"გაზრდის და შემცირების ფუნქცია"

გაკვეთილის მიზნები:

1. ისწავლეთ ერთფეროვნების პერიოდების პოვნა.

2. აზროვნების უნარის განვითარება, რომელიც უზრუნველყოფს სიტუაციის ანალიზს და მოქმედების ადეკვატური მეთოდების შემუშავებას (ანალიზი, სინთეზი, შედარება).

3. ინტერესის ჩამოყალიბება საგნის მიმართ.

გაკვეთილების დროს

დღეს ჩვენ ვაგრძელებთ წარმოებულის გამოყენების შესწავლას და განვიხილავთ მისი გამოყენების საკითხს ფუნქციების შესასწავლად. წინა სამუშაო

ახლა მოდით მივცეთ რამდენიმე განმარტება "ბრეინშტორმინგი" ფუნქციის თვისებებს.

1. რა ჰქვია ფუნქციას?

2. რა ჰქვია X ცვლადს?

3. რა ჰქვია ცვლადს Y?

4. რა არის ფუნქციის დომენი?

5. რა არის ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები?

6. რომელ ფუნქციას ეწოდება ლუწი?

7. რომელ ფუნქციას ეწოდება კენტი?

8. რას იტყვით ლუწი ფუნქციის გრაფიკზე?

9. რას იტყვით კენტი ფუნქციის გრაფიკზე?

10. რა ფუნქციას ჰქვია გაზრდა?

11. რომელ ფუნქციას ჰქვია კლება?

12. რომელ ფუნქციას ეწოდება პერიოდული?

მათემატიკა არის მათემატიკური მოდელების შესწავლა. ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკური მოდელებიარის ფუნქცია. არსებობს სხვადასხვა გზებიფუნქციების აღწერა. რომელია ყველაზე აშკარა?

- გრაფიკული.

- როგორ ავაშენოთ გრაფიკი?

- წერტილი-პუნქტი.

ეს მეთოდი შესაფერისია, თუ წინასწარ იცით, როგორ გამოიყურება გრაფიკი. მაგალითად, რა არის გრაფიკი კვადრატული ფუნქციაწრფივი ფუნქცია, უკუპროპორციულობა, ფუნქციები y = sinx? (გამოფენილია შესაბამისი ფორმულები, მოსწავლეები ასახელებენ მრუდებს, რომლებიც არის გრაფიკები.)

მაგრამ რა მოხდება, თუ დაგჭირდებათ ფუნქციის ან კიდევ უფრო რთული გრაფიკის დახატვა? შეგიძლიათ იპოვოთ მრავალი წერტილი, მაგრამ როგორ იქცევა ფუნქცია ამ წერტილებს შორის?

მოათავსეთ ორი წერტილი დაფაზე და სთხოვეთ სტუდენტებს აჩვენონ, როგორი შეიძლება იყოს გრაფიკი „მათ შორის“:

მისი წარმოებული გეხმარებათ გაერკვნენ, თუ როგორ იქცევა ფუნქცია.

გახსენით რვეულები, ჩაწერეთ ნომერი, კარგი საქმეა.

გაკვეთილის მიზანი: ისწავლეთ როგორ არის დაკავშირებული ფუნქციის გრაფიკი მისი წარმოებულის გრაფიკთან და ისწავლეთ ორი ტიპის ამოცანის ამოხსნა:

1. წარმოებული გრაფიკის გამოყენებით იპოვეთ თავად ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები, ასევე ფუნქციის უკიდურესი წერტილები;

2. წარმოებული ნიშნების სქემის გამოყენებით ინტერვალებზე იპოვნეთ თავად ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები, ასევე ფუნქციის უკიდურესი წერტილები.

მსგავსი ამოცანები ჩვენს სახელმძღვანელოებში არ არის, მაგრამ გვხვდება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტესტებში (ნაწილები A და B).

დღეს გაკვეთილზე გადავხედავთ პროცესის შესწავლის მეორე ეტაპის მუშაობის მცირე ელემენტს, ფუნქციის ერთ-ერთი თვისების შესწავლას - ერთფეროვნების ინტერვალების განსაზღვრას.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად საჭიროა გავიხსენოთ ადრე განხილული რამდენიმე საკითხი.

მაშ ასე, ჩამოვწეროთ დღევანდელი გაკვეთილის თემა: ფუნქციების გაზრდისა და კლების ნიშნები.

ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ნიშნები:

თუ მოცემული ფუნქციის წარმოებული დადებითია x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის ინტერვალში (a; b), ანუ f"(x) > 0, მაშინ ფუნქცია იზრდება ამ ინტერვალში.
თუ მოცემული ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის ინტერვალში (a; b), ანუ f"(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

ერთფეროვნების ინტერვალების პოვნის თანმიმდევრობა:

იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი.

1. იპოვეთ ფუნქციის პირველი წარმოებული.

2. თავად გადაწყვიტეთ დაფაზე

იპოვეთ კრიტიკული წერტილები, გამოიკვლიეთ პირველი წარმოებულის ნიშანი იმ ინტერვალებში, რომლებშიც ნაპოვნი კრიტიკული წერტილები ყოფენ ფუნქციის განსაზღვრის დომენს. იპოვნეთ ფუნქციების ერთფეროვნების ინტერვალები:

ა) განმარტების სფერო,

ბ) იპოვეთ პირველი წარმოებული:

გ) იპოვეთ კრიტიკული წერტილები: ; , და

3. გამოვიკვლიოთ წარმოებულის ნიშანი მიღებულ ინტერვალებში და ამონახსნები წარმოვადგინოთ ცხრილის სახით.

მიუთითეთ უკიდურეს წერტილებზე

მოდით შევხედოთ ფუნქციების შესწავლის რამდენიმე მაგალითს გაზრდისა და შემცირებისთვის.

მაქსიმუმის არსებობის საკმარისი პირობაა წარმოებულის ნიშნის შეცვლა კრიტიკულ წერტილში "+"-დან "-"-ზე გავლისას, ხოლო მინიმალური "-"-დან "+"-ზე. თუ კრიტიკულ წერტილში გავლისას წარმოებულის ნიშანი არ იცვლება, მაშინ ამ ეტაპზე ექსტრემი არ არის

1. იპოვე D(f).

2. იპოვეთ f"(x).

3. იპოვეთ სტაციონარული წერტილები, ე.ი. წერტილები, სადაც f"(x) = 0 ან f"(x) არ არსებობს.
(წარმოებული არის 0 მრიცხველის ნულებთან, წარმოებული არ არსებობს მნიშვნელის ნულებთან)

4. მოათავსეთ D(f) და ეს წერტილები კოორდინატთა წრფეზე.

5. განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშნები თითოეულ ინტერვალზე

6. გამოიყენეთ ნიშნები.

7. ჩაწერეთ პასუხი.

ახალი მასალის კონსოლიდაცია.

მოსწავლეები მუშაობენ წყვილებში და ამონაწერს წერენ რვეულებში.

ა) y = x³ - 6 x² + 9 x - 9;

ბ) y = 3 x² - 5x + 4.

გამგეობაში ორი ადამიანი მუშაობს.

ა) y = 2 x³ – 3 x² – 36 x + 40

ბ) y = x4-2 x³

3. გაკვეთილის შეჯამება

საშინაო დავალება: ტესტი (დიფერენცირებული)

ფუნქციის ბუნების დასადგენად და მის ქცევაზე საუბრისას საჭიროა მატებისა და შემცირების ინტერვალების პოვნა. ამ პროცესს ეწოდება ფუნქციების კვლევა და გრაფიკა. ექსტრემალური წერტილი გამოიყენება ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნისას, რადგან მათში ფუნქცია იზრდება ან მცირდება ინტერვალიდან.

ეს სტატია ავლენს განმარტებებს, აყალიბებს მატებისა და შემცირების საკმარის ნიშანს ინტერვალზე და ექსტრემის არსებობის პირობას. ეს ეხება მაგალითებისა და პრობლემების გადაჭრას. ფუნქციების დიფერენცირების განყოფილება უნდა განმეორდეს, რადგან გამოსავალს დასჭირდება წარმოებულის პოვნა.

Yandex.RTB R-A-339285-1 განმარტება 1

ფუნქცია y = f (x) გაიზრდება x ინტერვალზე, როდესაც ნებისმიერი x 1 ∈ X და x 2 ∈ X, x 2 > x 1, უტოლობა f (x 2) > f (x 1) დაკმაყოფილდება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას.

განმარტება 2

ფუნქცია y = f (x) ითვლება კლებად x ინტერვალზე, როდესაც ნებისმიერი x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, ტოლობა f (x 2) > f (x 1) ითვლება ჭეშმარიტად. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უფრო დიდი ფუნქციის მნიშვნელობა შეესაბამება უფრო მცირე არგუმენტის მნიშვნელობას. განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

კომენტარი: როდესაც ფუნქცია განსაზღვრული და უწყვეტია გაზრდისა და კლების ინტერვალის ბოლოებში, ანუ (a; b), სადაც x = a, x = b, წერტილები შედის გაზრდისა და კლების ინტერვალში. ეს არ ეწინააღმდეგება განმარტებას, ეს ნიშნავს, რომ ის ხდება x ინტერვალზე.

y = sin x ტიპის ელემენტარული ფუნქციების ძირითადი თვისებებია არგუმენტების რეალური მნიშვნელობების დარწმუნება და უწყვეტობა. აქედან ვიღებთ, რომ სინუსი იზრდება ინტერვალზე - π 2; π 2, მაშინ სეგმენტზე ზრდას აქვს ფორმა - π 2; π 2.

განმარტება 3

წერტილი x 0 ეწოდება მაქსიმალური ქულა y = f (x) ფუნქციისთვის, როდესაც x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის მოქმედებს უტოლობა f (x 0) ≥ f (x). მაქსიმალური ფუნქციაარის ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში და აღინიშნება y m a x-ით.

x 0 წერტილს უწოდებენ მინიმალურ წერტილს y = f (x) ფუნქციისთვის, როდესაც x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის მოქმედებს უტოლობა f (x 0) ≤ f (x). მინიმალური ფუნქციებიარის ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში და აქვს y m i n ფორმის აღნიშვნა.

განიხილება x 0 წერტილის მეზობლები ექსტრემალური წერტილები,და ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება უკიდურეს წერტილებს. განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

ფუნქციის უკიდურესობა ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობით. განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

პირველი ფიგურა ამბობს, რომ აუცილებელია ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობის პოვნა სეგმენტიდან [a; ბ ] . იგი ნაპოვნია მაქსიმალური ქულების გამოყენებით და უდრის ფუნქციის მაქსიმალურ მნიშვნელობას, ხოლო მეორე ფიგურა უფრო ჰგავს მაქსიმალური წერტილის პოვნას x = b-ზე.

საკმარისი პირობები ფუნქციის გაზრდისა და შემცირებისთვის

ფუნქციის მაქსიმუმის და მინიმუმის საპოვნელად აუცილებელია ექსტრემუმის ნიშნების გამოყენება იმ შემთხვევაში, როდესაც ფუნქცია აკმაყოფილებს ამ პირობებს. პირველი ნიშანი ითვლება ყველაზე ხშირად გამოყენებულად.

პირველი საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის

განმარტება 4

მოდით იყოს მოცემული ფუნქცია y = f (x), რომელიც დიფერენცირებადია x 0 წერტილის ε სამეზობლოში და აქვს უწყვეტობა მოცემულ x 0 წერტილში. აქედან მივიღებთ ამას

• როდესაც f "(x) > 0 x ∈ (x 0 - ε ; x 0) და f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• როდესაც f" (x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 x ∈-სთვის (x 0 ; x 0 + ε), მაშინ x 0 არის მინიმალური წერტილი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვიღებთ მათ პირობებს ნიშნის დასაყენებლად:

• როდესაც ფუნქცია უწყვეტია x 0 წერტილში, მაშინ მას აქვს წარმოებული ცვალებადი ნიშნით, ანუ +-დან -მდე, რაც ნიშნავს, რომ წერტილი ეწოდება მაქსიმუმს;
• როდესაც ფუნქცია უწყვეტია x 0 წერტილში, მაშინ მას აქვს წარმოებული ცვალებადი ნიშნით --დან +-მდე, რაც ნიშნავს, რომ წერტილი ეწოდება მინიმუმს.

ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულების სწორად დასადგენად, თქვენ უნდა მიჰყვეთ მათი პოვნის ალგორითმს:

• იპოვნეთ განსაზღვრების დომენი;
• იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული ამ ტერიტორიაზე;
• ნულების და წერტილების იდენტიფიცირება, სადაც ფუნქცია არ არსებობს;
• წარმოებულის ნიშნის განსაზღვრა ინტერვალებზე;
• აირჩიეთ წერტილები, სადაც ფუნქცია ცვლის ნიშანს.

განვიხილოთ ალგორითმი ფუნქციის ექსტრემის პოვნის რამდენიმე მაგალითის ამოხსნით.

მაგალითი 1

იპოვნეთ მაქსიმალური და მინიმალური ქულები მოცემული ფუნქცია y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

გამოსავალი

ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი x = 2-ის გარდა. ჯერ ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული და მივიღოთ:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

აქედან ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქციის ნულები არის x = - 1, x = 5, x = 2, ანუ თითოეული ფრჩხილი უნდა იყოს გატოლებული ნულთან. მოდი აღვნიშნოთ იგი რიცხვით ღერძზე და მივიღოთ:

ახლა ჩვენ განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშნებს თითოეული ინტერვალიდან. აუცილებელია შეარჩიოთ წერტილი, რომელიც შედის ინტერვალში და ჩაანაცვლოთ იგი გამოსახულებაში. მაგალითად, წერტილები x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

ჩვენ ამას მივიღებთ

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, რაც ნიშნავს, რომ ინტერვალს - ∞ ; - 1 აქვს დადებითი წარმოებული. ანალოგიურად, ჩვენ ვხვდებით, რომ

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

ვინაიდან მეორე ინტერვალი ნულზე ნაკლები აღმოჩნდა, ეს ნიშნავს, რომ წარმოებული ინტერვალზე იქნება უარყოფითი. მესამე მინუსით, მეოთხე პლიუსით. უწყვეტობის დასადგენად, ყურადღება უნდა მიაქციოთ წარმოებულის ნიშანს; თუ ის იცვლება, მაშინ ეს არის ექსტრემალური წერტილი.

ჩვენ ვხვდებით, რომ x = - 1 წერტილში ფუნქცია იქნება უწყვეტი, რაც ნიშნავს, რომ წარმოებული შეიცვლება ნიშანი +-დან --ში. პირველი ნიშნის მიხედვით გვაქვს, რომ x = - 1 არის მაქსიმალური წერტილი, რაც ნიშნავს რომ მივიღებთ

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

წერტილი x = 5 მიუთითებს, რომ ფუნქცია უწყვეტია და წარმოებული შეიცვლის ნიშანს –-დან +-მდე. ეს ნიშნავს, რომ x = -1 არის მინიმალური წერტილი და მის განსაზღვრას აქვს ფორმა

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

გრაფიკული გამოსახულება

პასუხი: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

ყურადღება უნდა მიაქციოთ იმ ფაქტს, რომ ექსტრემისთვის პირველი საკმარისი კრიტერიუმის გამოყენება არ საჭიროებს ფუნქციის დიფერენციალურობას x 0 წერტილში, ეს ამარტივებს გამოთვლას.

მაგალითი 2

იპოვეთ y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური წერტილები.

გამოსავალი.

ფუნქციის დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი. ეს შეიძლება დაიწეროს, როგორც ფორმის განტოლებათა სისტემა:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

შემდეგ თქვენ უნდა იპოვოთ წარმოებული:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y" = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

x = 0 წერტილს არ აქვს წარმოებული, რადგან ცალმხრივი ლიმიტების მნიშვნელობები განსხვავებულია. ჩვენ ვიღებთ ამას:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

აქედან გამომდინარეობს, რომ ფუნქცია უწყვეტია x = 0 წერტილში, შემდეგ ვიანგარიშებთ

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

აუცილებელია გამოთვლების ჩატარება არგუმენტის მნიშვნელობის მოსაძებნად, როდესაც წარმოებული ხდება ნული:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3, x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

ყველა მიღებული წერტილი უნდა იყოს მონიშნული სწორ ხაზზე, რათა განისაზღვროს თითოეული ინტერვალის ნიშანი. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია წარმოებულის გამოთვლა თვითნებურ წერტილებზე თითოეული ინტერვალისთვის. მაგალითად, შეგვიძლია ავიღოთ ქულები x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. ჩვენ ამას მივიღებთ

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y" (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y"(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

სწორი ხაზის გამოსახულება ასე გამოიყურება

ეს ნიშნავს, რომ მივდივართ დასკვნამდე, რომ აუცილებელია მივმართოთ ექსტრემის პირველ ნიშანს. მოდით გამოვთვალოთ და ვიპოვოთ ეს

x = - 4 - 2 3 3, x = 0, x = 4 + 2 3 3, შემდეგ მაქსიმალურ ქულებს აქვთ მნიშვნელობები x = - 4 + 2 3 3, x = 4 - 2 3 3

მოდით გადავიდეთ მინიმუმების გამოთვლაზე:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

გამოვთვალოთ ფუნქციის მაქსიმუმი. ჩვენ ამას მივიღებთ

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

გრაფიკული გამოსახულება

პასუხი:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 m 27 x3 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

თუ ფუნქცია f " (x 0) = 0 არის მოცემული, მაშინ თუ f "" (x 0) > 0, მივიღებთ, რომ x 0 არის მინიმალური წერტილი, თუ f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

მაგალითი 3

იპოვეთ y = 8 x x + 1 ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმალური.

გამოსავალი

პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ განმარტების დომენს. ჩვენ ამას მივიღებთ

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

აუცილებელია ფუნქციის დიფერენცირება, რის შემდეგაც მივიღებთ

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

x = 1-ზე წარმოებული ხდება ნული, რაც ნიშნავს, რომ წერტილი არის შესაძლო ექსტრემუმი. გასარკვევად აუცილებელია მეორე წარმოებულის პოვნა და სიდიდის გამოთვლა x = 1-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 "x + (x + 1) 2 x" (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

ეს ნიშნავს, რომ ექსტრემისთვის 2 საკმარისი პირობის გამოყენებით მივიღებთ, რომ x = 1 არის მაქსიმალური წერტილი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩანაწერი გამოიყურება y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

გრაფიკული გამოსახულება

პასუხი: y m a x = y (1) = 4 ..

განმარტება 5

ფუნქციას y = f (x) აქვს წარმოებული n-ე რიგითამდე მოცემული წერტილის x 0-ის ε სამეზობლოში და წარმოებული n + 1-ლ წესრიგამდე x 0 წერტილში. შემდეგ f " (x 0) = f "" (x 0) = f " "" (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

აქედან გამომდინარეობს, რომ როდესაც n არის ლუწი რიცხვი, მაშინ x 0 ითვლება გადახრის წერტილად, როდესაც n არის კენტი, მაშინ x 0 არის უკიდურესი წერტილი და f (n + 1) (x 0) > 0, მაშინ x 0 არის მინიმალური წერტილი, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

მაგალითი 4

იპოვეთ y y ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური წერტილები = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

გამოსავალი

თავდაპირველი ფუნქცია არის რაციონალური მთლიანი ფუნქცია, რაც ნიშნავს, რომ განმარტების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი. აუცილებელია ფუნქციის დიფერენცირება. ჩვენ ამას მივიღებთ

y " = 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4" = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

ეს წარმოებული იქნება ნულამდე x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. ანუ, ქულები შეიძლება იყოს შესაძლო ექსტრემალური წერტილები. აუცილებელია მესამე საკმარისი პირობის გამოყენება ექსტრემისთვის. მეორე წარმოებულის პოვნა საშუალებას გაძლევთ ზუსტად განსაზღვროთ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური არსებობა. მეორე წარმოებული გამოითვლება მისი შესაძლო ექსტრემის წერტილებში. ჩვენ ამას მივიღებთ

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

ეს ნიშნავს, რომ x 2 = 5 7 არის მაქსიმალური წერტილი. მე-3 საკმარისი კრიტერიუმის გამოყენებით მივიღებთ, რომ n = 1 და f (n + 1) 5 7< 0 .

აუცილებელია განისაზღვროს წერტილების ხასიათი x 1 = - 1, x 3 = 3. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ მესამე წარმოებული და გამოთვალოთ მნიშვნელობები ამ წერტილებში. ჩვენ ამას მივიღებთ

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

ეს ნიშნავს, რომ x 1 = - 1 არის ფუნქციის გადახრის წერტილი, რადგან n = 2-სთვის და f (n + 1) (- 1) ≠ 0. აუცილებელია x 3 = 3 წერტილის გამოკვლევა. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ მე-4 წარმოებულს და ვასრულებთ გამოთვლებს ამ ეტაპზე:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

რაც ზემოთ გადავწყვიტეთ, დავასკვნათ, რომ x 3 = 3 არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი.

გრაფიკული გამოსახულება

პასუხი: x 2 = 5 7 არის მაქსიმალური წერტილი, x 3 = 3 არის მოცემული ფუნქციის მინიმალური წერტილი.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

საკმარისი ნიშნებიდან გამომდინარე, გვხვდება ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები.

აქ მოცემულია ნიშნების ფორმულირება:

• თუ ფუნქციის წარმოებული y = f(x)დადებითი ვინმესთვის xინტერვალიდან X, შემდეგ ფუნქცია იზრდება X;
• თუ ფუნქციის წარმოებული y = f(x)უარყოფითი ვინმესთვის xინტერვალიდან X, შემდეგ ფუნქცია მცირდება X.

ამრიგად, ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების დასადგენად აუცილებელია:

• იპოვნეთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი;

• ფუნქციის წარმოებულის პოვნა;

• მიღებულ ინტერვალებს დაამატეთ სასაზღვრო წერტილები, რომლებშიც ფუნქცია არის განსაზღვრული და უწყვეტი.

მოდით შევხედოთ მაგალითს ალგორითმის ასახსნელად.

მაგალითი.

იპოვეთ გაზრდისა და კლების ფუნქციის ინტერვალები.

გამოსავალი.

პირველი ნაბიჯი არის ფუნქციის განმარტების პოვნა. ჩვენს მაგალითში, მნიშვნელში გამოხატული არ უნდა იყოს ნულამდე, ამიტომ, .

მოდით გადავიდეთ წარმოებულ ფუნქციაზე:

საკმარისი კრიტერიუმით ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების დასადგენად ვხსნით უტოლობას და განსაზღვრების სფეროზე. გამოვიყენოთ ინტერვალის მეთოდის განზოგადება. მრიცხველის ერთადერთი ნამდვილი ფესვი არის x = 2, და მნიშვნელი მიდის ნულზე at x = 0. ეს წერტილები ყოფს განსაზღვრების დომენს ინტერვალებად, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს. მოდი აღვნიშნოთ ეს წერტილები რიცხვთა წრფეზე. ჩვენ პირობითად აღვნიშნავთ პლიუსებით და მინუსებით იმ ინტერვალებს, რომლებშიც წარმოებული არის დადებითი ან უარყოფითი. ქვემოთ მოცემული ისრები სქემატურად აჩვენებს ფუნქციის ზრდას ან შემცირებას შესაბამის ინტერვალზე.

ამრიგად, და .

წერტილში x = 2ფუნქცია განსაზღვრული და უწყვეტია, ამიტომ მას უნდა დაემატოს როგორც მზარდი, ისე კლებადი ინტერვალები. წერტილში x = 0ფუნქცია არ არის განსაზღვრული, ამიტომ ამ პუნქტს საჭირო ინტერვალებში არ ჩავრთავთ.

წარმოგიდგენთ ფუნქციის გრაფიკს მასთან მიღებული შედეგების შესადარებლად.

პასუხი:ფუნქცია იზრდება , მცირდება ინტერვალით (0; 2] .

- ერთი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესი წერტილები. საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის

დაე, ფუნქცია f(x), განსაზღვრული და უწყვეტი ინტერვალში, არ იყოს მასში მონოტონური. არის ინტერვალის [ , ] ნაწილები, რომლებშიც უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები მიიღწევა ფუნქციით შიდა წერტილში, ე.ი. შორის.

f(x) ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი (ან მინიმალური) წერტილში, თუ ეს წერტილი შეიძლება გარშემორტყმული იყოს ისეთი სამეზობლოთი (x 0 - ,x 0 +), რომელიც შეიცავს ინტერვალში, სადაც ფუნქცია მოცემულია, რომ უტოლობა შეესაბამება მის ყველა პუნქტს.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x 0))

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წერტილი x 0 აძლევს f(x) ფუნქციას მაქსიმუმს (მინიმუმს), თუ მნიშვნელობა f(x 0) აღმოჩნდება ყველაზე დიდი (უმცირესი) ფუნქციის მიერ მიღებული მნიშვნელობებიდან ზოგიერთში. ამ წერტილის (მინიმუმ მცირე) სამეზობლო. გაითვალისწინეთ, რომ მაქსიმუმის (მინიმუმის) განმარტება ვარაუდობს, რომ ფუნქცია მითითებულია x 0 წერტილის ორივე მხარეს.

თუ არის სამეზობლო, რომლის ფარგლებშიც (x=x 0) მკაცრი უტოლობა

f(x) f(x 0)

შემდეგ ამბობენ, რომ ფუნქციას აქვს თავისი მაქსიმუმი (მინიმუმი) x 0 წერტილში, თორემ აქვს არასათანადო.

თუ ფუნქციას აქვს მაქსიმუმები x 0 და x 1 წერტილებში, მაშინ ვაიერშტრასის მეორე თეორემის ინტერვალზე გამოყენებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქცია აღწევს უმცირეს მნიშვნელობას ამ ინტერვალში რაღაც წერტილში x 2 x 0 და x 1 შორის და აქვს მინიმალური იქ. ანალოგიურად, ორ მინიმუმს შორის იქნება მაქსიმუმი. უმარტივეს (და პრაქტიკაში ყველაზე მნიშვნელოვან) შემთხვევაში, როდესაც ფუნქციას, როგორც წესი, აქვს მხოლოდ სასრული რაოდენობა მაქსიმუმებისა და მინიმუმების, ისინი უბრალოდ მონაცვლეობენ.

გაითვალისწინეთ, რომ მაქსიმუმის ან მინიმუმის აღსანიშნავად მათ აერთიანებს ტერმინიც - ექსტრემუმი.

მაქსიმუმის (max f(x)) და მინიმალური (min f(x)) ცნებები ფუნქციის ლოკალური თვისებებია და ადგილი აქვს გარკვეულ x 0 წერტილში. უდიდესი (sup f(x)) და უმცირესი (inf f(x)) მნიშვნელობების ცნებები ეხება სასრულ სეგმენტს და წარმოადგენს სეგმენტზე ფუნქციის გლობალურ თვისებებს.

სურათი 1-დან ირკვევა, რომ x 1 და x 3 წერტილებში არის ადგილობრივი მაქსიმუმები, ხოლო x 2 და x 4 წერტილებში არის ადგილობრივი მინიმალური. თუმცა, ფუნქცია აღწევს მინიმალურ მნიშვნელობას x=a წერტილში, ხოლო მაქსიმალურ მნიშვნელობას x=b წერტილში.

მოდით დავსვათ არგუმენტის ყველა მნიშვნელობის პოვნის პრობლემა, რომელიც ფუნქციას უკიდურესობას აძლევს. მისი ამოხსნისას წარმოებული მთავარ როლს შეასრულებს.

ჯერ დავუშვათ, რომ f(x) ფუნქციას აქვს სასრული წარმოებული (a,b) ინტერვალში. თუ x 0 წერტილში ფუნქციას აქვს უკიდურესი, მაშინ ფერმას თეორემის გამოყენებით ზემოთ განხილულ ინტერვალზე (x 0 - , x 0 +), დავასკვნით, რომ f (x) = 0 ეს არის უკიდურესობის აუცილებელი პირობა. . ექსტრემუმი უნდა ვეძებოთ მხოლოდ იმ წერტილებში, სადაც წარმოებული ნულის ტოლია.

თუმცა, არ უნდა ვიფიქროთ, რომ ყოველი წერტილი, სადაც წარმოებული ტოლია ნულის ტოლფასი, აძლევს ფუნქციას უკიდურესობას: უბრალოდ მითითებული აუცილებელი პირობა არ არის საკმარისი.

მონოტონური

ძალიან მნიშვნელოვანი ქონებაფუნქცია არის მისი ერთფეროვნება. სხვადასხვა სპეციალური ფუნქციის ამ თვისების ცოდნით, შესაძლებელია განისაზღვროს სხვადასხვა ფიზიკური, ეკონომიკური, სოციალური და მრავალი სხვა პროცესის ქცევა.

გამოირჩევა ფუნქციების ერთფეროვნების შემდეგი ტიპები:

1) ფუნქცია იზრდება, თუ გარკვეულ ინტერვალზე, თუ რომელიმე ორ წერტილზე და ეს ინტერვალი ისეთი, რომ . იმათ. უფრო დიდი არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება უფრო დიდ ფუნქციის მნიშვნელობას;

2) ფუნქცია მცირდება, თუ გარკვეულ ინტერვალზე, თუ რომელიმე ორ წერტილზე და ეს ინტერვალი ისეთი, რომ . იმათ. უფრო დიდი არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას;

3) ფუნქცია არ კლებულობს, თუ გარკვეულ ინტერვალზე, თუ რომელიმე ორ წერტილზე და ეს ინტერვალი ისეთი, რომ ;

4) ფუნქცია არ იზრდება, თუ გარკვეულ ინტერვალზე, თუ რომელიმე ორ წერტილზე და ეს ინტერვალი ისეთი, რომ .

2. პირველი ორი შემთხვევისთვის ასევე გამოიყენება ტერმინი „მკაცრი ერთფეროვნება“.

3. ბოლო ორი შემთხვევა სპეციფიკურია და, როგორც წესი, მითითებულია, როგორც რამდენიმე ფუნქციის შემადგენლობა.

4. ცალ-ცალკე აღვნიშნავთ, რომ ფუნქციის გრაფიკის მატება-კლება უნდა განიხილებოდეს მარცხნიდან მარჯვნივ და სხვა არაფერი.

2. ლუწი/კენტი.

ფუნქციას კენტი ეწოდებათუ არგუმენტის ნიშანი იცვლება, ის ცვლის მის მნიშვნელობას საპირისპიროდ. ამის ფორმულა ასე გამოიყურება . ეს ნიშნავს, რომ "მინუს x" მნიშვნელობების ჩანაცვლების შემდეგ ფუნქციაში ყველა x-ის ნაცვლად, ფუნქცია შეიცვლის თავის ნიშანს. ასეთი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.

უცნაური ფუნქციების მაგალითებია და ა.შ.

მაგალითად, გრაფიკს აქვს სიმეტრია წარმოშობის შესახებ:

ფუნქციას ეწოდება ლუწი, თუ არგუმენტის ნიშანი იცვლება, ის არ ცვლის მის მნიშვნელობას. ამის ფორმულა ასე გამოიყურება. ეს ნიშნავს, რომ "მინუს x" მნიშვნელობების ფუნქციაში ჩანაცვლების შემდეგ ყველა x-ის ნაცვლად, ფუნქცია არ შეიცვლება შედეგად. ასეთი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ.

ლუწი ფუნქციების მაგალითებია და ა.შ.

მაგალითად, ვაჩვენოთ გრაფიკის სიმეტრია ღერძის მიმართ:

თუ ფუნქცია არ მიეკუთვნება რომელიმე მითითებულ ტიპს, მაშინ მას არც ლუწი და არც კენტი ან ფუნქცია ზოგადი ხედი . ასეთ ფუნქციებს არ აქვთ სიმეტრია.

ასეთი ფუნქცია, მაგალითად, არის წრფივი ფუნქცია, რომელიც ახლახან განვიხილეთ გრაფიკით:

3. ფუნქციების განსაკუთრებული თვისებაა პერიოდულობა.

ფაქტია, რომ პერიოდული ფუნქციები, რომლებიც გათვალისწინებულია სტანდარტულ სასკოლო სასწავლო გეგმაში, მხოლოდ ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია. მათ შესახებ უკვე დეტალურად ვისაუბრეთ შესაბამისი თემის შესწავლისას.

პერიოდული ფუნქციაარის ფუნქცია, რომელიც არ ცვლის თავის მნიშვნელობებს, როდესაც არგუმენტს ემატება გარკვეული მუდმივი არანულოვანი რიცხვი.

ამ მინიმალურ რიცხვს ეძახიან ფუნქციის პერიოდიდა მითითებულია ასოებით.

ამის ფორმულა ასე გამოიყურება: .

მოდით შევხედოთ ამ თვისებას სინუსური გრაფიკის მაგალითის გამოყენებით:

გავიხსენოთ, რომ ფუნქციების პერიოდი და არის და პერიოდი და არის.

როგორც უკვე ვიცით, რთული არგუმენტების მქონე ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შეიძლება ჰქონდეთ არასტანდარტული პერიოდი. ჩვენ ვსაუბრობთ ფორმის ფუნქციებზე:

მათი პერიოდი თანაბარია. და ფუნქციების შესახებ:

მათი პერიოდი თანაბარია.

როგორც ხედავთ, ახალი პერიოდის გამოსათვლელად, სტანდარტული პერიოდი უბრალოდ იყოფა არგუმენტის ფაქტორზე. ეს არ არის დამოკიდებული ფუნქციის სხვა მოდიფიკაციებზე.

შეზღუდვა.

ფუნქცია y=f(x) ეწოდება X⊂D(f) სიმრავლეს ქვემოდან შემოსაზღვრული, თუ არის ისეთი რიცხვი, რომ ნებისმიერი xϵX-ისთვის მოქმედებს f(x) უტოლობა.< a.

ფუნქცია y=f(x) ეწოდება ზემოდან შემოსაზღვრული X⊂D(f) სიმრავლეზე, თუ არის ისეთი რიცხვი, რომ ნებისმიერი хϵХ უტოლობა მოქმედებს f(x)< a.

თუ X ინტერვალი არ არის მითითებული, მაშინ ფუნქცია განიხილება როგორც შეზღუდული განსაზღვრების მთელ დომენზე. ფუნქციას, რომელიც შემოსაზღვრულია როგორც ზემოთ, ასევე ქვემოთ, ეწოდება შეზღუდული.

ფუნქციის შეზღუდვა ადვილად იკითხება გრაფიკიდან. თქვენ შეგიძლიათ დახაზოთ გარკვეული ხაზი y=a და თუ ფუნქცია ამ წრფეზე მაღალია, მაშინ ის შემოსაზღვრულია ქვემოდან.

თუ ქვემოთ, მაშინ შესაბამისად ზემოთ. ქვემოთ მოცემულია ქვემოთ შემოსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკი. ბიჭებო, შეეცადეთ თავად დახატოთ შეზღუდული ფუნქციის გრაფიკი.

თემა: ფუნქციების თვისებები: გაზრდისა და კლების ინტერვალები; უმაღლესი და ყველაზე დაბალი მნიშვნელობები; ექსტრემალური წერტილები (ადგილობრივი მაქსიმუმი და მინიმალური), ფუნქციის ამოზნექილი.

გაზრდისა და კლების ინტერვალები.

ფუნქციის გაზრდისა და შემცირებისთვის საკმარისი პირობების (ნიშნების) საფუძველზე გვხვდება ფუნქციის მატებისა და შემცირების ინტერვალები.

აქ მოცემულია ფუნქციების გაზრდისა და შემცირების ნიშნების ფორმულირებები ინტერვალით:

· თუ ფუნქციის წარმოებული y=f(x)დადებითი ვინმესთვის xინტერვალიდან X, შემდეგ ფუნქცია იზრდება X;

· თუ ფუნქციის წარმოებული y=f(x)უარყოფითი ვინმესთვის xინტერვალიდან X, შემდეგ ფუნქცია მცირდება X.

ამრიგად, ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების დასადგენად აუცილებელია:

· იპოვონ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი;

· იპოვონ ფუნქციის წარმოებული;

· უტოლობების ამოხსნა განმარტების სფეროზე;

ფუნქციის გაზრდა, შემცირება და უკიდურესობა

ფუნქციის ზრდის, კლების და ექსტრემის ინტერვალების პოვნა არის როგორც დამოუკიდებელი ამოცანა, ასევე სხვა ამოცანების არსებითი ნაწილი, კერძოდ, სრული ფუნქციის შესწავლა. პირველადი ინფორმაცია ფუნქციის გაზრდის, შემცირებისა და ექსტრემის შესახებ მოცემულია თეორიული თავი წარმოებულის შესახებ, რასაც მე გირჩევთ წინასწარ შესწავლას (ან გამეორება)– ასევე იმ მიზეზით, რომ შემდეგი მასალა ეფუძნება ძალიან არსებითად წარმოებული,ამ სტატიის ჰარმონიული გაგრძელებაა. თუმცა, თუ დრო მოკლეა, მაშინ ასევე შესაძლებელია დღევანდელი გაკვეთილის მაგალითების წმინდა ფორმალური პრაქტიკა.

დღეს კი ჰაერში იშვიათი ერთსულოვნების სული ტრიალებს და პირდაპირ ვგრძნობ, რომ ყველა დამსწრე იწვის სურვილით ისწავლეთ ფუნქციის შესწავლა მისი წარმოებულის გამოყენებით. ამიტომ, გონივრული, კარგი, მარადიული ტერმინოლოგია მაშინვე გამოჩნდება თქვენი მონიტორის ეკრანებზე.

Რისთვის? ერთ-ერთი მიზეზი ყველაზე პრაქტიკულია: ისე, რომ ცხადი იყოს, ზოგადად რას მოეთხოვებათ კონკრეტულ ამოცანაში!

ფუნქციის ერთფეროვნება. ექსტრემალური წერტილები და ფუნქციის ექსტრემები

განვიხილოთ რამდენიმე ფუნქცია. მარტივად რომ ვთქვათ, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ის უწყვეტიმთელ რიცხვთა ხაზზე:

ყოველი შემთხვევისთვის, სასწრაფოდ მოვიშოროთ შესაძლო ილუზიები, განსაკუთრებით იმ მკითხველებისთვის, რომლებიც ახლახან გაეცნენ ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები. Ახლა ჩვენ ᲐᲠ ᲐᲠᲘᲡ ᲓᲐᲘᲜᲢᲔᲠᲔᲡᲔᲑᲣᲚᲘ, როგორ მდებარეობს ფუნქციის გრაფიკი ღერძის მიმართ (ზემოთ, ქვემოთ, სადაც ღერძი იკვეთება). დამაჯერებლად, გონებრივად წაშალეთ ცულები და დატოვეთ ერთი გრაფიკი. იმიტომ, რომ სწორედ აქ არის ინტერესი.

ფუნქცია იზრდებაინტერვალზე, თუ ამ ინტერვალის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის, რომელიც დაკავშირებულია მიმართებით, უტოლობა მართალია. ანუ უფრო დიდი ღირებულებაარგუმენტი შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას და მისი გრაფიკი მიდის „ქვემოდან ზევით“. საჩვენებელი ფუნქცია იზრდება ინტერვალით.

ანალოგიურად, ფუნქცია მცირდებაინტერვალზე, თუ მოცემული ინტერვალის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის ისეთი, რომ უტოლობა იყოს ჭეშმარიტი. ანუ, არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას და მისი გრაფიკი მიდის "ზემოდან ქვემოდან". ჩვენი ფუნქცია მცირდება ინტერვალებით .

თუ ფუნქცია იზრდება ან მცირდება ინტერვალით, მაშინ მას უწოდებენ მკაცრად ერთფეროვანიამ ინტერვალში. რა არის ერთფეროვნება? მიიღეთ ეს სიტყვასიტყვით - ერთფეროვნება.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ განსაზღვროთ არ კლებულობსფუნქცია (მოდუნებული მდგომარეობა პირველ განმარტებაში) და არ მზარდიფუნქცია (დარბილებული მდგომარეობა მე-2 განსაზღვრებაში). ინტერვალზე შეუმცირებელ ან არ მზარდ ფუნქციას ეწოდება მონოტონური ფუნქცია მოცემულ ინტერვალზე. (მკაცრი ერთფეროვნება - განსაკუთრებული შემთხვევა"უბრალოდ" ერთფეროვნება).

თეორია ასევე განიხილავს სხვა მიდგომებს ფუნქციის მატება/შემცირების დასადგენად, მათ შორის ნახევარინტერვალებზე, სეგმენტებზე, მაგრამ იმისათვის, რომ თავზე ზეთი-ზეთი-ზეთი არ დაგასხათ, ჩვენ დავთანხმდებით ღია ინტერვალებით მუშაობას კატეგორიული განმარტებებით. - ეს უფრო ნათელია და ბევრი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად სავსებით საკმარისია.

ამრიგად, ჩემს სტატიებში ფორმულირება „ფუნქციის ერთფეროვნება“ თითქმის ყოველთვის იმალება ინტერვალებითმკაცრი ერთფეროვნება(მკაცრად მზარდი ან მკაცრად კლებადი ფუნქცია).

წერტილის მეზობლობა. სიტყვები, რომლის შემდეგაც სტუდენტები გარბიან სადაც კი შეუძლიათ და საშინლად იმალებიან კუთხეებში. ...თუმცა პოსტის შემდეგ კუშის საზღვრებიისინი ალბათ აღარ იმალებიან, მაგრამ მხოლოდ ოდნავ კანკალებენ =) არ ინერვიულოთ, ახლა მათემატიკური ანალიზის თეორემების მტკიცებულებები არ იქნება - მე მჭირდებოდა გარემო, რომ უფრო მკაცრად ჩამომეყალიბებინა განმარტებები ექსტრემალური წერტილები. გავიხსენოთ:

წერტილის მეზობლობაინტერვალი, რომელიც შეიცავს მოცემულ წერტილს, ეწოდება და მოხერხებულობისთვის ინტერვალი ხშირად სიმეტრიულად ითვლება. მაგალითად, წერტილი და მისი სტანდარტული სამეზობლო:

სინამდვილეში, განმარტებები:

წერტილი ე.წ მკაცრი მაქსიმალური წერტილი, თუ არსებობსმისი სამეზობლო, ყველასთვისრომელთა მნიშვნელობები, გარდა თვით წერტილისა, უტოლობა . ჩვენს კონკრეტულ მაგალითში ეს არის წერტილი.

წერტილი ე.წ მკაცრი მინიმალური წერტილი, თუ არსებობსმისი სამეზობლო, ყველასთვისრომელთა მნიშვნელობები, გარდა თვით წერტილისა, უტოლობა . ნახაზში არის წერტილი "a".

შენიშვნა : სამეზობლო სიმეტრიის მოთხოვნა სულაც არ არის საჭირო. გარდა ამისა, მნიშვნელოვანია თავად არსებობის ფაქტისამეზობლო (პატარა თუ მიკროსკოპული), რომელიც აკმაყოფილებს მითითებულ პირობებს

პუნქტები ე.წ მკაცრად ექსტრემალური წერტილებიან უბრალოდ ექსტრემალური წერტილებიფუნქციები. ანუ, ეს არის განზოგადებული ტერმინი მაქსიმალური ქულების და მინიმალური ქულებისთვის.

როგორ გავიგოთ სიტყვა "ექსტრემალური"? დიახ, ისევე პირდაპირ, როგორც ერთფეროვნება. ატრაქციონების ექსტრემალური წერტილები.

როგორც მონოტონურობის შემთხვევაში, ფხვიერი პოსტულატები არსებობს და თეორიულად უფრო ხშირია (რაც, რა თქმა უნდა, განიხილება მკაცრი შემთხვევები!):

წერტილი ე.წ მაქსიმალური ქულა, თუ არსებობსმისი შემოგარენი ისეთია ყველასთვის
წერტილი ე.წ მინიმალური ქულა, თუ არსებობსმისი შემოგარენი ისეთია ყველასთვისამ უბნის ღირებულებებს უთანასწორობა იცავს.

გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო ორი განსაზღვრების მიხედვით, მუდმივი ფუნქციის ნებისმიერი წერტილი (ან ფუნქციის „ბრტყელი მონაკვეთი“) ითვლება მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილად! ფუნქცია, სხვათა შორის, არის არამზარდიც და არც კლებადი, ანუ მონოტონური. თუმცა, ამ მოსაზრებებს თეორეტიკოსებს დავუტოვებთ, რადგან პრაქტიკაში ჩვენ თითქმის ყოველთვის განვიხილავთ ტრადიციულ „გორაკებს“ და „ღრმულებს“ (იხ. ნახატი) უნიკალურ „გორაკის მეფესთან“ ან „ჭაობის პრინცესასთან“. როგორც ჯიში, ჩნდება წვერიზევით ან ქვევით მიმართული, მაგალითად, ფუნქციის მინიმუმი წერტილში.

ოჰ, და მეფობაზე ვსაუბრობთ:
– მნიშვნელობა ჰქვია მაქსიმუმფუნქციები;
– მნიშვნელობა ჰქვია მინიმალურიფუნქციები.

საერთო სახელი - უკიდურესობებიფუნქციები.

გთხოვთ, ფრთხილად იყავით სიტყვებთან!

ექსტრემალური წერტილები- ეს არის "X" მნიშვნელობები.
უკიდურესობები- "თამაშის" მნიშვნელობა.

! შენიშვნა : ზოგჯერ ჩამოთვლილი ტერმინები ეხება "X-Y" წერტილებს, რომლებიც პირდაპირ დევს ფუნქციის გრაფიკზე.

რამდენი ექსტრემა შეიძლება ჰქონდეს ფუნქციას?

არცერთი, 1, 2, 3, ... და ა.შ. უსასრულობამდე. მაგალითად, სინუსს აქვს უსასრულოდ ბევრი მინიმუმი და მაქსიმუმი.

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!ტერმინი "ფუნქციის მაქსიმალური" არა იდენტურიტერმინი " მაქსიმალური მნიშვნელობაფუნქციები“. ადვილი შესამჩნევია, რომ ღირებულება მაქსიმალურია მხოლოდ ადგილობრივ სამეზობლოში, ხოლო ზედა მარცხნივ არის "მაგარი ამხანაგები". ანალოგიურად, "ფუნქციის მინიმალური" იგივე არ არის, რაც "ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა" და ნახაზზე ვხედავთ, რომ მნიშვნელობა მინიმალურია მხოლოდ გარკვეულ არეალში. ამასთან დაკავშირებით, ექსტრემალური წერტილებიც ეწოდება ადგილობრივი ექსტრემალური წერტილებიდა უკიდურესობა - ადგილობრივი უკიდურესობები. ისინი დადიან და იხეტიალებენ ახლოს და გლობალურიძმებო. ასე რომ, ნებისმიერ პარაბოლას აქვს თავის წვეროზე გლობალური მინიმუმიან გლობალური მაქსიმუმი. გარდა ამისა, მე არ განვასხვავებ უკიდურესობის ტიპებს და ახსნა უფრო ზოგადსაგანმანათლებლო მიზნებისთვის არის გაჟღერებული - დამატებითი ზედსართავები „ადგილობრივი“/„გლობალური“ არ უნდა გაგიკვირდეთ.

მოდით შევაჯამოთ ჩვენი მოკლე ექსკურსია თეორიაში სატესტო კადრით: რას ნიშნავს დავალება „მონოტონურობის ინტერვალების და ფუნქციის უკიდურესი წერტილების პოვნა“?

ფორმულირება გიბიძგებთ იპოვოთ:

– მზარდი/შემცირების ფუნქციის ინტერვალები (არაკლებადი, არმზარდი ჩნდება გაცილებით იშვიათად);

– მაქსიმალური და/ან მინიმალური ქულები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში). ისე, წარუმატებლობის თავიდან ასაცილებლად, უმჯობესია თავად იპოვოთ მინიმალური/მაქსიმუმი ;-)

როგორ განვსაზღვროთ ეს ყველაფერი?წარმოებული ფუნქციის გამოყენებით!

როგორ მოვძებნოთ გაზრდის, კლების ინტერვალები,
ექსტრემალური წერტილები და ფუნქციის ექსტრემები?

ბევრი წესი, ფაქტობრივად, უკვე ცნობილია და გასაგებია გაკვეთილი წარმოებულის მნიშვნელობის შესახებ.

ტანგენტის წარმოებული მოაქვს მხიარული ამბები იმის შესახებ, რომ ფუნქცია იზრდება მთელს მსოფლიოში განმარტების სფერო.

კოტანგენტთან და მის წარმოებულთან სიტუაცია ზუსტად საპირისპიროა.

რკალი იზრდება ინტერვალზე - წარმოებული აქ დადებითია: .
როდესაც ფუნქცია განსაზღვრულია, მაგრამ არა დიფერენცირებადი. თუმცა, in კრიტიკული წერტილიარის მარჯვენა წარმოებული და მარჯვენა ტანგენსი, ხოლო მეორე კიდეზე არის მათი მარცხენა ანალოგები.

ვფიქრობ, არ გაგიჭირდებათ მსგავსი მსჯელობის განხორციელება რკალის კოსინუსსა და მის წარმოებულზე.

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი შემთხვევა, რომელთაგან ბევრია ცხრილის წარმოებულებიშეგახსენებთ, მიყევით პირდაპირ წარმოებული განმარტებები.

რატომ შეისწავლეთ ფუნქცია მისი წარმოებულის გამოყენებით?

უკეთ რომ გავიგოთ, როგორ გამოიყურება ამ ფუნქციის გრაფიკი: სადაც მიდის „ქვემოდან ზემოთ“, სადაც „ზემოდან ქვევით“, სადაც აღწევს მინიმუმებსა და მაქსიმუმებს (თუ საერთოდ აღწევს). ყველა ფუნქცია ასე მარტივი არ არის - უმეტეს შემთხვევაში, ჩვენ წარმოდგენა არ გვაქვს კონკრეტული ფუნქციის გრაფიკის შესახებ.

დროა გადავიდეთ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე და განვიხილოთ ალგორითმი ერთფეროვნების და ფუნქციის უკიდურესობის ინტერვალების მოსაძებნად:

მაგალითი 1

იპოვეთ ფუნქციის ზრდა/კლება და ექსტრემის ინტერვალები

გამოსავალი:

1) პირველი ნაბიჯი არის პოვნა ფუნქციის დომენიდა ასევე გაითვალისწინეთ შესვენების წერტილები (თუ ისინი არსებობს). ამ შემთხვევაში ფუნქცია უწყვეტია მთელ რიცხვთა წრფეზე და ეს მოქმედება გარკვეულწილად ფორმალურია. მაგრამ რიგ შემთხვევებში, სერიოზული ვნებები აქ იფეთქებს, ამიტომ მოდი აბზაცს ზიზღის გარეშე მივუდგეთ.

2) ალგორითმის მეორე წერტილი განპირობებულია

ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობა:

თუ არის ექსტრემუმი ერთ წერტილში, მაშინ ან მნიშვნელობა არ არსებობს.

დაბნეული ხართ დასასრულით? "მოდული x" ფუნქციის ექსტრემი .

პირობა აუცილებელია, მაგრამ არ არის საკმარისიდა პირიქით ყოველთვის არ არის მართალი. ასე რომ, ჯერ კიდევ არ გამომდინარეობს თანასწორობიდან, რომ ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს ან მინიმუმს წერტილში. კლასიკური მაგალითი უკვე ხაზგასმულია ზემოთ - ეს არის კუბური პარაბოლა და მისი კრიტიკული წერტილი.

მაგრამ როგორც არ უნდა იყოს, ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობა კარნახობს საეჭვო წერტილების პოვნის აუცილებლობას. ამისათვის იპოვეთ წარმოებული და ამოხსენით განტოლება:

პირველი სტატიის დასაწყისში ფუნქციის გრაფიკების შესახებმე გითხარით, როგორ სწრაფად ავაშენოთ პარაბოლა მაგალითის გამოყენებით : „...ვიღებთ პირველ წარმოებულს და ვატოლებთ ნულს: ...მაშ ასე, ჩვენი განტოლების ამონახსნი: - სწორედ ამ ადგილას მდებარეობს პარაბოლის წვერო...“. ახლა, ვფიქრობ, ყველას ესმის, რატომ არის პარაბოლის წვერო ზუსტად ამ წერტილში განთავსებული =) ზოგადად, აქ მსგავსი მაგალითით უნდა დავიწყოთ, მაგრამ ის ძალიან მარტივია (თუნდაც ჩაიდანისთვის). გარდა ამისა, გაკვეთილის ბოლოს არის ანალოგი ფუნქციის წარმოებული. ამიტომ, მოდით გავზარდოთ ხარისხი:

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის ერთფეროვნებისა და ექსტრემის ინტერვალები

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პრობლემის სავარაუდო საბოლოო ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს.

დადგა წილად-რაციონალურ ფუნქციებთან შეხვედრის დიდი ხნის ნანატრი მომენტი:

მაგალითი 3

გამოიკვლიეთ ფუნქცია პირველი წარმოებულის გამოყენებით

ყურადღება მიაქციეთ, რამდენად ცვალებადია ერთი და იგივე დავალების ხელახალი ფორმულირება.

გამოსავალი:

1) ფუნქცია განიცდის უსასრულო წყვეტებს წერტილებში.

2) ჩვენ აღმოვაჩენთ კრიტიკულ წერტილებს. ვიპოვოთ პირველი წარმოებული და გავუტოლოთ ნულს:

მოდი ამოვხსნათ განტოლება. წილადი არის ნული, როცა მისი მრიცხველი ნულია:

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სამ კრიტიკულ წერტილს:

3) ჩვენ გამოვსახავთ ყველა აღმოჩენილ წერტილს რიცხვით წრფეზე და ინტერვალის მეთოდიჩვენ განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშნებს:

შეგახსენებთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ გარკვეული წერტილი ინტერვალში და გამოთვალოთ წარმოებულის მნიშვნელობა მასზე და დაადგინეთ მისი ნიშანი. უფრო მომგებიანია არა დათვლა, არამედ სიტყვიერი "შეფასება". ავიღოთ, მაგალითად, წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს და შევასრულოთ ჩანაცვლება: .

ორი „პლუს“ და ერთი „მინუს“ იძლევა „მინუსს“, შესაბამისად, რაც ნიშნავს, რომ წარმოებული უარყოფითია მთელ ინტერვალზე.

მოქმედება, როგორც გესმით, უნდა განხორციელდეს ექვსიდან თითოეული ინტერვალისთვის. სხვათა შორის, გაითვალისწინეთ, რომ მრიცხველის ფაქტორი და მნიშვნელი მკაცრად დადებითია ნებისმიერი წერტილისთვის ნებისმიერ ინტერვალში, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს დავალებას.

ასე რომ, წარმოებულმა გვითხრა, რომ ფუნქცია თავად იზრდება და მცირდება . მოსახერხებელია იმავე ტიპის ინტერვალების დაკავშირება შეერთების ხატულასთან.

იმ მომენტში ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს:
იმ მომენტში ფუნქცია აღწევს მინიმუმს:

დაფიქრდით, რატომ არ გჭირდებათ მეორე მნიშვნელობის ხელახლა გამოთვლა ;-)

წერტილის გავლისას წარმოებული არ იცვლის ნიშანს, ამიტომ ფუნქციას იქ არ აქვს EXTREMUM - ის შემცირდა და დარჩა კლებადობით.

! გავიმეოროთ მნიშვნელოვანი წერტილი : წერტილები არ ითვლება კრიტიკულად - ისინი შეიცავს ფუნქციას არ არის განსაზღვრული. შესაბამისად, აქ პრინციპში, უკიდურესობა არ შეიძლება იყოს(მაშინაც კი, თუ წარმოებული ცვლის ნიშანს).

უპასუხე: ფუნქცია იზრდება და მცირდება ფუნქციის მაქსიმუმის მიღწევის მომენტში: , ხოლო წერტილში – მინიმუმი: .

მონოტონურობის ინტერვალებისა და ექსტრემების ცოდნა დადგენილთან ერთად ასიმპტოტებიუკვე ძალიან კარგ წარმოდგენას იძლევა გარეგნობაფუნქციური გრაფიკა. საშუალო მომზადების ადამიანს შეუძლია სიტყვიერად განსაზღვროს, რომ ფუნქციის გრაფიკს აქვს ორი ვერტიკალური ასიმპტოტი და ირიბი ასიმპტოტი. აი ჩვენი გმირი:

კიდევ ერთხელ სცადეთ კვლევის შედეგები დააკავშიროთ ამ ფუნქციის გრაფიკს.
კრიტიკულ წერტილში ექსტრემუმი არ არის, მაგრამ არის გრაფიკის ფლექსია(რაც, როგორც წესი, ხდება მსგავს შემთხვევებში).

მაგალითი 4

იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა

მაგალითი 5

იპოვეთ მონოტონურობის ინტერვალები, ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმუმი

…დღეს თითქმის რაღაც „X კუბში“ დღესასწაულს ჰგავს...
ოოოო, გალერეაში ვინ შესთავაზა ამისთვის დალევა? =)

თითოეულ დავალებას აქვს თავისი არსებითი ნიუანსი და ტექნიკური დახვეწილობა, რაც გაკვეთილის ბოლოს არის კომენტირებული.