Ano ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Arithmetic progression - pagkakasunud-sunod ng numero

Oo, oo: ang pag-unlad ng aritmetika ay hindi isang laruan para sa iyo :)

Buweno, mga kaibigan, kung binabasa mo ang tekstong ito, kung gayon ang ebidensya ng panloob na takip ay nagsasabi sa akin na hindi mo pa rin alam kung ano ang pag-unlad ng aritmetika, ngunit talagang (hindi, tulad nito: SOOOOO!) gusto mong malaman. Samakatuwid, hindi kita pahihirapan ng mahabang pagpapakilala at agad na bumaba sa negosyo.

Upang magsimula, isang pares ng mga halimbawa. Isaalang-alang ang ilang hanay ng mga numero:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ano ang pagkakatulad ng lahat ng set na ito? Sa unang tingin, wala. Pero sa totoo lang may something. Namely: bawat susunod na elemento ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero.

Maghusga para sa iyong sarili. Ang unang set ay magkasunod na numero lamang, bawat isa ay higit pa kaysa sa nauna. Sa pangalawang kaso, ang pagkakaiba sa pagitan nakatayo na mga numero ay katumbas na ng lima, ngunit ang pagkakaibang ito ay pare-pareho pa rin. Sa ikatlong kaso, may mga ugat sa pangkalahatan. Gayunpaman, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, habang $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ibig sabihin. kung saan ang bawat susunod na elemento ay tumataas lamang ng $\sqrt(2)$ (at huwag matakot na ang numerong ito ay hindi makatwiran).

Kaya: ang lahat ng gayong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag lamang na mga pag-unlad ng aritmetika. Bigyan natin ng mahigpit na kahulugan:

Kahulugan. Ang isang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat susunod ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng eksaktong parehong halaga ay tinatawag na aritmetika na pag-unlad. Ang mismong halaga kung saan naiiba ang mga numero ay tinatawag na pagkakaiba sa pag-unlad at kadalasang tinutukoy ng titik na $d$.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ ang mismong progression, $d$ ang difference nito.

At ilan lamang sa mahahalagang komento. Una, ang pag-unlad ay isinasaalang-alang lamang maayos pagkakasunud-sunod ng mga numero: pinapayagan silang basahin nang mahigpit sa pagkakasunud-sunod kung saan nakasulat ang mga ito - at wala nang iba pa. Hindi ka maaaring muling ayusin o magpalit ng mga numero.

Pangalawa, ang sequence mismo ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Halimbawa, ang set (1; 2; 3) ay malinaw na isang may hangganang pag-unlad ng aritmetika. Ngunit kung sumulat ka ng isang bagay tulad ng (1; 2; 3; 4; ...) - ito ay isa nang walang katapusang pag-unlad. Ang ellipsis pagkatapos ng apat, kumbaga, ay nagpapahiwatig na marami pang mga numero ang nagpapatuloy. Walang hanggan marami, halimbawa. :)

Gusto ko ring tandaan na ang mga pag-unlad ay dumarami at bumababa. Nakita na natin ang mga dumarami - ang parehong set (1; 2; 3; 4; ...). Narito ang mga halimbawa ng bumababang pag-unlad:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okay, okay: ang huling halimbawa ay maaaring mukhang masyadong kumplikado. Ngunit ang natitira, sa palagay ko, naiintindihan mo. Samakatuwid, ipinakilala namin ang mga bagong kahulugan:

Kahulugan. Ang pag-unlad ng aritmetika ay tinatawag na:

pagtaas kung ang bawat susunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna;

bumababa, kung, sa kabaligtaran, ang bawat kasunod na elemento ay mas mababa kaysa sa nauna.

Bilang karagdagan, may mga tinatawag na "nakatigil" na mga pagkakasunud-sunod - binubuo sila ng parehong umuulit na numero. Halimbawa, (3; 3; 3; ...).

Isang tanong na lang ang natitira: kung paano makilala ang isang pagtaas ng pag-unlad mula sa isang bumababa? Sa kabutihang palad, ang lahat dito ay nakasalalay lamang sa tanda ng numerong $d$, i.e. mga pagkakaiba sa pag-unlad:

Kung $d \gt 0$, kung gayon ang pag-unlad ay tumataas;
Kung $d \lt 0$, kung gayon ang pag-unlad ay malinaw na bumababa;
Sa wakas, mayroong kaso $d=0$ — sa kasong ito ang buong pag-unlad ay nabawasan sa isang nakatigil na pagkakasunud-sunod ng magkaparehong mga numero: (1; 1; 1; 1; ...), atbp.

Subukan nating kalkulahin ang pagkakaiba $d$ para sa tatlong bumababa na pag-unlad sa itaas. Upang gawin ito, sapat na kumuha ng anumang dalawang katabing elemento (halimbawa, ang una at pangalawa) at ibawas mula sa numero sa kanan, ang numero sa kaliwa. Magiging ganito ang hitsura:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Tulad ng nakikita mo, sa lahat ng tatlong mga kaso ang pagkakaiba ay talagang naging negatibo. At ngayon na higit pa o hindi gaanong nalaman natin ang mga kahulugan, oras na para malaman kung paano inilarawan ang mga pag-unlad at kung anong mga katangian ang mayroon sila.

Mga miyembro ng progression at ang paulit-ulit na formula

Dahil ang mga elemento ng aming mga sequence ay hindi maaaring palitan, maaari silang bilangin:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \right$\]

Ang mga indibidwal na elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng progression. Ang mga ito ay ipinahiwatig sa ganitong paraan sa tulong ng isang numero: ang unang miyembro, ang pangalawang miyembro, at iba pa.

Bilang karagdagan, tulad ng alam na natin, ang mga kalapit na miyembro ng pag-unlad ay nauugnay sa pamamagitan ng formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Sa madaling salita, upang mahanap ang $n$th term ng progression, kailangan mong malaman ang $n-1$th term at ang pagkakaiba $d$. Ang ganitong pormula ay tinatawag na paulit-ulit, dahil sa tulong nito maaari kang makahanap ng anumang numero, alam lamang ang nauna (at sa katunayan, lahat ng mga nauna). Ito ay napaka-inconvenient, kaya mayroong isang mas nakakalito na formula na binabawasan ang anumang pagkalkula sa unang termino at ang pagkakaiba:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kaliwa(n-1 \kanan)d\]

Marahil ay nakita mo na ang formula na ito dati. Gusto nilang ibigay ito sa lahat ng uri ng mga reference na libro at reshebnik. At sa anumang matinong aklat-aralin sa matematika, isa ito sa una.

Gayunpaman, iminumungkahi kong magsanay ka ng kaunti.

Gawain bilang 1. Isulat ang unang tatlong termino ng arithmetic progression $\left(((a)_(n)) \right)$ kung $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solusyon. Kaya, alam natin ang unang termino na $((a)_(1))=8$ at ang pagkakaiba ng pag-unlad $d=-5$. Gamitin natin ang formula na ibinigay at palitan ang $n=1$, $n=2$ at $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kaliwa(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kaliwa(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kaliwa(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Sagot: (8; 3; -2)

Iyon lang! Tandaan na ang aming pag-unlad ay bumababa.

Siyempre, hindi maaaring palitan ang $n=1$ - alam na natin ang unang termino. Gayunpaman, sa pamamagitan ng pagpapalit sa yunit, tiniyak namin na kahit sa unang termino ay gumagana ang aming formula. Sa ibang mga kaso, ang lahat ay bumaba sa banal na aritmetika.

Gawain bilang 2. Isulat ang unang tatlong termino ng isang pag-unlad ng aritmetika kung ang ikapitong termino nito ay −40 at ang ikalabimpitong termino nito ay −50.

Solusyon. Isinulat namin ang kondisyon ng problema sa karaniwang mga termino:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \tama.\]

Inilagay ko ang sign ng system dahil ang mga kinakailangan na ito ay dapat matugunan nang sabay-sabay. At ngayon napapansin natin na kung ibawas natin ang unang equation mula sa pangalawang equation (may karapatan tayong gawin ito, dahil mayroon tayong sistema), makukuha natin ito:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Kaya lang, nakita namin ang pagkakaiba ng pag-unlad! Ito ay nananatiling palitan ang nahanap na numero sa alinman sa mga equation ng system. Halimbawa, sa una:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Ngayon, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, nananatili itong hanapin ang pangalawa at pangatlong termino:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Handa na! Nalutas ang problema.

Sagot: (-34; -35; -36)

Pansinin ang isang kakaibang pag-aari ng progression na aming natuklasan: kung kukunin namin ang $n$th at $m$th na mga termino at ibawas ang mga ito sa isa't isa, makukuha namin ang pagkakaiba ng progression na na-multiply sa bilang na $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kaliwa(n-m \kanan)\]

Simple pero napaka kapaki-pakinabang na ari-arian, na tiyak na kailangan mong malaman - sa tulong nito maaari mong makabuluhang mapabilis ang solusyon ng maraming problema sa mga pag-unlad. Narito ang isang pangunahing halimbawa nito:

Gawain bilang 3. Ang ikalimang termino ng pag-unlad ng arithmetic ay 8.4, at ang ikasampung termino nito ay 14.4. Hanapin ang ikalabinlimang termino ng pag-unlad na ito.

Solusyon. Dahil $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, at kailangan naming hanapin ang $((a)_(15))$, tandaan namin ang sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ at ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Ngunit ayon sa kondisyon $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, kaya $5d=6$, kung saan mayroon tayong:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]

Sagot: 20.4

Iyon lang! Hindi namin kailangan na bumuo ng anumang mga sistema ng mga equation at kalkulahin ang unang termino at ang pagkakaiba - ang lahat ay napagpasyahan sa loob lamang ng ilang linya.

Ngayon isaalang-alang natin ang isa pang uri ng problema - ang paghahanap para sa mga negatibo at positibong miyembro ng pag-unlad. Hindi lihim na kung ang pag-unlad ay tumaas, habang ang unang termino nito ay negatibo, sa kalaunan ay lilitaw ang mga positibong termino dito. At kabaligtaran: ang mga tuntunin ng isang bumababa na pag-unlad ay malaon o huli ay magiging negatibo.

Kasabay nito, malayo sa laging posible na mahanap ang sandaling ito "sa noo", sunud-sunod na pag-uuri sa mga elemento. Kadalasan, ang mga problema ay idinisenyo sa paraang nang hindi nalalaman ang mga formula, ang mga kalkulasyon ay kukuha ng ilang mga sheet - matutulog lang kami hanggang sa mahanap namin ang sagot. Samakatuwid, susubukan naming lutasin ang mga problemang ito sa mas mabilis na paraan.

Gawain bilang 4. Ilang negatibong termino sa isang pag-unlad ng arithmetic -38.5; -35.8; …?

Solusyon. Kaya, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, kung saan agad naming makikita ang pagkakaiba:

Tandaan na ang pagkakaiba ay positibo, kaya ang pag-unlad ay tumataas. Ang unang termino ay negatibo, kaya't sa isang punto ay madadapa tayo sa mga positibong numero. Ang tanging tanong ay kung kailan ito mangyayari.

Subukan nating alamin: hanggang anong oras (i.e. hanggang ano natural na numero$n$) ang negatibiti ng mga termino ay napanatili:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Ang huling linya ay nangangailangan ng paglilinaw. Kaya alam natin na ang $n \lt 15\frac(7)(27)$. Sa kabilang banda, ang mga integer value lang ng numero ang babagay sa amin (bukod dito: $n\in \mathbb(N)$), kaya ang pinakamalaking pinahihintulutang numero ay tiyak na $n=15$, at sa anumang kaso 16.

Gawain bilang 5. Sa arithmetic progression $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Hanapin ang bilang ng unang positibong termino ng pag-unlad na ito.

Ito ay magiging eksaktong parehong problema tulad ng nauna, ngunit hindi namin alam ang $((a)_(1))$. Ngunit ang mga kalapit na termino ay kilala: $((a)_(5))$ at $((a)_(6))$, kaya madali nating mahanap ang pagkakaiba ng pag-unlad:

Bilang karagdagan, subukan nating ipahayag ang ikalimang termino sa mga tuntunin ng una at ang pagkakaiba gamit ang karaniwang formula:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ at ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Ngayon nagpapatuloy kami sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang problema. Nalaman namin kung saang punto sa aming sequence ang mga positibong numero ay lilitaw:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Ang pinakamababang integer na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang bilang na 56.

Pakitandaan na sa huling gawain ang lahat ay nabawasan sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya ang opsyon na $n=55$ ay hindi angkop sa amin.

Ngayon na natutunan natin kung paano lutasin ang mga simpleng problema, lumipat tayo sa mas kumplikado. Ngunit una, alamin natin ang isa pang napaka-kapaki-pakinabang na katangian ng mga pag-unlad ng aritmetika, na magliligtas sa atin ng maraming oras at hindi pantay na mga cell sa hinaharap. :)

Arithmetic mean at equal indents

Isaalang-alang ang ilang magkakasunod na termino ng tumataas na pag-unlad ng arithmetic $\left(((a)_(n)) \right)$. Subukan nating markahan ang mga ito sa isang linya ng numero:

Arithmetic progression miyembro sa number line

Partikular kong binanggit ang mga di-makatwirang miyembro $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, at hindi anumang $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atbp. Dahil ang panuntunan, na sasabihin ko ngayon sa iyo, ay gumagana nang pareho para sa anumang "mga segment".

At ang panuntunan ay napaka-simple. Tandaan natin ang recursive formula at isulat ito para sa lahat ng minarkahang miyembro:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat sa ibang paraan:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Well, ano? Ngunit ang katotohanan na ang mga terminong $((a)_(n-1))$ at $((a)_(n+1))$ ay nasa parehong distansya mula sa $((a)_(n)) $ . At ang distansyang ito ay katumbas ng $d$. Ganoon din ang masasabi tungkol sa mga terminong $((a)_(n-2))$ at $((a)_(n+2))$ - inalis din ang mga ito sa $((a)_(n) )$ sa parehong distansya na katumbas ng $2d$. Maaari kang magpatuloy nang walang hanggan, ngunit ang larawan ay naglalarawan ng kahulugan

Ang mga miyembro ng progreso ay nakahiga sa parehong distansya mula sa gitna

Ano ang ibig sabihin nito para sa atin? Nangangahulugan ito na mahahanap mo ang $((a)_(n))$ kung kilala ang mga kalapit na numero:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Nahinuha namin ang isang kahanga-hangang pahayag: ang bawat miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng mean ng aritmetika ng mga kalapit na miyembro! Bukod dito, maaari tayong lumihis mula sa ating $((a)_(n))$ sa kaliwa at pakanan hindi sa pamamagitan ng isang hakbang, ngunit sa pamamagitan ng $k$ na mga hakbang — at magiging tama pa rin ang formula:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Yung. madali tayong makakahanap ng ilang $((a)_(150))$ kung alam natin ang $((a)_(100))$ at $((a)_(200))$, dahil $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ang katotohanang ito ay hindi nagbibigay sa amin ng anumang kapaki-pakinabang. Gayunpaman, sa pagsasagawa, maraming mga gawain ang espesyal na "pinatalas" para sa paggamit ng arithmetic mean. Tingnan mo:

Gawain bilang 6. Hanapin ang lahat ng value ng $x$ na ang mga numerong $-6((x)^(2))$, $x+1$ at $14+4((x)^(2))$ ay magkakasunod na miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika (sa tinukoy na pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Dahil ang ipinahiwatig na mga numero ay mga miyembro ng progression, natutugunan nila ang arithmetic mean condition: ang gitnang elemento na $x+1$ ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga kalapit na elemento:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ at ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Ito ay naging klasiko quadratic equation. Ang mga ugat nito: $x=2$ at $x=-3$ ang mga sagot.

Sagot: -3; 2.

Gawain bilang 7. Hanapin ang mga halaga ng $$ upang ang mga numerong $-1;4-3;(()^(2))+1$ ay bumubuo ng isang arithmetic progression (sa ganoong pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Ipahayag natin muli gitnang miyembro sa pamamagitan ng arithmetic mean ng mga kalapit na miyembro:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ at ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Isa pang quadratic equation. At muli dalawang ugat: $x=6$ at $x=1$.

Sagot: 1; 6.

Kung sa proseso ng paglutas ng isang problema nakakakuha ka ng ilang mga brutal na numero, o hindi ka lubos na sigurado sa tama ng mga sagot na natagpuan, kung gayon mayroong isang kahanga-hangang trick na nagbibigay-daan sa iyo upang suriin: nalutas ba namin nang tama ang problema?

Sabihin nating sa problema 6 ay nakakuha tayo ng mga sagot -3 at 2. Paano natin masusuri kung tama ang mga sagot na ito? Isaksak lang natin ang mga ito sa orihinal na kundisyon at tingnan kung ano ang mangyayari. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na mayroon tayong tatlong numero ($-6(()^(2))$, $+1$ at $14+4(()^(2))$), na dapat bumuo ng isang arithmetic progression. Palitan ang $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Nakuha namin ang mga numero -54; −2; Ang 50 na naiiba ng 52 ay walang alinlangan na isang pag-unlad ng aritmetika. Ang parehong bagay ay nangyayari para sa $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Muli isang pag-unlad, ngunit may pagkakaiba na 27. Kaya, ang problema ay nalutas nang tama. Ang mga nais ay maaaring suriin ang pangalawang gawain sa kanilang sarili, ngunit sasabihin ko kaagad: lahat ay tama din doon.

Sa pangkalahatan, habang nilulutas ang mga huling gawain, natitisod kami sa isa pa kawili-wiling katotohanan, na kailangan ding tandaan:

Kung ang tatlong numero ay tulad na ang pangalawa ay ang average ng una at huli, ang mga numerong ito ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Sa hinaharap, ang pag-unawa sa pahayag na ito ay magbibigay-daan sa amin na literal na "buuin" ang mga kinakailangang pag-unlad batay sa kondisyon ng problema. Ngunit bago tayo makisali sa ganitong "konstruksyon", dapat nating bigyang pansin ang isa pang katotohanan, na direktang sumusunod sa kung ano ang napag-isipan na.

Pagpapangkat at kabuuan ng mga elemento

Balik tayo ulit sa number line. Napansin namin doon ang ilang miyembro ng pag-unlad, kung saan, marahil. nagkakahalaga ng maraming iba pang mga miyembro:

6 na elemento na minarkahan sa linya ng numero

Subukan nating ipahayag ang "kaliwang buntot" sa mga tuntunin ng $((a)_(n))$ at $d$, at ang "kanang buntot" sa mga tuntunin ng $((a)_(k))$ at $ d$. Ito ay napaka-simple:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Ngayon tandaan na ang mga sumusunod na kabuuan ay pantay-pantay:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Sa madaling salita, kung isasaalang-alang natin bilang simula ang dalawang elemento ng pag-unlad, na sa kabuuan ay katumbas ng ilang bilang na $S$, at pagkatapos ay magsisimula tayong humakbang mula sa mga elementong ito sa magkasalungat na direksyon (patungo sa isa't isa o kabaligtaran upang lumayo), pagkatapos magkakapantay din ang kabuuan ng mga elementong ating madadapa$S$. Ito ay maaaring pinakamahusay na kinakatawan sa graphic na paraan:

Ang parehong mga indent ay nagbibigay ng pantay na kabuuan

Pag-unawa itong katotohanan ay magbibigay-daan sa amin upang malutas ang mga problema sa panimula nang higit pa mataas na lebel pagiging kumplikado kaysa sa mga tinalakay sa itaas. Halimbawa, ang mga ito:

Gawain bilang 8. Tukuyin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika kung saan ang unang termino ay 66, at ang produkto ng ikalawa at ikalabindalawang termino ay ang pinakamaliit na posible.

Solusyon. Isulat natin ang lahat ng ating nalalaman:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Kaya, hindi natin alam ang pagkakaiba ng progression $d$. Sa totoo lang, ang buong solusyon ay bubuuin sa paligid ng pagkakaiba, dahil ang produkto na $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Para sa mga nasa tangke: Inalis ko ang karaniwang kadahilanan 11 sa pangalawang bracket. Kaya, ang nais na produkto ay isang parisukat na function na may paggalang sa variable na $d$. Samakatuwid, isaalang-alang ang function na $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - ang graph nito ay magiging isang parabola na may mga sanga sa itaas, dahil kung bubuksan natin ang mga bracket, makakakuha tayo ng:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang koepisyent na may pinakamataas na termino ay 11 - ito ay isang positibong numero, kaya talagang nakikipag-usap tayo sa isang parabola na may mga sanga sa itaas:

iskedyul quadratic function- parabola
Pakitandaan: kinukuha ng parabola na ito ang pinakamababang halaga nito sa vertex nito na may abscissa $((d)_(0))$. Siyempre, maaari nating kalkulahin ang abscissa na ito gamit karaniwang pamamaraan(mayroong formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ngunit mas makatwirang tandaan na ang nais na vertex ay nasa axis ng symmetry ng parabola, kaya ang puntong $((d) _(0))$ ay katumbas ng layo mula sa mga ugat ng equation $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Iyon ang dahilan kung bakit hindi ako nagmamadaling buksan ang mga bracket: sa orihinal na anyo, ang mga ugat ay napakadaling mahanap. Samakatuwid, ang abscissa ay katumbas ng ibig sabihin mga numero ng aritmetika-66 at -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ano ang nagbibigay sa amin ng natuklasang numero? Sa pamamagitan nito, ang kinakailangang produkto ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga (nga pala, hindi namin nakalkula ang $((y)_(\min ))$ - hindi ito kinakailangan sa amin). Kasabay nito, ang bilang na ito ay ang pagkakaiba ng paunang pag-unlad, i.e. nakita namin ang sagot. :)

Sagot: -36

Gawain bilang 9. Magsingit ng tatlong numero sa pagitan ng mga numerong $-\frac(1)(2)$ at $-\frac(1)(6)$ upang kasama ng mga ibinigay na numero ay bumuo sila ng arithmetic progression.

Solusyon. Sa katunayan, kailangan nating gumawa ng pagkakasunod-sunod ng limang numero, na alam na ang una at huling numero. Tukuyin ang mga nawawalang numero ng mga variable na $x$, $y$ at $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Tandaan na ang numerong $y$ ay ang "gitna" ng aming sequence - ito ay katumbas ng distansya mula sa mga numerong $x$ at $z$, at mula sa mga numerong $-\frac(1)(2)$ at $-\frac (1)( 6)$. At kung mula sa mga numerong $x$ at $z$ tayo ay nasa sa sandaling ito hindi namin makuha ang $y$, kung gayon ang sitwasyon ay naiiba sa mga dulo ng pag-unlad. Tandaan ang ibig sabihin ng aritmetika:

Ngayon, alam ang $y$, makikita natin ang natitirang mga numero. Tandaan na ang $x$ ay nasa pagitan ng $-\frac(1)(2)$ at $y=-\frac(1)(3)$ na kakahanap lang. kaya lang

Sa parehong pagtatalo, nakita namin ang natitirang numero:

Handa na! Natagpuan namin ang lahat ng tatlong numero. Isulat natin ang mga ito sa sagot sa pagkakasunud-sunod kung saan dapat silang ipasok sa pagitan ng mga orihinal na numero.

Sagot: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Gawain bilang 10. Sa pagitan ng mga numero 2 at 42, magpasok ng ilang mga numero na, kasama ng mga ibinigay na numero, ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, kung alam na ang kabuuan ng una, pangalawa, at huli ng mga ipinasok na numero ay 56.

Solusyon. Ang isang mas mahirap na gawain, na, gayunpaman, ay nalutas sa parehong paraan tulad ng mga nauna - sa pamamagitan ng arithmetic mean. Ang problema ay hindi namin alam kung gaano karaming mga numero ang ilalagay. Samakatuwid, para sa katiyakan, ipinapalagay namin na pagkatapos ng pagpasok ay magkakaroon ng eksaktong $n$ na mga numero, at ang una sa mga ito ay 2, at ang huli ay 42. Sa kasong ito, ang nais na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring katawanin bilang:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Tandaan, gayunpaman, na ang mga numerong $((a)_(2))$ at $((a)_(n-1))$ ay nakuha mula sa mga numero 2 at 42 na nakatayo sa mga gilid sa pamamagitan ng isang hakbang patungo sa isa't isa , ibig sabihin. sa gitna ng pagkakasunod-sunod. At ito ay nangangahulugan na

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ngunit ang expression sa itaas ay maaaring muling isulat tulad nito:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Alam ang $((a)_(3))$ at $((a)_(1))$, madali nating mahahanap ang pagkakaiba sa pag-unlad:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kaliwa(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(align)\]

Ito ay nananatiling lamang upang mahanap ang natitirang mga miyembro:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Kaya, nasa ika-9 na hakbang na tayo ay darating sa kaliwang dulo ng pagkakasunud-sunod - ang numero 42. Sa kabuuan, 7 numero lamang ang kailangang ipasok: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Sagot: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

I-text ang mga gawain na may mga pag-unlad

Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang isang pares ng mga simpleng gawain. Well, bilang simple: para sa karamihan ng mga mag-aaral na nag-aaral ng matematika sa paaralan at hindi pa nababasa kung ano ang nakasulat sa itaas, ang mga gawaing ito ay maaaring mukhang isang kilos. Gayunpaman, ito ay tiyak na mga gawain na makikita sa OGE at ang PAGGAMIT sa matematika, kaya inirerekumenda ko na pamilyar ka sa kanila.

Gawain bilang 11. Ang koponan ay gumawa ng 62 na bahagi noong Enero, at sa bawat kasunod na buwan ay gumawa sila ng 14 pang bahagi kaysa sa nauna. Ilang bahagi ang ginawa ng brigada noong Nobyembre?

Solusyon. Malinaw, ang bilang ng mga bahagi, na pininturahan ng buwan, ay magiging isang pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika. At:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Ang Nobyembre ay ang ika-11 buwan ng taon, kaya kailangan nating hanapin ang $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Samakatuwid, 202 bahagi ang gagawin sa Nobyembre.

Gawain bilang 12. Ang bookbinding workshop ay nagbubuklod ng 216 na aklat noong Enero, at bawat buwan ay nagbubuklod ito ng 4 pang aklat kaysa sa nakaraang buwan. Ilang mga libro ang bind ng workshop noong Disyembre?

Solusyon. Lahat pare-pareho:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Ang Disyembre ay ang huling, ika-12 buwan ng taon, kaya hinahanap namin ang $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ito ang sagot - 260 na libro ang ibubulid sa Disyembre.

Buweno, kung nabasa mo na ito, nagmamadali akong batiin ka: matagumpay mong natapos ang "young fighter course" sa mga pag-unlad ng aritmetika. Maaari tayong ligtas na magpatuloy sa susunod na aralin, kung saan pag-aaralan natin ang formula ng progression sum, pati na rin ang mahalaga at lubhang kapaki-pakinabang na mga kahihinatnan mula rito.

IV Yakovlev | Mga materyales sa matematika | MathUs.ru

Arithmetic progression

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang espesyal na uri ng pagkakasunud-sunod. Samakatuwid, bago tukuyin ang isang aritmetika (at pagkatapos ay geometriko) na pag-unlad, kailangan nating maikling talakayin ang mahalagang konsepto ng isang pagkakasunud-sunod ng numero.

Kasunod

Isipin ang isang aparato sa screen kung saan ang ilang mga numero ay ipinapakita nang sunud-sunod. Sabihin nating 2; 7; 13; isa; 6; 0; 3; : : : Ang ganitong set ng mga numero ay isang halimbawa lamang ng isang sequence.

Kahulugan. Ang numerical sequence ay isang set ng mga numero kung saan ang bawat numero ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero (iyon ay, ilagay sa mga sulat na may isang solong natural na numero)1. Ang numerong may numero n ay tinatawag ika-1 miyembro mga pagkakasunod-sunod.

Kaya, sa halimbawa sa itaas, ang unang numero ay may numero 2, na siyang unang miyembro ng sequence, na maaaring tukuyin ng a1 ; ang numerong lima ay may bilang na 6 na siyang ikalimang miyembro ng sequence, na maaaring tukuyin na a5 . Sa pangkalahatan, ang ika-na miyembro ng isang sequence ay tinutukoy ng isang (o bn , cn , atbp.).

Ang isang napaka-maginhawang sitwasyon ay kapag ang ika-na miyembro ng sequence ay maaaring tukuyin ng ilang formula. Halimbawa, ang formula an = 2n 3 ay tumutukoy sa pagkakasunod-sunod: 1; isa; 3; 5; 7; : : : Tinutukoy ng formula na an = (1)n ang sequence: 1; isa; isa; isa; : : :

Hindi lahat ng hanay ng mga numero ay isang pagkakasunod-sunod. Kaya, ang isang segment ay hindi isang sequence; naglalaman ito ng ¾napakaraming¿ na mga numero upang muling lagyan ng numero. Ang set R ng lahat ng tunay na numero ay hindi rin isang sequence. Ang mga katotohanang ito ay napatunayan sa kurso ng mathematical analysis.

Arithmetic progression: pangunahing mga kahulugan

Ngayon ay handa na kaming tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika.

Kahulugan. Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat termino (nagsisimula sa pangalawa) ay katumbas ng kabuuan ang nakaraang termino at ilang nakapirming numero (tinatawag na pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic).

Halimbawa, sequence 2; 5; walo; labing-isa; : : : ay isang arithmetic progression na may unang termino 2 at pagkakaiba 3. Sequence 7; 2; 3; walo; : : : ay isang arithmetic progression na may unang termino 7 at pagkakaiba 5. Sequence 3; 3; 3; : : : ay isang arithmetic progression na may zero difference.

Katumbas na kahulugan: Ang isang sequence an ay tinatawag na isang arithmetic progression kung ang pagkakaiba ng an+1 an ay isang pare-parehong halaga (hindi nakadepende sa n).

Ang isang pag-unlad ng arithmetic ay sinasabing tumataas kung ang pagkakaiba nito ay positibo, at bumababa kung ang pagkakaiba nito ay negatibo.

1 At narito ang isang mas maigsi na kahulugan: ang sequence ay isang function na tinukoy sa set ng mga natural na numero. Halimbawa, ang pagkakasunod-sunod ng mga tunay na numero ay ang function na f: N! R.

Bilang default, ang mga pagkakasunud-sunod ay itinuturing na walang hanggan, iyon ay, naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga numero. Ngunit walang sinuman ang nag-aabala upang isaalang-alang ang mga may hangganang pagkakasunud-sunod din; sa katunayan, anumang may hangganan na hanay ng mga numero ay maaaring tawaging may hangganang pagkakasunod-sunod. Halimbawa, ang huling sequence 1; 2; 3; apat; Ang 5 ay binubuo ng limang numero.

Formula ng ika-n miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic

Madaling maunawaan na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ganap na tinutukoy ng dalawang numero: ang unang termino at ang pagkakaiba. Samakatuwid, ang tanong ay lumitaw: paano, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, makahanap ng isang arbitrary na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika?

Hindi mahirap makuha ang nais na pormula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Hayaan ang isang

arithmetic progression na may pagkakaiba d. Meron kami:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Sa partikular, isinulat namin:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
at ngayon ay nagiging malinaw na ang formula para sa isang ay:
an = a1 + (n 1)d:

Gawain 1. Sa arithmetic progression 2; 5; walo; labing-isa; : : : hanapin ang formula ng nth term at kalkulahin ang hundredth term.

Solusyon. Ayon sa formula (1) mayroon tayong:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Pag-aari at tanda ng pag-unlad ng aritmetika

ari-arian ng isang arithmetic progression. Sa arithmetic progression an for any

Sa madaling salita, ang bawat miyembro ng arithmetic progression (simula sa pangalawa) ay ang arithmetic mean ng mga kalapit na miyembro.

	Patunay. Meron kami:
	a n 1+ a n+1		(isang d) + (isang + d)

na kung ano ang kinakailangan.

Higit pa sa pangkalahatang paraan, ang pag-unlad ng aritmetika ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay

a n = a n k+ a n+k

para sa anumang n > 2 at anumang natural na k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Lumalabas na ang pormula (2) ay hindi lamang isang kinakailangan kundi isang sapat na kundisyon para ang isang sequence ay maging isang pag-unlad ng aritmetika.

Tanda ng isang pag-unlad ng aritmetika. Kung ang pagkakapantay-pantay (2) ay humahawak para sa lahat ng n > 2, kung gayon ang pagkakasunod-sunod ay isang pag-unlad ng aritmetika.

Patunay. Isulat muli natin ang formula (2) gaya ng sumusunod:

a na n 1= a n+1a n:

Ito ay nagpapakita na ang pagkakaiba ng an+1 an ay hindi nakadepende sa n, at ito ay nangangahulugan lamang na ang pagkakasunod-sunod na an ay isang arithmetic progression.

Ang ari-arian at tanda ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring buuin bilang isang pahayag; para sa kaginhawahan, gagawin namin ito para sa tatlong numero (ito ang sitwasyon na madalas na nangyayari sa mga problema).

Paglalarawan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ang tatlong numerong a, b, c ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika kung at kung 2b = a + c lamang.

Suliranin 2. (Moscow State University, Faculty of Economics, 2007) Tatlong numero na 8x, 3 x2 at 4 sa tinukoy na pagkakasunud-sunod ay bumubuo ng isang nagpapababang pag-unlad ng aritmetika. Hanapin ang x at isulat ang pagkakaiba ng progression na ito.

Solusyon. Sa pamamagitan ng pag-aari ng isang arithmetic progression, mayroon tayong:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Kung x = 1, kung gayon ang isang bumababa na pag-unlad ng 8, 2, 4 ay nakuha na may pagkakaiba na 6. Kung x = 5, pagkatapos ay isang pagtaas ng pag-unlad ng 40, 22, 4 ay nakuha; hindi gumagana ang kasong ito.

Sagot: x = 1, ang pagkakaiba ay 6.

Ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

Sinasabi ng alamat na minsan sinabi ng guro sa mga bata na hanapin ang kabuuan ng mga numero mula 1 hanggang 100 at umupo upang tahimik na magbasa ng pahayagan. Gayunpaman, sa loob ng ilang minuto, sinabi ng isang batang lalaki na nalutas na niya ang problema. Ito ay ang 9 na taong gulang na si Carl Friedrich Gauss, nang maglaon ay isa sa mga pinakadakilang mathematician sa kasaysayan.

Ang ideya ni Little Gauss ay ito. Hayaan

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Isulat natin ang kabuuan na ito sa reverse order:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

at idagdag ang dalawang formula na ito:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Ang bawat termino sa mga bracket ay katumbas ng 101, at mayroong 100 ganoong termino sa kabuuan. Samakatuwid

2S = 101 100 = 10100;

Ginagamit namin ang ideyang ito upang makuha ang sum formula

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Ang isang kapaki-pakinabang na pagbabago ng formula (3) ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng formula para sa ika-n term na an = a1 + (n 1)d dito:

		2a1 + (n 1)d

Gawain 3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong tatlong-digit na numero na nahahati sa 13.

Solusyon. Tatlong digit na numero, multiple ng 13, ay bumubuo ng aritmetika na pag-unlad na may unang termino na 104 at ang pagkakaiba 13; Ang ikasiyam na termino ng pag-unlad na ito ay:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Alamin natin kung ilang miyembro ang nilalaman ng ating pag-unlad. Upang gawin ito, malulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay:

isang 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Kaya mayroong 69 na miyembro sa aming pag-unlad. Ayon sa formula (4) nakita namin ang kinakailangang halaga:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

O arithmetic ay isang uri ng ordered numerical sequence, ang mga katangian nito ay pinag-aaralan kurso sa paaralan algebra. Tinatalakay ng artikulong ito nang detalyado ang tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Ano ang pag-unlad na ito?

Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang ng tanong (kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika), ito ay nagkakahalaga ng pag-unawa kung ano ang tatalakayin.

Anumang pagkakasunud-sunod ng mga tunay na numero na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag (pagbabawas) ng ilang halaga mula sa bawat nakaraang numero ay tinatawag na algebraic (aritmetika) na pag-unlad. Ang kahulugang ito, na isinalin sa wika ng matematika, ay nasa anyo:

Dito ako- serial number elemento ng serye a i . Kaya, ang pag-alam lamang ng isang paunang numero, madali mong maibabalik ang buong serye. Ang parameter d sa formula ay tinatawag na progression difference.

Madaling maipakita na ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay nananatili para sa serye ng mga numerong isinasaalang-alang:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Iyon ay, upang mahanap ang halaga ng n-th elemento sa pagkakasunud-sunod, idagdag ang pagkakaiba d sa unang elemento a 1 n-1 beses.

Ano ang kabuuan ng isang arithmetic progression: formula

Bago ibigay ang formula para sa ipinahiwatig na halaga, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simple espesyal na kaso. Dahil sa pag-unlad ng mga natural na numero mula 1 hanggang 10, kailangan mong hanapin ang kanilang kabuuan. Dahil kakaunti ang mga termino sa progression (10), posibleng lutasin ang problema nang direkta, iyon ay, pagsama-samahin ang lahat ng elemento sa pagkakasunud-sunod.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang kawili-wiling bagay: dahil ang bawat termino ay naiiba mula sa susunod na isa sa parehong halaga d \u003d 1, kung gayon ang pairwise na pagbubuod ng una sa ikasampu, ang pangalawa sa ikasiyam, at iba pa ay magbibigay ng parehong resulta . Talaga:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Tulad ng nakikita mo, mayroon lamang 5 sa mga kabuuan na ito, iyon ay, eksaktong dalawang beses na mas mababa kaysa sa bilang ng mga elemento sa serye. Pagkatapos ay i-multiply ang bilang ng mga kabuuan (5) sa resulta ng bawat kabuuan (11), mapupunta ka sa resulta na nakuha sa unang halimbawa.

Kung i-generalize natin ang mga argumentong ito, maaari nating isulat ang sumusunod na expression:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ang expression na ito ay nagpapakita na ito ay hindi sa lahat ng kailangan upang isama ang lahat ng mga elemento sa isang hilera, ito ay sapat na upang malaman ang halaga ng unang a 1 at ang huling a n , at din kabuuang bilang mga tuntunin n.

Ito ay pinaniniwalaan na unang naisip ni Gauss ang pagkakapantay-pantay na ito nang siya ay naghahanap ng solusyon sa problemang itinakda ng kanyang guro sa paaralan: upang isama ang unang 100 integer.

Kabuuan ng mga elemento mula m hanggang n: formula

Ang pormula na ibinigay sa nakaraang talata ay sumasagot sa tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika (ng mga unang elemento), ngunit kadalasan sa mga gawain ay kinakailangang magsama ng isang serye ng mga numero sa gitna ng pag-unlad. Paano ito gagawin?

Ang pinakamadaling paraan upang masagot ang tanong na ito ay sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa sumusunod na halimbawa: hayaang kailanganin na hanapin ang kabuuan ng mga termino mula sa mth hanggang sa nth. Upang malutas ang problema, ang isang ibinigay na segment mula m hanggang n ng pag-unlad ay dapat na kinakatawan bilang isang bagong serye ng numero. Sa naturang pagtatanghal mth miyembro Ang isang m ay mauuna, at ang isang n ay binibilang na n-(m-1). Sa kasong ito, ang paglalapat ng karaniwang formula para sa kabuuan, ang sumusunod na expression ay makukuha:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Halimbawa ng paggamit ng mga formula

Ang pag-alam kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simpleng halimbawa ng paggamit ng mga formula sa itaas.

Sa ibaba ay ibinigay numerical sequence, dapat mong hanapin ang kabuuan ng mga miyembro nito, simula sa ika-5 at nagtatapos sa ika-12:

Ang mga ibinigay na numero ay nagpapahiwatig na ang pagkakaiba d ay katumbas ng 3. Gamit ang expression para sa ika-n na elemento, mahahanap mo ang mga halaga ng ika-5 at ika-12 na miyembro ng pag-unlad. Iyon pala:

isang 5 \u003d isang 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
isang 12 \u003d isang 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Pag-alam sa mga halaga ng mga numero sa mga dulo ng isinasaalang-alang algebraic progression, at alam din kung aling mga numero sa row ang kanilang sinasakop, maaari mong gamitin ang formula para sa halagang nakuha sa nakaraang talata. Kunin:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Kapansin-pansin na ang halagang ito ay maaaring makuha sa ibang paraan: una, hanapin ang kabuuan ng unang 12 elemento gamit ang karaniwang formula, pagkatapos ay kalkulahin ang kabuuan ng unang 4 na elemento gamit ang parehong formula, at pagkatapos ay ibawas ang pangalawa mula sa unang kabuuan .

Kung bawat natural na numero n tumugma sa isang tunay na numero isang n , tapos sinasabi nila na binigay pagkakasunod-sunod ng numero :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, ang isang numerical sequence ay isang function ng isang natural na argumento.

Numero a 1 tinawag ang unang miyembro ng sequence , numero a 2 — ang pangalawang miyembro ng sequence , numero a 3 — pangatlo at iba pa. Numero isang n tinawag ika-na miyembro ng sequence , at ang natural na numero n — number niya .

Mula sa dalawang magkalapit na miyembro isang n at isang n +1 mga pagkakasunud-sunod ng miyembro isang n +1 tinawag kasunod (patungo isang n ), a isang n — dati (patungo isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang sequence, dapat kang tumukoy ng isang paraan na nagbibigay-daan sa iyong makahanap ng isang miyembro ng sequence na may anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunod-sunod ay ibinibigay sa nth term formula , iyon ay, isang formula na nagbibigay-daan sa iyong matukoy ang isang miyembro ng sequence sa pamamagitan ng numero nito.

Halimbawa,

ang pagkakasunod-sunod ng mga positibong kakaibang numero ay maaaring ibigay ng formula

isang n= 2n- 1,

at ang pagkakasunod-sunod ng alternating 1 at -1 - pormula

b n = (-1)n +1 . ◄

Maaaring matukoy ang pagkakasunud-sunod paulit-ulit na formula, iyon ay, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang miyembro ng pagkakasunud-sunod, simula sa ilan, sa pamamagitan ng nakaraang (isa o higit pa) na mga miyembro.

Halimbawa,

kung a 1 = 1 , a isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung ang a 1= 1, a 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ang unang pitong miyembro ng numerical sequence ay itinakda tulad ng sumusunod:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring pangwakas at walang katapusan .

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag panghuli kung ito ay may hangganan na bilang ng mga miyembro. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag walang katapusan kung ito ay may walang katapusang maraming miyembro.

Halimbawa,

pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na mga numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

pangwakas.

Prime number sequence:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusan. ◄

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag dumarami , kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag humihina , kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ay isang pataas na pagkakasunod-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ay isang pababang pagkakasunod-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa sa pagtaas ng bilang, o, sa kabaligtaran, ay hindi tumataas, ay tinatawag monotonous sequence .

Ang mga monotonic na sequence, sa partikular, ay ang pagtaas ng mga sequence at ang pagbaba ng mga sequence.

Arithmetic progression

Arithmetic progression tinatawag ang isang sequence, ang bawat miyembro kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, kung saan idinaragdag ang parehong numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang arithmetic progression kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

isang n +1 = isang n + d,

saan d - ilang numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng susunod at naunang mga miyembro ng isang naibigay na pag-unlad ng arithmetic ay palaging pare-pareho:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Numero d tinawag ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression.

Upang magtakda ng pag-unlad ng aritmetika, sapat na upang tukuyin ang unang termino at pagkakaiba nito.

Halimbawa,

kung a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ay ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa isang pag-unlad ng arithmetic na may unang termino a 1 at pagkakaiba d kanya n

isang n = a 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang ika-tatlumpung termino ng isang pag-unlad ng aritmetika

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

isang 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = a 1 + (n- 2)d,

isang n= a 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

tapos obvious naman

isang n=	isang n-1 + isang n+1
	2

bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na miyembro ng ilang pag-unlad ng aritmetika kung at kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang arithmetic progression.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

isang n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Dahil dito,

isang n+1 + isang n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = isang n,
2		2

◄

Tandaan na n -th miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit pati na rin ang anumang nakaraan isang k

isang n = isang k + (n- k)d.

Halimbawa,

para sa a 5 maaaring isulat

isang 5 = a 1 + 4d,

isang 5 = a 2 + 3d,

isang 5 = a 3 + 2d,

isang 5 = a 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = isang n+k - kd,

tapos obvious naman

isang n=	a n-k +a n+k
	2

sinumang miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika na ito na pantay na may pagitan dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng aritmetika, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + isang 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kasi

isang 2 + isang 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + isang 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ isang n,

una n ang mga miyembro ng isang arithmetic progression ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga extreme terms sa bilang ng mga termino:

Mula dito, sa partikular, ito ay sumusunod na kung ito ay kinakailangan upang sum ang mga tuntunin

isang k, isang k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay pinapanatili ng nakaraang formula ang istraktura nito:

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay, kung gayon ang mga dami a 1 , isang n, d, n atS n naka-link ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang monotonic sequence. kung saan:

kung d > 0 , pagkatapos ito ay tumataas;
kung d < 0 , pagkatapos ito ay bumababa;
kung d = 0 , kung gayon ang pagkakasunod-sunod ay magiging nakatigil.

Geometric na pag-unlad

geometric na pag-unlad tinatawag ang isang sequence, ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang geometric na pag-unlad kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

b n +1 = b n · q,

saan q ≠ 0 - ilang numero.

Kaya, ang ratio ng susunod na termino ng geometric na pag-unlad na ito sa nauna ay isang pare-parehong numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numero q tinawag denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Upang magtakda ng isang geometric na pag-unlad, sapat na upang tukuyin ang unang termino at denominator nito.

Halimbawa,

kung b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ay ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at denominador q kanya n -th term ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong termino ng isang geometric progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

tapos obvious naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

bawat miyembro ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng geometric mean (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil ang kabaligtaran ay totoo rin, ang sumusunod na pahayag ay nagtataglay:

Ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na miyembro ng ilang geometric na pag-unlad kung at kung ang parisukat lamang ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ang dalawa pa, ibig sabihin, ang isa sa mga numero ay ang geometric na ibig sabihin ng dalawa pa.

Halimbawa,

patunayan natin na ang sequence na ibinigay ng formula b n= -3 2 n , ay isang geometric na pag-unlad. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Dahil dito,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay sa kinakailangang paninindigan. ◄

Tandaan na n ika kataga ng isang geometric progression ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit gayundin ang anumang nakaraang termino b k , kung saan sapat na ang paggamit ng formula

b n = b k · q n - k.

Halimbawa,

para sa b 5 maaaring isulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

tapos obvious naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng sinumang miyembro ng isang geometric na progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng produkto ng mga miyembro ng progression na ito na katumbas ng layo mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang geometric na pag-unlad, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

exponentially

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kasi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

una n mga miyembro ng geometric progression na may denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa formula

S n= n.b. 1

Tandaan na kung kailangan nating buuin ang mga tuntunin

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ay ginamit ang formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Halimbawa,

exponentially 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung bibigyan geometric na pag-unlad, pagkatapos ay ang dami b 1 , b n, q, n at S n naka-link ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng alinman sa tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang geometric na pag-unlad na may unang termino b 1 at denominador q magaganap ang mga sumusunod mga katangian ng monotonicity :

ang pag-unlad ay tumataas kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at q> 1;

b 1 < 0 at 0 < q< 1;

Ang isang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at 0 < q< 1;

b 1 < 0 at q> 1.

Kung ang q< 0 , pagkatapos ay ang geometric progression ay sign-alternating: ang odd-numbered terms nito ay may kaparehong sign sa unang termino nito, at even-numbered terms ay may kabaligtaran na sign. Ito ay malinaw na ang isang alternating geometric progression ay hindi monotonic.

Produkto ng una n Ang mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring kalkulahin ng formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay tinatawag na infinite geometric progression na ang denominator modulus ay mas mababa sa 1 , yan ay

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay maaaring hindi isang pababang pagkakasunod-sunod. Ito ay akma sa kaso

1 < q< 0 .

Sa ganoong denominator, ang sequence ay sign-alternating. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad pangalanan ang numero kung saan ang kabuuan ng una n mga tuntunin ng pag-unlad na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n . Ang bilang na ito ay palaging may hangganan at ipinapahayag ng formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relasyon sa pagitan ng arithmetic at geometric progressions

Ang mga aritmetika at geometric na pag-unlad ay malapit na nauugnay. Isaalang-alang natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , pagkatapos

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba 2 at

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ay isang geometric progression na may denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . ay isang geometric progression na may denominator q , pagkatapos

mag-log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . ay isang geometric progression na may denominator 6 at

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba lg 6 . ◄

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng bagay. Parehong sa kahulugan at sa formula. Ngunit mayroong lahat ng uri ng mga gawain sa paksang ito. Mula elementary hanggang medyo solid.

Una, harapin natin ang kahulugan at pormula ng kabuuan. At pagkatapos ay magdedesisyon tayo. Para sa iyong sariling kasiyahan.) Ang kahulugan ng kabuuan ay kasing simple ng lowing. Upang mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, kailangan mo lamang na maingat na idagdag ang lahat ng mga miyembro nito. Kung kakaunti ang mga terminong ito, maaari kang magdagdag nang walang anumang mga formula. Ngunit kung marami, o marami ... nakakainis ang karagdagan.) Sa kasong ito, nakakatipid ang formula.

Ang sum formula ay simple:

Alamin natin kung anong uri ng mga titik ang kasama sa formula. Ito ay lilinaw ng marami.

S n ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Resulta ng karagdagan lahat mga miyembro, kasama ang una sa huli. Ito ay mahalaga. Idagdag nang eksakto lahat mga miyembro sa isang hilera, walang gaps at jumps. At, eksakto, simula sa una. Sa mga problema tulad ng paghahanap ng kabuuan ng ikatlo at ikawalong termino, o ang kabuuan ng mga terminong lima hanggang ikadalawampu, ang direktang paggamit ng pormula ay magiging disappointing.)

a 1 - ang una miyembro ng progreso. Ang lahat ay malinaw dito, ito ay simple una numero ng hilera.

isang n- huli miyembro ng progreso. Ang huling numero ng row. Hindi masyadong pamilyar na pangalan, ngunit, kapag inilapat sa halaga, ito ay napaka-angkop. Pagkatapos ay makikita mo para sa iyong sarili.

n ay ang numero ng huling miyembro. Mahalagang maunawaan na sa formula ang numerong ito kasabay ng bilang ng mga idinagdag na miyembro.

Tukuyin natin ang konsepto huli miyembro isang n. Pagpuno ng tanong: anong uri ng miyembro ang gagawin huling, kung ibibigay walang katapusan pag-unlad ng aritmetika?

Para sa isang tiwala na sagot, kailangan mong maunawaan ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng arithmetic at ... basahin nang mabuti ang takdang-aralin!)

Sa gawain ng paghahanap ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ang huling termino ay palaging lilitaw (direkta o hindi direkta), na dapat ay limitado. Kung hindi, isang may hangganan, tiyak na halaga wala lang. Para sa solusyon, hindi mahalaga kung anong uri ng pag-unlad ang ibinigay: may hangganan o walang katapusan. Hindi mahalaga kung paano ito ibinigay: sa pamamagitan ng isang serye ng mga numero, o sa pamamagitan ng formula ng ika-na miyembro.

Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan na ang formula ay gumagana mula sa unang termino ng pag-unlad hanggang sa terminong may numero n. Sa totoo lang, ganito ang buong pangalan ng formula: ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ang bilang ng mga pinakaunang miyembro na ito, i.e. n, ay tinutukoy lamang ng gawain. Sa gawain, ang lahat ng mahalagang impormasyong ito ay madalas na naka-encrypt, oo ... Ngunit wala, sa mga halimbawa sa ibaba ay ibubunyag namin ang mga lihim na ito.)

Mga halimbawa ng mga gawain para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

pangunahin, kapaki-pakinabang na impormasyon:

Ang pangunahing kahirapan sa mga gawain para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang tamang pagpapasiya ng mga elemento ng formula.

Ini-encrypt ng mga may-akda ng mga takdang-aralin ang mismong mga elementong ito na may walang hangganang imahinasyon.) Ang pangunahing bagay dito ay huwag matakot. Ang pag-unawa sa kakanyahan ng mga elemento, sapat na upang maunawaan ang mga ito. Tingnan natin ang ilang mga halimbawa nang detalyado. Magsimula tayo sa isang gawain batay sa isang tunay na GIA.

1. Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng kondisyon: a n = 2n-3.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 10 termino.

Magaling. Madali.) Upang matukoy ang halaga ayon sa pormula, ano ang kailangan nating malaman? Unang Miyembro a 1, huling termino isang n, oo ang bilang ng huling termino n.

Kung saan makukuha ang huling numero ng miyembro n? Oo, sa parehong lugar, sa kondisyon! Sinasabi nito na hanapin ang kabuuan unang 10 miyembro. Aba, anong numero ito huling, ikasampung miyembro?) Hindi ka maniniwala, ang kanyang numero ay ikasampu!) Samakatuwid, sa halip na isang n papalitan natin sa formula isang 10, ngunit sa halip n- sampu. Muli, ang bilang ng huling miyembro ay kapareho ng bilang ng mga miyembro.

Ito ay nananatiling upang matukoy a 1 at isang 10. Ito ay madaling kalkulahin sa pamamagitan ng formula ng nth term, na ibinigay sa pahayag ng problema. Hindi alam kung paano gawin ito? Bisitahin ang nakaraang aralin, nang wala ito - wala.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

isang 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

Nalaman namin ang kahulugan ng lahat ng elemento ng formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic. Ito ay nananatiling palitan ang mga ito, at bilangin:

Hanggang dito na lang. Sagot: 75.

Isa pang gawain batay sa GIA. Medyo mas kumplikado:

2. Dahil sa pag-unlad ng aritmetika (a n), ang pagkakaiba nito ay 3.7; isang 1 \u003d 2.3. Hanapin ang kabuuan ng unang 15 termino.

Agad naming isinulat ang sum formula:

Ang formula na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang halaga ng sinumang miyembro sa pamamagitan ng numero nito. Naghahanap kami ng isang simpleng kapalit:

isang 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Ito ay nananatiling palitan ang lahat ng mga elemento sa formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic at kalkulahin ang sagot:

Sagot: 423.

Sa pamamagitan ng paraan, kung sa sum formula sa halip ng isang n palitan lamang ang formula ng ika-n na termino, makukuha natin:

Nagbibigay kami ng mga katulad, nakakakuha kami ng bagong formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic:

Tulad ng nakikita mo, ang ika-1 na termino ay hindi kinakailangan dito. isang n. Sa ilang mga gawain, ang formula na ito ay nakakatulong nang malaki, oo ... Maaalala mo ang formula na ito. At maaari mo lamang itong bawiin sa tamang oras, tulad ng dito. Pagkatapos ng lahat, ang pormula para sa kabuuan at ang pormula para sa ika-n na termino ay dapat tandaan sa lahat ng paraan.)

Ngayon ang gawain sa anyo ng isang maikling pag-encrypt):

3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong dalawang-digit na numero na mga multiple ng tatlo.

Paano! Walang unang miyembro, walang huli, walang pag-unlad... Paano mabuhay!?

Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo at bunutin mula sa kondisyon ang lahat ng mga elemento ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ano ang dalawang-digit na numero - alam natin. Binubuo ang mga ito ng dalawang numero.) What two-digit number will una? 10, siguro.) huling bagay dalawang digit na numero? 99, siyempre! Susundan siya ng mga tatlong-digit ...

Multiples of three... Hm... Ito ang mga numero na pantay na nahahati ng tatlo, narito! Ang sampu ay hindi nahahati sa tatlo, 11 ay hindi nahahati... 12... ay nahahati! Kaya, may umuusbong. Maaari ka nang magsulat ng isang serye ayon sa kondisyon ng problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Magiging arithmetic progression ba ang seryeng ito? Syempre! Ang bawat termino ay naiiba mula sa nauna nang mahigpit na tatlo. Kung 2, o 4, ay idinagdag sa termino, sabihin, ang resulta, i.e. ang isang bagong numero ay hindi na mahahati sa 3. Maaari mong agad na matukoy ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic sa heap: d = 3. Kapaki-pakinabang!)

Kaya, maaari naming ligtas na isulat ang ilang mga parameter ng pag-unlad:

Ano ang magiging numero n huling miyembro? Ang sinumang mag-aakalang 99 ay maling nagkakamali ... Mga Numero - palagi silang magkakasunod, at ang aming mga miyembro ay tumalon sa nangungunang tatlo. Hindi sila magkatugma.

Mayroong dalawang solusyon dito. Ang isang paraan ay para sa sobrang masipag. Maaari mong ipinta ang pag-unlad, ang buong serye ng mga numero, at bilangin ang bilang ng mga termino gamit ang iyong daliri.) Ang pangalawang paraan ay para sa maalalahanin. Kailangan mong tandaan ang pormula para sa ika-n na termino. Kung ang formula ay inilapat sa aming problema, makuha namin na ang 99 ay ang ika-tatlumpung miyembro ng pag-unlad. Yung. n = 30.

Tinitingnan namin ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic:

Tumingin kami at nagagalak.) Inilabas namin ang lahat ng kailangan para sa pagkalkula ng halaga mula sa kondisyon ng problema:

a 1= 12.

isang 30= 99.

S n = S 30.

Ang natitira ay elementarya arithmetic. Palitan ang mga numero sa formula at kalkulahin:

Sagot: 1665

Isa pang uri ng mga sikat na puzzle:

4. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Hanapin ang kabuuan ng mga termino mula sa ikadalawampu hanggang tatlumpu't apat.

Tinitingnan namin ang sum formula at ... kami ay nabalisa.) Ang formula, hayaan mo akong ipaalala sa iyo, kinakalkula ang kabuuan mula sa una miyembro. At sa problema kailangan mong kalkulahin ang kabuuan mula noong ikadalawampu... Hindi gagana ang formula.

Maaari mong, siyempre, ipinta ang buong pag-unlad nang sunud-sunod, at ilagay ang mga miyembro mula 20 hanggang 34. Ngunit ...

May mas eleganteng solusyon. Hatiin natin ang ating serye sa dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay mula sa unang termino hanggang sa ikalabinsiyam. Ang ikalawang bahagi - dalawampu't tatlumpu't apat. Malinaw na kung kalkulahin natin ang kabuuan ng mga tuntunin ng unang bahagi S 1-19, idagdag natin ito sa kabuuan ng mga miyembro ng ikalawang bahagi S 20-34, nakukuha natin ang kabuuan ng pag-unlad mula sa unang termino hanggang sa tatlumpu't apat S 1-34. Ganito:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ito ay nagpapakita na upang mahanap ang kabuuan S 20-34 maaaring gawin sa pamamagitan ng simpleng pagbabawas

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Ang parehong mga kabuuan sa kanang bahagi ay isinasaalang-alang mula sa una miyembro, i.e. ang karaniwang sum formula ay lubos na naaangkop sa kanila. Nagsisimula na ba tayo?

Kinukuha namin ang mga parameter ng pag-unlad mula sa kondisyon ng gawain:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Upang kalkulahin ang mga kabuuan ng unang 19 at ang unang 34 na termino, kakailanganin natin ang ika-19 at ika-34 na termino. Binibilang namin ang mga ito ayon sa pormula ng nth term, tulad ng sa problema 2:

isang 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

isang 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

Walang natira. Ibawas ang kabuuan ng 19 na termino mula sa kabuuan ng 34 na termino:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Sagot: 262.5

Isang mahalagang tala! Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na tampok sa paglutas ng problemang ito. Sa halip na direktang pagkalkula kung ano ang kailangan mo (S 20-34), binilang namin kung ano, tila, ay hindi kailangan - S 1-19. At pagkatapos ay nagpasiya sila S 20-34, itinatapon ang hindi kailangan mula sa buong resulta. Ang ganitong "pagkukunwari sa mga tainga" ay kadalasang nagliligtas sa masasamang palaisipan.)

Sa araling ito, sinuri namin ang mga problema kung saan sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Well, kailangan mong malaman ang ilang mga formula.)

praktikal na payo:

Kapag nilulutas ang anumang problema para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, inirerekumenda ko kaagad na isulat ang dalawang pangunahing formula mula sa paksang ito.

Formula ng nth term:

Ang mga formula na ito ay agad na magsasabi sa iyo kung ano ang hahanapin, kung saang direksyon mag-iisip upang malutas ang problema. Tumutulong.

At ngayon ang mga gawain para sa independiyenteng solusyon.

5. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na numero na hindi nahahati sa tatlo.

Cool?) Nakatago ang pahiwatig sa tala sa problema 4. Well, makakatulong ang problema 3.

6. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon: a 1 =-5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 24 na termino.

Hindi karaniwan?) Ito ay isang paulit-ulit na formula. Maaari mong basahin ang tungkol dito sa nakaraang aralin. Huwag pansinin ang link, ang mga ganitong palaisipan ay madalas na matatagpuan sa GIA.

7. Nag-ipon ng pera si Vasya para sa Holiday. Hanggang 4550 rubles! At nagpasya akong bigyan ang pinakamamahal na tao (ang aking sarili) ng ilang araw ng kaligayahan). Mamuhay nang maganda nang hindi itinatanggi ang iyong sarili. Gumastos ng 500 rubles sa unang araw, at gumastos ng 50 rubles nang higit pa sa bawat kasunod na araw kaysa sa nakaraang araw! Hanggang sa maubos ang pera. Ilang araw ng kaligayahan mayroon si Vasya?

Mahirap ba?) Makakatulong ang karagdagang pormula mula sa gawain 2.

Mga sagot (magulo): 7, 3240, 6.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.