Onlayn kalkulyator GCD və NOC-un tapılması (hesablanması). Ən kiçik ümumi çoxluğu necə tapmaq olar
Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağın üç yolunu nəzərdən keçirin.
Faktorinq yolu ilə tapma
Birinci yol verilmiş ədədləri sadə amillərə ayırmaqla ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaqdır.
Tutaq ki, biz ədədlərin LCM-ni tapmalıyıq: 99, 30 və 28. Bunun üçün bu ədədlərin hər birini sadə amillərə ayırırıq:
İstənilən ədədin 99, 30 və 28-ə bölünməsi üçün bu bölənlərin bütün sadə amillərinin daxil olması zəruri və kifayətdir. Bunu etmək üçün, bu ədədlərin bütün əsas amillərini ən yüksək baş verən gücə götürməli və onları birlikdə vurmalıyıq:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Beləliklə, LCM (99, 30, 28) = 13.860. 13.860-dan kiçik başqa heç bir ədəd 99, 30 və ya 28-ə bərabər bölünə bilməz.
Verilmiş ədədlərin ən kiçik ortaq qatını tapmaq üçün onları sadə amillərə ayırmalı, sonra onun baş verdiyi ən böyük göstəricisi olan hər bir sadə amili götürməli və bu amilləri birlikdə çoxaltmalısınız.
İki sadə ədədlərin ümumi sadə amilləri olmadığı üçün onların ən kiçik ortaq çoxluğu bu ədədlərin hasilinə bərabərdir. Məsələn, üç ədəd: 20, 49 və 33 bir-birini əvəz edir. Buna görə də
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
Müxtəliflərin ən az ümumi çoxluğunu axtararkən də eyni şeyi etmək lazımdır sadə ədədlər. Məsələn, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Seçim yolu ilə tapmaq
İkinci üsul uyğunlaşdırma yolu ilə ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaqdır.
Nümunə 1. Verilmiş ədədlərin ən böyüyü digər verilmiş ədədlərə bərabər bölünəndə, bu ədədlərin LCM-i onlardan böyük olanına bərabərdir. Məsələn, dörd ədəd verilmişdir: 60, 30, 10 və 6. Onların hər biri 60-a bölünür, buna görə də:
NOC(60, 30, 10, 6) = 60
Digər hallarda, ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq üçün aşağıdakı prosedurdan istifadə olunur:
- Verilmiş ədədlərdən ən böyük ədədi təyin edin.
- Sonra, ən böyük ədədin qatları olan ədədləri tapırıq, onu artan qaydada natural ədədlərə vururuq və qalan verilmiş ədədlərin nəticə hasilə bölünüb-bölünmədiyini yoxlayırıq.
Nümunə 2. Üç ədəd 24, 3 və 18 verilmişdir. Onlardan ən böyüyünü müəyyən edin - bu, 24 rəqəmidir. Sonra, hər birinin 18-ə və 3-ə bölündüyünü yoxlayaraq, 24-ün qatlarını tapın:
24 1 = 24 3-ə bölünür, lakin 18-ə bölünmür.
24 2 = 48 - 3-ə bölünür, lakin 18-ə bölünmür.
24 3 \u003d 72 - 3 və 18-ə bölünür.
Beləliklə, LCM(24, 3, 18) = 72.
Ardıcıl Tapma LCM ilə tapma
Üçüncü yol LCM-i ardıcıl olaraq tapmaqla ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaqdır.
Verilmiş iki ədədin LCM-i bu ədədlərin ən böyüyünün hasilinə bərabərdir ortaq bölən.
Misal 1. Verilmiş iki ədədin LCM-ni tapın: 12 və 8. Onların ən böyük ortaq bölənini təyin edin: GCD (12, 8) = 4. Bu ədədləri çoxaltın:
Məhsulu GCD-yə bölürük:
Beləliklə, LCM(12, 8) = 24.
Üç və ya daha çox rəqəmin LCM-ni tapmaq üçün aşağıdakı prosedurdan istifadə olunur:
- Əvvəlcə verilmiş hər iki ədədin LCM-i tapılır.
- Sonra, tapılan ən az ümumi çoxluğun və üçüncünün LCM-i verilmiş nömrə.
- Sonra, nəticədə ən az ümumi çoxluğun və dördüncü ədədin LCM-i və s.
- Beləliklə, LCM axtarışı nömrələr olduğu müddətdə davam edir.
Nümunə 2. Verilmiş üç ədədin LCM-ni tapaq: 12, 8 və 9. Biz artıq əvvəlki misalda 12 və 8 rəqəmlərinin LCM-ni tapmışıq (bu, 24 rəqəmidir). 24-ün ən kiçik ortaq qatını və üçüncü verilmiş ədədi tapmaq qalır - 9. Onların ən böyük ortaq bölənini təyin edin: gcd (24, 9) = 3. LCM-i 9 rəqəminə vurun:
Məhsulu GCD-yə bölürük:
Beləliklə, LCM(12, 8, 9) = 72.
Ən Böyük Ümumi Bölən
Tərif 2
Əgər a natural ədədi $b$ natural ədədinə bölünürsə, o zaman $b$-a $a$-ın bölməsi, $a$ ədədi isə $b$-ın qatı adlanır.
$a$ və $b$ natural ədədlər olsun. $c$ ədədi həm $a$, həm də $b$ üçün ümumi bölən adlanır.
$a$ və $b$ ədədlərinin ümumi bölənləri çoxluğu sonludur, çünki bu bölənlərin heç biri $a$-dan böyük ola bilməz. Bu o deməkdir ki, bu bölənlər arasında ən böyüyü var, o, $a$ və $b$ ədədlərinin ən böyük ortaq böləni adlanır və onu işarələmək üçün qeyddən istifadə olunur:
$gcd \ (a;b) \ veya \ D \ (a;b)$
İki ədədin ən böyük ortaq bölənini tapmaq üçün:
- 2-ci addımda tapılan ədədlərin hasilini tapın. Nəticə çıxan ədəd istədiyiniz ən böyük ümumi bölən olacaq.
Misal 1
$121$ və $132.$ rəqəmlərinin gcd-ni tapın
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Bu nömrələrin genişləndirilməsinə daxil olan nömrələri seçin
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
2-ci addımda tapılan ədədlərin hasilini tapın. Nəticə çıxan ədəd istədiyiniz ən böyük ümumi bölən olacaq.
$gcd=2\cdot 11=22$
Misal 2
$63$ və $81$ monomialların GCD-ni tapın.
Təqdim olunan alqoritmə uyğun olaraq tapacağıq. Bunun üçün:
Gəlin ədədləri sadə amillərə ayıraq
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Bu nömrələrin genişləndirilməsinə daxil olan nömrələri seçirik
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
2-ci addımda tapılan ədədlərin hasilini tapaq. Nəticə alınan ədəd istənilən ən böyük ümumi bölən olacaq.
$gcd=3\cdot 3=9$
Rəqəmlərin bölənləri dəstindən istifadə edərək, iki ədədin GCD-ni başqa şəkildə tapa bilərsiniz.
Misal 3
$48$ və $60$ rəqəmlərinin gcd-ni tapın.
Qərar:
$48$-ın bölənlər çoxluğunu tapın: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
İndi $60$-ın bölənlər çoxluğunu tapaq:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Bu çoxluqların kəsişməsini tapaq: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - bu çoxluq $48$ və $60 ədədlərinin ümumi bölənlər çoxluğunu müəyyən edəcək. $. Bu dəstdə ən böyük element $12$ olacaq. Beləliklə, $48$ və $60$-ın ən böyük ümumi bölənləri $12$-dır.
MOK-un tərifi
Tərif 3
ümumi çoxluq natural ədədlər $a$ və $b$ həm $a$, həm də $b$-ın qatına bərabər olan natural ədəddir.
Ədədlərin ümumi qatları orijinala qalıqsız bölünən ədədlərdir.Məsələn, $25$ və $50$ ədədləri üçün ümumi qatlar $50,100,150,200$ və s.
Ən kiçik ümumi çoxluq ən kiçik ümumi çoxluq adlanacaq və LCM$(a;b)$ və ya K$(a;b) ilə işarələnəcək.
İki ədədin LCM-ni tapmaq üçün sizə lazımdır:
- Ədədləri sadə amillərə parçalayın
- Birinci ədədin bir hissəsi olan amilləri yazın və onlara ikincinin bir hissəsi olan və birinciyə getməyən amilləri əlavə edin.
Misal 4
$99$ və $77$ rəqəmlərinin LCM-ni tapın.
Təqdim olunan alqoritmə uyğun olaraq tapacağıq. Bunun üçün
Ədədləri sadə amillərə parçalayın
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Birinciyə daxil olan amilləri yazın
onlara ikincinin bir hissəsi olan və birinciyə getməyən amilləri əlavə edin
2-ci addımda tapılan ədədlərin hasilini tapın. Nəticə alınan ədəd istədiyiniz ən kiçik ümumi çoxluq olacaq
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Rəqəmlərin bölənlərinin siyahısını tərtib etmək çox vaxt çox vaxt aparır. GCD-ni tapmaq üçün Evklid alqoritmi adlanan bir yol var.
Evklidin alqoritminin əsaslandığı ifadələr:
Əgər $a$ və $b$ natural ədədlərdirsə və $a\vdots b$, onda $D(a;b)=b$
Əgər $a$ və $b$ natural ədədlərdirsə, $b
$D(a;b)= D(a-b;b)$ istifadə edərək, biri digərinə bölünən ədədlər cütünə çatana qədər nəzərdən keçirilən ədədləri ardıcıl olaraq azalda bilərik. Onda bu ədədlərdən kiçik olanı $a$ və $b$ ədədləri üçün arzu olunan ən böyük ümumi bölən olacaq.
GCD və LCM xüsusiyyətləri
- $a$ və $b$-ın istənilən ümumi çoxluğu K$(a;b)$-a bölünür
- Əgər $a\vdots b$ , onda K$(a;b)=a$
Əgər K$(a;b)=k$ və $m$-təbii ədəddirsə, onda K$(am;bm)=km$
Əgər $d$ $a$ və $b$ üçün ümumi böləndirsə, K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $
Əgər $a\vdots c$ və $b\vdots c$ , onda $\frac(ab)(c)$ $a$ və $b$-ın ümumi qatıdır.
Hər hansı $a$ və $b$ natural ədədləri üçün bərabərlik
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
$a$ və $b$-ın hər hansı ortaq bölməsi $D(a;b)$-ın bölənidir.
Riyazi ifadələr və tapşırıqlar çoxlu əlavə bilik tələb edir. MOK əsas olanlardan biridir, xüsusilə də mövzuda tez-tez istifadə olunur.Mövzu orta məktəbdə öyrənilir, materialı başa düşmək xüsusilə çətin olmasa da, səlahiyyətlər və vurma cədvəli ilə tanış olan bir adam üçün seçmək çətin olmayacaqdır. lazımi ədədləri tapın və nəticəni tapın.
Tərif
Ümumi çoxluq eyni anda iki ədədə (a və b) tamamilə bölünə bilən ədəddir. Çox vaxt bu rəqəm orijinal a və b ədədlərini vurmaqla əldə edilir. Nömrə eyni anda hər iki ədədə, kənara çıxmadan bölünməlidir.
NOC ilk hərflərdən götürülmüş qısa addır.
Nömrə əldə etməyin yolları
LCM-i tapmaq üçün nömrələri vurma üsulu həmişə uyğun deyil, sadə bir və ya iki rəqəmli nömrələr üçün daha uyğundur. Faktorlara bölmək adətdir, sayı nə qədər çox olarsa, bir o qədər çox amillər olacaqdır.
Nümunə №1
Ən sadə misal üçün məktəblər adətən sadə, birrəqəmli və ya ikirəqəmli nömrələr götürürlər. Məsələn, aşağıdakı tapşırığı həll etməlisiniz, 7 və 3 rəqəmlərinin ən kiçik ümumi çoxluğunu tapmalısınız, həlli olduqca sadədir, sadəcə onları çoxaltmalısınız. Nəticədə 21 rəqəmi var, sadəcə olaraq ondan kiçik rəqəm yoxdur.
Nümunə №2
İkinci seçim daha çətindir. 300 və 1260 rəqəmləri verilir, LCM-nin tapılması məcburidir. Tapşırığı həll etmək üçün aşağıdakı hərəkətlər nəzərdə tutulur:
Birinci və ikinci ədədlərin ən sadə amillərə parçalanması. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Birinci mərhələ başa çatıb.
İkinci mərhələ artıq əldə edilmiş məlumatlarla işləməyi əhatə edir. Alınan nömrələrin hər biri yekun nəticənin hesablanmasında iştirak etməlidir. Hər bir amil üçün ən çox baş verənlər orijinal nömrələrdən götürülür. NOC edir ümumi sayı, buna görə də nömrələrdən gələn amillər, hətta bir nüsxədə olanlar da sonuncuya qədər təkrarlanmalıdır. Hər iki ilkin ədədin tərkibində 2, 3 və 5 rəqəmləri var müxtəlif dərəcələrdə, 7 yalnız bir halda mövcuddur.
Son nəticəni hesablamaq üçün hər bir rəqəmi təmsil olunan güclərinin ən böyüyü ilə tənliyə götürməlisiniz. Yalnız çoxaltmaq və cavab almaq qalır, düzgün doldurma ilə tapşırıq izahatsız iki addıma uyğundur:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOK = 6300.
Bütün vəzifə budur, istədiyiniz ədədi vuraraq hesablamağa çalışsanız, cavab mütləq düzgün olmayacaq, çünki 300 * 1260 = 378.000.
İmtahan:
6300 / 300 = 21 - doğrudur;
6300 / 1260 = 5 düzgündür.
Nəticənin düzgünlüyü yoxlama ilə müəyyən edilir - LCM-nin hər iki orijinal nömrəyə bölünməsi, əgər nömrə hər iki halda tam ədəddirsə, cavab düzgündür.
NOC riyaziyyatda nə deməkdir
Bildiyiniz kimi, riyaziyyatda heç bir faydasız funksiya yoxdur, bu da istisna deyil. Bu ədədin ən ümumi məqsədi kəsrləri ortaq məxrəcə gətirməkdir. Adətən orta məktəbin 5-6-cı siniflərində nələr öyrənilir. O, həmçinin, problemdə belə şərtlər varsa, bütün çarpanlar üçün ümumi böləndir. Belə bir ifadə yalnız iki rəqəmin deyil, həm də daha böyük rəqəmin - üç, beş və s. Nə qədər çox rəqəm - tapşırıqda bir o qədər çox hərəkət, lakin bunun mürəkkəbliyi artmır.
Məsələn, 250, 600 və 1500 rəqəmlərini nəzərə alaraq, onların ümumi LCM-ni tapmaq lazımdır:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - bu misalda azalma olmadan faktorlara bölünmə ətraflı təsvir edilmişdir.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
İfadə tərtib etmək üçün bütün amilləri qeyd etmək tələb olunur, bu halda 2, 5, 3 verilir - bütün bu nömrələr üçün maksimum dərəcəni təyin etmək tələb olunur.
Diqqət: bütün çarpanları tam sadələşdirməyə, mümkünsə, tək rəqəmlər səviyyəsinə qədər parçalamaq lazımdır.
İmtahan:
1) 3000 / 250 = 12 - doğrudur;
2) 3000 / 600 = 5 - doğrudur;
3) 3000 / 1500 = 2 düzgündür.
Bu üsul heç bir hiylə və ya dahi səviyyəli qabiliyyət tələb etmir, hər şey sadə və aydındır.
Başqa bir yol
Riyaziyyatda çox şey bağlıdır, çox şey iki və ya daha çox yolla həll edilə bilər, eyni şey ən kiçik ümumi çoxluğu, LCM tapmaq üçün də gedir. Sadə ikirəqəmli və halında aşağıdakı üsuldan istifadə etmək olar tək rəqəmlər. Cədvəl tərtib edilir ki, orada çarpan şaquli, çarpan üfüqi olaraq daxil edilir və məhsul sütunun kəsişən xanalarında göstərilir. Cədvəli xətt vasitəsi ilə əks etdirə bilərsiniz, ədəd alınır və bu ədədin tam ədədlərə vurulmasının nəticələri ardıcıl olaraq yazılır, 1-dən sonsuza qədər bəzən 3-5 xal kifayət edir, ikinci və sonrakı nömrələrə məruz qalır. eyni hesablama prosesinə. Hər şey ümumi çoxluq tapılana qədər baş verir.
30, 35, 42 rəqəmlərini nəzərə alaraq, bütün nömrələri birləşdirən LCM-i tapmaq lazımdır:
1) 30-un qatları: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 və s.
2) 35-in qatları: 70, 105, 140, 175, 210, 245 və s.
3) 42-nin qatları: 84, 126, 168, 210, 252 və s.
Bütün nömrələrin tamamilə fərqli olduğu nəzərə çarpır, onların arasında yeganə ümumi nömrə 210-dur, buna görə də LCM olacaq. Bu hesablama ilə əlaqəli proseslər arasında oxşar prinsiplərə əsasən hesablanan və qonşu problemlərdə tez-tez rast gəlinən ən böyük ümumi bölən də var. Fərq kiçik, lakin kifayət qədər əhəmiyyətlidir, LCM bütün verilmiş ilkin qiymətlərə bölünən ədədin hesablanmasını nəzərdə tutur və GCD ilkin ədədlərin bölündüyü ən böyük dəyərin hesablanmasını nəzərdə tutur.
LCM - Ən Az Ümumi Çoxluq, Tərif, Nümunələr bölməsində başladığımız ən kiçik ümumi çoxluq haqqında müzakirəni davam etdirək. Bu mövzuda biz üç və ya daha çox ədəd üçün LCM-i tapmaq yollarına baxacağıq, mənfi ədədin LCM-ni necə tapmaq sualını təhlil edəcəyik.
Yandex.RTB R-A-339285-1
gcd vasitəsilə ən kiçik ümumi çoxluğun (LCM) hesablanması
Biz artıq ən kiçik ortaq çoxluq və ən böyük ortaq bölən arasında əlaqə qurmuşuq. İndi gəlin GCD vasitəsilə LCM-i necə təyin edəcəyimizi öyrənək. Əvvəlcə müsbət ədədlər üçün bunu necə edəcəyimizi anlayaq.
Tərif 1
LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) düsturundan istifadə edərək ən böyük ümumi bölən vasitəsilə ən kiçik ümumi çoxluğu tapa bilərsiniz.
Misal 1
126 və 70 rəqəmlərinin LCM-ni tapmaq lazımdır.
Qərar
a = 126 , b = 70 götürək. Ən böyük ümumi bölən LCM (a, b) = a · b vasitəsilə ən kiçik ümumi çoxluğu hesablamaq üçün düsturdakı dəyərləri əvəz edin: GCD (a, b) .
70 və 126 rəqəmlərinin GCD-ni tapır. Bunun üçün bizə Evklid alqoritmi lazımdır: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , buna görə də gcd (126 , 70) = 14 .
LCM-i hesablayaq: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Cavab: LCM (126, 70) = 630.
Misal 2
68 və 34 rəqəmlərinin nokunu tapın.
Qərar
Bu vəziyyətdə GCD tapmaq asandır, çünki 68 34-ə bölünür. Aşağıdakı düsturdan istifadə edərək ən kiçik ümumi çoxluğu hesablayın: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Cavab: LCM(68, 34) = 68.
Bu nümunədə a və b müsbət tam ədədlərinin ən kiçik ortaq qatını tapmaq üçün qaydadan istifadə etdik: əgər birinci ədəd ikinciyə bölünürsə, onda bu ədədlərin LCM-i birinci ədədə bərabər olacaqdır.
Nömrələri əsas faktorlara ayırmaqla LCM-nin tapılması
İndi ədədlərin əsas amillərə parçalanmasına əsaslanan LCM-i tapmaq üçün bir üsula baxaq.
Tərif 2
Ən az ümumi çoxluğu tapmaq üçün bir sıra sadə addımları yerinə yetirməliyik:
- biz LCM-i tapmalı olduğumuz ədədlərin bütün sadə amillərinin hasilini təşkil edirik;
- biz onların əldə etdiyi məhsullardan bütün əsas amilləri istisna edirik;
- ümumi sadə amilləri aradan qaldırdıqdan sonra alınan məhsul verilmiş ədədlərin LCM-ə bərabər olacaqdır.
Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq üçün bu üsul LCM (a , b) = a b bərabərliyinə əsaslanır: GCD (a , b) . Formula baxsanız, aydın olacaq: a və b ədədlərinin hasili bu iki ədədin genişlənməsində iştirak edən bütün amillərin hasilinə bərabərdir. Bu halda, iki ədəd GCD məhsula bərabərdir verilmiş iki ədədin faktorizasiyasında eyni vaxtda mövcud olan bütün sadə amillər.
Misal 3
Bizdə iki ədəd 75 və 210 var. Onları bu şəkildə ayırd edə bilərik: 75 = 3 5 5 və 210 = 2 3 5 7. İki orijinal ədədin bütün amillərinin hasilini etsəniz, alırsınız: 2 3 3 5 5 5 7.
Həm 3, həm də 5 rəqəmləri üçün ümumi olan amilləri istisna etsək, aşağıdakı formanın hasilini alırıq: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu məhsul 75 və 210 nömrələri üçün LCM olacaq.
Misal 4
Rəqəmlərin LCM-ni tapın 441 və 700 , hər iki ədədi əsas amillərə parçalayır.
Qərar
Şərtdə verilmiş ədədlərin bütün sadə amillərini tapaq:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
İki ədəd zəncirini alırıq: 441 = 3 3 7 7 və 700 = 2 2 5 5 7 .
Bu rəqəmlərin genişlənməsində iştirak edən bütün amillərin məhsulu belə görünəcək: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ümumi amilləri tapaq. Bu rəqəm 7-dir. Onu ümumi məhsuldan istisna edirik: 2 2 3 3 5 5 7 7. Belə çıxır ki, MOK (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Cavab: LCM (441 , 700) = 44 100 .
Ədədləri əsas amillərə parçalayaraq LCM-nin tapılması metodunun daha bir düsturunu verək.
Tərif 3
Əvvəllər biz hər iki rəqəm üçün ümumi olan faktorların ümumi sayından xaric etdik. İndi biz bunu fərqli edəcəyik:
- Gəlin hər iki ədədi əsas amillərə bölək:
- birinci ədədin sadə amillərinin hasilinə ikinci ədədin çatışmayan amillərini əlavə edin;
- iki ədəddən ibarət istənilən LCM olacaq məhsulu alırıq.
Misal 5
Gəlin 75 və 210 nömrələrinə qayıdaq, bunun üçün əvvəlki nümunələrdən birində LCM-i artıq axtarmışıq. Gəlin onları sadə amillərə ayıraq: 75 = 3 5 5 və 210 = 2 3 5 7. 3, 5 və amillərinin hasilinə 5 sayı 75 çatışmayan amilləri əlavə edin 2 və 7 nömrə 210. Biz əldə edirik: 2 3 5 5 7 . Bu, 75 və 210 rəqəmlərinin LCM-idir.
Misal 6
84 və 648 rəqəmlərinin LCM-ni hesablamaq lazımdır.
Qərar
Şərtdən ədədləri sadə amillərə ayıraq: 84 = 2 2 3 7 və 648 = 2 2 2 3 3 3 3. 2 , 2 , 3 və amillərinin hasilinə əlavə edin 7
ədəd 84 çatışmayan amillər 2 , 3 , 3 və
3
nömrə 648. Məhsulu alırıq 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Bu, 84 və 648-in ən kiçik ümumi qatıdır.
Cavab: LCM (84, 648) = 4536.
Üç və ya daha çox rəqəmin LCM-nin tapılması
Neçə ədədlə məşğul olmağımızdan asılı olmayaraq, hərəkətlərimizin alqoritmi həmişə eyni olacaq: biz ardıcıl olaraq iki ədədin LCM-ni tapacağıq. Bu hal üçün bir teorem var.
Teorem 1
Tutaq ki, tam ədədlərimiz var a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k bu ədədlərdən ardıcıl hesablamada tapılır m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
İndi teoremin konkret məsələlərə necə tətbiq oluna biləcəyinə baxaq.
Misal 7
140 , 9 , 54 və dörd ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu hesablamalısınız 250 .
Qərar
Qeydi təqdim edək: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, 4 \u003d 250.
m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) hesablamaqla başlayaq. 140 və 9 ədədlərinin GCD-ni hesablamaq üçün Evklid alqoritmindən istifadə edək: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Alırıq: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Buna görə də, m 2 = 1 260 .
İndi eyni alqoritmə uyğun olaraq hesablayaq m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Hesablamalar zamanı biz m 3 = 3 780 alırıq.
m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) hesablamaq bizim üçün qalır. Eyni alqoritmə uyğun hərəkət edirik. m 4 \u003d 94 500 alırıq.
Nümunə şərtindən dörd ədədin LCM-i 94500-dir.
Cavab: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.
Gördüyünüz kimi, hesablamalar sadədir, lakin olduqca zəhmətlidir. Vaxta qənaət etmək üçün başqa yolla gedə bilərsiniz.
Tərif 4
Sizə aşağıdakı hərəkət alqoritmini təklif edirik:
- bütün ədədləri sadə amillərə parçalamaq;
- birinci ədədin amillərinin hasilinə ikinci ədədin hasilindən çatışmayan amilləri əlavə edin;
- əvvəlki mərhələdə alınan məhsula üçüncü ədədin çatışmayan əmsallarını əlavə etmək və s.;
- nəticədə alınan məhsul şərtdən bütün ədədlərin ən kiçik ümumi qatı olacaqdır.
Misal 8
Beş ədədin LCM-ni tapmaq lazımdır 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Qərar
Gəlin bütün beş ədədi sadə amillərə ayıraq: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Sadə ədədlər, yəni 7 rəqəmi sadə amillərə aid edilə bilməz. Belə ədədlər onların əsas amillərə parçalanması ilə üst-üstə düşür.
İndi 84 ədədinin 2, 2, 3 və 7 sadə amillərinin hasilini götürək və onlara ikinci ədədin çatışmayan çarpanlarını əlavə edək. 6 rəqəmini 2 və 3-ə böldük. Bu amillər artıq birinci nömrənin hasilindədir. Buna görə də biz onları buraxırıq.
Çatışmayan çarpanları əlavə etməyə davam edirik. 2 və 2 aldığımız sadə amillərin hasilindən 48 rəqəminə müraciət edirik. Sonra dördüncü ədəddən sadə 7 əmsalı və beşincinin 11 və 13-ün amillərini əlavə edirik. Alırıq: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Bu, beş orijinal ədədin ən kiçik ümumi çoxluğudur.
Cavab: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Mənfi ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğunun tapılması
Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq üçün mənfi ədədlər, bu ədədlər əvvəlcə əks işarəli rəqəmlərlə əvəz edilməli, sonra isə yuxarıda göstərilən alqoritmlərə uyğun olaraq hesablamalar aparılmalıdır.
Misal 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) və LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Bu cür hərəkətlər ona görə caizdir ki, qəbul olunarsa a və − a- əks nömrələr
sonra qatlar çoxluğu aədədin qatlarının çoxluğu ilə üst-üstə düşür − a.
Misal 10
Mənfi ədədlərin LCM-ni hesablamaq lazımdır − 145 və − 45 .
Qərar
Gəlin rəqəmləri dəyişək − 145 və − 45 onların əks nömrələrinə 145 və 45 . İndi alqoritmdən istifadə edərək, əvvəllər Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD-ni təyin edərək LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 hesablayırıq.
Alırıq ki, LCM ədədləri - 145 və − 45 bərabərdir 1 305 .
Cavab: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
LCM-nin necə hesablanacağını başa düşmək üçün əvvəlcə "çoxluq" termininin mənasını müəyyənləşdirməlisiniz.
A-nın qatı A-ya qalıqsız bölünən natural ədəddir.Beləliklə, 15, 20, 25 və s. 5-in qatları sayıla bilər.
Müəyyən bir ədədin məhdud sayda bölənləri ola bilər, lakin sonsuz sayda çoxalmalar var.
Natural ədədlərin ümumi çoxluğu onlara qalıqsız bölünən ədəddir.
Ən kiçik ümumi çoxluğu necə tapmaq olar
Ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM) (iki, üç və ya daha çox) bütün bu ədədlərə bərabər bölünən ən kiçik natural ədəddir.
MOK-u tapmaq üçün bir neçə üsuldan istifadə edə bilərsiniz.
Kiçik ədədlər üçün, onların arasında ümumi bir ədəd tapılana qədər bu ədədlərin bütün qatlarını bir sətirdə yazmaq rahatdır. Çoxluqlar qeyddə böyük K hərfi ilə qeyd olunur.
Məsələn, 4-ün qatları belə yazıla bilər:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Beləliklə, 4 və 6 rəqəmlərinin ən kiçik ortaq qatının 24 rəqəmi olduğunu görə bilərsiniz. Bu giriş aşağıdakı kimi yerinə yetirilir:
LCM(4, 6) = 24
Rəqəmlər böyükdürsə, üç və ya daha çox ədədin ümumi qatını tapın, onda LCM-i hesablamaq üçün başqa bir üsuldan istifadə etmək daha yaxşıdır.
Tapşırığı yerinə yetirmək üçün təklif olunan ədədləri əsas amillərə bölmək lazımdır.
Əvvəlcə bir sətirdəki nömrələrin ən böyüyünün genişlənməsini, aşağıda isə qalanını yazmalısınız.
Hər nömrənin genişləndirilməsi, ola bilər müxtəlif miqdarçarpanları.
Məsələn, 50 və 20 ədədlərini sadə amillərə ayıraq.
Daha kiçik sayın genişlənməsində birincinin genişlənməsində olmayan amillər vurğulanmalıdır. böyük rəqəm və sonra onları əlavə edin. Təqdim olunan nümunədə bir ikili yoxdur.
İndi 20 və 50-nin ən kiçik ümumi qatını hesablaya bilərik.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Beləliklə, əsas amillərin məhsulu daha çox və böyük olanın genişlənməsinə daxil olmayan ikinci ədədin amilləri ən kiçik ümumi çoxluq olacaqdır.
Üç və ya daha çox ədədin LCM-ni tapmaq üçün onların hamısı əvvəlki vəziyyətdə olduğu kimi əsas amillərə parçalanmalıdır.
Nümunə olaraq, 16, 24, 36 ədədlərinin ən kiçik ortaq qatını tapa bilərsiniz.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Beləliklə, on altının parçalanmasından yalnız iki ikilik daha böyük bir ədədin faktorlaşdırılmasına daxil edilmədi (biri iyirmi dördün parçalanmasındadır).
Beləliklə, onları daha çox sayda parçalanmaya əlavə etmək lazımdır.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Ən kiçik ümumi çoxluğu təyin etməyin xüsusi halları var. Beləliklə, əgər ədədlərdən birini digərinə qalıqsız bölmək olarsa, onda bu ədədlərdən böyüyü ən kiçik ümumi çoxluq olacaqdır.
Məsələn, on iki və iyirmi dörd nəfərdən ibarət MOK-lar iyirmi dörd olardı.
Əgər eyni bölənləri olmayan çox sadə ədədlərin ən kiçik ümumi qatını tapmaq lazımdırsa, onda onların LCM hasilinə bərabər olacaqdır.
Məsələn, LCM(10, 11) = 110.