Loqarifmin və göstəricinin xassələri. Natural loqarifm və ədədi kompleks ədədlərlə ifadələr
Heç də pis deyil, elə deyilmi? Riyaziyyatçılar sizə uzun, dolaşıq tərif vermək üçün sözlər axtararkən, gəlin bu sadə və aydın tərifə daha yaxından nəzər salaq.
e rəqəmi artım deməkdir
e rəqəmi davamlı artım deməkdir. Əvvəlki misalda gördüyümüz kimi, e x bizə faiz və vaxtı əlaqələndirməyə imkan verir: 100% artımla 3 il, “mürəkkəb faiz” fərz etsək, 300% ilə 1 il eynidir.
İstənilən faiz və vaxt dəyərlərini (4 il üçün 50%) əvəz edə bilərsiniz, lakin rahatlıq üçün faizi 100% olaraq təyin etmək daha yaxşıdır (2 il üçün 100% çıxır). 100%-ə keçməklə biz yalnız vaxt komponentinə diqqət yetirə bilərik:
e x = e faiz * vaxt = e 1,0 * vaxt = e vaxt
Aydındır ki, e x deməkdir:
- x vaxt vahidindən sonra töhfəm nə qədər artacaq (100% davamlı artım fərz etsək).
- məsələn, 3 vaxt intervalından sonra mən e 3 = 20,08 dəfə çox “şey” alacağam.
e x, x müddətdə hansı səviyyəyə yüksələcəyimizi göstərən miqyas amilidir.
Təbii loqarifm zaman deməkdir
Təbii loqarifm e-nin tərsidir, əks üçün gözəl bir termindir. Qeyri-adiliklərdən danışarkən; Latın dilində ona logarithmus naturali deyilir, buna görə də ln abbreviaturası yaranıb.
Və bu inversiya və ya əks nə deməkdir?
- e x bizə vaxtı əvəz etməyə və böyümə əldə etməyə imkan verir.
- ln(x) bizə artım və ya gəlir götürməyə və onu yaratmaq üçün lazım olan vaxtı öyrənməyə imkan verir.
Misal üçün:
- e 3 20.08-ə bərabərdir. Üç müddətdən sonra başladığımızdan 20,08 dəfə çox olacağıq.
- ln(08/20) təqribən 3 olacaq. Əgər 20,08 dəfə artımla maraqlanırsınızsa, sizə 3 vaxt lazımdır (yenidən 100% davamlı artım fərz etsək).
Hələ də oxuyursunuz? Təbii loqarifm istənilən səviyyəyə çatmaq üçün lazım olan vaxtı göstərir.
Bu qeyri-standart loqarifmik hesab
Loqarifmlərdən keçmisiniz - onlar qəribə canlılardır. Onlar vurmağı əlavəyə çevirməyi necə bacardılar? Çıxmaya bölmə haqqında nə demək olar? Gəlin nəzər salaq.
ln(1) nəyə bərabərdir? İntuitiv olaraq sual budur: məndə olandan 1 dəfə çox almaq üçün nə qədər gözləməliyəm?
Sıfır. Sıfır. Dəyməz. Artıq bir dəfə var. 1-ci səviyyədən 1-ci səviyyəyə keçmək çox vaxt çəkmir.
- log(1) = 0
Yaxşı, fraksiya dəyəri haqqında nə demək olar? Mövcud miqdarın 1/2 hissəsinin qalması bizə nə qədər vaxt aparacaq? Biz bilirik ki, 100% davamlı artımla ln(2) ikiqat üçün lazım olan vaxt deməkdir. Biz əgər vaxtı geri çevirək(yəni, mənfi bir müddət gözləyin), onda əlimizdə olanın yarısını alacağıq.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0,693
Məntiqli, hə? 0,693 saniyəyə (geri vaxta) qayıtsaq, mövcud məbləğin yarısını tapacağıq. Ümumiyyətlə, kəsri çevirib mənfi qiymət ala bilərsiniz: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Bu o deməkdir ki, 1,09 dəfə keçmişə qayıtsaq, indiki rəqəmin yalnız üçdə birini tapa bilərik.
Yaxşı, mənfi ədədin loqarifmi haqqında nə demək olar? Bakteriya koloniyasını 1-dən -3-ə qədər "böyütmək" üçün nə qədər vaxt lazımdır?
Bu mümkün deyil! Mənfi bakteriya sayını əldə edə bilməzsiniz, elə deyilmi? Maksimum (e...minimum) sıfır əldə edə bilərsiniz, lakin bu kiçik canlılardan mənfi ədəd əldə etməyin heç bir yolu yoxdur. Mənfi bakteriyaların sayının sadəcə mənası yoxdur.
- ln(mənfi ədəd) = qeyri-müəyyən
"Müəyyən edilməmiş" o deməkdir ki, mənfi dəyər əldə etmək üçün gözləməli olacaq heç bir vaxt yoxdur.
Loqarifmik vurma sadəcə şəndir
Dörd qat böyümək üçün nə qədər vaxt lazımdır? Əlbəttə ki, siz sadəcə ln(4) götürə bilərsiniz. Ancaq bu çox sadədir, biz başqa yolla gedəcəyik.
Dördqat artımı ikiqat artım (ln(2) vaxt vahidi tələb edir) və sonra yenidən ikiqat artır (başqa ln(2) vaxt vahidi tələb olunur) kimi düşünə bilərsiniz:
- 4 dəfə böyümə vaxtı = ln(4) = İkiqat və sonra yenidən ikiqat artırma vaxtı = ln(2) + ln(2)
Maraqlıdır. İstənilən artım sürəti, məsələn, 20, 10x artımdan dərhal sonra ikiqat artım hesab edilə bilər. Və ya 4 dəfə, sonra isə 5 dəfə artım. Və ya üç dəfə və sonra 6,666 dəfə artır. Nümunə baxın?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
A dəfə B loqarifmi log(A) + log(B)-dir. Bu əlaqə artım baxımından baxdıqda dərhal məna kəsb edir.
Əgər siz 30x artımla maraqlanırsınızsa, bir oturuşda ln(30) gözləyə və ya üçqat artım üçün ln(3), sonra isə 10x üçün başqa ln(10) gözləyə bilərsiniz. Son nəticə eynidir, buna görə də, əlbəttə ki, vaxt sabit qalmalıdır (və belədir).
Bəs bölgü? Konkret olaraq, ln(5/3) deməkdir: 5 dəfə böyümək və sonra bunun 1/3 hissəsini almaq üçün nə qədər vaxt lazımdır?
Əla, 5 dəfə artım ln(5). 1/3 dəfə artım -ln(3) vaxt vahidi alacaq. Belə ki,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Bu o deməkdir ki, 5 dəfə böyüməsinə icazə verin və sonra bu məbləğin yalnız üçdə birinin qaldığı nöqtəyə qədər "zamanla geri qayıdın", beləliklə 5/3 artım əldə edin. Ümumiyyətlə, belə çıxır
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Ümid edirəm ki, loqarifmlərin qəribə arifmetikası sizə məna verməyə başlayır: artım templərinin çoxaldılması artım zaman vahidlərinin əlavə edilməsinə, bölmə isə zaman vahidlərinin çıxılmasına çevrilir. Qaydaları əzbərləməyə ehtiyac yoxdur, onları anlamağa çalışın.
İxtiyari artım üçün təbii loqarifmdən istifadə
Yaxşı, əlbəttə ki," deyirsiniz, "artım 100% olarsa, bunların hamısı yaxşıdır, bəs mənim əldə etdiyim 5% nədir?"
Problem deyil. ln() ilə hesabladığımız “vaxt” əslində faiz dərəcəsi və zamanın birləşməsidir, e x tənliyindən eyni X. Biz sadəcə olaraq sadəlik üçün faizi 100%-ə təyin etmək qərarına gəldik, lakin istənilən rəqəmdən istifadə etməkdə sərbəstik.
Tutaq ki, biz 30x artıma nail olmaq istəyirik: ln(30) götürün və 3.4 alın Bu o deməkdir:
- e x = hündürlük
- e 3.4 = 30
Aydındır ki, bu tənlik "3,4 il ərzində 100% gəlir 30x artım verir" deməkdir. Bu tənliyi aşağıdakı kimi yaza bilərik:
- e x = e dərəcəsi*zaman
- e 100% * 3,4 il = 30
Mərc * vaxtı 3.4 olaraq qaldığı müddətcə “stavka” və “vaxt” dəyərlərini dəyişə bilərik. Məsələn, 30x artımla maraqlanırıqsa, 5% faizlə nə qədər gözləməliyik?
- ln(30) = 3.4
- dərəcə * vaxt = 3.4
- 0,05 * vaxt = 3,4
- vaxt = 3,4 / 0,05 = 68 il
Mən belə əsaslandırıram: "ln(30) = 3,4, buna görə də 100% artımda bu 3,4 il çəkəcək. Əgər artım tempini iki dəfə artırsam, tələb olunan vaxt iki dəfə azalacaq."
- 3,4 il üçün 100% = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 1,7 ildə 200% = 2,0 * 1,7 = 3,4
- 6,8 il üçün 50% = 0,5 * 6,8 = 3,4
- 68 yaşdan yuxarı 5% = .05 * 68 = 3.4.
Əla, hə? Təbii loqarifm istənilən faiz dərəcəsi və zamanla istifadə edilə bilər, çünki onların məhsulu sabit qalır. Dəyişən dəyərləri istədiyiniz qədər köçürə bilərsiniz.
Sərin nümunə: Yetmiş iki qaydası
Yetmiş iki qayda pulunuzun ikiqat artmasının nə qədər vaxt alacağını təxmin etməyə imkan verən riyazi texnikadır. İndi biz onu çıxaracağıq (bəli!), üstəlik, onun mahiyyətini anlamağa çalışacağıq.
Hər il yığılan 100% faizlə pulunuzu ikiqat etmək nə qədər vaxt aparacaq?
vay. Davamlı artım halı üçün təbii loqarifmadan istifadə etdik və indi illik birləşmədən danışırsınız? Bu düstur belə bir hal üçün yararsız olmazdımı? Bəli, olacaq, lakin 5%, 6% və ya hətta 15% kimi real faiz dərəcələri üçün illik kompaundlaşdırma ilə davamlı artım arasında fərq kiçik olacaq. Beləliklə, təxmini təxmin işləyir, um, təxminən, ona görə də biz iddia edəcəyik ki, bizdə tamamilə davamlı hesablama var.
İndi sual sadədir: 100% artımla nə qədər tez ikiqat edə bilərsiniz? ln (2) = 0,693. Məbləğimizi 100% davamlı artımla ikiqat artırmaq üçün 0,693 zaman vahidi (bizim vəziyyətimizdə il) lazımdır.
Bəs, faiz 100% deyil, 5% və ya 10% olsa nə olar?
Asanlıqla! Mərc * vaxt = 0.693 olduğundan, məbləği ikiqat artıracağıq:
- dərəcəsi * vaxt = 0,693
- vaxt = 0.693 / mərc
Belə çıxır ki, artım 10% olarsa, ikiqat artması üçün 0,693 / 0,10 = 6,93 il lazımdır.
Hesablamaları sadələşdirmək üçün hər iki tərəfi 100-ə vuraq, onda "0,10" deyil, "10" deyə bilərik:
- ikiqat vaxt = 69.3 / mərc, burada mərc faizlə ifadə edilir.
İndi 5%, 69,3 / 5 = 13,86 il nisbətində ikiqat artırmağın vaxtı gəldi. Bununla belə, 69,3 ən əlverişli dividend deyil. 2, 3, 4, 6, 8 və digər ədədlərə bölmək üçün əlverişli olan 72-yə yaxın bir ədəd seçək.
- ikiqat vaxt = 72 / mərc
bu da yetmiş ikinin qaydasıdır. Hər şey örtülüdür.
Əgər üçqat üçün vaxt tapmaq lazımdırsa, ln(3) ~ 109.8-dən istifadə edib əldə edə bilərsiniz.
- üç dəfə = 110 / mərc
Bu başqa faydalı qaydadır. "72 qaydası" faiz dərəcələrində artım, əhalinin artımı, bakteriya mədəniyyətləri və eksponent olaraq böyüyən hər şeyə aiddir.
Sonra nə var?
Ümid edirəm ki, təbii loqarifm indi sizin üçün məna kəsb edir - o, istənilən ədədin eksponent olaraq böyüməsi üçün lazım olan vaxtı göstərir. Düşünürəm ki, bu, təbii adlanır, çünki e böyümənin universal ölçüsüdür, ona görə də ln böyümənin nə qədər vaxt tələb etdiyini təyin etmək üçün universal bir üsul hesab edilə bilər.
Hər dəfə ln(x) görəndə "X dəfə böyümək üçün lazım olan vaxtı" xatırlayın. Gələcək məqalədə mən e və ln-i birlikdə təsvir edəcəyəm ki, riyaziyyatın təzə qoxusu havanı doldursun.
Əlavə: e-nin təbii loqarifmi
Sürətli test: ln(e) nədir?
- bir riyaziyyat robotu deyəcək: onlar bir-birinin tərsi olaraq təyin olunduğundan, ln(e) = 1 olduğu aydındır.
- anlayan insan: ln(e) "e" dəfə böyüməsi üçün lazım olan dəfələrin sayıdır (təxminən 2,718). Bununla belə, e rəqəminin özü 1 əmsal artım ölçüsüdür, ona görə də ln(e) = 1.
Aydın düşün.
9 sentyabr 2013-cü ilMövzular üzrə dərs və təqdimat: "Natural loqarifmlər. Natural loqarifmin əsası. Natural ədədin loqarifmi"
Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.
11-ci sinif üçün Integral onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
9-11-ci siniflər üçün "Triqonometriya" interaktiv dərs vəsaiti
10-11-ci siniflər üçün interaktiv dərslik "Loqarifmlər"
Təbii loqarifm nədir
Uşaqlar, son dərsdə yeni, xüsusi bir nömrə öyrəndik - e.Biz loqarifmləri öyrənmişik və bilirik ki, loqarifmin əsası 0-dan böyük olan çoxlu ədədlər ola bilər. Bu gün bazası e ədədi olan loqarifmə də baxacağıq. Onun öz qeydi var: $\ln(n)$ təbii loqarifmdir. Bu giriş aşağıdakı girişə bərabərdir: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponensial və loqarifmik funksiyalar tərsdir, onda natural loqarifm funksiyanın tərsidir: $y=e^x$.
$y=x$ düz xəttinə görə tərs funksiyalar simmetrikdir.
$y=x$ düz xəttinə nisbətdə eksponensial funksiyanın qrafikini çəkərək natural loqarifmi quraq.
Qeyd etmək lazımdır ki, (0;1) nöqtəsində $y=e^x$ funksiyasının qrafikinə toxunan maillik bucağı 45°-dir. Onda (1;0) nöqtəsində təbii loqarifmin qrafikinə toxunanın meyl bucağı da 45°-ə bərabər olacaqdır. Bu tangenslərin hər ikisi $y=x$ xəttinə paralel olacaq. Tangenslərin diaqramını çəkək: 
$y=\ln(x)$ funksiyasının xassələri
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Nə cüt, nə də tək deyil.
3. Tərifin bütün sahəsi boyunca artır.
4. Yuxarıdan məhdud deyil, aşağıdan məhdud deyil.
5. Ən böyük dəyər, minimum dəyər yoxdur.
6. Davamlı.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Qabarıq yuxarı.
9. Hər yerdə fərqlənə bilər.
Ali riyaziyyat kursunda sübut olunur ki tərs funksiyanın törəməsi verilmiş funksiyanın törəməsinin tərsidir.
Sübutlara keçməyin çox mənası yoxdur, sadəcə olaraq düsturu yazaq: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Misal.
Funksiyanın törəməsinin qiymətini hesablayın: $x=4$ nöqtəsində $y=\ln(2x-7)$.
Həll.
Ümumiyyətlə, bizim funksiyamız $y=f(kx+m)$ funksiyası ilə təmsil olunur, belə funksiyaların törəmələrini hesablaya bilərik;
$y"=(\ln((2x-7))"=\frac(2)((2x-7))$.
Tələb olunan nöqtədə törəmənin qiymətini hesablayaq: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Cavab: 2.
Misal.
$y=ln(x)$ funksiyasının qrafikinə $х=е$ nöqtəsində tangens çəkin.
Həll.
Biz $x=a$ nöqtəsində funksiyanın qrafikinə toxunan tənliyi yaxşı xatırlayırıq.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Lazımi dəyərləri ardıcıl olaraq hesablayırıq.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
$x=e$ nöqtəsindəki tangens tənliyi $y=\frac(x)(e)$ funksiyasıdır.
Təbii loqarifmi və tangens xəttini çəkək. 
Misal.
Funksiyanı monotonluq və ekstremallıq üçün yoxlayın: $y=x^6-6*ln(x)$.
Həll.
$D(y)=(0;+∞)$ funksiyasının təyinetmə sahəsi.
Verilmiş funksiyanın törəməsini tapaq:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Törəmə tərif sahəsindən bütün x üçün mövcuddur, onda heç bir kritik nöqtə yoxdur. Stasionar nöqtələri tapaq:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
$x=-1$ nöqtəsi tərif sahəsinə aid deyil. Onda $x=1$ bir stasionar nöqtəmiz var. Artan və azalan intervalları tapaq: 
$x=1$ nöqtəsi minimum nöqtədir, sonra $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Cavab: (0;1] seqmentində funksiya azalır, $ şüasında funksiya artır)