არითმეტიკული პროგრესიადაასახელეთ რიცხვების თანმიმდევრობა (პროგრესიის პირობები)

რომელშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი წინასგან განსხვავდება ახალი ტერმინით, რომელსაც ასევე ე.წ ნაბიჯის ან პროგრესის განსხვავება.

ამრიგად, პროგრესირების საფეხურის და მისი პირველი ტერმინის მითითებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ნებისმიერი ელემენტი ფორმულის გამოყენებით

არითმეტიკული პროგრესიის თვისებები

1) არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორე რიცხვიდან დაწყებული, არის პროგრესიის წინა და შემდეგი წევრების საშუალო არითმეტიკული

პირიქითაც მართალია. თუ პროგრესიის მიმდებარე კენტი (ლუწი) წევრთა საშუალო არითმეტიკული ტოლია იმ ტერმინისა, რომელიც დგას მათ შორის, მაშინ რიცხვების ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია. ამ განცხადების გამოყენებით, ძალიან ადვილია ნებისმიერი თანმიმდევრობის შემოწმება.

ასევე, არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით, ზემოაღნიშნული ფორმულა შეიძლება განზოგადდეს შემდეგზე

ამის გადამოწმება ადვილია, თუ დაწერთ პირობებს ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ

ის ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში პრობლემების გამოთვლების გასამარტივებლად.

2) არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი გამოითვლება ფორმულით

კარგად დაიმახსოვრეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულა, ის შეუცვლელია გამოთვლებში და საკმაოდ ხშირად გვხვდება ცხოვრების მარტივ სიტუაციებში.

3) თუ თქვენ გჭირდებათ არა მთლიანი ჯამის, არამედ მიმდევრობის ნაწილის პოვნა, რომელიც იწყება მისი kth წევრიდან, მაშინ გამოგადგებათ შემდეგი ჯამის ფორმულა.

4) პრაქტიკული ინტერესია kth რიცხვიდან დაწყებული არითმეტიკული პროგრესიის n წევრთა ჯამის პოვნა. ამისათვის გამოიყენეთ ფორმულა

ამით სრულდება თეორიული მასალა და გადადის საერთო პრობლემების პრაქტიკაში გადაჭრაზე.

მაგალითი 1. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის მეორმოცე წევრი 4;7;...

გამოსავალი:

იმ პირობის მიხედვით, რაც გვაქვს

მოდით განვსაზღვროთ პროგრესის ნაბიჯი

ცნობილი ფორმულის გამოყენებით ვპოულობთ პროგრესიის ორმოცდამეათე ტერმინს

მაგალითი 2. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მისი მესამე და მეშვიდე წევრებით. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი და ათეულის ჯამი.

გამოსავალი:

ფორმულების გამოყენებით ჩამოვწეროთ პროგრესიის მოცემული ელემენტები

პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას, შედეგად ვპოულობთ პროგრესირების საფეხურს

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას რომელიმე განტოლებაში, რათა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი

ჩვენ ვიანგარიშებთ პროგრესიის პირველი ათი წევრის ჯამს

რთული გამოთვლების გამოყენების გარეშე, ჩვენ ვიპოვეთ ყველა საჭირო რაოდენობა.

მაგალითი 3. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მნიშვნელით და მისი ერთ-ერთი წევრით. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი, მისი 50 წევრის ჯამი 50-დან და პირველი 100-ის ჯამი.

გამოსავალი:

მოდით ჩამოვწეროთ პროგრესიის მეასე ელემენტის ფორმულა

და იპოვნეთ პირველი

პირველზე დაყრდნობით ვხვდებით პროგრესიის 50-ე ტერმინს

პროგრესიის ნაწილის ჯამის პოვნა

და პირველი 100-ის ჯამი

პროგრესის ოდენობაა 250.

მაგალითი 4.

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა, თუ:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

გამოსავალი:

დავწეროთ განტოლებები პირველი წევრისა და პროგრესიის საფეხურის მიხედვით და განვსაზღვროთ

მიღებულ მნიშვნელობებს ვანაცვლებთ ჯამის ფორმულას, რათა განვსაზღვროთ ჯამში ტერმინების რაოდენობა

ვახორციელებთ გამარტივებებს

და გადაწყვიტოს კვადრატული განტოლება

ნაპოვნი ორი მნიშვნელობიდან მხოლოდ ნომერი 8 შეესაბამება პრობლემის პირობებს. ამრიგად, პროგრესიის პირველი რვა წევრის ჯამი არის 111.

მაგალითი 5.

ამოხსენით განტოლება

1+3+5+...+x=307.

ამოხსნა: ეს განტოლება არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. მოდით დავწეროთ მისი პირველი ტერმინი და ვიპოვოთ განსხვავება პროგრესირებაში

დიახ, დიახ: არითმეტიკული პროგრესია თქვენთვის სათამაშო არ არის :)

აბა, მეგობრებო, თუ თქვენ კითხულობთ ამ ტექსტს, მაშინ შიდა ქუდი-მტკიცებულება მეუბნება, რომ თქვენ ჯერ არ იცით რა არის არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ ნამდვილად (არა, ასე: SOOOOO!) გსურთ იცოდეთ. ამიტომ, გრძელი შესავლებით არ დაგტანჯავთ და პირდაპირ საქმეზე გადავალ.

პირველი, რამდენიმე მაგალითი. მოდით შევხედოთ რიცხვების რამდენიმე კომპლექტს:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

რა საერთო აქვს ყველა ამ კომპლექტს? ერთი შეხედვით არაფერი. მაგრამ რეალურად არის რაღაც. კერძოდ: ყოველი შემდეგი ელემენტი წინადან ერთი და იგივე რაოდენობით განსხვავდება.

თავად განსაჯეთ. პირველი ნაკრები უბრალოდ თანმიმდევრული რიცხვებია, ყოველი შემდეგი წინაზე ერთით მეტია. მეორე შემთხვევაში, განსხვავება სერიას შორის მუდმივი ნომრებიუკვე უდრის ხუთს, მაგრამ ეს სხვაობა მაინც მუდმივია. მესამე შემთხვევაში, ფესვები საერთოდ არსებობს. თუმცა, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ და $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ე.ი. და ამ შემთხვევაში, ყოველი შემდეგი ელემენტი უბრალოდ იზრდება $\sqrt(2)$-ით (და ნუ გეშინიათ, რომ ეს რიცხვი ირაციონალურია).

ასე რომ: ყველა ასეთ მიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. მოდით მივცეთ მკაცრი განმარტება:

განმარტება. რიცხვების თანმიმდევრობას, რომლებშიც ყოველი შემდეგი განსხვავდება წინადან ზუსტად იგივე რაოდენობით, არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. იმ რაოდენობას, რომლითაც რიცხვები განსხვავდება, ეწოდება პროგრესირების განსხვავება და ყველაზე ხშირად აღინიშნება ასო $d$-ით.

აღნიშვნა: $\left(((a)_(n)) \right)$ არის თავად პროგრესია, $d$ არის მისი განსხვავება.

და მხოლოდ რამდენიმე მნიშვნელოვანი შენიშვნა. პირველ რიგში, მხოლოდ პროგრესირება განიხილება უბრძანარიცხვების თანმიმდევრობა: ნებადართულია მათი წაკითხვა მკაცრად იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი იწერება - და სხვა არაფერი. ნომრების გადაწყობა ან გაცვლა შეუძლებელია.

მეორეც, თანმიმდევრობა თავისთავად შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. მაგალითად, სიმრავლე (1; 2; 3) აშკარად არის სასრული არითმეტიკული პროგრესია. მაგრამ თუ რამეს წერთ სულით (1; 2; 3; 4; ...) - ეს უკვე უსასრულო პროგრესია. ოთხის შემდეგ ელიფსისი, როგორც ჩანს, მიანიშნებს იმაზე, რომ წინ კიდევ რამდენიმე რიცხვია. უსაზღვროდ ბევრი, მაგალითად. :)

ასევე მინდა აღვნიშნო, რომ პროგრესი შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი. ჩვენ უკვე ვნახეთ მზარდი - იგივე ნაკრები (1; 2; 3; 4; ...). აქ მოცემულია პროგრესირების შემცირების მაგალითები:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

კარგი, კარგი: ბოლო მაგალითი შეიძლება ზედმეტად რთული ჩანდეს. მაგრამ დანარჩენი, ვფიქრობ, გესმით. ამიტომ, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ განმარტებებს:

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება:

1. იზრდება, თუ ყოველი შემდეგი ელემენტი მეტია წინაზე;
2. მცირდება, თუ პირიქით, ყოველი მომდევნო ელემენტი წინაზე ნაკლებია.

გარდა ამისა, არსებობს ეგრეთ წოდებული "სტაციონარული" მიმდევრობები - ისინი შედგება იგივე განმეორებადი რიცხვისგან. მაგალითად, (3; 3; 3; ...).

რჩება მხოლოდ ერთი კითხვა: როგორ განვასხვავოთ მზარდი პროგრესი კლებისგან? საბედნიეროდ, აქ ყველაფერი დამოკიდებულია მხოლოდ $d$ რიცხვის ნიშანზე, ე.ი. პროგრესირების განსხვავებები:

1. თუ $d \gt 0$, მაშინ პროგრესია იზრდება;
2. თუ $d \lt 0$, მაშინ პროგრესი აშკარად მცირდება;
3. და ბოლოს, არის შემთხვევა $d=0$ - ამ შემთხვევაში მთელი პროგრესია მცირდება იდენტური რიცხვების სტაციონარულ მიმდევრობამდე: (1; 1; 1; 1; ...) და ა.შ.

შევეცადოთ გამოვთვალოთ სხვაობა $d$ ზემოთ მოცემული სამი კლებადი პროგრესიისთვის. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი ორი მომიჯნავე ელემენტი (მაგალითად, პირველი და მეორე) და გამოვაკლოთ მარცხნივ მდებარე რიცხვი მარჯვენა რიცხვს. ეს ასე გამოიყურება:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

როგორც ვხედავთ, სამივე შემთხვევაში განსხვავება რეალურად უარყოფითი აღმოჩნდა. ახლა კი, როდესაც ჩვენ მეტ-ნაკლებად გავარკვიეთ განმარტებები, დროა გაერკვნენ, თუ როგორ არის აღწერილი პროგრესიები და რა თვისებები აქვთ მათ.

პროგრესირების პირობები და განმეორების ფორმულა

ვინაიდან ჩვენი თანმიმდევრობის ელემენტების გაცვლა შეუძლებელია, მათი დანომრვა შესაძლებელია:

\[\ მარცხნივ(((ა)_(ნ)) \მარჯვნივ)=\მარცხნივ\(((ა)_(1)),\ ((ა)_(2)),((ა)_(3 )),... \მარჯვნივ\)\]

ამ ნაკრების ცალკეულ ელემენტებს პროგრესიის წევრებს უწოდებენ. ისინი მითითებულია რიცხვით: პირველი წევრი, მეორე წევრი და ა.შ.

გარდა ამისა, როგორც უკვე ვიცით, პროგრესირების მეზობელი ტერმინები დაკავშირებულია ფორმულით:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\მარჯვენა ისარი ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

მოკლედ, პროგრესიის $n$th ტერმინის საპოვნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ $n-1$th წევრი და სხვაობა $d$. ამ ფორმულას ეწოდება განმეორებადი, რადგან მისი დახმარებით შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვი მხოლოდ წინა (და სინამდვილეში, ყველა წინა) ცოდნით. ეს ძალიან მოუხერხებელია, ამიტომ არსებობს უფრო მზაკვრული ფორმულა, რომელიც ამცირებს ნებისმიერ გამოთვლას პირველ ტერმინამდე და განსხვავებაზე:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)d\]

თქვენ ალბათ უკვე წააწყდით ამ ფორმულას. მათ მოსწონთ მისი მიცემა ყველა სახის საცნობარო წიგნში და გადაწყვეტილების წიგნებში. და მათემატიკის ნებისმიერ საღად მოაზროვნე სახელმძღვანელოში ის ერთ-ერთი პირველია.

თუმცა, გირჩევთ, ცოტა ივარჯიშოთ.

დავალება No1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი $\left(((a)_(n)) \right)$ თუ $((a)_(1))=8,d=-5$.

გამოსავალი. ასე რომ, ჩვენ ვიცით პირველი წევრი $((a)_(1))=8$ და სხვაობა $d=-5$ პროგრესიაში. მოდით გამოვიყენოთ მოცემული ფორმულა და ჩავანაცვლოთ $n=1$, $n=2$ და $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \მარჯვნივ)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\მარცხნივ(1-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\მარცხნივ(2-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

პასუხი: (8; 3; −2)

Სულ ეს არის! გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ჩვენი პროგრესი მცირდება.

რა თქმა უნდა, $n=1$-ის ჩანაცვლება ვერ მოხერხდა - პირველი ტერმინი ჩვენთვის უკვე ცნობილია. თუმცა, ერთიანობის ჩანაცვლებით დავრწმუნდით, რომ პირველი ვადითაც კი ჩვენი ფორმულა მუშაობს. სხვა შემთხვევაში ყველაფერი ბანალურ არითმეტიკამდე მიდიოდა.

დავალება No2. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი, თუ მისი მეშვიდე წევრი უდრის -40-ს, ხოლო მეჩვიდმეტე წევრი უდრის -50-ს.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ პრობლემის მდგომარეობა ნაცნობი ტერმინებით:

\[((a)_(7))=-40;\ quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

სისტემის ნიშანი დავდე იმიტომ, რომ ეს მოთხოვნები ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს. ახლა აღვნიშნოთ, რომ თუ პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას (ჩვენ გვაქვს ამის უფლება, რადგან გვაქვს სისტემა), მივიღებთ ამას:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \მარჯვნივ); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ასე ადვილია პროგრესის სხვაობის პოვნა! რჩება მხოლოდ ნაპოვნი რიცხვის ჩანაცვლება სისტემის რომელიმე განტოლებაში. მაგალითად, პირველში:

\[\ დასაწყისი(მატრიცა) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ქვემოთ \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ა)_(1))=-40+6=-34. \\ \დასრულება (მატრიცა)\]

ახლა, პირველი ტერმინისა და განსხვავების ცოდნით, რჩება მეორე და მესამე ტერმინების პოვნა:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მზადაა! პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: (−34; −35; −36)

დააკვირდით პროგრესიის საინტერესო თვისებას, რომელიც აღმოვაჩინეთ: თუ ავიღებთ $n$th და $m$th წევრებს და გამოვაკლებთ მათ ერთმანეთს, მივიღებთ პროგრესიის სხვაობას გამრავლებული $n-m$ რიცხვზე:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \მარცხნივ(n-m \მარჯვნივ)\]

მარტივი, მაგრამ ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც აუცილებლად უნდა იცოდეთ - მისი დახმარებით შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად დააჩქაროთ პროგრესირების მრავალი პრობლემის გადაჭრა. აი ამის ნათელი მაგალითი:

დავალება No3. არითმეტიკული პროგრესიის მეხუთე წევრი არის 8,4, ხოლო მისი მეათე წევრი არის 14,4. იპოვეთ ამ პროგრესიის მეთხუთმეტე წევრი.

გამოსავალი. ვინაიდან $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ და ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(15))$, აღვნიშნავთ შემდეგს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5დ. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მაგრამ პირობით $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, შესაბამისად $5d=6$, საიდანაც გვაქვს:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

პასუხი: 20.4

Სულ ეს არის! ჩვენ არ დაგვჭირდა განტოლებათა სისტემის შექმნა და პირველი წევრის და სხვაობის გამოთვლა - ყველაფერი მოგვარდა მხოლოდ რამდენიმე სტრიქონში.

ახლა მოდით შევხედოთ სხვა ტიპის პრობლემას - პროგრესის უარყოფითი და დადებითი ტერმინების ძიებას. საიდუმლო არ არის, რომ თუ პროგრესი იზრდება და მისი პირველი ტერმინი უარყოფითია, ადრე თუ გვიან მასში დადებითი ტერმინები გამოჩნდება. და პირიქით: კლებადი პროგრესირების პირობები ადრე თუ გვიან გახდება უარყოფითი.

ამავდროულად, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ამ მომენტის პოვნა „პირისპირ“ ელემენტების თანმიმდევრული გავლის გზით. ხშირად პრობლემები ისე იწერება, რომ ფორმულების ცოდნის გარეშე გამოთვლებს რამდენიმე ფურცელი დასჭირდება - პასუხის პოვნისას უბრალოდ დავიძინებდით. ამიტომ, შევეცადოთ ეს პრობლემები უფრო სწრაფად მოვაგვაროთ.

დავალება No4. რამდენი უარყოფითი წევრია არითმეტიკული პროგრესიაში −38,5; −35,8; ...?

გამოსავალი. ასე რომ, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, საიდანაც მაშინვე ვპოულობთ განსხვავებას:

გაითვალისწინეთ, რომ განსხვავება დადებითია, ამიტომ პროგრესირება იზრდება. პირველი წევრი უარყოფითია, ასე რომ, რაღაც მომენტში ჩვენ წავაწყდებით დადებით რიცხვებს. ერთადერთი საკითხია, როდის მოხდება ეს.

შევეცადოთ გავარკვიოთ რამდენ ხანს (ე.ი. რომელ ბუნებრივ რიცხვამდე $n$) რჩება ტერმინების ნეგატიურობა:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \მარჯვნივ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ბოლო სტრიქონი გარკვეულ ახსნას მოითხოვს. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ $n \lt 15\frac(7)(27)$. მეორე მხრივ, ჩვენ ვკმაყოფილდებით რიცხვის მხოლოდ მთელი მნიშვნელობებით (უფრო მეტიც: $n\in \mathbb(N)$), ამიტომ ყველაზე დიდი დასაშვები რიცხვი არის ზუსტად $n=15$ და არავითარ შემთხვევაში 16. .

დავალება No5. არითმეტიკული პროგრესიით $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი დადებითი წევრის რიცხვი.

ეს იქნება ზუსტად იგივე პრობლემა, როგორც წინა, მაგრამ ჩვენ არ ვიცით $((a)_(1))$. მაგრამ მეზობელი ტერმინები ცნობილია: $((a)_(5))$ და $((a)_(6))$, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ვიპოვოთ პროგრესიის განსხვავება:

გარდა ამისა, შევეცადოთ გამოვხატოთ მეხუთე ტერმინი პირველში და განსხვავება სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა ჩვენ გავაგრძელებთ წინა დავალების ანალოგიით. მოდით გავარკვიოთ ჩვენი მიმდევრობის რომელ მომენტში გამოჩნდება დადებითი რიცხვები:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\მარჯვენა ისარი ((n)_(\წთ))=56. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამ უტოლობის მინიმალური მთელი რიცხვი არის რიცხვი 56.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ბოლო ამოცანაში ყველაფერი მკაცრ უთანასწორობამდე მივიდა, ასე რომ, ვარიანტი $n=55$ არ მოგვწონს.

ახლა, როდესაც ვისწავლეთ მარტივი პრობლემების გადაჭრა, მოდით გადავიდეთ უფრო რთულზე. ოღონდ ჯერ შევისწავლოთ არითმეტიკული პროგრესიების კიდევ ერთი ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც დაგვიზოგავს უამრავ დროს და არათანაბარ უჯრედებს მომავალში. :)

საშუალო არითმეტიკული და თანაბარი ჩაღრმავები

განვიხილოთ $\left((a)_(n)) \right)$ მზარდი არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი. შევეცადოთ აღვნიშნოთ ისინი რიცხვით ხაზზე:

რიცხვთა წრფეზე არითმეტიკული პროგრესიის პირობები

მე კონკრეტულად აღვნიშნე თვითნებური ტერმინები $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, და არა ზოგიერთი $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ და ა.შ. იმის გამო, რომ წესი, რომლის შესახებაც ახლა მოგიყვებით, იგივე მუშაობს ნებისმიერი "სეგმენტისთვის".

და წესი ძალიან მარტივია. გავიხსენოთ განმეორებითი ფორმულა და ჩავწეროთ ყველა მონიშნული ტერმინისთვის:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუმცა, ეს თანასწორობები შეიძლება სხვაგვარად გადაიწეროს:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

აბა, მერე რა? და ის ფაქტი, რომ ტერმინები $((a)_(n-1))$ და $((a)_(n+1))$ ერთსა და იმავე მანძილზეა $((a)_(n)) $-დან. . და ეს მანძილი $d$-ის ტოლია. იგივე შეიძლება ითქვას ტერმინებზე $((a)_(n-2))$ და $((a)_(n+2))$ - ისინი ასევე ამოღებულია $((a)_(n)-დან. )$ იმავე მანძილზე უდრის $2d$-ს. ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ უსასრულოდ, მაგრამ მნიშვნელობა კარგად არის ილუსტრირებული სურათზე

პროგრესირების პირობები დევს ცენტრიდან იმავე მანძილზე

რას ნიშნავს ეს ჩვენთვის? ეს ნიშნავს, რომ $((a)_(n))$ შეიძლება მოიძებნოს, თუ ცნობილია მეზობელი ნომრები:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

ჩვენ მივიღეთ შესანიშნავი განცხადება: არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი უდრის მისი მეზობელი ტერმინების საშუალო არითმეტიკულს! უფრო მეტიც: ჩვენ შეგვიძლია დავიხიოთ $((a)_(n))$-დან მარცხნივ და მარჯვნივ არა ერთი ნაბიჯით, არამედ $k$ ნაბიჯებით - და ფორმულა მაინც სწორი იქნება:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

იმათ. ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ $((a)_(150))$ თუ ვიცით $((a)_(100))$ და $((a)_(200))$, რადგან $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. ერთი შეხედვით შეიძლება მოგვეჩვენოს, რომ ეს ფაქტი არაფერს გვაძლევს სასარგებლოს. თუმცა, პრაქტიკაში, ბევრი პრობლემა სპეციალურად არის მორგებული საშუალო არითმეტიკის გამოსაყენებლად. Შეხედე:

დავალება No6. იპოვეთ $x$-ის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც რიცხვები $-6((x)^(2))$, $x+1$ და $14+4((x)^(2))$ არის თანმიმდევრული ტერმინები. არითმეტიკული პროგრესია (მითითებული თანმიმდევრობით).

გამოსავალი. Იმიტომ რომ მითითებული ნომრებიპროგრესიის წევრები არიან, მათთვის საშუალო არითმეტიკული პირობა დაკმაყოფილებულია: ცენტრალური ელემენტი $x+1$ შეიძლება გამოისახოს მეზობელი ელემენტებით:

\[\begin(გასწორება) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

შედეგი არის კლასიკური კვადრატული განტოლება. მისი ფესვები: $x=2$ და $x=-3$ არის პასუხები.

პასუხი: −3; 2.

დავალება No7. იპოვეთ $$-ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც რიცხვები $-1;4-3;(()^(2))+1$ ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას (ამ თანმიმდევრობით).

გამოსავალი. კიდევ ერთხელ გამოვხატოთ საშუალო წევრიმეზობელი ტერმინების საშუალო არითმეტიკული საშუალებით:

\[\begin(გასწორება) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \მარცხნივ| \cdot 2 \მარჯვნივ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ისევ კვადრატული განტოლება. და ისევ არის ორი ფესვი: $x=6$ და $x=1$.

პასუხი: 1; 6.

თუ პრობლემის გადაჭრის პროცესში გამოგივათ რაღაც სასტიკი რიცხვები, ან ბოლომდე დარწმუნებული არ ხართ ნაპოვნი პასუხების სისწორეში, მაშინ არსებობს შესანიშნავი ტექნიკა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ: სწორად გადავწყვიტეთ პრობლემა?

ვთქვათ, მე-6 ამოცანაში მივიღეთ პასუხები −3 და 2. როგორ შევამოწმოთ, რომ ეს პასუხები სწორია? მოდით შევაერთოთ ისინი თავდაპირველ მდგომარეობაში და ვნახოთ რა მოხდება. შეგახსენებთ, რომ გვაქვს სამი რიცხვი ($-6(()^(2))$, $+1$ და $14+4(()^(2))$), რომლებიც არითმეტიკულ პროგრესიას უნდა ქმნიან. მოდით ჩავანაცვლოთ $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \ბოლო (გასწორება)\]

მივიღეთ რიცხვები −54; −2; 50, რომელიც განსხვავდება 52-ით, უდავოდ არის არითმეტიკული პროგრესია. იგივე ხდება $x=2$-ზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & x=2\მარჯვენა ისარი \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \ბოლო (გასწორება)\]

ისევ პროგრესია, მაგრამ 27-ის სხვაობით. ამრიგად, პრობლემა სწორად მოგვარდა. მსურველებს შეუძლიათ დამოუკიდებლად შეამოწმონ მეორე პრობლემა, მაგრამ მე მაშინვე ვიტყვი: იქაც ყველაფერი სწორია.

ზოგადად, ბოლო პრობლემების გადაჭრისას სხვას წავაწყდით საინტერესო ფაქტი, რომელიც ასევე უნდა გვახსოვდეს:

თუ სამი რიცხვი ისეთია, რომ მეორე არის პირველი და ბოლო საშუალო არითმეტიკული, მაშინ ეს რიცხვები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას.

მომავალში, ამ განცხადების გაგება საშუალებას მოგვცემს ფაქტიურად „ავაშენოთ“ საჭირო პროგრესი პრობლემის პირობებზე დაყრდნობით. მაგრამ სანამ ასეთ „მშენებლობაში“ ჩაერთვებით, ყურადღება უნდა მივაქციოთ კიდევ ერთ ფაქტს, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს უკვე განხილულიდან.

ელემენტების დაჯგუფება და შეჯამება

ისევ რიცხვთა ღერძს დავუბრუნდეთ. აქვე აღვნიშნოთ პროგრესის რამდენიმე წევრი, რომელთა შორის, შესაძლოა. ღირს ბევრი სხვა წევრი:

რიცხვთა ხაზზე მონიშნულია 6 ელემენტი

შევეცადოთ გამოვხატოთ „მარცხენა კუდი“ $((a)_(n))$-ით და $d$-ით, ხოლო „მარჯვენა კუდი“ $((a)_(k))$-ით და $d$-ით. ძალიან მარტივია:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((ა)_(კ-1))=((ა)_(კ))-დ; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ შემდეგი თანხები ტოლია:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ს. \ბოლო (გასწორება)\]

მარტივად რომ ვთქვათ, თუ დასაწყისად განვიხილავთ პროგრესიის ორ ელემენტს, რომლებიც მთლიანობაში უდრის რაღაც რიცხვს $S$ და შემდეგ დავიწყებთ ამ ელემენტებიდან გადადგმულ ნაბიჯს საპირისპირო მიმართულებით (ერთმანეთისკენ ან პირიქით გადაადგილებისთვის), მაშინ ელემენტების ჯამები, რომლებზეც ჩვენ წავაწყდებით, ასევე ტოლი იქნება$S$. ეს შეიძლება იყოს ყველაზე ნათლად წარმოდგენილი გრაფიკულად:

თანაბარი ჩაღრმავები იძლევა თანაბარ რაოდენობას

გაგება ეს ფაქტისაშუალებას მოგვცემს პრობლემების ფუნდამენტურად მეტი გადაჭრა მაღალი დონესირთულეები, ვიდრე ზემოთ განვიხილეთ. მაგალითად, ესენი:

დავალება No8. დაადგინეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, რომელშიც პირველი წევრი არის 66, ხოლო მეორე და მეთორმეტე წევრის ნამრავლი ყველაზე მცირეა.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ ყველაფერი, რაც ვიცით:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\წთ. \ბოლო (გასწორება)\]

ასე რომ, ჩვენ არ ვიცით პროგრესირების სხვაობა $d$. სინამდვილეში, მთელი გამოსავალი აგებული იქნება სხვაობის გარშემო, ვინაიდან პროდუქტი $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\begin(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\მარცხნივ(66+d \მარჯვნივ)\cdot \left(66+11d \მარჯვნივ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \მარჯვნივ)\cdot \left(d+6 \მარჯვნივ). \ბოლო (გასწორება)\]

ავზში მყოფთათვის: მეორე ფრჩხილიდან ავიღე ჯამური მამრავლი 11. ამრიგად, სასურველი პროდუქტი არის კვადრატული ფუნქცია $d$ ცვლადის მიმართ. ამიტომ, განიხილეთ ფუნქცია $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - მისი გრაფიკი იქნება პარაბოლა ტოტებით ზემოთ, რადგან თუ გავაფართოვებთ ფრჩხილებს, მივიღებთ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & f\ მარცხნივ(d \მარჯვნივ)=11\მარცხნივ(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \მარჯვნივ)= \\ & =11(( დ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, უმაღლესი წევრის კოეფიციენტი არის 11 - ეს არის დადებითი რიცხვი, ასე რომ, ჩვენ ნამდვილად გვაქვს საქმე პარაბოლასთან აღმავალი ტოტებით:

განრიგი კვადრატული ფუნქცია- პარაბოლა

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ეს პარაბოლა იღებს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას თავის წვეროზე $((d)_(0))$ აბსცისით. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ეს აბსციზა სტანდარტული სქემა(არსებობს ფორმულა $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), მაგრამ ბევრად უფრო გონივრული იქნება აღვნიშნოთ, რომ სასურველი წვერო დევს სიმეტრიის ღერძზე. პარაბოლა, ამიტომ წერტილი $((d) _(0))$ თანაბარი მანძილით არის დაშორებული $f\left(d \right)=0$ განტოლების ფესვებისგან:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((დ)_(1))=-66;\ოთხი ((დ)_(2))=-6. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამიტომაც არ ვჩქარობდი ფრჩხილების გახსნას: თავდაპირველი სახით ფესვები ძალიან, ძალიან ადვილი საპოვნელი იყო. მაშასადამე, აბსციზა უდრის საშუალოს არითმეტიკული რიცხვები−66 და −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

რას გვაძლევს აღმოჩენილი რიცხვი? მასთან ერთად, საჭირო პროდუქტი იღებს უმცირეს მნიშვნელობას (სხვათა შორის, ჩვენ არასდროს გამოვთვალეთ $((y)_(\min ))$ - ეს ჩვენგან არ არის საჭირო). ამავდროულად, ეს რიცხვი არის ორიგინალური პროგრესიის განსხვავება, ე.ი. ვიპოვეთ პასუხი. :)

პასუხი: -36

დავალება No9. $-\frac(1)(2)$ და $-\frac(1)(6)$ რიცხვებს შორის ჩადეთ სამი რიცხვი ისე, რომ ამ ციფრებთან ერთად მათ შექმნან არითმეტიკული პროგრესია.

გამოსავალი. არსებითად, ჩვენ უნდა შევქმნათ ხუთი რიცხვის მიმდევრობა, პირველი და ბოლო რიცხვი უკვე ცნობილია. გამოტოვებული რიცხვები ავღნიშნოთ $x$, $y$ და $z$ ცვლადებით:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \მარჯვნივ\ )\]

გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი $y$ არის ჩვენი მიმდევრობის „შუა“ - ის თანაბარი მანძილით არის დაშორებული $x$ და $z$ რიცხვებისგან და $-\frac(1)(2)$ და $-\frac რიცხვებისგან. (1)(6)$. და თუ ჩვენ ვართ $x$ და $z$ რიცხვებიდან ამ მომენტშიჩვენ ვერ მივიღებთ $y$-ს, მაშინ სიტუაცია განსხვავებულია პროგრესის ბოლოებით. გავიხსენოთ საშუალო არითმეტიკული:

ახლა, ვიცით $y$, ჩვენ ვიპოვით დარჩენილ ნომრებს. გაითვალისწინეთ, რომ $x$ დევს რიცხვებს შორის: $-\frac(1)(2)$ და $y=-\frac(1)(3)$, რომელიც ახლახან ვიპოვეთ. Ამიტომაც

მსგავსი მსჯელობის გამოყენებით ვპოულობთ დარჩენილ რიცხვს:

მზადაა! სამივე ნომერი ვიპოვეთ. დავწეროთ ისინი პასუხში იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი უნდა იყოს ჩასმული თავდაპირველ რიცხვებს შორის.

პასუხი: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

დავალება No10. 2 და 42 რიცხვებს შორის ჩასვით რამდენიმე რიცხვი, რომლებიც ამ რიცხვებთან ერთად ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ იცით, რომ ჩასმული რიცხვებიდან პირველი, მეორე და ბოლო ჯამი არის 56.

გამოსავალი. უფრო მეტიც რთული ამოცანა, რომელიც, თუმცა, წყდება იგივე სქემით, როგორც წინაები - საშუალო არითმეტიკული საშუალებით. პრობლემა ის არის, რომ ზუსტად არ ვიცით რამდენი რიცხვის ჩასმაა საჭირო. მაშასადამე, დანამდვილებით დავუშვათ, რომ ყველაფრის ჩასმის შემდეგ იქნება ზუსტად $n$ რიცხვები და მათგან პირველი არის 2, ხოლო ბოლო არის 42. ამ შემთხვევაში, საჭირო არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სახით:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ა)_(n-1));42 \მარჯვნივ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

თუმცა გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები $((a)_(2))$ და $((a)_(n-1))$ მიღებულია 2 და 42 რიცხვებიდან კიდეებზე ერთი ნაბიჯით ერთმანეთისკენ. ე.ი. მიმდევრობის ცენტრამდე. და ეს იმას ნიშნავს

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

მაგრამ შემდეგ ზემოთ დაწერილი გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \მარჯვნივ)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუ ვიცით $((a)_(3))$ და $((a)_(1))$, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ პროგრესიის განსხვავება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((ა)_(3))-((ა)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\მარჯვენა ისარი d=5. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

რჩება მხოლოდ დარჩენილი პირობების პოვნა:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამრიგად, უკვე მე-9 საფეხურზე მივალთ მიმდევრობის მარცხენა ბოლოში - რიცხვი 42. ჯამში მხოლოდ 7 რიცხვის ჩასმა იყო საჭირო: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

პასუხი: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

სიტყვის პრობლემები პროგრესირებასთან

დასასრულს, მსურს განვიხილო რამდენიმე შედარებით მარტივი პრობლემა. ასე მარტივია: სტუდენტების უმრავლესობისთვის, რომლებიც მათემატიკას სწავლობენ სკოლაში და არ წაკითხული აქვთ ზემოთ დაწერილი, ეს პრობლემები შეიძლება რთული ჩანდეს. მიუხედავად ამისა, ეს არის პრობლემების ტიპები, რომლებიც ჩნდება OGE-სა და მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე, ამიტომ გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

დავალება No11. გუნდმა იანვარში დაამზადა 62 ნაწილი, ხოლო ყოველ მომდევნო თვეში 14-ით მეტი ნაწილი გამოუშვა, ვიდრე წინა თვეში. რამდენი ნაწილი დაამზადა გუნდმა ნოემბერში?

გამოსავალი. ცხადია, თვეების მიხედვით ჩამოთვლილი ნაწილების რაოდენობა წარმოადგენს მზარდ არითმეტიკულ პროგრესს. უფრო მეტიც:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 14. \\ \end (გასწორება)\]

ნოემბერი არის წლის მე-11 თვე, ამიტომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

შესაბამისად, ნოემბერში 202 ნაწილის წარმოება მოხდება.

დავალება No12. წიგნის აკინძვის სახელოსნომ იანვარში 216 წიგნი შეკრა, ყოველი მომდევნო თვეში კი 4 წიგნით მეტი, ვიდრე წინა თვეში. რამდენი წიგნი შეიკრა სახელოსნომ დეკემბერში?

გამოსავალი. Ერთი და იგივე:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 4. \\ \end (გასწორება)$

დეკემბერი არის წლის ბოლო, მე-12 თვე, ამიტომ ჩვენ ვეძებთ $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ეს არის პასუხი - დეკემბერში 260 წიგნი იკვრება.

აბა, თუ აქამდე წაიკითხეთ, მეჩქარება მოგილოცოთ: თქვენ წარმატებით დაასრულეთ არითმეტიკული პროგრესიების "ახალგაზრდა მებრძოლის კურსი". შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გადახვიდეთ შემდეგ გაკვეთილზე, სადაც შევისწავლით პროგრესირების ჯამის ფორმულას, ასევე მისგან მნიშვნელოვან და ძალიან სასარგებლო შედეგებს.

ონლაინ კალკულატორი.
არითმეტიკული პროგრესიის ამოხსნა.
მოცემულია: a n, d, n
იპოვეთ: a 1

ეს მათემატიკური პროგრამა პოულობს არითმეტიკული პროგრესიის \(a_1\) მომხმარებლის მიერ მითითებულ რიცხვებზე \(a_n, d\) და \(n\).
რიცხვები \(a_n\) და \(d\) შეიძლება მითითებული იყოს არა მხოლოდ როგორც მთელი რიცხვები, არამედ წილადები. უფრო მეტიც, წილადი რიცხვი შეიძლება შეიყვანოთ ათობითი წილადის სახით (\(2.5\)) და სახით საერთო წილადი(\(-5\frac(2)(7)\)).

პროგრამა არა მხოლოდ იძლევა პასუხს პრობლემაზე, არამედ აჩვენებს გადაწყვეტის ძიების პროცესს.

ეს ონლაინ კალკულატორი შეიძლება გამოადგეს საშუალო სკოლის მოსწავლეებს მოსამზადებლად ტესტებიხოლო გამოცდები, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წინ ცოდნის შემოწმებისას, მშობლებისთვის მათემატიკისა და ალგებრის მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის კონტროლი. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ ამის გაკეთება რაც შეიძლება სწრაფად? საშინაო დავალებამათემატიკაში თუ ალგებრაში? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტილებებით.

ამ გზით შეგიძლიათ დახარჯოთ თქვენი საკუთარი ტრენინგიან/და ავარჯიშებენ მათ უმცროს ძმებს ან დებს, ხოლო განათლების დონე იზრდება პრობლემების გადასაჭრელად.

თუ არ იცნობთ ნომრების შეყვანის წესებს, გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

ნომრების შეყვანის წესები

რიცხვები \(a_n\) და \(d\) შეიძლება მითითებული იყოს არა მხოლოდ როგორც მთელი რიცხვები, არამედ წილადები.
რიცხვი \(n\) შეიძლება იყოს მხოლოდ დადებითი მთელი რიცხვი.

ათობითი წილადების შეყვანის წესები.
ათობითი წილადებში მთელი და წილადი ნაწილები შეიძლება გამოიყოს წერტილით ან მძიმით.
მაგალითად, შეგიძლიათ შეიყვანოთ ათწილადებიასე რომ 2.5 ან ასე 2.5

ჩვეულებრივი წილადების შეყვანის წესები.
მხოლოდ მთელ რიცხვს შეუძლია წილადის მრიცხველის, მნიშვნელის და მთელი რიცხვის ნაწილის როლი.

მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

შესვლისას რიცხვითი წილადიმრიცხველი გამოყოფილია მნიშვნელისგან გაყოფის ნიშნით: /
შეყვანა:
შედეგი: \(-\frac(2)(3)\)

მთელი ნაწილი გამოყოფილია წილადისგან ამპერსანტის ნიშნით: &
შეყვანა:
შედეგი: \(-1\frac(2)(3)\)

შეიყვანეთ რიცხვები a n, d, n

იპოვეთ 1

გაირკვა, რომ ამ პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო ზოგიერთი სკრიპტი არ იყო ჩატვირთული და პროგრამამ შეიძლება არ იმუშაოს.
შეიძლება ჩართული გქონდეთ AdBlock.
ამ შემთხვევაში გამორთეთ და განაახლეთ გვერდი.

JavaScript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.
გამოსავალი რომ გამოჩნდეს, უნდა ჩართოთ JavaScript.
აქ მოცემულია ინსტრუქციები, თუ როგორ უნდა ჩართოთ JavaScript თქვენს ბრაუზერში.

იმიტომ რომ პრობლემის გადაჭრის მსურველი ბევრია, თქვენი მოთხოვნა რიგში დადგა.
რამდენიმე წამში გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
Გთხოვთ მოიცადოთ წამი...

Თუ შენ შენიშნა შეცდომა გამოსავალში, მაშინ შეგიძლიათ დაწეროთ ამის შესახებ გამოხმაურების ფორმაში.
Არ დაგავიწყდეს მიუთითეთ რომელი დავალებათქვენ გადაწყვიტეთ რა შედი ველებში.

ჩვენი თამაშები, თავსატეხები, ემულატორები:

ცოტა თეორია.

რიცხვების თანმიმდევრობა

ყოველდღიურ პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება სხვადასხვა ობიექტების ნუმერაცია მათი განლაგების თანმიმდევრობის აღსანიშნავად. მაგალითად, თითოეულ ქუჩაზე სახლები დანომრილია. ბიბლიოთეკაში მკითხველის ხელმოწერები ინომრება და შემდეგ განლაგებულია სპეციალური ბარათის ფაილებში მინიჭებული ნომრების მიხედვით.

შემნახველ ბანკში, მეანაბრის პირადი ანგარიშის ნომრის გამოყენებით, შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ეს ანგარიში და ნახოთ რა დეპოზიტია მასზე. ნომერ 1 ანგარიშში შედიოდეს დეპოზიტი a1 რუბლის ოდენობით, ანგარიშზე No2 შეიცავდეს დეპოზიტს a2 რუბლს და ა.შ. რიცხვების თანმიმდევრობა
a 1, a 2, a 3, ..., a N
სადაც N არის ყველა ანგარიშის ნომერი. აქ ყოველი ნატურალური რიცხვი n 1-დან N-მდე ასოცირდება რიცხვთან a n.

ასევე სწავლობდა მათემატიკაში უსასრულო რიცხვების თანმიმდევრობა:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
ნომერი a 1 ეწოდება რიგითობის პირველი ტერმინი, ნომერი 2 - რიგითობის მეორე ტერმინი, ნომერი 3 - რიგითობის მესამე ტერმინიდა ა.შ.
რიცხვი a n ეწოდება თანმიმდევრობის მე-n-ე წევრიდა ნატურალური რიცხვი n არის მისი ნომერი.

მაგალითად, კვადრატების თანმიმდევრობით ნატურალური რიცხვები 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... და 1 = 1 არის მიმდევრობის პირველი წევრი; და n = n 2 არის მე-1 ტერმინითანმიმდევრობები; a n+1 = (n + 1) 2 არის მიმდევრობის (n + 1)-ე (n პლუს პირველი) წევრი. ხშირად თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს მისი n-ე წევრის ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) განსაზღვრავს თანმიმდევრობას \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \წერტილები,\frac(1)(n) , \წერტილები \)

არითმეტიკული პროგრესია

წელიწადის ხანგრძლივობა დაახლოებით 365 დღეა. უფრო ზუსტი მნიშვნელობა არის \(365\frac(1)(4)\) დღე, ამიტომ ყოველ ოთხ წელიწადში ერთხელ გროვდება ერთი დღის შეცდომა.

ამ შეცდომის გასათვალისწინებლად ყოველ მეოთხე წელს ემატება დღე, ხოლო გაფართოებულ წელს ნახტომი წელიწადი ეწოდება.

მაგალითად, მესამე ათასწლეულში ნახტომი წლებიარის 2004, 2008, 2012, 2016 წლები, ... .

ამ თანმიმდევრობით ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, დამატებულია იგივე რიცხვი 4. ასეთ მიმდევრობას ე.წ. არითმეტიკული პროგრესიები.

განმარტება.
რიცხვითი მიმდევრობა a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია, თუ ყველა ბუნებრივი n თანასწორობა
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
სადაც d არის რაღაც რიცხვი.

ამ ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ a n+1 - a n = d. რიცხვს d ეწოდება განსხვავება არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის განმარტებით გვაქვს:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
სადაც
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), სადაც \(n>1 \)

ამრიგად, არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის მისი ორი მომიჯნავე წევრის საშუალო არითმეტიკულს. ეს ხსნის სახელწოდებას "არითმეტიკული" პროგრესიით.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ მოცემულია 1 და d, მაშინ არითმეტიკული პროგრესიის დარჩენილი წევრები შეიძლება გამოითვალოს განმეორებადი ფორმულის გამოყენებით a n+1 = a n + d. ამ გზით არ არის რთული პროგრესიის პირველი რამდენიმე ტერმინის გამოთვლა, თუმცა, მაგალითად, 100-ს უკვე ბევრი გამოთვლა დასჭირდება. როგორც წესი, ამისათვის გამოიყენება n-ე ტერმინის ფორმულა. არითმეტიკული პროგრესიის განმარტებით
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
და ა.შ.
Საერთოდ,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
ვინაიდან არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრი მიიღება პირველი წევრიდან d რიცხვის (n-1)-ჯერ დამატებით.
ამ ფორმულას ე.წ არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა.

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი

იპოვეთ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი 1-დან 100-მდე.
მოდით დავწეროთ ეს თანხა ორი გზით:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
მოდით დავამატოთ ეს თანასწორობები ტერმინით:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
ამ თანხას აქვს 100 პირობა
ამიტომ, 2S = 101 * 100, აქედან გამომდინარე, S = 101 * 50 = 5050.

ახლა განვიხილოთ თვითნებური არითმეტიკული პროგრესია
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
მოდით S n იყოს ამ პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
მერე არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი უდრის
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

ვინაიდან \(a_n=a_1+(n-1)d\), შემდეგ ამ ფორმულაში n-ის ჩანაცვლებით მივიღებთ სხვა ფორმულას საპოვნელად. არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

წიგნები (სახელმძღვანელოები) ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისა და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტესტების აბსტრაქტები ონლაინ თამაშები, თავსატეხები ფუნქციების გრაფიკების შედგენა რუსული ენის მართლწერის ლექსიკონი ახალგაზრდული ჟარგონის ლექსიკონი რუსული სკოლების კატალოგი რუსეთის საშუალო საგანმანათლებლო დაწესებულებების კატალოგი რუსეთის უნივერსიტეტების კატალოგი სია ამოცანების

საშუალო სკოლაში (მე-9 კლასი) ალგებრის სწავლისას ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თემებიარის შესწავლა რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელიც მოიცავს პროგრესიებს - გეომეტრიულ და არითმეტიკას. ამ სტატიაში განვიხილავთ არითმეტიკულ პროგრესიას და მაგალითებს ამონახსნებით.

რა არის არითმეტიკული პროგრესია?

ამის გასაგებად საჭიროა განვსაზღვროთ მოცემული პროგრესი, ასევე მივაწოდოთ ძირითადი ფორმულები, რომლებიც მოგვიანებით იქნება გამოყენებული პრობლემების გადაჭრისას.

არითმეტიკა ან არის მოწესრიგებული რაციონალური რიცხვების ერთობლიობა, რომელთა თითოეული წევრი განსხვავდება წინადან გარკვეული მუდმივი მნიშვნელობით. ამ მნიშვნელობას სხვაობა ეწოდება. ანუ, რიცხვების მოწესრიგებული სერიის ნებისმიერი წევრის და სხვაობის ცოდნით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მთელი არითმეტიკული პროგრესია.

მოვიყვანოთ მაგალითი. რიცხვების შემდეგი თანმიმდევრობა იქნება არითმეტიკული პროგრესია: 4, 8, 12, 16, ..., ვინაიდან განსხვავება ამ შემთხვევაში არის 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). მაგრამ 3, 5, 8, 12, 17 რიცხვების სიმრავლე აღარ შეიძლება მიეკუთვნებოდეს განხილული პროგრესიის ტიპს, რადგან სხვაობა არ არის მუდმივი მნიშვნელობა (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

მნიშვნელოვანი ფორმულები

ახლა წარმოგიდგენთ ძირითად ფორმულებს, რომლებიც საჭირო იქნება არითმეტიკული პროგრესიის გამოყენებით ამოცანების გადასაჭრელად. a n სიმბოლოთი ავღნიშნოთ მიმდევრობის n-ე წევრი, სადაც n არის მთელი რიცხვი. განსხვავებას აღვნიშნავთ ლათინური ასოთი d. მაშინ შემდეგი გამონათქვამები მოქმედებს:

1. n-ე წევრის მნიშვნელობის დასადგენად შესაფერისია შემდეგი ფორმულა: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. პირველი n წევრის ჯამის დასადგენად: S n = (a n +a 1)*n/2.

არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი მაგალითის გასაგებად ამონახსნებით მე-9 კლასში, საკმარისია გავიხსენოთ ეს ორი ფორმულა, რადგან განხილული ტიპის ნებისმიერი პრობლემა ეფუძნება მათ გამოყენებას. ასევე უნდა გახსოვდეთ, რომ პროგრესირების განსხვავება განისაზღვრება ფორმულით: d = a n - a n-1.

მაგალითი #1: უცნობი ტერმინის პოვნა

მოდით მოვიყვანოთ არითმეტიკული პროგრესიის მარტივი მაგალითი და ფორმულები, რომლებიც უნდა გამოვიყენოთ მის ამოსახსნელად.

მიეცით თანმიმდევრობა 10, 8, 6, 4, ..., თქვენ უნდა იპოვოთ მასში ხუთი წევრი.

პრობლემის პირობებიდან უკვე ირკვევა, რომ ცნობილია პირველი 4 ტერმინი. მეხუთე შეიძლება განისაზღვროს ორი გზით:

1. ჯერ გამოვთვალოთ განსხვავება. გვაქვს: d = 8 - 10 = -2. ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ აიყვანოთ ერთმანეთის გვერდით მდგომი ნებისმიერი სხვა წევრი. მაგალითად, d = 4 - 6 = -2. ვინაიდან ცნობილია, რომ d = a n - a n-1, მაშინ d = a 5 - a 4, საიდანაც ვიღებთ: a 5 = a 4 + d. ჩვენ ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობებს: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. მეორე მეთოდი ასევე მოითხოვს ცოდნას მოცემული პროგრესიის განსხვავების შესახებ, ასე რომ თქვენ ჯერ უნდა დაადგინოთ ის, როგორც ზემოთ ნაჩვენებია (d = -2). იმის ცოდნა, რომ პირველი წევრი a 1 = 10, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას მიმდევრობის n რიცხვისთვის. გვაქვს: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. ბოლო გამოსახულებაში n = 5 ჩანაცვლებით, მივიღებთ: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

როგორც ხედავთ, ორივე გადაწყვეტილებამ გამოიწვია იგივე შედეგი. გაითვალისწინეთ, რომ ამ მაგალითში პროგრესიის სხვაობა d არის უარყოფითი მნიშვნელობა. ასეთ თანმიმდევრობას კლებადი ეწოდება, რადგან ყოველი შემდეგი წევრი წინაზე ნაკლებია.

მაგალითი #2: პროგრესირების განსხვავება

ახლა ცოტა გავართულოთ პრობლემა, მოვიყვანოთ მაგალითი, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

ცნობილია, რომ ზოგიერთ ალგებრულ პროგრესიაში 1 წევრი უდრის 6-ს, ხოლო მე-7 წევრი უდრის 18-ს. საჭიროა სხვაობის პოვნა და ამ თანმიმდევრობის აღდგენა მე-7 წევრამდე.

გამოვიყენოთ ფორმულა უცნობი ტერმინის დასადგენად: a n = (n - 1) * d + a 1 . მოდით ჩავანაცვლოთ მასში მდგომარეობიდან ცნობილი მონაცემები, ანუ რიცხვები a 1 და a 7, გვაქვს: 18 = 6 + 6 * d. ამ გამოთქმიდან შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ განსხვავება: d = (18 - 6) /6 = 2. ამრიგად, ჩვენ ვუპასუხეთ ამოცანის პირველ ნაწილს.

თანმიმდევრობის მე-7 ტერმინზე დასაბრუნებლად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ განმარტება ალგებრული პროგრესია, ანუ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d და ასე შემდეგ. შედეგად, ჩვენ აღვადგენთ მთელ თანმიმდევრობას: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

მაგალითი No3: პროგრესიის შედგენა

მოდით კიდევ უფრო გავართულოთ უფრო ძლიერი მდგომარეობადავალებები. ახლა ჩვენ უნდა ვუპასუხოთ კითხვას, როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესია. შეიძლება მოვიყვანოთ შემდეგი მაგალითი: მოცემულია ორი რიცხვი, მაგალითად - 4 და 5. აუცილებელია ალგებრული პროგრესიის შექმნა ისე, რომ მათ შორის მოთავსდეს კიდევ სამი წევრი.

სანამ ამ პრობლემის გადაჭრას დაიწყებდეთ, უნდა გესმოდეთ, რა ადგილს დაიკავებენ მოცემული რიცხვები მომავალ პროგრესში. ვინაიდან მათ შორის იქნება კიდევ სამი ტერმინი, მაშინ 1 = -4 და 5 = 5. ამის დადგენის შემდეგ გადავდივართ პრობლემაზე, რომელიც წინას მსგავსია. ისევ, მე-n ტერმინისთვის ვიყენებთ ფორმულას, მივიღებთ: a 5 = a 1 + 4 * d. მდებარეობა: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. რაც აქ მივიღეთ არ არის სხვაობის მთელი რიცხვი, მაგრამ რაციონალური რიცხვია, ამიტომ ალგებრული პროგრესიის ფორმულები იგივე რჩება.

ახლა დავამატოთ ნაპოვნი განსხვავება 1-ს და აღვადგინოთ პროგრესიის გამოტოვებული პირობები. ვიღებთ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, რომელიც დაემთხვა პრობლემის პირობებთან.

მაგალითი No4: პროგრესირების პირველი ვადა

გავაგრძელოთ არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითების მოყვანა ამონახსნებით. ყველა წინა ამოცანაში ცნობილი იყო ალგებრული პროგრესიის პირველი რიცხვი. ახლა განვიხილავთ სხვა ტიპის პრობლემას: მოყვანილი იყოს ორი რიცხვი, სადაც 15 = 50 და 43 = 37. აუცილებელია ვიპოვოთ რომელი რიცხვით იწყება ეს თანმიმდევრობა.

აქამდე გამოყენებული ფორმულები ითვალისწინებს 1 და დ-ის ცოდნას. პრობლემის განცხადებაში არაფერია ცნობილი ამ რიცხვების შესახებ. მიუხედავად ამისა, ჩვენ ჩამოვწერთ გამონათქვამებს თითოეული ტერმინისთვის, რომლის შესახებაც ხელმისაწვდომია ინფორმაცია: a 15 = a 1 + 14 * d და a 43 = a 1 + 42 * d. მივიღეთ ორი განტოლება, რომელშიც არის 2 უცნობი სიდიდე (a 1 და d). ეს ნიშნავს, რომ პრობლემა მცირდება წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით.

ამ სისტემის ამოხსნის უმარტივესი გზაა 1-ის გამოხატვა თითოეულ განტოლებაში და შემდეგ მიღებული გამონათქვამების შედარება. პირველი განტოლება: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; მეორე განტოლება: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. ამ გამონათქვამების გათანაბრებისას მივიღებთ: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, საიდანაც განსხვავება d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (მოყვანილია მხოლოდ 3 ათობითი ადგილი).

იცოდეთ d, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზემოთ მოცემული 2 გამოთქმიდან რომელიმე 1-ისთვის. მაგალითად, პირველი: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

თუ ეჭვი გაქვთ მიღებულ შედეგზე, შეგიძლიათ გადაამოწმოთ, მაგალითად, განსაზღვროთ პროგრესირების 43-ე ვადა, რომელიც მითითებულია პირობაში. ჩვენ ვიღებთ: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. მცირე შეცდომა გამოწვეულია იმით, რომ გამოთვლებში გამოყენებული იყო დამრგვალება მეათასედამდე.

მაგალითი No5: თანხა

ახლა მოდით გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამონახსნებით.

მივცეთ შემდეგი ფორმის რიცხვითი პროგრესია: 1, 2, 3, 4, ...,. როგორ გამოვთვალოთ ამ რიცხვებიდან 100-ის ჯამი?

კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარების წყალობით შესაძლებელია ამ პრობლემის გადაჭრა, ანუ ყველა რიცხვის მიმდევრობით დამატება, რასაც კომპიუტერი გააკეთებს, როგორც კი ადამიანი დააჭერს Enter ღილაკს. თუმცა, პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია გონებრივად, თუ ყურადღებას მიაქცევთ, რომ რიცხვების წარმოდგენილი სერია არის ალგებრული პროგრესია და მისი სხვაობა უდრის 1-ს. ჯამის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ამ პრობლემას „გაუსური“ ჰქვია, რადგან მე-18 საუკუნის დასაწყისში ცნობილმა გერმანელმა, ჯერ კიდევ მხოლოდ 10 წლისამ, თავის თავში რამდენიმე წამში გადაჭრა. ბიჭმა არ იცოდა ალგებრული პროგრესიის ჯამის ფორმულა, მაგრამ მან შენიშნა, რომ თუ მიმდევრობის ბოლოების რიცხვებს წყვილებში დაამატებთ, ყოველთვის ერთსა და იმავე შედეგს მიიღებთ, ანუ 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., და რადგან ეს ჯამები იქნება ზუსტად 50 (100/2), მაშინ სწორი პასუხის მისაღებად საკმარისია 50 გავამრავლოთ 101-ზე.

მაგალითი No6: წევრთა ჯამი n-დან m-მდე

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის კიდევ ერთი ტიპიური მაგალითია შემდეგი: მოცემული რიცხვების სერია: 3, 7, 11, 15, ..., თქვენ უნდა იპოვოთ, თუ რას უდრის მისი წევრთა ჯამი 8-დან 14-მდე. .

პრობლემა მოგვარებულია ორი გზით. პირველი მათგანი მოიცავს უცნობი ტერმინების მოძიებას 8-დან 14-მდე და შემდეგ მათი თანმიმდევრობით შეჯამება. ვინაიდან რამდენიმე ტერმინია, ეს მეთოდი არ არის საკმაოდ შრომატევადი. მიუხედავად ამისა, შემოთავაზებულია ამ პრობლემის გადაჭრა მეორე მეთოდის გამოყენებით, რომელიც უფრო უნივერსალურია.

იდეა არის მივიღოთ ფორმულა ალგებრული პროგრესიის ჯამისთვის m და n ტერმინებს შორის, სადაც n > m არის მთელი რიცხვები. ორივე შემთხვევისთვის ჩვენ ვწერთ ორ გამონათქვამს ჯამისთვის:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

ვინაიდან n > m, აშკარაა, რომ მე-2 ჯამი მოიცავს პირველს. ბოლო დასკვნა ნიშნავს, რომ თუ ავიღებთ განსხვავებას ამ ჯამებს შორის და დავუმატებთ ტერმინს a m-ს (სხვაობის აღების შემთხვევაში ის გამოვაკლდება S n-ს ჯამს), მივიღებთ ამოცანის აუცილებელ პასუხს. გვაქვს: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). ამ გამოსახულებაში აუცილებელია n და m ფორმულების ჩანაცვლება. შემდეგ მივიღებთ: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

შედეგად მიღებული ფორმულა გარკვეულწილად რთულია, თუმცა S mn ჯამი დამოკიდებულია მხოლოდ n, m, a 1 და d-ზე. ჩვენს შემთხვევაში, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ამ რიცხვების ჩანაცვლებით მივიღებთ: S mn = 301.

როგორც ზემოთ მოყვანილი ამონახსნებიდან ჩანს, ყველა პრობლემა ემყარება n-ე წევრის გამოხატვის ცოდნას და პირველი წევრთა სიმრავლის ჯამის ფორმულას. სანამ რომელიმე ამ პრობლემის გადაჭრას დაიწყებთ, რეკომენდებულია, ყურადღებით წაიკითხოთ მდგომარეობა, ნათლად გაიგოთ, რა უნდა იპოვოთ და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელოთ გამოსავალი.

კიდევ ერთი რჩევა არის სიმარტივისკენ სწრაფვა, ანუ თუ თქვენ შეგიძლიათ უპასუხოთ კითხვას რთული მათემატიკური გამოთვლების გამოყენების გარეშე, მაშინ სწორედ ეს უნდა გააკეთოთ, რადგან ამ შემთხვევაში შეცდომის დაშვების ალბათობა ნაკლებია. მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითში მე-6 ამონახსნით, შეიძლება შევჩერდეთ ფორმულაზე S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, და დაყავით მთლიანი პრობლემა ცალკეულ ქვეამოცნებებად (ამ შემთხვევაში ჯერ იპოვეთ ტერმინები a n და a m).

თუ თქვენ გაქვთ ეჭვი მიღებულ შედეგზე, რეკომენდებულია მისი შემოწმება, როგორც ეს გაკეთდა ზოგიერთ მოყვანილ მაგალითში. ჩვენ გავარკვიეთ, როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესია. თუ გაარკვიე, არც ისე რთულია.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის სწავლა.

გაკვეთილის მიზნები:

• არითმეტიკული პროგრესიის გამოყენებით ამოხსნილი ამოცანების შესახებ მოსწავლეთა გაგების გაფართოება და გაღრმავება; მოსწავლეთა საძიებო აქტივობების ორგანიზება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n პუნქტების ჯამის ფორმულის გამოყვანისას;
• ახალი ცოდნის დამოუკიდებლად შეძენის და უკვე მიღებული ცოდნის მოცემული ამოცანის მისაღწევად გამოყენების უნარის გამომუშავება;
• მიღებული ფაქტების განზოგადების სურვილისა და მოთხოვნილების განვითარება, დამოუკიდებლობის განვითარება.

Დავალებები:

• არსებული ცოდნის შეჯამება და სისტემატიზაცია თემაზე „არითმეტიკული პროგრესია“;
• არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის გამოანგარიშების ფორმულების გამოყვანა;
• ასწავლეთ მიღებული ფორმულების გამოყენება ამოხსნისას სხვადასხვა ამოცანები;
• მოსწავლეთა ყურადღება მიაპყროს რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნის პროცედურას.

აღჭურვილობა:

• ბარათები ჯგუფებში და წყვილებში მუშაობისთვის დავალებებით;
• შეფასების ქაღალდი;
• პრეზენტაცია"არითმეტიკული პროგრესია."

I. საბაზისო ცოდნის განახლება.

1. დამოუკიდებელი მუშაობაწყვილებში.

1 ვარიანტი:

არითმეტიკული პროგრესიის განსაზღვრა. ჩამოწერეთ განმეორების ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს არითმეტიკულ პროგრესიას. გთხოვთ, მიუთითოთ არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითი და მიუთითოთ მისი განსხვავება.

მე-2 ვარიანტი:

ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის მე-100 წევრი ( a n}: 2, 5, 8 …
ამ დროს ორი სტუდენტი უკანა მხარედაფები ამზადებენ პასუხებს იმავე კითხვებზე.
მოსწავლეები აფასებენ პარტნიორის მუშაობას დაფაზე მათი შემოწმებით. (ფურცლები პასუხებით გადაეცემა.)

2. თამაშის მომენტი.

სავარჯიშო 1.

მასწავლებელი.რაღაც არითმეტიკული პროგრესირებაზე ვფიქრობდი. დამისვით მხოლოდ ორი შეკითხვა, რათა პასუხების შემდეგ სწრაფად დაასახელოთ ამ პროგრესიის მე-7 ტერმინი. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

კითხვები სტუდენტებისგან.

1. რა არის პროგრესის მეექვსე ვადა და რა განსხვავებაა?
2. რა არის პროგრესის მერვე ვადა და რა განსხვავებაა?

თუ კითხვები აღარ არის, მაშინ მასწავლებელს შეუძლია მათი სტიმულირება - „აკრძალვა“ d-ზე (განსხვავება), ანუ დაუშვებელია კითხვა, რის ტოლია განსხვავება. შეგიძლიათ დასვათ კითხვები: რას უდრის პროგრესიის მე-6 წევრი და რის ტოლია პროგრესიის მე-8 წევრი?

დავალება 2.

დაფაზე 20 რიცხვია დაწერილი: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

მასწავლებელი დგას ზურგით დაფისკენ. მოსწავლეები იძახიან ნომერს, მასწავლებელი კი მყისიერად იძახებს თავად ნომერს. ამიხსენი, როგორ შემიძლია ამის გაკეთება?

მასწავლებელს ახსოვს n-ე ნაწილის ფორმულა a n = 3n - 2და მითითებული მნიშვნელობების n ჩანაცვლებით, პოულობს შესაბამის მნიშვნელობებს a n.

II. სასწავლო დავალების დაყენება.

მე ვთავაზობ უძველესი პრობლემის გადაჭრას, რომელიც დათარიღებულია ჩვენს წელთაღრიცხვამდე II ათასწლეულით, ეგვიპტურ პაპირუსებში.

ამოცანა:„მოდით, გითხრათ: 10 საზომი ქერი გაყავით 10 ადამიანზე, თითოეულ ადამიანსა და მის მეზობელს შორის სხვაობა ზომის 1/8-ია“.

• როგორ უკავშირდება ეს პრობლემა თემის არითმეტიკულ პროგრესირებას? (თითოეული შემდეგი ადამიანი იღებს საზომის 1/8-ით მეტს, რაც ნიშნავს, რომ განსხვავებაა d=1/8, 10 ადამიანი, რაც ნიშნავს n=10.)
• როგორ ფიქრობთ, რას ნიშნავს რიცხვი 10 საზომი? (პროგრესიის ყველა ტერმინის ჯამი.)
• კიდევ რა უნდა იცოდეთ, რომ ქერის დაყოფა პრობლემის პირობების მიხედვით მარტივი და მარტივი იყოს? (პროგრესიის პირველი ვადა.)

გაკვეთილის მიზანი– პროგრესირების ტერმინების ჯამის დამოკიდებულების მიღება მათ რიცხვზე, პირველ წევრზე და განსხვავებაზე და შემოწმება, სწორად იყო თუ არა ამოხსნილი პრობლემა ძველ დროში.

სანამ ფორმულას გამოვიტანთ, ვნახოთ, როგორ გადაჭრეს ძველი ეგვიპტელები პრობლემა.

და მათ გადაჭრეს ეს შემდეგნაირად:

1) 10 ზომა: 10 = 1 საზომი – საშუალო წილი;
2) 1 საზომი ∙ = 2 საზომი – გაორმაგდა საშუალოგაზიარება.
გაორმაგდა საშუალოწილი არის მე-5 და მე-6 პირის წილების ჯამი.
3) 2 საზომი – 1/8 საზომი = 1 7/8 საზომი – მეხუთე ადამიანის წილი ორმაგად.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – მეხუთედის ნაწილი; და ასე შემდეგ, შეგიძლიათ იპოვოთ თითოეული წინა და მომდევნო ადამიანის წილი.

ჩვენ ვიღებთ თანმიმდევრობას:

III. პრობლემის გადაჭრა.

1. ჯგუფებში მუშაობა

ჯგუფი I:იპოვეთ 20 ზედიზედ ნატურალური რიცხვის ჯამი: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Ზოგადად

II ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე (ლეგენდა პატარა გაუსის შესახებ).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

დასკვნა:

III ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 21-მდე.

ამოხსნა: 1+21=2+20=3+19=4+18…

დასკვნა:

IV ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 101-მდე.

დასკვნა:

განხილული პრობლემების გადაჭრის ამ მეთოდს ეწოდება "გაუსის მეთოდი".

2. თითოეული ჯგუფი დაფაზე წარმოადგენს პრობლემის გადაწყვეტას.

3. შემოთავაზებული ამონახსნების განზოგადება თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

მოდი ვიპოვოთ ეს ჯამი მსგავსი მსჯელობის გამოყენებით:

4. მოვაგვარეთ პრობლემა?(დიახ.)

IV. ამოცანების ამოხსნისას მიღებული ფორმულების პირველადი გაგება და გამოყენება.

1. უძველესი პრობლემის გადაწყვეტის შემოწმება ფორმულის გამოყენებით.

2. ფორმულის გამოყენება სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრაში.

3. სავარჯიშოები ამოცანების ამოხსნისას ფორმულების გამოყენების უნარის გასავითარებლად.

ა) No613

მოცემულია: ( ა ნ) –არითმეტიკული პროგრესია;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

იპოვე: S 1500

გამოსავალი: , a 1 = 1 და 1500 = 1500,

ბ) მოცემული: ( ა ნ) –არითმეტიკული პროგრესია;
(a n): 1, 2, 3,…
S n = 210

იპოვე: ნ
გამოსავალი:

V. დამოუკიდებელი მუშაობა ურთიერთდამოწმებით.

დენისმა კურიერად დაიწყო მუშაობა. პირველ თვეში მისი ხელფასი 200 მანეთი იყო, ყოველ მომდევნო თვეში 30 რუბლით გაიზარდა. რამდენი გამოიმუშავა მან წელიწადში?

მოცემულია: ( ა ნ) –არითმეტიკული პროგრესია;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
იპოვე: S 12
გამოსავალი:

პასუხი: დენისმა მიიღო 4380 რუბლი წელიწადში.

VI. საშინაო დავალების ინსტრუქცია.

1. ნაწილი 4.3 – ისწავლეთ ფორმულის წარმოშობა.
2. №№ 585, 623 .
3. შექმენით პრობლემა, რომლის გადაჭრაც შესაძლებელია არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულის გამოყენებით.

VII. გაკვეთილის შეჯამება.

1. ქულების ფურცელი

2. განაგრძეთ წინადადებები

• დღეს გაკვეთილზე ვისწავლე...
• ნასწავლი ფორმულები...
• Მე მჯერა …

3. შეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვების ჯამი 1-დან 500-მდე? რა მეთოდს გამოიყენებთ ამ პრობლემის მოსაგვარებლად?

ბიბლიოგრაფია.

1. ალგებრა, მე-9 კლასი. ტუტორიალი ამისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტები. რედ. გ.ვ. დოროფეევა.მ.: „განმანათლებლობა“, 2009 წ.