Mga expression, conversion ng expression

Mga pagpapahayag ng kapangyarihan (mga ekspresyong may kapangyarihan) at ang kanilang pagbabago

Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan. Una, tututuon tayo sa mga pagbabagong ginagawa gamit ang anumang uri ng mga expression, kabilang ang mga power expression, gaya ng pagbubukas ng mga bracket, pagbabawas ng mga katulad na termino. At pagkatapos ay susuriin natin ang mga pagbabagong likas na partikular sa mga expression na may mga degree: nagtatrabaho sa base at exponent, gamit ang mga katangian ng mga degree, atbp.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang Power Expressions?

Ang termino " mga pagpapahayag ng kapangyarihan"ay halos hindi matatagpuan sa mga aklat-aralin ng matematika sa paaralan, ngunit madalas itong lumilitaw sa mga koleksyon ng mga gawain, lalo na idinisenyo upang maghanda para sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri at ang OGE, halimbawa,. Matapos suriin ang mga gawain kung saan kinakailangan na magsagawa ng anumang mga aksyon na may mga power expression, nagiging malinaw na ang mga power expression ay nauunawaan bilang mga expression na naglalaman ng mga degree sa kanilang mga entry. Samakatuwid, para sa iyong sarili, maaari mong kunin ang sumusunod na kahulugan:

Kahulugan.

Mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay mga ekspresyong naglalaman ng mga kapangyarihan.

Dalhin natin mga halimbawa ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Bukod dito, ipapakita namin ang mga ito ayon sa kung paano ang pagbuo ng mga pananaw sa antas ng natural na tagapagpahiwatig hanggang sa totoong exponent.

Tulad ng alam mo, una mong makikilala ang antas ng isang numero na may natural na exponent, sa yugtong ito ang unang pinakasimpleng mga expression ng kapangyarihan ng uri 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atbp.

Maya-maya, pinag-aralan ang antas ng isang numero na may integer exponent, na humahantong sa paglitaw ng mga power expression na may mga integer. negatibong kapangyarihan, tulad ng sumusunod: 3 −2 , , a −2 +2 b −3 + c 2 .

Sa mga senior class, babalik sila sa degree muli. Doon, ipinakilala ang isang degree na may rational exponent, na humahantong sa paglitaw ng kaukulang mga expression ng kapangyarihan: , , at iba pa. Panghuli, ang mga degree na may mga hindi makatwirang exponent at mga expression na naglalaman ng mga ito ay isinasaalang-alang: , .

Ang bagay ay hindi limitado sa nakalistang mga expression ng kapangyarihan: lalo pang tumagos ang variable sa exponent, at mayroong, halimbawa, ang mga expression na 2 x 2 +1 o . At pagkatapos na makilala, ang mga expression na may mga kapangyarihan at logarithms ay nagsisimulang lumitaw, halimbawa, x 2 lgx −5 x lgx.

Kaya, nalaman namin ang tanong kung ano ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susunod, matututunan natin kung paano baguhin ang mga ito.

Ang mga pangunahing uri ng mga pagbabagong-anyo ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan

Gamit ang mga power expression, maaari mong gawin ang alinman sa mga pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression. Halimbawa, maaari mong palawakin ang mga bracket, palitan ang mga numeric na expression ng kanilang mga halaga, magdagdag ng mga katulad na termino, at iba pa. Naturally, sa kasong ito kinakailangan na sundin ang tinatanggap na pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga aksyon. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng power expression 2 3 ·(4 2 −12) .

Solusyon.

Ayon sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, ginagawa muna namin ang mga aksyon sa mga bracket. Doon, una, pinapalitan namin ang kapangyarihan ng 4 2 sa halaga nito na 16 (tingnan kung kinakailangan), at pangalawa, kinakalkula namin ang pagkakaiba 16−12=4 . Meron kami 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Sa resultang expression, pinapalitan namin ang kapangyarihan ng 2 3 sa halaga nito 8 , pagkatapos ay kalkulahin namin ang produkto 8·4=32 . Ito ang nais na halaga.

Kaya, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Sagot:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expressions 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Solusyon.

Malinaw, ang expression na ito ay naglalaman ng mga katulad na termino 3 · a 4 · b − 7 at 2 · a 4 · b − 7 , at maaari nating bawasan ang mga ito: .

Sagot:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Halimbawa.

Ipahayag ang isang pagpapahayag na may mga kapangyarihan bilang isang produkto.

Solusyon.

Upang makayanan ang gawain ay nagbibigay-daan sa representasyon ng numero 9 bilang isang kapangyarihan ng 3 2 at ang kasunod na paggamit ng pinaikling formula ng pagpaparami, ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Sagot:

Meron ding number magkaparehong pagbabago, na likas sa mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susunod, susuriin natin ang mga ito.

Paggawa gamit ang base at exponent

Mayroong mga degree, sa batayan at / o tagapagpahiwatig na hindi lamang mga numero o variable, ngunit ilang mga expression. Bilang halimbawa, isulat natin ang (2+0.3 7) 5−3.7 at (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Kapag nagtatrabaho sa gayong mga expression, posibleng palitan ang parehong expression sa base ng degree at ang expression sa indicator na may magkaparehong pantay na expression sa DPV ng mga variable nito. Sa madaling salita, ayon sa mga patakaran na kilala sa amin, maaari naming hiwalay na i-convert ang base ng degree, at hiwalay - ang tagapagpahiwatig. Ito ay malinaw na bilang isang resulta ng pagbabagong ito, ang isang expression ay nakuha na kaparehong katumbas ng orihinal.

Ang ganitong mga pagbabago ay nagpapahintulot sa amin na pasimplehin ang mga expression na may mga kapangyarihan o makamit ang iba pang mga layunin na kailangan namin. Halimbawa, sa power expression (2+0.3 7) 5−3.7 na binanggit sa itaas, maaari kang magsagawa ng mga operasyon na may mga numero sa base at exponent, na magbibigay-daan sa iyong pumunta sa kapangyarihan ng 4.1 1.3. At pagkatapos buksan ang mga bracket at magdala ng mga katulad na termino sa base ng degree (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) mas nakakakuha tayo ng power expression simpleng anyo isang 2 (x+1) .

Paggamit ng Power Properties

Ang isa sa mga pangunahing tool para sa pagbabago ng mga expression na may kapangyarihan ay ang mga pagkakapantay-pantay na sumasalamin sa . Alalahanin natin ang mga pangunahing. Para sa anumang positibong numero a at b at arbitrary na tunay na mga numero r at s, ang mga sumusunod na katangian ng kapangyarihan ay nagtataglay:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Tandaan na para sa natural, integer, at positibong exponent, maaaring hindi masyadong mahigpit ang mga paghihigpit sa mga numerong a at b. Halimbawa, para sa mga natural na bilang na m at n, ang pagkakapantay-pantay na a m ·a n =a m+n ay totoo hindi lamang para sa positibong a , kundi pati na rin sa mga negatibo, at para sa a=0 .

Sa paaralan, ang pangunahing pansin sa pagbabagong-anyo ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay tiyak na nakatuon sa kakayahang pumili ng naaangkop na pag-aari at ilapat ito nang tama. Sa kasong ito, ang mga base ng mga degree ay karaniwang positibo, na nagpapahintulot sa iyo na gamitin ang mga katangian ng mga degree nang walang mga paghihigpit. Ang parehong naaangkop sa pagbabagong-anyo ng mga expression na naglalaman ng mga variable sa mga base ng degree - ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable ay kadalasang tulad na ang mga base ay kumukuha lamang ng mga positibong halaga dito, na nagpapahintulot sa iyo na malayang gamitin ang mga katangian ng mga degree. Sa pangkalahatan, kailangan mong patuloy na tanungin ang iyong sarili kung posible bang mag-aplay ng anumang ari-arian ng mga degree sa kasong ito, dahil ang hindi tumpak na paggamit ng mga ari-arian ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng ODZ at iba pang mga problema. Ang mga puntong ito ay tinalakay nang detalyado at may mga halimbawa sa artikulong pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng mga degree. Dito ikukulong natin ang ating sarili sa ilang simpleng halimbawa.

Halimbawa.

Ipahayag ang expression na a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 bilang isang kapangyarihan na may base a .

Solusyon.

Una, binabago natin ang pangalawang kadahilanan (a 2) -3 sa pamamagitan ng pag-aari ng pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Sa kasong ito, ang paunang pagpapahayag ng kapangyarihan ay kukuha ng anyong 2.5 ·a −6:a −5.5 . Malinaw, ito ay nananatiling gamitin ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, mayroon tayo
isang 2.5 a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Sagot:

isang 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Ginagamit ang mga power properties kapag binabago ang mga power expression mula kaliwa pakanan at mula kanan papuntang kaliwa.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng pagpapahayag ng kapangyarihan.

Solusyon.

Ang pagkakapantay-pantay (a·b) r =a r ·b r , na inilapat mula kanan pakaliwa, ay nagbibigay-daan sa iyong pumunta mula sa orihinal na expression patungo sa produkto ng form at higit pa. At kapag nagpaparami ng kapangyarihan sa ang parehong mga batayan idinagdag ang mga tagapagpahiwatig: .

Posibleng isagawa ang pagbabago ng orihinal na expression sa ibang paraan:

Sagot:

.

Halimbawa.

Dahil sa power expression a 1.5 −a 0.5 −6 , magpasok ng bagong variable t=a 0.5 .

Solusyon.

Ang degree na a 1.5 ay maaaring katawanin bilang isang 0.5 3 at higit pa sa batayan ng pag-aari ng degree sa degree (a r) s =a r s na inilapat mula kanan pakaliwa, i-convert ito sa form (a 0.5) 3 . kaya, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. Ngayon ay madaling magpakilala ng bagong variable t=a 0.5 , nakukuha natin ang t 3 −t−6 .

Sagot:

t 3 −t−6 .

Pag-convert ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan

Ang mga power expression ay maaaring maglaman ng mga fraction na may kapangyarihan o kumakatawan sa mga naturang fraction. Ang alinman sa mga pangunahing pagbabago ng fraction na likas sa mga fraction ng anumang uri ay ganap na naaangkop sa mga naturang fraction. Iyon ay, ang mga fraction na naglalaman ng mga degree ay maaaring bawasan, bawasan sa isang bagong denominator, gumana nang hiwalay sa kanilang numerator at hiwalay sa denominator, atbp. Upang ilarawan ang mga salita sa itaas, isaalang-alang ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa.

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expression .

Solusyon.

Ang power expression na ito ay isang fraction. Gawin natin ang numerator at denominator nito. Sa numerator, binubuksan namin ang mga bracket at pinasimple ang expression na nakuha pagkatapos nito gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, at sa denominator ay nagpapakita kami ng mga katulad na termino:

At binabago din namin ang tanda ng denominator sa pamamagitan ng paglalagay ng minus sa harap ng fraction: .

Sagot:

.

Ang pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan sa isang bagong denominator ay isinasagawa katulad ng pagbabawas ng mga rational fraction sa isang bagong denominator. Kasabay nito, ang isang karagdagang kadahilanan ay matatagpuan din at ang numerator at denominator ng fraction ay pinarami nito. Kapag ginagawa ang pagkilos na ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang pagbawas sa isang bagong denominator ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng DPV. Upang maiwasang mangyari ito, kinakailangan na ang karagdagang kadahilanan ay hindi maglaho para sa anumang mga halaga ng mga variable mula sa mga variable ng ODZ para sa orihinal na expression.

Halimbawa.

Dalhin ang mga fraction sa isang bagong denominator: a) sa denominator a, b) sa denominator.

Solusyon.

a) Sa kasong ito, medyo madaling malaman kung anong karagdagang kadahilanan ang makakatulong upang makamit ninanais na resulta. Isa itong multiplier a 0.3, dahil isang 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a . Tandaan na sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng variable a (ito ang hanay ng lahat ng positibong tunay na numero), ang degree na 0.3 ay hindi naglalaho, samakatuwid, may karapatan tayong i-multiply ang numerator at denominator ng ibinigay na fraction sa pamamagitan ng karagdagang salik na ito:

b) Sa mas malapit na pagtingin sa denominator, makikita natin iyon

at ang pagpaparami ng expression na ito sa ay magbibigay ng kabuuan ng mga cube at , iyon ay, . At ito ang bagong denominator kung saan kailangan nating dalhin ang orihinal na fraction.

Kaya nakakita kami ng karagdagang kadahilanan. Ang expression ay hindi nawawala sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable na x at y, samakatuwid, maaari nating i-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan nito:

Sagot:

A) , b) .

Wala ring bago sa pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga degree: ang numerator at denominator ay kinakatawan bilang isang tiyak na bilang ng mga kadahilanan, at ang parehong mga kadahilanan ng numerator at denominator ay nababawasan.

Halimbawa.

Bawasan ang fraction: a) , b).

Solusyon.

a) Una, ang numerator at denominator ay maaaring bawasan ng mga numerong 30 at 45, na katumbas ng 15. Gayundin, malinaw naman, maaari mong bawasan ng x 0.5 +1 at ng . Narito ang mayroon tayo:

b) Sa kasong ito, ang parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator ay hindi agad makikita. Upang makuha ang mga ito, kailangan mong magsagawa ng mga paunang pagbabago. Sa kasong ito, binubuo sila sa pag-decomposing ng denominator sa mga kadahilanan ayon sa pagkakaiba ng formula ng mga parisukat:

Sagot:

A)

b) .

Ang pagbabawas ng mga fraction sa isang bagong denominator at pagbabawas ng mga fraction ay pangunahing ginagamit upang magsagawa ng mga operasyon sa mga fraction. Ang mga aksyon ay isinasagawa ayon sa mga kilalang panuntunan. Kapag nagdadagdag (nagbabawas) ng mga fraction, ang mga ito ay binabawasan sa isang karaniwang denominator, pagkatapos ay ang mga numerator ay idinagdag (binawas), at ang denominator ay nananatiling pareho. Ang resulta ay isang fraction na ang numerator ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominador. Ang paghahati sa isang fraction ay multiplikasyon sa pamamagitan ng katumbas nito.

Halimbawa.

Sundin ang mga hakbang .

Solusyon.

Una, ibawas natin ang mga fraction sa mga bracket. Upang gawin ito, dinadala namin ang mga ito sa isang karaniwang denominator, na , pagkatapos ay ibawas ang mga numerator:

Ngayon kami ay nagpaparami ng mga fraction:

Malinaw, ang pagbawas ng kapangyarihan x 1/2 ay posible, pagkatapos nito ay mayroon na tayo .

Maaari mo ring gawing simple ang power expression sa denominator sa pamamagitan ng paggamit ng difference ng squares formula: .

Sagot:

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expression .

Solusyon.

Malinaw, ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng (x 2.7 +1) 2, ito ay nagbibigay ng fraction . Malinaw na may ibang kailangang gawin sa mga kapangyarihan ng x. Upang gawin ito, kino-convert namin ang resultang fraction sa isang produkto. Nagbibigay ito sa amin ng pagkakataong gamitin ang pag-aari ng paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan: . At sa dulo ng proseso, pumasa kami mula sa huling produkto hanggang sa fraction.

Sagot:

.

At idinagdag namin na posible at sa maraming mga kaso ay kanais-nais na ilipat ang mga kadahilanan na may mga negatibong exponent mula sa numerator patungo sa denominator o mula sa denominator patungo sa numerator sa pamamagitan ng pagbabago ng sign ng exponent. Ang ganitong mga pagbabago ay kadalasang nagpapasimple karagdagang mga aksyon. Halimbawa, ang isang power expression ay maaaring palitan ng .

Pag-convert ng mga expression na may mga ugat at kapangyarihan

Kadalasan sa mga expression kung saan kinakailangan ang ilang pagbabago, kasama ang mga degree na may mga fractional exponents, mayroon ding mga ugat. Upang i-convert ang gayong ekspresyon sa ang tamang uri, sa karamihan ng mga kaso ito ay sapat na upang pumunta lamang sa mga ugat o lamang sa mga kapangyarihan. Ngunit dahil ito ay mas maginhawa upang gumana sa mga degree, sila ay karaniwang lumipat mula sa mga ugat hanggang sa mga degree. Gayunpaman, ipinapayong magsagawa ng gayong paglipat kapag ang ODZ ng mga variable para sa orihinal na expression ay nagbibigay-daan sa iyo na palitan ang mga ugat ng mga degree nang hindi kinakailangang i-access ang module o hatiin ang ODZ sa ilang mga agwat (tinalakay namin ito nang detalyado sa artikulo, ang paglipat mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan at kabaligtaran Pagkatapos makilala ang antas na may makatwirang exponent isang degree na may hindi makatwiran na tagapagpahiwatig ay ipinakilala, na ginagawang posible na magsalita ng isang degree na may arbitrary na tunay na tagapagpahiwatig. Sa yugtong ito, ang nagsisimulang mag-aral ang paaralan exponential function, na kung saan ay analytically ibinigay sa pamamagitan ng antas, sa batayan ng kung saan mayroong isang numero, at sa indicator - isang variable. Kaya tayo ay nahaharap sa mga expression ng kapangyarihan na naglalaman ng mga numero sa base ng antas, at sa exponent - mga expression na may mga variable, at natural na ang pangangailangan ay lumitaw upang maisagawa ang mga pagbabagong-anyo ng naturang mga expression.

Dapat sabihin na ang pagbabagong-anyo ng mga expression ng ipinahiwatig na uri ay karaniwang kailangang isagawa kapag nagresolba mga exponential equation At exponential inequalities, at ang mga pagbabagong ito ay medyo simple. Sa karamihan ng mga kaso, ang mga ito ay nakabatay sa mga katangian ng antas at higit na naglalayong magpakilala ng bagong variable sa hinaharap. Ang equation ay magpapahintulot sa amin na ipakita ang mga ito 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Una, ang mga exponents, kung saan ang mga exponents ay natagpuan ang kabuuan ng ilang variable (o expression na may mga variable) at isang numero, ay pinapalitan ng mga produkto. Nalalapat ito sa una at huling termino ng expression sa kaliwang bahagi:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Susunod, ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ay hinati ng expression 7 2 x , na kumukuha lamang ng mga positibong halaga sa ODZ variable x para sa orihinal na equation (ito ay isang karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng ganitong uri, hindi natin pinag-uusapan ito ngayon, kaya tumuon sa mga kasunod na pagbabago ng mga expression na may kapangyarihan ):

Ngayon ang mga fraction na may kapangyarihan ay kinansela, na nagbibigay .

Sa wakas, ang ratio ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponents ay pinalitan ng mga kapangyarihan ng mga ratio, na humahantong sa equation , na katumbas ng . Ang mga ginawang pagbabago ay nagbibigay-daan sa amin na magpakilala ng bagong variable , na nagpapababa sa solusyon ng orihinal exponential equation sa solusyon ng quadratic equation

I. V. Boikov, L. D. Romanova Koleksyon ng mga gawain para sa paghahanda para sa pagsusulit. Bahagi 1. Penza 2003.

Isaalang-alang natin ang paksa ng pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan, ngunit tatalakayin muna natin ang isang bilang ng mga pagbabagong maaaring isagawa sa anumang mga expression, kabilang ang mga kapangyarihan. Matututunan natin kung paano magbukas ng mga bracket, magbigay ng mga katulad na termino, magtrabaho kasama ang base at exponent, gamitin ang mga katangian ng mga kapangyarihan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ano ang Power Expressions?

SA kurso sa paaralan ilang tao ang gumagamit ng pariralang "mga expression ng kapangyarihan", ngunit ang terminong ito ay palaging matatagpuan sa mga koleksyon para sa paghahanda para sa pagsusulit. Sa karamihan ng mga kaso, ang parirala ay nagsasaad ng mga expression na naglalaman ng mga degree sa kanilang mga entry. Ito ang ating sasalamin sa ating depinisyon.

Kahulugan 1

Pagpapahayag ng kapangyarihan ay isang pagpapahayag na naglalaman ng mga kapangyarihan.

Nagbibigay kami ng ilang halimbawa ng mga expression ng kapangyarihan, na nagsisimula sa isang degree na may natural na exponent at nagtatapos sa isang degree na may totoong exponent.

Ang pinakasimpleng mga expression ng kapangyarihan ay maaaring ituring na mga kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Pati na rin ang mga kapangyarihang may zero exponent: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . At mga kapangyarihan na may negatibong integer na kapangyarihan: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Medyo mas mahirap magtrabaho sa isang degree na may rasyonal at hindi makatwiran na mga exponent: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Ang indicator ay maaaring isang variable na 3 x - 54 - 7 3 x - 58 o isang logarithm x 2 l g x − 5 x l g x.

Hinarap namin ang tanong kung ano ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Ngayon tingnan natin ang kanilang pagbabago.

Ang mga pangunahing uri ng mga pagbabagong-anyo ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan

Una sa lahat, isasaalang-alang natin ang mga pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression na maaaring isagawa gamit ang mga power expression.

Halimbawa 1

Kalkulahin ang Halaga ng Power Expression 2 3 (4 2 − 12).

Solusyon

Isasagawa namin ang lahat ng pagbabago bilang pagsunod sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon. Sa kasong ito, magsisimula kami sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga aksyon sa mga bracket: papalitan namin ang degree ng isang digital na halaga at kalkulahin ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang numero. Meron kami 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Ito ay nananatiling para sa amin upang palitan ang degree 2 3 Kahulugan nito 8 at kalkulahin ang produkto 8 4 = 32. Narito ang aming sagot.

Sagot: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Halimbawa 2

Pasimplehin ang pagpapahayag gamit ang mga kapangyarihan 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Solusyon

Ang expression na ibinigay sa amin sa kondisyon ng problema ay naglalaman ng mga katulad na termino, na maaari naming dalhin: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Sagot: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Halimbawa 3

Magpahayag ng expression na may kapangyarihan na 9 - b 3 · π - 1 2 bilang isang produkto.

Solusyon

Katawanin natin ang numero 9 bilang isang kapangyarihan 3 2 at ilapat ang pinaikling pormula ng pagpaparami:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Sagot: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

At ngayon ay lumipat tayo sa pagsusuri ng magkatulad na mga pagbabagong maaaring mailapat partikular sa mga expression ng kapangyarihan.

Paggawa gamit ang base at exponent

Ang antas sa base o exponent ay maaaring may mga numero, variable, at ilang expression. Halimbawa, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 At . Mahirap magtrabaho sa mga ganitong talaan. Mas madaling palitan ang expression sa base ng degree o ang expression sa exponent na may magkaparehong expression.

Ang mga pagbabagong-anyo ng antas at ang tagapagpahiwatig ay isinasagawa alinsunod sa mga patakaran na kilala sa amin nang hiwalay sa bawat isa. Ang pinakamahalagang bagay ay bilang isang resulta ng mga pagbabagong-anyo, ang isang expression ay nakuha na kapareho ng orihinal.

Ang layunin ng mga pagbabagong-anyo ay upang gawing simple ang orihinal na pagpapahayag o makakuha ng solusyon sa problema. Halimbawa, sa halimbawang ibinigay namin sa itaas, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 maaari kang magsagawa ng mga operasyon upang pumunta sa antas 4 , 1 1 , 3 . Pagbukas ng mga bracket, maaari tayong magdala ng mga katulad na termino sa base ng degree (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) at makakuha ng power expression ng isang mas simpleng anyo isang 2 (x + 1).

Paggamit ng Power Properties

Ang mga katangian ng mga degree, na nakasulat bilang mga pagkakapantay-pantay, ay isa sa mga pangunahing tool para sa pagbabago ng mga expression na may mga degree. Ipinakita namin dito ang mga pangunahing, isinasaalang-alang iyon a At b ay anumang positibong numero, at r At s- di-makatwirang tunay na mga numero:

Kahulugan 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Sa mga kaso kung saan tayo ay nakikitungo sa natural, integer, positive exponents, ang mga paghihigpit sa mga numerong a at b ay maaaring hindi gaanong mahigpit. Kaya, halimbawa, kung isasaalang-alang natin ang pagkakapantay-pantay a m a n = a m + n, Saan m At n ay mga natural na numero, kung gayon ito ay magiging totoo para sa anumang mga halaga ng a, parehong positibo at negatibo, pati na rin para sa a = 0.

Maaari mong ilapat ang mga katangian ng mga degree nang walang mga paghihigpit sa mga kaso kung saan ang mga base ng mga degree ay positibo o naglalaman ng mga variable na ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay tulad na ang mga base ay kumukuha lamang ng mga positibong halaga dito. Sa katunayan, sa loob ng balangkas ng kurikulum ng paaralan sa matematika, ang gawain ng mag-aaral ay piliin ang naaangkop na pag-aari at ilapat ito nang tama.

Kapag naghahanda para sa pagpasok sa mga unibersidad, maaaring may mga gawain kung saan ang hindi tumpak na aplikasyon ng mga ari-arian ay hahantong sa pagpapaliit ng ODZ at iba pang mga paghihirap sa solusyon. Sa seksyong ito, isasaalang-alang lamang namin ang dalawang ganoong mga kaso. Higit pang impormasyon sa paksa ay matatagpuan sa paksang "Pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng exponent".

Halimbawa 4

Kinakatawan ang ekspresyon a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 bilang isang degree na may batayan a.

Solusyon

Upang magsimula, ginagamit namin ang exponentiation property at binabago ang pangalawang factor gamit ito (a 2) − 3. Pagkatapos ay ginagamit namin ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − , − 5 − (− 5 − ) = a 2 .

Sagot: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Ang pagbabagong-anyo ng mga expression ng kapangyarihan ayon sa pag-aari ng mga degree ay maaaring gawin pareho mula kaliwa hanggang kanan at sa kabaligtaran ng direksyon.

Halimbawa 5

Hanapin ang halaga ng power expression 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Solusyon

Kung ilalapat natin ang pagkakapantay-pantay (a b) r = a r b r, mula kanan pakaliwa, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang produkto ng form 3 7 1 3 21 2 3 at pagkatapos ay 21 1 3 21 2 3 . Idagdag natin ang mga exponent kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

May isa pang paraan upang gumawa ng mga pagbabago:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Sagot: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Halimbawa 6

Binigyan ng power expression a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, magpasok ng bagong variable t = a 0 , 5.

Solusyon

Isipin ang antas isang 1, 5 Paano isang 0 , 5 3. Paggamit ng degree na ari-arian sa isang degree (a r) s = a r s mula kanan pakaliwa at kunin ang (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5-6 . Sa resultang expression, madali mong maipakilala ang isang bagong variable t = a 0 , 5: kunin t 3 − t − 6.

Sagot: t 3 − t − 6 .

Pag-convert ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan

Karaniwan kaming nakikitungo sa dalawang variant ng power expression na may mga fraction: ang expression ay isang fraction na may degree o naglalaman ng ganoong fraction. Ang lahat ng pangunahing pagbabago ng fraction ay naaangkop sa mga naturang expression nang walang mga paghihigpit. Maaari silang bawasan, dalhin sa isang bagong denominator, magtrabaho nang hiwalay sa numerator at denominator. Ilarawan natin ito sa mga halimbawa.

Halimbawa 7

Pasimplehin ang power expression 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Solusyon

Nakikitungo kami sa isang fraction, kaya magsasagawa kami ng mga pagbabago sa parehong numerator at denominator:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Maglagay ng minus sa harap ng fraction para baguhin ang sign ng denominator: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Sagot: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Ang mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan ay binabawasan sa isang bagong denominator sa parehong paraan tulad ng mga rational fraction. Upang gawin ito, kailangan mong maghanap ng karagdagang kadahilanan at i-multiply ang numerator at denominator ng fraction dito. Kinakailangang pumili ng karagdagang salik sa paraang hindi ito mawala para sa anumang mga halaga ng mga variable mula sa mga variable ng ODZ para sa orihinal na expression.

Halimbawa 8

Dalhin ang mga fraction sa isang bagong denominator: a) a + 1 a 0, 7 sa denominator a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 sa denominator x + 8 y 1 2 .

Solusyon

a) Pinipili namin ang isang kadahilanan na magbibigay-daan sa amin upang mabawasan sa isang bagong denominator. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , samakatuwid, bilang isang karagdagang kadahilanan, kinukuha namin isang 0, 3. Kasama sa hanay ng mga tinatanggap na halaga ng variable a ang hanay ng lahat ng positibong tunay na numero. Sa lugar na ito, ang degree isang 0, 3 hindi napupunta sa zero.

I-multiply natin ang numerator at denominator ng isang fraction sa isang 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Bigyang-pansin ang denominator:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

I-multiply ang expression na ito sa x 1 3 + 2 · y 1 6 , nakukuha natin ang kabuuan ng mga cube x 1 3 at 2 · y 1 6 , i.e. x + 8 · y 1 2 . Ito ang ating bagong denominator, kung saan kailangan nating dalhin ang orihinal na fraction.

Kaya nakakita kami ng karagdagang salik x 1 3 + 2 · y 1 6 . Sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable x At y ang expression na x 1 3 + 2 y 1 6 ay hindi nawawala, kaya maaari nating i-multiply ang numerator at denominator ng fraction dito:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Sagot: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Halimbawa 9

Bawasan ang fraction: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Solusyon

a) Gamitin ang greatest common denominator (GCD) kung saan maaaring bawasan ang numerator at denominator. Para sa mga numerong 30 at 45, ito ay 15 . Pwede rin bawasan natin x 0 , 5 + 1 at sa x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Nakukuha namin:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Dito hindi halata ang pagkakaroon ng magkatulad na mga kadahilanan. Kakailanganin mong magsagawa ng ilang pagbabago upang makuha ang parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator. Upang gawin ito, pinalawak namin ang denominator gamit ang pagkakaiba ng mga parisukat na formula:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Sagot: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Kasama sa mga pangunahing operasyon na may mga fraction ang pagbabawas sa isang bagong denominator at pagbabawas ng mga fraction. Ang parehong mga aksyon ay isinasagawa bilang pagsunod sa ilang mga patakaran. Kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga fraction, ang mga fraction ay unang binabawasan sa isang karaniwang denominator, pagkatapos kung saan ang mga aksyon (pagdaragdag o pagbabawas) ay ginanap sa mga numerator. Ang denominator ay nananatiling pareho. Ang resulta ng ating mga aksyon ay isang bagong fraction, ang numerator nito ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominator.

Halimbawa 10

Gawin ang mga hakbang x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Solusyon

Magsimula tayo sa pagbabawas ng mga fraction na nasa bracket. Dalhin natin sila sa isang common denominator:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Ibawas natin ang mga numerator:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Ngayon kami ay nagpaparami ng mga fraction:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Bawasan natin ng isang degree x 1 2, makakakuha tayo ng 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Bukod pa rito, maaari mong pasimplehin ang power expression sa denominator gamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat: mga parisukat: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Sagot: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Halimbawa 11

Pasimplehin ang power expression x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Solusyon

Maaari nating bawasan ang fraction sa pamamagitan ng (x 2 , 7 + 1) 2. Nakukuha namin ang isang fraction x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Ipagpatuloy natin ang mga pagbabagong-anyo ng x powers x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Ngayon ay maaari mong gamitin ang power division property na may parehong mga base: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Nagpapasa kami mula sa huling produkto sa fraction x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Sagot: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Sa karamihan ng mga kaso, mas madaling ilipat ang mga multiplier na may mga negatibong exponent mula sa numerator patungo sa denominator at vice versa sa pamamagitan ng pagpapalit ng sign ng exponent. Pinapasimple ng pagkilos na ito ang karagdagang desisyon. Magbigay tayo ng halimbawa: ang power expression (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 ay maaaring palitan ng x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Pag-convert ng mga expression na may mga ugat at kapangyarihan

Sa mga gawain, may mga power expression na naglalaman hindi lamang ng mga degree na may mga fractional exponent, kundi pati na rin sa mga ugat. Ito ay kanais-nais na bawasan ang gayong mga ekspresyon lamang sa mga ugat o lamang sa mga kapangyarihan. Mas mainam ang paglipat sa mga degree, dahil mas madaling gamitin ang mga ito. Ang ganitong paglipat ay lalong kapaki-pakinabang kapag ang DPV ng mga variable para sa orihinal na expression ay nagpapahintulot sa iyo na palitan ang mga ugat ng mga kapangyarihan nang hindi kinakailangang i-access ang modulus o hatiin ang DPV sa ilang mga pagitan.

Halimbawa 12

Ipahayag ang expression na x 1 9 x x 3 6 bilang isang kapangyarihan.

Solusyon

Wastong saklaw ng isang variable x ay tinutukoy ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay x ≥ 0 at x · x 3 ≥ 0 , na tumutukoy sa set [ 0 , + ∞) .

Sa set na ito, may karapatan tayong lumipat mula sa ugat patungo sa mga kapangyarihan:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Gamit ang mga katangian ng mga degree, pinapasimple namin ang nagresultang pagpapahayag ng kapangyarihan.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Sagot: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Pag-convert ng mga kapangyarihan na may mga variable sa exponent

Ang mga pagbabagong ito ay medyo simple gawin kung tama mong gamitin ang mga katangian ng degree. Halimbawa, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Maaari naming palitan ang produkto ng antas, kung saan matatagpuan ang kabuuan ng ilang variable at isang numero. Sa kaliwang bahagi, maaari itong gawin sa una at huling mga termino sa kaliwang bahagi ng expression:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Ngayon, hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 7 2 x. Ang expression na ito sa ODZ ng variable na x ay tumatagal lamang ng mga positibong halaga:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Bawasan natin ang mga praksiyon na may mga kapangyarihan, makuha natin ang: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Sa wakas, ang ratio ng mga kapangyarihan na may parehong exponents ay pinapalitan ng mga kapangyarihan ng mga ratio, na humahantong sa equation 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , na katumbas ng 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Ipinakilala namin ang isang bagong variable t = 5 7 x , na binabawasan ang solusyon ng orihinal na exponential equation sa solusyon quadratic equation 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .

Pag-convert ng mga expression na may mga kapangyarihan at logarithms

Ang mga expression na naglalaman ng mga kapangyarihan at logarithms ay matatagpuan din sa mga problema. Ang mga halimbawa ng naturang mga expression ay: 1 4 1 - 5 log 2 3 o log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Ang pagbabagong-anyo ng naturang mga expression ay isinasagawa gamit ang mga diskarte na tinalakay sa itaas at ang mga katangian ng logarithms, na sinuri namin nang detalyado sa paksang "Pagbabago ng logarithmic expression".

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang isang algebraic expression sa talaan kung saan, kasama ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at multiplikasyon, ay gumagamit din ng paghahati sa literal na mga expression, ay tinatawag na isang fractional algebraic expression. Ganito, halimbawa, ang mga expression

Tinatawag namin itong algebraic fraction algebraic expression, na may anyo ng isang quotient ng dalawang integer algebraic expression (halimbawa, monomials o polynomials). Ganito, halimbawa, ang mga expression

ang pangatlo ng mga expression).

Ang mga pagbabagong-anyo ng pagkakakilanlan ng mga fractional algebraic na expression ay para sa karamihang nilayon upang kumatawan sa kanila sa anyo algebraic fraction. Upang makahanap ng isang karaniwang denominator, ang factorization ng mga denominator ng mga fraction - mga termino ay ginagamit upang mahanap ang kanilang hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kapag binabawasan ang mga algebraic fraction, ang mahigpit na pagkakakilanlan ng mga expression ay maaaring labagin: kinakailangang ibukod ang mga halaga ng mga dami kung saan ang kadahilanan kung saan ang pagbabawas ay ginawa.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng magkaparehong pagbabago ng mga fractional algebraic expression.

Halimbawa 1: Pasimplehin ang isang expression

Ang lahat ng mga termino ay maaaring bawasan sa isang karaniwang denominator (ito ay maginhawa upang baguhin ang sign sa denominator ng huling termino at ang sign sa harap nito):

Ang aming expression ay katumbas ng isa para sa lahat ng mga halaga maliban sa mga halagang ito, hindi ito tinukoy at ang pagbawas ng fraction ay ilegal).

Halimbawa 2. Kinakatawan ang expression bilang isang algebraic fraction

Solusyon. Ang expression ay maaaring kunin bilang isang karaniwang denominator. Sunud-sunod naming mahanap:

Mga ehersisyo

1. Hanapin ang mga halaga ng mga algebraic na expression para sa tinukoy na mga halaga ng mga parameter:

2. I-factorize.

Ang pagpapasimple ng mga algebraic na expression ay isa sa pangunahing puntos pag-aaral ng algebra at isang lubhang kapaki-pakinabang na kasanayan para sa lahat ng mga mathematician. Binibigyang-daan ka ng pagpapasimple na bawasan ang isang kumplikado o mahabang expression sa isang simpleng expression na madaling gamitin. Ang mga pangunahing kasanayan sa pagpapasimple ay mabuti kahit para sa mga hindi masigasig sa matematika. Sa pamamagitan ng pagsunod sa ilang simpleng panuntunan, marami sa mga pinakakaraniwang uri ng algebraic na expression ay maaaring gawing simple nang walang anumang espesyal na kaalaman sa matematika.

Mga hakbang

Mahahalagang Kahulugan

1. Mga katulad na miyembro. Ito ang mga miyembrong may variable na may parehong pagkakasunud-sunod, mga miyembrong may parehong variable, o libreng miyembro (mga miyembrong walang variable). Sa madaling salita, ang mga kagaya ng termino ay kinabibilangan ng isang variable sa parehong lawak, may kasamang ilang magkakaparehong variable, o hindi nagsasama ng variable. Ang pagkakasunud-sunod ng mga termino sa expression ay hindi mahalaga.

   • Halimbawa, ang 3x 2 at 4x 2 ay katulad ng mga termino dahil naglalaman ang mga ito ng variable na "x" ng pangalawang order (sa pangalawang kapangyarihan). Gayunpaman, ang x at x 2 ay hindi magkatulad na mga miyembro, dahil naglalaman ang mga ito ng variable na "x" ng magkakaibang mga order (una at pangalawa). Katulad nito, ang -3yx at 5xz ay hindi magkatulad na miyembro dahil naglalaman ang mga ito ng magkaibang mga variable.

2. Factorization. Ito ay paghahanap ng mga naturang numero, ang produkto na humahantong sa orihinal na numero. Ang anumang orihinal na numero ay maaaring magkaroon ng ilang mga kadahilanan. Halimbawa, ang numero 12 ay maaaring mabulok sa susunod na hilera mga kadahilanan: 1 × 12, 2 × 6 at 3 × 4, kaya masasabi natin na ang mga numero 1, 2, 3, 4, 6 at 12 ay mga kadahilanan ng numero 12. Ang mga kadahilanan ay pareho sa mga divisors, iyon ay , ang mga numero kung saan hinahati ang orihinal na numero .

   • Halimbawa, kung gusto mong i-factor ang numerong 20, isulat ito nang ganito: 4×5.
   • Tandaan na kapag ang factoring, ang variable ay isinasaalang-alang. Halimbawa, 20x = 4(5x).
   • Ang mga pangunahing numero ay hindi maaaring i-factor dahil sila ay nahahati lamang sa kanilang mga sarili at 1.

3. Tandaan at sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon upang maiwasan ang mga pagkakamali.

   • Mga bracket
   • Degree
   • Pagpaparami
   • Dibisyon
   • Dagdag
   • Pagbabawas

   Pag-cast Tulad ng mga Miyembro

   1. Isulat ang ekspresyon. Ang pinakasimpleng algebraic expression (na hindi naglalaman ng mga fraction, ugat, at iba pa) ay maaaring malutas (pinasimple) sa ilang hakbang lamang.

      • Halimbawa, pasimplehin ang expression 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Tukuyin ang mga katulad na miyembro (mga miyembrong may variable ng parehong pagkakasunud-sunod, mga miyembrong may parehong variable, o libreng miyembro).

      • Maghanap ng mga katulad na termino sa expression na ito. Ang mga terminong 2x at 4x ay naglalaman ng variable ng parehong pagkakasunud-sunod (una). Gayundin, ang 1 at -3 ay mga libreng miyembro (hindi naglalaman ng variable). Kaya, sa expression na ito, ang mga termino 2x at 4x ay magkatulad, at ang mga miyembro 1 at -3 ay katulad din.

   3. Magbigay ng mga katulad na termino. Nangangahulugan ito ng pagdaragdag o pagbabawas ng mga ito at pagpapasimple ng expression.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Isulat muli ang expression na isinasaalang-alang ang mga ibinigay na termino. Makakakuha ka ng isang simpleng expression na may mas kaunting termino. Ang bagong expression ay katumbas ng orihinal.

      • Sa aming halimbawa: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, ibig sabihin, ang orihinal na expression ay pinasimple at mas madaling gamitin.

   5. Obserbahan ang pagkakasunud-sunod kung saan isinasagawa ang mga operasyon kapag nag-cast ng mga katulad na termino. Sa aming halimbawa, madaling magdala ng mga katulad na termino. Gayunpaman, sa kaso ng mga kumplikadong expression kung saan ang mga miyembro ay nakapaloob sa mga bracket at mga fraction at mga ugat ay naroroon, ito ay hindi napakadaling dalhin ang mga naturang termino. Sa mga kasong ito, sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang expression na 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Dito magiging isang pagkakamali na agad na tukuyin ang 3x at 2x bilang mga kataga at banggitin ang mga ito, dahil kailangan mo munang palawakin ang mga panaklong. Samakatuwid, gawin ang mga operasyon sa kanilang pagkakasunud-sunod.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Ngayon, kapag ang expression ay naglalaman lamang ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas, maaari kang mag-cast ng mga katulad na termino.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Paglalagay ng panaklong sa multiplier

   1. Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) ng lahat ng coefficient ng expression. Ang NOD ay pinakamalaking bilang, kung saan ang lahat ng mga koepisyent ng expression ay nahahati.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang equation na 9x 2 + 27x - 3. Sa kasong ito, gcd=3, dahil ang anumang coefficient ng expression na ito ay nahahati sa 3.

   2. Hatiin ang bawat termino ng expression sa gcd. Ang mga resultang termino ay maglalaman ng mas maliliit na coefficient kaysa sa orihinal na expression.

      • Sa aming halimbawa, hatiin ang bawat termino ng expression sa pamamagitan ng 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ito pala ang expression 3x2 + 9x-1. Hindi ito katumbas ng orihinal na ekspresyon.

   3. Isulat ang orihinal na expression bilang katumbas ng produkto GCD para sa resultang expression. Iyon ay, ilakip ang resultang expression sa mga bracket, at ilagay ang GCD sa labas ng mga bracket.

      • Sa aming halimbawa: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Pagpapasimple ng fractional expression sa pamamagitan ng pag-alis ng multiplier sa mga bracket. Bakit alisin na lang ang multiplier sa mga bracket, gaya ng ginawa kanina? Pagkatapos, upang matutunan kung paano gawing simple ang mga kumplikadong expression, tulad ng mga fractional na expression. Sa kasong ito, ang paglalagay ng factor sa labas ng mga bracket ay makakatulong sa pag-alis ng fraction (mula sa denominator).

      • Halimbawa, isaalang-alang fractional expression(9x 2 + 27x - 3)/3. Gumamit ng mga panaklong upang gawing simple ang expression na ito.
        • I-factor out ang factor 3 (gaya ng ginawa mo dati): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Tandaan na ang numerator at denominator ay mayroon na ngayong numero 3. Maaari itong bawasan, at makukuha mo ang expression: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Dahil ang anumang fraction na may numero 1 sa denominator ay katumbas lamang ng numerator, ang orihinal na fractional na expression ay pinasimple sa: 3x2 + 9x-1.

   Karagdagang Mga Teknik sa Pagpapasimple

4. Isaalang-alang ang isang simpleng halimbawa: √(90). Ang bilang na 90 ay maaaring mabulok sa mga sumusunod na kadahilanan: 9 at 10, at mula sa 9 na katas Kuwadrado na ugat(3) at kumuha ng 3 mula sa ilalim ng ugat.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Pinasimple ang mga expression na may kapangyarihan. Sa ilang expression, may mga operasyon ng multiplikasyon o paghahati ng mga termino na may degree. Sa kaso ng pagpaparami ng mga termino na may isang base, ang kanilang mga degree ay idinagdag; sa kaso ng paghahati ng mga termino na may parehong base, ang kanilang mga degree ay ibabawas.

   • Halimbawa, isaalang-alang ang expression na 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Sa kaso ng multiplikasyon, idagdag ang mga exponent, at sa kaso ng paghahati, ibawas ang mga ito.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Ang sumusunod ay isang paliwanag ng panuntunan para sa pagpaparami at paghahati ng mga termino na may degree.
     • Ang pagpaparami ng mga termino na may mga kapangyarihan ay katumbas ng pagpaparami ng mga termino sa kanilang sarili. Halimbawa, dahil x 3 = x × x × x at x 5 = x × x × x × x × x, pagkatapos x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), o x 8 .
     • Katulad nito, ang paghahati ng mga termino na may mga kapangyarihan ay katumbas ng paghahati ng mga termino sa kanilang sarili. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Dahil ang magkatulad na termino na nasa numerator at denominator ay maaaring bawasan, ang produkto ng dalawang "x", o x 2, ay nananatili sa numerator.

• Palaging magkaroon ng kamalayan sa mga palatandaan (plus o minus) sa harap ng mga termino ng isang expression, dahil maraming tao ang nahihirapang pumili ng tamang sign.
• Humingi ng tulong kung kinakailangan!
• Ang pagpapasimple ng mga algebraic na expression ay hindi madali, ngunit kung makuha mo ang iyong mga kamay dito, maaari mong gamitin ang kasanayang ito sa habambuhay.

Seksyon 5 MGA PAGPAPAHAYAG AT EQUATIONS

Sa seksyong matututunan mo:

ü o mga expression at ang kanilang mga pagpapasimple;

ü ano ang mga katangian ng pagkakapantay-pantay;

ü kung paano lutasin ang mga equation batay sa mga katangian ng pagkakapantay-pantay;

ü anong mga uri ng mga problema ang malulutas sa tulong ng mga equation; ano ang mga perpendikular na linya at kung paano bumuo ng mga ito;

ü anong mga linya ang tinatawag na parallel at kung paano bumuo ng mga ito;

ü ano ang coordinate plane;

ü kung paano matukoy ang mga coordinate ng isang punto sa isang eroplano;

ü ano ang dependency graph sa pagitan ng mga dami at kung paano ito bubuo;

ü kung paano ilapat ang natutunan na materyal sa pagsasanay

§ 30. MGA PAGPAPAHAYAG AT ANG KANILANG SIMPLIFIKASYON

Alam mo na kung ano ang literal na mga expression at alam mo kung paano gawing simple ang mga ito gamit ang mga batas ng pagdaragdag at pagpaparami. Halimbawa, 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . Sa resultang expression, ang numero -8 ay tinatawag na coefficient ng expression.

Ginagawa ang expression cd koepisyent? Kaya. Ito ay katumbas ng 1 dahil cd - 1 ∙ cd .

Tandaan na ang pag-convert ng expression na may panaklong sa isang expression na walang panaklong ay tinatawag na pagpapalawak ng panaklong. Halimbawa: 5(2x + 4) = 10x + 20.

Ang kabaligtaran na aksyon sa halimbawang ito ay ang alisin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket.

Ang mga terminong naglalaman ng parehong literal na mga salik ay tinatawag na magkatulad na termino. Sa pamamagitan ng pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket, ang mga katulad na termino ay itinatayo:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

B x + 7y - 5.

Mga panuntunan sa pagpapalawak ng bracket

1. Kung mayroong isang "+" sign sa harap ng mga bracket, pagkatapos ay kapag binubuksan ang mga bracket, ang mga palatandaan ng mga termino sa mga bracket ay napanatili;

2. Kung mayroong "-" na karatula sa harap ng mga bracket, pagkatapos ay kapag ang mga bracket ay binuksan, ang mga palatandaan ng mga termino sa mga bracket ay nababaligtad.

Gawain 1 . Pasimplehin ang expression:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Mga solusyon. 1. May "+" sign sa harap ng mga bracket, samakatuwid, kapag binubuksan ang mga bracket, ang mga palatandaan ng lahat ng mga termino ay napanatili:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. May "-" sign sa harap ng mga bracket, samakatuwid, sa panahon ng pagbubukas ng mga bracket: ang mga palatandaan ng lahat ng mga termino ay nababaligtad:

15 - (- 8 + 7y) \u003d 15y + 8 - 7y \u003d 8y +8.

Upang buksan ang mga bracket, gamitin ang distributive property ng multiplication: a( b + c) = ab + ac. Kung a > 0, ang mga palatandaan ng mga termino b at sa huwag magbago. Kung ang< 0, то знаки слагаемых b at mula sa ay baligtad.

Gawain 2. Pasimplehin ang expression:

1) 2(6y -8) + 7y;

2) -5 (2-5x) + 12.

Mga solusyon. 1. Ang factor 2 sa harap ng mga bracket e ay positibo, samakatuwid, kapag binubuksan ang mga bracket, pinapanatili namin ang mga palatandaan ng lahat ng mga termino: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Ang kadahilanan -5 sa harap ng mga bracket e ay negatibo, samakatuwid, kapag binubuksan ang mga bracket, binabago namin ang mga palatandaan ng lahat ng mga termino sa kabaligtaran:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Alamin ang higit pa

1. Ang salitang "sum" ay nagmula sa Latin summa , na nangangahulugang "kabuuan", "kabuuan".

2. Ang salitang "plus" ay nagmula sa Latin plus, na nangangahulugang "higit pa", at ang salitang "minus" - mula sa Latin minus, na nangangahulugang "mas mababa". Ang mga palatandaang "+" at "-" ay ginagamit upang ipahiwatig ang mga operasyon ng pagdaragdag at pagbabawas. Ang mga palatandaang ito ay ipinakilala ng Czech scientist na si J. Vidman noong 1489 sa aklat na "A quick and pleasant account for all merchants"(Larawan 138).

kanin. 138

TANDAAN ANG MGA PANGUNAHING BAGAY

1. Anong mga termino ang tinatawag na magkatulad? Paano nabuo ang mga katulad na termino?

2. Paano mo binubuksan ang mga bracket na pinangungunahan ng “+” sign?

3. Paano mo binubuksan ang mga bracket na pinangungunahan ng "-" sign?

4. Paano mo binubuksan ang mga bracket na nauunahan ng positibong salik?

5. Paano mo binubuksan ang mga bracket na nauunahan ng negatibong salik?

1374". Pangalanan ang coefficient ng expression:

1) 12 a; 3) -5.6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Pangalanan ang mga terminong naiiba lamang sa coefficient:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Ano ang tawag sa mga katagang ito?

1376". Mayroon bang mga katulad na termino sa expression:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 m + m; 6) 8k +10k - n?

1377". Kailangan bang baguhin ang mga palatandaan ng mga termino sa mga bracket, na binubuksan ang mga bracket sa expression:

1)4 + (a + 3b); 2)-c +(5-d ); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Pasimplehin ang expression at salungguhitan ang coefficient:

1379°. Pasimplehin ang expression at salungguhitan ang coefficient:

1380°. Bawasan ang like terms:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Bawasan ang like terms:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. Alisin ang karaniwang salik sa mga bracket:

1) 1.2 a +1.2 b; 3) -3 n - 1.8 m; 5) -5p + 2.5k -0.5t;

2) 0.5 s + 5d; 4) 1.2 n - 1.8 m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. Alisin ang karaniwang salik sa mga bracket:

1) 6a-12b; 3) -1.8 n -3.6 m;

2) -0.2 s + 1 4 d; A) 3p - 0.9k + 2.7t.

1384°. Buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).

1386°. Palawakin ang mga bracket at hanapin ang kahulugan ng expression:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Palawakin ang mga bracket at hanapin ang kahulugan ng expression:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Bukas na panaklong:

1) 0.5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2.4 p);

2)-s ∙ (2.7-1.2 d ); 5) 3 ∙ (-1.5 p + k - 0.2 t);

3) 1.6 ∙ (2n + m); 6) (4.2 p - 3.5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Bukas na panaklong:

1) 2.2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0.5 y );

2) -2 ∙ (1.2 n - m); 4) 6- (-p + 0.3 k - 1.2 t).

1390. Pasimplehin ang expression:

1391. Pasimplehin ang expression:

1392. Bawasan ang mga katulad na termino:

1393. Bawasan ang like terms:

1394. Pasimplehin ang expression:

1) 2.8 - (0.5 a + 4) - 2.5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by) + 4.5 ∙ (-6 y - 3.2);

4) (-12.8 m + 24.8 n) ∙ (-0.5)-(3.5 m -4.05 m) ∙ 2.

1395. Pasimplehin ang expression:

1396. Hanapin ang kahulugan ng expression;

1) 4-(0.2 a-3) - (5.8 a-16), kung isang \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), kung = -0.8;

m = 0.25, n = 5.7.

1397. Hanapin ang halaga ng expression:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), kung x = -0.25;

1398*. Hanapin ang error sa solusyon:

1) 5- (a-2.4) -7 ∙ (-a + 1.2) \u003d 5a - 12-7a + 8.4 \u003d -2a-3.6;

2) -4 ∙ (2.3 a - 6) + 4.2 ∙ (-6 - 3.5 a) \u003d -9.2 a + 46 + 4.26 - 14.7 a \u003d -5.5 a + 8.26.

1399*. Palawakin ang mga bracket at pasimplehin ang expression:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Ayusin ang mga panaklong upang makuha ang tamang pagkakapantay-pantay:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401*. Patunayan na para sa anumang mga numero a at b kung a > b , pagkatapos ay ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay hawak:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Magiging tama ba ang pagkakapantay-pantay na ito kung: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Patunayan na para sa anumang natural na numero at ang arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga numero ay katumbas ng bilang a.

MAG-APPLY SA PAGSASANAY

1403. Upang maghanda ng dessert ng prutas para sa tatlong tao, kailangan mo ng: 2 mansanas, 1 orange, 2 saging at 1 kiwi. Paano gumawa ng literal na pagpapahayag upang matukoy ang dami ng prutas na kailangan upang maghanda ng dessert para sa mga bisita? Tulungan si Marin na kalkulahin kung ilang prutas ang kailangan niyang bilhin kung bibisita siya: 1) 5 kaibigan; 2) 8 kaibigan.

1404. Gumawa ng literal na pagpapahayag upang matukoy ang oras na kinakailangan upang makumpleto ang takdang-aralin sa matematika, kung:

1) isang minuto ang ginugol sa paglutas ng mga problema; 2) ang pagpapasimple ng mga expression ay 2 beses na higit pa kaysa sa paglutas ng mga problema. Gaano katagal takdang aralin Vasilko, kung gumugol siya ng 15 minuto sa paglutas ng mga problema?

1405. Ang tanghalian sa kantina ng paaralan ay binubuo ng salad, borscht, cabbage roll at compote. Ang halaga ng salad ay 20%, borscht - 30%, repolyo roll - 45%, compote - 5% kabuuang gastos ang buong tanghalian. Sumulat ng isang expression upang mahanap ang halaga ng tanghalian sa cafeteria ng paaralan. Magkano ang halaga ng tanghalian kung ang presyo ng isang salad ay 2 UAH?

PAG-UULIT NG MGA GAWAIN

1406. Lutasin ang equation:

1407. Gumastos si Tanya sa ice creamlahat ng magagamit na pera, at para sa matamis -yung iba. Magkano ang pera ni Tanya?

kung ang matamis ay nagkakahalaga ng 12 UAH?