Dumilər üçün inteqrallar: necə həll olunur, hesablama qaydaları, izahat. F`(x)=f(x) və ya dF(x)=f(x)dx əgər F(x) funksiyası f(x) funksiyasının əks törəməsi adlanır.
Bəzi interval X. Əgər üçün istənilən xХ F"(x) = f(x), onda funksiyası F çağırdıantitörəməüçünfunksiyaları X intervalında f. Antiderivativüçünfunksiyaları tapmağa cəhd edə bilərsiniz...
Funksiya üçün antitörəmə
Sənəd... . Funksiya F(x) çağırdıantitörəməüçünfunksiyaları(a;b) intervalında f(x), əgər üçün bütün x(a;b) F(x) = f(x) bərabərliyinə malikdir. Misal üçün, üçünfunksiyaları x2 antitörəmə olacaq funksiyası x3...
İnteqral Hesablama Tədris Təlimatının Əsasları
Dərslik... ; 5. İnteqralı tapın. ; B) ; C) ; D) ; 6. Funksiyaçağırdıantitörəmə Kimə funksiyaları dəstdə, əgər: üçün hər kəs; bir anda; üçün hər kəs; müəyyən... intervalda. Tərif 1. Funksiyaçağırdıantitörəməüçünfunksiyalarıçoxları üzrə...
Antitörəmə Qeyri-müəyyən inteqral
Sənədİnteqrasiya. Antiderivativ. Davamlı funksiyası F(x) çağırdıantitörəməüçünfunksiyaları f (x) X intervalında, əgər üçün hər bir F’ (x) = f (x). NÜMUNƏ Funksiya F(x) = x 3-dür antitörəməüçünfunksiyaları f(x) = 3x...
SSRİ XÜSUSİ TƏHSİLİ Ali Təhsil üzrə Tədris-Metodiki İdarəsi tərəfindən təsdiq edilmişdir Mühəndis-texniki ixtisasların qiyabi təhsil alan tələbələri üçün ALİ RİYAZİYYAT METODIK TƏLİMATLARI VƏ NƏZARƏT TOPŞURLARI (PROQRAMLI)
TəlimatlarSuallar üçünözünü sınayın antitörəməfunksiyaları. Aqreqatın həndəsi mənasını göstərin primitivfunksiyaları. Nə çağırdı qeyri-müəyyən...
Gördük ki, törəmənin çoxsaylı istifadəsi var: törəmə hərəkət sürətidir (yaxud daha ümumi olaraq hər hansı prosesin sürəti); törəmə funksiyanın qrafikinə toxunan meylin mailliyidir; törəmədən istifadə edərək, bir funksiyanı monotonluq və ekstremallıq üçün yoxlaya bilərsiniz; törəmə optimallaşdırma problemlərini həll etməyə kömək edir.
Amma in həqiqi həyat Tərs məsələləri də həll etmək lazımdır: məsələn, məlum hərəkət qanunundan sürətin tapılması məsələsi ilə yanaşı, məlum sürətdən hərəkət qanununun bərpası məsələsi ilə də qarşılaşırıq. Bu problemlərdən birini nəzərdən keçirək.
Misal 1. Maddi nöqtə düz xəttlə hərəkət edir, onun t zamanındakı sürəti u = tg düsturu ilə verilir. Hərəkət qanununu tapın.
Həll.İstənilən hərəkət qanunu s = s(t) olsun. Məlumdur ki, s"(t) = u"(t). Bu o deməkdir ki, problemi həll etmək üçün seçmək lazımdır funksiyası s = s(t), törəməsi tg-ə bərabərdir. Bunu təxmin etmək çətin deyil
Dərhal qeyd edək ki, misal düzgün, lakin natamam həll olunub. Biz tapdıq ki, əslində problemin sonsuz sayda həlli var: formanın istənilən funksiyası 
ixtiyari sabit hərəkət qanunu kimi xidmət edə bilər, çünki
Tapşırığı daha konkret etmək üçün ilkin vəziyyəti düzəltmək lazım idi: müəyyən bir zamanda, məsələn, t=0-da hərəkət edən nöqtənin koordinatını göstərin. Tutaq ki, s(0) = s 0, onda bərabərlikdən s(0) = 0 + C, yəni S 0 = C alırıq. İndi hərəkət qanunu unikal şəkildə müəyyən edilmişdir:
Riyaziyyatda qarşılıqlı tərs əməllərə müxtəlif adlar verilir və xüsusi qeydlər icad edilir: məsələn, kvadratlaşdırma (x 2) və çıxarma kvadrat kök sine(sinх) və arcsine(arcsin x) və s. Verilmiş funksiyanın törəməsinin tapılması prosesi diferensiallaşma adlanır və tərs əməliyyat, yəni. verilmiş törəmədən funksiyanın tapılması prosesi - inteqrasiya.
"Törəmə" termininin özünü "gündəlik həyatda" əsaslandırmaq olar: y - f(x) funksiyası yeni y"= f"(x) funksiyasını "doğur". y = f(x) funksiyası kimi çıxış edir. "valideyn", lakin riyaziyyatçılar, təbii olaraq, onu "valideyn" və ya "istehsalçı" adlandırmırlar; deyirlər ki, bu, y"=f"(x) funksiyası ilə əlaqədar olaraq, əsas görüntüdür və ya qısa, antiderivativ.
Tərif 1. y = F(x) funksiyası verilmiş X intervalında y = f(x) funksiyası üçün antitörəmə adlanırsa, əgər X-dən bütün x üçün F"(x)=f(x) bərabərliyi yerinə yetirilirsə.
Təcrübədə X intervalı adətən göstərilmir, lakin nəzərdə tutulur (funksiyanın tərifinin təbii sahəsi kimi).
Budur bəzi nümunələr:
1) y = x 2 funksiyası y = 2x funksiyası üçün əks törəmədir, çünki bütün x üçün (x 2)" = 2x bərabərliyi doğrudur.
2) y - x 3 funksiyası y-3x 2 funksiyası üçün əks törəmədir, çünki bütün x üçün (x 3)" = 3x 2 bərabərliyi doğrudur.
3) y-sinх funksiyası y = cosx funksiyası üçün əks törəmədir, çünki bütün x üçün (sinx)" = cosx bərabərliyi doğrudur.
4) Bütün x > 0 üçün bərabərlik doğru olduğu üçün funksiya intervalda olan funksiya üçün əks törəmədir.
Ümumiyyətlə, törəmələrin tapılması üçün düsturları bilməklə, antitörəmələrin tapılması üçün düsturlar cədvəlini tərtib etmək çətin deyil.
Ümid edirik ki, bu cədvəlin necə tərtib edildiyini başa düşəcəksiniz: ikinci sütunda yazılan funksiyanın törəməsi birinci sütunun müvafiq sətirində yazılan funksiyaya bərabərdir (yoxlayın, tənbəl olmayın, çox faydalıdır). Məsələn, y = x 5 funksiyası üçün təyin edəcəyiniz antitörəmə funksiyadır (cədvəlin dördüncü sırasına baxın).
Qeydlər: 1. Aşağıda teoremi sübut edəcəyik ki, y = F(x) y = f(x) funksiyası üçün əks törəmədirsə, y = f(x) funksiyasının sonsuz sayda əks törəmələri var və onların hamısı y = formasına malikdir. F(x ) + C. Buna görə də C terminini cədvəlin ikinci sütununun hər yerinə əlavə etmək daha düzgün olardı, burada C ixtiyari real ədəddir.
2. Qısalıq üçün bəzən “y = F(x) funksiyası y = f(x) funksiyasının əks törəməsidir” ifadəsi əvəzinə F(x) f(x) funksiyasının əks törəməsidir deyirlər. .”
2. Antiderivativlərin tapılması qaydaları
Antiderivativləri taparkən, eləcə də törəmələri taparkən təkcə düsturlardan deyil (onlar səh. 196-da cədvəldə verilmişdir), həm də bəzi qaydalardan istifadə olunur. Onlar birbaşa törəmələrin hesablanması üçün müvafiq qaydalarla bağlıdır.
Biz bilirik ki, cəminin törəməsi onun törəmələrinin cəminə bərabərdir. Bu qayda antiderivativləri tapmaq üçün müvafiq qayda yaradır.
Qayda 1. Cəmin əks törəməsi antitörəmələrin cəminə bərabərdir.
Diqqətinizi bu formulun bir qədər “yüngüllüyünə” cəlb edirik. Əslində, teoremi tərtib etmək lazımdır: y = f(x) və y = g(x) funksiyalarının X intervalında müvafiq olaraq y-F(x) və y-G(x) antitörəmələri varsa, onda y funksiyalarının cəmidir. = f(x)+g(x) X intervalında antiderivativə malikdir və bu əks törəmə y = F(x)+G(x) funksiyasıdır. Ancaq adətən qaydaları tərtib edərkən (teoremləri deyil) yalnız buraxırlar açar sözlər- bu qaydanın praktikada tətbiqini daha rahat edir
Misal 2. y = 2x + cos x funksiyası üçün əks törəməni tapın.
Həll. 2x üçün əks törəmə x"; cox üçün antitörəmə sin x-dir. Bu o deməkdir ki, y = 2x + cos x funksiyası üçün əks törəmə y = x 2 + sin x funksiyası (və ümumiyyətlə formanın istənilən funksiyası) olacaqdır. Y = x 1 + sinx + C) .
Bilirik ki, daimi amil törəmənin işarəsindən çıxarıla bilər. Bu qayda antiderivativləri tapmaq üçün müvafiq qayda yaradır.
Qayda 2. Daimi amili antitörəmə işarəsindən çıxarmaq olar.
Misal 3.
Həll. a) sin x üçün əks törəmə -soz x-dir; Bu o deməkdir ki, y = 5 sin x funksiyası üçün əks törəmə funksiyası y = -5 cos x funksiyası olacaqdır.
b) cos x üçün antitörəmə sin x-dir; Bu o deməkdir ki, funksiyanın əks törəməsi funksiyadır
c) x 3 üçün əks törəmə x üçün əks törəmə, y = 1 funksiyası üçün əks törəmə y = x funksiyasıdır. Antitörəmələri tapmaq üçün birinci və ikinci qaydalardan istifadə edərək, y = 12x 3 + 8x-1 funksiyası üçün əks törəmənin funksiya olduğunu tapırıq.
Şərh. Məlum olduğu kimi, məhsulun törəməsi törəmələrin hasilinə bərabər deyil (məhsulu diferensiallaşdırmaq qaydası daha mürəkkəbdir) və hissənin törəməsi törəmələrin bölünməsinə bərabər deyil. Odur ki, hasilin əks törəməsinin və ya iki funksiyanın bölünməsinin əks törəməsinin tapılması qaydaları yoxdur. Ehtiyatlı ol!
Antiderivativləri tapmaq üçün başqa bir qayda əldə edək. y = f(kx+m) funksiyasının törəməsinin düsturla hesablandığını bilirik
Bu qayda antiderivativləri tapmaq üçün müvafiq qayda yaradır.
Qayda 3.Əgər y = F(x) y = f(x) funksiyası üçün əks törəmədirsə, y=f(kx+m) funksiyası üçün əks törəmə funksiyadır.
Həqiqətən,
Bu o deməkdir ki, y = f(kx+m) funksiyası üçün əks törəmədir.
Üçüncü qaydanın mənası belədir. Əgər y = f(x) funksiyasının əks törəməsinin y = F(x) funksiyası olduğunu bilirsinizsə və y = f(kx+m) funksiyasının əks törəməsini tapmaq lazımdırsa, belə davam edin: götürün. eyni F funksiyası, lakin x arqumentinin yerinə kx+m ifadəsini əvəz edin; əlavə olaraq funksiya işarəsindən əvvəl “düzəliş əmsalı” yazmağı unutmayın
Misal 4. Verilmiş funksiyalar üçün əks törəmələri tapın:
Həll, a) sin x üçün əks törəmə -soz x-dir; Bu o deməkdir ki, y = sin2x funksiyası üçün antitörəmə funksiya olacaq
b) cos x üçün antitörəmə sin x-dir; Bu o deməkdir ki, funksiyanın əks törəməsi funksiyadır
c) x 7 üçün əks törəmə o deməkdir ki, y = (4-5x) 7 funksiyası üçün əks törəmə funksiya olacaq.
3. Qeyri-müəyyən inteqral
Yuxarıda qeyd etdik ki, verilmiş y = f(x) funksiyası üçün əks törəmənin tapılması məsələsinin birdən çox həlli var. Bu məsələni daha ətraflı müzakirə edək.
Sübut. 1. X intervalında y = f(x) funksiyasının əks törəməsi y = F(x) olsun. Bu o deməkdir ki, X-dən bütün x üçün x"(x) = f(x) bərabərliyi yerinə yetirilir. y = F(x)+C şəklində olan istənilən funksiyanın törəməsini tapın:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Beləliklə, (F(x)+C) = f(x). Bu o deməkdir ki, y = F(x) + C y = f(x) funksiyası üçün əks törəmədir.
Beləliklə, biz sübut etdik ki, y = f(x) funksiyasının y=F(x) əks törəməsi varsa, o zaman (f = f(x) funksiyasının sonsuz sayda əks törəmələri var, məsələn, y = formalı istənilən funksiya. F(x) +C antitörəmədir.
2. İndi sübut edək ki, göstərilən funksiya növü bütün əks törəmələr toplusunu tükəndirir.
X intervalında Y = f(x) funksiyası üçün y=F 1 (x) və y=F(x) iki əks törəmə olsun. Bu o deməkdir ki, X intervalından bütün x üçün aşağıdakı əlaqələr saxlanılır: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
y = F 1 (x) -.F(x) funksiyasını nəzərdən keçirək və onun törəməsini tapaq: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Məlumdur ki, əgər funksiyanın X intervalında törəməsi eyni şəkildə sıfıra bərabərdirsə, onda funksiya X intervalında sabitdir (35-ci bənddən 3-cü teoremə bax). Bu o deməkdir ki, F 1 (x) - F (x) = C, yəni. Fx) = F(x)+C.
Teorem sübut edilmişdir.
Misal 5. Sürətin zamanla dəyişməsi qanunu verilmişdir: v = -5sin2t. t=0 zamanında nöqtənin koordinatının 1,5 ədədinə bərabər olduğu (yəni s(t) = 1,5) olduğu məlumdursa, s = s(t) hərəkət qanununu tapın.
Həll. Sürət zaman funksiyası kimi koordinatın törəməsi olduğundan, ilk növbədə sürətin əks törəməsini tapmalıyıq, yəni. v = -5sin2t funksiyası üçün əks törəmə. Belə antitörəmələrdən biri funksiyadır və bütün antiderivativlər çoxluğu formaya malikdir:
C sabitinin xüsusi qiymətini tapmaq üçün s(0) = 1,5 olan ilkin şərtlərdən istifadə edirik. t=0, S = 1.5 dəyərlərini düsturla (1) əvəz edərək əldə edirik:
C-nin tapılmış qiymətini (1) düsturu ilə əvəz edərək, bizi maraqlandıran hərəkət qanununu əldə edirik:
Tərif 2.Əgər y = f(x) funksiyası X intervalında y = F(x) antitörəmə malikdirsə, onda bütün əks törəmələr çoxluğu, yəni. y = F(x) + C şəklində olan funksiyalar çoxluğuna y = f(x) funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və belə işarə olunur:
(oxu: “x de x-dən qeyri-müəyyən inteqral ef”).
Növbəti paraqrafda bu təyinatın gizli mənasının nə olduğunu öyrənəcəyik.
Bu bölmədə mövcud olan antiderivativlər cədvəlinə əsasən, biz əsas qeyri-müəyyən inteqralların cədvəlini tərtib edəcəyik:
Antiderivativləri tapmaq üçün yuxarıda göstərilən üç qaydaya əsaslanaraq, müvafiq inteqrasiya qaydalarını tərtib edə bilərik.
Qayda 1. Funksiyaların cəminin inteqralı məbləğinə bərabərdir Bu funksiyaların inteqralları:
Qayda 2. Daimi amil inteqral işarəsindən çıxarıla bilər:
Qayda 3.Əgər
Misal 6. Qeyri-müəyyən inteqralları tapın:
Həll, a) Birinci və ikinci inteqrasiya qaydalarından istifadə edərək, əldə edirik:
İndi 3-cü və 4-cü inteqrasiya düsturlarından istifadə edək:
Nəticədə əldə edirik:
b) Üçüncü inteqrasiya qaydasından və 8-ci düsturdan istifadə edərək əldə edirik:
c) Verilmiş inteqralı birbaşa tapmaq üçün nə uyğun düstur, nə də müvafiq qayda var. Belə hallarda əvvəlcədən icra edilir şəxsiyyət çevrilmələri inteqral işarəsi altında olan ifadə.
Dərəcəni azaltmaq üçün triqonometrik düsturdan istifadə edək:
Sonra ardıcıl olaraq tapırıq:
A.G. Мордкович cəbr 10 sinif
Riyaziyyatda təqvim-tematik planlaşdırma, video riyaziyyatda onlayn, məktəbdə riyaziyyat
Qeyri-müəyyən inteqral
Diferensial hesablamanın əsas vəzifəsi verilmiş funksiyanın törəməsi və ya diferensialını hesablamaqdan ibarət idi. Tədqiqatına davam etdiyimiz inteqral hesablama tərs məsələni həll edir, yəni funksiyanın törəməsi və ya diferensialından özünü tapmaq. Yəni sahib olmaq dF(x)= f(x)d (7.1) və ya F ′(x)= f(x),
Harada f(x)- məlum funksiya, funksiyanı tapmaq lazımdır F(x).
Tərif:F(x) funksiyası çağırılır antitörəmə Bu seqmentin bütün nöqtələrində bərabərlik olarsa, seqmentdə f(x) funksiyası: F′(x) = f(x) və ya dF(x)= f(x)d.
Misal üçün, funksiya üçün antitörəmə funksiyalarından biridir f(x)=3x 2 olacaq F(x)= x 3, çünki ( x 3)′=3x 2. Amma funksiya üçün prototip f(x)=3x 2 funksiyaları da olacaq və , çünki 
.
Belə ki, bu funksiya f(x)=3x 2 sonsuz sayda primitivlərə malikdir, hər biri yalnız sabit bir terminlə fərqlənir. Göstərək ki, bu nəticə ümumi halda da özünü göstərir.
Teorem Müəyyən intervalda müəyyən edilmiş eyni funksiyanın iki fərqli antitörəməsi bu intervalda bir-birindən sabit hədlə fərqlənir.
Sübut
Qoy funksiya olsun f(x) intervalla müəyyən edilir (a¸b) Və F 1 (x) Və F 2 (x) - antiderivativlər, yəni. F 1 ′(x)= f(x) və F 2 ′(x)= f(x).
Sonra F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C
Buradan, F 2 (x) = F 1 (x) + C
Harada İLƏ - sabit (burada Laqranj teoreminin nəticəsi istifadə olunur).
Beləliklə, teorem sübuta yetirilir.
Həndəsi illüstrasiya. Əgər saat = F 1 (x) Və saat = F 2 (x) – eyni funksiyanın antitörəmələri f(x), sonra ümumi absis olan nöqtələrdə onların qrafiklərinə toxunan X bir-birinə paralel (Şəkil 7.1).
Bu halda, ox boyunca bu əyrilər arasındakı məsafə OU sabit qalır F 2 (x) - F 1 (x) = C , yəni bu əyrilər bəzi anlayış bir-birinə "paralel".
Nəticə .
Bəzi antitörəmə əlavə etmək F(x) bu funksiya üçün f(x), interval üzrə müəyyən edilir X, bütün mümkün sabitlər İLƏ, funksiya üçün bütün mümkün antiderivativləri alırıq f(x).Belə ki, ifadə F(x)+C , harada və F(x) – funksiyanın bəzi antitörəmələri f(x)üçün bütün mümkün antiderivativləri ehtiva edir f(x).
Misal 1. Funksiyaların olub olmadığını yoxlayın funksiyasının antitörəmələri
Həll:
Cavab verin: funksiya üçün antitörəmələr funksiyalar olacaq Və
Tərif: Əgər F(x) funksiyası f(x) funksiyasının hansısa əks törəməsidirsə, onda F(x)+ C bütün əks törəmələr çoxluğu adlanır. qeyri-müəyyən inteqralı f(x) və işarələyin:
∫f(х)dх.
A-prior:
f(x) - inteqral funksiyası,
f(х)dх - inteqral ifadəsi
Buradan belə nəticə çıxır ki, qeyri-müəyyən inteqral ümumi formalı, diferensialı inteqrana bərabər, törəməsi isə dəyişənə nisbətən olan funksiyadır. X bütün nöqtələrdə inteqrana bərabərdir.
Həndəsi baxımdan qeyri-müəyyən inteqral əyrilər ailəsidir, hər biri özünə paralel əyrilərdən birini yuxarı və ya aşağı, yəni ox boyunca sürüşdürməklə əldə edilir. OU(Şəkil 7.2).
Müəyyən funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralının hesablanması əməliyyatı adlanır inteqrasiya bu funksiya.
Qeyd edək ki, elementar funksiyanın törəməsi həmişə elementar funksiyadırsa, elementar funksiyanın əks törəməsi sonlu sayda elementar funksiya ilə təmsil olunmaya bilər.
İndi nəzərdən keçirək qeyri-müəyyən inteqralın xassələri.
Tərif 2-dən belədir:
1. Qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi inteqrada bərabərdir, yəni əgər F′(x) = f(x) , Bu
2. Qeyri-müəyyən inteqralın diferensialı inteqrana bərabərdir
. (7.4)
Diferensial və mülkiyyət tərifindən (7.3)
3. Bəzi funksiyanın diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı sabit həddə qədər bu funksiyaya bərabərdir, yəni. 
(7.5)
Antiderivativ funksiyaları tapmaq üçün üç əsas qayda var. Onlar müvafiq fərqləndirmə qaydalarına çox oxşardırlar.
Qayda 1
Əgər F bəzi f funksiyası üçün antitörəmədirsə, G isə bəzi g funksiyası üçün antitörəmədirsə, onda F + G f + g üçün antitörəmə olacaqdır.
Antiderivativin tərifinə görə, F' = f. G' = g. Və bu şərtlər yerinə yetirildiyi üçün, funksiyaların cəmi üçün törəmənin hesablanması qaydasına uyğun olaraq əldə edəcəyik:
(F + G)' = F' + G' = f + g.
Qayda 2
Əgər F bəzi f funksiyası üçün antitörəmədirsə, k isə müəyyən sabitdir. Onda k*F k*f funksiyasının əks törəməsidir. Bu qayda törəmənin hesablanması qaydasından irəli gəlir mürəkkəb funksiya.
Bizdə var: (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Qayda 3
Əgər F(x) f(x) funksiyası üçün hansısa antitörəmədirsə və k və b bəzi sabitlərdirsə və k sıfıra bərabər deyilsə, onda (1/k)*F*(k*x+b) olacaq. f (k*x+b) funksiyası üçün antitörəmə.
Bu qayda mürəkkəb funksiyanın törəməsinin hesablanması qaydasından irəli gəlir:
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Bu qaydaların necə tətbiq olunduğuna dair bir neçə nümunəyə baxaq:
Misal 1. Tapın ümumi forma f(x) = x^3 +1/x^2 funksiyasının əks törəmələri. x^3 funksiyası üçün əks törəmələrdən biri (x^4)/4 funksiyası, 1/x^2 funksiyası üçün isə əks törəmələrdən biri -1/x funksiyası olacaqdır. Birinci qaydadan istifadə edərək, əldə edirik:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
Misal 2. f(x) = 5*cos(x) funksiyasının əks törəmələrinin ümumi formasını tapaq. cos(x) funksiyası üçün antitörəmələrdən biri sin(x) funksiyası olacaqdır. İndi ikinci qaydadan istifadə etsək, əldə edəcəyik:
F(x) = 5*sin(x).
Misal 3. y = sin(3*x-2) funksiyasının əks törəmələrindən birini tapın. sin(x) funksiyası üçün antiderivativlərdən biri -cos(x) funksiyası olacaqdır. İndi üçüncü qaydadan istifadə etsək, antitörəmə üçün bir ifadə alırıq:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
Misal 4. f(x) = 1/(7-3*x)^5 funksiyasının əks törəməsini tapın
1/x^5 funksiyasının əks törəməsi (-1/(4*x^4)) funksiyası olacaqdır. İndi üçüncü qaydadan istifadə edərək əldə edirik.
Prototip. Gözəl söz.) Birincisi, bir az rusca. Bu söz tam olaraq belə tələffüz olunur, yox "prototip" , göründüyü kimi. Antiderivativ bütün inteqral hesablamaların əsas anlayışıdır. İstənilən inteqrallar - qeyri-müəyyən, müəyyən (onlarla bu semestrdə tanış olacaqsınız), həmçinin ikiqat, üçlü, əyri, səthi (və bunlar artıq ikinci ilin əsas simvollarıdır) - bunun üzərində qurulur. əsas konsepsiya. Ustad etmək üçün tam mənadadır. Get.)
Antitörəmə anlayışı ilə tanış olmamışdan əvvəl gəlin ümumi konturən ümumi olanı xatırlayaq törəmə. Limitlərin, arqument artımlarının və başqa şeylərin darıxdırıcı nəzəriyyəsinə girmədən deyə bilərik ki, törəmə (və ya fərqləndirmə) üzərində sadəcə riyazi əməliyyatdır funksiyası. Hamısı budur. İstənilən funksiya alınır (məsələn, f(x) = x2) Və By müəyyən qaydalar çevrilir yeni xüsusiyyət. Və bu birdir yeni xüsusiyyət və çağırılır törəmə.
Bizim vəziyyətimizdə diferensiallaşmadan əvvəl funksiya var idi f(x) = x2, və fərqləndirmədən sonra artıq oldu digər funksiya f’(x) = 2x.
törəmə– çünki bizim yeni funksiyamız f’(x) = 2x baş verdi funksiyasından f(x) = x2. Fərqləndirmə əməliyyatı nəticəsində. Və konkret olaraq ondan, başqa bir funksiyadan deyil ( x 3, Misal üçün).
Kobud desək, f(x) = x2- bu anadır və f’(x) = 2x- onun sevimli qızı.) Bu başa düşüləndir. Davam et.
Riyaziyyatçılar narahat insanlardır. Hər hərəkət üçün bir reaksiya tapmağa çalışırlar. :) Toplama var - çıxma da var. Çoxalma da var, bölmə də var. Bir gücə yüksəltmək kökü çıxarmaqdır. Sinus - arksinus. Tamamilə eyni fərqləndirmə- bu o deməkdir ki, var... inteqrasiya.)
İndi bunu qoyaq maraqlı tapşırıq. Məsələn, belə bir sadə funksiyamız var f(x) = 1. Və bu suala cavab verməliyik:
NƏ funksiyasının törəməsi bizə funksiyanı verirf(x) = 1?
Başqa sözlə desək, qızı görəndə DNT analizindən istifadə edərək onun anasının kim olduğunu anlayın. :) Bəs hansından? orijinal funksiyası (gəlin onu F(x) adlandıraq) bizim törəmə f(x) = 1 funksiyası? Və ya daxil riyazi forma, hansı üçün F(x) funksiyası aşağıdakı bərabərliyə malikdir:
F’(x) = f(x) = 1?
Elementar nümunə. Çalışdım.) Sadəcə olaraq F(x) funksiyasını seçirik ki, bərabərlik işləsin. :) Yaxşı, tapdın? Bəli əminəm! F(x) = x. Çünki:
F’(x) = x’ = 1 = f(x).
Təbii ki, tapılan ana F(x) = x Mən bunu bir şey adlandırmalıyam, bəli.) Mənimlə tanış ol!
Funksiya üçün antitörəməf(x) belə bir funksiya deyilirF(x), törəməsi bərabər olanf(x), yəni. bunun üçün bərabərlik qorunurF’(x) = f(x).
Hamısı budur. Daha elmi fəndlər yoxdur. Ciddi tərifdə əlavə bir ifadə əlavə olunur "X intervalında". Ancaq hələlik bu incəlikləri araşdırmayacağıq, çünki bizim əsas vəzifəmiz bu çox primitivləri tapmağı öyrənməkdir.
Bizim vəziyyətimizdə funksiyanın olduğu ortaya çıxır F(x) = x edir antitörəmə funksiyası üçün f(x) = 1.
Niyə? Çünki F’(x) = f(x) = 1. x-in törəməsi birdir. Etiraz yoxdur.)
“Prototip” termini ümumi dildə “əcdad”, “valideyn”, “əcdad” deməkdir. Dərhal əzizimizi xatırlayırıq və sevilən.) Və antiderivativin özünün axtarışı ilkin funksiyanın bərpasıdır məlum törəməsi ilə. Başqa sözlə, bu hərəkət fərqləndirmənin tərsi. Hamısı budur! Bu maraqlı prosesin özü də olduqca elmi adlanır - inteqrasiya. Amma haqqında inteqrallar- Sonra. Səbir, dostlar!)
Unutmayın:
İnteqrasiya funksiya üzərində riyazi əməliyyatdır (diferensiasiya kimi).
İnteqrasiya fərqləndirmənin tərs əməliyyatıdır.
Antiderivativ inteqrasiyanın nəticəsidir.
İndi tapşırığı çətinləşdirək. İndi funksiya üçün antitörəmə tapaq f(x) = x. Yəni tapacağıq belə bir funksiya F(x) , üçün onun törəməsi X-ə bərabər olacaq:
F'(x) = x
Törəmələrlə tanış olan hər kəs, ehtimal ki, ağlına belə bir şey gələcək:
(x 2)’ = 2x.
Yaxşı, törəmələr cədvəlini xatırlayanlara hörmət və ehtiram!) Doğrudur. Ancaq bir problem var. Orijinal funksiyamız f(x) = x, A (x 2)’ = 2 x. iki X. Və fərqləndirmədən sonra biz almalıyıq sadəcə x. yaxşı deyil. Amma…
Siz də, mən də savadlı xalqıq. Sertifikatlarımızı aldıq.) Və məktəbdən bilirik ki, istənilən bərabərliyin hər iki tərəfini eyni ədədə vurub bölmək olar (əlbəttə, sıfırdan başqa)! Bu belədir təşkil edilmişdir. Gəlin bu fürsəti öz xeyrimizə həyata keçirək.)
Təmiz X-in sağda qalmasını istəyirik, elə deyilmi? Amma ikisi yolumuza mane olur... Beləliklə, törəmə (x 2)’ = 2x nisbətini götürürük və bölürük. onun hər iki hissəsi bu ikisinə:
Deməli, artıq bir şey aydınlaşır. Davam et. Biz bilirik ki, istənilən sabit ola bilər törəməni işarədən çıxarın. Bunun kimi:
Riyaziyyatdakı bütün düsturlar həm soldan sağa, həm də əksinə - sağdan sola işləyir. Bu o deməkdir ki, eyni müvəffəqiyyətlə istənilən sabit ola bilər törəmə işarəsi altına daxil edin:
Bizim vəziyyətimizdə, ikisini məxrəcdə (və ya eyni şeydir, əmsal 1/2) törəmə işarəsi altında gizlədirik:
Və indi diqqətlə Gəlin qeydimizə daha yaxından nəzər salaq. Biz nə görürük? törəməsi olduğunu ifadə edən bərabərlik görürük bir şey(Bu bir şey- mötərizədə) X-ə bərabərdir.
Nəticə bərabərlik yalnız funksiya üçün istədiyiniz antitörəmə deməkdir f(x) = x funksiyasını yerinə yetirir F(x) = x 2 /2 . Vuruşun altında mötərizədə olan. Birbaşa əks törəmə mənasında.) Yaxşı, nəticəni yoxlayaq. Törəməni tapaq:
Əla! Orijinal funksiya əldə edilir f(x) = x. Rəqs etdikləri şeydən qayıtdılar. Bu o deməkdir ki, antiderivativimiz düzgün tapılıb.)
Və əgər f(x) = x2? Onun antiderivativi nəyə bərabərdir? Problem deyil! Siz və mən (yenidən fərqləndirmə qaydalarından) bilirik ki:
3x 2 = (x 3)'
VƏ, yəni,
Anladım? İndi biz özümüz üçün görünməz şəkildə hər hansı bir antitörəmə saymağı öyrəndik güc funksiyası f(x)=x n. Ağılda.) İlkin göstəricini götürün n, onu bir artırın və kompensasiya olaraq bütün strukturu bölün n+1:
Əldə edilən düstur, yeri gəlmişkən, düzgündür üçün deyil təbii göstərici dərəcə n, həm də hər hansı digər üçün – mənfi, kəsr. Bu, sadə olanlardan antiderivativləri tapmağı asanlaşdırır fraksiyalar Və kökləri.
Misal üçün:
Təbii ki, n ≠ -1 , əks halda düsturun məxrəci sıfır olur və düstur mənasını itirir.) Bu barədə xüsusi hal n = -1 bir az sonra.)
Qeyri-müəyyən inteqral nədir? İnteqrallar cədvəli.
Tutaq ki, funksiyanın törəməsi nəyə bərabərdir F(x) = x? Yaxşı, bir, bir - narazı cavablar eşidirəm... Düzdü. Vahid. Amma... Funksiya üçün G(x) = x+1 törəmə də birinə bərabər olacaq:
Həmçinin, törəmə funksiya üçün vahidə bərabər olacaqdır x+1234 , və funksiya üçün x-10 , və formanın hər hansı digər funksiyası üçün x+C , Harada İLƏ - istənilən sabit. Çünki hər hansı bir sabitin törəməsi sıfıra bərabərdir və sıfırı toplamaq/çıxmaq heç kəsi soyuq və ya isti hiss etmir.)
Bu, qeyri-müəyyənliklə nəticələnir. Belə çıxır ki, funksiya üçün f(x) = 1 prototip kimi xidmət edir sadəcə funksiya deyil F(x) = x , həm də funksiyadır F 1 (x) = x+1234 və funksiyası F 2 (x) = x-10 və s!
Bəli. Məhz belədir.) Hər biri üçün ( intervalda davamlıdır) funksiyanın yalnız bir antitörəməsi yoxdur, lakin sonsuz sayda - bütün ailə! Yalnız bir ana və ya ata deyil, bütün ailə ağacı, bəli.)
Amma! Bütün ibtidai qohumlarımızın ortaq bir cəhəti var: mühüm əmlak. Ona görə də onlar qohumdurlar.) Mülk o qədər vacibdir ki, inteqrasiya texnikalarının təhlili prosesində biz onu bir dəfədən çox xatırlayacağıq. Və biz bunu uzun müddət xatırlayacağıq.)
Budur, bu əmlak:
İstənilən iki antiderivativ F 1 (x) VəF 2 (x) eyni funksiyadanf(x) sabitlə fərqlənir:
F 1 (x) - F 2 (x) = S.
Kim sübutla maraqlanırsa, ədəbiyyatı və ya mühazirə qeydlərini öyrənin.) Yaxşı, belə olsun, mən bunu sübut edəcəm. Xoşbəxtlikdən, burada sübut elementardır, bir addımda. Gəlin bərabərliyi götürək
F 1 (x) - F 2 (x) = C
Və Gəlin onun hər iki hissəsini fərqləndirək. Yəni axmaqcasına vuruşlar əlavə edirik:
Hamısı budur. Necə deyərlər, CHT. :)
Bu əmlak nə deməkdir? Və iki fərqli antiderivativ olması haqqında eyni funksiyadan f(x) ilə fərqlənə bilməz X ilə bir növ ifadə . Yalnız ciddi şəkildə sabit! Başqa sözlə, bir növ cədvəlimiz varsa orijinallardan biridir(F(x) olsun), sonra qrafiklər hər kəs Antiderivativlərimiz F(x) qrafikinin y oxu boyunca paralel köçürülməsi ilə qurulur.
Nümunə funksiyasından istifadə edərək bunun necə göründüyünü görək f(x) = x. Onun bütün primitivləri, artıq bildiyimiz kimi, ümumi formaya malikdir F(x) = x 2 /2+C . Şəkildə belə görünür sonsuz sayda parabola, sabitin qiymətindən asılı olaraq OY oxu boyunca yuxarı və ya aşağı sürüşərək “əsas” y = x 2 /2 parabolasından alınır. İLƏ.
Funksiyanın məktəb qrafikini xatırlayın y=f(x)+a cədvəl dəyişikliyi y=f(x) Y oxu boyunca “a” vahidləri ilə?) Eyni şey burada.)
Üstəlik, diqqət yetirin: parabolalarımız heç bir yerdə kəsişməyin! Bu təbiidir. Axı, iki müxtəlif funksiyalar y 1 (x) və y 2 (x) qaçılmaz olaraq uyğun olacaq iki müxtəlif mənalar sabitlər – C 1 Və C 2.
Beləliklə, y 1 (x) = y 2 (x) tənliyinin heç vaxt həlli yoxdur:
C 1 = C 2
x ∊ ∅ , çünki C 1 ≠ C2
İndi biz tədricən inteqral hesablamanın ikinci təməl daşı konsepsiyasına yaxınlaşırıq. İndicə müəyyən etdiyimiz kimi, istənilən f(x) funksiyası üçün bir-birindən sabitlə fərqlənən sonsuz F(x) + C antitörəmələri çoxluğu mövcuddur. Bu sonsuz çoxluğun da öz xüsusi adı var.) Yaxşı, lütfən, sevin və lütf edin!
Qeyri-müəyyən inteqral nədir?
Funksiya üçün bütün antitörəmələrin çoxluğu f(x) adlanır qeyri-müəyyən inteqral funksiyasındanf(x).
Bütün tərif budur.)
"Qeyri-müəyyən" - çünki eyni funksiya üçün bütün antiderivativlər çoxluğudur sonsuz. Çox fərqli seçimlər.)
"İnteqral" – bu qəddar sözün təfərrüatlı dekodlanması ilə növbəti böyük hissədə tanış olacağıq. müəyyən inteqrallar . Hələlik kobud formada bir şeyi inteqral kimi nəzərdən keçirəcəyik ümumi, vahid, bütöv. Və inteqrasiya ilə - birlik, ümumiləşdirmə, bu halda xüsusidən (törəmə) ümumiyə (antiderivativ) keçid. Belə bir şey.
Qeyri-müəyyən inteqral belə işarələnir:
Yazıldığı kimi oxunur: x de x-dən inteqral ef. Və ya inteqral -dan ef x de x-dən. Yaxşı, başa düşürsən.)
İndi nota baxaq.
∫ - ayrılmaz simvol. Məna törəmə üçün əsas ilə eynidir.)
d - ikonadiferensial. Qorxmayaq! Niyə lazım olduğu orada bir az aşağıdır.
f(x) - inteqral("s" vasitəsilə).
f(x)dx - inteqral ifadəsi. Və ya kobud desək, inteqralın “doldurulması”.
Qeyri-müəyyən inteqralın mənasına görə,
Burada F(x)- eyni antitörəmə funksiyası üçün f(x) hansı biz bir şəkildə özümüz tapdıq. Məsələ bunu necə dəqiq tapdıqları deyil. Məsələn, biz bunu tapdıq F(x) = x 2 /2üçün f(x)=x.
"İLƏ" - ixtiyari sabit. Yaxud daha elmi olaraq inteqral sabiti. Və ya inteqrasiya sabiti. Hər şey birdir.)
İndi antitörəmə tapmaq üçün ilk nümunələrimizə qayıdaq. Qeyri-müəyyən inteqral baxımından indi təhlükəsiz şəkildə yaza bilərik:
İnteqral sabit nədir və nə üçün lazımdır?
Sual çox maraqlıdır. Və çox (ÇOX!) vacibdir. Bütün sonsuz antiderivativlər toplusundan inteqral sabit xətti ayırır hansı ki, keçir verilmiş nöqtə.
Nə mənası var? Antiderivativlərin ilkin sonsuz dəstindən (yəni. qeyri-müəyyən inteqral) verilmiş nöqtədən keçəcək əyrini seçmək lazımdır. Bəziləri ilə xüsusi koordinatlar. Belə tapşırıq həmişə və hər yerdə inteqrallarla ilkin tanışlıq zamanı baş verir. Həm məktəbdə, həm də universitetdə.
Tipik problem:
f=x funksiyasının bütün əks törəmələri çoxluğundan (2;2) nöqtəsindən keçəni seçin.
Başımızla düşünməyə başlayırıq... Bütün ibtidailərin çoxluğu o deməkdir ki, əvvəlcə biz etməliyik orijinal funksiyamızı birləşdirin. Yəni x(x). Bunu bir az yuxarı etdik və aşağıdakı cavabı aldıq:
İndi dəqiq nə əldə etdiyimizi anlayaq. Biz yalnız bir funksiyası var, lakin bütün funksiyalar ailəsi. Hansılar? Vida y=x 2 /2+C . C sabitinin qiymətindən asılıdır. Və indi “tutmaq” məcburiyyətində olduğumuz sabitin bu qiymətidir.) Yaxşı, tutmağa başlayaq?)
Bizim balıqçı çubuğumuz - əyrilər ailəsi (parabola) y=x 2 /2+C.
Sabitlər - bunlar balıqdır. Çox və çox. Ancaq hər birinin öz qarmağı və yemi var.)
Yem nədir? Doğru! Bizim nöqtəmiz (-2;2).
Beləliklə, nöqtəmizin koordinatlarını antiderivativlərin ümumi forması ilə əvəz edirik! Biz əldə edirik:
y(2) = 2
Buradan tapmaq asandır C=0.
Bu nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, formanın bütün sonsuz parabola toplusundany=x 2 /2+Cyalnız sabiti C=0 olan parabola bizə yaraşır! Məhz:y=x 2 /2. Və yalnız onun. Bizə lazım olan nöqtədən yalnız bu parabola keçəcək (-2; 2). Və içindəailəmizin bütün digər parabolaları keçir bu nöqtə daha olmayacaqlar. Təyyarənin bəzi digər nöqtələri vasitəsilə - bəli, lakin (2; 2) nöqtəsi vasitəsilə - artıq deyil. Anladım?
Aydınlıq üçün burada iki şəkil var - bütün parabola ailəsi (yəni qeyri-müəyyən inteqral) və bəziləri xüsusi parabola, uyğundur sabitin xüsusi dəyəri və keçir konkret məqam:
Daimi nəzərə almağın nə qədər vacib olduğunu görürsünüz İLƏ inteqrasiya ilə! Odur ki, bu “C” hərfini laqeyd qoymayın və onu son cavaba əlavə etməyi unutmayın.
İndi simvolun inteqralların hər yerində niyə asıldığını anlayaq dx . Tələbələr bunu çox vaxt unudurlar... Yeri gəlmişkən, bu da səhvdir! Və olduqca kobud. Məsələ ondadır ki, inteqrasiya fərqləndirmənin tərs əməliyyatıdır. Və dəqiq nədir fərqləndirmənin nəticəsidir? törəmə? Düzdür, amma tamamilə yox. Diferensial!
Bizim vəziyyətimizdə funksiya üçün f(x) onun antiderivativinin diferensialı F(x), edəcək:
Bu zənciri başa düşməyənlər üçün təcili olaraq diferensialın tərifini və mənasını və necə dəqiq şəkildə ortaya çıxdığını təkrarlayın! Əks halda, inteqrallarda amansızcasına yavaşlayacaqsınız...
Sizə ən kobud formada xatırlatım ki, hər hansı f(x) funksiyasının diferensialı sadəcə hasildir. f'(x)dx. Hamısı budur! Törəmə götürün və onu çoxaldın diferensial arqumentə(yəni dx). Yəni, hər hansı bir diferensial, mahiyyətcə, adi hesablamağa gəlir törəmə.
Buna görə də, dəqiq desək, inteqral "alınmır" funksiyaları f(x), ümumi hesab edildiyi kimi, və diferensial f(x)dx! Ancaq sadələşdirilmiş versiyada bunu demək adətdir "inteqral funksiyadan götürülür". Və ya: "f funksiyası inteqrasiya olunub(x)". Eynidir. Və biz də eyni şəkildə danışacağıq. Ancaq nişan haqqında dx Unutmayaq! :)
İndi sizə yazarkən bunu necə unutmamağı söyləyəcəyəm. Əvvəlcə təsəvvür edin ki, x dəyişəninə görə adi törəməni hesablayırsınız. Ümumiyyətlə necə yazırsınız?
Bu kimi: f’(x), y’(x), y’ x. Və ya daha dəqiq desək, diferensial nisbətlə: dy/dx. Bütün bu qeydlər bizə göstərir ki, törəmə dəqiq olaraq X-ə münasibətdə götürülür. Və "igrek", "te" və ya başqa dəyişənlərlə deyil.)
Eyni şey inteqrallara da aiddir. Qeyd ∫ f(x)dx ABŞ da sanki inteqrasiyanın dəqiq həyata keçirildiyini göstərir x dəyişəni ilə. Əlbəttə ki, bunların hamısı çox sadələşdirilmiş və kobuddur, amma başa düşüləndir, ümid edirəm. Və şanslar unutmaq hər yerdə mövcudluğu atribut dx kəskin şəkildə azalır.)
Beləliklə, qeyri-müəyyən inteqralın nə olduğunu anladıq. Əla.) İndi eyni qeyri-müəyyən inteqralları öyrənmək yaxşı olardı hesablamaq. Və ya sadəcə olaraq, "götürün". :) Və burada tələbələri iki xəbər gözləyir - yaxşı və o qədər də yaxşı deyil. Hələlik yaxşı olandan başlayaq.)
Xəbərlər yaxşıdır. İnteqrallar üçün, eləcə də törəmələr üçün öz cədvəli var. Və yolda qarşılaşacağımız bütün inteqrallar, hətta ən dəhşətli və mürəkkəbləri belə, biz müəyyən qaydalara uyğun olaraq Bu və ya digər şəkildə biz bunu cədvəl şəklində olanlara endirərik.)
Beləliklə, o, buradadır inteqral cədvəli!
Budur ən məşhur funksiyalardan belə gözəl inteqral cədvəli. 1-2 düsturlar qrupuna xüsusi diqqət yetirməyi məsləhət görürəm (sabit və güc funksiyası). Bunlar inteqrallarda ən çox istifadə olunan düsturlardır!
Üçüncü qrup düsturlar (triqonometriya), təxmin etdiyiniz kimi, sadəcə törəmələr üçün müvafiq düsturları tərsinə çevirməklə əldə edilir.
Misal üçün:
Dördüncü qrup düsturlarla (eksponensial funksiya) hər şey oxşardır.
Budur dörd son qruplar bizim üçün düsturlar (5-8). yeni. Bu ekzotik funksiyalar haradan gəldi və hansı ləyaqətinə görə birdən-birə əsas inteqrallar cədvəlinə daxil oldular? Niyə bu funksiya qrupları digər funksiyalardan bu qədər fərqlənir?
Tarixən inkişaf prosesində belə olub inteqrasiya üsulları . Ən geniş çeşidli inteqralları götürməyi məşq etdikdə, cədvəldə sadalanan funksiyaların inteqrallarının çox və çox tez-tez baş verdiyini başa düşəcəksiniz. O qədər tez-tez riyaziyyatçılar onları cədvəl şəklində təsnif edirdilər.) Daha mürəkkəb konstruksiyalardan olan bir çox digər inteqrallar onların vasitəsilə ifadə edilir.
Sadəcə əylənmək üçün bu dəhşətli düsturlardan birini götürüb onu fərqləndirə bilərsiniz. :) Məsələn, ən qəddar 7-ci düstur.
Hər şey yaxşıdır. Riyaziyyatçılar aldanmadılar. :)
İnteqrallar cədvəlini, eləcə də törəmələr cədvəlini əzbər bilmək məsləhətdir. Hər halda, düsturların ilk dörd qrupu. Bu, ilk baxışdan göründüyü qədər çətin deyil. Son dörd qrupu əzbərləyin (kəsrlər və köklərlə) sağol dəyməz. Hər halda, əvvəlcə loqarifmanı hara yazmaq barədə çaşqınlıq yaranacaq, arktangens harada, arksinus harada, harada 1/a, harada 1/2a... Yalnız bir çıxış yolu var - daha çox misal həll edin. Sonra masa tədricən öz-özünə xatırlanacaq və şübhələr dişləməyini dayandıracaq.)
Xüsusilə maraqlanan insanlar cədvələ diqqətlə baxaraq soruşa bilərlər: digər ibtidai "məktəb" funksiyalarının inteqralları cədvəlin harada yerləşir - tangens, loqarifm, "qövslər"? Tutaq ki, niyə cədvəldə sinusdan inteqral var, amma tangensdən inteqral YOXDUR. tg x? Yaxud loqarifmin inteqralı yoxdur ln x? Arcsine-dən arcsin x? Niyə daha pisdirlər? Ancaq bəzi "solaxay" funksiyalarla doludur - kökləri, fraksiyaları, kvadratları ilə ...
Cavab verin. Daha pisi yoxdur.) Sadəcə yuxarıdakı inteqrallar (tangens, loqarifm, arksinus və s.) cədvəlli deyil . Və onlar praktikada cədvəldə təqdim olunanlardan daha az baş verir. Buna görə də bilin əzbərdən, nəyə bərabər olduqları heç də lazım deyil. Sadəcə bilmək kifayətdir necedirler hesablanır.)
Nə, kimsə hələ də dözə bilmir? Beləliklə, xüsusilə sizin üçün!
Yaxşı, onu əzbərləyəcəksən? :) Olmazsan? Və etmə.) Amma narahat olmayın, biz mütləq bütün belə inteqralları tapacağıq. Müvafiq dərslərdə. :)
Yaxşı, indi qeyri-müəyyən inteqralın xassələrinə keçək. Bəli, bəli, heç nə etmək olmaz! Yeni konsepsiya təqdim edilir və onun bəzi xüsusiyyətləri dərhal nəzərdən keçirilir.
Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri.
İndi o qədər də yaxşı xəbər deyil.
Fərqlilikdən fərqli olaraq, inteqrasiyanın ümumi standart qaydaları, ədalətli bütün hallar üçün, riyaziyyatda deyil. Bu fantastikdir!
Məsələn, hamınız bunu çox yaxşı bilirsiniz (ümid edirəm!). hər hansı iş hər hansı iki f(x) g(x) funksiyası belə diferensiallanır:
(f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).
Hər hansıəmsal aşağıdakı kimi fərqləndirilir:
Hər hansı bir mürəkkəb funksiya, nə qədər mürəkkəb olsa da, belə fərqləndirilir:
Və f və g hərflərinin altında hansı funksiyaların gizlənməsindən asılı olmayaraq, ümumi qaydalar hələ də işləyəcək və törəmə bu və ya digər şəkildə tapılacaq.
Ancaq inteqrallarla belə bir nömrə artıq işləməyəcək: məhsul, bir hissə (kəsr), həm də mürəkkəb funksiya üçün ümumi düsturlar inteqrasiya mövcud deyil! Standart qaydalar yoxdur! Daha doğrusu, onlar mövcuddur. Riyaziyyatı boş yerə incidən mən idim.) Amma birincisi, onlardan çox azdır. ümumi qaydalar fərqləndirmə üçün. İkincisi, sonrakı dərslərdə danışacağımız inteqrasiya üsullarının əksəriyyəti çox, çox spesifikdir. Və onlar yalnız müəyyən, çox məhdud funksiyalar sinfi üçün etibarlıdır. Yalnız üçün deyək kəsr rasional funksiyalar. Və ya başqaları.
Bəzi inteqrallar isə təbiətdə mövcud olsalar da, ibtidai “məktəb” funksiyaları vasitəsilə ümumiyyətlə ifadə olunmurlar! Bəli, bəli və belə inteqrallar çoxdur! :)
Buna görə inteqrasiya diferensiallaşmadan daha çox vaxt aparan və əziyyət çəkən bir işdir. Amma bunun da özünəməxsus twistəsi var. Bu fəaliyyət yaradıcı və çox həyəcanvericidir.) Və əgər siz inteqrallar cədvəlini yaxşı mənimsəsəniz və ən azı iki əsas texnikanı mənimsəsəniz, bundan sonra ( və ) haqqında danışacağıq, onda siz inteqrasiyanı həqiqətən bəyənəcəksiniz. :)
İndi qeyri-müəyyən inteqralın xassələri ilə tanış olaq. Heç biri yoxdur. Budurlar.
İlk iki xassə törəmələr üçün eyni xassələrə tamamilə bənzəyir və adlanır qeyri-müəyyən inteqralın xətti xassələri . Burada hər şey sadə və məntiqlidir: cəminin/fərqin inteqralı inteqralların cəmi/fərqinə bərabərdir və sabit amili inteqralın işarəsindən çıxarmaq olar.
Ancaq sonrakı üç mülk bizim üçün prinsipcə yenidir. Gəlin onlara daha ətraflı baxaq. Rus dilində aşağıdakı kimi səslənirlər.
Üçüncü əmlak
İnteqralın törəməsi inteqrana bərabərdir
Hər şey sadədir, nağıldakı kimi. Əgər siz funksiyanı inteqral edib nəticənin törəməsini geri tapsanız, onda... orijinal inteqral funksiyasını alırsınız. :) Bu xüsusiyyət həmişə inteqrasiyanın yekun nəticəsini yoxlamaq üçün istifadə edilə bilər (və olmalıdır). Siz inteqralı hesabladınız - cavabı fərqləndirin! İnteqral funksiyanı əldə etdik - OK. Əgər qəbul etməmişiksə, deməli, hardasa qarışmışıq. Səhv axtarın.)
Əlbəttə ki, cavab o qədər qəddar və çətin funksiyalarla nəticələnə bilər ki, onları geriyə ayırmaq istəyi yoxdur, bəli. Ancaq mümkünsə, özünüzü yoxlamağa çalışmaq daha yaxşıdır. Ən azından asan olduğu nümunələrdə.)
Dördüncü əmlak
İnteqralın diferensialı inteqrana bərabərdir .
Burada xüsusi bir şey yoxdur. Mahiyyət eynidir, sonunda yalnız dx görünür. Əvvəlki mülkiyyət və diferensial açılış qaydalarına əsasən.
Beşinci mülk
Bəzi funksiyanın diferensialının inteqralı bu funksiyanın cəminə və ixtiyari sabitə bərabərdir. .
Bu da çox sadə bir mülkdür. Bundan inteqralların həlli prosesində də müntəzəm istifadə edəcəyik. Xüsusilə - və.
Budurlar faydalı xüsusiyyətlər. Mən burada onların ciddi sübutları ilə sizi bezdirmək fikrində deyiləm. Bunu etmək istəyənlərə bunu özləri etmələrini təklif edirəm. Birbaşa törəmə və diferensial mənada. Mən yalnız sonuncu, beşinci xassəni sübut edəcəm, çünki o, daha az aşkardır.
Beləliklə, bir bəyanatımız var:
Diferensialın tərifinə uyğun olaraq inteqralımızın "doldurmasını" çıxarırıq və açırıq:
Hər halda, xatırladıram ki, törəmə və antitörəmə qeydimizə əsasən, F’(x) = f(x) .
İndi nəticəmizi yenidən inteqrala daxil edirik:
Tam alındı qeyri-müəyyən inteqralın tərifi (Rus dili məni bağışlasın)! :)
Hamısı budur.)
Yaxşı. Bununla da inteqralların sirli dünyası ilə ilkin tanışlığımızı tamamlanmış hesab edirəm. Bu gün mən hər şeyi yekunlaşdırmağı təklif edirəm. Biz artıq kəşfiyyata gedə biləcək qədər silahlanmışıq. Pulemyot deyilsə, ən azı əsas xüsusiyyətlərə malik su tapançası və masa. :) Növbəti dərsdə cədvəlin birbaşa tətbiqi üçün inteqralların ən sadə zərərsiz nümunələri və yazılı xassələri bizi gözləyir.
görüşənədək!