Homogeni sistem diferencijalnih jednadžbi. Rješavanje sistema diferencijalnih jednadžbi matričnom metodom

U mnogim problemima iz matematike, fizike i tehnologije potrebno je odrediti nekoliko funkcija odjednom, međusobno povezanih s nekoliko diferencijalnih jednadžbi. Skup takvih jednačina naziva se sistem diferencijalnih jednačina. Konkretno, takvi sistemi se dovode do problema u kojima se proučava kretanje tijela u prostoru pod djelovanjem datih sila.

Neka se, na primjer, materijalna tačka mase kreće duž određene krive (L) u prostoru pod utjecajem sile F. Potrebno je odrediti zakon kretanja tačke, odnosno zavisnost koordinata tačke od vremena.

Pretpostavimo to

radijus vektor pokretne tačke. Ako su promjenljive koordinate točke označene sa , tada

Brzina i ubrzanje pokretne tačke izračunavaju se pomoću formula:

(vidi Poglavlje VI, § 5, br. 4).

Sila F, pod čijim se uticajem tačka kreće, je, uopšteno govoreći, funkcija vremena, koordinata tačke i projekcije brzine na koordinatne ose:

Na osnovu drugog Newtonovog zakona, jednadžba kretanja tačke se piše na sljedeći način:

Projektovanjem vektora sa leve i desne strane ove jednakosti na koordinatnu osu dobijamo tri diferencijalne jednadžbe kretanja:

Ove diferencijalne jednadžbe predstavljaju sistem od tri diferencijalne jednadžbe drugog reda za tri tražene funkcije:

U budućnosti ćemo se ograničiti na proučavanje samo sistema jednačina prvog reda posebnog oblika s obzirom na tražene funkcije. Ovaj sistem ima formu

Sistem jednačina (95) naziva se sistem u normalnom obliku ili normalan sistem.

U normalnom sistemu, desne strane jednadžbe ne sadrže izvode traženih funkcija.

Rješenje sistema (95) je skup funkcija koje zadovoljavaju svaku od jednačina ovog sistema.

Sistemi jednačina drugog, trećeg i višeg reda mogu se svesti na normalan sistem ako se uvedu nove tražene funkcije. Na primjer, sistem (94) se može transformirati u normalan oblik na sledeći način. Hajde da predstavimo nove funkcije stavljanjem . Tada će kostur jednadžbe (94) biti napisan na sljedeći način:

Sistem (96) je normalan.

Razmotrimo, na primjer, normalan sistem od tri jednačine sa tri nepoznate funkcije:

Za normalan sistem diferencijalnih jednadžbi, Cauchyjeva teorema o postojanju i jedinstvenosti rješenja je formulirana na sljedeći način.

Teorema. Neka su desne strane jednadžbe sistema (97), tj. funkcije kontinuirane u svim varijablama u nekoj domeni G i imaju kontinuirane parcijalne derivacije u njoj. Tada koje god vrijednosti pripadaju domeni G, postoji jedinstveno rešenje sistema koje zadovoljava početne uslove:

Za integraciju sistema (97) možete primijeniti metodu kojom se ovaj sistem, koji sadrži tri jednačine za tri nepoznate funkcije, svodi na jednu jednačinu trećeg reda za jednu nepoznatu funkciju. Hajde da pokažemo primjer kako koristiti ovu metodu.

Radi jednostavnosti, ograničićemo se na sistem od dve jednačine. Neka je zadan sistem jednačina

Za pronalaženje rješenja za sistem postupamo na sljedeći način. Diferenciranje prve od sistemskih jednačina u odnosu na nalazimo

Zamjenom izraza iz druge jednačine sistema u ovu jednakost dobijamo

Konačno, zamjena funkcije y njenim izrazom iz prve jednadžbe sistema

dobijamo linearnu homogenu jednačinu drugog reda za jednu nepoznatu funkciju:

Integracijom ove jednačine nalazimo njeno opšte rešenje

Razlikovanje jednakosti nalazimo

Zamjenom izraza za x i u jednakost i dovođenjem sličnih pojmova, dobijamo

su rješenje za ovaj sistem.

Dakle, integracijom normalnog sistema dvije diferencijalne jednadžbe, dobili smo njegovo rješenje koje zavisi od dvije proizvoljne konstante.Može se pokazati da će u općem slučaju za normalan sistem koji se sastoji od jednačina, njegovo opće rješenje ovisiti o proizvoljnim konstantama .

Praktična vrijednost diferencijalnih jednadžbi određena je činjenicom da je pomoću njih moguće uspostaviti vezu sa osnovnim fizičkim ili hemijski zakon a često i čitavu grupu varijabli koje su od velikog značaja u proučavanju tehničkih pitanja.

Primjena čak i najjednostavnijeg fizičkog zakona na proces koji se odvija pod promjenjivim uvjetima može dovesti do vrlo složenog odnosa između promjenjivih veličina.

Prilikom rješavanja fizičkih i kemijskih problema koji vode do diferencijalnih jednadžbi, važno je pronaći opći integral jednadžbe, kao i odrediti vrijednosti konstanti uključenih u ovaj integral, kako bi rješenje odgovaralo zadatom problemu.

Proučavanje procesa u kojima su sve željene veličine funkcije samo jedne nezavisne varijable vodi do običnih diferencijalnih jednadžbi.

Stacionarni procesi mogu dovesti do parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.

U većini slučajeva, rješavanje diferencijalnih jednadžbi ne dovodi do pronalaženja integrala, za rješavanje takvih jednadžbi moraju se koristiti aproksimativne metode.

Sistemi diferencijalnih jednadžbi se koriste za rješavanje kinetičkih problema.

Najčešća i univerzalna numerička metoda za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi je metoda konačnih razlika.

Obične diferencijalne jednadžbe se koriste za rješavanje problema u kojima je potrebno pronaći odnos između zavisnih i nezavisnih varijabli pod uvjetima kada se potonje kontinuirano mijenjaju. Rješavanje problema dovodi do takozvanih jednadžbi konačnih razlika.

Područje kontinuirane promjene u argumentu x zamjenjuje se skupom tačaka koji se nazivaju čvorovi. Ovi čvorovi čine mrežu razlika. Tražena funkcija kontinuiranog argumenta približno je zamijenjena funkcijom argumenta na datoj mreži. Ova funkcija se zove funkcija mreže. Zamjena diferencijalne jednadžbe različitom jednačinom naziva se njena aproksimacija na mreži. Skup razlika jednadžbi koji aproksimiraju originalnu diferencijalnu jednačinu i dodatne početne uslove naziva se dijagram. Šema razlike se naziva stabilnom ako mala promjena u ulaznim podacima odgovara maloj promjeni rješenja. Diferencijalna shema se naziva ispravnom ako njeno rješenje postoji i jedinstveno je za sve ulazne podatke, kao i ako je ova shema stabilna.

Kada rješavate Cauchyjev problem, morate pronaći funkciju y=y(x) koja zadovoljava jednačinu:

i početni uslov: y = y 0 na x = x 0.

Uvedemo niz tačaka x 0, x 1, ... x n i korake h i = x i +1 – x i (i = 0, 1, ...). U svakoj tački x i uvode se brojevi y i koji aproksimiraju tačno rješenje y. Nakon zamjene derivacije u izvornoj jednadžbi relacijom konačne razlike, vrši se prijelaz sa diferencijalnog problema na problem razlike:

y i+1 = F(x i , h i , y i+1 , y i , … y i-k+1),

gdje je i = 0, 1, 2…

Ovo rezultira metodom konačnih razlika u k-korak. U metodama u jednom koraku, za izračunavanje y i +1, u prethodnom koraku koristi se samo jedna prethodno pronađena vrijednost y i; u metodama s više koraka koristi se nekoliko.

Najjednostavnija numerička metoda u jednom koraku za rješavanje Cauchyjevog problema je Eulerova metoda.

y i+1 = y i + h f(x i, y i).

Ova shema je diferentna shema prvog reda tačnosti.

Ako je u jednačini y " =f(x,y) desna strana zamijeniti aritmetičkom srednjom vrijednošću između f(x i ,y i) i f(x i+1 ,y i+1), tj. , tada dobijamo implicitnu shemu razlike Eulerove metode:

imaju tačnost drugog reda.

Zamjenom y i+1 u ovoj jednadžbi sa y i +h f(x i, y i), shema prelazi u Eulerovu metodu sa ponovnim izračunavanjem, koja također ima drugi red:

Među shemama razlika višeg reda tačnosti uobičajena je shema Runge-Kutta metode četvrtog reda:

y i +1 = yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4), i = 0, 1, ...

na 1 = f(x i , y i)

do 2 = f(x i + , y i + )

do 3 = f(x i + , y i + )

k 4 = f(x i +h, y i +k 3).

Da bi se povećala tačnost numeričkog rješenja bez značajnog povećanja vremena računala, koristi se Rungeova metoda. Njegova je suština izvođenje ponovljenih proračuna koristeći istu shemu razlike s različitim koracima.

Rafinirano rješenje je konstruirano nizom proračuna. Ako se izvode dvije serije proračuna prema shemi narudžbe To redom sa koracima h i h/2 i dobiju se vrijednosti mrežne funkcije y h i y h /2, zatim se rafinirana vrijednost funkcije mreže u čvorovima mreže sa korakom h izračunava po formuli:

Približne kalkulacije

U fizičkim i hemijskim proračunima rijetko je potrebno koristiti tehnike i formule koje daju tačna rješenja. U većini slučajeva, metode za rješavanje jednačina koje dovode do preciznih rezultata su ili vrlo složene ili nepostojeće. Obično se koriste metode približnog rješavanja problema.

Prilikom rješavanja fizičko-hemijskih problema vezanih za kemijsku kinetiku i obrade eksperimentalnih podataka, često se javlja potreba za rješavanjem različitih jednačina. Tačno rješenje nekih jednačina u nekim slučajevima predstavlja velike poteškoće. U tim slučajevima možete koristiti metode približnih rješenja, dobivajući rezultate s točnošću koja zadovoljava zadatak. Postoji nekoliko metoda: metoda tangente (Newtonova metoda), metoda linearne interpolacije, metoda ponavljanja (iteracija) itd.

Neka postoji jednačina f(x)=0, a f(x) je kontinuirana funkcija. Pretpostavimo da je moguće odabrati vrijednosti a i b takve da f(a) i f(b) imaju različiti znakovi, na primjer f(a)>0, f(b)<0. В таком случае существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, находящийся между a и b. Суживая интервал значений a и b, можно найти корень уравнения с требуемой точностью.

Grafičko pronalaženje korijena jednadžbe. Za rješavanje jednačina viših stupnjeva zgodno je koristiti grafičku metodu. Neka je data jednačina:

x n +ax n-1 +bx n-2 +…+px+q=0,

gdje su a, b, … , p, q dati brojevi.

Sa geometrijske tačke gledišta, jednačina

Y=x n +ax n -1 +bx n -2 +…+px+q

predstavlja neku vrstu krivulje. Možete pronaći bilo koji broj njegovih točaka izračunavanjem y vrijednosti koje odgovaraju proizvoljnim vrijednostima x. Svaka tačka preseka krive sa OX osom daje vrednost jednog od korena ove jednačine. Stoga se pronalaženje korijena jednadžbe svodi na određivanje tačaka presjeka odgovarajuće krive sa OX osom.

Metoda iteracije. Ova metoda se sastoji u transformaciji jednačine f(x)=0 koju treba riješiti u novu jednačinu x=j(x) i, s obzirom na prvu aproksimaciju x 1, sukcesivno pronaći tačnije aproksimacije x 2 =j(x 1), x 3 =j(x 2) itd. Rješenje se može dobiti sa bilo kojim stepenom tačnosti, pod uslovom da je u intervalu između prve aproksimacije i korijena jednačine |j"(x)|<1.

Za rješavanje jedne nelinearne jednačine koriste se sljedeće metode:

a) metoda poludijeljenja:

Interval izolacije realnog korijena uvijek se može smanjiti dijeljenjem, na primjer, na pola, određivanjem na granicama čijeg dijela originalnog intervala funkcija f(x) mijenja predznak. Zatim se rezultujući interval ponovo podijeli na dva dijela, itd. Ovaj proces se nastavlja sve dok se decimalna mjesta pohranjena u odgovoru više ne mijenjaju.

Odabiremo interval u kojem se nalazi rješenje. Računamo f(a) i f(b) ako je f(a) > 0 i f(b)< 0, то находим и рассчитываем f(c). Далее, если f(a) < 0 и f(c) < 0 или f(a) >0 i f(c) > 0, tada je a = c i b = b. U suprotnom, ako je f(a)< 0 и f(c) >0 ili f(a) > 0 i f(c)< 0, то a = a и b = c.

B) tangentna metoda (Newtonova metoda):

Neka je pravi korijen jednačine f(x) = 0 izoliran na segmentu . Uzmimo broj x 0 na segmentu za koji f (x 0) ima isti predznak kao f ’ (x 0). Nacrtajmo tangentu na krivu y = f(x) u tački M 0. Kao približnu vrijednost korijena uzimamo apscisu točke presjeka ove tangente sa Ox osom. Ova približna vrijednost korijena može se pronaći pomoću formule

Primjenjujući ovu tehniku drugi put u tački M 1, dobijamo

itd. Ovako dobijen niz x0, x1, x2,... ima za granicu željeni korijen. Općenito, može se napisati na sljedeći način:

Za rješavanje linearnih sistema algebarskih jednačina koristi se iterativna Gauss-Seidelova metoda. Problemi hemijske tehnologije kao što je proračun materijalnih i toplotnih bilansa svode se na rešavanje sistema linearnih jednačina.

Suština metode je da se kroz jednostavne transformacije nepoznanice x 1, x 2, ..., x n izražavaju iz jednačina 1.2, ..., n. Postavite početne aproksimacije nepoznatih x 1 =x 1 (0), x 2 =x 2 (0), ..., x n =x n (0), zamijenite ove vrijednosti u desnu stranu izraza x 1 i izračunaj x 1 (1). Zatim zamijenite x 1 (1), x 3 (0), ..., x n (0) u desnu stranu izraza x 2 i pronađite x 2 (1), itd. Nakon izračunavanja x 1 (1), x 2 (1), ..., x n (1), izvodi se druga iteracija. Iterativni proces se nastavlja sve dok se vrijednosti x 1 (k), x 2 (k), ... ne približe, sa zadatom greškom, vrijednostima x 1 (k-1), x 2 (k -2), ....

Problemi hemijske tehnologije kao što je proračun hemijske ravnoteže itd. svode se na rešavanje sistema nelinearnih jednačina. Iterativne metode se također koriste za rješavanje sistema nelinearnih jednačina. Proračun kompleksne ravnoteže svodi se na rješavanje sistema nelinearnih algebarskih jednačina.

Algoritam za rješavanje sistema korištenjem jednostavne metode iteracije podsjeća na Gauss–Seidelov metod koji se koristi za rješavanje linearnih sistema.

Newtonova metoda ima bržu konvergenciju od jednostavne iteracijske metode. Zasnovan je na korištenju proširenja funkcija F 1 (x 1 , x 2 , ... x n) u Taylorov red. U ovom slučaju termini koji sadrže druge derivate se odbacuju.

Neka su približne vrijednosti sistemskih nepoznatih dobijenih na prethodnoj iteraciji jednake a 1, a 2, ...a n. Zadatak je pronaći priraštaje ovih vrijednosti Δx 1, Δx 2, ... Δx n, zahvaljujući kojima će se dobiti nove vrijednosti nepoznatih:

x 1 = a 1 + Δx 1

x 2 = a 2 + Δx 2

x n = a n + Δx n.

Proširimo lijeve strane jednadžbe u Taylorov niz, ograničavajući se na linearne članove:

Pošto leve strane jednačine moraju biti jednake nuli, izjednačavamo desne strane sa nulom. Dobijamo sistem linearnih algebarskih jednadžbi za prirast Δx.

Vrijednosti F 1, F 2, … F n i njihove parcijalne derivacije se izračunavaju pri x 1 = a 1, x 2 = a 2, … x n = a n.

Zapišimo ovaj sistem u obliku matrice:

Determinanta matrice G ovog oblika naziva se Jakobijan. Determinanta takve matrice naziva se Jacobian. Da bi jedinstveno rješenje za sistem postojalo, ono mora biti različito od nule na svakoj iteraciji.

Dakle, rješavanje sistema jednadžbi pomoću Newtonove metode sastoji se u određivanju Jakobijanske matrice (parcijalnih izvoda) na svakoj iteraciji i određivanju priraštaja Δh 1, Δh 2, ... Δh n do vrijednosti nepoznatih na svakoj iteraciji pomoću rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.

Kako bi se eliminirala potreba za pronalaženjem Jacobijeve matrice pri svakoj iteraciji, predložena je poboljšana Newtonova metoda. Ova metoda vam omogućava da ispravite Jacobian matricu koristeći vrijednosti F 1 , F 2 , ... , F n dobijene u prethodnim iteracijama.

Matrični prikaz sistema običnih diferencijalnih jednačina (SODE) sa konstantnim koeficijentima

Linearni homogeni SODE sa konstantnim koeficijentima $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) + a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right. $,

gdje je $y_(1)\lijevo(x\desno),\; y_(2)\lijevo(x\desno),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- tražene funkcije nezavisne varijable $x$, koeficijenti $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- date realne brojeve predstavljamo u matričnom zapisu:

matrica potrebnih funkcija $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
matrica derivativnih rješenja $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
SODE matrica koeficijenata $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

Sada, na osnovu pravila množenja matrice, ovaj SODE se može napisati u obliku matrične jednadžbe $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Opća metoda rješavanja SODE sa konstantnim koeficijentima

Neka postoji matrica nekih brojeva $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(array)\right)$.

Rješenje za SODE se nalazi u sljedećem obliku: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. U matričnom obliku: $Y=\left(\begin(niz)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(niz )\desno)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(niz)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

Odavde dobijamo:

Sada se matrična jednačina ovog SODE-a može dati oblik:

Rezultirajuća jednačina se može predstaviti na sljedeći način:

Posljednja jednakost pokazuje da se vektor $\alpha $ transformira pomoću matrice $A$ u paralelni vektor $k\cdot \alpha $. To znači da je vektor $\alpha $ svojstveni vektor matrice $A$, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti $k$.

Broj $k$ može se odrediti iz jednačine $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots) & (a_(nn) -k) \end(niz)\right|=0$.

Ova jednačina se naziva karakteristična.

Neka su svi korijeni $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ karakteristične jednadžbe različiti. Za svaku vrijednost $k_(i) $ iz sistema $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(niz)\desno)\cdot \left(\begin(niz)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ matrica vrijednosti može se definirati $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i \desno)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

Jedna od vrijednosti u ovoj matrici se bira nasumično.

Konačno, rješenje ovog sistema u matričnom obliku je zapisano na sljedeći način:

$\left(\begin(niz)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(niz)\right)=\ lijevo (\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(niz)\desno)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,

gdje su $C_(i) $ proizvoljne konstante.

Zadatak

Riješite DE sistem $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(niz)\desno $.

Zapisujemo sistemsku matricu: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

U matričnom obliku, ovaj SODE je napisan na sljedeći način: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (niz)\desno)=\left(\begin(niz)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(niz)\desno)\cdot \left( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.

Dobijamo karakterističnu jednačinu:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, odnosno $k^ (2) -10\cdot k+9=0$.

Korijeni karakteristične jednadžbe su: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Kreirajmo sistem za izračunavanje $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ desno)) ) \end(niz)\desno)$ za $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ lijevo(\begin(niz)(c) (\alpha _(1)^(\lijevo(1\desno)) ) \\ (\alpha _(2)^(\lijevo(1\desno)) ) \end (niz)\desno)=0,\]

to jest, $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) ) =0$.

Stavljajući $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, dobijamo $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Kreirajmo sistem za izračunavanje $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ desno)) ) \end(niz)\desno)$ za $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ lijevo(\begin(niz)(c) (\alpha _(1)^(\lijevo(2\desno)) ) \\ (\alpha _(2)^(\lijevo(2\desno)) ) \end (niz)\desno)=0, \]

to jest, $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) ) =0$.

Stavljajući $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, dobijamo $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

Dobijamo rješenje za SODE u matričnom obliku:

\[\left(\begin(niz)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(niz)\desno)=\left(\begin(niz)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(niz)\desno)\cdot \left(\begin(niz)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(niz)\desno).\]

U uobičajenom obliku, rješenje za SODE ima oblik: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(niz)\right.$.

Odlučili smo da ovaj dio posvetimo rješavanju sistema diferencijalnih jednadžbi najjednostavnijeg oblika d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2, u kojem je a 1, b 1, c 1, a 2, b 2 , c 2 - neki realni brojevi. Najefikasnija metoda za rješavanje ovakvih sistema jednačina je metoda integracije. Također ćemo razmotriti rješenje primjera na temu.

Rješenje sistema diferencijalnih jednadžbi bit će par funkcija x (t) i y (t), koje mogu pretvoriti obje jednačine sistema u identitete.

Razmotrimo metodu integracije DE sistema d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2. Izrazimo x iz 2. jednačine sistema da bismo eliminisali nepoznatu funkciju x (t) iz 1. jednačine:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Hajde da diferenciramo 2. jednačinu s obzirom na t i riješi njegovu jednadžbu za d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Sada zamenimo rezultat prethodnih proračuna u 1. jednačinu sistema:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Tako smo eliminisali nepoznatu funkciju x (t) i dobili linearnu nehomogenu diferencijalnu jednadžbu 2. reda sa konstantnim koeficijentima. Nađimo rješenje ove jednačine y (t) i zamijenimo ga u 2. jednačinu sistema. Naći ćemo x(t). Pretpostavićemo da je ovim završeno rešenje sistema jednačina.

Primjer 1

Pronađite rješenje sistema diferencijalnih jednadžbi d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Rješenje

Počnimo s prvom jednačinom sistema. Hajde da to riješimo u odnosu na x:

x = d y d t - 2 y + 3

Sada diferencirajmo 2. jednačinu sistema, nakon čega je rješavamo s obzirom na d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Rezultat dobijen tokom proračuna možemo zamijeniti u 1. jednačinu sistema daljinskog upravljanja:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Kao rezultat transformacija, dobili smo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu 2. reda sa konstantnim koeficijentima d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2. Ako pronađemo njeno opće rješenje, dobićemo funkciju y(t).

Opće rješenje odgovarajućeg LOD y 0 možemo pronaći izračunavanjem korijena karakteristične jednadžbe k 2 - 3 k + 2 = 0:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Korijeni koje smo dobili su stvarni i različiti. U tom smislu, opšte rješenje LODE-a imat će oblik y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Sada pronađimo određeno rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe y ~:

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Desna strana jednačine je polinom stepena nula. To znači da ćemo tražiti određeno rješenje u obliku y ~ = A, gdje je A neodređeni koeficijent.

Neodređeni koeficijent možemo odrediti iz jednakosti d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Dakle, y ~ = 1 i y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Pronašli smo jednu nepoznatu funkciju.

Sada zamijenimo pronađenu funkciju u 2. jednadžbu DE sistema i riješimo novu jednačinu za x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Tako smo izračunali drugu nepoznatu funkciju x (t) = - C 1 · e t + 1.

Odgovor: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Mnogi sistemi diferencijalnih jednadžbi, i homogeni i nehomogeni, mogu se svesti na jednu jednačinu za jednu nepoznatu funkciju. Pokažimo metodu na primjerima.

Primjer 3.1. Riješite sistem

Rješenje. 1) Razlikovanje po t prvu jednačinu i korištenje druge i treće jednačine za zamjenu I , mi nalazimo

Rezultirajuću jednačinu razlikujemo s obzirom na opet

1) Kreiramo sistem

Iz prve dvije jednačine sistema izražavamo varijable I kroz
:

Zamijenimo pronađene izraze za I u treću jednačinu sistema

Dakle, pronaći funkciju
dobio diferencijalnu jednačinu trećeg reda sa konstantnim koeficijentima

2) Integriramo posljednju jednačinu koristeći standardnu metodu: sastavljamo karakterističnu jednačinu
, pronaći njegove korijene
i konstruirati opće rješenje u obliku linearne kombinacije eksponencijala, uzimajući u obzir višestrukost jednog od korijena:.

3) Zatim pronaći dvije preostale funkcije
I
, diferenciramo rezultujuću funkciju dvaput

Koristeći veze (3.1) između funkcija sistema, vraćamo preostale nepoznanice

Odgovori. ,
,.

Može se ispostaviti da su sve poznate funkcije osim jedne isključene iz sistema trećeg reda čak i sa jednom diferencijacijom. U ovom slučaju, redoslijed diferencijalne jednadžbe za njeno pronalaženje bit će manji od broja nepoznatih funkcija u originalnom sistemu.

Primjer 3.2. Integrirajte sistem

(3.2)

Rješenje. 1) Razlikovanje po prva jednačina, nalazimo

Isključujući varijable I iz jednačina

imaćemo jednačinu drugog reda u odnosu na

(3.3)

2) Iz prve jednačine sistema (3.2) imamo

(3.4)

Zamjenom u treću jednačinu sistema (3.2) pronađene izraze (3.3) i (3.4) za I , dobijamo diferencijalnu jednadžbu prvog reda za određivanje funkcije

Integracijom ove nehomogene jednačine sa konstantnim koeficijentima prvog reda, nalazimo
Pomoću (3.4) nalazimo funkciju

Odgovori.
,,
.

Zadatak 3.1. Riješite homogene sisteme svodeći ih na jednu diferencijalnu jednačinu.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Rješavanje sistema linearnih homogenih diferencijalnih jednadžbi sa konstantnim koeficijentima pronalaženjem fundamentalnog sistema rješenja

Opće rješenje za sistem linearnih homogenih diferencijalnih jednačina može se naći kao linearna kombinacija osnovnih rješenja sistema. U slučaju sistema sa konstantnim koeficijentima, metode linearne algebre se mogu koristiti za pronalaženje osnovnih rješenja.

Primjer 3.3. Riješite sistem

(3.5)

Rješenje. 1) Prepišimo sistem u matričnom obliku

. (3.6)

2) Osnovno rješenje sistema ćemo tražiti u obliku vektora
. Funkcije zamjene
u (3.6) i smanjujući za , dobijamo

, (3.7)

to je broj mora biti svojstvena vrijednost matrice
, i vektor odgovarajući sopstveni vektor.

3) Iz kursa linearne algebre poznato je da sistem (3.7) ima netrivijalno rješenje ako mu je determinanta jednaka nuli

to je . Odavde nalazimo sopstvene vrijednosti
.

4) Pronađite odgovarajuće svojstvene vektore. Zamjena prve vrijednosti u (3.7)
, dobijamo sistem za pronalaženje prvog svojstvenog vektora

Odavde dobijamo vezu između nepoznatih
. Dovoljno je da izaberemo jedno netrivijalno rješenje. Believing
, Onda
, odnosno vektor je svojstvena vrijednost vlastite vrijednosti
, i vektor funkcije
osnovno rješenje datog sistema diferencijalnih jednačina (3.5). Slično, prilikom zamjene drugog korijena
u (3.7) imamo matričnu jednačinu za drugi svojstveni vektor
. Gdje dobijamo vezu između njegovih komponenti?
. Dakle, imamo drugo fundamentalno rješenje

5) Opće rješenje sistema (3.5) je konstruirano kao linearna kombinacija dva dobijena osnovna rješenja

ili u koordinatnom obliku

Odgovori.

.

Zadatak 3.2. Rješavanje sistema pronalaženjem osnovnog sistema rješenja.