Prizma. Paralelepiped

prizma naziva se poliedar čija su dva lica jednaka n-uglova (osnova) , koji leže u paralelnim ravnima, a preostalih n lica su paralelogrami (bočne ivice) . Bočno rebro prizma je strana bočne strane koja ne pripada bazi.

Zove se prizma čije su bočne ivice okomite na ravni baza ravno prizma (sl. 1). Ako bočne ivice nisu okomite na ravni baza, tada se prizma naziva koso . Tačno Prizma je ravna prizma čije su osnove pravilni mnogouglovi.

Visina prizma se naziva rastojanje između ravnina baza. Dijagonala Prizma je segment koji spaja dva vrha koji ne pripadaju istom licu. dijagonalni presjek Presjek prizme ravninom koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju istoj površini naziva se. Okomiti presjek naziva se presjek prizme ravninom koja je okomita na bočnu ivicu prizme.

Površina bočne površine prizma je zbir površina svih bočnih strana. Puna površina naziva se zbir površina svih površina prizme (tj. zbir površina bočnih strana i površina baza).

Za proizvoljnu prizmu, formule su tačne:

gdje l je dužina bočnog rebra;

H- visina;

P

Q

S strana

S puna

S main je površina baza;

V je zapremina prizme.

Za ravnu prizmu, sljedeće formule su tačne:

gdje str- obim osnove;

l je dužina bočnog rebra;

H- visina.

Paralelepiped Zove se prizma čija je osnova paralelogram. Paralelepiped čije su bočne ivice okomite na osnove naziva se direktno (Sl. 2). Ako bočne ivice nisu okomite na baze, onda se naziva paralelepiped koso . Zove se pravi paralelepiped čija je osnova pravougaonik pravougaona. Zove se pravougaoni paralelepiped u kojem su sve ivice jednake kocka.

Lica paralelepipeda koja nemaju zajedničke vrhove nazivaju se suprotno . Zovu se dužine ivica koje izlaze iz jednog vrha mjerenja paralelepiped. Pošto je kutija prizma, njeni glavni elementi su definisani na isti način kao što su definisani za prizme.

Teoreme.

1. Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i dijele je popola.

2. U pravougaonom paralelepipedu kvadrat dužine dijagonale jednak je zbiru kvadrata njegove tri dimenzije:

3. Sve četiri dijagonale pravougaonog paralelepipeda jednake su jedna drugoj.

Za proizvoljni paralelepiped, sljedeće formule su tačne:

gdje l je dužina bočnog rebra;

H- visina;

P je obim okomitog presjeka;

Q– Površina okomitog presjeka;

S strana je bočna površina;

S puna je ukupna površina;

S main je površina baza;

V je zapremina prizme.

Za desni paralelepiped, sljedeće formule su tačne:

gdje str- obim osnove;

l je dužina bočnog rebra;

H je visina desnog paralelepipeda.

Za pravougaoni paralelepiped, sljedeće formule su tačne:

(3)

gdje str- obim osnove;

H- visina;

d- dijagonala;

a,b,c– mjerenja paralelepipeda.

Ispravne formule za kocku su:

gdje a je dužina rebra;

d je dijagonala kocke.

Primjer 1 Dijagonala pravougaonog kvadra je 33 dm, a njegove mjere su povezane kao 2: 6: 9. Pronađite mjere kvadra.

Rješenje. Za pronalaženje dimenzija paralelepipeda koristimo formulu (3), tj. činjenica da je kvadrat hipotenuze kvadra jednak zbiru kvadrata njegovih dimenzija. Označiti sa k koeficijent proporcionalnosti. Tada će dimenzije paralelepipeda biti jednake 2 k, 6k i 9 k. Pišemo formulu (3) za podatke problema:

Rješavanje ove jednadžbe za k, dobijamo:

Dakle, dimenzije paralelepipeda su 6 dm, 18 dm i 27 dm.

odgovor: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Primjer 2 Odredite zapreminu nagnute trouglaste prizme čija je osnova jednakostranični trokut sa stranicom od 8 cm, ako je bočna ivica jednaka stranici osnove i nagnuta je pod uglom od 60º prema osnovici.

Rješenje . Napravimo crtež (slika 3).

Da biste pronašli zapreminu nagnute prizme, morate znati površinu njene osnove i visinu. Površina osnove ove prizme je površina jednakostraničnog trokuta sa stranicom od 8 cm. Izračunajmo je:

Visina prizme je rastojanje između njenih osnova. Sa vrha ALI 1 gornje baze spuštamo okomicu na ravninu donje baze ALI 1 D. Njegova dužina će biti visina prizme. Uzmite u obzir D ALI 1 AD: budući da je ovo ugao nagiba bočnog rebra ALI 1 ALI na osnovnu ravan ALI 1 ALI= 8 cm Iz ovog trougla nalazimo ALI 1 D:

Sada izračunavamo zapreminu koristeći formulu (1):

odgovor: 192 cm3.

Primjer 3 Bočna ivica pravilne šesterokutne prizme je 14 cm. Površina najvećeg dijagonalnog presjeka je 168 cm 2. Pronađite ukupnu površinu prizme.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 4)

Najveći dijagonalni presjek je pravougaonik aa 1 DD 1 , budući da je dijagonala AD pravilan heksagon ABCDEF je najveći. Da bi se izračunala bočna površina prizme, potrebno je znati stranu osnove i dužinu bočnog rebra.

Poznavajući površinu dijagonalnog presjeka (pravokutnika), nalazimo dijagonalu baze.

Od tada

Od tada AB= 6 cm.

Tada je obim baze:

Pronađite površinu bočne površine prizme:

Površina pravilnog šestougla sa stranom od 6 cm je:

Pronađite ukupnu površinu prizme:

odgovor:

Primjer 4 Osnova pravog paralelepipeda je romb. Površine dijagonalnih presjeka su 300 cm 2 i 875 cm 2. Pronađite površinu bočne površine paralelepipeda.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 5).

Označite stranu romba sa a, dijagonale romba d 1 i d 2, visina kutije h. Da biste pronašli površinu bočne površine ravnog paralelepipeda, potrebno je pomnožiti obim baze sa visinom: (formula (2)). Perimetar baze p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, jer A B C D- romb. H = AA 1 = h. To. Treba pronaći a i h.

Razmotrite dijagonalne presjeke. aa 1 SS 1 - pravougaonik čija je jedna strana dijagonala romba AC = d 1 , drugi - bočni rub aa 1 = h, onda

Slično i za sekciju BB 1 DD 1 dobijamo:

Koristeći svojstvo paralelograma tako da je zbir kvadrata dijagonala jednak zbiru kvadrata svih njegovih stranica, dobijamo jednakost. Dobijamo sljedeće.

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su osnove dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Bočno rebro je zajednička strana dvije susjedne bočne strane

Visina prizme je segment okomit na osnove prizme

Prism Diagonal- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istom licu

Dijagonalna ravan- ravan koja prolazi kroz dijagonalu prizme i njene bočne ivice

Dijagonalni presjek- granice preseka prizme i dijagonalne ravni. Dijagonalni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je presek prizme i ravni povučene okomito na njene bočne ivice

Elementi pravilne četvorougaone prizme

Na slici su prikazane dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Osnove ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 jednake su i paralelne jedna s drugom
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravougaonik
• Bočna površina - zbir površina svih bočnih strana prizme
• Ukupna površina - zbir površina svih baza i bočnih strana (zbir površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1 , BB 1 , CC 1 i DD 1 .
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2 .

Svojstva pravilne četvorougaone prizme

• Osnove su dva jednaka kvadrata
• Osnove su paralelne jedna s drugom
• Stranice su pravougaonici.
• Bočne strane su jednake jedna drugoj
• Bočne strane su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s osnovama
• Uglovi okomitog presjeka - desno
• Dijagonalni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik
• Okomito (ortogonalni presjek) paralelno sa bazama

Formule za pravilnu četvorougaonu prizmu

Uputstva za rješavanje problema

Prilikom rješavanja problema na temu " pravilna četvorougaona prizma" implicira da:

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan poligon, a bočne ivice su okomite na ravni baze. To jest, pravilna četvorougaona prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi iznad svojstva pravilne četvorougaone prizme) Bilješka. Ovo je dio lekcije sa zadacima iz geometrije (presjek čvrsta geometrija - prizma). Evo zadataka koji uzrokuju poteškoće u rješavanju. Ako trebate riješiti problem iz geometrije kojeg ovdje nema - pišite o tome na forumu. Za označavanje akcije vađenja kvadratnog korijena u rješavanju problema koristi se simbol√ .

Zadatak.

U pravilnoj četvorougaonoj prizmi površina osnove je 144 cm 2, a visina 14 cm. Odrediti dijagonalu prizme i ukupnu površinu.

Rješenje.
Pravilan četvorougao je kvadrat.
Prema tome, strana baze će biti jednaka

√144 = 12 cm.
Otuda će dijagonala osnove pravilne pravokutne prizme biti jednaka
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Dijagonala pravilne prizme sa dijagonalom osnove i visinom prizme formira pravougaoni trokut. Prema tome, prema Pitagorinoj teoremi, dijagonala date pravilne četverougaone prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovori: 22 cm

Zadatak

Nađite ukupnu površinu pravilne četverokutne prizme ako je njena dijagonala 5 cm, a dijagonala bočne strane 4 cm.

Rješenje.
Pošto je osnova pravilne četvorougaone prizme kvadrat, onda se stranica baze (označena kao a) nalazi po Pitagorinoj teoremi:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) će tada biti jednaka:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

Ukupna površina će biti jednaka zbroju bočne površine i dvostruke površine osnove

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

U prostornoj geometriji, kada se rješavaju problemi s prizmama, često se javlja problem s izračunavanjem površine stranica ili lica koja formiraju ove trodimenzionalne figure. Ovaj članak je posvećen pitanju određivanja površine osnove prizme i njene bočne površine.

Figura prizma

Prije nego što pređemo na razmatranje formula za površinu osnove i površine prizme ove ili one vrste, potrebno je razumjeti o kakvoj figuri je riječ.

Prizma u geometriji je prostorna figura koja se sastoji od dva paralelna poligona koji su međusobno jednaki i nekoliko četverouglova ili paralelograma. Broj ovih potonjih uvijek je jednak broju vrhova jednog poligona. Na primjer, ako je lik formiran od dva paralelna n-ugla, tada će broj paralelograma biti n.

Spojni n-uglovi paralelograma nazivaju se stranice prizme, a njihova ukupna površina je površina bočne površine figure. Sami n-uglovi se nazivaju bazama.

Slika iznad prikazuje primjer papirne prizme. Žuti pravougaonik je njegova gornja osnova. Na drugoj bazi iste figure stoji. Crveni i zeleni pravougaonici su bočne strane.

Šta su prizme?

Postoji nekoliko vrsta prizmi. Svi se oni međusobno razlikuju u samo dva parametra:

• tip n-ugla koji formira baze;
• ugao između n-ugla i bočnih strana.

Na primjer, ako su osnovice trokuti, tada se prizma naziva trokutasta prizma, ako su četverouglovi, kao na prethodnoj slici, onda se figura naziva četverokutna prizma i tako dalje. Osim toga, n-ugao može biti konveksan ili konkavan, tada se ovo svojstvo dodaje i nazivu prizme.

Ugao između bočnih strana i osnove može biti ravan ili oštar ili tup. U prvom slučaju govore o pravokutnoj prizmi, u drugom - o nagnutoj ili kosoj.

Pravilne prizme se izdvajaju u posebnu vrstu figure. Imaju najveću simetriju među ostalim prizmama. Biće ispravan samo ako je pravougaonog oblika i ako mu je osnova pravilan n-ugao. Na slici ispod prikazan je skup pravilnih prizmi, u kojima broj strana n-ugla varira od tri do osam.

Površina prizme

Površina razmatrane figure proizvoljnog tipa podrazumijeva se kao ukupnost svih tačaka koje pripadaju plohama prizme. Pogodno je proučavati površinu prizme uzimajući u obzir njen razvoj. Ispod je primjer takvog zamaha za trokutastu prizmu.

Može se vidjeti da cijelu površinu čine dva trokuta i tri pravokutnika.

U slučaju prizme opšteg tipa, njena površina će se sastojati od dve n-ugaone osnove i n četvorougla.

Razmotrimo detaljnije pitanje izračunavanja površine prizmi različitih tipova.

Osnovna površina prizme

Možda je najlakši zadatak pri radu s prizmama problem pronalaženja osnovne površine pravilne figure. Pošto ga čini n-ugao, za koji su svi uglovi i dužine stranica isti, uvek ga je moguće podeliti na identične trouglove, za koje su poznati uglovi i stranice. Ukupna površina trokuta će biti površina n-ugla.

Drugi način za određivanje dijela površine prizme (baze) je korištenje dobro poznate formule. izgleda ovako:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

To jest, površina S n n-ugla je jedinstveno određena na osnovu znanja o dužini njegove stranice a. Određena poteškoća u izračunavanju formule može biti izračunavanje kotangensa, posebno kada je n>4 (za n≤4, vrijednosti kotangensa su tabelarni podaci). Za određivanje ove trigonometrijske funkcije preporučuje se korištenje kalkulatora.

Prilikom postavljanja geometrijskog problema treba biti oprezan, jer će možda biti potrebno pronaći površinu osnova prizme. Tada vrijednost dobijenu formulom treba pomnožiti sa dva.

Površina osnove trouglaste prizme

Koristeći primjer trokutaste prizme, razmislite kako možete pronaći površinu osnove ove figure.

Prvo, razmotrite jednostavan slučaj - običnu prizmu. Površina baze izračunava se prema formuli datoj u gornjem pasusu, u nju morate zamijeniti n = 3. Dobijamo:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Ostaje da se u izraz zamijene određene vrijednosti dužine stranice a jednakostraničnog trokuta kako bi se dobila površina jedne baze.

Pretpostavimo sada da imamo prizmu čija je osnova proizvoljan trougao. Poznate su njegove dvije strane a i b i ugao između njih α. Ova slika je prikazana ispod.

Kako u ovom slučaju pronaći površinu osnove trokutaste prizme? Treba imati na umu da je površina bilo kojeg trokuta jednaka polovini umnoška stranice i visine spuštene na ovu stranu. Na slici je prikazana visina h prema strani b. Dužina h odgovara proizvodu sinusa ugla alfa i dužine stranice a. Tada je površina cijelog trokuta:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Ovo je osnovna površina prikazane trokutaste prizme.

Bočna površina

Shvatili smo kako pronaći površinu osnove prizme. Bočna površina ove figure uvijek se sastoji od paralelograma. Za ravne prizme, paralelogrami postaju pravokutnici, tako da je lako izračunati njihovu ukupnu površinu:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Ovdje je b dužina bočne ivice, a i dužina stranice i-tog pravougaonika, koja se poklapa sa dužinom stranice n-ugla. U slučaju pravilne n-gonalne prizme, dobijamo jednostavan izraz:

Ako je prizma nagnuta, tada za određivanje površine njene bočne površine treba napraviti okomit rez, izračunati njen perimetar P sr i pomnožiti s dužinom bočnog rebra.

Gornja slika pokazuje kako ovaj rez treba napraviti za kosu peterokutnu prizmu.

Različite prizme se razlikuju jedna od druge. Istovremeno, imaju mnogo toga zajedničkog. Da biste pronašli površinu osnove prizme, morate shvatiti kako ona izgleda.

Opća teorija

Prizma je svaki poliedar čije stranice imaju oblik paralelograma. Štaviše, bilo koji poliedar može biti u svojoj osnovi - od trougla do n-ugla. Štaviše, baze prizme su uvijek jednake jedna drugoj. Ono što se ne odnosi na bočne strane - mogu se značajno razlikovati u veličini.

Prilikom rješavanja problema ne nailazi se samo na područje osnove prizme. Možda će biti potrebno poznavati bočnu površinu, odnosno sva lica koja nisu baze. Puna površina će već biti spoj svih lica koja čine prizmu.

Ponekad se visine pojavljuju u zadacima. Ona je okomita na baze. Dijagonala poliedra je segment koji u paru povezuje bilo koja dva vrha koji ne pripadaju istom licu.

Treba napomenuti da površina osnove ravne ili nagnute prizme ne ovisi o kutu između njih i bočnih strana. Ako imaju iste figure na gornjem i donjem licu, tada će njihove površine biti jednake.

trouglasta prizma

U osnovi ima lik sa tri vrha, odnosno trokut. Poznato je da je drugačije. Ako je tada dovoljno prisjetiti se da je njegova površina određena polovicom umnožaka nogu.

Matematička notacija izgleda ovako: S = ½ av.

Da biste saznali površinu baze u općem obliku, korisne su formule: Čaplja i ona u kojoj se polovina stranice uzima na visinu koja joj se povlači.

Prvu formulu treba napisati ovako: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Ovaj unos sadrži poluperimetar (p), odnosno zbir tri strane podijeljen sa dva.

Drugo: S = ½ n a * a.

Ako želite znati površinu osnove trokutaste prizme, koja je pravilna, onda je trokut jednakostraničan. Ima svoju formulu: S = ¼ a 2 * √3.

četvorougaona prizma

Njegova osnova je bilo koji od poznatih četverouglova. Može biti pravougaonik ili kvadrat, paralelepiped ili romb. U svakom slučaju, da biste izračunali površinu osnove prizme, trebat će vam vlastita formula.

Ako je osnova pravougaonik, tada se njegova površina određuje na sljedeći način: S = av, gdje su a, b stranice pravougaonika.

Kada je u pitanju četverokutna prizma, površina osnove pravilne prizme se izračunava pomoću formule za kvadrat. Jer on je taj koji leži u bazi. S \u003d a 2.

U slučaju kada je baza paralelepiped, bit će potrebna sljedeća jednakost: S \u003d a * n a. Dešava se da su date stranica paralelepipeda i jedan od uglova. Zatim, da biste izračunali visinu, morat ćete koristiti dodatnu formulu: na \u003d b * sin A. Štoviše, kut A je susjedni strani "b", a visina je na suprotnoj strani od ovog kuta.

Ako romb leži u osnovi prizme, tada će biti potrebna ista formula za određivanje njegove površine kao i za paralelogram (pošto je to poseban slučaj). Ali možete koristiti i ovaj: S = ½ d 1 d 2. Ovdje su d 1 i d 2 dvije dijagonale romba.

Pravilna petougaona prizma

Ovaj slučaj uključuje dijeljenje poligona na trouglove čije je površine lakše otkriti. Iako se dešava da figure mogu biti sa različitim brojem vrhova.

Pošto je osnova prizme pravilan petougao, može se podijeliti na pet jednakostraničnih trouglova. Tada je površina osnove prizme jednaka površini jednog takvog trougla (formula se može vidjeti gore), pomnožena sa pet.

Pravilna heksagonalna prizma

Prema principu opisanom za pentagonalnu prizmu, moguće je podijeliti osnovni šesterokut na 6 jednakostraničnih trouglova. Formula za površinu osnove takve prizme slična je prethodnoj. Samo u njemu treba pomnožiti sa šest.

Formula će izgledati ovako: S = 3/2 i 2 * √3.

Zadaci

br. 1. Data je pravilna linija. Njena dijagonala je 22 cm, visina poliedra je 14 cm. Izračunajte površinu osnove prizme i cijele površine.

Rješenje. Osnova prizme je kvadrat, ali njena stranica nije poznata. Njegovu vrijednost možete pronaći iz dijagonale kvadrata (x), koja je povezana s dijagonalom prizme (d) i njenom visinom (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. S druge strane, ovaj segment "x" je hipotenuza u trouglu čiji su kraci jednaki stranici kvadrata. To jest, x 2 \u003d a 2 + a 2. Dakle, ispada da je a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Zamijenite broj 22 umjesto d i zamijenite "n" njegovom vrijednošću - 14, ispada da je stranica kvadrata 12 cm. Sada je lako saznati osnovnu površinu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Da biste saznali površinu cijele površine, morate dodati dvostruku vrijednost osnovne površine i učetvorostručiti stranu. Potonje je lako pronaći po formuli za pravougaonik: pomnožite visinu poliedra i stranu baze. To jest, 14 i 12, ovaj broj će biti jednak 168 cm 2. Ukupna površina prizme je 960 cm 2 .

Odgovori. Površina osnove prizme je 144 cm2. Ukupna površina - 960 cm 2 .

2. Dana U osnovi leži trokut sa stranicom od 6 cm.U ovom slučaju dijagonala bočne strane je 10 cm.Izračunajte površine: osnova i bočna površina.

Rješenje. Pošto je prizma pravilna, njena osnova je jednakostranični trougao. Stoga se ispostavlja da je njegova površina jednaka 6 na kvadrat puta ¼ i kvadratnom korijenu od 3. Jednostavan izračun dovodi do rezultata: 9√3 cm 2. Ovo je površina jedne baze prizme.

Sve bočne strane su iste i predstavljaju pravougaonike sa stranicama od 6 i 10 cm. Da bi se izračunale njihove površine, dovoljno je ove brojeve pomnožiti. Zatim ih pomnožite sa tri, jer prizma ima tačno toliko bočnih strana. Tada je površina bočne površine namotana 180 cm 2 .

Odgovori. Površine: osnova - 9√3 cm 2, bočna površina prizme - 180 cm 2.

U školskom programu za predmet geometrija čvrstog tijela, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravnima. Poseban slučaj je pravilna četvorougaona prizma. Njegove osnove su 2 identična pravilna četverougla, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma

Pravilna četvorougaona prizma je heksaedar, u čijem su osnovama 2 kvadrata, a bočne strane su predstavljene pravokutnicima. Drugi naziv za ovu geometrijsku figuru je ravan paralelepiped.

Slika, koja prikazuje četverokutnu prizmu, prikazana je ispod.

Možete vidjeti i na slici najvažniji elementi koji čine geometrijsko tijelo. Obično se nazivaju:

Ponekad u problemima iz geometrije možete pronaći koncept preseka. Definicija će zvučati ovako: presjek su sve tačke volumetrijskog tijela koje pripadaju reznoj ravni. Presjek je okomit (prelazi rubove figure pod uglom od 90 stepeni). Za pravokutnu prizmu uzima se u obzir i dijagonalni presjek (maksimalni broj sekcija koji se mogu izgraditi je 2), koji prolazi kroz 2 ivice i dijagonale baze.

Ako je presjek nacrtan na način da rezna ravnina nije paralelna ni s osnovama ni sa bočnim stranama, rezultat je skraćena prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različiti omjeri i formule. Neki od njih su poznati iz kursa planimetrije (na primjer, da biste pronašli površinu osnove prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za površinu kvadrata).

Površina i zapremina

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati površinu njene baze i visinu:

V = Sprim h

Pošto je osnova pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a² h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake dužine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njen zamah.

Iz crteža se vidi da je bočna površina sastavljena od 4 jednaka pravougaonika. Njegova površina se izračunava kao proizvod opsega baze i visine figure:

Bočna strana = Poz h

Budući da je obim kvadrata P = 4a, formula ima oblik:

Sside = 4a h

za kocku:

Sside = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, dodajte 2 osnovne površine bočnoj površini:

Puno = Sside + 2Sbase

Primijenjena na četverokutnu pravilnu prizmu, formula ima oblik:

Puno = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Puno = 6a²

Poznavajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.

Pronalaženje elemenata prizme

Često postoje problemi u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne površine, gdje je potrebno odrediti dužinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima, formule se mogu izvesti:

• dužina osnovne strane: a = Sside / 4h = √(V / h);
• visina ili dužina bočnog rebra: h = bočna strana / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sprim = V / h;
• bočna površina lica: Side gr = bočna strana / 4.

Da biste odredili koliku površinu ima dijagonalni presjek, morate znati dužinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. dakle:

Sdiag = ah√2

Za izračunavanje dijagonale prizme koristi se formula:

dprize = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti gore navedene omjere, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema sa rješenjima

Evo nekih zadataka koji se pojavljuju na državnim završnim ispitima iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju u obliku pravilne četverokutne prizme. Visina njegovog nivoa je 10 cm Koliki će biti nivo peska ako ga premestite u posudu istog oblika, ali sa 2 puta dužom podlogom?

Trebalo bi to argumentirati na sljedeći način. Količina pijeska u prvom i drugom kontejneru se nije promijenila, odnosno njegov volumen u njima je isti. Možete definirati dužinu baze kao a. U ovom slučaju, za prvu kutiju, zapremina supstance će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, dužina baze je 2a, ali visina nivoa pijeska nije poznata:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Zbog V₁ = V₂, izrazi se mogu izjednačiti:

10a² = 4ha²

Nakon što smanjimo obje strane jednačine za a², dobijamo:

Kao rezultat toga, novi nivo pijeska će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati figuru.

Pošto je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da je osnova kvadrat sa dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne strane ima istu vrijednost, stoga i bočna strana ima oblik kvadrata jednakog osnovi. Ispada da su sve tri dimenzije - dužina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Dužina bilo koje ivice određuje se kroz poznatu dijagonalu:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina se nalazi po formuli za kocku:

Puno = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba je u renoviranju. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina prostorije je 2,5 m. Koja je najniža cijena tapetiranja sobe ako 1 m² košta 50 rubalja?

Pošto su pod i plafon kvadrati, odnosno pravilni četvorouglovi, a zidovi okomiti na horizontalne površine, možemo zaključiti da je u pitanju pravilna prizma. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Trg će biti prekriven tapetama Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50 30 = 1500 rubalja.

Dakle, za rješavanje zadataka na pravokutnoj prizmi dovoljno je znati izračunati površinu i obim kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke