Mga katangian ng logarithm at exponent. Natural logarithm at numero e. Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Hindi masama sa lahat, tama? Habang naghahanap ang mga mathematician ng mga salita na magbibigay sa iyo ng mahaba, nakakalito na kahulugan, tingnan natin ang simple at malinaw na kahulugan na ito.

Ang bilang e ay nangangahulugan ng paglago

Ang bilang e ay nangangahulugang patuloy na paglaki. Gaya ng nakita natin sa nakaraang halimbawa, pinapayagan tayo ng e x na iugnay ang interes at oras: 3 taon sa 100% na paglago ay kapareho ng 1 taon sa 300%, sa pag-aakalang "compound interest".

Maaari mong palitan ang anumang porsyento at mga halaga ng oras (50% para sa 4 na taon), ngunit mas mahusay na itakda ang porsyento bilang 100% para sa kaginhawahan (lumalabas na 100% para sa 2 taon). Sa pamamagitan ng paglipat sa 100%, maaari tayong tumuon lamang sa bahagi ng oras:

e x = e percent * time = e 1.0 * time = e time

Malinaw na ang ibig sabihin ng e x ay:

magkano ang lalago ng aking kontribusyon pagkatapos ng x units of time (assuming 100% continuous growth).
halimbawa, pagkatapos ng 3 agwat ng oras makakatanggap ako ng e 3 = 20.08 beses na mas maraming "bagay".

Ang e x ay isang scaling factor na nagpapakita kung saang antas tayo lalago sa x na tagal ng panahon.

Ang ibig sabihin ng natural logarithm ay oras

Ang natural na logarithm ay ang kabaligtaran ng e, isang magarbong termino para sa kabaligtaran. Nagsasalita ng mga quirks; sa Latin ito ay tinatawag na logarithmus naturali, kaya ang pagdadaglat na ln.

At ano ang ibig sabihin ng pagbabaligtad o kabaligtaran na ito?

Ang e x ay nagpapahintulot sa amin na palitan ang oras at makakuha ng paglago.
Ang ln(x) ay nagbibigay-daan sa amin na kunin ang paglago o kita at alamin ang oras na kinakailangan upang mabuo ito.

Halimbawa:

e 3 ay katumbas ng 20.08. Pagkatapos ng tatlong yugto ng panahon, magkakaroon tayo ng 20.08 beses na higit pa kaysa sa nasimulan natin.
Ang ln(08/20) ay humigit-kumulang 3. Kung interesado ka sa paglago ng 20.08 beses, kakailanganin mo ng 3 yugto ng panahon (muli, sa pag-aakalang 100% patuloy na paglago).

Nagbabasa pa rin? Ang natural na logarithm ay nagpapakita ng oras na kinakailangan upang maabot ang nais na antas.

Itong hindi karaniwang logarithmic na bilang

Dumaan ka na ba sa logarithms - kakaibang nilalang sila. Paano nila nagawang gawing karagdagan ang multiplikasyon? Paano ang paghahati sa pagbabawas? Tingnan natin.

Ano ang katumbas ng ln(1)? Sa madaling salita, ang tanong ay: gaano katagal ako dapat maghintay upang makakuha ng 1x na higit pa sa kung ano ang mayroon ako?

Zero. Zero. Hindi talaga. Mayroon ka na nito minsan. Hindi magtatagal upang pumunta mula sa antas 1 hanggang sa antas 1.

ln(1) = 0

Okay, paano naman ang fractional value? Gaano katagal bago natin matitira ang 1/2 ng available na dami? Alam namin na sa 100% tuloy-tuloy na paglaki, ang ln(2) ay nangangahulugang ang oras na kinakailangan upang madoble. Kung tayo ibalik natin ang panahon(ibig sabihin, maghintay ng negatibong tagal ng oras), pagkatapos ay makukuha natin ang kalahati ng kung ano ang mayroon tayo.

ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Logical diba? Kung babalik tayo (time back) sa 0.693 segundo, makikita natin ang kalahati ng halagang magagamit. Sa pangkalahatan, maaari mong ibalik ang fraction at kumuha ng negatibong halaga: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Nangangahulugan ito na kung babalik tayo sa oras sa 1.09 na beses, makakakita lamang tayo ng ikatlong bahagi ng kasalukuyang numero.

Okay, paano ang logarithm ng isang negatibong numero? Gaano katagal bago "lumago" ang isang kolonya ng bakterya mula 1 hanggang -3?

Ito ay imposible! Hindi ka makakakuha ng isang negatibong bilang ng bakterya, hindi ba? Maaari kang makakuha ng maximum (er...minimum) na zero, ngunit walang paraan na makakakuha ka ng negatibong numero mula sa maliliit na nilalang na ito. Ang isang negatibong bilang ng bakterya ay hindi makatuwiran.

ln(negatibong numero) = hindi natukoy

"Hindi natukoy" ay nangangahulugan na walang tagal ng oras na kailangang maghintay upang makakuha ng negatibong halaga.

Nakakatuwa lang ang logarithmic multiplication

Gaano katagal bago lumaki ng apat na beses? Siyempre, maaari mo lamang kunin ang ln(4). Ngunit ito ay masyadong simple, tayo ay pupunta sa ibang paraan.

Maaari mong isipin ang quadruple growth bilang pagdodoble (nangangailangan ng ln(2) unit ng oras) at pagkatapos ay pagdodoble muli (nangangailangan ng isa pang ln(2) unit ng oras):

Oras para lumaki ng 4 na beses = ln(4) = Oras para doblehin at pagkatapos ay doble muli = ln(2) + ln(2)

Interesting. Anumang rate ng paglago, sabihin nating 20, ay maaaring ituring na pagdodoble pagkatapos ng 10x na pagtaas. O paglago ng 4 na beses, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng 5 beses. O tripling at pagkatapos ay tumaas ng 6.666 beses. Tingnan ang pattern?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Ang logarithm ng A times B ay log(A) + log(B). Ang relasyon na ito ay agad na may katuturan kung titingnan sa mga tuntunin ng paglago.

Kung interesado ka sa 30x na paglaki, maaari kang maghintay ng ln(30) sa isang upuan, o maghintay ng ln(3) para sa tripling, at pagkatapos ay isa pang ln(10) para sa 10x. Ang resulta ay pareho, kaya siyempre ang oras ay dapat manatiling pare-pareho (at ito ay nangyayari).

Paano naman ang division? Sa partikular, ang ibig sabihin ng ln(5/3) ay: gaano katagal ang paglaki ng 5 beses at pagkatapos ay makuha ang 1/3 niyan?

Mahusay, ang paglago ng 5 beses ay ln(5). Ang pagtaas ng 1/3 beses ay aabutin -ln(3) mga yunit ng oras. Kaya,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Nangangahulugan ito: hayaan itong lumaki nang 5 beses, at pagkatapos ay "bumalik sa nakaraan" sa punto kung saan ang ikatlong bahagi na lamang ng halagang iyon ang natitira, upang makakuha ka ng 5/3 na paglago. Sa pangkalahatan ito ay lumalabas

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Umaasa ako na ang kakaibang aritmetika ng logarithms ay nagsisimula nang magkaroon ng kahulugan sa iyo: ang pagpaparami ng mga rate ng paglago ay nagiging pagdaragdag ng mga yunit ng oras ng paglago, at ang paghahati ay nagiging pagbabawas ng mga yunit ng oras. Hindi na kailangang kabisaduhin ang mga patakaran, subukang maunawaan ang mga ito.

Paggamit ng natural na logarithm para sa arbitraryong paglaki

Well, siyempre, "sabi mo, "ito ay mabuti kung ang paglago ay 100%, ngunit paano ang 5% na natatanggap ko?"

Walang problema. Ang "oras" na kinakalkula namin sa ln() ay talagang kumbinasyon ng rate ng interes at oras, ang parehong X mula sa e x equation. Nagpasya lang kaming itakda ang porsyento sa 100% para sa pagiging simple, ngunit malaya kaming gumamit ng anumang mga numero.

Sabihin nating gusto nating makamit ang 30x na paglago: kunin ang ln(30) at makakuha ng 3.4 Nangangahulugan ito:

e x = taas
e 3.4 = 30

Malinaw, ang equation na ito ay nangangahulugang "100% return sa loob ng 3.4 na taon ay nagbibigay ng 30x na paglago." Maaari nating isulat ang equation na ito tulad ng sumusunod:

e x = e rate*time
e 100% * 3.4 taon = 30

Maaari naming baguhin ang mga halaga ng "taya" at "oras", hangga't ang taya * oras ay nananatiling 3.4. Halimbawa, kung interesado tayo sa 30x na paglago, gaano katagal tayo maghihintay sa interest rate na 5%?

ln(30) = 3.4
rate * oras = 3.4
0.05 * oras = 3.4
oras = 3.4 / 0.05 = 68 taon

Nangangatuwiran ako ng ganito: "ln(30) = 3.4, kaya sa 100% na paglago ay aabutin ng 3.4 na taon. Kung doblehin ko ang rate ng paglago, ang oras na kinakailangan ay mababawas sa kalahati."

100% para sa 3.4 na taon = 1.0 * 3.4 = 3.4
200% sa 1.7 taon = 2.0 * 1.7 = 3.4
50% para sa 6.8 taon = 0.5 * 6.8 = 3.4
5% sa 68 taon = .05 * 68 = 3.4.

Mahusay, tama? Ang natural na logarithm ay maaaring gamitin sa anumang rate ng interes at oras dahil ang kanilang produkto ay nananatiling pare-pareho. Maaari mong ilipat ang mga variable na halaga hangga't gusto mo.

Cool na halimbawa: Panuntunan ng pitumpu't dalawa

Ang Rule of Seventy-Two ay isang mathematical technique na nagbibigay-daan sa iyong tantiyahin kung gaano katagal bago dumoble ang iyong pera. Ngayon ay hihingin natin ito (oo!), At higit pa rito, susubukan nating maunawaan ang kakanyahan nito.

Gaano katagal upang madoble ang iyong pera sa 100% na interes na pinagsama-sama taun-taon?

Oops. Ginamit namin ang natural na logarithm para sa kaso ng patuloy na paglago, at ngayon ay pinag-uusapan mo ang tungkol sa taunang compounding? Hindi ba magiging hindi angkop ang formula na ito para sa ganitong kaso? Oo, mangyayari ito, ngunit para sa tunay na mga rate ng interes tulad ng 5%, 6% o kahit na 15%, ang pagkakaiba sa pagitan ng taunang compounding at patuloy na paglago ay magiging maliit. Kaya gumagana ang magaspang na pagtatantya, um, humigit-kumulang, kaya magpapanggap tayo na mayroon tayong ganap na tuluy-tuloy na accrual.

Ngayon ang tanong ay simple: Gaano ka kabilis magdoble sa 100% na paglago? ln(2) = 0.693. Ito ay tumatagal ng 0.693 mga yunit ng oras (mga taon sa aming kaso) upang doblehin ang aming halaga na may patuloy na pagtaas ng 100%.

Kaya, paano kung ang rate ng interes ay hindi 100%, ngunit sabihin 5% o 10%?

Madali lang! Dahil taya * oras = 0.693, dodoblehin namin ang halaga:

rate * oras = 0.693
oras = 0.693 / taya

Lumalabas na kung ang paglago ay 10%, aabutin ng 0.693 / 0.10 = 6.93 taon upang madoble.

Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, i-multiply natin ang magkabilang panig sa 100, pagkatapos ay maaari nating sabihin ang "10" sa halip na "0.10":

oras upang doble = 69.3 / taya, kung saan ang taya ay ipinahayag bilang isang porsyento.

Ngayon ay oras na para magdoble sa rate na 5%, 69.3 / 5 = 13.86 taon. Gayunpaman, ang 69.3 ay hindi ang pinaka-maginhawang dibidendo. Pumili tayo ng malapit na numero, 72, na madaling hatiin sa 2, 3, 4, 6, 8 at iba pang mga numero.

oras para magdoble = 72 / taya

na siyang tuntunin ng pitumpu't dalawa. Lahat ay sakop.

Kung kailangan mong maghanap ng oras para mag-triple, maaari mong gamitin ang ln(3) ~ 109.8 at makakuha ng

oras para triple = 110 / taya

Alin ang isa pang kapaki-pakinabang na tuntunin. Nalalapat ang "Panuntunan ng 72" sa paglaki ng mga rate ng interes, paglaki ng populasyon, kultura ng bacterial, at anumang bagay na lumalaki nang husto.

Anong susunod?

Sana ay may katuturan na ngayon sa iyo ang natural na logarithm - ipinapakita nito ang oras na kinakailangan para sa anumang numero na lumago nang husto. Sa tingin ko ito ay tinatawag na natural dahil ang e ay isang unibersal na sukatan ng paglago, kaya ln ay maituturing na isang unibersal na paraan ng pagtukoy kung gaano katagal ang paglaki.

Sa tuwing makikita mo ang ln(x), tandaan "ang oras na kinakailangan upang lumaki ang X beses". Sa isang paparating na artikulo ay ilalarawan ko ang e at ln nang magkasabay upang ang sariwang halimuyak ng matematika ay mapuno ng hangin.

Addendum: Natural logarithm ng e

Mabilis na pagsusulit: ano ang ln(e)?

sasabihin ng isang robot sa matematika: dahil tinukoy sila bilang kabaligtaran ng isa't isa, malinaw na ang ln(e) = 1.
taong maunawain: Ang ln(e) ay ang dami ng beses na kinakailangan para lumaki ang "e" na beses (mga 2.718). Gayunpaman, ang bilang e mismo ay isang sukatan ng paglago sa pamamagitan ng isang salik na 1, kaya ln(e) = 1.

Mag-isip ng mabuti.

Setyembre 9, 2013

Aralin at presentasyon sa mga paksa: "Mga natural na logarithm. Ang base ng natural na logarithm. Ang logarithm ng isang natural na numero"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa Integral online store para sa grade 11
Interactive na manwal para sa mga baitang 9–11 "Trigonometry"
Interactive na manwal para sa mga baitang 10–11 "Logarithms"

Ano ang natural logarithm

Guys, sa huling aralin natutunan namin ang isang bagong, espesyal na numero - e. Ngayon ay patuloy kaming gagana sa numerong ito.
Napag-aralan natin ang logarithm at alam natin na ang base ng logarithm ay maaaring maraming numero na mas malaki sa 0. Ngayon ay titingnan din natin ang logarithm na ang base ay ang numero e. Ang ganitong logarithm ay karaniwang tinatawag na natural logarithm. Mayroon itong sariling notasyon: $\ln(n)$ ay ang natural na logarithm. Ang entry na ito ay katumbas ng entry: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Ang mga exponential at logarithmic function ay inverses, at ang natural na logarithm ay ang inverse ng function: $y=e^x$.
Ang mga inverse function ay simetriko na may kinalaman sa tuwid na linya $y=x$.
I-plot natin ang natural logarithm sa pamamagitan ng paglalagay ng exponential function na may paggalang sa tuwid na linya $y=x$.

Kapansin-pansin na ang anggulo ng pagkahilig ng tangent sa graph ng function na $y=e^x$ sa punto (0;1) ay 45°. Kung gayon ang anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng natural na logarithm sa punto (1;0) ay magiging katumbas din ng 45°. Pareho sa mga tangent na ito ay magiging parallel sa linya $y=x$. I-diagram natin ang mga tangent:

Mga katangian ng function na $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Ay hindi kahit na o kakaiba.
3. Tumataas sa buong domain ng kahulugan.
4. Hindi limitado mula sa itaas, hindi limitado mula sa ibaba.
5. Walang pinakamalaking halaga, walang pinakamababang halaga.
6. Tuloy-tuloy.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Matambok pataas.
9. Naiiba kahit saan.

Sa kurso ng mas mataas na matematika ito ay napatunayan na ang derivative ng isang inverse function ay ang inverse ng derivative ng isang ibinigay na function.
Walang gaanong punto sa pagpunta sa patunay, isulat na lang natin ang formula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Halimbawa.
Kalkulahin ang halaga ng derivative ng function: $y=\ln(2x-7)$ sa puntong $x=4$.
Solusyon.
Sa pangkalahatan, ang ating function ay kinakatawan ng function na $y=f(kx+m)$; maaari nating kalkulahin ang mga derivatives ng naturang mga function.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Kalkulahin natin ang halaga ng derivative sa kinakailangang punto: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Sagot: 2.

Halimbawa.
Gumuhit ng tangent sa graph ng function na $y=ln(x)$ sa puntong $х=е$.
Solusyon.
Naaalala nating mabuti ang equation ng tangent sa graph ng isang function sa puntong $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Sunud-sunod naming kinakalkula ang mga kinakailangang halaga.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Ang tangent equation sa puntong $x=e$ ay ang function na $y=\frac(x)(e)$.
I-plot natin ang natural logarithm at ang tangent line.

Halimbawa.
Suriin ang function para sa monotonicity at extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Solusyon.
Ang domain ng kahulugan ng function na $D(y)=(0;+∞)$.
Hanapin natin ang derivative ng ibinigay na function:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Ang derivative ay umiiral para sa lahat ng x mula sa domain ng kahulugan, pagkatapos ay walang mga kritikal na puntos. Maghanap tayo ng mga nakatigil na puntos:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Ang puntong $х=-1$ ay hindi kabilang sa domain ng kahulugan. Pagkatapos ay mayroon kaming isang nakatigil na punto $x=1$. Hanapin natin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba:

Ang puntong $x=1$ ay ang pinakamababang punto, pagkatapos ay $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Sagot: Bumababa ang function sa segment (0;1], tumataas ang function sa ray $)