay sa apat na pantay na tumpok. Ngunit sa katotohanan, ito ay isang pinaikling anyo lamang ng equation na 4 * x = 8.

Dito nagiging malinaw kung bakit imposible (o sa halip imposible) na hatiin sa zero. Ang record 5: 0 ay maikli para sa 0 * x = 5. Ibig sabihin, ang gawaing ito ay maghanap ng isang numero na, kapag pinarami ng 0, ay magbibigay ng 5. ngunit alam natin na kapag pinarami ng 0, ito ay palaging nagiging 0 .ito ay isang likas na katangian ng zero, mahigpit na pagsasalita, bahagi ng kahulugan nito.

Walang ganoong numero na, kapag pinarami ng 0, ay magbibigay ng isang bagay maliban sa zero. Ibig sabihin, walang solusyon ang problema natin. (Oo, nangyayari ito, hindi lahat ng problema ay may solusyon.) Kaya, ang pagsusulat ng 5: 0 ay hindi tumutugma sa anumang tiyak na numero, at hindi ito naninindigan para sa anumang bagay, at samakatuwid ay hindi makatwiran. Ang kawalang-kabuluhan ng entry na ito ay maikling ipinahayag sa pamamagitan ng pagsasabi na hindi mo maaaring hatiin sa zero.

Ang pinaka-matulungin na mga mambabasa sa puntong ito ay tiyak na magtatanong: posible bang hatiin ang zero sa zero? Sa katunayan, ang equation na 0 * x = 0 ay matagumpay na nalutas. Halimbawa, maaari mong kunin ang x = 0, at pagkatapos ay makakakuha tayo ng 0 * 0 = 0. Kaya, 0: 0=0? Pero huwag tayong magmadali. Subukan nating kunin ang x = 1. nakakakuha tayo ng 0 * 1 = 0. tama? Kaya 0: 0 = 1? Ngunit maaari kang kumuha ng anumang numero sa ganitong paraan at makakuha ng 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, atbp.

Ngunit kung anumang numero ang angkop, wala kaming dahilan para mag-opt para sa alinman sa mga ito. Ibig sabihin, hindi natin masasabi kung aling numero ang katumbas ng entry na 0: 0. At kung gayon, napipilitan tayong aminin na ang entry na ito ay hindi rin makatwiran. Ito ay lumiliko na kahit na ang zero ay hindi maaaring hatiin ng zero. (Sa pagsusuri sa matematika, may mga kaso kapag, dahil sa karagdagang mga kondisyon ng problema, ang isa ay maaaring magbigay ng kagustuhan sa isa sa mga mga pagpipilian solusyon ng equation 0 * x = 0; sa ganitong mga kaso ang mga mathematician ay nagsasalita ng "Kawalang-katiyakan na Pagbubunyag", ngunit sa aritmetika ang mga ganitong kaso ay hindi nangyayari. Narito ang isang tampok ng operasyon ng dibisyon. Upang maging mas tumpak, ang pagpaparami ng operasyon at ang bilang na nauugnay dito ay may zero.

Buweno, ang pinaka-maselan, na nagbasa hanggang sa puntong ito, ay maaaring magtanong: bakit ito ay hindi mo maaaring hatiin sa zero, ngunit maaari mong ibawas ang zero? Sa isang kahulugan, dito nagsisimula ang tunay na matematika. Ito ay masasagot lamang sa pamamagitan ng pagkilala sa mga pormal na kahulugan ng matematika ng mga numerical set at mga operasyon sa mga ito. Hindi ito napakahirap, ngunit sa ilang kadahilanan ay hindi ito pinag-aaralan sa paaralan. Ngunit sa mga lektura sa matematika sa unibersidad, sa unang lugar, ituturo nila sa iyo nang eksakto ito.

Bakit hindi mo ma-divide sa zero?"You can't divide by zero!" - karamihan sa mga mag-aaral ay isinasaulo ang panuntunang ito, nang hindi nagtatanong. Alam ng lahat ng bata kung ano ang "hindi" at ano ang mangyayari kung tatanungin mo ito bilang tugon: "Bakit?" Ngunit sa katunayan, ito ay lubhang kawili-wili at mahalagang malaman kung bakit ito ay imposible. Ang bagay ay ang apat na operasyon ng aritmetika - karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati - ay talagang hindi pantay. Kinikilala lamang ng mga mathematician ang dalawa sa kanila bilang ganap - pagdaragdag at pagpaparami. Ang mga operasyong ito at ang kanilang mga katangian ay kasama sa mismong kahulugan ng konsepto ng numero. Ang lahat ng iba pang mga aksyon ay binuo sa isang paraan o iba pa mula sa dalawang ito. Isaalang-alang, halimbawa, ang pagbabawas. Ano ang ibig sabihin ng 5-3? Sasagot ito ng mag-aaral nang simple: kailangan mong kumuha ng limang bagay, alisin (alisin) ang tatlo at tingnan kung ilan ang natitira. Ngunit tinitingnan ng mga mathematician ang problemang ito sa isang ganap na naiibang paraan. Walang pagbabawas, karagdagan lamang. Samakatuwid, ang pagsulat ng 5 - 3 ay nangangahulugan ng isang numero na, kapag idinagdag sa numero 3, ay magbibigay ng numerong 5. Ibig sabihin, ang 5 - 3 ay isang pinaikling notasyon ng equation: x + 3 = 5. Walang pagbabawas sa equation na ito. Mayroon lamang isang gawain - upang makahanap ng angkop na numero.Ang parehong ay totoo sa multiplikasyon at paghahati. Ang Record 8: 4 ay mauunawaan bilang resulta ng paghahati ng walong bagay sa apat na pantay na tumpok. Ngunit sa katotohanan, ito ay isang pinaikling anyo lamang ng equation na 4 x = 8.Dito nagiging malinaw kung bakit imposible (o sa halip imposible) na hatiin sa zero. Ang record 5: Ang 0 ay maikli para sa 0 x = 5. Ibig sabihin, ang gawaing ito ay maghanap ng isang numero na, kapag pinarami ng 0, ay magbibigay ng 5. Ngunit alam natin na kapag pinarami ng 0, palagi kang makakakuha ng 0. Ito ay isang likas na pag-aari ng zero, mahigpit na pagsasalita, bahagi ng kahulugan nito.Walang ganoong numero na, kapag pinarami ng 0, ay magbibigay ng isang bagay maliban sa zero. Ibig sabihin, walang solusyon ang problema natin. (Oo, nangyayari ito, hindi lahat ng problema ay may solusyon.) Kaya, ang pagsusulat ng 5: 0 ay hindi tumutugma sa anumang tiyak na numero, at hindi ito naninindigan para sa anumang bagay at samakatuwid ay hindi makatwiran. Ang kawalang-kabuluhan ng entry na ito ay maikling ipinahayag sa pamamagitan ng pagsasabi na hindi mo maaaring hatiin sa zero.Ang pinaka-matulungin na mga mambabasa sa puntong ito ay tiyak na magtatanong: posible bang hatiin ang zero sa zero? Sa katunayan, ang equation na 0 · x = 0 ay matagumpay na nalutas. Halimbawa, maaari nating kunin ang x = 0, at pagkatapos ay makukuha natin ang 0 · 0 = 0. Kaya, 0: 0=0? Pero huwag tayong magmadali. Subukan nating kunin ang x = 1. Nakukuha natin ang 0 1 = 0. Tama? Kaya 0: 0 = 1? Ngunit maaari kang kumuha ng anumang numero sa ganitong paraan at makakuha ng 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, atbp.Ngunit kung anumang numero ang angkop, wala kaming dahilan para mag-opt para sa alinman sa mga ito. Ibig sabihin, hindi natin masasabi kung anong numero ang katumbas ng entry na 0: 0. At kung gayon, napipilitan tayong aminin na ang entry na ito ay hindi rin makatwiran. Ito ay lumiliko na kahit na ang zero ay hindi maaaring hatiin ng zero. (Sa calculus, may mga kaso kung saan, dahil sa karagdagang mga kondisyon ng problema, ang isa sa mga posibleng solusyon sa equation na 0 x = 0 ay maaaring mas gusto; sa mga ganitong kaso, ang mga mathematician ay nagsasalita tungkol sa "pagsisiwalat ng kawalan ng katiyakan", ngunit ang mga ganitong kaso ay hindi. mangyari sa aritmetika.) Ito ang tampok ng operasyon ng dibisyon. Upang maging mas tumpak, ang pagpaparami ng operasyon at ang bilang na nauugnay dito ay may zero. Buweno, ang pinaka-maselan, na nagbasa hanggang sa puntong ito, ay maaaring magtanong: bakit ito ay hindi mo maaaring hatiin sa zero, ngunit maaari mong ibawas ang zero? Sa isang kahulugan, dito nagsisimula ang tunay na matematika. Ito ay masasagot lamang sa pamamagitan ng pagkilala sa mga pormal na kahulugan ng matematika ng mga numerical set at mga operasyon sa mga ito. Hindi ito napakahirap, ngunit sa ilang kadahilanan ay hindi ito pinag-aaralan sa paaralan. Ngunit sa mga lektura sa matematika sa unibersidad, tuturuan ka nito sa unang lugar.

Dibisyon sa pamamagitan ng zero sa matematika, isang dibisyon kung saan ang divisor ay zero. Ang nasabing dibisyon ay maaaring pormal na isulat bilang ⁄ 0, kung saan ang dibidendo.

Sa ordinaryong aritmetika (na may tunay na mga numero), ang expression na ito ay hindi makatwiran, dahil:

sa ≠ 0, walang numero na, kapag pinarami ng 0, ay nagbibigay, samakatuwid, walang numero ang maaaring kunin bilang isang quotient ⁄ 0;
sa = 0, ang paghahati sa zero ay hindi rin natukoy, dahil ang anumang numero, kapag pinarami ng 0, ay nagbibigay ng 0 at maaaring kunin bilang isang quotient na 0 ⁄ 0.

Sa kasaysayan, ang isa sa mga unang sanggunian sa mathematical na impossibility ng pagtatalaga ng value na ⁄ 0 ay nasa pagpuna ni George Berkeley sa infinitesimal calculus.

Mga pagkakamali sa lohika

Dahil kapag nagpaparami ng anumang numero sa zero, palagi tayong nakakakuha ng zero bilang resulta, kapag hinahati ang parehong bahagi ng expression × 0 = × 0, na totoo anuman ang halaga ng at, ng 0, nagkakamali tayo sa kaso ng arbitraryong binigay variable na pagpapahayag= . Dahil ang zero ay maaaring tinukoy nang tahasan, ngunit sa anyo ng isang medyo kumplikado pagpapahayag ng matematika, halimbawa sa anyo ng pagkakaiba ng dalawang halaga na nabawasan sa bawat isa ng mga pagbabagong algebraic, ang gayong dibisyon ay maaaring isang medyo hindi halatang pagkakamali. Ang hindi mahahalata na pagpapakilala ng naturang paghahati sa proseso ng patunay upang maipakita ang pagkakakilanlan ng malinaw na magkakaibang dami, sa gayo'y nagpapatunay ng anumang walang katotohanang pahayag, ay isa sa mga uri ng sophism sa matematika.

Sa computer science

Sa programming, depende sa programming language, uri ng data, at halaga ng dibidendo, ang pagtatangkang hatiin sa zero ay maaaring humantong sa iba't ibang mga kahihinatnan. Ang mga kahihinatnan ng paghahati sa pamamagitan ng zero sa integer at real arithmetic ay sa panimula ay naiiba:

Tangka integer Ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay palaging isang kritikal na error na ginagawang imposible na ipagpatuloy ang pagpapatupad ng programa. Ito ay humahantong sa alinman sa paghagis ng isang pagbubukod (na kung saan ang programa ay maaaring pangasiwaan ang sarili nito, sa gayon ay maiwasan ang isang emergency stop), o upang agad na ihinto ang programa na may isang nakamamatay na mensahe ng error at, marahil, ang mga nilalaman ng call stack. Sa ilang mga programming language, tulad ng Go, ang integer division sa pamamagitan ng zero constant ay itinuturing na isang syntax error at nagiging sanhi ng pag-compile ng programa sa pag-abort.
AT totoo maaaring magkakaiba ang mga resulta ng arithmetic sa iba't ibang wika:

paghahagis ng exception o pagpapahinto sa programa, tulad ng sa integer division;
pagkuha ng isang espesyal na non-numeric na halaga bilang resulta ng operasyon. Sa kasong ito, ang mga kalkulasyon ay hindi naaantala, at ang kanilang resulta ay maaaring bigyang-kahulugan ng program mismo o ng user bilang isang makabuluhang halaga o bilang katibayan ng mga maling kalkulasyon. Ang prinsipyo ay malawakang ginagamit, ayon sa kung saan, kapag hinahati ang form na ⁄ 0, kung saan ang ≠ 0 ay isang numero ng lumulutang na punto, ang resulta ay katumbas ng positibo o negatibo (depende sa tanda ng dibidendo) infinity - o, at kapag = 0, ang resulta ay isang espesyal na halaga na NaN (dinaglat mula sa Ingles na hindi isang numero - "hindi isang numero"). Ang diskarte na ito ay pinagtibay sa pamantayan ng IEEE 754, na sinusuportahan ng marami modernong mga wika programming.

Random na dibisyon ng zero in programa sa kompyuter minsan ay nagdudulot ng mahal o mapanganib na mga pagkabigo sa hardware na kontrolado ng program. Halimbawa, noong Setyembre 21, 1997, isang dibisyon sa pamamagitan ng zero sa computerized control system ng US Navy cruiser USS Yorktown (CG-48) ay pinasara ang lahat ng mga elektronikong kagamitan sa system, na naging dahilan upang huminto sa paggana ang planta ng kuryente ng barko.

Tingnan din

Mga Tala

Function = 1 ⁄ . Kapag may posibilidad na zero mula sa kanan, ay may posibilidad na infinity; kapag may posibilidad na zero mula sa kaliwa, may posibilidad na minus infinity

Kung hahatiin mo ang anumang numero sa zero sa isang maginoo na calculator, bibigyan ka nito ng titik E o ang salitang Error, iyon ay, "error".

Ang computer calculator sa isang katulad na kaso ay nagsusulat (sa Windows XP): "Ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay ipinagbabawal."

Ang lahat ay pare-pareho sa panuntunang kilala mula sa paaralan na hindi mo maaaring hatiin sa zero.

Tingnan natin kung bakit.

Ang division ay ang mathematical operation na kabaligtaran ng multiplication. Ang dibisyon ay tinukoy sa pamamagitan ng pagpaparami.

Hatiin ang isang numero a(dividend, halimbawa 8) sa pamamagitan ng isang numero b(divisor, halimbawa, ang numero 2) - nangangahulugang makahanap ng ganoong numero x(quotient), kapag pinarami ng divisor b ito ay lumiliko out divisible a(4 2 = 8), ibig sabihin. a hatiin sa pamamagitan ng b ibig sabihin upang malutas ang equation x · b = a.

Ang equation a: b = x ay katumbas ng equation x · b = a.

Pinapalitan namin ang dibisyon ng multiplikasyon: sa halip na 8: 2 = x isinulat namin ang x 2 = 8.

Ang 8: 2 = 4 ay katumbas ng 4 2 = 8

18: 3 = 6 ay katumbas ng 6 3 = 18

Ang 20: 2 = 10 ay katumbas ng 10 2 = 20

Ang resulta ng paghahati ay palaging masusuri sa pamamagitan ng pagpaparami. Ang resulta ng pagpaparami ng isang divisor sa isang quotient ay dapat na ang dibidendo.

Katulad nito, subukan nating hatiin sa zero.

Halimbawa, 6: 0 = ... Kailangan nating makahanap ng isang numero na, kapag pinarami ng 0, ay magbibigay ng 6. Ngunit alam natin na kapag pinarami ng zero, palaging nakukuha ang zero. Walang numero na, kapag pinarami ng zero, ay magbibigay ng isang bagay maliban sa zero.

Kapag sinabi nila na imposible o ipinagbabawal na hatiin sa zero, nangangahulugan ito na walang numero na tumutugma sa resulta ng naturang dibisyon (posibleng hatiin sa zero, ngunit hindi hatiin :)).

Bakit sinasabi nila sa school na hindi mo ma-divide sa zero?

Samakatuwid, sa kahulugan mga operasyon ng paghahati ng a sa b, agad na binibigyang-diin na b ≠ 0.

Kung ang lahat ng nakasulat sa itaas ay tila masyadong kumplikado para sa iyo, kung gayon ito ay ganap na nasa iyong mga daliri: Ang paghahati ng 8 sa 2 ay nangangahulugan ng pag-alam kung ilang dalawa ang kailangan mong kunin upang makakuha ng 8 (sagot: 4). Ang paghahati ng 18 sa 3 ay nangangahulugan upang malaman kung ilang triple ang kailangan mong kunin upang makakuha ng 18 (sagot: 6).

Ang paghahati ng 6 sa zero ay nangangahulugan ng pag-alam kung gaano karaming mga zero ang kailangan mong kunin upang makakuha ng 6. Kahit gaano karaming mga zero ang iyong kunin, makakakuha ka pa rin ng zero, ngunit hindi ka kailanman makakakuha ng 6, ibig sabihin, ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay hindi tinukoy.

Isang kawili-wiling resulta ang makukuha kung susubukan mong hatiin ang numero sa zero sa android calculator. Ang screen ay magpapakita ng ∞ (infinity) (o - ∞ kung naghahati isang negatibong numero). Ang resultang ito ay mali, dahil walang numero ∞. Tila, nalito ng mga programmer ang ganap na magkakaibang mga operasyon - paghahati ng mga numero at paghahanap ng limitasyon pagkakasunod-sunod ng numero n / x, kung saan x → 0. Kapag hinahati ang zero sa zero, isusulat ang NaN (Hindi Numero - Hindi numero).

"Hindi mo maaaring hatiin sa zero!" - Karamihan sa mga mag-aaral ay isinasaulo ang panuntunang ito, nang hindi nagtatanong. Alam ng lahat ng bata kung ano ang "hindi" at ano ang mangyayari kung tatanungin mo ito bilang tugon: "Bakit?" Ngunit sa katunayan, ito ay lubhang kawili-wili at mahalagang malaman kung bakit ito ay imposible.

Isaalang-alang, halimbawa, ang pagbabawas. Ano ang ibig sabihin 5 - 3 ? Sasagot ito ng mag-aaral nang simple: kailangan mong kumuha ng limang bagay, alisin (alisin) ang tatlo at tingnan kung ilan ang natitira. Ngunit tinitingnan ng mga mathematician ang problemang ito sa isang ganap na naiibang paraan. Walang pagbabawas, karagdagan lamang. Samakatuwid, ang pagpasok 5 - 3 nangangahulugang isang numero na, kapag idinagdag sa isang numero 3 magbibigay ng numero 5 . Yan ay 5 - 3 ay isang shorthand lamang para sa equation: x + 3 = 5. Walang pagbabawas sa equation na ito.

Dibisyon sa pamamagitan ng zero

Mayroon lamang isang gawain - upang makahanap ng angkop na numero.

Ang parehong ay totoo sa multiplikasyon at paghahati. Pagre-record 8: 4 mauunawaan bilang resulta ng paghahati ng walong bagay sa apat na pantay na tambak. Ngunit ito ay talagang isang pinaikling anyo ng equation 4 x = 8.

Dito nagiging malinaw kung bakit imposible (o sa halip imposible) na hatiin sa zero. Pagre-record 5: 0 ay abbreviation para sa 0 x = 5. Iyon ay, ang gawaing ito ay upang mahanap ang isang numero na, kapag pinarami ng 0 magbibigay 5 . Pero alam natin na kapag pinarami 0 laging lumalabas 0 . Ito ay isang likas na katangian ng zero, mahigpit na pagsasalita, bahagi ng kahulugan nito.

Isang numero na, kapag pinarami ng 0 ay magbibigay ng isang bagay maliban sa null, ay hindi umiiral. Ibig sabihin, walang solusyon ang problema natin. (Oo, nangyayari ito, hindi lahat ng problema ay may solusyon.) 5: 0 ay hindi tumutugma sa anumang tiyak na numero, at ito ay hindi lamang para sa anumang bagay at samakatuwid ay hindi makatwiran. Ang kawalang-kabuluhan ng entry na ito ay maikling ipinahayag sa pamamagitan ng pagsasabi na hindi mo maaaring hatiin sa zero.

Ang pinaka-matulungin na mga mambabasa sa puntong ito ay tiyak na magtatanong: posible bang hatiin ang zero sa zero?

Sa katunayan, mula noong equation 0 x = 0 matagumpay na nalutas. Halimbawa, maaari mong kunin x=0, at pagkatapos makuha namin 0 0 = 0. Iyon pala 0: 0=0 ? Pero huwag tayong magmadali. Subukan nating kunin x=1. Kunin 0 1 = 0. tama? Ibig sabihin, 0: 0 = 1 ? Ngunit maaari kang kumuha ng anumang numero at makakuha 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 atbp.

Ngunit kung anumang numero ang angkop, wala kaming dahilan para mag-opt para sa alinman sa mga ito. Ibig sabihin, hindi natin masasabi kung aling numero ang tumutugma sa entry 0: 0 . At kung gayon, kung gayon, napipilitan tayong aminin na ang rekord na ito ay hindi rin makatwiran. Ito ay lumiliko na kahit na ang zero ay hindi maaaring hatiin ng zero. (Sa pagsusuri sa matematika, may mga kaso kung saan, dahil sa karagdagang mga kondisyon ng problema, ang isa ay maaaring magbigay ng kagustuhan sa isa sa mga posibleng opsyon para sa paglutas ng equation. 0 x = 0; sa ganitong mga kaso, ang mga mathematician ay nagsasalita ng "pagsisiwalat ng kawalan ng katiyakan", ngunit sa aritmetika ang mga ganitong kaso ay hindi nangyayari.)

Ito ang tampok ng operasyon ng dibisyon. Mas tiyak, ang pagpaparami ng operasyon at ang bilang na nauugnay dito ay may zero.

Ang division function ay hindi tinukoy para sa isang hanay kung saan ang divisor ay zero. Maaari mong hatiin, ngunit ang resulta ay hindi tinukoy

Hindi mo matatanggal ng zero. Mathematics 2 klase ng high school.

Kung ang aking memorya ay nagsisilbi sa akin ng tama, ang zero ay maaaring katawanin bilang isang infinitesimal na halaga, kaya magkakaroon ng infinity. At ang paaralang "zero - wala" ay isang pagpapasimple lamang, napakarami nito sa matematika ng paaralan. Ngunit kung wala sila sa anumang paraan, ang lahat sa takdang panahon.

Mag-login upang magsulat ng tugon

Dibisyon sa pamamagitan ng zero

Pribado mula sa paghahati ng zero walang numero maliban sa zero.

Ang pangangatwiran dito ay ang mga sumusunod: dahil sa kasong ito walang numero ang makakatugon sa kahulugan ng isang kusyente.

Sumulat tayo, halimbawa,

kahit anong numero ang kukunin mo para sa pagsubok (sabihin, 2, 3, 7), hindi ito maganda dahil:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Ano ang mangyayari kung hinati mo sa 0?

atbp., ngunit kailangan mong makuha ang produkto 2,3,7.

Masasabi nating ang problema ng paghahati sa zero sa isang numero maliban sa zero ay walang solusyon. Gayunpaman, ang isang numero maliban sa zero ay maaaring hatiin ng isang numero na arbitraryong malapit sa zero, at kung mas malapit ang divisor sa zero, mas malaki ang quotient. Kaya kung hahatiin natin ang 7 sa

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

pagkatapos ay makakakuha tayo ng pribadong 70, 700, 7000, 70,000, atbp., na tumataas nang walang katiyakan.

Samakatuwid, madalas na sinasabi na ang quotient ng paghahati ng 7 sa 0 ay "walang katapusan na malaki", o "katumbas ng kawalang-hanggan", at sila ay sumulat

\[7:0 = \infin\]

Ang kahulugan ng expression na ito ay kung ang divisor ay lumalapit sa zero, at ang dibidendo ay nananatiling katumbas ng 7 (o lumalapit sa 7), kung gayon ang quotient ay tumataas nang walang katiyakan.

Kadalasan, maraming tao ang nagtataka kung bakit imposibleng gumamit ng dibisyon sa pamamagitan ng zero? Sa artikulong ito, tatalakayin natin ang napakahusay na detalye tungkol sa kung saan nagmula ang panuntunang ito, pati na rin kung anong mga aksyon ang maaaring gawin nang may zero.

Sa pakikipag-ugnayan sa

Zero ay maaaring tawaging isa sa mga pinaka kawili-wiling mga numero. Walang kahulugan ang numerong ito, nangangahulugan ito ng kawalan ng laman sa totoong kahulugan ng salita. Gayunpaman, kung maglalagay ka ng zero sa tabi ng anumang digit, ang halaga ng digit na ito ay magiging ilang beses na mas malaki.

Ang bilang ay napaka misteryoso sa sarili nito. Nagamit na rin sinaunang tao Mayan. Para sa Maya, ang ibig sabihin ng zero ay "simula", at ang countdown araw ng kalendaryo nagsimula din sa simula.

mataas kawili-wiling katotohanan ay ang zero sign at ang uncertainty sign ay magkapareho. Sa pamamagitan nito, nais ng Maya na ipakita na ang zero ay kaparehong tanda ng kawalan ng katiyakan. Sa Europa, ang pagtatalaga ng zero ay lumitaw kamakailan.

Gayundin, alam ng maraming tao ang pagbabawal na nauugnay sa zero. Kahit sinong tao sasabihin yan hindi maaaring hatiin ng zero. Ito ay sinasabi ng mga guro sa paaralan, at ang mga bata ay karaniwang kinukuha ang kanilang salita para dito. Kadalasan, ang mga bata ay hindi interesadong malaman ito, o alam nila kung ano ang mangyayari kung, kapag narinig nila ang isang mahalagang pagbabawal, agad nilang itatanong "Bakit hindi mo mahati sa zero?". Ngunit kapag ikaw ay tumanda, ang interes ay gumising, at gusto mong malaman ang higit pa tungkol sa mga dahilan para sa naturang pagbabawal. Gayunpaman, mayroong makatwirang ebidensya.

Mga aksyon na may zero

Una kailangan mong matukoy kung anong mga aksyon ang maaaring gawin nang may zero. Umiiral ilang uri ng aktibidad:

Pagdaragdag;
Multiplikasyon;
Pagbabawas;
Dibisyon (zero ayon sa numero);
Exponentiation.

Mahalaga! Kung ang zero ay idinagdag sa anumang numero sa panahon ng pagdaragdag, ang numerong ito ay mananatiling pareho at hindi babaguhin ang numerical na halaga nito. Ang parehong bagay ay mangyayari kung ibawas mo ang zero sa anumang numero.

Sa pagpaparami at paghahati, ang mga bagay ay medyo naiiba. Kung ang i-multiply ang anumang numero sa zero, pagkatapos ay magiging zero din ang produkto.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Isulat natin ito bilang karagdagan:

Mayroong limang idinagdag na mga zero sa kabuuan, kaya ito ay lumabas na

Subukan nating i-multiply ng isa sa zero. Ang resulta ay magiging null din.

Ang zero ay maaari ding hatiin sa anumang numerong hindi katumbas nito. Sa kasong ito, lalabas ito, ang halaga nito ay magiging zero din. Ang parehong panuntunan ay nalalapat sa mga negatibong numero. Kung hahatiin mo ang zero sa isang negatibong numero, makakakuha ka ng zero.

Maaari mo ring itaas ang anumang numero sa zero na kapangyarihan. Sa kasong ito, makakakuha ka ng 1. Mahalagang tandaan na ang expression na "zero to the zero power" ay ganap na walang kahulugan. Kung susubukan mong itaas ang zero sa anumang kapangyarihan, makakakuha ka ng zero. Halimbawa:

Ginagamit namin ang multiplication rule, nakakakuha kami ng 0.

Posible bang hatiin sa zero

Kaya, narito tayo sa pangunahing tanong. Posible bang hatiin sa zero pangkalahatan? At bakit imposibleng hatiin ang isang numero sa zero, dahil ang lahat ng iba pang mga operasyon na may zero ay ganap na umiiral at nalalapat? Upang masagot ang tanong na ito, kailangan mong bumaling sa mas mataas na matematika.

Magsimula tayo sa kahulugan ng konsepto, ano ang zero? Sinasabi ng mga guro ng paaralan na ang zero ay wala. kawalan ng laman. Ibig sabihin, kapag sinabi mong mayroon kang 0 pen, ibig sabihin ay wala ka talagang pen.

Sa mas mataas na matematika, ang konsepto ng "zero" ay mas malawak. Hindi ibig sabihin na walang laman. Dito, ang zero ay tinatawag na kawalan ng katiyakan, dahil kung gagawa ka ng kaunting pagsasaliksik, lumalabas na sa pamamagitan ng paghahati ng zero sa zero, maaari tayong makakuha ng anumang iba pang numero bilang resulta, na maaaring hindi kinakailangang maging zero.

Alam mo ba na ang mga simpleng operasyong aritmetika na iyong pinag-aralan sa paaralan ay hindi gaanong pantay sa kanilang mga sarili? Ang pinakapangunahing hakbang ay pagdaragdag at pagpaparami.

Para sa mga mathematician, ang mga konsepto ng "" at "pagbabawas" ay hindi umiiral. Ipagpalagay: kung ang tatlo ay ibabawas mula sa lima, pagkatapos ay dalawa ang mananatili. Ganito ang hitsura ng pagbabawas. Gayunpaman, isusulat ito ng mga mathematician sa ganitong paraan:

Kaya, lumalabas na ang hindi kilalang pagkakaiba ay isang tiyak na numero na kailangang idagdag sa 3 upang makakuha ng 5. Iyon ay, hindi mo kailangang ibawas ang anuman, kailangan mo lamang na makahanap ng angkop na numero. Nalalapat ang panuntunang ito sa karagdagan.

Ang mga bagay ay medyo naiiba sa mga tuntunin sa pagpaparami at paghahati. Ito ay kilala na ang pagpaparami ng zero ay humahantong sa zero na resulta. Halimbawa, kung 3:0=x, kung i-flip mo ang record, makakakuha ka ng 3*x=0. At ang bilang na pinarami ng 0 ay magbibigay ng zero sa produkto. Lumalabas na ang isang numero na magbibigay ng anumang halaga maliban sa zero sa produktong may zero ay hindi umiiral. Nangangahulugan ito na ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay walang kabuluhan, ibig sabihin, umaangkop ito sa ating panuntunan.

Ngunit ano ang mangyayari kung susubukan mong hatiin ang zero nang mag-isa? Kunin natin ang x bilang ilang hindi tiyak na numero. Lumalabas ang equation na 0 * x \u003d 0. Maaari itong malutas.

Kung susubukan nating kunin ang zero sa halip na x, makakakuha tayo ng 0:0=0. Ito ay tila lohikal? Ngunit kung susubukan naming kumuha ng anumang iba pang numero sa halip na x, halimbawa, 1, pagkatapos ay magtatapos kami sa 0:0=1. Ang parehong sitwasyon ay magiging kung kukuha ka ng anumang iba pang numero at isaksak ito sa equation.

Sa kasong ito, lumalabas na maaari naming kunin ang anumang iba pang numero bilang isang kadahilanan. Ang resulta ay isang walang katapusang numero magkaibang numero. Minsan, gayunpaman, ang paghahati sa pamamagitan ng 0 sa mas mataas na matematika ay may katuturan, ngunit pagkatapos ay karaniwang mayroong isang tiyak na kundisyon dahil sa kung saan maaari pa rin tayong pumili ng isang angkop na numero. Ang pagkilos na ito ay tinatawag na "uncertainty disclosure". Sa ordinaryong aritmetika, ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay muling mawawala ang kahulugan nito, dahil hindi tayo makakapili ng anumang numero mula sa set.

Mahalaga! Ang zero ay hindi maaaring hatiin ng zero.

Zero at infinity

Ang infinity ay napakakaraniwan sa mas mataas na matematika. Dahil hindi lang mahalaga para sa mga mag-aaral na malaman na mayroon pa ring mga operasyon sa matematika na may kawalang-hanggan, hindi maipaliwanag nang maayos ng mga guro sa mga bata kung bakit imposibleng hatiin sa zero.

Ang mga mag-aaral ay nagsisimulang matutunan ang mga pangunahing lihim ng matematika sa unang taon lamang ng institute. Ang mas mataas na matematika ay nagbibigay ng isang malaking hanay ng mga problema na walang solusyon. Ang pinakatanyag na problema ay ang mga problema sa infinity. Maaari silang malutas sa pagsusuri sa matematika.

Maaari ka ring mag-apply sa infinity elementarya na mga operasyong matematika: karagdagan, multiplikasyon sa isang numero. Karaniwang ginagamit din ang pagbabawas at paghahati, ngunit sa huli ay bumaba pa rin sila sa dalawang simpleng operasyon.